# Onda sinusoidale

In fisica, un'onda sinusoidale è un'onda descritta matematicamente dalla funzione seno. Una sinusoide o curva sinusoidale è la curva rappresentata dal grafico del seno. Una sinusoide è analoga alla curva relativa alla funzione coseno, detta cosinusoide, sfasata di $\pi /2$.

## Definizione

Un'onda sinusoidale è un'onda dove la variabile $x$ è una funzione della forma:
    ${\begin{aligned}y(x)&=A\,\sin \left(2\pi fx+\phi \right)\\&=A\,\sin \left({2\pi \over \tau }x+\phi \right)\\&=A\,\sin \left(\omega x+\phi \right)\\&=A\cos \left(2\pi f\,x+\phi '\right)\\&=A\cos \left({2\pi \over \tau }x+\phi '\right)\\&=A\cos \left(\omega x+\phi '\right)\end{aligned}}$
dove $A$ è l'ampiezza, mentre:
    $\omega \ =2\pi f={2\pi \over \tau }$
è la pulsazione (o velocità angolare, indica quanti periodi ci sono in un intervallo di $2\pi$). Inoltre:
    $f={\omega \over 2\pi }={1 \over \tau }$
è la frequenza, che indica quante volte in un'unità di tempo la funzione si ripete, e:
    $\tau ={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}$
è il periodo, con $\phi$ oppure $\phi '=\phi -{\tfrac {\pi }{2}}$ la fase.
Il grafico di una tale classe di funzioni è compreso tra le rette $y=A$ e $y=-A$.
Poiché si tratta di una funzione periodica, detto $\tau$ il periodo si ha:
    $y(x\pm \tau )=y(x)$

## Caratteristiche

Usando la formula di Eulero, un'onda sinusoidale può essere rappresentata come la parte reale della funzione:
    $f(\xi )=f_{\max }\,\Re {\left[\mathrm {e} ^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}+\omega t+\phi )}\right]}$
dove ${\vec {k}}$ è il vettore d'onda, che identifica la direzione di propagazione dell'onda al posto della velocità di propagazione. Il suo modulo è chiamato pulsazione spaziale, ed è legato alla lunghezza d'onda dalla relazione:
    $k=|{\vec {k}}|={\frac {2\pi }{\lambda }}$
Lo scalare $f_{\max }$ è l'ampiezza dell'onda, e rappresenta il massimo valore della grandezza rappresentativa dell'onda in un periodo. Il termine $\phi$ rappresenta la fase iniziale dell'onda.
Le onde sinusoidali sono una soluzione particolare dell'equazione delle onde. L'onda è una funzione dello spazio e tempo, per cui un'onda monodimensionale associa ad ogni posizione spaziale $x$ e ad ogni tempo $t$ un'ampiezza di oscillazione $y$ attorno alla posizione di equilibrio:
    $y=f(x,t)\,$
Sono possibili perciò due punti di vista:
* Scegliendo di valutare la dimensione temporale ($x$ è fissato), si esprime l'oscillazione $y$ in dipendenza dal tempo $t$ come $y=f(t)\,$.
* Scegliendo di focalizzare l'attenzione sullo stato di un mezzo perturbato in un certo istante (${\mathit {t}}$ è fissato) si ha l'"istantanea" dell'onda, cioè la forma d'onda (il suo profilo al tempo fissato di osservazione). L'oscillazione $y$ può essere espressa in funzione della posizione $x$ come ${\mathit {y=f(x)}}$.
In entrambi i casi si può partire dalla dipendenza co-sinusoidale delle variabili nel moto armonico, ricavate considerando quest'ultimo come un'opportuna proiezione di un moto circolare uniforme:
    $y=y_{\max }\cos(\omega t+\phi )$
dove $y_{\max }$ è l'ampiezza dell'oscillazione e $\phi$ è la fase iniziale. Attribuendo a $\phi$ un valore di 90 gradi si può passare da una forma in coseno a una in seno, quindi le espressioni sono equivalenti. L'espressione è in $y$ per attuare la "visualizzazione" dell'oscillazione lungo l'asse verticale del sistema coordinato.
Fissando la variabile $x$ si ha:
    $y=y_{\max }\,\cos(\omega t+\phi )=y_{\max }\,\cos \left({\frac {2\pi }{\tau }}t\right)$
dove $\tau$ è il periodo dell'onda. La fase iniziale è nulla, e se la perturbazione sul mezzo si propaga dall'inizio muovendosi con velocità di fase ${\mathit {v}}$ allora essa raggiungerà un altro punto (a destra dell'origine) a una certa distanza ${\mathit {x}}$ dopo un tempo:
    $t1={\frac {x}{v}}$
Ciò significa che il punto alla coordinata ${\mathit {x}}$ avrà, al tempo $t$, uno spostamento verticale uguale a quello che aveva il punto iniziale t1 secondi prima. La propagazione è quindi descritta dall'espressione:
    $y=y_{\max }\,\cos \left[{\frac {2\pi }{\tau }}(t-t1)\right]=y_{\max }\,\cos \left[{\frac {2\pi }{\tau }}\left(t-{\frac {x}{v}}\right)\right]$
Raccogliendo $2\pi$ si può passare a una forma più comune che talvolta si trova sui testi:
    $y=y_{\max }\,\cos \left[2\pi \left({\frac {t}{\tau }}-{\frac {x}{\lambda }}\right)\right]$
Se si chiama numero d'onda $k$ la quantità $2\pi /\lambda$, e se la pulsazione è $\omega$, il rapporto già noto dallo studio del moto circolare $2\pi /\tau$ consente di pervenire formalmente all'equazione delle onde armoniche:
    $y=y_{\max }\,\cos(\omega t-kx)$
Se all'espressione in coseno iniziale si fosse aggiunta una fase di 90° si sarebbe ottenuta un'espressione in seno negativo poiché $\cos(\alpha +90)=\sin(-\alpha )$, e questo avrebbe portato a un'espressione sinusoidale con i segni interni invertiti, cioè $y=y_{\max }\,\sin(kx-\omega t)$, che talvolta viene presentata sui testi.
Considerando il secondo caso dell'elenco sopra, ad un tempo fissato:
    $y=y_{\max }\,\cos(\omega t+\phi )=y_{\max }\,\cos \left({\frac {2\pi }{\tau }}t\right)=y_{\max }\,\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}x\right)$
Si è espresso il tempo come $t=x/v$, sostituendo e usando la relazione fondamentale delle onde ${\mathit {\lambda =v\tau }}$ (la lunghezza d'onda è lo spazio percorso da un'onda con velocità di fase $v$ in un periodo $\tau$): in ogni caso, quel che conta è che si ottiene una cosinusoide di periodo spaziale $\lambda$ dipendente solo dalla posizione $x$. Se l'impulso si sta muovendo lungo l'asse delle ascisse, inducendo un'oscillazione sulle ordinate, ad un certo istante successivo a quello fissato il punto alla certa coordinata $x$ avrà un'elevazione uguale a quella del punto $x_{0}$ da cui l'impulso è partito $t$ secondi prima. L'onda si propaga quindi (verso destra) con un profilo dato da:
    $y=y_{\max }\,\cos \left[{\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right]$
mentre si sarebbe dovuta considerare un'espressione in parentesi tonda del tipo $(x+vt)$ se si fosse voluta descrivere la propagazione verso sinistra. Esprimendo ${\mathit {v={\frac {\lambda }{\tau }}}}$ e sostituendo, si ha l'espressione:
    $y=y_{\max }\,\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-{\frac {t}{\tau }}\right)\right]$
che considerando la relazione goniometrica $\cos(-\alpha )=\cos \left(\alpha \right)$ è analoga a quella ottenuta in precedenza (perché si cambiano i segni dell'argomento).
* Il parametro A (Ampiezza) provoca una dilatazione lungo l'asse y
* Il parametro $\omega$ (pulsazione) provoca una dilatazione lungo l'asse x
* Il parametro $\phi$ (fase) provoca una traslazione orizzontale
* Il parametro k provoca una traslazione verticale