# Alternativa di Fredholm

In matematica, l'alternativa di Fredholm, il cui nome è dovuto a Ivar Fredholm, è uno dei teoremi di Fredholm, che si inserisce nel contesto della teoria di Fredholm. L'enuciato mostra che un numero complesso non nullo o è un autovalore di un operatore compatto oppure è nel relativo risolvente.
Il teorema può essere enunciato in diversi modi, in quanto la sua formulazione può essere svolta nell'ambito dell'algebra lineare, delle equazioni integrali o nella teoria degli operatori di Fredholm.

## Algebra lineare

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione n e $T:V\to V$ una trasformazione lineare. Allora vale esattamente una delle seguenti affermazioni:
* Per ogni $\mathbf {v} \in V$ esiste $\mathbf {u} \in V$ tale che $T(\mathbf {u} )=\mathbf {v}$. In altri termini, $T$ è una funzione suriettiva, e dunque biunivoca poiché lo spazio è finito-dimensionale.
* $\dim(\ker(T))>0$
Una formulazione che utilizza le matrici afferma in modo equivalente che data una matrice $A$ di dimensione $m\times n$ ed un vettore colonna $\mathbf {b}$ di dimensione $m\times 1$, vale esattamente una delle seguenti affermazioni:
* $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ possiede una soluzione $\mathbf {x}$
* $A^{T}\mathbf {y} =\mathbf {0}$ ha soluzione $\mathbf {y}$ con $\mathbf {y} ^{T}\mathbf {b} \neq 0$
Ovvero, $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ ha soluzione (cioè $\mathbf {b} \in \operatorname {Im} (A)$) se e solo se per ogni $\mathbf {y}$ tale che $A^{T}\mathbf {y} =\mathbf {0}$ si ha $\mathbf {y} ^{T}\mathbf {b} =0$, cioè $\mathbf {b} \in \ker(A^{T})^{\bot }$.

## Equazioni integrali

L'alternativa può essere espressa dicendo che, dato un operatore compatto $T$, e dato $\lambda \in \mathbb {C} -\{0\}$, o $T\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$ possiede una soluzione diversa da zero oppure $(T-\lambda I)\mathbf {v} =f$ ha soluzione unica per qualsiasi scelta di $f$, che equivale a dire che o $\lambda$ è un autovalore (cioè un elemento dello spettro puntuale) oppure $(T-\lambda I)^{-1}$ è limitato, cioè $\lambda$ è nel dominio dell'operatore risolvente. Nell'ambito delle equazioni integrali questo viene espresso considerando l'equazione integrale di Fredholm:
    $\phi (x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=0$
dove se $K(x,y)$ è un nucleo integrale liscio l'operatore integrale così definito è compatto. Data l'equazione non omogenea:
    $\phi (x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=f(x)$
l'alternativa di Fredholm afferma che per ogni numero complesso non nullo $\lambda \in \mathbb {C}$ o la prima equazione ha una soluzione non banale oppure la seconda ha una soluzione per ogni $f(x)$, e questo vale anche per le rispettive relazioni complesse coniugate:
    $\psi (x)-{\bar {\lambda }}\int _{a}^{b}{\overline {K(x,y)}}\psi (y)\,dy=0\qquad \psi (x)-{\bar {\lambda }}\int _{a}^{b}{\overline {K(x,y)}}\psi (y)\,dy=g(x)$
Una condizione sufficiente per la validità del teorema è che $K(x,y)$ sia quadrato sommabile sul rettangolo $[a,b]\times [a,b]$ (dove gli estremi possono essere illimitati).

## Il teorema in spazi di Banach

Attraverso gli operatori di Fredholm si generalizza il teorema a spazi di Banach di dimensione arbitraria. In modo informale, la corrispondenza tra la versione dell'enunciato in algebra lineare e quello per le equazioni integrali si mostra ponendo:
    $T(x,y)=\lambda \delta (x-y)-K(x,y)$
con $\delta (x-y)$ la delta di Dirac. L'operatore $T$ può essere visto come un operatore lineare che agisce su uno spazio di Banach $V$ di funzioni $\phi (x)$, sicché $T:V\to V$ è dato dalla mappa $\phi \mapsto \psi$, con $\psi$ fornito da:
    $\psi (x)=\int _{a}^{b}T(x,y)\phi (y)\,dy$
Il teorema stabilisce che dato un operatore lineare continuo $T:E\to E$ fra spazi di Banach, e detto $T^{*}:E^{*}\to E^{*}$ l'operatore nello spazio duale, o esistono soluzioni uniche per:
    $T(x)=y\qquad T^{*}(f)=g\quad x,y\in E\quad f,g\in E^{*}$
oppure le equazioni omogenee:
    $T(x)=0\qquad T^{*}(f)=0\quad x\in E\quad f\in E^{*}$
hanno lo stesso numero $n<\infty$ di soluzioni linearmente indipendenti.
Siano $x_{1},\dots x_{n}$ e $f_{1},\dots f_{n}$ le soluzioni delle equazioni omogenee. Allora, date due soluzioni particolari $x'$ e $f'$ delle equazioni non omogenee, la soluzione generale di queste ultime è la somma di una soluzione particolare e di una combinazione lineare di soluzioni (linearmente indipendenti) della relativa equazione omogenea:
    $x=x'+\sum _{1}^{n}c_{i}x_{i}\qquad f=f'+\sum _{1}^{n}c_{i}f_{i}$
con $c_{1},\dots ,c_{n}$ coefficienti arbitrari.
L'alternativa di Fredholm si applica a un operatore se e solo se esso può essere scritto come la somma di un operatore compatto e di un operatore con inverso continuo.