# Dimostrazione della irrazionalità di e

Il numero e fu introdotto nel 1683 da Jacob Bernoulli. Più di mezzo secolo dopo, Eulero, che fu uno studente di Johann Bernoulli (fratello minore di Jacob), dimostrò che $e$ è irrazionale; cioè, non può essere espresso come rapporto tra due interi.

## Dimostrazione di Eulero

Eulero scrisse la prima dimostrazione dell'irrazionalità di $e$ nel 1737 (ma il testo venne pubblicato solamente sette anni dopo). Il matematico svizzero calcolò la rappresentazione di $e$ come frazione continua semplice, che è
    $e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\ldots ,2n,1,1,\ldots ].$
Poiché questa frazione continua è infinita mentre ogni numero razionale è rappresentato da una finita, $e$ è irrazionale. Per una breve dimostrazione della frazione continua di $e$, vedere Cohn (2006). Poiché la frazione continua di $e$ non è periodica, questo dimostra anche che $e$ non è radice di un polinomio di secondo grado a coefficienti razionali; in particolare, $e^{2}$ è irrazionale.

## Dimostrazione di Fourier

La dimostrazione più conosciuta è quella di Joseph Fourier procedendo per assurdo, che si basa sull'identità
    $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\cdot$
Si supponga che $e$ sia un numero razionale. Allora esistono $a$ e $b$ interi positivi tale che $e=a/b$. Da notare che $b$ non può essere uguale a 1 dato che $e$ non è un intero. Si può dimostrare utilizzando la precedente identità che $e$ è strettamente compreso tra $2$ e $3$:
    $2=1+{\tfrac {1}{1!}}\ \ <\ \ e=1+{\tfrac {1}{1!}}+{\tfrac {1}{2!}}+{\tfrac {1}{3!}}+\cdots \ \ <\ \ 1+(1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{3}}}+\cdots )\ \ =\ \ 3.$
Si definisca il numero
    $x=b!\,{\biggle-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}.$
Se $e$ è razionale, allora $x$ è un intero, infatti sostituendo $e=a/b$ nella definizione di $x$ si ottiene
    $x=b!\,{\biggl{\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}\,.$
Il primo termine è un intero, e ogni frazione nella somma è in effetti anch'essa un intero poiché $n\leq b$ per ogni termine. Pertanto, $x$ è un intero.
Si dimostra ora che $0<x<1$. Prima, per mostrare che $x$ è strettamente positivo, si inserisce la rappresentazione in serie di $e$ nella definizione di $x$, da cui si ricava
    $x=b!\,{\biggl\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}>0\,,$
poiché tutti i termini sono strettamente positivi.
Resta da dimostrare che $x<1$. Per tutti i termini con $n\geq b+1$ si ha la stima superiore
    ${\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(n-b))}}<{\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}\,.$
Questa disuguaglianza è stretta per ogni $n\geq b+2$. Cambiando l'indice della sommatoria in $k=n-b$ e utilizzando la formula della serie geometrica, si ottiene
    $x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}<\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}={\frac {1}{b+1}}{\biggl{\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1}}}}{\biggr )}={\frac {1}{b}}<1.$
Dal momento che non esistono degli interi strettamente compresi tra $0$ e $1$, si è ottenuta una contraddizione e quindi $e$ deve essere irrazionale. Q.E.D.

## Dimostrazioni alternative

Si può ottenere un'altra dimostrazione da quella precedente notando che
    $(b+1)x=1+{\frac {1}{b+2}}+{\frac {1}{(b+2)(b+3)}}+\cdots <1+{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+\cdots =1+x,$
e questa disuguaglianza è equivalente a $bx<1$. Questo è ovviamente impossibile, poiché $b$ e $x$ sono numeri naturali.
Un'altra dimostrazione ancora deriva dal fatto che
    ${\frac {1}{e}}=e^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\cdot$
Si definisca $s_{n}$ come segue:
$s_{n}=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}$
$e^{-1}-s_{2n-1}=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}-\displaystyle \sum _{k=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}<{\frac {1}{(2n)!}}$
Questo implica che $0<(2n-1)!(e^{-1}-s_{2n-1})<{\frac {1}{2k}}\leq {\frac {1}{2}}$ per ogni intero $n\geq 2$
Si nota che $(2n-1)!s_{2n-1}$ è sempre un intero. Si assuma che $e^{-1}$ sia razionale.
Quindi, $e^{-1}={\frac {p}{q}}$ dove $p,q$ sono coprimi e $q\neq 0$. È possibile scegliere $n$ propriamente in modo che $(2n-1)!e^{-1}$ sia un intero, cioè prendendo $n\geq {\frac {q+1}{2}}$.
Perciò, con questa scelta, la differenza tra $(2n-1)!e^{-1}$ e $(2n-1)!s_{2n-1}$ dovrebbe essere un intero. Ma segue dalla disuguaglianza precedente che è impossibile. Quindi, $e^{-1}$ è irrazionale. Questo significa che $e$ è irrazionale.

## Generalizzazioni

Nel 1840, Liouville pubblicò una dimostrazione dell'irrazionalità di $e^{2}$ seguita dalla dimostrazione che quest'ultimo non è neanche una radice di un polinomio di secondo grado a coefficienti razionali. Questo ultimo risultato implica che $e^{4}$ è irrazionale. Le sue dimostrazioni erano simili a quella di Fourier dell'irrazionalità di $e$. Nel 1891, Hurwitz spiegò come è possibile dimostrare attraverso la stessa strategia che $e$ non è una radice di un polinomio di terzo grado a coefficienti razionali. In particolare, $e^{3}$ è irrazionale.
Più in generale, $e^{q}$ è irrazionale per ogni $q$ razionale diverso da zero.