# Misura a valori di proiettore

In matematica, in particolare in analisi funzionale, una misura a valori di proiettore è una funzione definita su un certo sottoinsieme di un insieme fissato i cui valori restituiti sono proiettori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert.
Le misure a valori di proiettore sono usate per esprimere i risultati della teoria spettrale, come il teorema spettrale per operatori autoaggiunti.

## Definizione

Sia $\Omega$ un sottoinsieme chiuso di $\mathbb {R}$. Si definisce misura a valori di proiettore un insieme di proiezioni ortogonali $\{P_{\Omega }\}$ che soddisfa le proprietà:
* $P_{\emptyset }=0$ e $P_{(-a,a)}=I$ per qualche $a$.
* Sia $\Omega$ una famiglia di insiemi tale che:
    $\Omega =\bigcup _{i=1}^{\infty }\Omega _{i}\qquad \Omega _{i}\cap \Omega _{j}=\emptyset \quad i\neq j$
    allora si ha:
    $P_{\Omega }=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}P_{\Omega _{i}}$
    dove il limite è in senso forte.
Si tratta di una misura limitata, e dalla definizione segue l'ulteriore proprietà:
    $P_{\Omega _{1}}P_{\Omega _{2}}=P_{\Omega _{1}\cap \Omega _{2}}\$
Se si considera uno spazio topologico $X$ sul quale è definita una sigma-algebra di Borel $M$, una misura a valori di proiettore è una funzione $P_{\Omega }$ definita su $M$ ed a valori nello spazio dei proiettori ortogonali definiti su uno spazio di Hilbert di dimensione finita $H$. In tal caso gli insiemi $\{\Omega _{i}\}$ utilizzati nella definizione sono gli elementi della sigma-algebra di Borel $M$, e si ha $P_{X}=I$.
Ad esempio, si consideri lo spazio di Hilbert $H=L^{2}(X,\mu )$, dove $\mu$ è una misura di Borel. Si può definire una misura a valori di proiettore nel seguente modo:
    $(P_{E}\psi )(x)=\chi _{E}(x)\psi (x)\qquad \forall \psi \in L^{2}(X,\mu )\quad \forall E\in M$
per quasi ogni $x$.

## Integrazione rispetto ad una misura a valori di proiettore

Sia data una famiglia di insiemi misurabili mutuamente disgiunti $E_{i}$ ed una funzione semplice:
    $s=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\chi _{E_{i}}\quad a_{i}\in \mathbb {C}$
dove $\chi _{E_{i}}$ è la funzione indicatrice relativa all'insieme $E_{i}$ per ogni i ed i numeri $a_{i}$ sono disgiunti.
Si può definire l'integrale di $s$ rispetto ad una misura a valori di proiettore $P$ nel seguente modo:
    $\int _{X}sdP:=\sum _{i=1}^{n}a_{i}P(E_{i})$
Si dimostra che l'estensione di tale operatore integrale dallo spazio delle funzioni semplici allo spazio di Banach delle funzioni $f:X\to \mathbb {C}$ limitate e misurabili rispetto alla sigma algebra di Borel $M$ è unica. Si definisce in questo modo l'operatore integrale positivo:
    $\int _{E}f(x)dP(x):=\int _{X}\chi _{E}f(x)dP(x)\quad E\in M$
rispetto alla misura a valori di proiettore $P$:
    $P_{E}=\int _{X}\chi _{E}dP(x)\$
Detto inoltre ${\mbox{supp}}(P)$ il supporto di $P$, si dimostra che:
    $\int _{X}f(x)dP(x)=\int _{{\mbox{supp}}(P)}f(x)dP(x)\$

## Misura associata ad un operatore

Sia $X$ uno spazio topologico sul quale è definita una sigma-algebra di Borel $M$, sia $H$ uno spazio di Hilbert e $P$ una misura a valori di proiettore. Per ogni $\phi ,\psi \in H$ il prodotto interno:
    $\mu _{\phi ,\psi }(E):=(\phi ,P_{E}\psi )=\left(\phi ,\int _{X}\chi _{E}dP(x)\psi \right)\quad E\in M$
rappresenta una misura di Borel complessa. In particolare, la misura $\mu _{\phi }:=\mu _{\phi ,\phi }$ viene detta misura spettrale associata a $\phi$.
Attraverso una misura del tipo di $\mu _{\phi }$ si può definire l'operatore di integrazione rispetto ad una misura a valori di proiettore anche nel caso in cui $f$ non sia limitata, a patto di utilizzare l'insieme:
    $\Delta _{f}:=\{\phi \in H:\int _{X}|f(x)|^{2}d\mu _{\phi }(x)<+\infty \}$
come dominio dell'applicazione:
    $\int _{X}f(x)dP(x):\phi \to \int _{X}f(x)dP(x)\phi =\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}(x)dP(x)\phi$
che definisce in questo modo un operatore lineare chiuso e limitato, che è l'integrale di $f$ rispetto a $P$. L'insieme $\Delta _{f}$ è un sottospazio denso in $H$, ed il secondo membro è caratterizzato dal fatto che la funzione $f$ può essere vista come il limite di una successione $f_{n}$ di funzioni misurabili e limitate convergente nella norma di $L^{2}(X,\mu _{\phi })$.
Sia $f$ una funzione definita sul supporto di $P$ tale che sia inoltre limitata e misurabile rispetto alla sigma-algebra di Borel. Per il teorema di rappresentazione di Riesz esiste un unico operatore:
    $B:=\int f(\lambda )dP_{\lambda }\$
che soddisfa la relazione:
    $(\phi ,B\phi )=\int f(\lambda )d\mu _{\phi }=\int f(\lambda )d(\phi ,P_{\lambda }\phi )\quad \forall \phi \in H$
dove $d\mu _{\phi }=d(\phi ,P_{\lambda }\phi )$ denota l'integrazione rispetto alla misura $\mu _{\phi }=(\phi ,P\phi )$.

### Decomposizione spettrale di operatori normali e autoaggiunti

Sia $A$ un operatore normale limitato definito su uno spazio di Hilbert $H$. Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore $P^{A}$ tale per cui:
    $A=\int _{\sigma (A)}zdP^{A}(x,y)\qquad z:=(x,y)\to x+iy\in \mathbb {C} \quad (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$
dove $\sigma (A)={\mbox{supp}}(P^{A})$ è lo spettro di $A$. Si dice che $P^{A}$ è la misura a valori di proiettore associata ad $A$.
In particolare, se $A$ è un operatore autoaggiunto si può definire una misura a valori di proiettore limitata:
    $P^{A}(\Omega )=\chi _{\Omega }(A)\$
definita sullo spettro $\sigma (A)$ di $A$. Tale misura può essere univocamente associata ad $A$ nel seguente modo:
    $(\phi ,f(A)\psi ):=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )d(\phi ,P^{A}(\lambda )\psi )\quad \forall \phi ,\psi \in H$
per ogni funzione misurabile limitata $f$, e in tal caso si ha:
    $A=\int _{\sigma (A)}\lambda dP^{A}\qquad f(A)=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )dP^{A}$
La formula a sinistra è detta diagonalizzazione di $A$.
Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale) $A$ a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare $A$ tramite una misura a valori di proiettore limitata $P^{A}$ allora $P^{A}$ è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad $A$. Ogni operatore limitato autoaggiunto $A$ può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata $P^{A}$.

#### Operatori autoaggiunti non limitati

Si consideri un operatore autoaggiunto $A$ non limitato. Attraverso la trasformata di Cayley $U(A)$ associata ad $A$:
    $U(A)=(A-\mathbf {i} I)(A+\mathbf {i} I)^{-1}\qquad A=\mathbf {i} (I+U(A))(I-U(A))^{-1}$
è possibile definire, a partire da $A$, una misura a valori di proiettore $P^{U(A)}$ nel modo seguente:
    $P^{A}(\Omega ):=P^{U(A)}(U(\Omega ))\qquad \Omega \subset \sigma (A)$
L'insieme $\Omega$ è un borelliano contenuto nello spettro (reale) $\sigma (A)$ di $A$, e $U(\Omega )$ è il risultato ottenuto applicando la trasformata di Cayley su $\mathbb {C}$.
Si dimostra che se la funzione identità, definita su $\sigma (A)$, è di classe $L^{2}$ rispetto alla misura $(x,P^{A}(\Omega )x)$, allora $P^{U(A)}$ definisce una misura a valori di proiettore su $\sigma (A)$.
In particolare, è possibile scrivere:
    $A=\int _{\sigma (A)}\lambda dP^{A}(\lambda )$
Anche nel caso di $A$ non limitato la corrispondenza tra $A$ ed una misura a valori di proiettore è biunivoca.

## Proiezioni e spettro di un operatore

Le proiezioni spettrali sono uno strumento che permette di caratterizzare le proprietà dello spettro $\sigma (A)$ di un operatore autoaggiunto $A$. In primo luogo si dimostra che un numero $\lambda$ appartiene a $\sigma (A)$ se e solo se per ogni $\varepsilon >0$ è soddisfatta la seguente condizione:
    $P_{(\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon )}(A)\neq 0$
Un tale approccio permette inoltre di suddividere lo spettro in due sottoinsiemi:
* Lo spettro essenziale di $A$ è l'insieme $\sigma _{ess}(A)$ dei numeri $\lambda$ tali per cui per ogni $\varepsilon >0$ il rango di $P_{(\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon )}(A)$ ha dimensione infinita. Si dimostra che tale insieme è chiuso. In modo equivalente, $\lambda$ appartiene a $\sigma _{ess}(A)$ se e solo se è un autovalore che ha molteplicità infinita.
* Si definisce spettro discreto di $A$ l'insieme $\sigma _{disc}(A)$ dei numeri $\lambda$ tali per cui per ogni $\varepsilon >0$ il rango di $P_{(\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon )}(A)$ ha dimensione finita. In modo equivalente, $\lambda$ appartiene a $\sigma _{disc}(A)$ se e solo se è un punto isolato di $\sigma (A)$ ed è un autovalore che ha molteplicità finita.

## Estensioni delle misure a valori di proiettore

Se $\pi$ è una misura a valori di proiettore su $(X,M)$, allora la mappa:
    $\mathbf {1} _{A}\mapsto \pi (A)$
estende a mappa lineare su uno spazio vettoriale di funzioni gradino su $X$.