# Regolatore lineare quadratico

Il regolatore lineare quadratico (LQR), nell'ambito del controllo ottimo, e più in generale dei controlli automatici e dei sistemi dinamici lineari tempoinvarianti, è un compensatore dinamico ottenuto a seguito della minimizzazione di un indice di costo $J(x,u)$ funzione dello stato $x(t)$ e del controllo $u(t)$.
       $\min J={\frac {1}{2}}x_{f}^{T}S_{f}x_{f}+{\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{f}}(x^{T}Qx+u^{T}Ru)\,d\tau$,
con $S_{f}$ e $Q$ matrici simmetriche e semi definite positive e $R$ simmetrica e definita positiva.

## Validità ipotesi iniziali

Aver considerato matrici simmetriche non fa perdere di generalità il problema; infatti, qualunque forma quadratica è equivalente ad un'altra con matrice simmetrica. Si dimostra facilmente:
       $x^{T}Kx=2{\frac {1}{2}}x^{T}Kx+{\frac {1}{2}}x^{T}K^{T}x-{\frac {1}{2}}x^{T}K^{T}x={\frac {1}{2}}x^{T}(K+K^{T})x+{\frac {1}{2}}x^{T}(K-K^{T})x={\frac {1}{2}}x^{T}(K+K^{T})x$
La matrice $K+K^{T}$ è simmetrica mentre $K-K^{T}$ risulta anti simmetrica e quindi genera una forma quadratica nulla.
La matrice R è definita positiva altrimenti esisterebbero per $u$ infinite soluzioni, caso poco interessante in campo ingegneristico per cui si predilige che l'ingresso ottimo $u_{ott}(t)$ sia unico.

## Teorema: esistenza soluzione

Per ogni matrice Q semidefinita positiva e per ogni matrice R definita positiva esiste sempre una soluzione $u_{\mathrm {ott} }(t)$ del problema di controllo ottimo LQR che minimizza l'indice di costo $J(x,u)$.

## Teorema: esistenza soluzione stabilizzante

Se il sistema LTI è stabilizzabile e rilevabile, allora minimizzando l'indice di costo (rendendolo limitato) si stabilizza anche il sistema.
Il controllo ottenuto $u_{\mathrm {ott} }(t)$ è funzione lineare dello stato e di alcune matrici tra cui P(t) soluzione della DRE (equazione differenziale di Riccati) se il controllo è a tempo finito, o P (costante) soluzione della ARE (equazione algebrica di Riccati) se il controllo è a tempo infinito.

### Tempo finito

* controllo
    $u_{ott}(t)=-K_{\mathrm {ott} }(t)x(t)$
* controllore in retroazione dallo stato
    $K_{\mathrm {ott} }(t)=R^{-1}B^{T}P(t)$
* DRE la cui soluzione fornisce P(t)
    $-{\frac {dP(t)}{dt}}=A^{T}P(t)+P(t)A+Q-P(t)BR^{-1}B^{T}P(t)$

### Tempo infinito

* controllo
    $u_{\mathrm {ott} }(t)=-K_{\mathrm {ott} }x(t)$
* controllore in retroazione dallo stato
    $K_{\mathrm {ott} }=R^{-1}B^{T}P$
* ARE la cui soluzione fornisce P
    $[0]=A^{T}P+PA+Q-PBR^{-1}B^{T}P$
Essenzialmente fare un controllo su intervallo finito o infinito significa solo far tendere all'infinito ($t_{f}$→∞) l'estremo superiore dell'integrale che definisce $J(x,u)$. L'effetto di un controllo su tempo infinito è un controllore stazionario (indipendente dal tempo), ovvero una matrice $K_{\mathrm {ott} }$ costante e ottima rispetto all'indice che si voleva minimizzare.

## Teorema: robustezza intrinseca

Si può dimostrare che il controllo LQR è robusto di per sé per una gamma di variazioni parametriche ∂$P_{0}$ relative al processo nominale $P_{0}$ con upperbound costante in frequenza e pari a $l_{m}=0.5$. In altre parole permette il controllo per tutte le variazioni che modificano la matrice di trasferimento riferimento-uscita $U_{0}$ prestazione di sensibilità del controllo fino ad un valore massimo tale che il massimo valore singolare di questa matrice sia minore di 2 (prestazione di sensibilità del controllo).