# Energia interna

L'energia interna è l'energia posseduta da un sistema a livello microscopico, cioè l'energia posseduta dalle entità molecolari di cui è composto il sistema, escludendo i contributi "macroscopici", in particolare l'energia cinetica e potenziale del sistema visto nella sua interezza.
Essa tiene conto dei seguenti contributi:
* energia traslazionale, rotazionale e vibrazione delle entità molecolari che lo compongono;
* energia posseduta dagli elettroni;
* energia termica
* energia di punto zero (energia fondamentale posseduta a 0 K).
Tale forma di energia è una funzione di stato, cioè le sue variazioni dipendono solo dallo stato iniziale e finale della trasformazione termodinamica e non dal particolare percorso seguito per arrivare dallo stato iniziale allo stato finale.
L'energia interna esprime inoltre la quantità di energia libera di un sistema termodinamico in una trasformazione isocora e isoentropica (rispettivamente a volume ed entropia costanti).
Nel sistema internazionale viene misurata in joule.

## Definizione matematica

L'energia interna di un sistema è definita come la sua energia totale, ad esclusione dell'energia cinetica del sistema considerato nel suo insieme e dell'energia potenziale derivante dall'interazione con forze esterne. L'energia interna è quindi la somma dell'energia cinetica $T_{i}$ e potenziale $K_{i}$ delle singole componenti, ad esempio particelle e molecole, di un sistema o corpo:
    $U=\sum _{i}T_{i}+K_{i}$.
L'energia interna è una funzione di stato e in generale dipende da tutte le variabili di stato del sistema. La variazione di energia interna è stabilita dal primo principio della termodinamica
    $dU=-p\operatorname {d} V+T\operatorname {d} S$.
L'energia interna è una grandezza estensiva. Può diventare grandezza intensiva, rispetto alla massa $m$, come:
    $u={\frac {U}{m}}$
e rispetto alla quantità di sostanza n come:
    $u'={\frac {U}{n}}$
le quantità $u$ e $u'$ si chiamano rispettivamente energia interna massica ed energia interna molare. In generale, le grandezze molari e ponderali si chiamano grandezze specifiche, e spesso vengono indicate con la lettera minuscola della grandezza totale.

## Trasformazione reversibile

Per una trasformazione reversibile con esclusivamente lavoro di volume l'energia interna è invece per i sistemi non reagenti una funzione di stato di due variabili: l'entropia $S$ e il volume $V$, cui si aggiungono tutte le quantità di sostanza per sistemi reagenti. Ciò viene infatti esplicitato dal primo principio:
    $\operatorname {d} U(S,V,\mathbf {n} )=-p\operatorname {d} V+T\operatorname {d} S+{\boldsymbol {\mu }}\cdot \operatorname {d} \mathbf {n}$
ovvero in termini intensivi massicci:
    $\operatorname {d} u(s,\rho ,\mathbf {M} )=-p\operatorname {d} {\frac {1}{\rho }}+T\operatorname {d} s+{\boldsymbol {\mu }}\cdot \operatorname {d} {\frac {1}{\mathbf {M} }}={\frac {p}{\rho ^{2}}}\operatorname {d} \rho +T\operatorname {d} s-{\frac {\boldsymbol {\mu }}{{\mathbf {M} }^{2}}}\cdot \operatorname {d} \mathbf {M}$
dove ρ è la densità del sistema, s la sua entropia specifica e M il vettore delle masse molari.
Il sistema può andare infatti incontro a variazioni di composizione. Per una qualsiasi trasformazione quasistatica che soddisfi i precedenti requisiti si può passare ad un'equazione alle differenze:
    $\operatorname {\Delta } U=T\operatorname {\Delta } S-p\operatorname {\Delta } V-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \operatorname {\Delta } \mathbf {n}$

## Gas ideale

Se inoltre il sistema è un gas ideale di composizione invariabile, l'energia interna dipende solo dalla temperatura:
    $\Delta U(T)=nc_{V}\operatorname {\Delta } T\$
dove $c_{V}$ è il calore specifico isocoro, calcolabile teoricamente in modo approssimato applicando il teorema di equipartizione dell'energia della meccanica statistica classica e n è la quantità di sostanza considerata.
Nel modello dei gas ideali l'energia interna è data dalla sola energia cinetica delle singole molecole del gas. Moltiplicando l'energia cinetica media di una molecola per la costante di Avogadro e la quantità di gas si ottiene l'energia interna.
Si noti che l'energia cinetica media è una grandezza intensiva (perché è media), e si misura in ${\mbox{J}}$ .
Per approfondire si veda Costante di Boltzmann.

## Altri potenziali termodinamici

L'energia interna è in relazione con gli altri potenziali termodinamici a mezzo del lavoro per variazione di volume $pV$ o della anergia $TS$:
    $U=H-pV\$
    $U=A+TS\$
    $U=G-pV+TS\$
Per un gas ideale inoltre, tenendo conto dell'equazione dei gas perfetti:
    $U=H-nRT$
    $U=A-{\frac {pVS}{nR}}$
    $U=G-(nR-S)T=G-\left(1-{\frac {S}{nR}}\right)pV$

## Funzione di partizione

L'energia interna, così come le altre variabili termodinamiche, è correlata alla funzione di partizione canonica:
    $U=-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}.$
dove
* $Z$ è la funzione di partizione canonica;
* $\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$ è la beta termodinamica.