# Punti di Lagrange

Nel problema dei tre corpi i punti di Lagrange (così detti in onore del matematico Joseph-Louis de Lagrange che nel 1772 ne calcolò la posizione), tecnicamente chiamati punti di oscillazione, sono quei punti nello spazio in cui due corpi dotati di grande massa, tramite l'interazione della rispettiva forza gravitazionale, consentono a un terzo corpo dotato di massa molto inferiore di mantenere una posizione stabile relativamente ad essi.
Quindi in un sistema planetario (stella con pianeti) un piccolo oggetto, come un satellite o un asteroide, che condivide la stessa orbita di un pianeta e posizionato in un punto di Lagrange, si manterrà a distanza costante dai corpi celesti maggiori, la stella e il pianeta con cui condivide l'orbita.
Perché ciò accada, la risultante delle accelerazioni gravitazionali impresse dai corpi celesti all'oggetto, deve essere esattamente uguale all'accelerazione centripeta necessaria a mantenere in orbita l'oggetto a quella particolare distanza dal corpo celeste più grande, con la stessa velocità angolare del corpo celeste più piccolo.

## Descrizione dei punti lagrangiani

Nel seguito i due corpi principali saranno identificati con le loro masse M$_1$ ed M$_2$, supponendo che M$_1$ > M$_2$; per esempio M$_1$ potrebbe essere il Sole e M$_2$ la Terra. Si scelga un sistema di riferimento non inerziale con origine nel centro di massa del sistema e in cui i due corpi maggiori sono immobili. In questo sistema di riferimento compariranno perciò delle forze apparenti: la forza centrifuga e la forza di Coriolis.

### L$_1$

Il punto L$_1$ giace tra i due corpi lungo la retta che passa per M$_1$ e M$_2$. È il punto più facile da comprendere intuitivamente: infatti è il punto nel quale l'attrazione gravitazionale di M$_2$ cancella parzialmente quella di M$_1$.
Trascurando l'attrazione di M$_2$, un corpo orbitante attorno a M$_1$ in un'orbita più ravvicinata di M$_2$ avrebbe un periodo più breve, a causa della maggiore forza di gravità esercitata dal primo corpo, ma se si considera anche M$_2$, la forza totale centripeta è minore e il periodo maggiore. Il punto L$_1$ si trova proprio nel punto in cui il periodo di un corpo ivi posizionato è esattamente uguale al periodo di M$_2$.
In astronomia il punto L$_1$ del sistema Sole-Terra è un ideale punto di osservazione del Sole, in quanto in quella posizione esso non è mai eclissato dalla Terra o dalla Luna. Gli osservatori SOHO (Solar and Heliospheric Observatory) e ACE (Advanced Composition Explorer) si trovano in orbita intorno al punto L$_1$.

### L$_2$

Il punto L$_2$ giace ancora sulla stessa retta del punto L$_1$, ma oltre il corpo M$_2$, più piccolo. In questo punto la forza gravitazionale combinata dei due corpi uguaglia la forza centrifuga. Se si trascura l'attrazione gravitazionale di M$_2$, un corpo con un raggio orbitale maggiore di quello di M$_2$ subisce una forza di gravità dovuta a M$_1$ minore di quella subita dal secondo corpo e perciò ha un periodo maggiore; se però si considera anche il campo generato da M$_2$, la forza centripeta aumenta e con l'aumentare di essa diminuisce il periodo. L$_2$ si trova nel punto in cui il periodo orbitale del corpo ivi posizionato uguaglia il periodo di M$_2$.
Il punto L$_2$ del sistema Sole-Terra è un eccellente punto di osservazione dello spazio, a causa della stabilità dell'illuminazione solare che facilita la gestione termica della strumentazione e il puntamento verso lo spazio profondo. Planck Surveyor, la Wilkinson Microwave Anisotropy Probe, l'Herschel Space Observatory, la sonda Gaia, il Telescopio spaziale James Webb e il Telescopio spaziale Euclid sono già in orbita attorno a L$_2$.
Se la massa M$_1$ è molto maggiore della massa M$_2$ allora le distanze di L$_1$ e L$_2$ da M$_2$ sono approssimativamente le stesse, pari al raggio della sfera di Hill:
    $r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}$
dove R è la distanza tra i due corpi. Per esempio, nel sistema Terra-Luna, il raggio della sfera di Hill r è circa 61500 km, mentre nel sistema Sole-Terra r è 1 500 000 km.

### L$_3$

Come i due punti precedenti, anche L$_3$ giace sulla retta individuata da M$_1$ e M$_2$, ma oltre M$_1$, leggermente all'esterno dell'orbita di M$_2$ intorno a M$_1$ ma leggermente più vicino ad esso di quanto non lo sia L$_2$; l'apparente contraddizione non sussiste, a causa del moto di M$_1$ intorno al centro di massa del sistema.

### L$_4$ e L$_5$

I punti L$_4$ e L$_5$ giacciono nei terzi vertici dei due triangoli equilateri nel piano dell'eclittica aventi come base comune il segmento che unisce i centri di massa di M$_1$ e M$_2$.
Il motivo per cui questi sono punti di equilibrio è che in L$_4$ e L$_5$ le distanze tra essi e le due masse M$_1$ e M$_2$ sono uguali: di conseguenza le forze di gravità agenti su un corpo in uno di questi due punti lagrangiani sono nello stesso rapporto delle due masse M$_1$ e M$_2$. La geometria del sistema assicura che la forza risultante sarà diretta verso il baricentro del sistema. Essendo esso sia il centro di massa sia il centro della rotazione del sistema, la forza risultante è esattamente quella richiesta per tenere il corpo in equilibrio orbitale con le altre masse. In realtà non serve che il terzo corpo abbia massa trascurabile. Questa configurazione di equilibrio è stata scoperta da Joseph-Louis Lagrange mentre lavorava al problema dei tre corpi.
I punti L$_4$ e L$_5$ sono anche chiamati punti di Lagrange triangolari o punti Troiani dal nome degli asteroidi, chiamati appunto asteroidi Troiani, situati nei punti L$_4$ e L$_5$ del sistema Sole-Giove.

## Stabilità

I tre punti di Lagrange allineati col sistema M$_1$ - M$_2$, cioè L$_1$, L$_2$ ed L$_3$, sono punti di sella del potenziale, perciò basta una piccola perturbazione dallo stato di equilibrio per far sì che l'oggetto si allontani sempre più dal punto lagrangiano stesso, muovendosi lungo l'asse che unisce i corpi. Ciò tuttavia non impedisce l'esistenza di orbite quasi-periodiche intorno a questi punti, chiamate orbite halo, orbite di Lissajous (che seguono una curva di Lissajous) oppure orbite di Ljapunov.
I punti L$_4$ ed L$_5$ si trovano ai vertici dei due triangoli equilateri aventi come altri due vertici i centri di massa dei corpi M$_1$ e M$_2$. Questi punti sono in realtà punti di massimo di potenziale e quindi apparenti punti di instabilità, ma in realtà possono essere stabili grazie alla forza di Coriolis se la massa di M$_1$ è almeno 25 volte quella di M$_2$ o più precisamente:
    $M_{1}\geq M_{2}\left({\frac {25+{\sqrt {621}}}{2}}\right)$
dove M$_1$ e M$_2$ sono le masse rispettivamente del corpo di massa maggiore e del corpo di massa minore.

## Satelliti orbitanti nei punti di Lagrange

In astronomia, i punti lagrangiani identificano un particolare punto di un'orbita in un sistema di corpi, di un pianeta o di un satellite; i punti lagrangiani sono gli unici punti in cui si possono situare corpi minori, o gruppi di corpi minori, per condividere stabilmente l'orbita di un corpo più grande, in quanto le attrazioni gravitazionali si annullano. Situazione tipica è quella degli asteroidi Troiani, tra cui i più famosi sono quelli di Giove (recentemente sono stati scoperti i "Troiani di Nettuno") organizzati in due gruppi che condividono l'orbita del gigante, uno che lo precede di 60° e l'altro che lo segue alla stessa distanza angolare.
Degli esempi si ritrovano anche nei sistemi di satelliti: Teti, satellite di Saturno, condivide l'orbita con due piccolissime lune, Telesto e Calipso, situate nei punti lagrangiani della sua orbita. Allo stesso modo Dione, il satellite immediatamente più esterno, condivide la sua orbita con le piccolissime lune Elena e Polluce nei suoi punti di Lagrange.
Anche la Luna condivide la sua orbita intorno alla Terra con due oggetti, le nubi di Kordylewski, e nell'ottobre del 2010 è stato scoperto il primo asteroide troiano della Terra, (706765) 2010 TK7.
Nel punto L2 è stato posizionato Euclid il telescopio dell'ESA lanciato il 1º luglio 2023 che ha iniziato la sua attività nel novembre 2023.