# Equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo

Un'equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo è un'equazione differenziale lineare in cui compaiono derivate di ordine generico della funzione incognita.

## Definizione

Un'equazione differenziale lineare di ordine n completa a coefficienti variabili ha la forma:
    $y^{(n)}+a_{1}(x)\cdot y^{(n-1)}+a_{2}(x)\cdot y^{(n-2)}+\cdots +a_{n-1}(x)\cdot y'+a_{n}(x)\cdot y=f(x)$
Una tale equazione è in generale particolarmente difficile da risolvere, qualora sia possibile. Nel caso in cui tutti i coefficienti sono funzioni costanti:
    $\,y^{(n)}+a_{1}\cdot y^{(n-1)}+a_{2}\cdot y^{(n-2)}+\cdots +a_{n-1}\cdot y'+a_{n}\cdot y=f(x)$
l'equazione si risolve trovando una soluzione all'equazione lineare omogenea associata, alla quale si somma una soluzione particolare dell'equazione completa. Il corrispondente problema di Cauchy:
    ${\begin{cases}y(x=x_{0})=y_{0}\\y'(x=x_{0})=y_{1}\\\vdots \\y^{(n)}(x=x_{0})=y_{n}\end{cases}}$
è allora risolvibile e fornisce una e una sola soluzione.

### Esempio

Il più facile esempio di equazione differenziale di ordine n è:
    $y^{(n)}=f(x)$
il cui integrale è facilmente ricavabile:
    $y=\int _{n}f(x)\,dx^{n}+c_{1}x^{n-1}+c_{2}x^{n-2}+\cdots +c_{n-1}x+c_{n}$
Si tratta di integrare n volte la $f(x)$.
Un esempio numerico è $y'''=\sin x$, dove integrando tre volte successivamente si ha:
    $y''=-\cos x+c_{1}^{''}\qquad y'=-\sin x+c_{1}^{'}\cdot x+c_{2}^{'}\qquad y=\cos x+c_{1}\cdot x^{2}+c_{2}x+c_{3}$

## Equazione omogenea

Si può dimostrare che il wronskiano delle soluzioni dell'equazione differenziale è la soluzione generale dell'equazione omogenea associata. Le soluzioni devono essere indipendenti, e ciò implica che il wronskiano sia diverso da zero. La sua soluzione si ottiene con una procedura analoga a quella per le equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, in cui si devono trovare le radici dell'equazione caratteristica associata:
    $\lambda ^{n}+a_{1}\cdot \lambda ^{n-1}+a_{2}\cdot \lambda ^{n-2}+\cdots +a_{n-1}\cdot \lambda +a_{n}=0$
* Se le radici $\lambda _{i}$ sono tutte distinte allora le soluzioni sono della forma:
    $y=e^{\lambda _{i}\cdot x}$
* Se una radice, ad esempio $\lambda _{1}$, è soluzione multipla di molteplicità $s$, allora affinché le sue soluzioni siano indipendenti devono avere la forma:
    $e^{\lambda _{1}\cdot x}\quad xe^{\lambda _{1}x}\quad x^{2}e^{\lambda _{1}x}\quad \cdots \quad x^{s-1}e^{\lambda _{1}x}$
* Se una radice è unica ed è la complessa coniugata di un'altra, ovvero $\lambda _{1,2}=c\pm id$, allora:
    $e^{cx}\cos(dx),e^{cx}\sin(dx)$
* Se la radice complessa coniugata $\lambda =c\pm id$ è multipla con molteplicità $r$ si ha:
    $e^{cx}\cos(dx)\quad xe^{cx}\cos(dx)\quad x^{2}e^{cx}\cos(dx)\quad \cdots \quad x^{r-1}e^{cx}\cos(dx)$
    $e^{cx}\sin(dx)\quad xe^{cx}\sin(dx)\quad x^{2}e^{cx}\sin(dx)\quad \cdots \quad x^{r-1}e^{cx}\sin(dx)$
La soluzione del problema di Cauchy si ottiene determinando il valore delle n costanti di integrazione che appaiono nella soluzione dell'omogenea.

## Equazione completa

In generale per risolvere l'equazione caratteristica associata bisogna sommare alla soluzione dell'omogenea una soluzione particolare, ottenibile con il metodo delle variazioni delle costanti o metodo di Lagrange. Nel seguito si considerano alcuni casi particolari:
* Sia:
    $f(x)=P(x)$
    dove $P(x)$ è un polinomio di grado m. In questo caso si cerca una soluzione particolare del tipo $u(x)=P_{1}(x)$, dove $P_{1}(x)$ è un polinomio formale di grado m. Se tuttavia la soluzione dell'omogenea è nulla, allora si deve cercare una soluzione del tipo:
    $u(x)=x^{r}P_{1}(x)$
* Sia:
    $f(x)=A\cdot e^{\alpha x}$
    dove $A$ è una costante data. Se $\alpha$ non è una radice dell'equazione omogenea associata, si cerca una soluzione particolare del tipo:
    $u(x)=B\cdot e^{\alpha x}$
    dove $B$ è una costante da determinare. Nel caso $\alpha$ sia radice di molteplicità $r$ si cerca una soluzione del tipo:
    $u(x)=x^{r}\cdot B\cdot e^{\alpha x}$
* Sia:
    $f(x)=P(x)\cdot e^{\alpha x}$
    dove $P(x)$ è un polinomio di grado m. Se $\alpha$ non è una radice dell'equazione omogenea associata, si cerca una soluzione particolare del tipo:
    $u(x)=P_{1}(x)\cdot e^{\alpha x}$
    dove $P_{1}$ è un polinomio formale di grado m. Nel caso $\alpha$ sia radice di molteplicità $r$ si cerca una soluzione del tipo:
    $u(x)=x^{r}\cdot P_{1}(x)\cdot e^{\alpha x}$
* Se $f$ possiede una delle seguenti espressioni:
    $f(x)=A\cdot \cos(\beta x)\qquad f(x)=B\cdot \sin(\beta x)\qquad f(x)=A\cdot \cos(\beta x)+B\sin(\beta x)$
    dove $A$ e $B$ sono costanti date, allora se $i\beta$ non è una radice dell'equazione omogenea associata si cerca una soluzione particolare del tipo:
    $f(x)=C\cdot \cos(\beta x)+D\sin(\beta x)$
    dove $C$ e $D$ sono costanti da determinare. Nel caso $i\beta$ sia radice di molteplicità $r$ si cerca una soluzione del tipo:
    $f(x)=x^{r}\left(C\cdot \cos(\beta x)+D\sin(\beta x)\right)$
* Sia:
    $f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)+...+f_{m}(x)$
    Per la linearità dell'equazione si può risolvere separatamente:
    $y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n}y=f_{i}(x)\qquad i=1,...,m$
    e successivamente sommare le $u_{i}(x)$ soluzioni:
    $u=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{m}$