# Teorema del confronto

Il teorema del confronto è un teorema di analisi matematica. Assume forme diverse a seconda del contesto, e permette di calcolare il limite di una successione o funzione confrontando questa con altri due oggetti analoghi che "si stringono sempre di più" intorno a quello dato.
È informalmente chiamato teorema dei due carabinieri, per un'allegoria: il teorema sarebbe rappresentato da due carabinieri (due funzioni o successioni $a,c$ che si stringono sempre di più) che conducono in arresto un prigioniero (una funzione o successione $b$): questo "tende" sicuramente allo stesso punto dove tendono i carabinieri (il limite comune di $a$ e $c$). Sulla base di considerazioni simili, il teorema è talvolta detto anche teorema del sandwich o teorema di compressione.

## Successioni

Il teorema del confronto per le successioni asserisce che se $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ e $\{c_{n}\}$ sono tre successioni di numeri reali tali che definitivamente (cioè per $n$ sufficientemente grande)
    $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$
e se si ha
    $\lim _{n\to +\infty }a_{n}=\lim _{n\to +\infty }c_{n}=l,$
allora anche
    $\lim _{n\to +\infty }b_{n}=l.$

### Dimostrazione

Dalla definizione di limite di una successione, si ricava che per ogni $\varepsilon >0$ esistono $N,N'$ tali che:
    $l-\varepsilon <a_{n}<l+\varepsilon ,\qquad \forall n>N,$
    $l-\varepsilon <c_{n}<l+\varepsilon ,\qquad \forall n>N'.$
Quindi per ogni $n$ maggiore di $M=\max\{N,N'\}$ si ottiene:
    $l-\varepsilon <a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}<l+\varepsilon .$
Quindi per ogni $\varepsilon >0$ esiste un $M$ tale che:
    $l-\varepsilon <b_{n}<l+\varepsilon ,\qquad \forall n>M.$
In altre parole, la successione $b_{n}$ tende a $l$.

### Esempi

La successione:
    $b_{n}={\sin n\cos n \over n^{2}}$
è "stretta" fra le successioni:
    $a_{n}=-{\frac {1}{n^{2}}},\qquad \ c_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$
poiché
    $-1\leq \sin n\cos n\leq 1$
implica
    $-{\frac {1}{n^{2}}}\leq {\sin n\cos n \over n^{2}}\leq {\frac {1}{n^{2}}},$
per ogni $n$. Entrambe $a_{n}$ e $c_{n}$ sono infinitesime (convergono cioè a zero), e quindi per il teorema del confronto anche $b_{n}$ è infinitesima.

### Corollario

Teoremi di confronto si possono applicare anche per i limiti infiniti. Se $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ sono due successioni tali che:
    $a_{n}\leq b_{n}$
per ogni $n$, e se
    $\lim _{n\to +\infty }a_{n}=+\infty ,$
allora anche
    $\lim _{n\to +\infty }b_{n}=+\infty .$
Oppure se
    $a_{n}\leq b_{n},$
per ogni $n$, e se
    $\lim _{n\to +\infty }b_{n}=-\infty ,$
allora anche
    $\lim _{n\to +\infty }a_{n}=-\infty .$

#### Dimostrazione Corollario

Per ipotesi $\lim _{n\to +\infty }a_{n}=+\infty$ e pertanto, dalla definizione di limite di una successione, per ogni $M>0$ esiste un numero naturale $N$ tale che $a_{n}>M$ per ogni $n>N$.
Dato che $b_{n}\geq a_{n}$ per ogni $n$ si ottiene che:
    $b_{n}\geq a_{n}>M.$
Quindi:
    $\lim _{n\to +\infty }b_{n}=+\infty .$

## Funzioni

Il teorema del confronto per le funzioni asserisce che, date tre funzioni $f,g,h\colon X\to \mathbb {R}$ definite su un dominio $X$ di $\mathbb {R}$, e dato un punto di accumulazione $x_{0}$ per $X$, se:
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=l$
ed esiste un intorno $U$ di $x_{0}$ tale che
    $f(x)\leq g(x)\leq h(x),\qquad \forall x\in U\cap X\backslash \left\{x_{0}\right\},$
allora
    $\lim _{x\to x_{0}}g(x)=l.$

### Dimostrazione

Per la definizione di limite, per ogni $\varepsilon >0$ esistono due intorni $U_{1}$ e $U_{2}$ di $x_{0}$ tali che:
    $l-\varepsilon <f(x)<l+\varepsilon \quad \forall x\in U_{1}\setminus \{x_{0}\},$
    $l-\varepsilon <h(x)<l+\varepsilon \quad \forall x\in U_{2}\setminus \{x_{0}\}.$
Quindi
    $l-\varepsilon <f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)<l+\varepsilon ,\quad \forall x\in U_{1}\cap U_{2}\cap U\setminus \{x_{0}\}.$
Quindi per ogni $\varepsilon >0$ esiste un intorno $U_{1}\cap U_{2}\cap U$ tale che
    $l-\varepsilon <g(x)<l+\varepsilon ,\quad \forall x\in U_{1}\cap U_{2}\cap U\setminus \{x_{0}\}.$
In altre parole:
    $\lim _{x\to x_{0}}g(x)=l.$

### Esempio

Un'applicazione importante di questo teorema è la verifica del limite:
    $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.$
Si prenda come riferimento l'immagine a destra. Sia $0<x<\pi /2$ la misura in radianti dell'arco di circonferenza di centro O e raggio unitario.
Allora
    ${\overline {PH}}=\sin x,\qquad {\overline {QA}}=\tan x$
Ne segue che
    $\sin x<x<\tan x,$
da cui, dividendo per $\sin x$
    $1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}}$
prendendo i reciproci
    $\cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1$
sapendo che la disuguaglianza non cambia per $-x$ e che
    $\lim _{x\to 0}\cos x=1,$
sfruttando il teorema del confronto si ottiene:
    $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.$