# Test chi quadrato

Con test chi quadrato $\chi ^{2}$, si intende uno dei test di verifica d'ipotesi usati in statistica che utilizzano la distribuzione chi quadrato per decidere se rifiutare o non rifiutare l'ipotesi nulla. A seconda degli assunti di partenza usati tali test vengono considerati parametrici o non parametrici.
Il test chi quadrato è ampiamente utilizzato per verificare che le frequenze dei valori osservati si adattino alle frequenze teoriche di una distribuzione di probabilità prefissata. Per esempio, è noto che il risultato di 100 lanci di una moneta segue la distribuzione uniforme ed è difficile ottenere un risultato che si discosti sensibilmente dall'ottenere 50 teste e 50 croci. Il test chi quadrato consente di stabilire, dopo aver fissato l'errore massimo tollerato, se le discrepanze tra le frequenze osservate e quelle teoriche sono imputabili completamente al caso o se invece è lecito supporre che la moneta sia truccata.

## Definizione

Supponiamo che in un particolare campione si sia osservato che un insieme di possibili eventi E$_1$, E$_2$, …, E$_k$ si presenta con frequenze o$_1$, o$_2$, …, o$_k$ (dette frequenze osservate). Supponiamo poi che, secondo le regole della probabilità, ci si attenda un secondo insieme di possibili eventi con frequenze e$_1$, e$_2$, …, e$_k$ (dette frequenze teoriche o attese), ossia, riassumendo:
| Evento | E$_1$ | E$_2$ | ... | E$_k$ |
| Frequenze osservate | o$_1$ | o$_2$ | ... | o$_k$ |
| Frequenze attese | e$_1$ | e$_2$ | ... | e$_k$ |
La variabile test $\chi ^{2}$ si ottiene sommando, per ogni evento E$_i$ il quadrato degli scarti tra le frequenze teoriche e quelle osservate, pesato sulle frequenze teoriche:
    $\chi ^{2}=\sum _{i=1}^{k}{(o_{i}-e_{i})^{2} \over e_{i}}$
Così, se il numero totale di eventi $k$ è fissato, si distribuisce come una variabile $\chi ^{2}$ con $k-1$ gradi di libertà. Altrimenti, se k è una variabile a sua volta aleatoria, ad esempio Poissoniana (come può essere in un esperimento di conteggio), si distribuisce come una variabile $\chi ^{2}$ con $k$ gradi di libertà.
Se le frequenze osservate coincidono esattamente con quelle teoriche, allora $\chi ^{2}=0$, mentre se esse differiscono, $\chi ^{2}>0$. Più grande è il valore di $\chi ^{2}$, più grande è la discrepanza tra le frequenze osservate e quelle teoriche.

## Esempio

Un dado viene lanciato 2000 volte con il seguente risultato:
| Esito | Occorrenza |
| 1 | 388 volte |
| 2 | 322 volte |
| 3 | 314 volte |
| 4 | 316 volte |
| 5 | 344 volte |
| 6 | 316 volte |
Si può affermare che esso non sia equilibrato?
Effettivamente il risultato 1 è apparso un numero di volte sensibilmente superiore agli altri, la frequenza attesa è di 2000/6=333,333 per ciascun risultato (se il dado è equilibrato, segue una distribuzione uniforme, quindi la frequenza attesa è la stessa per tutti i risultati).
La nostra statistica è quindi uguale a
    $\chi ^{2}={(388-333,333)^{2} \over 333,333}+{(322-333,333)^{2} \over 333,333}+{(314-333,333)^{2} \over 333,333}+{(316-333,333)^{2} \over 333,333}+{(344-333,333)^{2} \over 333,333}+{(316-333,333)^{2} \over 333,333}=12,616$
e possiede 5 gradi di libertà.
Se fissiamo l'errore tollerato al 5% (α = 0,05) e diamo uno sguardo alle tavole della distribuzione chi quadrato con 5 gradi di libertà (perché si hanno 6 classi di frequenza corrispondenti a 6 gradi di libertà a cui si sottrae 1 grado di libertà per via dell'utilizzo del numero totale di misure per calcolare i singoli e$_i$ ) dobbiamo rifiutare l'ipotesi nulla con valori della statistica test superiori a 11,07.
La nostra statistica test è uguale a 12,616 e pertanto dobbiamo respingere l'ipotesi nulla: ciò vuol dire che il dado non è equilibrato.
Il test chi quadrato funziona quando nessun valore si presenta con una frequenza inferiore a 5. Se ciò accade è meglio utilizzare altri test sulle frequenze, come il test esatto di Fisher.
Tra i test chi quadrato si possono elencare:
* il test chi quadrato di Pearson
* il test chi quadrato di Yates, ovvero la correzione di Yates per la continuità
* il test chi quadrato di Mantel-Haenszel
nonché diversi test che in determinate situazioni (solitamente quando si è in presenza di molti dati) fanno ricorso alla v.c. Chi Quadrato come distribuzione approssimativa
* Indice di dispersione di Poisson

## Esempio in R

Utilizzando il linguaggio di programmazione R si vuole valutare se esiste un'associazione tra le variabili degree (livello di istruzione superiore) e sex (il sesso) negli Stati Uniti attraverso il test chi quadrato. Il dataset usato è stato ottenuto tramite Il "General Social Surveys", un questionario sottoposto a persone intervistate di 18 anni o più che parlavano in inglese all'interno degli Stati Uniti d'America.
In totale le interviste sono state 57 061, che rappresentano meno del 10% della popolazione statunitense. Tali interviste sono state fatte tra il 1972 e il 2014 e ciascuna di queste contiene 114 variabili, di cui alcune numeriche ed altre categoriali. L'analisi fatta è osservazionale e non sperimentale, quindi non si possono stabilire relazioni casuali tra le variabili.
Le condizioni necessarie perché si possa eseguire il test chi quadro sono che i campioni siano casuali, non correlati e provenienti da meno del 10% della popolazione, quindi l'indipendenza tra le osservazioni è ragionevole.
Dal momento che p_value = 0 < 0,05, rifiutiamo l'ipotesi nulla. Vi è una forte evidenza che negli Stati Uniti esiste una dipendenza tra il livello di istruzione superiore e il sesso.