# Base duale

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la base duale è una particolare base costruita a partire da una base data. Il concetto di base duale è utile nello studio dello spazio duale e dei tensori.

## Definizione

Dato uno spazio vettoriale $V$ su campo $K$ di dimensione finita $n$, lo spazio duale $V^{*}$ è l'insieme di tutte le applicazioni lineari da $V$ in $K$.
Fissata per $V$ una base $({\textbf {e}}_{1},\ldots ,{\textbf {e}}_{n})$, la base duale $({\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n})$ è una base di $V^{*}$ univocamente determinata dalle seguenti relazioni:
    ${\textbf {e}}^{i}({\textbf {e}}_{j})=\delta _{ij},$
dove $\delta _{ij}$ è la delta di Kronecker.

## Proprietà della base duale
### Effetto su un vettore

Ogni vettore ${\textbf {v}}$ di $V$ può essere espresso in modo univoco come combinazione lineare degli elementi della base:
    ${\textbf {v}}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\textbf {e}}_{i}=v^{i}{\textbf {e}}_{i},$
dove l'ultima notazione è quella cosiddetta di Einstein.
Il risultato dell'applicazione di ${\textbf {e}}^{i}$ su ${\textbf {v}}$ è il seguente:
    ${\textbf {e}}^{i}({\textbf {v}})={\textbf {e}}^{i}\left(\sum _{k=1}^{n}v^{k}{\textbf {e}}_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}v^{k}\delta _{ik}=v^{i}.$
Quindi ${\textbf {e}}^{i}$ è l'applicazione che "estrae" da un vettore ${\textbf {v}}$ la $i$-ma componente $v^{i}$ delle sue coordinate rispetto alla base. Tale applicazione è a volte chiamata proiettore: può infatti essere interpretata come una proiezione sulla retta generata da ${\textbf {e}}_{i}$.

### Coordinate rispetto alla base duale

Sia $f$ un generico elemento di $V^{*}$, cioè una applicazione lineare $f$ da $V$ a $K$. Applicata su un vettore
    ${\textbf {v}}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\textbf {e}}_{i}=v^{i}{\textbf {e}}_{i}$
produce la relazione:
    $f({\textbf {v}})=\sum _{i=1}^{n}v^{i}f({\textbf {e}}_{i})=v^{i}f({\textbf {e}}_{i}).$
L'applicazione $f$ è quindi univocamente definita da come agisce sugli elementi della base di $V$. D'altra parte la $f$ trasforma un vettore in un elemento del campo $K$, per cui la $f$ è definita dagli $n$ "numeri":
    $f_{i}=f({\textbf {e}}_{i}).$
Di conseguenza, la $f$ è ottenuta come combinazione lineare degli ${\textbf {e}}^{i}$:
    $f=\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\textbf {e}}^{i}=f_{i}{\textbf {e}}^{i}.$
Infatti vale la relazione:
    $f({\textbf {v}})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\textbf {e}}^{i}({\textbf {v}})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}v^{i}=f_{i}v^{i}.$
Ogni applicazione $f$ in $V^{*}$ può essere quindi espressa in modo univoco come combinazione lineare delle applicazioni ${\textbf {e}}^{i}$, e pertanto:
* $({\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n})$ è effettivamente una base di $V^{*}$, che ha quindi dimensione $n$;
* le $f_{i}$ sono le coordinate di $f$ rispetto a tale base.

## Dualità delle basi e degli spazi
### Dualità delle basi

Le basi di $V$ e $V^{*}$ presentano la seguente simmetria:
* applicando ${\textbf {e}}^{i}$ a un vettore ${\textbf {v}}$ si ottiene la i-esima componente di ${\textbf {v}}$ rispetto alla base $({\textbf {e}}_{1},\ldots ,{\textbf {e}}_{n})$ di $V$:
    ${\textbf {e}}^{i}({\textbf {v}})=v^{i};$
* applicando una applicazione $f$ a ${\textbf {e}}_{i}$ si ottiene la i-esima componente di $f$ rispetto alla base $({\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n})$ di $V^{*}$:
    $f({\textbf {e}}_{i})=f_{i}.$
Le due relazioni esprimono una "dualità" delle due basi.

### Dualità degli spazi

Un altro modo per esprimere questa dualità si ottiene considerando lo spazio duale di $V^{*}$, detto anche spazio biduale di $V$, che si indica con $V^{**}$ ed è costituito dall'insieme di tutte le applicazioni lineari su $V^{*}$. Poiché $V^{*}$, come si è visto, è uno spazio vettoriale di dimensione $n$, anche $V^{**}$ lo è.
Ora risulta cruciale osservare che ogni elemento di $V^{**}$ resta "naturalmente" associato ad un vettore di $V$. Infatti, è possibile associare ad un vettore ${\textbf {v}}$ di $V$ l'applicazione $F_{v}$ di $V^{**}$ che agendo sull'applicazione $f$ produce lo stesso scalare che produce $f$ agendo su ${\textbf {v}}$:
    $F_{v}(f)=f({\bar {\textbf {v}}}).$
L'applicazione da $V$ in $V^{**}$ definita da
    ${\textbf {v}}\mapsto F_{v}$
è un isomorfismo canonico, che non dipende cioè dalla scelta delle basi. Gli spazi $V$ e $V^{**}$ sono quindi naturalmente identificati. Analogamente, gli spazi $V^{*}$ e $V^{***}$ sono naturalmente identificati.
Questa dualità fra spazi riflette quella fra le basi: la base duale di $({\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n})$ è effettivamente $(F_{e_{1}},\ldots ,F_{e_{n}})$. Infatti:
    $F_{e_{i}}(f)=f({\textbf {e}}_{i})=f_{i}.$

### Applicazioni bilineari

La dualità può essere espressa in modo più evidente interpretando l'applicazione di un funzionale $f$ ad un vettore ${\textbf {v}}$ - che fino ad ora abbiamo scritto come $f({\textbf {v}})$ mettendo in evidenza che $f$ è una applicazione da $V$ a $K$ - come una applicazione bilineare da $V^{*}\times V$ a $K$, definita nel modo seguente:
    $\langle ,\rangle :V^{*}\times V\to K$
    $\langle f,{\textbf {v}}\rangle =f({\textbf {v}})=F_{v}(f).$
L'applicazione bilineare associa ad ogni coppia di elementi di $V^{*}$ e di $V$ uno scalare. L'operazione $\langle f,{\textbf {v}}\rangle$ può essere intesa in duplice senso: come una applicazione $f$ che agisce su un vettore ${\textbf {v}}$ o come un vettore ${\textbf {v}}$ (anzi, $F_{v}$) che agisce su una applicazione $f$.
Così facendo le dualità degli spazi e delle basi possono essere espresse in forma "simmetrica" e sintetica nel modo seguente:
    $\langle {\textbf {e}}^{i},{\textbf {v}}\rangle =v^{i},\qquad \langle f,{\textbf {e}}_{i}\rangle =f_{i}.$
In particolare se tali relazioni si applicano agli elementi delle due basi, si ottiene la relazione originaria:
    $\langle {\textbf {e}}^{i},{\textbf {e}}_{j}\rangle =\delta _{ij}.$

## Identificazione di V e V$^*$

In matematica, un isomorfismo è naturale se la sua costruzione è univoca, non dipende cioè da nessuna scelta. Come visto sopra, esiste un isomorfismo naturale fra $V$ e $V^{**}$. Invece in generale non esiste un modo altrettanto naturale di associare gli elementi di $V$ a quelli di $V^{*}$. Trattandosi di spazi aventi le stesse dimensioni, esiste (per il teorema della dimensione) un isomorfismo fra questi: tuttavia questo isomorfismo, per essere determinato concretamente, dovrà fare riferimento a qualche scelta determinante. La scelta può consistere nella costruzione di una base o di un prodotto scalare per $V$.

### Isomorfismo tramite scelta di base

Un isomorfismo tra $V$ e $V^{*}$ può essere costruito a partire da una base $({\textbf {e}}_{1},\ldots ,{\textbf {e}}_{n})$ per $V$. Questa determina una base duale ${\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n}$, e l'isomorfismo fra $V$ e $V^{*}$ associa al vettore ${\textbf {v}}$ avente componenti $v^{i}$ l'applicazione $f$ avente uguali componenti $f_{i}=v^{i}$ rispetto a ${\textbf {e}}^{i}$.
Prendendo un'altra base di partenza, l'applicazione associata a ${\textbf {v}}$ non è però più necessariamente la stessa $f$: in questo senso, l'isomorfismo non è naturale.

### Isomorfismo tramite prodotto scalare

È possibile definire un isomorfismo tra $V$ e $V^{*}$ a partire da un prodotto scalare per $V$, cioè una particolare applicazione bilineare:
    $\langle ,\rangle \colon V\times V\to K$
    $\langle ,\rangle \colon ({\textbf {w}},{\textbf {v}})\to \langle {\textbf {w}},{\textbf {v}}\rangle .$
Grazie a questo prodotto scalare è possibile associare ad un vettore ${\textbf {w}}$ di $V$ l'applicazione $f_{w}$ tale che:
    $\langle f_{w},{\textbf {v}}\rangle =\langle {\textbf {w}},{\textbf {v}}\rangle .$
In questa relazione, l'applicazione bilineare di sinistra è quella naturale definita precedentemente, mentre quella di destra è il prodotto scalare su $V$. Qualora si identifichi $V$ e $V^{*}$ in questo modo, anche queste due applicazioni bilineari risultano essere identificate.
Anche in questo caso, l'isomorfismo non è naturale, perché dipende dalla scelta di un prodotto scalare per $V$.

## Esempi

La base standard di $\mathbb {R} ^{2}$ (il piano cartesiano) è:
    $\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}$
mentre la base standard del suo duale ${\mathbb {R} ^{2}}^{*}$ è:
    $\{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}.$
In tre dimensioni, per una data base $\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}$ si può trovare la base duale (o biortogonale) $\{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\mathbf {e} ^{3}\}$ con le formule:
    $\mathbf {e} ^{1}=\left({\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{V}}\right)^{T},\ \mathbf {e} ^{2}=\left({\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{V}}\right)^{T},\ \mathbf {e} ^{3}=\left({\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{V}}\right)^{T},$
dove l'apice $T$ indica la trasposta e
    $V=\det \left(\mathbf {e} _{1};\mathbf {e} _{2};\mathbf {e} _{3}\right)=\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})=\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})=\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})$
è il volume orientato del parallelepipedo formato dai vettori $\mathbf {e} _{1}$, $\mathbf {e} _{2}$ e $\mathbf {e} _{3}$.