# Continuità assoluta

In matematica, il concetto di continuità assoluta si applica a due concetti distinti.

## Continuità assoluta delle funzioni reali

In matematica, una funzione a valori reali di una variabile reale è assolutamente continua se per ogni numero positivo $\varepsilon$ piccolo a piacere esiste un numero positivo $\delta (\varepsilon )$ tale che per ogni successione (finita o infinita) di sotto-intervalli $[x_{k},y_{k}]$ del dominio della funzione tali che
    $(x_{k},y_{k})\cap (x_{z},y_{z})=\varnothing ,\qquad {\text{per }}k\neq z,$
che verificano
    $\sum _{k}(y_{k}-x_{k})<\delta ,$
si ha
    $\sum _{k}\left|f(y_{k})-f(x_{k})\right|<\varepsilon .$
Ogni funzione assolutamente continua risulta a variazione limitata e uniformemente continua e, di conseguenza, continua. Il viceversa non è necessariamente vero: la funzione di Cantor, ad esempio, è continua in tutto il suo dominio, ma non è assolutamente continua. Ogni funzione lipschitziana è assolutamente continua, mentre non è vero il viceversa: ${\sqrt {x}}$ per $x\in [0,1]$ è assolutamente continua, ma non lipschitziana.

### Teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue

Dato per ipotesi che una funzione sia a variazione limitata, l'assoluta continuità è condizione necessaria e sufficiente alla validità del teorema fondamentale del calcolo integrale.
Una funzione $f$ definita sull'intervallo compatto $[a,b]$ a valori in $\mathbb {R}$ è assolutamente continua se possiede una derivata $f'$ definita quasi ovunque e integrabile secondo Lebesgue tale che:
    $f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt,\qquad \forall x\in [a,b].$
In modo equivalente, esiste una funzione $g$ su $[a,b]$ integrabile secondo Lebesgue tale che:
    $f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt,\qquad \forall x\in [a,b].$
Tale definizione di assoluta continuità è detta teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue. Se le precedenti condizioni equivalenti sono verificate si ha:
    $g=f'$
quasi ovunque.

### Generalizzazioni

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico e $I\subset \mathbb {R}$ un intervallo. Una funzione $f\colon I\to X$ è assolutamente continua su $I$ se per ogni numero positivo $\epsilon$ esiste un numero positivo $\delta$ tale che, se una sequenza finita di sotto-intervalli mutuamente disgiunti $[x_{k},y_{k}]$ di $I$ soddisfa:
    $\sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta ,$
allora:
    $\sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\epsilon .$
L'insieme delle funzioni assolutamente continue da $I$ a $X$ è denotato con $AC(I;X)$.
Un'ulteriore generalizzazione è lo spazio $AC^{p}(I;X)$ delle curve $f\colon I\to X$ tali che:
    $d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,\mathrm {d} \tau ,\qquad \forall [s,t]\subseteq I$
per qualche $m$ nello spazio $L^{p}(I)$.

## Continuità assoluta delle misure

Se $\mu$ e $\nu$ sono misure sulla stessa sigma-algebra, la misura $\mu$ si dice assolutamente continua rispetto a $\nu$ se $\mu (A)=0$ per ogni insieme $A$ per il quale $\nu (A)=0$. Questa situazione viene presentata con la scrittura $\mu \ll \nu$.
In modo equivalente, se $\mu$ è una misura finita, per ogni $\varepsilon >0$ esiste $\delta >0$ tale che
    $|\mu (E)|<\varepsilon$
per ogni insieme $E$ della sigma-algebra tale che
    $\nu (E)<\delta .$

### Proprietà

Se esiste un insieme $B$ tale per cui:
    $\mu (E)=\mu (B\cap E)$
per ogni insieme $E$ della sigma-algebra, allora tale misura si dice concentrata su $B$.
Misure concentrate su insiemi rispettivamente disgiunti sono dette mutuamente singolari. In particolare, se $\mu _{1}$ e $\mu _{2}$ sono mutuamente singolari si scrive $\mu _{1}\perp \mu _{2}$.
Un teorema di particolare importanza nell'ambito della continuità assoluta delle misure afferma che se $\mu$ e $\nu$ sono due misure limitate, allora esiste un'unica coppia di misure positive $\mu _{1}\perp \mu _{2}$ tali che:
    $\mu =\mu _{1}+\mu _{2},\qquad \mu _{1}\ll \nu ,\qquad \mu _{2}\perp \nu .$
La decomposizione:
    $\mu =\mu _{1}+\mu _{2}$
è detta decomposizione di Lebesgue di $\mu$ relativamente a $\nu$, ed è unica.
Il teorema di Radon-Nikodym afferma inoltre che esiste un'unica funzione $h\in L^{1}(\nu )$ tale che:
    $\mu _{1}(E)=\int _{E}hd\nu$
per ogni insieme $E$ della sigma-algebra. Il teorema stabilisce, in particolare, che esiste una funzione misurabile $f$ a valori in $[0,+\infty ]$, denotata con:
    $f={\frac {d\mu }{d\nu }}$
tale che per ogni insieme misurabile $A$ si ha:
    $\mu (A)=\int _{A}f\,d\nu$
La funzione $f$ si dice derivata di Radon-Nikodym di $\mu$ rispetto $\nu$.

## Collegamento fra continuità assoluta delle funzioni reali e delle misure

Una misura $\mu$ sui sottoinsiemi di Borel della retta reale è assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue se e solo se la funzione:
    $F(x)=\mu ((-\infty ,x])$
è una funzione reale assolutamente continua.