# Frattali per dimensione di Hausdorff

In matematica, un frattale è un oggetto geometrico in cui la dimensione di Hausdorff (δ) è strettamente superiore alla dimensione topologica. Qui di seguito è presentata una lista di frattali per dimensione di Hausdorff crescente, con lo scopo di visualizzare che cosa significhi per un frattale possedere una dimensione bassa o alta.

## Frattali deterministici

| δ (valore esatto) | δ (valore approssimato) | Nome | Commenti |
| ${\frac {\ln(2)}{\ln(\delta _{F})}}$ | $0,4498$ | Biforcazioni dell'equazione logistica | Nel diagramma di biforcazione, all'avvicinarsi di ciascuna regione caotica, appare una successione di raddoppiamenti di periodo, in una progressione geometrica tendente a 1/δ. (δ$_F$=costante di Feigenbaum=4.6692). |
| ${\frac {\ln(2)}{\ln(3)}}$ | $0,6309$ | Insieme di Cantor | Costruito eliminando la terza parte centrale ad ogni iterazione. Insieme mai denso, né numerabile. |
| ${\frac {\ln(6)}{\ln(8)}}$ | $0,8617$ | Insieme di Smith-Volterra-Cantor | Costruito eliminando la quarta parte centrale ad ogni iterazione. Insieme mai denso, ma avente misura di Lebesgue ½. |
| ${\frac {\ln(8)}{\ln(7)}}$ | $1,0686$ | Isola di Gosper | |
| | $1,26$ | Attrattore di Hénon | L'attrattore di Hénon canonico (con parametri $a=1,4$ and $b=0,3$) possiede dimensione di Haussdorf δ = 1,261 ± 0,003. Parametri differenti conducono a differenti valori di δ. |
| ${\frac {\ln(4)}{\ln(3)}}$ | $1,2619$ | Curva di Koch | 3 di queste curve formano il fiocco o l'antifiocco di Koch. |
| ${\frac {\ln(4)}{\ln(3)}}$ | $1,2619$ | Bordo della Curva Terdragon, Fudgeflake | L-System: simile alla curva del drago con un angolo di 30°. La Fudgeflake è costruita giustapponendo i 3 segmenti iniziali a formare un triangolo. |
| ${\frac {\ln(4)}{\ln(3)}}$ | $1,2619$ | Polvere di Cantor in 2D | Insieme di Cantor in due dimensioni . |
| | $1,3057$ | Setaccio di Apollonio | |
| ${\frac {\ln(5)}{\ln(3)}}$ | $1,4649$ | Scatola frattale | Costruito sostituendo iterativamente ciascun quadrato con una croce di 5 quadrati. |
| ${\frac {\ln(5)}{\ln(3)}}$ | $1,4649$ | Curva di Koch quadratica (tipo 1) | In esso ritroviamo il motivo della scatola frattale (vedi sopra), costruito diversamente. |
| ${\frac {\ln(8)}{\ln(4)}}$ | $1,5$ | Curva di Koch quadratica (tipo 2) | Chiamata anche "Salsiccia di Minkowski". |
| | $1,5236$ | Bordo della Curva del Drago | Cf. Chang & Zhang |
| ${\frac {\ln(3)}{\ln(2)}}$ | $1,5850$ | Albero a 3 rami | Ogni ramo si divide in altri 3 rami. (qui i casi a 90° e 60°). La dimensione frattale dell'intero albero è quella dei rami terminali. NB: l'albero a 2 rami possiede dimensione frattale 1. |
| ${\frac {\ln(3)}{\ln(2)}}$ | $1,5850$ | Triangolo di Sierpiński | Esso è anche il triangolo di Pascal modulo 2. |
| ${\frac {\ln(3)}{\ln(2)}}$ | $1,5850$ | Curva di Sierpinski a punta di freccia | Stesso limite del triangolo di Sierpinski (vedi sopra), ma ottenuto per iterazione di costruito con una curva unidimensionale. |
| $1+\log _{3}(2)$ | $1,6309$ | Triangolo di Tartaglia modulo 3 | In generale, per un triangolo modulo k, se k è primo, la dimensione frattale è $\scriptstyle {1+log_{k}({\frac {k+1}{2}})}$(Cf.Stephen Wolfram) |
| $1+\log _{5}(3)$ | $1,6826$ | Triangolo di Tartaglia modulo 5 | Come sopra. |
| ${\frac {\ln(7)}{\ln(3)}}$ | $1,7712$ | Fiocco esagonale | Costruito sostituendo iterativamente ogni esagono con un fiocco di 7 esagoni. Il suo bordo è il fiocco di Koch. Contiene infiniti fiocchi di Koch (bianchi e neri). |
| ${\frac {\ln(7)}{\ln(3)}}$ | $1,7712$ | Frattale H-I di Rivera | Partendo da un quadrato unitario dividendo le sue dimensioni in tre parti uguali per formare nove quadrati autosimili con il primo quadrato, due quadrati centrali (quello che si trova sopra e quello sotto il quadrato centrale) vengono rimossi in ciascuno dei sette i quadrati non eliminati il processo viene ripetuto, quindi continua indefinitamente. |
| ${\frac {\ln(4)}{\ln(2(1+\cos(85^{\circ }))}}$ | $1,7848$ | Curva di Koch a 85°, Frattale di Cesàro | Generalizzazione della curva di Koch con un angolo a scelta tra 0 e 90°. La dimensione frattale è allora $\scriptstyle {\frac {ln(4)}{ln(2(1+cos(a))}}$. Il Frattale di Cesàro è basato su questo motivo. |
| ${\frac {\ln(6)}{\ln(1+\phi )}}$ | $1,8617$ | Fiocco pentagonale | Costruito sostituendo iterativamente ogni pentagono con un fiocco di 6 pentagoni. Qui $\phi =\scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ è il rapporto aureo. |
| ${\frac {\ln(8)}{\ln(3)}}$ | $1,8928$ | Tappeto di Sierpinski | |
| ${\frac {\ln(8)}{\ln(3)}}$ | $1,8928$ | Polvere di Cantor in 3D | Insieme di Cantor in 3 dimensioni. |
| Stimato | $1,9340$ | Bordo della Curva di Lévy | Stimato da Duvall and Keesling (1999). La curva di per sé possiede dimensione frattale 2. |
| | $1,974$ | Tassellatura di Penrose | Cf. Ramachandrarao, Sinha & Sanyal |
| $2$ | $2$ | Insieme di Mandelbrot | Qualsiasi oggetto piano contenente un disco possiede dimensione di Hausdorff δ = 2. Il bordo dell'insieme di Mandelbrot possiede ugualmente dimensione di Hausdorff δ = 2. |
| $2$ | $2$ | Curva di Sierpiński | Ogni curva che riempie il piano possiede dimensione di Hausdorff 2. |
| $2$ | $2$ | Curva di Hilbert | Costruita in maniera simile: la curva di Moore |
| $2$ | $2$ | Curva di Peano | E una famiglia di curve costruite in maniera simile, come per esempio le curve di Wunderlich o le curve di Moore. |
| | $2$ | Lebesgue curve or z-order curve | Contrariamente alle curve precedenti, questa è quasi ovunque differenziabile. |
| ${\frac {\ln(2)}{\ln({\sqrt {2}})}}$ | $2$ | Curva del Drago | Il suo bordo possiede dimensione frattale 1,5236 (Cf.Chang & Zhang). |
| | $2$ | Curva Terdragon | L-System : F-> F+F-F. angolo=120°. |
| ${\frac {\ln(4)}{\ln(2)}}$ | $2$ | T-Square | |
| ${\frac {\ln(4)}{\ln(2)}}$ | $2$ | Curva di Peano-Gosper | Il suo bordo è l'Isola di Gosper. |
| ${\frac {\ln(4)}{\ln(2)}}$ | $2$ | Tetraedro di Sierpinski | |
| ${\frac {\ln(4)}{\ln(2)}}$ | $2$ | H-fractal | Ugualmente, l'albero di Mandelbrot, che ha una struttura simile. |
| ${\frac {\ln(4)}{\ln(2)}}$ | $2$ | 2D greek cross fractal | Ogni segmento è sostituito da una croce formata da 4 segmenti. |
| | $2,06$ | Attrattore di Lorenz | Per precisi valori dei parametri dell'attrattore. |
| ${\frac {\ln(20)}{\ln(2+\phi )}}$ | $2,3296$ | Dodecaedro frattale | Ogni dodecaedro è sostituito da 20 dodecaedri. Qui $\phi =\scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ è il rapporto aureo. |
| ${\frac {\ln(13)}{\ln(3)}}$ | $2,3347$ | Superficie di Koch quadratica (tipo 1) in 3D | Estensione tridimensionale della curva di Koch quadratica (tipo 1). L'illustrazione mostra la seconda iterazione. |
| | $2,4739$ | Interstizi delle sfere di Apollonio | Setaccio di Apollonio in 3 dimensioni. Imita la mollica di pane o la spugna. Dimensione calcolata da M. Borkovec, W. De Paris, and R. Peikert. |
| ${\frac {\ln(32)}{\ln(4)}}$ | $2,5$ | Superficie di Koch quadratica (tipo 2) in 3D | Estensione tridimensionale della curva di Koch quadratica(tipo 2). L'illustrazione mostra la prima iterazione. |
| ${\frac {\ln(16)}{\ln(3)}}$ | $2,5237$ | Ipercubo di Cantor | Insieme di Cantor in 4 dimensioni. In generale, in uno spazio di dimensione n, l'insieme di Cantor possiede dimensione di Hausdorff $\scriptstyle {n{\frac {ln(2)}{ln(3)}}}$ |
| ${\frac {\ln(12)}{\ln(1+\phi )}}$ | $2,5819$ | Icosaedro frattale | Ogni icosaedro è sostituito da 12 icosaedri. Qui $\phi =\scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ è il rapporto aureo. |
| ${\frac {\ln(6)}{\ln(2)}}$ | $2,5849$ | Frattale a croce greca in 3D | Ogni segmento è sostituito con una croce formata da 6 segmenti. Estensione tridimensionale della croce in due dimensioni. |
| ${\frac {\ln(6)}{\ln(2)}}$ | $2,5849$ | Ottaedro frattale | Ogni ottaedro è sostituito da 6 ottaedri. |
| ${\frac {\ln(20)}{\ln(3)}}$ | $2,7268$ | Spugna di Menger | La sua superficie possiede dimensione frattale $\scriptstyle {{\frac {ln(20)}{ln(3)}}=2,7268}$. |
| ${\frac {\ln(8)}{\ln(2)}}$ | $3$ | Curva di Hilbert in 3D | Estensione tridimensionale della curva di Hilbert. |

## Frattali casuali e naturali

| δ (valore esatto) | δ (valore approssimato) | Nome | Commenti |
| Misurato | $1,24$ | Costa della Gran Bretagna | |
| ${\frac {4}{3}}$ | $1,33$ | Bordo del moto browniano | (Cf Gregory Lawler, Oden Schramm et Wendelin Werner). |
| ${\frac {4}{3}}$ | $1,33$ | Polimero 2D | Simile al moto browniano in 2D senza auto-intersezioni. (Cf Sapoval). |
| Misurato | $1,52$ | Costa della Norvegia | |
| Misurato | $1,55$ | Camminata casuale senza intersezioni | Camminata casuale all'interno di un quadrato, con algoritmo di "ritorno" per evitare vicoli ciechi. |
| ${\frac {5}{3}}$ | $1,66$ | Polimero 3D | Simile al moto browniano all'interno di un cubo, ma senza auto-intersezioni (Cf Sapoval). |
| $2$ | $2$ | Moto browniano | O camminata casuale. Le dimensioni di Hausdorff sono uguali a 2 in 2D, in 3D e in tutte le altre dimensioni (K.Falconer "The geometry of fractal sets"). |
| ${\frac {\ln(13)}{\ln(3)}}$ | $2,33$ | Cavolfiore | Ogni ramo porta 13 rami 3 volte più piccoli. |
| | $2,97$ | Superficie polmonare | Gli alveoli di un polmone formano una superficie frattale di dimensione vicina a 3 (Cf Sapoval). |