# Similitudine tra matrici

In algebra lineare, la similitudine tra matrici è un'importante relazione di equivalenza, che induce una partizione dell'insieme $M(n,K)$ di tutte le matrici quadrate con $n$ righe e colonne a valori in un campo $K$. In particolare, nella teoria degli endomorfismi di uno spazio vettoriale, due matrici si dicono simili quando rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due basi diverse. Quindi ad ogni endomorfismo si può associare una classe di equivalenza di matrici simili.
Due matrici simili hanno gli stessi autovalori, rango, determinante e traccia. Non vale però il contrario: due matrici con la stessa traccia, lo stesso determinante, lo stesso rango e lo stesso polinomio caratteristico non sono necessariamente simili.

## Definizione

Due matrici quadrate $A$ e $B$ sono simili quando esiste una matrice invertibile $M$ tale che:
    $\ A=M^{-1}BM$
In particolare, la matrice identità e la matrice nulla sono simili solo a loro stesse.

## Invarianti per similitudine

Due matrici simili hanno lo stesso rango, determinante e traccia. Si dice quindi che rango, determinante e traccia sono invarianti per similitudine.
La dimostrazione dell'invarianza del determinante passa per il teorema di Binet:
    $\det(M^{-1}BM)=\det(M^{-1})\cdot \det B\cdot \det M=$
    $(\det M)^{-1}\cdot \det B\cdot \det M=\det B\cdot (\det M)^{-1}\cdot \det M=\det B$
Due matrici simili hanno inoltre lo stesso polinomio caratteristico e lo stesso polinomio minimo. Infatti, dalla definizione si ha che $A=P^{-1}\cdot B\cdot P$, da cui si ricava il polinomio caratteristico:
    $\Delta _{A}(\lambda )=|\lambda I-A|=|\lambda I-P^{-1}\cdot B\cdot P|$
e dal momento che $\lambda$ è uno scalare si può moltiplicare a sinistra e a destra di $\lambda I$ per $P^{-1}$ e per $P$. Infatti:
    $\lambda I=\lambda P^{-1}\cdot I\cdot P=P^{-1}\cdot \lambda I\cdot P$
Si ha quindi che:
    $|\lambda I-P^{-1}\cdot B\cdot P|=|P^{-1}\cdot \lambda I\cdot P-P^{-1}\cdot B\cdot P|=|P^{-1}(\lambda I-B)P|=|P^{-1}|\cdot |(\lambda I-B)|\cdot |P|$
da cui $|\lambda I-A|=|\lambda I-B|$.
Questo fatto comporta che due matrici simili abbiano anche gli stessi autovalori, infatti se $\lambda$ è un autovalore della matrice $A$, ed $A$ è simile a $B$, si ha:
    $Ax=\lambda x\qquad M^{-1}BMx=\lambda x$
per qualche vettore $x$ diverso da zero. Moltiplicando entrambi i membri della seconda uguaglianza a sinistra per $M$ si ottiene:
    $B(Mx)=\lambda (Mx)\$
per cui $\lambda$ è anche autovalore di $B$ con autovettore $Mx$.
Due matrici con la stessa traccia, lo stesso determinante e lo stesso polinomio caratteristico non sono tuttavia necessariamente simili. Ad esempio:
    ${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}$
non sono matrici simili.

## Relazione con gli endomorfismi

La relazione di similitudine fra matrici è usata soprattutto per la sua stretta relazione con la teoria degli endomorfismi di uno spazio vettoriale, riassunta nell'asserzione seguente: sia T un endomorfismo di uno spazio vettoriale. Le matrici associate a $T$ rispetto a due basi diverse dello spazio sono simili.
Una matrice simile ad una matrice diagonale si dice diagonalizzabile. Lo studio della diagonalizzabilità di una matrice è un problema centrale in algebra lineare. Non tutte le matrici sono diagonalizzabili, ed a tal proposito sui campi reale e complesso la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata $A$ definisce una matrice triangolare $J$ simile ad $A$ che ha una struttura il più possibile vicina ad una matrice diagonale. In particolare, la matrice è diagonale se e solo se $A$ è diagonalizzabile, altrimenti è divisa in blocchi detti blocchi di Jordan.
Particolare importanza riveste il caso in cui la matrice invertibile che definisce la relazione di similitudine è una matrice unitaria. Due matrici $A$ e $B$ sono unitariamente equivalenti se sono simili rispetto ad una matrice unitaria $U$, ovvero $A=UBU^{\dagger }$. Ad esempio, le matrici hermitiane sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali reali, e le matrici normali sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali complesse.