# Punto singolare di una curva

In geometria, un punto singolare di una curva è un punto per il quale la curva non è rappresentata da una funzione liscia. La definizione precisa dipende dal tipo di curva che si considera.

## Curve algebriche nel piano

Una curva algebrica nel piano è definita come il luogo geometrico dei punti $(x,y)$ del piano che soddisfano una equazione nella forma $f(x,y)=0$ dove $f$ è una funzione polinomiale $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$
    $f(x,y)=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\dots$
Se l'origine $(0,0)$ appartiene alla curva allora $a_{0}=0$. Se $b_{1}\neq 0$ allora il teorema delle funzioni implicite assicura che esiste una funzione liscia $h$ tale che la curva ha la forma $y=h(x)$ in un intorno dell'origine. Analogamente, se $b_{0}\neq 0$ allora esiste una funzione liscia $k$ tale che la curva ha la forma $x=k(y)$ in un intorno dell'origine. In entrambi i casi, esiste una mappa regolare da $\mathbb {R}$ al piano sul quale è definita la curva in un intorno dell'origine. Nell'origine si ha che
    $b_{0}={\partial f \over \partial x},\,b_{1}={\partial f \over \partial y},$
per cui la curva è non singolare, o regolare, nell'origine se almeno una delle derivate parziali di $f$ è non nulla. I punti singolari sono quei punti della curva nei quali si annulla il gradiente di $f$:
    $f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.$

### Punti di regolarità

Assumendo che la curva passi per l'origine e ponendo $y=mx$, $f$ può essere scritta come
    $f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\dots .\,$
Se $b_{0}+mb_{1}\neq 0$ allora $f=0$ ha una soluzione di molteplicità $1$ per $x=0$ e l'origine è un punto di contatto di ordine $1$ con la retta $y=mx$.
Se $b_{0}+mb_{1}=0$ allora $f=0$ ha una soluzione di molteplicità maggiore o uguale a $2$ e la retta $y=mx$ ovvero $b_{0}x+b_{1}y=0$ è tangente alla curva. In tale caso, se $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}\neq 0$ allora la curva ha un punto di contatto di ordine $2$ con $y=mx$.
Se il coefficiente di $x^{2}$ è nullo ovvero se $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ ma non è nullo il coefficiente di $x^{3}$ allora l'origine è un punto di flesso della curva. Se entrambi i coefficienti di $x^{2}$ e $x^{3}$ sono nulli allora l'origine è un punto di ondulazione. Tale analisi si generalizza ad ogni punto della curva, traslandola in modo che il punto di interesse vada a cadere nell'origine.

### Punti doppi

Se $b_{0}$ e $b_{1}$ sono entrambi nulli ma almeno uno tra $c_{0}$, $c_{1}$ e $c_{2}$ è non nullo allora l'origine è un punto doppio per la curva. Ponendo $y=mx$ , $f$ può essere scritta come
    $f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\dots .\,$
I punti doppi possono essere classificati secondo le soluzioni di $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$.

#### Nodi

Se $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ ha due soluzioni reali rispetto a $m$, ovvero se $c_{0}c_{2}-(c_{1})^{2}<0$ allora l'origine è un nodo per la curva. In tale caso la curva ha un'autointersezione nell'origine e ha due tangenti distinte corrispondenti alle due soluzioni di $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$. La funzione $f$ ha un punto di sella in corrispondenza.

#### Punti doppi isolati

Se $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ non ha soluzioni reali rispetto a $m$, ovvero se $c_{0}c_{2}-(c_{1})^{2}>0$, allora l'origine è un punto doppio isolato (o nodo isolato). Nel piano reale è quindi un punto isolato, ma se si considera la curva complessa l'origine non è un punto isolato e ha due tangenti immaginarie, corrispondenti alle due soluzioni complesse di $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$. La funzione $f$ ha un estremo locale in corrispondenza.

#### Cuspidi

Se $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ ha una soluzione di molteplicità $2$ rispetto a $m$, ovvero $c_{0}c_{2}-(c_{1})^{2}=0$, allora l'origine è un punto di cuspide. La curva cambia direzione con un angolo netto nell'origine e ha una sola tangente, che può essere considerata come due tangenti coincidenti.

#### Ulteriori classificazioni

Il numero di nodi o cuspidi di una curva è uno dei due invarianti della formula di Plücker.
Se una delle soluzioni di $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ è anche soluzione di $d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3}=0$ allora il ramo corrispondente della curva ha un punto di flesso nell'origine, che in questo caso è un punto di flencnodo. Se entrambe le tangenti hanno questa proprietà, ovvero $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ è un fattore di $d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3}=0$, allora l'origine è un biflecnodo.

### Punti multipli

In generale, se tutti i termini di grado inferiore a $k$ sono nulli, almeno un termine di grado $k$ è non nullo in $f$ e la curva ha un punto multiplo di ordine $k$. La curva avrà, in generale, $k$ tangenti nell'origine, anche se alcune di esse possono essere immaginarie.

## Curve parametriche

Una curva parametrica in $\mathbb {R} ^{2}$ è definita come l'immagine di una funzione $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},\ g(t)=(g_{1}(t),g_{2}(t))$. I punti singolari sono quelli per i quali si annulla il gradiente di $g$, ovvero
    ${dg_{1} \over dt}={dg_{2} \over dt}=0.$
Molte curve possono essere definite in questa maniera, ma le definizioni di singolarità possono non essere sempre concordi. La cuspide è singolare in entrambe le definizioni, un esempio è la curva seguente che ha una cuspide nell'origine, e può essere definita implicitamente come $x^{3}-y^{2}=0$ o in forma parametrica come $g(t)=(t^{2},t^{3})$. Nel caso dei nodi non è sempre questo il caso, ad esempio nella curva $y^{2}-x^{3}-x^{2}=0$, l'origine è un punto singolare se si considera la curva definita implicitamente in forma algebrica, ma considerando la parametrizzazione $g(t)=(t^{2}-1,t^{3}-t)$, si ha che $g'(t)=(2t,3t^{2}-1)$ non si annulla mai, e il nodo non è un punto singolare per la parametrizzazione.
È necessario prestare attenzione nella scelta della parametrizzazione: ad esempio la retta $y=0$ parametrizzata da $g(t)=(t^{3},0)$ ha una singolarità nell'origine, mentre quando è parametrizzata da $g(t)=(t,0)$ non ha singolarità. Per questo motivo, è più opportuno parlare di punto singolare di una parametrizzazione regolare piuttosto che di punto singolare della curva in sé.
La precedente definizione può essere estesa per coprire i punti singolari delle curve implicite, che sono definiti come insieme degli zeri $f^{-1}(0)$ di una funzione liscia, e può essere estesa per curve in più dimensioni.
Un teorema di Hassler Whitney afferma che ogni insieme chiuso in $\mathbb {R} ^{n}$ è l'insieme degli zeri $f^{-1}(0)$ di una opportuna funzione liscia $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$.