# Calcolo tensoriale

Il calcolo tensoriale è quella parte dell'analisi che manipola i tensori.
Sviluppato da Gregorio Ricci-Curbastro e dal suo allievo Tullio Levi-Civita, è stato utilizzato da Albert Einstein per elaborare la sua teoria della relatività generale. Rispetto al calcolo infinitesimale, il calcolo tensoriale permette di presentare le equazioni fisiche in forma indipendente dalla scelta del sistema di coordinate.
Secondo Eddington, è questo il solo mezzo possibile per esprimere i fenomeni in forma oggettiva, e per spiegare le leggi della fisica come combinazioni di leggi ancor più profonde, quelle dello spazio-tempo.

## Derivata tensoriale

Sia $\phi$ uno scalare, ad esempio una funzione scalare invariante estesa nel continuum a quattro dimensioni. Consideriamo ora una curva $S$ qualunque, su cui stabiliamo una metrica per cui la distanza da un punto fisso misurata sulla curva sia $s:$ allora anche ${\frac {d\phi }{ds}}$ è invariante, essendo invarianti sia $ds$ che $d\phi$. Poiché vale la relazione
    ${\frac {d\phi }{ds}}=\sum _{\mu }{\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}{\frac {dx^{\mu }}{ds}}$
anche il secondo membro è un invariante (ometteremo nel seguito il simbolo di somma, con le solite convenzioni). Dunque il quadrivettore
    $A_{\mu }={\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}$
ossia il gradiente di $\phi$, è covariante. Se definiamo un nuovo invariante
    $\psi ={\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}{\frac {dx^{\mu }}{ds}}$
per quanto visto prima, $\chi ={\frac {d\psi }{ds}}$ è un invariante. Sostituendo a $\psi$ la sua espressione, otteniamo
    $\chi ={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{\mu }\partial x^{\nu }}}{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}+{\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}{\frac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}$
Ricordando che l'equazione generale di una geodetica per lo spaziotempo, utilizzando i simboli di Christoffel di seconda specie, ha la forma
    ${\frac {d^{2}x^{\tau }}{ds^{2}}}+\left\{{\begin{matrix}\tau \\\nu \mu \end{matrix}}\right\}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}{\frac {dx^{\mu }}{ds}}=0$
ricaviamo il valore di ${\frac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}$, che sostituiamo. Otteniamo dunque la relazione
    $\chi =\left[{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{\mu }\partial x^{\nu }}}-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\nu \mu \end{matrix}}\right\}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{\tau }}}\right]{\frac {dx^{\nu }}{ds}}{\frac {dx^{\mu }}{ds}}.$
Il teorema di Schwarz ci garantisce che l'ordine di derivazione rispetto a $\nu$ e $\mu$ è invertibile, e il simbolo di Christoffel di seconda specie è simmetrico rispetto a $\nu$ e $\mu$, dunque la relazione tra parentesi quadre data sopra è simmetrica anch'essa. Per la generalità delle $x^{\nu }$, il quadrivettore ${\frac {dx^{\mu }}{ds}}$ è arbitrario. Ricordando l'invarianza di $x,$ otteniamo dunque che la relazione
    $A_{\nu /\mu }={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{\mu }\partial x^{\nu }}}-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\nu \mu \end{matrix}}\right\}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{\tau }}}$
rappresenta un tensore covariante del secondo ordine.
Ricapitolando, dal quadrivettore covariante
    $A_{\mu }={\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}$
abbiamo ricavato il tensore covariante del secondo ordine
    $A_{\mu /\nu }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\mu \nu \end{matrix}}\right\}A_{\tau }.$
Chiameremo questo tensore la derivata tensoriale del tensore A$_μ$. È facile vedere che tale risultato vale non solo partendo da un gradiente, ma da qualsiasi vettore covariante. Basta infatti notare che, dati due scalari $\phi$ e $\psi$, per quanto visto prima $\psi {\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}$ è un tensore del primo ordine covariante. Altrettanto potrà dirsi di una somma di quattro di questi vettori qualsiasi $S_{\mu }=\psi _{\nu }{\frac {\partial \phi _{\nu }}{\partial x^{\mu }}}$. Ora, un qualunque vettore A$_μ$ può esprimersi nella forma di S$_μ$ (il come è lasciato per esercizio al lettore). Per quanto riguarda il resto della dimostrazione, basta ripercorrere il cammino partendo da $\psi {\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}$, e si ricava esattamente la stessa formula, che è quanto ci attendevamo.
Esaminiamo ora il caso di un tensore del secondo ordine A$_{μν}$, abbiamo già visto che è possibile esprimerlo come somma di prodotti del tipo A$_μ$B$_ν$. Ricordando la regola di derivazione del prodotto, deriviamo singolarmente i due tensori, ottenendo
    $A_{\mu /\sigma }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\sigma }}}-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\mu \sigma \end{matrix}}\right\}A_{\tau }$
e
    $B_{\nu /\sigma }={\frac {\partial B_{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\nu \sigma \end{matrix}}\right\}B_{\tau }$
Queste espressioni sono tensori. Moltiplicando poi la prima per B$_ν$ e la seconda per A$_μ$, otteniamo comunque sei tensori del terzo ordine. Sommandoli e ponendo
    $A_{\mu \nu }=A_{\mu }B_{\nu }\$
otteniamo
    $A_{\mu \nu /\sigma }={\frac {\partial A_{\mu \nu }}{\partial x^{\sigma }}}-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\mu \sigma \end{matrix}}\right\}A_{\tau \nu }-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\nu \sigma \end{matrix}}\right\}A_{\mu \tau }$
Analogamente a quanto visto prima, è possibile estendere il risultato ad un tensore del secondo ordine qualunque, e utilizzando le normali regole per la moltiplicazione dei tensori, si ricavano facilmente le espressioni per le derivate tensoriali per qualunque ordine di tensori.

### Divergenza di un tensore

Dato un tensore del primo ordine A$^μ$, possiamo dapprima considerare il nuovo tensore che si ottiene derivando tensorialmente
    $F_{\nu }^{\mu }=A_{/\nu }^{\mu }$
e poi la contrazione del tensore F$^μ$$_ν$
    $F_{\nu }^{\nu }=A_{/\nu }^{\nu }$
Lo scalare così ottenuto definisce la divergenza di A$^μ$
    $\operatorname {div} A^{\mu }=A_{/\mu }^{\mu }$
Ciò mostra come la divergenza di un vettore sia invariante per cambio di coordinate.

### Rotore di un tensore

Il rotore di un tensore del primo ordine A$^μ$ può essere definito, in modo formale, in modo analogo al prodotto vettoriale tra vettori, assumendo come secondo vettore le componenti dell'operatore ∇. Per mezzo del simbolo di Levi-Civita ε$_{ijk}$ si ha allora
    $\operatorname {rot} A^{\mu }=\varepsilon _{ijk}\partial ^{j}A^{k}$
dove ∂$^j$ definisce la derivata controvariante, ovvero, per mezzo del tensore fondamentale g$^{jl}$
    $\partial ^{j}=g^{jl}\partial _{l}$
In generale, il rotore di un tensore nxn,è a sua volta un tensore, che ha per colonne, il rotore delle righe. (Per esempio la prima colonna del tensore risultante sarà il rotore della prima riga, la seconda colonna sarà il rotore della seconda riga, e così via)

## Esempi

Molte delle usuali operazioni svolte in algebra lineare possono essere descritte usando dei tensori, scritti in coordinate, e manipolandoli tramite prodotti e contrazioni.

### Funzionali lineari

Un funzionale lineare $T$ è un covettore $T_{a}$, cioè un tensore di tipo $(0,1)$. Un vettore $v$ è descritto da un tensore $v^{b}$ di tipo $(1,0)$. Lo scalare $T(v)$ è quindi
    $T(v)=T_{i}v^{i}$
ottenuto prima facendo il prodotto dei due tensori, e poi contraendo gli indici.

### Endomorfismi

Un endomorfismo $T$ può essere descritto come un tensore $T_{a}^{b}$ di tipo $(1,1)$. Un vettore $v$ come un tensore $v^{c}$ di tipo $(1,0)$. Il vettore $u=T(v)$ è quindi
    $u^{b}=T_{i}^{b}v^{i}.$

### Forme bilineari

Una forma bilineare $T$ può essere descritta come un tensore $T_{ab}$. Dati due vettori $v^{c}$ e $w^{d}$, lo scalare $T(v,w)$ è dato da
    $T(v,w)=T_{ij}v^{i}w^{j}.$