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# Campionato Panamericano 2021 (hockey su pista)

Il campionato panamericano di hockey su pista 2021 è stata la 10ª edizione dell'omonimo torneo di hockey su pista per squadre nazionali maschili americane. Il torneo si è svolto negli Stati Uniti d'America a Stuart dal 18 al 20 novembre 2021.
A vincere il torneo fu il Cile per la prima volta nella sua storia sconfiggendo in finale la Colombia.

## Formula

Il campionato panamericano 2021 fu disputato da tre selezioni nazionali tramite la formula del girone all'italiana con gare di andata e ritorno. Vennero attribuiti tre punti per l'incontro vinto, uno per l'incontro pareggiato e zero in caso di sconfitta. Dopo la prima fase venne disputata la finale; la squadra vincitrice della finale venne proclamata campione.

## Squadre partecipanti

| Pr. | Squadra | Partecipazioni precedenti al torneo |
| 1 | Cile | 1979, 1983, 1991, 2005, 2011, 2018 |
| 2 | Colombia | 1987, 1991, 1993, 1995, 2005, 2011, 2018 |
| 3 | Messico | 1993, 2005, 2018 |
Nota bene: nella sezione "partecipazioni precedenti al torneo" le date in grassetto indicano la squadra che ha vinto quell'edizione del torneo

## Svolgimento del torneo
### Prima fase
#### Classifica finale

| Pos. | Squadra | Pt | G | V | N | P | GF | GS | DR |
| 1. | Colombia | 9 | 4 | 3 | 0 | 1 | 27 | 7 | +20 |
| 2. | Cile | 9 | 4 | 3 | 0 | 1 | 21 | 8 | +13 |
| 3. | Messico | 0 | 4 | 0 | 0 | 4 | 3 | 36 | -33 |
# Jed Wallace

Jed Fernsley Wallace (Reading, 26 marzo 1994) è un calciatore inglese, centrocampista del West Bromwich.

## Carriera
### Club

Ha giocato nella seconda divisione inglese con Wolverhampton e Millwall.

### Nazionale

Nel 2013 ha giocato una partita nella nazionale inglese Under-19.

## Statistiche
### Presenze e reti nei club

Statistiche aggiornate al 26 novembre 2024.
| Stagione | Squadra | Campionato | Campionato | Campionato | Coppe nazionali | Coppe nazionali | Coppe nazionali | Coppe continentali | Coppe continentali | Coppe continentali | Altre coppe | Altre coppe | Altre coppe | Totale | Totale |
| Stagione | Squadra | Comp | Pres | Reti | Comp | Pres | Reti | Comp | Pres | Reti | Comp | Pres | Reti | Pres | Reti |
| 2012-2013 | Portsmouth | FL1 | 22 | 6 | FACup+CdL | 0+1 | 0+0 | - | - | - | FLT | - | - | 23 | 6 |
| 2013-2014 | Portsmouth | FL2 | 44 | 7 | FACup+CdL | 1+1 | 0+0 | - | - | - | FLT | 2 | 0 | 48 | 7 |
| 2014-2015 | Portsmouth | FL2 | 44 | 14 | FACup+CdL | 2+2 | 1+0 | - | - | - | FLT | 2 | 2 | 50 | 17 |
| Totale Portsmouth | Totale Portsmouth | Totale Portsmouth | 110 | 27 | | 7 | 1 | | - | - | | 4 | 2 | 121 | 30 |
| 2015-gen. 2016 | Wolverhampton | FLC | 5 | 0 | FACup+CdL | 0+2 | 0+0 | - | - | - | - | - | - | 7 | 0 |
| gen.-mar. 2016 | Millwall | FL1 | 12 | 1 | FACup+CdL | - | - | - | - | - | FLT | 2 | 0 | 14 | 1 |
| mar.-giu. 2016 | Wolverhampton | FLC | 4 | 0 | FACup+CdL | - | - | - | - | - | - | - | - | 4 | 0 |
| 2016-gen. 2017 | Wolverhampton | FLC | 9 | 0 | FACup+CdL | 0+3 | 0+1 | - | - | - | - | - | - | 12 | 1 |
| Totale Wolverhampton | Totale Wolverhampton | Totale Wolverhampton | 18 | 0 | | 5 | 1 | | - | - | | - | - | 23 | 1 |
| gen.-giu. 2017 | Millwall | FL1 | 16+3 | 3 | FACup+CdL | 2+0 | 0+0 | - | - | - | - | - | - | 21 | 3 |
| 2017-2018 | Millwall | FLC | 43 | 6 | FACup+CdL | 3+1 | 1+0 | - | - | - | - | - | - | 47 | 7 |
| 2018-2019 | Millwall | FLC | 42 | 5 | FACup+CdL | 3+3 | 0+0 | - | - | - | - | - | - | 48 | 5 |
| 2019-2020 | Millwall | FLC | 43 | 10 | FACup+CdL | 1+0 | 0+0 | - | - | - | - | - | - | 44 | 10 |
| 2020-2021 | Millwall | FLC | 45 | 10 | FACup+CdL | 0+2 | 0+0 | - | - | - | - | - | - | 47 | 10 |
| 2021-2022 | Millwall | FLC | 38 | 6 | FACup+CdL | 0+1 | 0+0 | - | - | - | - | - | - | 39 | 6 |
| Totale Millwall | Totale Millwall | Totale Millwall | 239+3 | 41 | | 16 | 1 | | - | - | | 2 | 0 | 260 | 42 |
| 2022-2023 | West Bromwich | FLC | 46 | 6 | FACup+CdL | 3+1 | 0+0 | - | - | - | - | - | - | 50 | 6 |
| 2023-2024 | West Bromwich | FLC | 42+2 | 6 | FACup+CdL | 1+0 | 0+0 | - | - | - | - | - | - | 45 | 6 |
| 2024-2025 | West Bromwich | FLC | 13 | 0 | FACup+CdL | - | - | - | - | - | - | - | - | 13 | 0 |
| Totale West Bromwich | Totale West Bromwich | Totale West Bromwich | 101+2 | 12 | | 5 | 0 | | - | - | | - | - | 108 | 12 |
| Totale carriera | Totale carriera | Totale carriera | 468+5 | 80 | | 33 | 3 | | - | - | | 6 | 2 | 512 | 85 |
# East Flat Rock

East Flat Rock è un census-designated place (CDP) degli Stati Uniti d'America, situato nello stato della Carolina del Nord, nella contea di Henderson. Secondo il censimento del 2020 gli abitanti di East Flat Rock ammontavano a 5 757.
# Stazione di Venezia Porto Marghera

La stazione di Venezia Porto Marghera è una fermata ferroviaria situata nel tronco ferroviario Venezia Mestre-Venezia Santa Lucia poco prima dell'inizio del ponte translagunare. È ubicata alla progressiva chilometrica 260+191 della ferrovia Milano-Venezia.

## Storia

La prima stazione di Venezia Marghera fu aperta all'esercizio il 13 dicembre 1842 all'indomani dell'inaugurazione della Marghera-Padova, primo tronco della strada ferrata Ferdinandea.
La posizione di quello scalo era provvisoria, tanto che nel gennaio 1844, quando ancora non era stato completato il ponte sulla laguna, fu spostata a San Giuliano.
Il 4 dicembre 2017 sono iniziati i lavori per un totale ammodernamento della struttura, con l'abbattimento delle barriere architettoniche tramite ascensori e il livellamento del sottopassaggio, il rifacimento e rinnovamento totale delle coperture. Al termine dei lavori la stazione sarà adeguata alle altre fermate delle rete locale Veneta come la stazione di Venezia-Mestre Ospedale.

## Strutture e impianti

L'impianto, gestito da Rete Ferroviaria Italiana,dispone di un fascio binari composto da quattro binari di corsa, il cui accesso all'utenza è garantito da un sottopasso.
L'impianto è dotato di quattro accessi pedonali posti in via Paganello e via della Libertà.

## Movimento

La fermata è servita da treni regionali svolti da Trenitalia nell'ambito del contratto di servizio stipulato con la Regione Veneto.

## Nella cultura di massa

Nel film del 2003 La meglio gioventù, nelle scene dell'estate 1966 Nicola, Matteo e Giorgia fanno scalo a Venezia Porto Marghera. Nel bar della stazione si vedrà la famosa scena con la canzone "A chi" di Fausto Leali, che poi sarà ritratta nella copertina del film. Sempre qui Giorgia verrà catturata dalla polizia e riportata in istituto.
Sebbene nelle scene venga inquadrata la targa della stazione, essa non è la vera stazione di Porto Marghera ma un'altra ben più grande.
# Joel Allansson

Joel Emil Martin Allansson (3 novembre 1992) è un calciatore svedese, centrocampista dell'Halmstad.

## Carriera
### Club

Cresce nel settore giovanile del Nybro IF, con cui ha giocato alcune partite in prima squadra nel 2008 in quarta serie nazionale.
Nel 2009 si è trasferito all'IFK Göteborg, ma l'esordio in maglia biancoblu è arrivato solo due anni più tardi, nel 2011.
Nel gennaio del 2015 è diventato ufficialmente un giocatore del Randers, squadra danese impegnata in Superligaen.
La sua permanenza in Danimarca è durata quattro anni: nel gennaio 2019 è infatti passato ufficialmente all'Halmstad, club militante nella seconda serie nazionale. Al termine del campionato di Superettan 2020 la squadra ha ritrovato la promozione in Allsvenskan.

### Nazionale

Ha giocato nelle nazionali giovanili svedesi Under-17, Under-19 ed Under-21.
Nel 2017 ha giocato 2 partite con la nazionale maggiore svedese.

## Palmarès
### Club
#### Competizioni nazionali

* Coppa di Svezia: 1
    IFK Göteborg: 2012-2013
# El Tambo (Ecuador)

El Tambo è una parrocchia urbana dell'Ecuador, capoluogo dell'omonimo cantone, nella provincia di Cañar.
# Argi

L'Argi è un fiume della Russia siberiana orientale (Oblast' dell'Amur), affluente sinistro della Zeja (bacino idrografico dell'Amur).
Nasce dal versante meridionale dei monti Stanovoj, scorrendo poi per la maggior parte del suo percorso con direzione mediamente occidentale nel bassopiano dell'alta Zeja, in un ambiente pianeggiante e ricco di piccoli laghi (che occupano circa il 4% della superficie totale del bacino idrografico); sfocia nella Zeja all'estremità settentrionale del bacino artificiale omonimo.
L'Argi ha un regime simile agli altri fiumi del Pacifico russo: gelato da novembre ad aprile, vede le massime piene da aprile a settembre.
# Alan Branch

Alan Keith Branch (Rio Rancho, 29 dicembre 1984) è un ex giocatore di football americano statunitense che ha militato nel ruolo di defensive tackle nella National Football League (NFL). Fu scelto nel corso del secondo giro (33º assoluto) del Draft NFL 2007 dagli Arizona Cardinals. Al college ha giocato a football con i Michigan Wolverines.

## Carriera
### Arizona Cardinals

Branch fu scelto dagli Arizona Cardinals nel corso del secondo giro del draft 2007 con una scelta precedentemente acquisita dagli Oakland Raiders. Nelle quattro stagioni disputate coi Cardinals, Branch giocò 47 partite, di cui solo tre come titolare, tutte nella sua ultima stagione, in cui stabilì anche il proprio primato stagionale di tackle con 35.

### Seattle Seahawks

Passato ai Seattle Seahawks nel 2011, Branch disputò la prima stagione come titolare fisso della sua carriera, mettendo a segno 34 tackle e un primato personale di 3,0 sack nella stagione 2011.
Nella settimana 4 della stagione 2012 contro i St. Louis Rams Branch mise a segno il suo primo sack stagionale su Sam Bradford. Il 6 gennaio 2013, nel primo turno di playoff, Branch mise a segno un sack nella vittoria sui Washington Redskins. La sua stagione regolare si concluse con 29 tackle e un sack giocando per la prima volta come titolare in tutte le 16 partite.

### Buffalo Bills

Il 2 aprile 2013, Branch firmò coi Buffalo Bills con cui nella sua unica stagione mise a segno 39 tackle disputando tutte le 16 partite, 13 delle quali come titolare.

### New England Patriots

Il 21 ottobre 2014, Branch firmò un contratto annuale con i New England Patriots.
Dopo aver vinto, il 1º febbraio 2015, il suo primo Super Bowl contro i suoi ex Seahawks, il 15 marzo dello stesso anno firmò un nuovo contratto biennale con i Patriots.
Il 5 febbraio 2017 Branch partì come titolare nel Super Bowl LI, vinto contro gli Atlanta Falcons ai tempi supplementari (prima volta nella storia del Super Bowl), con il punteggio di 34-28. L'anno successivo, l'ultimo in carriera, disputò 12 partite nella stagione regolare mentre fu inattivo nei playoff, dove i Patriots fecero ritorno al Super Bowl, perdendo contro i Philadelphia Eagles.

## Palmarès
### Franchigia

* Super Bowl : 2
    New England Patriots: XLIX, LI
* American Football Conference Championship: 3
    New England Patriots: 2014, 2016, 2017
# Torneo dell'UEMOA 2009

Il Torneo dell'UEMOA 2009 (2009 UEMOA Tournament) fu la terza edizione del Torneo dell'UEMOA, competizione calcistica per nazione organizzata dall'UEMOA. La competizione si svolse in Burkina Faso dal 22 al 29 novembre 2009 e vide la partecipazione di otto squadre: Burkina Faso, Benin, Costa d'Avorio, Guinea-Bissau, Mali, Niger, Senegal e Togo.

## Formula

* Qualificazioni
    Nessuna fase di qualificazione. Le squadre sono qualificate direttamente alla fase finale.
* Fase finale
    Fase a gruppi - 8 squadre, divise in due gruppi da quattro squadre. Giocano partite di sola andata, le prime classificate si qualificano per la finale.
    Fase a eliminazione diretta - 2 squadre, giocano partite di sola andata. La vincente si laurea campione UEMOA.

## Stadi

| Cotonou | Cotonou Porto-NovoTorneo dell'UEMOA 2009 (Benin) |
| Stade de l'Amitié | Cotonou Porto-NovoTorneo dell'UEMOA 2009 (Benin) |
| Capienza: 20.000 | Cotonou Porto-NovoTorneo dell'UEMOA 2009 (Benin) |
| Porto-Novo | Cotonou Porto-NovoTorneo dell'UEMOA 2009 (Benin) |
| Stade Charles de Gaulle | Cotonou Porto-NovoTorneo dell'UEMOA 2009 (Benin) |
| Capienza: 15.000 | Cotonou Porto-NovoTorneo dell'UEMOA 2009 (Benin) |

## Squadre partecipanti

| Pr. | Squadra | Data di qualificazione certa | Partecipante in quanto | Partecipazioni precedenti al torneo | Ultima presenza |
| 1 | Benin | - | Rappresentativa della nazione organizzatrice della fase finale | 2007, 2008 | Mali 2008 |
| 2 | Burkina Faso | - | Qualificata di diritto | 2007, 2008 | Mali 2008 |
| 3 | Costa d'Avorio | - | Qualificata di diritto | 2007, 2008 | Mali 2008 |
| 4 | Guinea-Bissau | - | Qualificata di diritto | 2007, 2008 | Mali 2008 |
| 5 | Mali | - | Qualificata di diritto | 2007, 2008 | Mali 2008 |
| 6 | Niger | - | Qualificata di diritto | 2007, 2008 | Mali 2008 |
| 7 | Senegal | - | Qualificata di diritto | 2007, 2008 | Mali 2008 |
| 8 | Togo | - | Qualificata di diritto | 2007, 2008 | Mali 2008 |
Nella sezione "partecipazioni precedenti al torneo", le date in grassetto indicano che la nazione ha vinto quella edizione del torneo, mentre le date in corsivo indicano la nazione ospitante.

## Fase finale
### Fase a gruppi
#### Gruppo A
##### Classifica

| Pos | Squadra | P.ti | G | V | N | P | GF | GS | DR |
| 1 | Niger | 7 | 3 | 2 | 1 | 0 | 5 | 1 | +4 |
| 2 | Togo | 7 | 3 | 2 | 1 | 0 | 3 | 1 | +2 |
| 3 | Benin | 3 | 3 | 1 | 0 | 2 | 4 | 3 | +1 |
| 4 | Guinea-Bissau | 0 | 3 | 0 | 0 | 3 | 1 | 8 | -7 |
Niger qualificata alla finale.

##### Risultati
#### Gruppo B
##### Classifica

| Pos | Squadra | P.ti | G | V | N | P | GF | GS | DR |
| 1 | Senegal | 7 | 3 | 2 | 1 | 0 | 4 | 0 | +4 |
| 2 | Costa d'Avorio | 5 | 3 | 1 | 2 | 0 | 2 | 1 | +1 |
| 3 | Mali | 4 | 3 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 0 |
| 4 | Burkina Faso | 0 | 3 | 0 | 0 | 3 | 0 | 5 | -5 |
Senegal qualificata alla finale.

##### Risultati
### Fase a eliminazione diretta
#### Tabellone

| Finale | Finale | Finale |
| Senegal | Senegal | 1 |
| Niger | Niger | 0 |
# Antonio Rojano

Antonio Raúl Rojano (Salliqueló, 27 aprile 1991) è un calciatore argentino, centrocampista dell'Anagennīsī Karditsa.
# Castello di Loarre

Il castello di Loarre è un castello, trasformato poi in abbazia romanica, che si trova vicino Loarre nella comunità autonoma dell'Aragona.
È considerato uno dei castelli romanici più belli d'Europa e uno dei più antichi della Spagna.

## Storia

Il castello fu costruito in gran parte durante i secoli XI e XII, quando la sua posizione al confine tra le terre cristiane e quelle musulmane lo rendeva importante dal punto di vista strategico perché permetteva di controllare la via che conduceva da Jaca a Huesca.
Il primo programma di costruzione risale intorno al 1020, quando Sancho III Garcés di Navarra riconquistò le terre circostanti ai musulmani. Nel 1073 il re d'Aragona Sancho Ramírez vi installò una comunità di canonici regolari agostiniani e da Loarre si preparò alla conquista di Huesca nel 1094. A questo periodo viene fatta risalire la seconda fase di costruzione del castello.
Nel 1097 il suo successore, Pietro I d'Aragona, donò tutti i beni di Loarre ad un nuovo monastero reale a Montearagón.
Il castello è stato dichiarato Bien de Interés Cultural ed è stato spesso location di diverse produzioni cinematografiche, come ad esempio il film epico del 2005 Le crociate - Kingdom of Heaven.

## Architettura

La posizione del castello su uno sperone roccioso a 1071 metri di altezza ne ha influenzato l'aspetto, perché non era possibile realizzare una struttura unitaria e infatti, come molti altri castelli, è l'insieme di diversi edifici delimitati da cortine murarie.
Originariamente la pianta interna comprendeva due torri e una cappella dietro diverse cortine murarie, ma, verso la fine dell'XI secolo, venne costruita un'ulteriore cappella in stile romanico appena fuori le mura del castello. Le mura esterne del castello e le sue otto torri risalgono ai secoli XIII o XIV.
La chiesa e il castello sono stati oggetto di numerosi restauri, che hanno reso necessaria la ricostruzione di molte mura e delle torri cadute in rovina.
# Campionati Europei Under-17 2013 (hockey su pista)

I campionati europei Under-17 2013 sono stati la 32ª edizione del torneo di hockey su pista per squadre nazionali maschili Under-17. Il torneo si è svolto ad Alcobendas, in Spagna dall'1 al 7 settembre 2013.

## Formula

Il torneo ha visto la partecipazione di 10 squadre nazionali, per cui l’organizzazione ha deciso di dividere queste ultime in due gironi. I gironi erano composti rispettivamente da 5 squadre ciascuno.

## Fase preliminare
### Girone A

| Squadra | Pt | G | V | N | P | GF | GS | GD |
| Spagna | 12 | 4 | 4 | 0 | 0 | 25 | 2 | 23 |
| Italia | 9 | 4 | 3 | 0 | 1 | 20 | 3 | 1 |
| Svizzera | 6 | 4 | 2 | 0 | 2 | 11 | 14 | -3 |
| Inghilterra | 3 | 4 | 1 | 0 | 3 | 6 | 23 | -17 |
| Austria | 0 | 4 | 0 | 0 | 4 | 5 | 25 | -20 |

### Girone B

| Squadra | Pt | G | V | N | P | GF | GS | GD |
| Portogallo | 12 | 4 | 4 | 0 | 0 | 29 | 4 | 25 |
| Francia | 9 | 4 | 3 | 0 | 1 | 22 | 6 | 16 |
| Andorra | 6 | 4 | 2 | 0 | 2 | 13 | 8 | 5 |
| Germania | 3 | 4 | 1 | 0 | 3 | 9 | 14 | -5 |
| Israele | 0 | 4 | 0 | 0 | 4 | 0 | 41 | -41 |

## Fase finale

Le fasi finali del torneo si sono tenute il 6 e il 7 settembre 2013.

### Semifinali

| Semifinali 1ª - 3ª posizione | Risultato |
| Portogallo - Italia | 8 - 1 |
| Spagna - Francia | 1 - 3 |
| Semifinali 5ª - 8ª posizione | Risultato |
| Inghilterra - Andorra | 2 - 6 |
| Svizzera - Germania | 1 - 2 |

### Finali 1ª - 8ª posizione

| Finali 1ª - 3ª posizione | Risultato |
| Portogallo - Francia | 6 - 3 |
| Italia - Spagna | 1 - 5 |
| Finali 5ª - 8ª posizione | Risultato |
| Andorra - Germania | 5 - 1 |
| Inghilterra - Svizzera | 3 - 1 |

### Finale 9ª e 10ª posizione

| | G1 | G2 | Totale |
| Austria - Israele | 5 - 0 | 2 - 5 | 7 - 5 |

## Classifica finale

| Posizione | Squadra |
| | Portogallo |
| | Francia |
| | Spagna |
| 4 | Italia |
| 5 | Andorra |
| 6 | Germania |
| 7 | Inghilterra |
| 8 | Svizzera |
| 9 | Austria |
| 10 | Israele |
# La vigna rossa

La vigna rossa è un olio su tela del pittore olandese Vincent van Gogh, eseguito ad Arles nel novembre 1888. È l'unico dipinto che riuscì certamente a vendere durante la sua vita. Tuttavia, è probabile che lo stesso pittore fosse riuscito a vendere almeno un'altra delle sue tele, in quanto, come affermato nella lettera al fratello n° 506, afferma di aver ricevuto 20 franchi per il ritratto di un amico di padre Tanguy, probabilmente agli inizi del 1888.

## Storia

La vigna rossa venne esposta per la prima volta al Salone annuale del gruppo dei XX nel 1890 a Bruxelles. Lì venne venduto, pochi mesi prima del suicidio del pittore, per la somma di 400 franchi (cifra corrispondente a 800/850 euro attuali) ad Anna Boch, pittrice impressionista membro dei XX e mecenate belga. Anna Boch era sorella di Eugène Boch, pittore impressionista ed amico personale di Van Gogh, a cui fece anche un ritratto (Ritratto di Eugène Boch) ad Arles nell'autunno 1888.
Venne in seguito acquistata, nel 1906, dal collezionista d'arte russo Sergei Shchukin in seguito alla dispersione della collezione di Anna Boch. Quando la collezione di Shchukin venne nazionalizzata dai bolscevichi, la tela venne depositata al Museo Puškin delle belle arti di Mosca.

## Descrizione

Il dipinto rappresenta la vendemmia nella campagna arlesiana, probabilmente a Trébon, a nord della città in direzione di Montmajour. L'opera è degna di nota per i suoi colori, soprattutto per l'opposizione dei complementari giallo e viola, annunciando per certi versi il fauvismo. In una lettera del 2 ottobre 1888, Vincent parlò dei suoi propositi ad Eugène Boch:
    « Beh, devo andare a lavorare alla vigna vicino a Mont Major. È tutto viola, giallo e verde sotto il cielo blu, un bello schema di colori. »
In questo periodo del settembre-ottobre 1888, Vincent van Gogh sperimentò effettivamente vari modelli di colore; questa preoccupazione è evidente nelle sue riflessioni su alcuni lavori del periodo, come Il caffè di notte, la Notte stellata sul Rodano o la Terrazza del caffè la sera.
# Sottogruppo di Frattini

In algebra, e più precisamente in teoria dei gruppi, il sottogruppo di Frattini $\Phi (G)$ di un gruppo $G$ è l'intersezione di $G$ e di tutti i sottogruppi propri massimali di $G.$ In particolare, secondo la definizione, se $G$ non ha sottogruppi propri massimali allora $\Phi (G)$ coincide con $G$ stesso. È simile al radicale di Jacobson che si incontra nella teoria degli anelli. Intuitivamente può essere pensato come il sottogruppo di "piccoli elementi", infatti è caratterizzato dall'essere l'insieme di tutti i "non generatori" di $G.$
Il suo nome deriva da Giovanni Frattini, che ne definì il concetto in un lavoro pubblicato nel 1885.

## Proprietà

* $\Phi (G)$ coincide con l'insieme di tutti i "non generatori" di $G$. (Un elemento $a\in G$ è un non generatore se può essere sempre rimosso da un insieme di generatori del gruppo senza che quest'ultimo perda tale qualità; cioè $a$ è tale che per ogni $X$ insieme generatore di $G,$ si ha che $X\setminus \{a\}$ è ancora un insieme generatore di G.)
* $\Phi (G)$ è sempre un sottogruppo caratteristico di $G;$ in particolare, è sempre un sottogruppo normale di $G$).
* Se $G$ è un gruppo finito, allora $\Phi (G)$ è un gruppo nilpotente.
* Se $G$ è un p-gruppo, allora $\Phi (G)=G^{p}[G,G].$ Così il sottogruppo di Frattini, rispetto all'inclusione, è il più piccolo sottogruppo normale $N$ tale che il gruppo quoziente $G/N$ è un $p$-gruppo abeliano elementare, il che equivale a dire isomorfo alla somma diretta di gruppi ciclici di ordine $p.$ Inoltre, se il gruppo quoziente $G/\Phi (G)$ (chiamato anche il quoziente (o fattore) di Frattini di $G$) ha ordine $p^{k},$ allora $k$ è il più piccolo numero di generatori di $G$ (cioè la minima cardinalità per un insieme di generatori di $G$). In particolare, un p-gruppo finito è ciclico se e solo se il suo quoziente di Frattini è ciclico (di ordine $p$). Un $p$-gruppo è un gruppo abeliano elementare se e solo se il suo sottogruppo di Frattini è il gruppo banale.

## Esempio

Un esempio di gruppo con sottogruppo di Frattini non banale è un gruppo ciclico di ordine $p^{2},$ con $p$ numero primo. Se indichiamo con $G$ il gruppo ciclico e con $a$ un suo generatore, allora si ha $\Phi (G)=\left\langle a^{p}\right\rangle$.