# Trasformazione binomiale

In matematica, la trasformazione binomiale è una trasformazione di una successione tramite differenze finite. Le trasformazioni binomiali sono strettamente legate alla somma di Eulero.

## Descrizione

La trasformazione binomiale di una successione $\{a_{k}\}$ è la successione $\{s_{n}\}$ definita come:
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}$
Formalmente si può scrivere $(Ta)_{n}=s_{n}$, dove $T$ è un operatore definito su un opportuno spazio di successioni con matrice infinita $\{T_{nk}\}$:
    $s_{n}=(Ta)_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}a_{k}$
La trasformazione è un'involuzione, vale a dire:
    $TT=1$
o equivalentemente:
    $\sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}T_{km}=\delta _{nm}$
dove $\delta$ è il delta di Kronecker. La successione originale si ritrova dunque tramite la stessa formula:
    $a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}s_{k}$
I primi termini della successione trasformata sono i seguenti:
    $s_{0}=a_{0}$
    $s_{1}=-(\triangle a)_{0}=-a_{1}+a_{0}$
    $s_{2}=(\triangle ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_{2}-2a_{1}+a_{0}$
    $\dots$
    $s_{n}=(-1)^{n}(\triangle ^{n}a)_{0}$
dove $\Delta$ è l'operatore di differenza finita in avanti. Alcuni studiosi definiscono la trasformazione binomiale con un altro segno:
    $t_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}a_{k}$
In questo modo essa non è più involutoria; la sua inversa invece è:
    $a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}t_{k}$

## Operatore di Shift

La trasformazione binomiale è l'operatore di shift per i numeri di Bell:
    $B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}$
dove $B_{n}$ sono i numeri di Bell.

## Funzione generatrice

La trasformazione connette funzioni generatrici associate alla serie. Per la funzione generatrice ordinaria, sia:
    $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$
e:
    $g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}$
allora:
    $g(x)=(Tf)(x)={\frac {1}{1-x}}f\left({\frac {x}{x-1}}\right)$

## Generalizzazione

Si può definire un'altra trasformazione ponendo:
    $u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}(-c)^{n-k}b_{k}$
che fornisce:
    $U(x)={\frac {1}{cx+1}}B\left({\frac {ax}{cx+1}}\right)$
dove $U$ e $B$ sono le ordinarie funzioni generatrici associate alle serie $\{u_{n}\}$ e $\{b_{n}\}$ rispettivamente. Nel caso in cui la trasformazione binomiale sia definita come:
    $\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}=b_{n}$
Si ponga questa somma uguale alla funzione ${\mathfrak {J}}(a)_{n}=b_{n}$. Considerando una nuova tabella delle differenze all'indietro, se si prendono i primi elementi di ogni riga per formare una nuova successione $\{b_{n}\}$ allora la trasformazione binomiale seconda della successione originale è:
    ${\mathfrak {J}}^{2}(a)_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-2)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}$
Ripetendo questo procedimento k volte segue che:
    ${\mathfrak {J}}^{k}(a)_{n}=b_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-k)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}$
il cui inverso è:
    ${\mathfrak {J}}^{-k}(b)_{n}=a_{n}=\sum _{i=0}^{n}k^{n-i}{\binom {n}{i}}b_{i}$
Si può generalizzare ciò come:
    ${\mathfrak {J}}^{k}(a)_{n}=b_{n}=(\mathbf {E} -k)^{n}a_{0}$
dove $\mathbf {E}$ è l'operatore di shift. Il suo inverso è:
    ${\mathfrak {J}}^{-k}(b)_{n}=a_{n}=(\mathbf {E} +k)^{n}b_{0}$