# Teorema di Hamilton-Cayley

In algebra lineare, il teorema di Hamilton-Cayley, il cui nome è dovuto a William Rowan Hamilton e Arthur Cayley, asserisce che ogni applicazione lineare di uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo $K$ in sé stesso (o equivalentemente ogni matrice quadrata) è una radice del suo polinomio caratteristico, visto come polinomio a coefficienti in $K$ valutabile sull'algebra degli endomorfismi (o delle matrici quadrate).
Più precisamente, se $A$ è la trasformazione lineare nello spazio $n$-dimensionale (o, equivalentemente, una matrice $n\times n$) e $I_{n}$ è l'operatore identità (o, equivalentemente, la matrice identità), allora vale:
    $(-1)^{n}A^{n}+(-1)^{n-1}\mathrm {tr} (A)A^{n-1}+\ldots +\det(A)I_{n}=0.$
Questo risultato implica che il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico, ed è quindi utile per trovare la forma canonica di Jordan di una applicazione o matrice. Inoltre, rende effettuabile analiticamente il calcolo di qualsiasi funzione di matrice. Il teorema di Hamilton–Cayley vale anche per matrici quadrate su anelli commutativi.

## Il teorema

Un endomorfismo di uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ è una trasformazione lineare $T\colon V\to V$. L'insieme degli endomorfismi su $V$, con le operazioni di addizione, moltiplicazione per scalare e composizione, è una $K$-algebra denotata con ${\textrm {End}}_{K}(V)$ o ${\textrm {End}}(V)$. Analogamente, le matrici quadrate di ordine $n$ a valori in $K$, con le operazioni di somma, prodotto per scalare e prodotto, formano una $K$-algebra denotata con $M(n,K)$ o $M(n)$.
Se $V$ ha dimensione $n$, considerando una base $B$ per $V$ si può associare a ogni endomorfismo di ${\textrm {End}}_{K}(V)$ una matrice di $M(n,K)$ tramite un isomorfismo.
Inoltre, considerando un polinomio $p(x)$ a coefficienti in $K$, se $a$ è un qualsiasi elemento di una $K$-algebra si definisce l'elemento $p(a)$ dell'algebra come quello ottenuto da $a$ tramite le operazioni prescritte da $p$ (somma, prodotto per scalare e prodotto fra elementi dell'algebra). In particolare, se $T$ è un endomorfismo allora $p(T)$ è un endomomorfismo, e se $A$ è una matrice allora $p(A)$ è una matrice.

### Enunciato

Il teorema di Hamilton-Cayley asserisce che se $f$ è un endomorfismo di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita e $p(x)$ è il suo polinomio caratteristico, allora $p(f)=0$.
Analogamente, se $A$ è una matrice quadrata e $p(x)$ il suo polinomio caratteristico, allora $p(A)=0$.

### Dimostrazione

Si consideri un generico $v\in V$. Se $v=0$, allora è banale che $p(f)(v)=0$, essendo $p(f)$ un endomorfismo. Possiamo allora considerare $v\neq 0$. Prendiamo $k\in \mathbb {N}$ massimo tale che $v,$ $f(v),$ $f^{2}(v),$ $\ldots ,$ $f^{k-1}(v)$ siano linearmente indipendenti, cioè $f^{k}(v)=a_{k}v+a_{k-1}f(v)+\ldots +a_{1}f^{k-1}(v)$. Possiamo completare questo insieme di vettori ad una base di $V$, $B=\{v,f(v),\ldots ,f^{k-1}(v),v_{1},\ldots ,v_{n}\}$. La matrice associata ad $f$ rispetto a questa base sarà allora del tipo $M_{B}(f)={\begin{bmatrix}A&D\\0&C\end{bmatrix}}$ con
    $A={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&a_{k}\\1&0&\dots &0&a_{k-1}\\0&1&\dots &0&a_{k-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&a_{1}\end{bmatrix}}.$
La matrice $M_{B}(f)$ è triangolare a blocchi, dunque il suo polinomio caratteristico è
    $p_{M_{B}(f)}(t)=p_{C}(t)p_{A}(t)=p_{C}(t)(-1)^{k}(t^{k}-a_{1}t^{k-1}-\ldots -a_{k}),$
da cui
    $p_{M_{B}(f)}(f)=p_{C}(f)(-1)^{k}(f^{k}-a_{1}f^{k-1}-\ldots -a_{k}).$
Applicando questo endomorfismo a $v$, otteniamo
    $p_{M_{B}(f)}(f)(v)=p_{C}(f)(-1)^{k}(f^{k}(v)-a_{1}f^{k-1}(v)-\ldots -a_{k}v).$
Ma per quanto visto, $f^{k}(v)=a_{1}f^{k-1}(v)+\ldots +a_{k}v$, dunque $p_{M_{B}(f)}(f)(v)=0$ e dalla generalità di $v$ segue la tesi.

## Esempio

Si consideri per esempio la matrice:
    $A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}.$
Il suo polinomio caratteristico è dato da:
    $p(\lambda )=\det {\begin{bmatrix}1-\lambda &2\\3&4-\lambda \end{bmatrix}}=(1-\lambda )(4-\lambda )-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2.$
Il teorema di Cayley–Hamilton implica che:
    $A^{2}-5A-2I_{2}=0,$
il che si può facilmente verificare.

## Applicazioni
### Diagonalizzabilità

Il teorema introduce alla definizione di polinomio minimo, uno strumento molto potente per verificare se una matrice o applicazione è diagonalizzabile. Ad esempio, in questo modo si verifica rapidamente se una matrice $A$ che soddisfa alcune relazioni polinomiali, quali $A^{2}=I_{n}$ oppure $A^{2}=A$, è diagonalizzabile.

### Potenza di matrice

Il teorema permette di calcolare potenze di matrici ad esponente intero più semplicemente che con la moltiplicazione diretta, mentre per il calcolo di potenze ad esponente arbitrario è necessario fare leva anche sulla teoria della funzione di matrice. Ad esempio, usando il risultato precedente:
    $A^{2}-5A-2I_{2}=0,$
    $A^{2}=5A+2I_{2},$
si può calcolare $A^{4}$ nel modo seguente:
    $A^{3}=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2},$
    $A^{4}=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A,$
    $A^{4}=145A+54I_{2}.$
Analogamente:
    $A^{-1}=A^{-1}I_{2}=A^{-1}{\frac {A^{2}-5A}{2}}={\frac {A-5I_{2}}{2}},$
    $A^{-2}=A^{-1}A^{-1}={\frac {A^{2}-10A+25I_{2}}{4}}={\frac {(5A+2I_{2})-10A+25I_{2}}{4}}={\frac {-5A+27I_{2}}{4}}.$

## Dimostrazione

Si fornisce una dimostrazione analitica nel caso in cui $K$ sia il campo dei numeri reali o complessi: sia $A$ una matrice quadrata con $n$ righe. Si supponga inizialmente che $A$ sia diagonalizzabile sul campo dei numeri complessi. Quindi $A$ è simile a $D$ diagonale, in altre parole esiste una matrice invertibile $M$ tale che:
    $A=M^{-1}DM.$
Le matrici $D$ e $A$ hanno lo stesso polinomio caratteristico, che si fattorizza come:
    $p(x)=(\lambda _{1}-x)\cdots (\lambda _{n}-x),$
dove $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ sono gli autovalori di $A$ (con molteplicità), presenti sulla diagonale di $D$. Qui è facile verificare che $p(D)$ è il prodotto di matrici diagonali con zeri che variano sulla diagonale, e perciò è la matrice nulla. D'altra parte, si verifica che:
    $p(A)=p(M^{-1}DM)=M^{-1}p(D)M=M^{-1}0M=0.$
Si è dimostrato il teorema per le matrici diagonalizzabili. L'insieme delle matrici diagonalizzabili su $\mathbb {C}$ formano un insieme denso nello spazio topologico delle matrici $n\times n$ in $\mathbb {C}$. La funzione che associa ad una matrice $A$ la matrice $P(A)$ è continua. Una funzione continua che vale sempre zero su un denso vale zero ovunque, da cui la tesi.
Nel caso di matrici su un campo $K$ qualsiasi, si può ottenere una dimostrazione secondo la traccia seguente. Si estende per cominciare $K$ alla sua chiusura algebrica $F$. In $F$ la matrice $A$ ha dunque $n$ autovalori (contando le molteplicità), e può quindi essere messa in forma triangolare. Ora per le matrici triangolari il teorema è facilmente verificato, in modo simile a quanto appena visto per le matrici diagonali.