# Monoide

Nell'algebra astratta, una branca della matematica, un monoide è una struttura algebrica dotata dell'operazione binaria associativa e di un elemento neutro. I monoidi sono studiati nella teoria dei semigruppi in quanto sono semigruppi dotati di elemento neutro.

## Definizione

Un monoide è un insieme $M$ munito di una singola operazione binaria $*$ che ad ogni coppia di elementi $a,b\in M$ associa l'elemento $a*b,$ rispettando i seguenti assiomi:

### Chiusura

    Per ogni $a,b\in M,$ l'elemento $a*b$ appartiene ancora a $M,$ vale a dire che $M$ è chiuso rispetto al prodotto (l'insieme che soddisfa questa proprietà si chiama magma).

### Associatività

    Il prodotto è associativo: dati $a,b,c\in M,$ vale $(a*b)*c=a*(b*c)$ (l'insieme che soddisfa questa proprietà e la chiusura si chiama semigruppo).

### Elemento neutro

    Esiste in $M$ un elemento neutro o identità $e$ tale che $a*e=e*a=a$ per ogni $a\in M.$

## Proprietà

Partendo dagli assiomi formulati si dimostra che l'elemento neutro è univocamente determinato. Se $e$, $f$ sono entrambi elementi neutri, si ha $f=e*f=e$, dove la prima eguaglianza segue dal fatto che $e$ è un elemento neutro, e la seconda dal fatto che lo è $f$.
Un monoide è quindi un semigruppo unitario, ovvero un magma associativo unitario.
Un monoide con base (ossia un insieme di elementi che generano il monoide e che non possono essere ottenuti dagli altri elementi della base) si definisce monoide libero.

## Monoidi e gruppi

Un gruppo è un monoide dotato di elemento inverso.
Un elemento $a$ del monoide $M$ si dice invertibile se esiste in $M$ un suo inverso, cioè un elemento $b$ in $M$ tale che $a*b=b*a=e$. Se esiste, questo elemento $b$ è univocamente determinato, e può dunque essere chiamato l'inverso di $a$. Infatti se $b$, $c$ sono entrambi inversi di $a$, si ha $b=b*e=b*(a*c)=(b*a)*c=e*c=c$, dove le eguaglianze seguono nell'ordine dalla definizione di elemento neutro, dal fatto che $c$ è un inverso di $a$, dalla proprietà associativa, dal fatto che $b$ è un inverso di $a$, e ancora dalla definizione di elemento neutro.
Se ogni elemento di un monoide $M$ è invertibile, allora $M$ è un gruppo.
Più in generale, sia $M$ un monoide qualsiasi, e sia $G$ l'insieme degli elementi invertibili di $M$. Intanto, $G$ non è vuoto, perché si vede subito che contiene $e$. E poi si può vedere che $G$ è un gruppo rispetto alla stessa operazione di $M$. Il gruppo $G$ viene detto il gruppo degli elementi invertibili del monoide $M$.

## Esempi

* L'insieme dei numeri interi $\mathbb {Z}$ con l'operazione prodotto è un monoide commutativo dove l'elemento neutro è 1 e gli elementi invertibili sono 1 e -1.
* Un esempio tipico di monoide è dato dalle funzioni $f\colon X\to X$ definite da un insieme in sé stesso dove il prodotto è dato dalla composizione $(f(g))(x):=(f\circ g)(x)=f(g(x))$. L'elemento neutro è dato dalla funzione identità $\mathrm {id} \colon X\to X,$ con $\mathrm {id} (x):=x.$ Il gruppo degli elementi invertibili è formato in questo caso dalle funzioni biiettive.
* Un altro esempio di monoide è dato dall'insieme delle matrici quadrate di ordine $n$ su cui si consideri l'operazione prodotto righe per colonne. In questo caso l'elemento neutro è dato dalla matrice identità.