# Superficie parametrica

Una parametrizzazione è un'applicazione, più nello specifico una funzione vettoriale, $\tau \colon V\subset \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ infinitamente differenziabile in $V$ aperto e connesso. Per $n=2$ e $m=3$ l'immagine di questa applicazione è una superficie parametrizzata.
Una superficie parametrica è una superficie differenziabile rappresentata in un sistema di coordinate parametrico del tipo:
    $1)\ \Sigma :{\begin{cases}x=\phi (u,v)\\y=\psi (u,v)\\z=\chi (u,v).\end{cases}}$
Una superficie si dice regolare se soddisfa le seguenti proprietà:
* $\phi (u,v),\psi (u,v),\chi (u,v)\in C^{1}(A)$, cioè devono essere funzioni continue con derivata continua in un insieme aperto $A$ (sono quindi differenziabili).
* La matrice Jacobiana ${\frac {\partial (\phi ,\psi ,\chi )}{\partial (u,v)}}={\begin{bmatrix}\phi _{u}&\psi _{u}&\chi _{u}\\\phi _{v}&\psi _{v}&\chi _{v}\end{bmatrix}}$, abbia rango uguale a due, cioè le derivate non si annullino mai in uno stesso punto. Questa proprietà equivale a che la somma dei quadrati dei minori di ordine due sia positiva.
* La corrispondenza tra $V$ e $\mathbb {R} ^{3}$ sia iniettiva.

## Linee coordinate

Una superficie è un oggetto bidimensionale che vive nello spazio tridimensionale, per questo motivo i punti della superficie sono identificati da tre variabili: al variare dei punti $(u,v)$ nel dominio $A$ si trovano i punti dello spazio $(x,y,z)$. Le variabili $u,v$ sono dette parametri coordinati.
Se sul dominio $A$ si considera un punto $t_{0}$, con $u(t_{0})=u_{0},v(t_{0})=v_{0}$. In corrispondenza di questo punto sulla superficie vi sarà un punto:
    $(x_{0},y_{0},z_{0})=(x(u_{0},v_{0}),y(u_{0},v_{0}),z(u_{0},v_{0})).$
Cioè:
    $2)\ {\begin{cases}x=\phi (u_{0},v_{0})\\y=\psi (u_{0},v_{0})\\z=\chi (u_{0},v_{0}).\end{cases}}$
Pensiamo allora di ricavare le tangenti e le normali in questo punto. Fissiamo prima un valore dei parametri coordinati e poi l'altro, otterremo una famiglia di curve, che si chiamano linee coordinate (che possono essere anche ortogonali):
    $3)\ {\begin{cases}\phi (u,v_{0}),\psi (u,v_{0}),\chi (u,v_{0})\\\phi (u_{0},v),\psi (u_{0},v),\chi (u_{0},v).\end{cases}}$
Da queste possiamo ricavare i vettori tangenti derivando:
    $4)\ {\begin{cases}{\vec {T}}_{u}=\{\phi _{u}(u,v_{0}),\psi _{u}(u,v_{0}),\chi _{u}(u,v_{0})\}\\{\vec {T}}_{v}=\{\phi _{v}(u_{0},v),\psi _{v}(u_{0},v),\chi _{v}(u_{0},v)\}\end{cases}}$
e i vettori normali:
    $5)\ {\vec {n}}=\pm {\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v}.$
I versori normali sono dati:
    $6)\ {\hat {n}}=\pm {\frac {{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v}}{\sqrt {({\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v})\cdot ({\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v})}}}.$

## Piano tangente

Una superficie regolare parametrica ammette sempre piano tangente in un punto $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ dato dalla:
    $7)\ {\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\\phi _{u}(u_{0},v_{0})&\psi _{u}(u_{0},v_{0})&\chi _{u}(u_{0},v_{0})\\\phi _{v}(u_{0},v_{0})&\psi _{v}(u_{0},v_{0})&\chi _{v}(u_{0},v_{0})\end{vmatrix}}=0.$
Il piano tangente ad una superficie parametrica è un sottospazio vettoriale di dimensione 2. Questo piano, ha la proprietà di contenere i vettori tangenti a tutte le curve situate sulla superficie e passanti per il punto considerato.
L'ipotesi di regolarità della superficie parametrica, implica l'esistenza di un piano tangente in ogni punto della superficie. Si parla di piano tangente in $P$ a $S$, altrimenti denotato con $T_{P}S$.
Il piano tangente è indipendente dalla parametrizzazione usata.

## Prima forma differenziale di Gauss

A questo punto possiamo considerare il problema di come si rappresentano le curve tracciate sulla superficie $2)$. Per fare questo prendiamo il vettore tangente del piano $A$, nel punto $t_{0}$: $u'(t_{0}),v'(t_{0})$. A questo vettore corrisponde un vettore tangente sulla superficie $\Sigma$:
    $u'(t_{0})\cdot T_{u}+v'(t_{0})\cdot T_{v}.$
Come si modifica la lunghezza di questo vettore sulla superficie? Costruiamo il differenziale del vettore:
    $8)\ ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=\left({\frac {\partial x}{\partial u}}du+{\frac {\partial x}{\partial v}}dv\right)^{2}+\left({\frac {\partial y}{\partial u}}du+{\frac {\partial y}{\partial v}}dv\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial u}}du+{\frac {\partial z}{\partial v}}dv\right)^{2}.$
Ora dobbiamo eseguire i quadrati con la sostituzione: ${\frac {\partial x}{\partial u}}du=\phi _{u}(u,v)du$ e così via per tutte le derivate, otteniamo la prima forma differenziale di Gauss:
    $9)\ ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2},$
dove:
$10)\ E=\|T_{u}\|^{2}=\phi _{u}^{2}+\psi _{u}^{2}+\chi _{u}^{2},$
$10)\ F=\langle T_{u},T_{v}\rangle =\phi _{u}\cdot \phi _{v}+\psi _{u}\cdot \psi _{v}+\chi _{u}\cdot \chi _{v},$
$10)\ G=\|T_{v}\|^{2}=\phi _{v}^{2}+\psi _{v}^{2}+\chi _{v}^{2}.$
Allo stesso risultato potevamo arrivare prendendo il prodotto scalare: ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$.
Si chiama prima forma fondamentale, e si indica con $I$, la restrizione del prodotto scalare di $E^{3}$ su $T_{P}S$. Allora la lunghezza di un segmento sulla superficie è:
    $11)\ \mathrm {Lung} ((x(u(t_{1}),v(t_{1})),y(u(t_{1}),v(t_{1})),z(u(t_{1}),v(t_{1}))),(x(u(t_{2}),v(t_{2})),y(u(t_{2}),v(t_{2})),z(u(t_{2}),v(t_{2}))))=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {Eu'^{2}+2Fu'v'+Gv'^{2}}}\ dt.$
Ora ci chiediamo come si trasforma un elemento di superficie $dS$:
$12)\ dS=|T_{u}\cdot du\times T_{v}\cdot dv|=|T_{u}\times T_{v}|dudv$
Quadrando la 12), otteniamo proprio le 10). Dunque l'elemento di superficie si trasforma:
    $13)\ dS={\sqrt {EG-F^{2}}}\ dudv,$
dove $I_{G}=EG-F^{2}$ è la prima forma quadratica di Gauss o prima forma differenziale di Gauss.
Da questa è possibile calcolare l'area di una superficie:
    $Area(\Sigma )=\iint _{A}dS=\iint _{A}{\sqrt {EG-F^{2}}}\ dudv$
e anche un qualsiasi integrale di superficie:
    $I=\iint _{A}f(x,y,z)dS=\iint _{A}F(x(u,v),y(u,v),z(u,v)){\sqrt {EG-F^{2}}}\ dudv.$
Da queste due ultime osservazioni circa il calcolo degli integrali, si vede che la prima forma differenziale di Gauss è un determinante:
    $\det {\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}=EG-F^{2}$
e poiché i coefficienti non sono altro che i coefficienti di una metrica sulla superficie allora questa matrice è un tensore metrico.

## Seconda forma differenziale di Gauss

La seconda forma quadratica è una proprietà intrinseca della superficie, e rappresenta le proprietà di curvatura della stessa. Essa può essere ricavata direttamente dalla prima forma differenziale di Gauss e dai vettori tangente e normale.
Sia dunque ${\hat {n}}$ il versore normale ottenibile dal vettore normale:
    ${\vec {n}}=\pm {\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v}\Longrightarrow {\hat {n}}=\pm {\frac {{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v}}{\sqrt {({\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v})^{2}}}}.$
Dalla prima forma differenziale di Gauss:
    ${\hat {n}}=\pm {\frac {{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}.$
Allora i coefficienti della seconda forma differenziale di Gauss:
    ${\vec {T}}_{uu}\cdot {\hat {n}}=L$
    ${\vec {T}}_{uv}\cdot {\hat {n}}=M$
    ${\vec {T}}_{vv}\cdot {\hat {n}}=N$
Da cui otteniamo la seconda forma differenziale (o quadratica) di Gauss:
    $II_{G}=L(du)^{2}+2Mdudv+N(dv)^{2}.$
Dunque li possiamo esplicitare:
    $L={\frac {\begin{vmatrix}x_{uu}&x_{u}&x_{v}\\y_{uu}&y_{u}&y_{v}\\z_{uu}&z_{u}&z_{v}\end{vmatrix}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}$
    $M={\frac {\begin{vmatrix}x_{uv}&x_{u}&x_{v}\\y_{uv}&y_{u}&y_{v}\\z_{uv}&z_{u}&z_{v}\end{vmatrix}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}$
    $N={\frac {\begin{vmatrix}x_{vv}&x_{u}&x_{v}\\y_{vv}&y_{u}&y_{v}\\z_{vv}&z_{u}&z_{v}\end{vmatrix}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}.$

## Curvature normali

Si chiama curvatura normale della superficie $\Sigma$ in un punto $P$ nella direzione della linea $u$ e della linea $v$ rispettivamente, la funzione:
    $k(P,u)=I\!I_{G}\left({\frac {u}{\|u\|}},{\frac {u}{\|u\|}}\right)$
    $k(P,v)=I\!I_{G}\left({\frac {v}{\|v\|}},{\frac {v}{\|v\|}}\right).$

## Curvature principali e curvatura di Gauss

Sono dette curvature principali i due valori, massimo e minimo, della curvatura normale corrispondenti ai due versi del piano tangente (a seguito dei due versori normali). Indicando con $k_{1}(P),k_{2}(P)$ le curvature principali di una superficie in un punto $P$, allora si chiama curvatura Gaussiana o curvatura totale:
    $K(P)=k_{1}(P)\ k_{2}(P)$
e definiamo anche la curvatura media:
    $H(P)={\frac {k_{1}(P)+k_{2}(P)}{2}}.$
Per quanto riguarda la curvatura di Gauss, è in generale difficile trovare le due direzioni secondo le quali le curvature principali sono valori massimi e minimi. Il criterio è fornito dall'utilizzo dell'operatore di Weingarten.

## Conseguenze

Dalle forme differenziali di Gauss possiamo ricavare molte informazioni riguardo alle caratteristiche geometriche delle superfici parametriche:
* La curvatura delle curve sulla superficie segue dal teorema di Meusnier e dall'operatore di Weingarten.
* La curvatura della superficie segue dal theorema egregium di Gauss.
* Teorema di Dupin.