# Cardinalità del continuo

In matematica la cardinalità del continuo è il numero cardinale dell'insieme dei numeri reali $\mathbb {R}$ (insieme che, a volte, viene chiamato il continuo). Questo numero cardinale viene spesso indicato con il carattere ${\mathfrak {c}}$:
    ${\mathfrak {c}}=|\mathbb {R} |$

## Proprietà
### Non numerabilità

Georg Cantor introdusse il concetto di cardinalità di un insieme per confrontare le dimensioni di insiemi infiniti. Egli dimostrò che l'insieme dei numeri reali è non numerabile, cioè che ${\mathfrak {c}}$ è maggiore della cardinalità dei numeri naturali, indicata con $\aleph _{0}$ (aleph-zero):
    $\aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.$
In altre parole, i numeri reali sono molti di più (incommensurabilmente di più) dei numeri interi: tanto che questi ultimi possono venire contati, mentre i numeri reali no (per esempio è perfettamente lecito parlare dei "primi 100 numeri interi"; la stessa espressione applicata ai numeri reali è priva di senso).
Cantor dimostrò quest'affermazione utilizzando una tecnica nota come l'argomento diagonale.

### Uguaglianze tra numeri cardinali

Una variante dell'argomento diagonale di Cantor può essere usata per dimostrare il teorema di Cantor, che afferma che la cardinalità di ogni insieme è strettamente minore di quella del suo insieme delle parti, e cioè $|A|<2^{|A|}$. Si può concludere che l'insieme delle parti ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ dell'insieme dei numeri naturali $\mathbb {N}$ è non numerabile. Viene dunque spontaneo chiedersi se la cardinalità di ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ sia uguale a ${\mathfrak {c}}$: e la risposta è affermativa. Si può dimostrare quest'affermazione in due passi:
* Si definisce una applicazione $f:\mathbb {R} \to {\mathcal {P}}(\mathbb {Q} )$ dall'insieme dei numeri reali all'insieme delle parti dei numeri razionali che associa ad ogni numero reale $x$ l'insieme $\{q\in \mathbb {Q} |q\leq x\}$ di tutti i razionali minori o uguali a $x$ (se si considerano i reali costruiti mediante sezioni di Dedekind, questa applicazione non è altro che l'inclusione nell'insieme degli insiemi di numeri razionali). Questa applicazione è iniettiva, perché i razionali sono densi nei reali. Dato che i razionali sono numerabili si ottiene che ${\mathfrak {c}}\leq 2^{\aleph _{0}}$.
* Sia $\{0,2\}^{\mathbb {N} }$ l'insieme delle successioni che assumono valori nell'insieme $\{0,2\}$. Questo insieme ha cardinalità $2^{\aleph _{0}}$ (l'applicazione biunivoca naturale tra l'insieme delle successioni binarie e ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ è data dalla funzione caratteristica). Poi si associ ognuna di queste successioni $a_{i}$ al numero reale appartenente all'intervallo unitario $[0,1]$ che abbia come parte decimale (espressa in base 3) la successione $a_{i}$. Questo significa che la $i$-esima cifra dopo la virgola è data proprio da $a_{i}$. L'immagine di questa applicazione è l'insieme di Cantor. Inoltre questa applicazione è iniettiva, perché evitando i punti con la cifra 2 nella loro espansione decimale in base 3 si evita l'ambiguità dovuta al fatto che l'espansione decimale di un numero reale non è unica. Si ha dunque che $2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}$.
Per il teorema di Cantor-Bernstein-Schroeder si conclude che
    ${\mathfrak {c}}=|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}.$

#### Numeri beth

La successione dei numeri beth è definita ponendo $\beth _{0}=\aleph _{0}$ e $\beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}$. Dunque ${\mathfrak {c}}$ è il secondo numero beth, beth-uno
    ${\mathfrak {c}}=\beth _{1}.$
Il terzo numero beth, $\beth _{2}=2^{\mathfrak {c}}$, è la cardinalità dell'insieme di tutti i sottoinsiemi dei numeri reali.
Utilizzando le regole dell'aritmetica dei numeri cardinali si può dimostrare che
    ${\mathfrak {c}}=n{\mathfrak {c}}=\aleph _{0}{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}^{n}=n^{\aleph _{0}}={\aleph _{0}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}$
dove $n$ è un qualunque cardinale finito maggiore o uguale a 2.

## L'ipotesi del continuo

La famosa ipotesi del continuo afferma che ${\mathfrak {c}}$ è anche il secondo numero aleph, cioè $\aleph _{1}$ (aleph-uno). In altre parole, l'ipotesi del continuo afferma che non esiste un insieme $A$ avente cardinalità strettamente compresa tra $\aleph _{0}$ e ${\mathfrak {c}}$:
    $\nexists A:\aleph _{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.$
Oggi si sa che l'ipotesi del continuo è indipendente dagli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZFC). Questo significa che sia l'ipotesi del continuo sia la sua negazione sono consistenti con questi assiomi. In effetti, si ha che per ogni numero naturale $n$ diverso da zero, l'uguaglianza ${\mathfrak {c}}=\aleph _{n}$ è indipendente da ZFC (il caso $n=1$ è l'ipotesi del continuo). L'affermazione è vera per molti altri aleph, anche se in alcuni casi si può dimostrare l'uguaglianza, grazie al teorema di König sulla base della cofinalità, per esempio ${\mathfrak {c}}\neq \aleph _{\omega }$. In particolare, ${\mathfrak {c}}$ può essere uguale a $\aleph _{1}$ oppure a $\aleph _{\omega _{1}}$, dove $\omega _{1}$ rappresenta il primo numero ordinale non numerabile, e quindi ${\mathfrak {c}}$ può essere un cardinale successore o un cardinale limite, e un cardinale regolare oppure un cardinale singolare.

## Insiemi con cardinalità ${\mathfrak {c}}$

Molti insiemi studiati in matematica hanno cardinalità uguale a ${\mathfrak {c}}$. Per esempio:
* l'insieme dei numeri reali $\mathbb {R}$,
* qualunque intervallo (non degenere) aperto o chiuso in $\mathbb {R}$, come ad esempio l'intervallo unitario $[0,1]$,
* l'insieme dei numeri irrazionali,
* l'insieme dei numeri trascendenti,
* lo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$,
* l'insieme dei numeri complessi $\mathbb {C}$,
* l'insieme delle parti dei numeri naturali (l'insieme di tutti i sottoinsiemi dei numeri naturali),
* l'insieme delle successioni di interi, spesso indicato con $\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }$,
* l'insieme delle successioni di numeri reali, $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$,
* l'insieme di tutte le funzioni continue da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ (mentre l'insieme di tutte le funzioni da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ ha cardinalità $2^{\mathfrak {c}}$) ,
* l'insieme di Cantor,
* la topologia euclidea di $\mathbb {R} ^{n}$ (cioè l'insieme di tutti gli insiemi aperti in $\mathbb {R} ^{n}$).