# Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

In matematica, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, nota anche come disuguaglianza di Schwarz o disuguaglianza di Bunyakovsky, è una disuguaglianza che compare in algebra lineare e si applica in molti altri settori, quali ad esempio l'analisi funzionale e la probabilità.
Proposta inizialmente da Augustin-Louis Cauchy, la formulazione integrale della disuguaglianza è dovuta a Viktor Bunyakovsky (1859), e si può trovare anche nei lavori di Hermann Amandus Schwarz a partire dal 1884.
Negli spazi L$^p$ la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è un caso particolare della disuguaglianza di Hölder.

## La disuguaglianza

Sia $V$ uno spazio prehilbertiano, cioè uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definito positivo, o uno spazio vettoriale complesso dotato di un prodotto hermitiano. La disuguaglianza asserisce che il valore assoluto del prodotto scalare di due elementi è minore o uguale al prodotto delle loro norme. Formalmente:
    $|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |\leq \left\|\mathbf {x} \right\|\cdot \left\|\mathbf {y} \right\|\qquad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V,$
con l'uguaglianza che sussiste se e solo se $\mathbf {x}$ e $\mathbf {y}$ sono multipli (giacciono cioè sulla stessa retta).
In forma integrale:
    $\left|\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\ dx\right|^{2}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}\ dx\cdot \int _{a}^{b}|g(x)|^{2}\ dx,$
con $f$ e $g$ funzioni quadrato sommabile in $\mathbb {C}$, che formano lo spazio di Hilbert L$^2$. Una generalizzazione di questa disuguaglianza è la disuguaglianza di Hölder.
Nello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ si ha:
    $\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right).$
In dimensione 3, la disuguaglianza è conseguenza della seguente uguaglianza:
    $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle =|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}+\left\|\mathbf {x} \times \mathbf {y} \right\|^{2}$
dove l'operazione binaria $\times \colon \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ indica il prodotto vettoriale.

## Proprietà

La disuguaglianza vale quindi ad esempio nello spazio euclideo $n$-dimensionale e negli spazi di Hilbert a dimensione infinita.
Nel piano, la disuguaglianza segue dalla relazione:
    $|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |=\left\|\mathbf {x} \right\|\cdot \left\|\mathbf {y} \right\|\cdot |\cos \theta |,$
dove $\theta ={\widehat {\mathbf {x} \mathbf {y} }}$ è l'angolo fra i due vettori $\mathbf {x}$ e $\mathbf {y}$. Si estende quindi questa relazione a un qualsiasi spazio vettoriale con prodotto scalare, usandola per definire l'angolo fra due vettori $\mathbf {x}$ e $\mathbf {y}$ come il $\theta \in [0,\pi ]$ che realizza l'uguaglianza.
Tra le conseguenze importanti della disuguaglianza si trovano:
* il prodotto scalare (o hermitiano) è una funzione continua da $V\times V$ in $\mathbb {R}$;
* la norma verifica la disuguaglianza triangolare;
* la disuguaglianza di Bessel.

## Dimostrazione 1

Siano $u$, $v$ vettori arbitrari in uno spazio vettoriale $V$ su un campo $F$ con un prodotto scalare (formando così uno spazio prodotto interno), e sia $F$ il campo reale o complesso. Dimostriamo la disuguaglianza
    ${\big |}\langle u,v\rangle {\big |}\leq \left\|u\right\|\left\|v\right\|,$
dove l'identità vale se e solo se $u$ e $v$ sono multipli fra di loro.
Se $v=0$ è banalmente provata l'uguaglianza, ed in questo caso $u$ e $v$ sono linearmente dipendenti (multipli l'uno dell'altro) a prescindere da $u$. Possiamo quindi assumere $u$ non nullo. Assumiamo anche $\langle u,v\rangle \neq 0$, altrimenti la disuguaglianza è ovviamente verificata, perché né $\left\|u\right\|$ né $\left\|v\right\|$ possono essere negativi.
Sia $z$ il vettore ortogonale a $v$ (si veda ortogonalizzazione di Gram-Schmidt) così definito:
    $z=u-u_{v}=u-{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v.$
Quindi
    $u={\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v+z.$
Per bilinearità e simmetria del prodotto scalare e per ortogonalità di $v$ e $z$ si ha che
    $\left\|u\right\|^{2}=\langle u,u\rangle =\langle {\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v+z,{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v+z\rangle =\left|{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}\right|^{2}\left\|v\right\|^{2}+\left\|z\right\|^{2}+2\mathrm {Re} \langle z,{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v\rangle ={\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\left\|v\right\|^{2}}}+\left\|z\right\|^{2}\geq {\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\left\|v\right\|^{2}}},$
da cui, moltiplicando entrambi i membri per $\left\|v\right\|^{2}$,
    $\left\|u\right\|^{2}\left\|v\right\|^{2}\geq \ |\langle u,v\rangle |^{2}.$
Poiché la norma e il valore assoluto sono non negativi (i quadrati di quantità non negative sono ordinati come le proprie basi), prendendo la radice quadrata di ambo i membri si ottiene
    $|\langle u,v\rangle |\leq \ \left\|u\right\|\left\|v\right\|$ QED.

## Dimostrazione 2

La disuguaglianza risulta banalmente vera per $\mathbf {y} \mathbf {=} \mathbf {0}$, quindi si assume $\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle$ diverso da zero. Sia $\lambda$ un numero complesso. Si ha:
    $0\leq \left\|\mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} \right\|^{2}=\langle \mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} ,\mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} \rangle$
    $=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\lambda \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -{\overline {\lambda }}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +|\lambda |^{2}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle .$
Scegliendo
    $\lambda =\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}$, e ricordando che $|\lambda |^{2}={\overline {\lambda }}\lambda ,$
si ottiene:
    $0\leq \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle$
    $=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -{\overline {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}-{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}+{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}(\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle )$
    $=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}-|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}+|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}$
    $=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}\cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}$
che vale se e solo se
    $|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle$
o equivalentemente
    ${\big |}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle {\big |}\leq \left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|.$

## Dimostrazione algebrica

Si consideri un polinomio di secondo grado in $x$ del tipo:
    $p(x)=(a_{1}+b_{1}x)^{2}+\ldots +(a_{n}+b_{n}x)^{2},$
che non ha radici reali tranne nel caso in cui gli $a_{i}$ e i $b_{i}$ sono tutti uguali fra loro, o se data una coppia $(a_{i},b_{i})$ sussiste un legame di proporzionalità con tutte le coppie $(a_{j},b_{j})$ (cioè per ogni $j\in \{1,2,\ldots ,n\}$ esiste $k_{j}\in \mathbb {R}$ tale che $a_{j}=k_{j}a_{i}$ e $b_{j}=k_{j}b_{i}$). In tal caso la radice è:
    $x=-{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=-{\frac {a_{j}}{b_{j}}}=-{\frac {ma_{i}}{mb_{i}}}.$
Sviluppando i quadrati si ottiene:
    $p(x)=a_{1}^{2}+b_{1}^{2}x^{2}+2a_{1}b_{1}x+\ldots +a_{n}^{2}+b_{n}^{2}x^{2}+2a_{n}b_{n}x=\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)x+\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right).$
Poiché il polinomio ha una o nessuna radice, il discriminante dev'essere minore o uguale a 0. Quindi:
    $\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\leq 0,$
da cui si ricava:
    $\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right),$
che è la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.