# Operatore momento angolare totale

In meccanica quantistica, l'operatore momento angolare totale è responsabile delle rotazioni nello spazio. Esso ha un significato più esteso rispetto al momento angolare orbitale ${\hat {\mathbf {L} }}={\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}$ perché si generalizza anche al momento angolare di spin e soprattutto è usato nella composizione di operatori momento angolare, essendo valido come somma di più momenti angolari e di diversi tipi.
È anche possibile dimostrare che il momento angolare totale ${\hat {\mathbf {J} }}$ è il generatore delle rotazioni nello spazio.
Formalmente il momento angolare totale ha le stesse regole del momento angolare orbitale e dello spin, per cui con ${\hat {\mathbf {J} }}$ si può indicare sia ${\hat {\mathbf {L} }}$, sia ${\hat {\mathbf {S} }}$ e anche una composizione di momenti ${\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}+{\hat {\mathbf {S} }}$ oppure ${\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}_{1}+{\hat {\mathbf {L} }}_{2}$ o ancora ${\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {S} }}_{1}+{\hat {\mathbf {S} }}_{2}$.

## Le proprietà dell'operatore momento angolare totale

L'operatore momento angolare totale, analogamente al momento angolare orbitale, genera le rotazioni lungo un asse: la funzione d'onda $\psi (x)$ ruotata di un angolo $\phi$ attorno all'asse $z$, diventa:
    $\psi '(x)={\hat {R}}_{z}(\phi )\psi (x)=e^{i\phi J_{z}}\psi (x)$.
Per una rotazione infinitesima si ha:
    $\psi '(x)=\psi (x)+id\phi J_{z}\psi (x)\$.

### Proprietà di commutazione

Le proprietà di commutazione per l'operatore momento angolare totale sono:
    $[{\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y}]=i\hbar {\hat {J}}_{z}$
    $[{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}]=i\hbar {\hat {J}}_{x}$
    $[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}]=i\hbar {\hat {J}}_{y}$,
dove ${\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}$ sono le proiezioni del momento angolare totale lungo gli assi cartesiani; in forma compatta è possibile scrivere:
    $[{\hat {J}}_{i},{\hat {J}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {J}}_{k}$,
dove $\varepsilon _{ijk}$ è il tensore di Levi-Civita.
Partendo dal momento angolare totale, è possibile costruire l'operatore ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{x}^{2}+{\hat {J}}_{y}^{2}+{\hat {J}}_{z}^{2}$.
Tale operatore commuta con le componenti del momento angolare totale; infatti:
    $[{\hat {J}}_{z},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}]=0$
    $[{\hat {J}}_{x},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}]=0$
    $[{\hat {J}}_{y},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}]=0$.
È rilevante il comportamento delle componenti del momento angolare totale con gli operatori di posizione e impulso; per quanto riguarda l'operatore di posizione è possibile determinare le seguenti relazioni:
    $[{\hat {J}}_{x},{\hat {x}}]=0$
    $[{\hat {J}}_{x},{\hat {y}}]=i\hbar {\hat {z}}$
    $[{\hat {J}}_{x},{\hat {z}}]=-i\hbar {\hat {y}}$.
Allo stesso modo si possono ottenere le analoghe relazioni con ${\hat {J}}_{y}$ ed ${\hat {J}}_{z}$; in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse. In forma compatta si ha:
    $[{\hat {J}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {x}}_{k}$,
dove ${\hat {x}}_{j}=({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})$ e $\varepsilon _{ijk}$ è il tensore di Levi-Civita, che è uguale a $+1$ per permutazioni pari degli indici, $-1$ per permutazioni dispari e $0$ se $i=j$.
Per quanto riguarda le commutazioni con gli impulsi vale esattamente lo stesso discorso:
    $[{\hat {J}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}$.

## Spettro dell'operatore momento angolare totale

Si è visto che le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutte singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. È possibile scegliere una sola componente (per esempio ${\hat {J}}_{z}$) che commuta con ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$; in questo modo lo stato, che è autostato di entrambi gli operatori, può essere chiamato $|j,j_{z}\rangle$. Si possono trovare quali sono gli autovalori $a,b$ (a volte più propriamente indicati con $j$, $j_{z}$, oppure con $j$, $m_{j}$) simultanei di questi operatori:
    ${\begin{cases}{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =\hbar ^{2}a|j,m_{j}\rangle \\{\hat {J}}_{z}|j,m_{j}\rangle =\hbar b|j,m_{j}\rangle \end{cases}}$
Per fare questo è necessario introdurre due operatori, detti operatori di scala:
    ${\hat {J}}_{\pm }={\hat {J}}_{x}\pm i{\hat {J}}_{y}$,
che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le seguenti proprietà:
    $[{\hat {J}}_{+},{\hat {J}}_{-}]=2\hbar {\hat {J}}_{z}$
    $[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{\pm }]=\pm \hbar {\hat {J}}_{\pm }$
    $[{\hat {\mathbf {J} }}^{2},{\hat {J}}_{\pm }]=0$.
L'operatore ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ può essere espresso in termini di ${\hat {J}}_{z}$ e operatori di scala ${\hat {J}}_{\pm }$ nel seguente modo:
    ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{-}{\hat {J}}_{+}+{\hat {J}}_{z}^{2}+{\hat {J}}_{z}\hbar$.
Se si fa agire ${\hat {J}}_{z}$ sullo stato ${\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle$ si ottiene:
    ${\hat {J}}_{z}\left({\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle \right)=\hbar (b\pm 1)\left({\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle \right)$.
Applicando ${\hat {J}}_{+}$ l'autovalore di ${\hat {J}}_{z}$ (cioè $b$) aumenta di $\hbar$; viceversa applicando ${\hat {J}}_{-}$, l'autovalore viene diminuito di $\hbar$, da cui il nome di operatori di scala. Invece applicando ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ si ha:
    ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}\left({\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle \right)=\hbar ^{2}a{\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle$,
cioè l'applicazione degli operatori ${\hat {J}}_{\pm }$ cambia l'autovalore di ${\hat {J}}_{z}$, ma non di ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$.
La relazione che lega ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ e ${\hat {J}}_{z}$ è:
    $\langle j,m_{j}|\left({\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}^{2}\right)|j,m_{j}\rangle =\left\langle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}^{2}\right\rangle \geq 0$.
Ciò implica che gli autovalori della proiezione del momento angolare totale $b$ non possono superare quelli di ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$, cioè $a$:
    $-{\sqrt {a}}\leq b\leq {\sqrt {a}}$.
Quindi l'autovalore di ${\hat {J}}_{z}$ è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$. Posti $b_{min}$ il valore minimo e $b_{max}$ il valore massimo che può assumere ${\hat {J}}_{z}$, e applicando successivamente gli operatori di scala ${\hat {J}}_{+},{\hat {J}}_{-}$, deve essere che:
    ${\hat {J}}_{+}|a,b_{max}\rangle =0\;\;$ e $\;\;{\hat {J}}_{-}|a,b_{min}\rangle =0$.
Se si applica ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ a $|a,b_{max}\rangle$ si ottiene che:
    ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}|a,b_{max}\rangle =(b_{max}^{2}\hbar ^{2}+b_{max}\hbar ^{2})|a,b_{max}\rangle$,
da cui:
    $\hbar ^{2}a=(b_{max}^{2}+b_{max})\hbar ^{2}=\hbar ^{2}b_{max}(b_{max}+1)$.
Quindi l'autovalore di ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ è $a=b_{max}(b_{max}+1)$volte $\hbar ^{2}$. A causa della limitatezza di $b$ e data la simmetria di cui ${\hat {J_{z}}}$deve godere rispetto al piano $xy$, si ha che $b$ deve essere necessariamente o intero o semintero. Vi sono pertanto $(2b_{max}+1)$valori di $b$, cioè $b=\{-b_{max},-b_{max}+1,\dots ,b_{max}-1,b_{max}\}$.
Per gli autovalori di ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ si ottiene:
    ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)|j,m_{j}\rangle$,
e per gli autovalori di ${\hat {J}}_{z}$:
    ${\hat {J}}_{z}|j,m_{j}\rangle =m_{j}\hbar |j,m_{j}\rangle$,
dove $j$ è il numero quantico del momento angolare totale, che può essere intero o semintero, ed $m_{j}=\{-j,-j+1,\dots ,j-1,j\}$ è il numero quantico della proiezione del momento angolare totale.

## Elementi di matrice

Per analizzare la struttura delle matrici dei momenti angolari, si assuma che tali momenti siano calcolati sugli autostati $|j,j_{m}\rangle$ già normalizzati; di conseguenza in questa base di autostati sia ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ sia ${\hat {J}}_{z}$ sono diagonali:
    $\langle j',m'_{j}|{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =j(j+1)\hbar ^{2}\delta _{j'j}\delta _{m'_{j}m_{j}}$
    $\langle j',m'_{j}|{\hat {J}}_{z}|j,m_{j}\rangle =m_{j}\hbar \delta _{j'j}\delta _{m'_{j}m_{j}}$.
Gli elementi di matrice degli operatori a scala sono dati da:
    ${\hat {J}}_{+}|j,m_{j}\rangle =c_{+}|j,m_{j}+1\rangle$,
dove $c_{+}$ è un coefficiente. Utilizzando l'uguaglianza:
    ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{-}{\hat {J}}_{+}+{\hat {J}}_{z}^{2}+{\hat {J}}_{z}$,
e ricavando l'espressione di ${\hat {J}}_{+}$ e di ${\hat {J}}_{-}$, per ${\hat {J}}_{+}$ si ha che:
    $|c_{+}|^{2}=\hbar ^{2}[j(j+1)-m_{j}^{2}-m_{j}]$.
In definitiva:
    ${\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle =\hbar {\sqrt {(j\mp m_{j})(j\pm m_{j}+1)}}|j,m_{j}\pm 1\rangle$,
e gli elementi di matrice sono:
    $\langle j',m'_{j}|{\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle ={\sqrt {(j\mp m_{j})(j\pm m_{j}+1)}}\hbar \delta _{j'j}\delta _{m'_{j}m_{j}\pm 1}$.
Per esempio per $j=1$ si ottiene:
    ${\hat {J}}_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
    ${\hat {J}}_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$
    ${\hat {J}}_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$.
Per $j={\frac {1}{2}}$ le matrici prendono la forma delle matrici di Pauli a due componenti:
    ${\hat {J}}_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$
    ${\hat {J}}_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$
    ${\hat {J}}_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$.
Per $j={\frac {3}{2}}$ le matrici prendono la forma:
    ${\hat {J}}_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}$
    ${\hat {J}}_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}$
    ${\hat {J}}_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}$.