# Biforcazione imperfetta

In matematica, una biforcazione è detta imperfetta se il suo studio è riconducibile a quello di una biforcazione canonica a meno di un fattore di disturbo.
Un esempio è dato dall'equazione differenziale della biforcazione pitchfork cui viene aggiunta, come imperfezione, una costante $h$:
    ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=h+rx-x^{3}$
Se $h\neq 0$ si perde la simmetria classica dei sistemi con biforcazioni a forcone. Per tale ragione $h$ è detto parametro di imperfezione.

## Studio della funzione

L'equazione differenziale è di difficile studio analitico, poiché vi sono due diversi parametri che fanno variare il sistema (ossia $r$ ed $h$).
Per ovviare a tale problema si considerano vari grafici con $r$ fissato e si studia geometricamente il sistema al variare del parametro $h$. In particolare si cercano le intersezioni tra le curve $y=rx-x^{3}$ ed $y=-h$.

### Caso $r\leq 0$

Quando $r\leq 0$ la cubica $y=rx-x^{3}$ è monotòna non crescente. La linea orizzontale $y=-h$ si interseca con la cubica esattamente in un punto per ogni valore di $h$.

### Caso $r>0$

Quando $r>0$ la curva non è più monotòna, quindi al variare di $h$ vi sono una, due o tre intersezioni.
Poiché lo studio delle intersezioni è simmetrico rispetto ad $h=0$, studiamo i vari casi solo per $-h\geq 0$ (ovvero $h\leq 0$ ).
Vi sarà un valore critico del parametro, $h_{c}$, in cui la linea orizzontale $y=-h$ è esattamente la tangente alla curva $y=rx-x^{3}$. Tale valore sarà dato dal massimo (minimo nel lato simmetrico rispetto all'asse delle ascisse) relativo alla cubica.
Per ricavare il valore del massimo e quello di $h_{c}$ studiamo la derivata
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(rx-x^{3}\right)=r-3x^{2}$
da cui, scegliendo il valore positivo:
    $x_{\mathrm {max} }={\sqrt {\frac {r}{3}}}$
e quindi:
    $h_{c}\left(r\right)=rx_{\mathrm {max} }-3x_{\mathrm {max} }^{2}={\frac {2r}{3}}{\sqrt {\frac {r}{3}}}$
Vediamo che succede diminuendo il parametro $h$:
* per $\left|h\right|>h_{c}$ si ha una sola intersezione che corrisponde ad un punto d'equilibrio stabile (la stabilità è facilmente ricavabile sia analiticamente sia geometricamente);
* per $\left|h\right|=h_{c}$ nasce un nuovo punto d'equilibrio semistabile (instabile a sinistra e stabile a destra) che si aggiunge al punto d'equilibrio stabile già presente;
* per $\left|h\right|<h_{c}$ vi sono, oltre al primo punto fisso stabile, due punti d'equilibrio distinti: uno più centrale rispetto alla simmetria della cubica instabile e l'altro stabile.
Ovviamente una situazione speculare la si verifica per $h<0$.
Per i valori critici $h=h_{c}$ ed $h=-h_{c}$ vi è l'improvvisa comparsa/scomparsa di due punti d'equilibrio, ovvero si ha, localmente, una biforcazione saddle-node.

## Diagramma di biforcazione $x$ vs. $r$

Studiando la stabilità tramite diagramma di biforcazione si vede che, se $h=0$ si ha il diagramma solito della biforcazione pitchfork, mentre per $h\neq 0$ si ottengono due curve disgiunte:
* un ramo stabile definito per ogni $r\in \mathbb {R}$, che tende a $\infty$ per $r\to +\infty$ e a $0$ per $r\to -\infty$;
* una curva definita per $r\geq h_{c}$ composta da un ramo stabile ed uno instabile che per $r\to +\infty$ tendono rispettivamente a $\infty$ (in segno opposto al ramo stabile precedente) e a $0$.