# Doppio pendolo

In fisica classica, in particolare in meccanica classica, il doppio pendolo è un sistema fisico costituito da due pendoli attaccati uno all'estremità dell'altro e liberi ciascuno di oscillare rispetto al loro punto di vincolo: il suo comportamento dinamico è fortemente sensibile a piccole variazioni delle condizioni iniziali e, per alcuni valori dell'energia, il suo moto risultante è caotico.

## Analisi

Si possono considerare diverse varianti del doppio pendolo; i due bracci possono avere lunghezze e masse uguali o diverse, possono essere pendoli semplici o composti (detti anche pendoli complessi) e il moto può avvenire in tre dimensioni o limitato al solo piano verticale. Nella seguente analisi, i bracci sono considerati due pendoli composti identici di lunghezza $\ell$ e le masse $m$, e il moto è limitato ad un piano.
In un pendolo composto, la massa è distribuita su tutta la lunghezza. Se la massa è distribuita uniformemente, allora il centro di massa di ogni braccio si trova alla sua metà, ed il momento di inerzia rispetto a tale punto è $\textstyle I={\frac {1}{12}}m\ell ^{2}$. Il momento di inerzia di una sbarra che ruota intorno ad uno dei suoi estremi è dato da $\textstyle I={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}$.
È utile usare l'angolo tra ciascuno dei bracci e l'asse verticale come coordinata generalizzata per definire lo spazio delle configurazioni; questi angoli sono indicati con θ$_1$ e θ$_2$. La posizione del centro di massa di ogni braccio può essere scritta in funzione di queste due coordinate; se si prende come origine di un sistema di riferimento cartesiano il punto di sospensione del primo pendolo, allora le coordinate del centro di massa di questo pendolo sono
    $x_{1}={\frac {\ell }{2}}\sin \theta _{1},$
    $y_{1}=-{\frac {\ell }{2}}\cos \theta _{1},$
mentre per il secondo pendolo si ha
    $x_{2}=\ell \left(\sin \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right),$
    $y_{2}=-\ell \left(\cos \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right).$
Con queste informazioni si può scrivere la lagrangiana del sistema.

### Lagrangiana

La lagrangiana è
    ${\begin{aligned}L&=\mathrm {Energia~cinetica} -\mathrm {Energia~potenziale} \\&={\frac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}$
Il primo termine è l'energia cinetica di traslazione del centro di massa dei due bracci e il secondo è l'energia cinetica rotazionale intorno al centro di massa di ciascun braccio. Il terzo termine è l'energia potenziale gravitazionale assumendo una accelerazione costante $g$. La notazione ${\dot {x}}$ indica la derivata rispetto al tempo (notazione di Newton).
Sostituendo le coordinate definite sopra e riordinando le equazioni si trova
    $L={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]+{\frac {1}{2}}mg\ell \left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).$
L'unica quantità conservata in questo sistema è l'energia, e non ci sono momenti generalizzati conservati. I due momenti possono essere scritti come
    $p_{\theta _{1}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]$
e
    $p_{\theta _{2}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right].$
Invertendo queste espressioni si trova
    ${{\dot {\theta }}_{1}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}$
e
    ${{\dot {\theta }}_{2}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.$
Le altre equazioni del moto sono
    ${{\dot {p}}_{\theta _{1}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{1}\right]$
e
    ${{\dot {p}}_{\theta _{2}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{2}\right].$
Queste ultime quattro equazioni sono formule esplicite per l'evoluzione temporale del sistema dato il suo stato attuale. Non è possibile integrare queste equazioni analiticamente e ottenere formule per θ$_1$ e θ$_2$ in funzione del tempo. Si può tuttavia usare un'integrazione numerica, ad esempio con i metodi di Runge-Kutta.

## Moto caotico

Il doppio pendolo si muove con moto caotico, cioè la sua evoluzione è molto sensibile alle condizioni iniziali. L'immagine a destra mostra il tempo trascorso prima che il pendolo si capovolga, in funzione delle condizioni iniziali; il valore iniziale di θ$_1$ (direzione orizzontale nel grafico) va da −3 a 3, e θ$_2$ (direzione verticale nel grafico) va da −3 a 3. Il colore indica se uno dei due pendoli si capovolge entro $10{\sqrt {\ell /g}}$ (in verde), entro $100{\sqrt {\ell /g}}$ (rosso), $1000{\sqrt {\ell /g}}$ (viola) o $10000{\sqrt {\ell /g}}$ (blu). Le condizioni iniziali che non portano al capovolgimento entro $10000{\sqrt {\ell /g}}$ sono in bianco.
Il bordo della regione bianca è definito in parte dalla conservazione dell'energia secondo la curva
    $3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.\,$
All'interno della regione definita da questa curva, cioè se
    $3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,\,$
è energeticamente impossibile il capovolgimento per ciascun pendolo. Fuori da questa regione il pendolo può capovolgersi, ma è complicato determinare quando.
La mancanza di una frequenza di risonanza rende utile il doppio pendolo nel progetto di edifici antisismici. L'idea è di vedere l'intero edificio come un pendolo invertito, e di aggiungere una massa secondaria per completare il doppio pendolo. La massa secondaria è solitamente un grosso peso sospeso all'interno dell'edificio. Il grattacielo taiwanese Taipei 101, è dotato alla sua sommità di un mass damper di 660 tonnellate.