# Distribuzione paretiana

In teoria delle probabilità la distribuzione paretiana (o distribuzione di Pareto, così chiamata in onore di Vilfredo Pareto) è una distribuzione di probabilità continua, utilizzata in particolar modo per descrivere la distribuzione dei redditi.

## Metodologia

La funzione di densità di probabilità associata alla distribuzione paretiana è:
       $\ f(x)={\frac {\alpha \beta ^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}$
       $f(x)={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&{\text{per }}x\geq \beta \\0&{\text{per }}x<\beta \end{cases}}$
La distribuzione paretiana è caratterizzata da due parametri: uno di posizione $\beta$ positivo, che è il valore minimo che può assumere $X$, e un parametro di forma $\alpha$, anch'esso positivo, che viene spesso indicato come "indice coda".
La variabile casuale paretiana è spesso utilizzata per modellizzare la distribuzione del reddito; in tal caso, $\beta$ viene interpretato come reddito minimo.
Integrando la funzione densità tra $\beta$ e $x\in (\beta ;+\infty )$ si ottiene la funzione di distribuzione:
${\begin{alignedat}{2}F_{X}(x)=\alpha \beta ^{\alpha }\int _{\beta }^{+\infty }\xi ^{-(\alpha +)}d\xi &=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot -{\frac {1}{\alpha }}\xi ^{-\alpha }{\bigg |}_{\beta }^{+\infty }=-\beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{\xi ^{\alpha }}}{\bigg \vert }_{\beta }^{x}\\[2ex]&=-\beta ^{\alpha }\left({\dfrac {1}{x^{\alpha }}}-{\dfrac {1}{\beta ^{\alpha }}}\right)=1-\left({\dfrac {\beta }{x}}\right)^{\alpha }\end{alignedat}}$
$F(x)={\begin{cases}1-{\bigg{\dfrac {\beta }{x}}{\bigg )}^{\alpha }&{\text{per }}x\geq \beta \\0&{\text{per }}x<\beta \end{cases}}$
I suoi principali parametri sono:

### Momenti ordinari

    ${\begin{aligned}\mu _{1}&=\displaystyle \int _{\beta }^{+\infty }x{\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\displaystyle \int _{\beta }^{+\infty }x^{-\alpha }\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {x^{1-\alpha }}{1-\alpha }}{\bigg \vert }_{\beta }^{+\infty }\\[2ex]&={\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{1-\alpha }}\cdot {\dfrac {1}{x^{\alpha -1}}}{\bigg \vert }_{\beta }^{+\infty }={\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{1-\alpha }}\left(0-{\dfrac {1}{\beta ^{\alpha -1}}}\right)={\dfrac {\alpha \beta }{\alpha -1}}\\\end{aligned}}$
       Da cui si ottiene:
    $\mu _{1}={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta }{\alpha -1}}&{\text{per }}\alpha >1\\\infty &{\text{per }}\alpha \geq 1\end{cases}}$
    ${\begin{aligned}\mu _{2}&=\alpha \beta ^{\alpha }\int _{\beta }^{+\infty }{\dfrac {x^{2}}{x^{\alpha +1}}}\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\int _{\beta }^{+\infty }x^{1-\alpha }\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{2-\alpha }}x^{2-\alpha }{\bigg \vert }_{\beta }^{+\infty }\\[2ex]&=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{2-\alpha }}{\dfrac {1}{x^{\alpha -2}}}{\bigg \vert }_{\beta }^{+\infty }=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{2-\alpha }}\left(0-{\dfrac {1}{\beta ^{\alpha -2}}}\right)\\[2ex]&=-{\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{2-\alpha }}\cdot {\dfrac {1}{\beta ^{\alpha -2}}}={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{\alpha -2}}\end{aligned}}$
    Da cui si ricava:
    $\mu _{2}={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{\alpha -2}}&{\text{per }}\alpha >2\\\infty &{\text{per }}\alpha \geq 2\end{cases}}$
    In generale un momento di ordine $n$ è definito come:
    $\mu _{n}={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta ^{n}}{x-n}}&{\text{per }}0<n<\alpha \\\infty &{\text{per }}n\geq \alpha \end{cases}}$

### Funzione generatrice dei momenti

$M(\theta )=E[e^{\theta x}]=\alpha (-\beta \theta )^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-\beta \theta )$
dove $\Gamma (-\alpha ,-\beta \theta )$ è una funzione gamma incompleta.
La funzione generatrice di momenti è definita solo per valori non positivi di $\theta$.

#### Varianza

    ${\begin{aligned}\sigma ^{2}&=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{\alpha -2}}-\left({\dfrac {\alpha \beta }{\alpha -1}}\right)^{2}={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{\alpha -2}}-{\dfrac {\alpha ^{2}\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}}}\\[2ex]&={\dfrac {\alpha \beta ^{2}(\alpha -1)^{2}-\alpha ^{2}\beta ^{2}(\alpha -2)}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}\\[2ex]&={\dfrac {\alpha ^{3}\beta ^{2}+\alpha \beta ^{2}-2\alpha ^{2}\beta ^{2}-\alpha ^{3}\beta ^{2}+2\alpha ^{2}\beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}\\[2ex]&={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}\end{aligned}}$
    Da cui ricaviamo:
    $\sigma ^{2}={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}&{\text{per }}\alpha >2\\\infty &{\text{per }}\alpha \in (1;2]\end{cases}}$
    Si noti che per $\alpha \leq 1$ la varianza non esiste.
Mediana
$1-{\bigg{\frac {\beta }{\xi _{0.5}}}{\bigg )}^{\alpha }={\frac {1}{2}}\rightarrow {\bigg{\frac {\beta }{\xi _{0.5}}}{\bigg )}^{\alpha }={\frac {1}{2}}$
$\xi _{0.5}={\sqrt[{\alpha }]{2}}\beta$

#### Simmetria

    $\beta _{1}={\frac {4(\alpha -2)(\alpha +1)^{2}}{\alpha (\alpha -3)^{2}}}$ per $\alpha >3$

#### Curtosi

    $\beta _{2}={\frac {3(\alpha -2)(3\alpha ^{2}+\alpha +2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}$ per $\alpha >4$

## Caratteristiche

La variabile casuale paretiana ha elasticità costante (negativa):
    ε(x) = df / f / dx / x = -(α+1)
che può essere interpretato nel senso che, qualunque sia il reddito x$_0$

### se

    per il reddito x$_0$ abbiamo y$_0$ persone che lo guadagnano

### allora

    per il reddito x$_0$+1% ci saranno y$_0$-(α+1)% persone