# Operatore di evoluzione temporale

L'operatore di evoluzione temporale in meccanica quantistica è un operatore che agisce su uno stato del sistema e opera l'evoluzione di questo stato negli istanti successivi. Dobbiamo chiarire che in meccanica quantistica (non relativistica) non esiste un operatore tempo, cioè il tempo non è una osservabile ma un parametro.

## Definizione

Consideriamo una particella quantistica o un sistema fisico descritto all'istante $t_{0}$ da un vettore di stato $|{\vec {\alpha }},t_{0}\rangle$ e consideriamo il vettore di stato al tempo $t$ identificato con $|\alpha ,t\rangle$. L'evoluzione è operata dall'operatore di evoluzione temporale:
    (1)$|\alpha ,t\rangle =U(t,t_{0})|\alpha ,t_{0}\rangle$
perché $|\alpha ,t\rangle$ deve potersi determinare da $|\alpha ,t_{0}\rangle$.
Vediamo le proprietà di questo operatore. Per la conservazione della probabilità, lo stato al tempo $|\alpha ,t\rangle$ deve essere normalizzato a $1$, quindi:
    $\langle \alpha ,t|\alpha ,t\rangle =\langle \alpha ,t_{0}|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\alpha ,t_{0}\rangle =\langle \alpha ,t_{0}|\alpha ,t_{0}\rangle =1$
e questo implica che
    (2)$U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=\mathbf {1}$
cioè l'operatore di evoluzione temporale deve essere unitario. Inoltre per $t\to t_{0}$ il nostro operatore deve eseguire una trasformazione identitaria, cioè deve ridursi all'operatore identità, cioè:
    $\lim _{t\to t_{0}}U(t,t_{0})=\mathbf {1}$
Infine l'applicazione successiva dell'operatore due volte, cioè eseguire due evoluzioni temporali consecutive, deve portare ad una evoluzione somma:
    $U(t_{2},t_{1})U(t_{1},t_{0})=U(t_{2},t_{0})\$
Queste proprietà portano alla definizione dell'operatore di evoluzione temporale infinitesimale:
    (3)$U(t_{0}+dt,t_{0})=\mathbf {1} -i\Omega \cdot dt$
dove $\mathbf {1}$ è l'operatore identità e $\Omega$ è il generatore dell'evoluzione temporale e deve essere un operatore hermitiano, infatti:
    $U^{\dagger }U=\left(\mathbf {1} +i\Omega ^{\dagger }\cdot dt\right)\left(\mathbf {1} -i\Omega \cdot dt\right)=\mathbf {1} +i(\Omega ^{\dagger }-\Omega )dt+O((dt)^{2})\simeq \mathbf {1}$
ossia:
    $\Omega =\Omega ^{\dagger }$
e questo prova anche che l'operatore $U(t,t_{0})$ è un operatore unitario.
Per vedere quale sia il generatore dell'evoluzione temporale infinitesimo possiamo utilizzare l'analogia con la meccanica classica: eseguiamo cioè una trasformazione canonica temporale infinitesima delle coordinate generalizzate e degli impulsi:
    $Q_{i}=q_{i}+{\dot {q}}_{i}dt\,,\,\,\,\,\,P_{i}=p_{i}+{\dot {p}}_{i}dt$
La funzione che genera tale trasformazione canonica è:
    (4)$\Phi =\sum _{i}q_{i}\cdot P_{i}+Hdt$
dove $\sum _{i}q_{i}\cdot P_{i}$ genera una trasformazione identica. Dal confronto della (3) con la (4) possiamo supporre che $\Omega$ coincida a meno di un fattore costante con l'hamiltoniana del sistema. Il fattore costante in questione è la costante di Planck razionalizzata poiché essa permette all'operatore temporale di essere adimensionale, quindi in definitiva la (3) dice che l'operatore di evoluzione temporale infinitesima è:
    (5)$U(t_{0}+dt,t_{0})=\mathbf {1} -{\frac {iHdt}{\hbar }}$
Se ci si limita a considerare forze indipendenti dal tempo, l'operatore $U$ dipende unicamente dall'intervallo $t-t_{0}$ e non dall'istante iniziale $t_{0}$, che si può porre uguale a $0$. In questo caso, vedremo che l'operatore di evoluzione temporale si può scrivere in forma compatta come:
    (6)$U(t)\equiv U(t,0)=e^{-iHt/\hbar }.$
Questo risultato si può dimostrare rigorosamente in virtù del teorema di Stone.

## Equazione di Schrödinger dipendente dal tempo

L'operatore di evoluzione temporale infinitesimo è alla base dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo, infatti se:
    $U(t+dt,t_{0})-U(t,t_{0})=U(t+dt,t)U(t,t_{0})-U(t,t_{0})=\left(\mathbf {1} -{\frac {iHdt}{\hbar }}\right)U(t,t_{0})-U(t,t_{0})=-{\frac {i}{\hbar }}HdtU(t,t_{0})$
dividendo per $dt$ e nel limite $dt\to 0$:
    $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}U(t,t_{0})=HU(t,t_{0})$
Applicato ad un generico vettore di stato $|\alpha ,t_{0}\rangle$:
    $i\hbar \left({\frac {\partial }{\partial t}}U(t,t_{0})\right)|\alpha ,t_{0}\rangle =HU(t,t_{0})|\alpha ,t_{0}\rangle \,\,\rightarrow \,\,i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\alpha ,t\rangle =H|\alpha ,t\rangle$
dove H può dipendere esplicitamente dal tempo.

## Stati stazionari

L'hamiltoniano di un sistema isolato o di un sistema che si trova in un campo esterno uniforme non contiene esplicitamente il tempo. È lecito quindi porre $t_{0}=0$ e scrivere $U(t)=U(t,0)$ senza perdere in generalità. Dall'equazione di Schrödinger si ricava
    $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$
e per i vettori di stato:
    $|\alpha ,t\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\alpha ,0\rangle$.
Si definiscono stati stazionari quelli che non evolvono nel tempo, vale a dire $|\alpha ,t\rangle$ e $|\alpha ,0\rangle$ rappresentano lo stesso stato. Questo è vero se sono proporzionali, cioè
    $|\alpha ,t\rangle =c(t)|\alpha ,0\rangle$.
Si dimostra che
uno stato è stazionario se e solo se è autostato di $H$.
Ad esempio, se $H|\alpha ,0\rangle =E|\alpha ,0\rangle$ si ha che:
    $U(t)|\alpha ,0\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\alpha ,0\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\alpha ,0\rangle$.
Si vede così che la costante di proporzionalità $c(t)$ è $e^{-iEt/\hbar }$.
Se lo stato di partenza non è un autostato di $H$, ma questa ha un insieme completo di autovettori $|n\rangle$, è possibile effettuare uno sviluppo in serie:
    $|\alpha ,0\rangle =\sum _{n}|n\rangle \langle n|\alpha ,0\rangle =\sum _{n}c_{n}(0)|n\rangle$
al tempo $t$ l'evoluzione del vettore di stato è:
    $|\alpha ,t\rangle =U(t,0)|\alpha ,0\rangle =\sum _{n}c_{n}(0)e^{-iHt/\hbar }|n\rangle =\sum _{n}c_{n}(0)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle$
cioè il coefficiente generico dello sviluppo varia nel tempo come:
    $c_{n}(0)\,\,\,\Rightarrow \,\,\,c_{n}(t)=e^{-iE_{n}t/\hbar }c_{n}(0)$
I moduli quadri $|c_{n}(t)|^{2}$ dei coefficienti dello sviluppo del vettore di stato al tempo $t$, sono come sempre le probabilità di transizione dei diversi valori di energia del sistema, e la precedente mostra che tali probabilità restano costanti nel tempo.
Se $H$ ha autovalori continui lo sviluppo in serie non è possibile e si avrà:
    $|\alpha ,t\rangle =\int c(E)e^{-iEt/\hbar }|E\rangle dE$.
Nel caso in cui $H$ abbia solo autovalori continui (ad esempio nel caso di particella libera), non esistono autostati propri e quindi nemmeno stati stazionari.

## Osservabili e costanti del moto

A partire dall'operatore U è possibile determinare come varia nel tempo il valor medio di qualunque osservabile $A$:
    $\langle A\rangle _{t}=\langle \alpha ,t|A|\alpha ,t\rangle$
ed è chiaro che il valor medio di $A$ è costante nel tempo su ogni stato stazionario. In particolare, per la posizione $\langle x\rangle =cost.$ e per l'impulso si ha:
    $\langle p\rangle =m{\frac {d}{dx}}\langle x\rangle =0$.
Possono esistere osservabili il cui valor medio si mantiene costante su qualsiasi stato: queste si dicono costanti del moto. Si dimostra che
tutte e sole le costanti del moto sono le osservabili che commutano con $H$, ovvero $[A,H]=0$.
Analogo risultato vale in meccanica classica: le costanti del moto sono le funzioni che annullano la parentesi di Poisson con $H$.

## Evoluzione temporale in rappresentazione di Heisenberg

Per determinare il valor medio di $A$ abbiamo scritto $\langle A\rangle _{t}=\langle \alpha ,t|A|\alpha ,t\rangle$ e introducendo l'operatore $U$ si ha:
    $\langle A\rangle _{t}=\langle \alpha ,0|U(t)^{\dagger }AU(t)|\alpha ,0\rangle$
e posto $A(t)\equiv U(t)^{\dagger }AU(t)$, si ha:
    $\langle A\rangle _{t}=\langle \alpha ,0|A(t)|\alpha ,0\rangle$.
Questa scrittura significa che si stanno tenendo fissi i vettori che descrivono lo stato del sistema, mentre sono le osservabili a dipendere dal tempo. Questo schema è formalmente identico alla meccanica classica: se $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$, si trova l'equazione di Heisenberg
    ${\dot {A}}(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]$
che corrisponde alle equazioni del moto classiche in forma di parentesi di Poisson.
Per una hamiltoniana nella forma $H={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q)$ si trovano due equazioni per $q$ e $p$ formalmente uguali alle equazioni di Hamilton:
    ${\dot {q}}(t)={\frac {p(t)}{m}}$
    ${\dot {p}}(t)=-{\frac {\partial }{\partial q}}V[q(t)]$