# Teorema di Banach-Caccioppoli

In matematica, il teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli, o teorema delle contrazioni, è un importante strumento nella teoria degli spazi metrici; garantisce l'esistenza e l'unicità di un punto fisso per determinate mappe di spazi metrici su sé stessi, e la sua dimostrazione fornisce un metodo costruttivo per trovarli. Il teorema prende il nome da Stefan Banach (1892-1945) e da Renato Caccioppoli (1904-1959), ed è stato formulato la prima volta da Banach nel 1922. Caccioppoli giungerà autonomamente a questo risultato nel 1931.

## Il teorema

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. Si definisce contrazione una funzione $f\colon X\to X$ tale che esiste una costante reale $0\leq k<1$ che soddisfa la seguente condizione:
    $d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y),\quad \forall x,y\in X.$
Il più piccolo valore di $k$ per cui vale tale condizione è detto costante di Lipschitz di $f$.

### Enunciato

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico completo non vuoto. Sia $T\colon X\to X$ una contrazione su $X$. Allora la mappa $T$ ammette uno e un solo punto fisso:
    $x^{*}=T(x^{*}),\quad x^{*}\in X.$

## Dimostrazione

La dimostrazione si articola in due parti. Iniziamo ad occuparci della esistenza, poi ricaveremo l'unicità.
Sia definita una successione ricorrente (o successione delle iterate) come segue:
    $x_{1}=T(x_{0}),\quad x_{2}=T(x_{1}),\quad \ldots ,\quad x_{n}=T(x_{n-1}).$
Sfruttiamo la metrica $d$ e la proprietà di contrazione per valutare la distanza tra due punti successivi $x_{n},x_{n+1}$:
    $d(x_{n},x_{n+1})=d(T(x_{n-1}),T(x_{n}))\leq k\;d(x_{n-1},x_{n})=k\;d(T(x_{n-2}),T(x_{n-1}))\leq k^{2}\;d(x_{n-2},x_{n-1})\;=k^{2}\;d(T(x_{n-3}),T(x_{n-2}))\leq \ldots \leq k^{n}\;d(x_{0},x_{1}).$
Prendiamo due numeri $m\,,n\in \mathbb {N}$ tali che $m\leq n$: attraverso la disuguaglianza triangolare e la proprietà di cui sopra
    $d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x_{n-1})+d(x_{n-1},x_{m})\leq \sum _{i=m}^{n-1}d(x_{i},x_{i+1})\leq d(x_{0},x_{1})\;\sum _{i=m}^{n-1}k^{i}=$
    $=d(x_{0},x_{1})\;\sum _{i=0}^{n-m-1}k^{i+m}=k^{m}\;d(x_{0},x_{1})\;\sum _{i=0}^{n-m-1}k^{i}.$
Per $n\to \infty$, l'ultima è una serie geometrica che converge perché il termine generale è compreso tra $0$ e $1$, quindi
    $d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{0},x_{1})\;{\frac {k^{n}}{1-k}}\;\rightarrow \;0\qquad \mathrm {per} \qquad n\rightarrow \infty$
ottenendo il criterio di Cauchy per le successioni. Passiamo ora dalla completezza dello spazio $X$, la quale garantisce l'esistenza di
    $x^{*}=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}.$
Poiché la $T$ è un'applicazione continua, vale
    $T(x^{*})=\lim _{n\rightarrow \infty }T(x_{n})=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n+1}=x^{*}.$
L'unicità si dimostra per assurdo: poniamo che esista un secondo punto $y*$ tale che $T(y^{*})=y^{*}$
    $d(x^{*},y^{*})\leq d(T(x^{*}),T(y^{*}))\leq k\;d(x^{*},y^{*})\quad \Rightarrow \quad k\geq 1$
che contraddice le ipotesi di partenza.
Il valore minimo di $k$ è talvolta chiamato costante di Lipschitz.
Si osservi che la condizione $d(T(x),T(y))<d(x,y)$ per $x$ e $y$ distinti (soddisfatta da funzioni contrattive) non è in generale sufficiente ad assicurare l'esistenza di un punto fisso, come è mostrato dalla mappa $T\colon [1,+\infty )\to [1,+\infty )$ con $T(x)=x+1/x$, che non ha punti fissi. Tuttavia, se lo spazio $X$ è compatto, allora questa assunzione più debole implica tutte le conclusioni del teorema.
Quando si usa il teorema in pratica, la parte più difficile è in genere definire $X$ opportunamente in modo che $T$ porti elementi da $X$ a $X$, cioè che $T(x)$ sia sempre un elemento di $X$.

## Corollario

Sotto le ipotesi su $X$ del teorema precedente, se $T\colon X\to X$ è una funzione tale che, per qualche $p$ numero naturale l'iterata $T^{p}$ è una contrazione, allora $T$ ammette un unico punto fisso.

## Dimostrazione

Supponiamo che $x$ sia punto fisso di $T^{p}$. Allora $T^{p}(x)=x$ da cui, applicando T da entrambi i lati, si ha $T(T^{p}(x))=T(x)$ e quindi $T^{p}(T(x))=T(x)$: anche $T(x)$ è punto fisso per $T^{p}$. Ma, per il teorema precedente, $T^{p}$ ha un unico punto fisso e quindi deve essere $T(x)=x$.

## Applicazioni

L'applicazione standard è nella dimostrazione del teorema di Picard-Lindelöf riguardo all'esistenza e all'unicità di soluzioni di determinate equazioni differenziali ordinarie. La soluzione cercata è espressa come un punto fisso di un opportuno operatore integrale che trasforma funzioni continue in funzioni continue. Il teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli è quindi usato per mostrare che questo operatore integrale ha un unico punto fisso.
Un'altra applicazione è una dimostrazione del teorema della funzione implicita in spazi di Banach.

## Inversi

Esistono molti teoremi inversi del teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli. Il seguente è dovuto a Czeslaw Bessaga, nel 1959:
Sia $f\colon X\to X$ una mappa di un insieme tale che ogni iterata $f_{n}$ ha un unico punto fisso. Sia $q$ un numero reale, $0<q<1$. Allora esiste una metrica completa su $X$ tale che $f$ sia una contrazione, e $q$ è la costante di contrazione.