# Assioma della coppia

Nella teoria degli insiemi l'assioma della coppia è uno degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.
Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Frankel, l'assioma si scrive:
    $\forall A,\forall B,\exists C,\forall D:D\in C\iff (D=A\lor D=B)$
oppure a parole:
    Dato un generico insieme A e dato un generico insieme B, esiste un insieme C tale che, dato un generico insieme D, D è un elemento di C se e solo se D è uguale ad A o D è uguale a B.
Quello che l'assioma in pratica sta dicendo è che, dati due insiemi A e B, possiamo trovare un insieme C i cui elementi sono esattamente A e B. Possiamo usare l'assioma di estensionalità per mostrare che questo insieme C è unico. Chiamiamo questo insieme coppia di A e B, e lo indichiamo con {A,B}. Quindi l'essenza dell'assioma è:
    Per ogni gruppo di due insiemi abbiamo una coppia.
{A,A} è abbreviato in {A}, ed è definito come il singoletto che contiene A. Si noti che un singoletto è un caso particolare di una coppia.
L'assioma della coppia permette anche la definizione delle coppie ordinate. Per ogni insieme $a$ e $b$, la coppia ordinata è definita come segue:
    $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}.$
Si osservi che questa definizione soddisfa la definizione
    $(a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d.$
Le n-tuple possono essere definite ricorsivamente come segue:
    $(a_{1},\ldots ,a_{n})=((a_{1},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}).$
L'assioma della coppia è generalmente considerato non controverso, e appare in questa forma o in una forma equivalente in quasi tutte le assiomatizzazioni alternative della teoria degli insiemi. Tuttavia, nella formulazione standard della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel, l'assioma della coppia segue dall'assioma dell'insieme potenza e dallo schema di rimpiazzamento, quindi talvolta è omesso.

## Generalizzazione

Assieme all'assioma dell'insieme vuoto, l'assioma della coppia può essere generalizzato nella seguente affermazione:
    $\forall A_{1},\ldots ,\forall A_{n},\exists C,\forall D:D\in C\iff (D=A_{1}\lor \cdots \lor D=A_{n})$
cioè:
    Dato un qualsiasi numero finito di insiemi A$_1$, ..., A$_n$, esiste un insieme C i cui elementi sono esattamente A$_1$, ..., A$_n$.
Questo insieme C è ancora unico per l'assioma di estensionalità, ed è indicato con {A$_1$...,A$_n$}.
Naturalmente, non possiamo riferirci a un numero finito di insiemi rigorosamente senza avere fra le mani un insieme (finito) al quale gli insiemi in questione appartengono. Quindi questa non è una singola affermazione, ma invece uno schema, con un'affermazione separata per ogni numero naturale n.
* Il caso n = 1 è l'assioma della coppia con A = A$_1$ e B = A$_1$.
* Il caso n = 2 è l'assioma della coppia con A = A$_1$ e B = A$_2$.
* I casi n > 2 possono essere dimostrati usando l'assioma della coppia e l'assioma dell'unione più volte.
Ad esempio, per provare il caso n = 3, si usa l'assioma della coppia tre volte, per produrre la coppia {A$_1$,A$_2$}, il singoletto {A$_3$}, e infine la coppia {{A$_1$,A$_2$},{A$_3$}}. L'assioma dell'unione quindi produce il risultato desiderato, {A$_1$,A$_2$,A$_3$}. Possiamo estendere questo schema per includere n=0 se interpretiamo questo caso come l'assioma dell'insieme vuoto.
Quindi, si può usare questo schema come schema di assiomi al posto degli assiomi dell'insieme vuoto e della coppia. In genere, comunque, si usano gli assiomi dell'insieme vuoto e della coppia separatamente, e poi si prova questo come schema di teoremi. Si noti che l'adozione di questo schema di assiomi non sostituisce l'assioma dell'unione, che si mostra necessario in altre situazioni.