# Gerarchia di Von Neumann

In teoria degli insiemi, si usa il termine gerarchia di Von Neumann per indicare una particolare successione parametrizzata con numeri ordinali e definita per ricorsione come segue:
${\begin{cases}V_{0}=\emptyset \\V_{\alpha +1}={\mathcal {P}}(V_{\alpha })\\V_{\lambda }=\bigcup _{\gamma \in \lambda }V_{\gamma }\qquad {\text{con }}\lambda {\text{ limite}}\end{cases}}$
(Con ${\mathcal {P}}(A)$ s'intende l'insieme delle parti di $A$).
Osserviamo che, mentre dato un qualsiasi ordinale $\alpha$ si ha che $V_{\alpha }$ è un insieme, l'unione
$VN=\bigcup _{\alpha {\text{ ordinale}}}V_{\alpha }$
non è un insieme, ma una classe propria, infatti chiaramente esiste una funzione classe $F:ORD\rightarrow VN$ iniettiva, ma siccome $ORD$ è una classe propria allora l'immagine iniettiva di una classe propria è una classe propria.

## Proprietà

Valgono i seguenti fatti:
* $x\in y\in V_{\alpha }\Rightarrow \quad \exists \quad \beta \in \alpha {\text{ tale che }}x\in V_{\beta }$
* $\beta \leq \alpha \Rightarrow V_{\beta }\subseteq V_{\alpha }$
* $\alpha \subseteq V_{\alpha }{\text{ ma }}\alpha \notin V_{\alpha }$

## Gerarchia di Von Neumann e assioma di fondazione

La gerarchia di Von Neumann assume un particolare interesse se si considera l'assioma di fondazione, infatti si dimostrano i seguenti fatti in ZFC\(Assioma di Fondazione):
${\text{Assioma di Fondazione}}\Leftrightarrow VN=V$
In altre parole, qualora si assuma per vero l'assioma di fondazione si ottiene $VN=V$ (ricordiamo che con $V$ indichiamo la classe propria di tutti gli insiemi.
È interessante osservare che la scelta della lettera $V$ per designare tale classe, e quindi anche per indicare i vari insiemi della gerarchia, deriva dalla rappresentazione grafica a lato.
Questa raffigurazione permette anche di sottolineare la stretta relazione tra la gerarchia di Von Neumann e i concetti stessi di insiemi e classi: supponendo infatti di disegnare sul grafico alcune collezioni di oggetti, gli insiemi saranno sempre limitati da un elemento della gerarchia, le classi saranno tutte e sole le collezioni che "bucano" tutta la gerarchia verso l'alto.

## Gerarchia di Von Neumann e numero beth

Sia α ordinale, allora:
$|V_{\alpha }|={\begin{cases}^{\alpha }2=\underbrace {2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot }}}}} _{\alpha \ volte}\qquad \quad se\quad \alpha \in \omega \\\beth _{\alpha -\omega }\qquad \qquad \quad se\quad \omega \leqslant \alpha \quad \land \quad \alpha \in \omega ^{2}\\\beth _{\alpha }\qquad \qquad \qquad se\quad \alpha \geqslant \omega ^{2}\end{cases}}$
con $^{\alpha }2$ la tetrazione di 2 e $\beth _{\alpha }$ il numero beth associato ad $\alpha$.

## Modelli di ZF

Un qualsiasi elemento della gerarchia di Von Neumann, per come è definito, rispetta gran parte degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel. Ad esempio sarà chiuso per unione, conterrà l'insieme vuoto (con l'eccezione di $V_{0}$)...
Si potrebbe quindi sperare di trovare uno o più elementi della gerarchia che siano modelli della ZF, ovvero rendano veri tutti gli assiomi. È interessare esaminare alcuni casi particolari:
* $V_{\omega }$ non rispetta l'assioma dell'infinito; infatti, sebbene $V_{\omega }$ stesso sia infinito, tutti i suoi elementi sono finiti. Si dimostra facilmente che $V_{\omega }$ rispetta tutti gli altri assiomi: $V_{\omega }\vDash ZF\setminus \{{\text{AI}}\}$.
* dato un qualsiasi ordinale successore $\alpha =\beta +1$, $V_{\alpha }$ non rispetterà, tra gli altri, l'assioma della coppia: infatti $V_{\alpha }$ conterrà $V_{\beta }$ ma non il singoletto $\{V_{\beta }\}$, che non è altro che la coppia $\{V_{\beta },V_{\beta }\}$
* $V_{\omega +\omega }$ rispetta l'assioma dell'infinito (contiene $\omega$) e l'assioma della coppia (difatti $\omega +\omega$ è un ordinale limite, il più piccolo dopo $\omega$), ma non l'assioma di rimpiazzamento; infatti possiamo definire su ogni $n\in \omega$ la funzione:
    $f(n)=\omega +n$
    Nonostante la funzione sia ben definita $\forall n\in \omega$, l'immagine di $\omega$ tramite questa funzione sarebbe $\{\omega +1,\omega +2,\omega +3,\omega +4\dots \}=\omega +\omega$, che non è un elemento di $V_{\omega +\omega }$ (nonostante ne sia un sottoinsieme).
In ultima analisi, si dimostra che un cardinale inaccessibile (maggiore di $\aleph _{0}$) è tale che $V_{\alpha }$ è un modello per ZF; il fatto che la loro esistenza sia indecidibile all'interno di ZF è in linea con il secondo teorema di incompletezza di Gödel, che afferma che una teoria sufficientemente potente non può provare la propria coerenza, e quindi non si può trovare un modello per la ZF nell'ambito della ZF stessa.