# Spazio di Besov

In analisi funzionale, uno spazio di Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ è uno spazio metrico completo quasinormato che è uno spazio di Banach quando $1\leq p$ e $q\leq \infty$. Sotto opportune ipotesi gli spazi di Besov sono equivalenti a spazi di interpolazione intermedi tra spazi di Sobolev. Nello specifico, sia:
    $\Delta _{h}f(x)=f(x-h)-f(x)$
una differenza finita e si consideri il modulo di continuità:
    $\omega _{p}^{2}(f,t)=\sup _{|h|\leq t}\left\|\Delta _{h}^{2}f\right\|_{p}$
Se n è un numero intero non negativo, definendo $s=n+\alpha$ con $0<\alpha \leq 1$, lo spazio di Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ contiene tutte le funzioni $f$ tali che:
    $f\in W^{n,p}(\mathbb {R} )\qquad \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}<\infty$
dove $W^{n,p}(\mathbb {R} )$ è uno spazio di Sobolev.
Nello spazio di Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ è definita la norma:
    $\left\|f\right\|_{B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}=\left(\|f\|_{W^{n,p}(\mathbf {R} )}^{q}+\int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}$
Lo spazio $B_{2,2}^{s}(\mathbb {R} )$ coincide con il classico spazio di Sobolev $H^{s}(\mathbb {R} )$.

## Differenze finite e moduli di continuità

La differenza finita di ordine m e passo h applicata a $f(x)$ è definita nel seguente modo:
    $\Delta _{h}^{m}f(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{m-k}f(x+kh)$
Da cui il modulo di continuità di ordine m di $f$ in Lp è definito da:
    $\omega _{p}^{m}(f,t)=\sup _{|h|\leq t}\|\Delta _{h}^{m}f\|_{p}$
Siano $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}$ un dominio, $s>0$ e $p,q\in (0,\infty ]$. Si ponga inoltre $m:=[s]+1$. Lo spazio di Besov:
    $B_{p,q}^{s}(\Omega ):=B_{p}^{s,q}(\Omega ):=B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))$
è l'insieme delle funzioni in $L^{p}(\Omega )$ tali che la quasi-seminorma:
    $|f|_{B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}={\begin{cases}\left(\int _{0}^{\infty }[t^{-s}\omega _{p}^{m}(f,t)]^{q}{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}\quad &0<q<\infty \\\sup _{t\in (0,\infty )}t^{-s}\omega _{p}^{m}(f,t)&q=\infty \end{cases}}$
è finita. In simboli:
    $B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega )):=\{f\in L^{p}{\mbox{ t.c. }}|f|_{B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}<\infty \}$

## Norma

Questo spazio è munito della norma:
    $\|f\|_{B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}=\|f\|_{L^{p}}+|f|_{B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}$

## Inclusioni

Fra gli spazi di Besov valgono le seguenti inclusioni:
    $B_{q_{1}}^{s}(L^{p}(\Omega ))\subset B_{q_{2}}^{s}(L^{p}(\Omega ))\qquad q_{1}<q_{2}$
Per quanto riguarda $B_{\infty }^{1}$, talvolta detto spazio di Zygmund ($B_{\infty }^{1}({\mathcal {C}})$), si hanno le seguenti inclusioni:
* ${\mathcal {C}}^{0,1}({\overline {\Omega }})\subset B_{\infty }^{1}({\mathcal {C}}^{0}({\overline {\Omega }}))$
* $W^{1}(L^{p}(\Omega ))\subseteq B_{\infty }^{1}(L^{p}(\Omega )),$ dove l'uguaglianza vale per $p=2$.

## Interpolazione

Siano $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}$ un dominio lipschitziano, $m\in \mathbb {N}$ e $p\in [1,\infty ]$. Allora il funzionale di Peetre K è equivalente a meno di costanti al modulo di continuità di ordine m di $f$ in Lp:
    $K(f,t^{m};L^{p}(\Omega ),W^{m}(L^{p}(\Omega )))\approx \omega _{p}^{m}(f,t)$
Quindi gli spazi che interpolano $L^{p}(\Omega )$ e $W^{m}(L^{p}(\Omega ))$ sono spazi di Besov:
    $(L^{p}(\Omega ),W^{m}(L^{p}(\Omega )))_{\theta ,q}=B_{q}^{\theta m}(L^{p}(\Omega ))\qquad \forall \,\theta \in (0,1)\quad \forall \,q\in (0,\infty ]$