# Triangolo isoscele

In geometria, si definisce triangolo isoscele un triangolo che possiede due lati congruenti.
Vale il seguente teorema: "Un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti". Questo teorema costituisce la quinta proposizione del Libro I degli Elementi di Euclide ed è noto come pons asinorum.
In un triangolo isoscele la bisettrice relativa all'angolo al vertice coincide con la mediana, l'altezza e l'asse relativi alla base.
Particolari triangoli isosceli sono i triangoli equilateri e i triangoli rettangoli isosceli. Esistono anche triangoli isosceli acutangoli e ottusangoli.
I triangoli isosceli rettangoli sono tutti simili tra di loro, come i triangoli equilateri.

## Simmetrie

Un triangolo isoscele che non sia equilatero è invariante solo per la riflessione rispetto alla bisettrice dell'angolo diverso dai due rimanenti. Il suo gruppo di simmetria, oltre alla trasformazione identità, comprende solo questa riflessione e quindi è isomorfo al gruppo di due elementi, ovvero al gruppo moltiplicativo sull'insieme $\{1,-1\}$.

## Triangoli isosceli in geometria analitica

Teorema 1: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela agli assi sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare opposto.
Dimostrazione.
Date le tre rette
* $y=k$
* $y=mx$
* $y=-mx$
ne calcoliamo l'intersezione.
    $\left\{{\begin{array}{rl}&y=k\\&y=mx\end{array}}\right.$
    $\left\{{\begin{array}{rl}&x={\frac {k}{m}}\\&y=k\end{array}}\right.$
    $A\left({\frac {k}{m}},k\right)$
    $\left\{{\begin{array}{rl}&y=k\\&y=-mx\end{array}}\right.$
    $\left\{{\begin{array}{rl}&x=-{\frac {k}{m}}\\&y=k\end{array}}\right.$
    $B\left(-{\frac {k}{m}},k\right)$
    $\left\{{\begin{array}{rl}&y=mx\\&y=-mx\end{array}}\right.$
    $\left\{{\begin{array}{rl}&x=0\\&y=0\end{array}}\right.$
    ${\rm {C}}(0,0)$
Ora calcoliamo la distanza dei segmenti $AC$ e $BC$.
    $AC={\sqrt {\left({\frac {k}{m}}\right)^{2}+k^{2}}}$
    $BC={\sqrt {\left(-{\frac {k}{m}}\right)^{2}+k^{2}}}$
Quindi il triangolo è isoscele sulla base $AB$. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse $y$.
Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela all'asse delle ascisse.
Dati i due punti:
* ${\rm {A}}(x_{1},k)$
* ${\rm {B}}(x_{2},k)$
poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo $M$ e poi $C$.
    $M\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},k\right)$
Quindi troviamo $C$, che avrà la stessa ascissa di $M$ e diversa ordinata.
    $C\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},h\right)$
Verifichiamo che il triangolo è isoscele:
    $AC={\sqrt {\left({\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}\right)^{2}+(k-h)^{2}}}$
    $BC={\sqrt {\left({\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}\right)^{2}+(k-h)^{2}}}$
Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:
    $mAC=(h-k)\cdot \left({\frac {2}{x_{2}-x_{1}}}\right)={\frac {2(h-k)}{x_{2}-x_{1}}}$
    $mBC=(h-k)\cdot \left({\frac {2}{x_{1}-x_{2}}}\right)={\frac {2(h-k)}{x_{1}-x_{2}}}$
Teorema 2: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela alla bisettrice di due quadranti sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare inverso.
Dimostrazione.
Date le tre rette
* $y=x+q$
* $y=mx$
* $y={\frac {1}{m}}x$
ne calcoliamo l'intersezione.
    $\left\{{\begin{array}{rl}&y=x+q\\&y=mx\end{array}}\right.$
    $\left\{{\begin{array}{rl}&x(m-1)=q\\&y=mx\end{array}}\right.$
    $\left\{{\begin{array}{rl}&x={\frac {q}{m-1}}\\&y={\frac {mq}{m-1}}\end{array}}\right.$
    $A\left({\frac {q}{m-1}},{\frac {mq}{m-1}}\right)$
    $\left\{{\begin{array}{rl}&y=x+q\\&y={\frac {1}{m}}x\end{array}}\right.$
    $\left\{{\begin{array}{rl}&x(1-m)=mq\\&y={\frac {1}{m}}x\end{array}}\right.$
    $\left\{{\begin{array}{rl}&x={\frac {mq}{1-m}}\\&y={\frac {q}{1-m}}\end{array}}\right.$
    $B\left({\frac {mq}{1-m}},{\frac {q}{1-m}}\right)$
    $\left\{{\begin{array}{rl}&y={\frac {1}{m}}x\end{array}}\right.$
    $\left\{{\begin{array}{rl}&x=0\\&y=0\end{array}}\right.$
    ${\rm {C}}(0,0)$
Ora calcoliamo la distanza dei segmenti $AC$ e $BC$.
    $AC={\sqrt {\left({\frac {q}{m-1}}\right)^{2}+\left({\frac {mq}{m-1}}\right)^{2}}}$
    $BC={\sqrt {\left({\frac {mq}{1-m}}\right)^{2}+\left({\frac {q}{1-m}}\right)^{2}}}$
Quindi il triangolo è isoscele sulla base $AB$. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse $y$.
Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante (lo stesso vale per quella parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante).
Dati i due punti:
* ${\rm {A}}(0,q)$
* ${\rm {B}}(-q,0)$
poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo $M$ e poi $C$.
    $M\left(-{\frac {q}{2}},{\frac {q}{2}}\right)$
Quindi troviamo $C$, che si trova sulla retta di equazione $y=-x$ perpendicolare alla base e passante per $M$.
    $C(h,-h)$
dove $h$ è un numero reale arbitrario diverso da $0$.
Verifichiamo che il triangolo è isoscele:
    $AC={\sqrt {h^{2}+(q+h)^{2}}}$
    $BC={\sqrt {(-q-h)^{2}+h^{2}}}$
Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:
    $mAC={\frac {-h-q}{h}}=-{\frac {h+q}{h}}$
    $mBC={\frac {-h}{h+q}}=-{\frac {h}{h+q}}$