# Paradosso di Simpson

In statistica, il paradosso di Simpson indica una situazione in cui una relazione tra due fenomeni appare modificata, o perfino invertita, dai dati in possesso a causa di altri fenomeni non presi in considerazione nell'analisi (variabili nascoste). È alla base di frequenti errori nelle analisi statistiche nell'ambito delle scienze sociali e mediche, ma non solo.

## Storia

Fu descritto da George Udny Yule, nell'articolo Notes on the theory of association of attributes in Statistics, comparso in Biometrika nel 1903, e da E. H. Simpson, con l'articolo "The interpretation of interaction in contingency tables", pubblicato nel Journal of the Royal Statistical Society (1951).

## Definizione formale

Benché
    ${\begin{aligned}&P(X|B\cap C)>P(X|B^{c}\cap C),\\&P(X|B\cap C^{c})>P(X|B^{c}\cap C^{c}),\end{aligned}}$
accade che
    $P(X|B)<P(X|B^{c}),$
dove $P(X|Y\cap Z)$ è la probabilità di $X$ condizionata dall'evento congiunto $Y$ e $Z$, $B^{c}$ è l'evento complementare di $B$ e $C^{c}$ è l'evento complementare di $C$

## Esempio

Si ipotizzi una situazione nella quale la percentuale di disoccupati tra i diplomati sia la metà rispetto alla popolazione di chi non ha conseguito il diploma.
Consideriamo però pure il fatto che, per motivi storici, tra le generazioni più anziane i diplomati siano in numero molto minore e che, per motivi legati al mercato del lavoro, tra i giovani il tasso di disoccupazione sia più elevato che tra gli anziani.
Partendo dalle seguenti due statistiche ipotetiche:
| Intervistati | Senza diploma | Con diploma | Totale |
| Giovani | 20 | 80 | 100 |
| Anziani | 120 | 30 | 150 |
| Totale | 140 | 110 | 250 |
| Tasso di disoccupazione | Senza diploma | Con diploma |
| Giovani | 30% | 15% |
| Anziani | 5% | 3,33% |
dove abbiamo che in entrambi i casi la disoccupazione è circa doppia tra i non diplomati, rispetto ai diplomati, si può calcolare il numero di disoccupati:
| Disoccupati | Senza diploma | Con diploma | Totale |
| Giovani | 6 | 12 | 18 |
| Anziani | 6 | 1 | 7 |
| Totale | 12 | 13 | 25 |
Questi valori assoluti permettono ora di calcolare il tasso di disoccupazione per i non diplomati e per i diplomati senza tenere conto dell'età. Si ottiene:
| Percentuale di disoccupati | |
| Senza diploma | 12/140 = 8,6% |
| Con diploma | 13/110 = 11,8% |
Si scopre così che tra i diplomati il tasso di disoccupazione invece che essere la metà è maggiore di un quarto che tra i non diplomati, proprio il contrario di quello che si era ipotizzato.
Questo paradosso è dovuto al fatto che il tasso di disoccupazione è nettamente maggiore nel gruppo che ha una maggiore percentuale di diplomati; trascurare l'esistenza di due relazioni fondamentali (quella tra disoccupazione ed età, nonché quella tra età e titolo di studio) fa giungere a conclusioni errate.

## Cause

Mentre nel caso precedente preparato a tavolino la contraddizione è evidente, nelle analisi statistiche reali può capitare di non accorgersi delle relazioni implicite esistenti tra le variabili e limitarsi ad analizzare dati aggregati senza incrociarli con le variabili essenziali; la contraddizione non verrebbe allora minimamente percepita, e si potrebbero trarre conclusioni completamente opposte alla vera distribuzione, con conseguenze potenzialmente molto gravi.
In situazioni meno estreme di quelle dell'esempio, le stesse cause del paradosso di Simpson possono portare a sovrastimare o sottostimare differenze tra gruppi, senza però capovolgere il "segno" della relazione.
I dati prodotti dal paradosso di Simpson chiaramente non sono sbagliati in sé, ma semplicemente devono essere letti in modo diverso da come farebbe un lettore o analista superficiale:
* tra persone con diploma ci sono più disoccupati che tra persone senza diploma.
Mentre sbagliata è la conclusione superficiale che usa concetti di causa-effetto, come
* avere un diploma è la causa di una maggiore disoccupazione.
Volendo usare concetti di causa effetto (spesso l'unico motivo per il quale si analizzano i dati), ma avendo a disposizione tutti i dati, si può dire:
* i giovani sono sei volte più soggetti alla disoccupazione rispetto agli anziani;
* ma sia tra i giovani sia tra gli anziani avere un diploma riduce il "rischio disoccupazione" alla metà.