# Precessione di Larmor

In meccanica quantistica e fisica atomica, la precessione di Larmor, il cui nome è dovuto a Joseph Larmor, è la precessione dei momenti magnetici degli elettroni o dei nuclei atomici in un atomo attorno alla direzione di un campo magnetico esterno omogeneo.
Il campo magnetico $\mathbf {B}$ esercita un momento meccanico $\mathbf {M}$ dato dal prodotto vettoriale:
    $\mathbf {M} =\mathbf {\mu } \times \mathbf {B} =\gamma \mathbf {L} \times \mathbf {B}$
dove $\mathbf {\mu }$ è il momento di dipolo magnetico, $\mathbf {L}$ è il momento angolare e $\gamma$ è il rapporto giromagnetico, che fornisce la costante di proporzionalità tra momento angolare e momento magnetico.
La precessione di Larmor fornisce un semplice modello teorico che permette di spiegare il diamagnetismo. Inoltre, ha un importante impiego tecnologico nella risonanza magnetica nucleare: per il nucleo di idrogeno, il più usato per questo scopo, il valore del rapporto giromagnetico $\gamma$ è di 42.5756*10^6 (rad/s)/T.

## Pulsazione di Larmor

Il vettore del momento angolare precede sull'asse del campo magnetico esterno con una frequenza angolare nota come pulsazione di Larmor:
    $\omega =-\gamma B$

## La precessione

Il campo magnetico esercita un momento meccanico, producendo un moto giroscopico (come una trottola). La frequenza della precessione si dice frequenza di Larmor, e dipende dal campo di induzione magnetica $\mathbf {B}$ e dal momento magnetico $\mathbf {\mu } =\gamma \mathbf {L}$. Essa equivale a:
    $\nu _{L}=-{\frac {\gamma B}{2\pi }}$
Il momento meccanico $\mathbf {M}$ cui è sottoposto un momento magnetico $\mathbf {\mu }$ in un campo di induzione magnetica omogeneo $\mathbf {B}$ è dato da:
    $\mathbf {M} =\mathbf {\mu } \times \mathbf {B} =\gamma \mathbf {L} \times \mathbf {B} =-\gamma \mathbf {B} \times \mathbf {L}$
poiché in generale si può scrivere il momento magnetico come il prodotto del momento angolare $\mathbf {L}$ per il fattore giromagnetico $\gamma$:
    $\mathbf {\mu } =\gamma \mathbf {L}$
In base alla seconda equazione cardinale il momento meccanico si può scrivere come:
    $\mathbf {M} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}$
avendo supposto la velocità del polo nulla (l'atomo è fermo). La derivata di un vettore a modulo costante, come il momento angolare in questo caso, è:
    $\mathbf {M} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {\omega } _{L}\times \mathbf {L}$
La velocità angolare $\mathbf {\omega } _{L}$ a cui il momento magnetico precede attorno alla direzione del campo è:
    $\mathbf {\omega } _{L}=-\gamma \mathbf {B}$
e la rispettiva frequenza di Larmor:
    $\nu _{L}={\frac {\omega _{L}}{2\pi }}=-{\frac {\gamma B}{2\pi }}$
Considerando una particella di carica $e$ di massa $m$, si ha:
    $\omega ={\frac {egB}{2m}}$
dove $g$ è il fattore-g dell'oggetto considerato. Nel caso di un nucleo, esso tiene conto degli effetti dello spin dei nucleoni, del loro momento angolare orbitale e dell'accoppiamento tra di essi.

### Precessione di Thomas

Un trattamento completo del fenomeno deve includere gli effetti della precessione di Thomas, in seguito ai quali la precedente equazione acquista un termine aggiuntivo:
    $\omega _{s}={\frac {geB}{2mc}}+(1-\gamma ){\frac {eB}{mc\gamma }}$
dove $\gamma$ è il fattore di Lorentz. Per l'elettrone $g$ è molto vicino a 2 (2.002..), e ponendo $g=2$ si ha:
    $\omega _{s(g=2)}={\frac {eB}{mc\gamma }}$

## Equazione di Bargmann-Michel-Telegdi

La precessione dello spin di un elettrone in un campo magnetico omogeneo è descritta dall'equazione di Bargmann–Michel–Telegdi, detta talvolta equazione BMT:
    ${\frac {dA^{\tau }}{ds}}={\frac {e}{m}}U^{\tau }U_{\sigma }F^{\sigma \lambda }A_{\lambda }+2\mu (F^{\tau \lambda }-U^{\tau }U_{\sigma }F^{\sigma \lambda })A_{\lambda }$
dove $A^{\tau }$, $e$, $m$, e $\mu$ sono rispettivamente il quadrivettore di polarizzazione, carica, massa e momento magnetico, mentre $U^{\tau }$ è la quadrivelocità dell'elettrone e $F^{\tau \sigma }$ il tensore elettromagnetico. Inoltre:
    $A^{\tau }A_{\tau }=-U^{\tau }U_{\tau }=-1\qquad U^{\tau }A_{\tau }=0$
Utilizzando l'equazione del moto:
    $m{\frac {dU^{\tau }}{ds}}=eF^{\tau \sigma }U_{\sigma }$
si può riscrivere il primo termine nel membro a destra dell'equazione BMT come:
    $(-U^{\tau }W^{\lambda }+U^{\lambda }W^{\tau })A_{\lambda }$
dove $W^{\tau }=dU^{\tau }/ds$ è la quadriaccelerazione. Questo termine descrive il trasporto di Fermi-Walker e conduce alla precessione di Thomas. Il secondo termine è invece associato alla precessione di Larmor.
Quando un campo elettromagnetico è uniforme nello spazio, o quando si possono trascurare forze come il gradiente $\nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}})$, il moto traslazionale della particella è descritto dalla relazione:
    ${dU^{\alpha } \over d\tau }={e \over m}F^{\alpha \beta }U_{\beta }$
L'equazione di Bargmann–Michel–Telegdi è allora riscritta nella forma:
    ${\;\,dS^{\alpha } \over d\tau }={e \over m}{\bigg{g \over 2}F^{\alpha \beta }S_{\beta }+\left({g \over 2}-1\right)U^{\alpha }\left(S_{\lambda }F^{\lambda \mu }U_{\mu }\right){\bigg ]}$
Se, invece, non potessimo trascurare quei termini di forza dati dal gradiente del campo, otterremmo:
    ${dS^{\alpha } \over d\tau }={ge \over 2m}{\biggF^{\alpha \beta }S_{\beta }+U^{\alpha }(S_{\lambda }F^{\lambda \mu }U_{\mu }){\bigg ]}-U^{\alpha }(S_{\lambda }{dU^{\lambda } \over d\tau })$