# Ipersfera

In matematica, e in particolare in geometria, una ipersfera è l'analogo di una sfera in più di tre dimensioni. Una ipersfera di raggio $r$ nello spazio euclideo $n$-dimensionale consiste di tutti i punti che hanno distanza $r$ da un dato punto fissato $P$, chiamato centro dell'ipersfera
    $S_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|=r\right\}$
e rappresenta quindi un'ipersuperficie, ossia una varietà $(n-1)$-dimensionale immersa nello spazio $n$-dimensionale. Per tale motivo, su alcuni testi, in particolare in topologia, viene indicata con $S_{n-1}$ invece che $S_{n}$. In questo articolo, sarà indicata con $S_{n}$, per rendere più chiare alcune relazioni matematiche. Tuttavia, accenneremo alla notazione utilizzata in topologia nell'ultimo paragrafo.
Nello spazio euclideo, l'ipersfera $S_{n}$ è la frontiera della palla $n$-dimensionale chiusa, che è l'insieme di tutti i punti che hanno distanza minore o uguale a $r$ da un dato punto $P$
    ${\overline {V}}_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|\leqslant r\right\},$
e racchiude la palla $n$-dimensionale aperta, che è l'insieme di tutti i punti che hanno distanza minore di $r$ da un dato punto $P$
    $V_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|<r\right\}.$
Per esempio:
* nello spazio euclideo 1-dimensionale, ossia la retta, $S_{1}$ è una coppia di punti che delimita $V_{1}$ che è un segmento;
* nello spazio euclideo 2-dimensionale, ossia il piano, $S_{2}$ è una circonferenza che delimita $V_{2}$ che è un cerchio;
* nello spazio euclideo 3-dimensionale, $S_{3}$ è una superficie sferica ordinaria che delimita $V_{3}$ che è l'interno della sfera.

## Rappresentazione di un'ipersfera

In coordinate cartesiane $\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)$, l'equazione
    $\left\|x-P\right\|=r$
di un'ipersfera di centro $P=\left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}\right)$ e raggio $r$ si scrive
    $(x_{1}-p_{1})^{2}+(x_{2}-p_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-p_{n})^{2}=r^{2}$
Un'ipersfera di raggio $r$ e centro $P$ può essere anche rappresentata in forma parametrica mediante le seguenti equazioni:
    ${\begin{aligned}x_{1}&=p_{1}+r\cos(\phi _{1})\\x_{2}&=p_{2}+r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\\x_{3}&=p_{3}+r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\\\vdots \\x_{n-1}&=p_{n-1}+r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\\x_{n}&=p_{n}+r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\end{aligned}}$
dove l'ultima variabile angolare $\phi _{n-1}$ varia in un intervallo di ampiezza $2\pi$ mentre le altre variano un intervallo di ampiezza $\pi$.

## Coordinate ipersferiche

Strettamente correlata alla rappresentazione parametrica di un'ipersfera, c'è la definizione di coordinate ipersferiche.
In uno spazio euclideo $n$-dimensionale, oltre alle coordinate cartesiane, possiamo definire un sistema di coordinate analogo al sistema delle coordinate sferiche definito per lo spazio euclideo $3$-dimensionale, nel quale le coordinate consistono in una coordinata radiale $r$, ed $n-1$ coordinate angolari $\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\phi _{n-1}$. Se $x_{i}$ sono le coordinate cartesiane, allora possiamo definire
    ${\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\phi _{1})\\x_{2}&=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\\x_{3}&=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\\\vdots \\x_{i}&=r\prod _{t=1}^{i-1}\sin(\phi _{t})\cos(\phi _{i})\quad {\text{con}}\quad 2\leq i\leq n-1\\\vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\\x_{n}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})=r\prod _{t=1}^{n-1}\sin(\phi _{t})\end{aligned}}$
Come abbiamo visto in precedenza, queste equazioni forniscono anche la rappresentazione parametrica di un'ipersfera, se fissiamo la coordinata radiale $r$ che corrisponderà al raggio dell'ipersfera rappresentata, supponendo che essa sia centrata nell'origine.
Da esse si possono ottenere le seguenti trasformazioni inverse:
    ${\begin{aligned}\tan(\phi _{n-1})&={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}\\\tan(\phi _{n-2})&={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}{x_{n-2}}}\\\vdots \\\tan(\phi _{1})&={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}{x_{1}}}\end{aligned}}$
Si noti che l'ultimo angolo $\phi _{n-1}$ varia in un intervallo di ampiezza $2\pi$ mentre gli altri angoli variano in un intervallo di ampiezza $\pi$. Questo intervallo copre l'intera ipersfera.
L'elemento di ipervolume nello spazio euclideo $n$-dimensionale si ottiene dallo Jacobiano della trasformazione:
    ${\begin{aligned}d_{\mathbb {R} ^{n}}V_{n}&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial (r,\phi _{j})}}\right|dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}\end{aligned}}$
e l'equazione per l'ipervolume dell'ipersfera può essere ottenuta tramite la seguente integrazione:
    $V_{n}=\int _{r=0}^{R}\int _{\phi _{1}=0}^{\pi }\cdots \int _{\phi _{n-2}=0}^{\pi }\int _{\phi _{n-1}=0}^{2\pi }d_{\mathbb {R} ^{n}}V_{n}.$
L'elemento di ipersuperficie $(n-1)$-dimensionale dell'ipersfera, che generalizza l'elemento d'area della superficie sferica $2$-dimensionale nello spazio $3$-dimensionale, è dato da:
    $d_{S_{n}}V_{n-1}=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}$
e si ha
    $d_{\mathbb {R} ^{n}}V_{n}=dr\ d_{S_{n}}V_{n-1}.$

## Ipervolume e ipersuperficie

Quando si parla di "volume", o più propriamente di ipervolume, di una ipersfera $S_{n}$, in realtà ci si riferisce alla misura $n$-dimensionale della corrispondente palla $V_{n}$. Invece, quando si parla di "area superficiale", o più propriamente di misura ipersuperficiale, di una ipersfera $S_{n}$, ci si riferisce alla sua misura $(n-1)$-dimensionale. Come misura, solitamente, si considera la misura di Lebesgue.
Chiarito ciò, si dimostra che l'ipervolume dell'ipersfera è dato da:
    $V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}r^{n},$
dove $\Gamma$ denota la funzione Gamma.
Invece la misura ipersuperficiale dell'ipersfera è data da:
    $S_{n}(r)={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n-1}.$
A questo punto, una volta dimostrate queste espressioni, dalle proprietà della funzione Gamma, si evince che:
    $V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}r^{n}={\begin{cases}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}},&{\mbox{per }}n{\text{ pari}}\\{\frac {2^{\frac {n+1}{2}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}r^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot n}},&{\mbox{per }}n{\text{ dispari}}\end{cases}}$
    $S_{n}(r)={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n-1}={\begin{cases}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n-1}}{{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {n}{2}}-1\right)!}},&{\mbox{per }}n{\text{ pari}}\\{\frac {2^{\frac {n+1}{2}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}r^{n-1}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (n-2)}},&{\mbox{per }}n{\text{ dispari}}\end{cases}}$
(Quest'ultima formula deve essere modificata se si adopera la notazione utilizzata in topologia, vedi più avanti.)

### Dimostrazione
#### Calcolo della misura ipersuperficiale

Osserviamo che risulta
    $\int _{R^{n}}e^{-{x_{1}}^{2}-{x_{2}}^{2}-\cdots -{x_{n}}^{2}}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{x_{1}}^{2}}dx_{1}\right)\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{x_{2}}^{2}}dx_{2}\right)\cdots \left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{x_{n}}^{2}}dx_{n}\right)=\pi ^{\frac {n}{2}}$
poiché si tratta del prodotto di n integrali di Gauss.
D'altra parte, ricordando l'equazione dell'ipersfera in coordinate cartesiane, se l'ipersfera è centrata nell'origine il suo raggio è dato da
    $r={\sqrt {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}}}$
e, inoltre, l'integrale esteso a tutto lo spazio $\mathbb {R} ^{n}$ può essere scritto come l'integrale ottenuto sommando tutti i contributi che si hanno nelle corone ipersferiche di spessore infinitesimo $dr$ centrate nell'origine, cioè
    $\int _{R^{n}}e^{-{x_{1}}^{2}-{x_{2}}^{2}-\cdots -{x_{n}}^{2}}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}S_{n}(r)dr$
Dalle due identità, otteniamo
    $\int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}S_{n}(r)dr=\pi ^{\frac {n}{2}}$
Notiamo adesso che la misura dell'ipersuperficie di un'ipersfera di raggio r è in relazione con la misura dell'ipersuperficie di un'ipersfera di raggio unitario nel seguente modo:
    $S_{n}(r)=S_{n}(1)r^{n-1}$
Allora dall'identità precedente abbiamo
    $\pi ^{\frac {n}{2}}=S_{n}(1)\int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}r^{n-1}dr$
In questo integrale, operiamo la sostituzione
    $r={\sqrt {t}}$
da cui
    $dr={\frac {1}{2{\sqrt {t}}}}dt$
Così facendo, otteniamo
    $\pi ^{\frac {n}{2}}=S_{n}(1)\int _{0}^{+\infty }e^{-t}\left({\sqrt {t}}\right)^{n-1}{\frac {1}{2{\sqrt {t}}}}dt={\frac {1}{2}}S_{n}(1)\int _{0}^{+\infty }e^{-t}\left({\sqrt {t}}\right)^{n-2}dt={\frac {1}{2}}S_{n}(1)\int _{0}^{+\infty }e^{-t}t^{{\frac {n}{2}}-1}dt$
Nell'ultimo integrale si riconosce facilmente la definizione della funzione Gamma, quindi si ha
    $\pi ^{\frac {n}{2}}={\frac {1}{2}}S_{n}(1)\cdot \Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)$
ossia
    $S_{n}(1)={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}$
da cui
    $S_{n}(r)={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n-1}.$

#### Relazione tra ipervolume e misura ipersuperficiale

È facile comprendere che l'ipervolume $n$-dimensionale di un'ipersfera, come funzione $V_{n}(r)$ del raggio $r$, è una primitiva della misura $(n-1)$-dimensionale $S_{n}(r)$ dell'ipersuperficie. Infatti l'ipervolume può essere scritto come l'integrale ottenuto sommando tutti i contributi dati dagli ipervolumi delle corone ipersferiche di spessore infinitesimo $dr$ centrate nell'origine, cioè
    $V_{n}(r)=\int _{V_{n}}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\int _{0}^{r}S_{n}(r')dr'$
Alternativamente, ciò si ottiene anche dalla formula di Minkowski-Steiner, in virtù della quale risulta
    $S_{n}(r)={\frac {d}{dr}}V_{n}(r)$
Dunque
    $V_{n}(r)=\int _{0}^{r}{\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}{\left(r'\right)}^{n-1}dr'={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{n\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}r^{n}.$

#### Metodo alternativo di calcolo dell'ipervolume

Allo stesso risultato si può addivenire con tecniche classiche molto utili per imparare a ragionare in spazi n-dimensionali ed a sporcarsi le mani con integrali e manipolazioni. Prendiamo in considerazione una ipersfera in $I\!\!R^{n}$centrata nell'origine di raggio $r$ ed uno degli assi che identifichiamo con $x$. Per ogni punto di tale asse compreso nell'intervallo $[-r,r]\subset I\!\!R$ facciamo passare un iperpiano perpendicolare ad $x$. L'intersezione di questo iperpiano con la nostra ipersfera è un ipercerchio, cioè un ipersfera di dimensione $n-1$, il cui raggio è ${\sqrt {r^{2}-x^{2}\,}}$. Possiamo, dunque, scrivere il volume della ipersfera come l'integrale da $-r$ ad $r$ della misura dell'ipercerchio. Da questo integrale ricaviamo una relazione tra $V_{n}(1)$ e $V_{n-1}(0)$; essendo noto da semplici considerazioni $V_{1}(0)$ determiniamo tutti gli altri
    $V_{n}(1)={\,V_{n}(r)\, \over r^{n}}={1 \over \,r^{n}\,}\int _{-r}^{r}{V_{n-1}\left({\sqrt {r^{2}-x^{2}\,}}\right)}dx={1 \over \,r^{n}\,}\int _{-r}^{r}{V_{n-1}(1)\,\left[{\sqrt {r^{2}-x^{2}\,}}\right]^{n-1}}dx={\,V_{n-1}(1)\, \over r^{n}}\int _{-r}^{r}r^{n-1}\left[{\sqrt {1-\left({x \over \,r\,}\right)^{2}\,}}\right]^{n-1}dx$
operiamo la sostituzione $\quad x=r\,\operatorname {sen}(\vartheta )\quad \Rightarrow \quad dx=r\,\cos(\vartheta )d\vartheta$
    $V_{n}(1)={\,V_{n-1}(1)\, \over r^{n}}\int _{-\pi \over 2}^{\pi \over 2}r^{n-1}\left[{\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}(\vartheta )}}\right]^{n-1}r\,\cos(\vartheta )\,d\vartheta =V_{n-1}(1)\int _{-\pi \over 2}^{\pi \over 2}\cos ^{n}(\vartheta )\,d\vartheta =C_{n}\,V_{n-1}(1)$
avendo definito $C_{n}=\int _{-\pi \over 2}^{\pi \over 2}\cos ^{n}(\vartheta )\,d\vartheta =\,...\,={\,(n-1)!!\, \over n!!}\,\sigma _{n}\qquad {\text{e}}\qquad \sigma _{n}={\begin{cases}\pi &{\text{se}}\quad n\in {\text{PARI}}\subset I\!\!N\\2&{\text{se}}\quad n\in {\text{DISPARI}}\subset I\!\!N\end{cases}}$ Pertanto $V_{n}(1)=V_{n-1}(1)\,{\,(n-1)!!\, \over n!!}\,\sigma _{n}$ $V_{1}(1)=2=\sigma _{1}$ (in questo caso la ipersfera centrata nell'origine di raggio $r$ è semplicemente il segmento da $-r$ ad $r$ la cui lunghezza è $2r$) $V_{2}(1)=V_{1}(1)\,{1!! \over \,2!!\,}\,\sigma _{2}={1 \over \,2!!\,}\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}=\pi$
    $V_{3}(1)=V_{2}(1)\,{2!! \over \,3!!\,}\,\sigma _{3}={1 \over \,2!!\,}\,{2!! \over \,3!!\,}\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}={1 \over \,3!!\,}\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}={\,4\, \over 3}\,\pi$
    $V_{4}(1)=V_{3}(1)\,{3!! \over \,4!!\,}\,\sigma _{4}={1 \over \,3!!\,}\,{3!! \over \,4!!\,}\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}\,\sigma _{4}={1 \over \,4!!\,}\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}\,\sigma _{4}={\,1\, \over 2}\,\pi ^{2}$
    $V_{n}(1)={\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,...\quad ...\,\sigma _{n}\, \over n!!}$
Ricordando la definizione di $\sigma _{n}$ e che $n!!={\begin{cases}2^{n \over 2}\,\left(\displaystyle {\,n\, \over 2}\right)!&{\text{se}}\quad n\in {\text{PARI}}\subset I\!\!N\\\\\displaystyle {n! \over \,2^{n-1 \over 2}\left(\displaystyle {\,n-1\, \over 2}\right)!\,}&{\text{se}}\quad n\in {\text{DISPARI}}\subset I\!\!N\end{cases}}$ $V_{n}(1)={\begin{cases}{\displaystyle {2^{n \over 2}\,\pi ^{n \over 2}} \over \,\,\displaystyle {2^{n \over 2}\,\left({\,n\, \over 2}\right)!\,}}&{\text{se}}\quad n\in {\text{PARI}}\subset I\!\!N\\\\{\displaystyle 2^{n+1 \over 2}\,\,\pi ^{n-1 \over 2} \over \quad {\displaystyle n! \over \,\,\,\displaystyle 2^{n-1 \over 2}\left({\,n-1\, \over 2}\right)!\,\,\,}\quad }&{\text{se}}\quad n\in {\text{DISPARI}}\subset I\!\!N\end{cases}}$$\qquad \Rightarrow \qquad V_{n}(1)={\begin{cases}{\displaystyle {\pi ^{n \over 2}} \over \,\displaystyle {\left({\,n\, \over 2}\right)!\,}}&{\text{se}}\quad n\in {\text{PARI}}\subset I\!\!N\\\\{\displaystyle \,\,\,2^{n}\,\,\pi ^{n-1 \over 2}\,\left({\,n-1\, \over 2}\right)!\,\,\, \over \displaystyle n!}&{\text{se}}\quad n\in {\text{DISPARI}}\subset I\!\!N\end{cases}}$

### Tabella di valori al variare del numero di dimensioni

| Numero di dimensioni n | Ipervolume $V_{n}(r)$ | Misura ipersuperficiale $S_{n}(r)$ | Valore numerico $V_{n}(1)$ | Valore numerico $S_{n}(1)$ |
| 1 | $2r$ | $2$ | 2,000.000.000 | 2,000.000.000 |
| 2 | $\pi r^{2}$ | $2\pi r$ | 3,141.592.654 | 6,283.185.307 |
| 3 | ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ | 4,188.790.205 | 12,566.370.614 |
| 4 | ${\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}$ | $2\pi ^{2}r^{3}$ | 4,934.802.201 | 19,739.208.802 |
| 5 | ${\frac {8}{15}}\pi ^{2}r^{5}$ | ${\frac {8}{3}}\pi ^{2}r^{4}$ | 5,263.789.014 | 26,318.945.070 |
| 6 | ${\frac {1}{6}}\pi ^{3}r^{6}$ | $\pi ^{3}r^{5}$ | 5,167.712.780 | 31,006.276.680 |
| 7 | ${\frac {16}{105}}\pi ^{3}r^{7}$ | ${\frac {16}{15}}\pi ^{3}r^{6}$ | 4,724.765.970 | 33,073.361.792 |
| 8 | ${\frac {1}{24}}\pi ^{4}r^{8}$ | ${\frac {1}{3}}\pi ^{4}r^{7}$ | 4,058.712.126 | 32,469.697.011 |
| 9 | ${\frac {32}{945}}\pi ^{4}r^{9}$ | ${\frac {32}{105}}\pi ^{4}r^{8}$ | 3,298.508.903 | 29,686.580.125 |
| 10 | ${\frac {1}{120}}\pi ^{5}r^{10}$ | ${\frac {1}{12}}\pi ^{5}r^{9}$ | 2,550.164.040 | 25,501.640.399 |
| 11 | ${\frac {64}{10.395}}\pi ^{5}r^{11}$ | ${\frac {64}{945}}\pi ^{5}r^{10}$ | 1,884.103.879 | 20,725.142.673 |
| 12 | ${\frac {1}{720}}\pi ^{6}r^{12}$ | ${\frac {1}{60}}\pi ^{6}r^{11}$ | 1,335.262.769 | 16,023.153.226 |
| 13 | ${\frac {128}{135.135}}\pi ^{6}r^{13}$ | ${\frac {128}{10.395}}\pi ^{6}r^{12}$ | 0,910.628.755 | 11,838.173.812 |
| 14 | ${\frac {1}{5.040}}\pi ^{7}r^{14}$ | ${\frac {1}{360}}\pi ^{7}r^{13}$ | 0,599.264.529 | 8,389.703.410 |
| 15 | ${\frac {256}{2.027.025}}\pi ^{7}r^{15}$ | ${\frac {256}{135.135}}\pi ^{7}r^{14}$ | 0,381.443.281 | 5,721.649.212 |
| 16 | ${\frac {1}{40.320}}\pi ^{8}r^{16}$ | ${\frac {1}{2.520}}\pi ^{8}r^{15}$ | 0,235.330.630 | 3,765.290.086 |
| 17 | ${\frac {512}{34.459.425}}\pi ^{8}r^{17}$ | ${\frac {512}{2.027.025}}\pi ^{8}r^{16}$ | 0,140.981.107 | 2,396.678.818 |
| 18 | ${\frac {1}{362.880}}\pi ^{9}r^{18}$ | ${\frac {1}{20.160}}\pi ^{9}r^{17}$ | 0,082.145.887 | 1,478.625.959 |
| 19 | ${\frac {1.024}{654.729.075}}\pi ^{9}r^{19}$ | ${\frac {1.024}{34.459.425}}\pi ^{9}r^{18}$ | 0,046.621.601 | 0,885.810.420 |
| 20 | ${\frac {1}{3.628.800}}\pi ^{10}r^{20}$ | ${\frac {1}{181.440}}\pi ^{10}r^{19}$ | 0,025.806.891 | 0,516.137.828 |
| Andamento dell'ipervolume $V_{n}(1)$ relativo all'ipersfera unitaria al variare del numero $n$ di dimensioni, considerando anche l'estrapolazione della funzione $V_{x}(1)$ a numeri $x$ non interi. | Andamento della misura ipersuperficiale $S_{n}(1)$ relativa all'ipersfera unitaria al variare del numero $n$ di dimensioni, considerando anche l'estrapolazione della funzione $S_{x}(1)$ a numeri $x$ non interi. |
(La tabella vista poc'anzi deve essere modificata se si adopera la notazione utilizzata in topologia, vedi più avanti.)

### Considerazioni

Come si può notare, in entrambe le espressioni viste in precedenza per $V_{n}(r)$ e per $S_{n}(r)$, l'esponente di $\pi$ aumenta di una unità ogni volta che il numero di dimensioni aumenta di due unità, passando al numero pari successivo.
È anche interessante notare come, al tendere del numero di dimensioni ad infinito, ipervolume e misura ipersuperficiale tendano a zero indipendentemente dal raggio:
    $\lim _{n\rightarrow +\infty }V_{n}(r)=\lim _{n\rightarrow +\infty }S_{n}(r)=0{\text{ , }}\forall r>0$
Nota Bene: Ciò non va interpretato pensando che, al crescere del numero $n$ di dimensioni, l'ipersfera tenda a non occupare ipervolume, ma va semplicemente interpretato dicendo che il rapporto tra il suo ipervolume e quello dell'ipercubo $n$-dimensionale di lato unitario tende a zero. La spiegazione geometrica è che, fissato il raggio di una ipersfera e fissata la lunghezza del lato di un ipercubo, al crescere del numero di dimensioni, mentre il diametro dell'ipersfera resta costante, la diagonale dell'ipercubo cresce proporzionalmente a ${\sqrt {n}}$.
Quindi, fissato il raggio $r$, le funzioni $V_{n}(r)$ ed $S_{n}(r)$, al crescere del numero $n$ di dimensioni, prima raggiungono un valore massimo e poi decrescono indefinitamente. In particolare, nel caso dell'ipersfera di raggio unitario $r=1$,
* l'ipervolume $V_{n}(1)$ raggiunge il suo valore massimo per $n=5$ dimensioni, mentre
* la misura ipersuperficiale $S_{n}(1)$ raggiunge il suo valore massimo per $n=7$ dimensioni, nel qual caso l'ipersuperficie è una varietà $6$-dimensionale.
Un'altra considerazione particolare è la seguente: consideriamo due ipersfere nello spazio $n$-dimensionale, delle quali una di raggio $r$ e l'altra di raggio minore $(1-\varepsilon )r$, essendo $0<\varepsilon <1$. Il rapporto tra i due ipervolumi
    ${\frac {V_{n}((1-\varepsilon )r)}{V_{n}(r)}}=(1-\varepsilon )^{n},$
fissato $r$, tende comunque a $0$, al crescere del numero $n$ di dimensioni, qualunque sia il valore (anche molto piccolo) scelto per $\varepsilon$, poiché $1-\varepsilon <1$. Ciò si interpreta dicendo che, al crescere del numero di dimensioni, la maggior parte dell'ipervolume racchiuso nell'ipersfera tende a concentrarsi in prossimità dell'ipersuperficie. La stessa considerazione vale anche per altre figure geometriche $n$-dimensionali.
Notiamo, infine, che la relazione tra ipervolume e misura ipersuperficiale può essere riscritta anche nel modo seguente:
    $V_{n}(r)=\int _{0}^{r}S_{n}(r')dr'=S_{n}(r)\cdot {\frac {r}{n}}$
Questa identità può essere interpretata come una generalizzazione al caso $n$-dimensionale della dimostrazione tramite infinitesimi che si applica per il volume della sfera ordinaria, considerando l'ipersfera come l'unione di infinite iperpiramidi $n$-dimensionali infinitesime aventi ciascuna il vertice nel centro dell'ipersfera e la base $(n-1)$-dimensionale che poggia sull'ipersuperficie; queste infinite iperpiramidi elementari riempiono tutto e solo l'ipervolume dell'ipersfera e l'ipervolume di ogni iperpiramide è:
    ${\frac {{\mbox{misura ipersuperficiale di base}}\cdot {\mbox{altezza}}}{n}}$

#### Rappresentazione come coefficienti di Taylor

L'ipervolume della sfera unitaria $V_{n}(1)$ può essere calcolato anche mediante l'$n$-esimo coefficiente nell'espansione di Taylor della funzione
    $f(x)=e^{\pi x^{2}}(1+\mathrm {erf} (x{\sqrt {\pi }})),$
dove
    $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt$
è la funzione degli errori. In particolare
    $V_{n}(1)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}},\quad S_{n}(1)={\frac {f^{(n)}(0)}{(n-1)!}}$
dove stiamo includendo anche le definizioni $V_{0}(1):=1$ (la cardinalità di un insieme composto da un singolo punto: la palla unitaria in dimensione 0) e $V_{1}(1):=2$ (la lunghezza del segmento $(-1,1)$: la palla unitaria in dimensione 1).
Infatti, posta $B_{n}$ la palla unitaria, applicando la formula di coarea riusciamo a scrivere (per ogni $n\geq 1$)
    $V_{n}(1)=\int _{B_{n}}1dx_{1}\ldots dx_{n}=V_{n-1}(1)\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{\frac {n-1}{2}}dt.$
Pertanto, sfruttando la convergenza totale della serie su ogni sottoinsieme chiuso e limitato di $\mathbb {R}$, scriviamo
    ${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{+\infty }V_{n}(1)x^{n}&=\sum _{k=0}^{+\infty }V_{2k}(1)x^{2k}+\sum _{k=0}^{+\infty }V_{2k+1}(1)x^{2k+1}=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {\pi ^{k}x^{2k}}{k!}}+x\sum _{k=0}^{+\infty }V_{2k}(1)\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{k}x^{2k}dt\\&=e^{\pi x^{2}}+x\int _{-1}^{1}\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {\pi ^{k}(1-t^{2})^{k}x^{2k}}{k!}}dt=e^{\pi x^{2}}+x\int _{-1}^{1}e^{\pi (1-t^{2})x^{2}}dt\\&=e^{\pi x^{2}}+e^{\pi x^{2}}2x\int _{0}^{1}e^{-\pi t^{2}x^{2}}dt=e^{\pi x^{2}}+e^{\pi x^{2}}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x{\sqrt {\pi }}}e^{-t^{2}}dt\\&=e^{\pi x^{2}}+e^{\pi x^{2}}\mathrm {erf} (x{\sqrt {\pi }})=e^{\pi x^{2}}(1+\mathrm {erf} (x{\sqrt {\pi }})).\end{aligned}}$
Osservando inoltre che $V_{n}(1)x^{n}=V_{n}(x)$ si può riscrivere la somma come
    $\sum _{n=0}^{+\infty }V_{n}(x)=e^{\pi x^{2}}(1+\mathrm {erf} (x{\sqrt {\pi }})).$
Infine, ponendo $x=1$, si ottiene
    $\sum _{n=0}^{+\infty }V_{n}(1)=e^{\pi }(1+\mathrm {erf} ({\sqrt {\pi }}))\approx 45,999326.$

## I paradossi delle ipersfere

I cosiddetti paradossi delle ipersfere, impropriamente definiti tali, sono, in realtà, solo particolari proprietà geometriche degli spazi euclidei con numero di dimensioni elevato, in particolare, con numero di dimensioni maggiore di $9$; l'appellativo di "paradossi" è dovuto al carattere apparentemente antiintuitivo di tali proprietà geometriche, se si opera un confronto con ciò che accade nello spazio $3$-dimensionale ordinario. Su alcuni testi sono indicati come paradossi di Moser, essendo stati probabilmente scoperti dal matematico austriaco naturalizzato canadese Leo Moser.

### Primo paradosso

Nel piano, cioè nello spazio euclideo a $n=2$ dimensioni, $2^{2}=4$ cerchi di raggio $r$ possono essere inseriti all'interno di un quadrato di lato $4r$, in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti ai lati del quadrato; tali cerchi si ottengono dividendo il quadrato di partenza in $2^{2}=4$ quadrati più piccoli di lato $2r$ e considerando i cerchi iscritti in questi quadrati più piccoli; così facendo, in prossimità del centro del quadrato di partenza, c'è ancora spazio per inserire un cerchio più piccolo di raggio $({\sqrt {2}}-1)r$.
Nello spazio ordinario, cioè nello spazio euclideo a $n=3$ dimensioni, $2^{3}=8$ sfere possono essere inserite all'interno di un cubo di lato $4r$, in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti alle facce del cubo; tali sfere si ottengono dividendo il cubo di partenza in $2^{3}=8$ cubi più piccoli di lato $2r$ e considerando le sfere iscritte in questi cubi più piccoli; così facendo, in prossimità del centro del cubo di partenza, c'è ancora spazio per inserire una sfera più piccola di raggio $({\sqrt {3}}-1)r$.
Analogamente, nello spazio euclideo a $n=4$ dimensioni, $2^{4}=16$ ipersfere $4$-dimensionali possono essere inserite all'interno di un ipercubo $4$-dimensionale di lato $4r$, in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti alle iperfacce $3$-dimensionali dell'ipercubo; tali ipersfere $4$-dimensionali si ottengono dividendo l'ipercubo $4$-dimensionale di partenza in $2^{4}=16$ ipercubi $4$-dimensionali più piccoli di lato $2r$ e considerando le ipersfere iscritte in questi ipercubi più piccoli; così facendo, in prossimità del centro dell'ipercubo di partenza, c'è ancora spazio per inserire un'ipersfera di raggio $({\sqrt {4}}-1)r=r$, la quale, quindi, ha lo stesso raggio e non è più piccola delle altre.
In generale, nello spazio euclideo a $n$ dimensioni, $2^{n}$ ipersfere $n$-dimensionali possono essere inserite all'interno di un ipercubo $n$-dimensionale di lato $4r$, in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti alle iperfacce $(n-1)$-dimensionali dell'ipercubo; tali ipersfere $n$-dimensionali si ottengono dividendo l'ipercubo $n$-dimensionale di partenza in $2^{n}$ ipercubi $n$-dimensionali più piccoli di lato $2r$ e considerando le ipersfere iscritte in questi ipercubi più piccoli; così facendo, in prossimità del centro dell'ipercubo di partenza, c'è ancora spazio per inserire un'ipersfera di raggio $({\sqrt {n}}-1)r$.
È evidente che, a partire da $n=5$ dimensioni, l'ipersfera centrale diventa più grande, cioè ha raggio maggiore, rispetto alle altre $2^{n}$ ipersfere.
A $n=9$ dimensioni, poi, l'ipersfera centrale ha raggio $({\sqrt {9}}-1)r=2r$, quindi ha diametro $4r$ uguale al lato dell'ipercubo che contiene tutte le ipersfere considerate, pertanto diviene tangente alle iperfacce $8$-dimensionali di tale ipercubo; ciò nonostante, all'interno dell'ipercubo, in corrispondenza dei vertici, c'è ancora spazio per le altre $2^{9}=512$ ipersfere.
È evidente che, a partire da $n=10$ dimensioni, l'ipersfera centrale non può più entrare nell'ipercubo considerato, poiché ha diametro maggiore di $4r$ e, pertanto, sporge all'esterno.

### Secondo paradosso

Nel piano, cioè nello spazio euclideo a $n=2$ dimensioni, consideriamo una scacchiera, costituita da quadrati di lato $l$. Un cerchio circoscritto a ciascun quadrato della scacchiera ha diametro uguale alla lunghezza della diagonale del quadrato, ossia $l{\sqrt {2}}$, pertanto occupa parte dei quadrati adiacenti.
Nello spazio ordinario, cioè nello spazio euclideo a $n=3$ dimensioni, consideriamo una scacchiera $3$-dimensionale, costituita da cubi di lato $l$. Una sfera circoscritta a ciascun cubo della scacchiera ha diametro uguale alla lunghezza della diagonale del cubo, ossia $l{\sqrt {3}}$, pertanto occupa parte dei cubi adiacenti.
In generale, nello spazio euclideo a $n$ dimensioni, consideriamo una scacchiera $n$-dimensionale, costituita da ipercubi $n$-dimensionali di lato $l$. Un'ipersfera $n$-dimensionale circoscritta a ciascun ipercubo della scacchiera ha diametro uguale alla lunghezza della diagonale dell'ipercubo, ossia $l{\sqrt {n}}$, pertanto occupa parte degli ipercubi adiacenti.
A $n=9$ dimensioni, l'ipersfera circoscritta a ciascun ipercubo ha diametro uguale a $l{\sqrt {9}}=3l$, pertanto essa passa per i vertici dell'ipercubo a cui è circoscritta ma, contemporaneamente, è anche tangente alle iperfacce degli ipercubi adiacenti, le quali si trovano dalla parte opposta rispetto alle iperfacce in comune con l'ipercubo a cui è circoscritta l'ipersfera.
È evidente che, a partire da $n=10$ dimensioni, l'ipersfera passa per i vertici dell'ipercubo a cui è circoscritta ma, contemporaneamente, sporge all'esterno degli ipercubi adiacenti.
Un altro fenomeno particolare accade già a partire da $n=4$ dimensioni: in tal caso, ogni ipersfera circoscritta ha raggio uguale o maggiore di $l{\sqrt {4}}=2l$, pertanto include anche i centri degli ipercubi adiacenti. Si comprende allora che, dato un qualunque ipercubo della scacchiera $n$-dimensionale, esso risulta completamente occupato da tutte le ipersfere circoscritte agli ipercubi adiacenti; invece, in una scacchiera $2$-dimensionale o $3$-dimensionale, un qualunque quadrato o cubo non viene completamente occupato da tutti i cerchi circoscritti o da tutte le sfere circoscritte ai quadrati o ai cubi adiacenti.

## Notazione utilizzata in topologia

Come accennato in precedenza, in topologia, l'ipersfera rappresentata dal luogo di tutti i punti, nello spazio euclideo $n$-dimensionale, che hanno distanza $r$ da un dato punto fissato $P$, essendo una varietà $(n-1)$-dimensionale, è indicata con $S_{n-1}$ invece che $S_{n}$, cioè si pone
    $S_{n-1}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|=r\right\}$
In alternativa, si può porre
    $S_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x-P\right\|=r\right\}$
ossia si può considerare l'ipersfera rappresentata dal luogo di tutti i punti, nello spazio euclideo $(n+1)$-dimensionale, che hanno distanza $r$ da un dato punto fissato $P$, la quale è una varietà $n$-dimensionale.
In topologia, la varietà $n$-dimensionale $S_{n}$ così definita prende anche il nome di $n$-sfera.
Con tale convenzione, si ha, per esempio, che:
* l'$1$-sfera $S_{1}$ è una circonferenza
* la $2$-sfera $S_{2}$ è una superficie sferica ordinaria
* la $3$-sfera $S_{3}$ è un'ipersuperficie $3$-dimensionale che rappresenta la frontiera di una palla $4$-dimensionale.
Con la notazione utilizzata in topologia, la formula che esprime la misura ipersuperficiale si ottiene da quella vista in precedenza sostituendo $n$ con $(n+1)$, cioè
    $S_{n}(r)={\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}}r^{n}={\begin{cases}{\frac {\pi ^{\frac {n+1}{2}}r^{n}}{{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}},&{\mbox{per }}n{\text{ dispari}}\\{\frac {2^{{\frac {n}{2}}+1}\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (n-1)}},&{\mbox{per }}n{\text{ pari}}\end{cases}}$
Applicando questa formula, si ottiene, per esempio, che:
* la misura $1$-dimensionale di una $1$-sfera, ossia la lunghezza di una circonferenza, è $2\pi r$;
* la misura $2$-dimensionale di una $2$-sfera, ossia l'area di una superficie sferica ordinaria, è $4\pi r^{2}$;
* la misura $3$-dimensionale di una $3$-sfera, ossia il volume di un'ipersuperficie ipersferica $3$-dimensionale, è $2\pi ^{2}r^{3}$.
e la tabella vista in precedenza deve essere modificata nel seguente modo:
| Numero di dimensioni n | Misura dell'$n$-sfera $S_{n}(r)$ | Ipervolume racchiuso $V_{n+1}(r)$ | Valore numerico $S_{n}(1)$ | Valore numerico $V_{n+1}(1)$ |
| 1 | $2\pi r$ | $\pi r^{2}$ | 6,283.185.307 | 3,141.592.654 |
| 2 | $4\pi r^{2}$ | ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ | 12,566.370.614 | 4,188.790.205 |
| 3 | $2\pi ^{2}r^{3}$ | ${\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}$ | 19,739.208.802 | 4,934.802.201 |
| 4 | ${\frac {8}{3}}\pi ^{2}r^{4}$ | ${\frac {8}{15}}\pi ^{2}r^{5}$ | 26,318.945.070 | 5,263.789.014 |
| 5 | $\pi ^{3}r^{5}$ | ${\frac {1}{6}}\pi ^{3}r^{6}$ | 31,006.276.680 | 5,167.712.780 |
| 6 | ${\frac {16}{15}}\pi ^{3}r^{6}$ | ${\frac {16}{105}}\pi ^{3}r^{7}$ | 33,073.361.792 | 4,724.765.970 |
| 7 | ${\frac {1}{3}}\pi ^{4}r^{7}$ | ${\frac {1}{24}}\pi ^{4}r^{8}$ | 32,469.697.011 | 4,058.712.126 |
| 8 | ${\frac {32}{105}}\pi ^{4}r^{8}$ | ${\frac {32}{945}}\pi ^{4}r^{9}$ | 29,686.580.125 | 3,298.508.903 |
| 9 | ${\frac {1}{12}}\pi ^{5}r^{9}$ | ${\frac {1}{120}}\pi ^{5}r^{10}$ | 25,501.640.399 | 2,550.164.040 |
| 10 | ${\frac {64}{945}}\pi ^{5}r^{10}$ | ${\frac {64}{10.395}}\pi ^{5}r^{11}$ | 20,725.142.673 | 1,884.103.879 |
| 11 | ${\frac {1}{60}}\pi ^{6}r^{11}$ | ${\frac {1}{720}}\pi ^{6}r^{12}$ | 16,023.153.226 | 1,335.262.769 |
| 12 | ${\frac {128}{10.395}}\pi ^{6}r^{12}$ | ${\frac {128}{135.135}}\pi ^{6}r^{13}$ | 11,838.173.812 | 0,910.628.755 |
| 13 | ${\frac {1}{360}}\pi ^{7}r^{13}$ | ${\frac {1}{5.040}}\pi ^{7}r^{14}$ | 8,389.703.410 | 0,599.264.529 |
| 14 | ${\frac {256}{135.135}}\pi ^{7}r^{14}$ | ${\frac {256}{2.027.025}}\pi ^{7}r^{15}$ | 5,721.649.212 | 0,381.443.281 |
| 15 | ${\frac {1}{2.520}}\pi ^{8}r^{15}$ | ${\frac {1}{40.320}}\pi ^{8}r^{16}$ | 3,765.290.086 | 0,235.330.630 |
| 16 | ${\frac {512}{2.027.025}}\pi ^{8}r^{16}$ | ${\frac {512}{34.459.425}}\pi ^{8}r^{17}$ | 2,396.678.818 | 0,140.981.107 |
| 17 | ${\frac {1}{20.160}}\pi ^{9}r^{17}$ | ${\frac {1}{362.880}}\pi ^{9}r^{18}$ | 1,478.625.959 | 0,082.145.887 |
| 18 | ${\frac {1.024}{34.459.425}}\pi ^{9}r^{18}$ | ${\frac {1.024}{654.729.075}}\pi ^{9}r^{19}$ | 0,885.810.420 | 0,046.621.601 |
| 19 | ${\frac {1}{181.440}}\pi ^{10}r^{19}$ | ${\frac {1}{3.628.800}}\pi ^{10}r^{20}$ | 0,516.137.828 | 0,025.806.891 |
| 20 | ${\frac {2.048}{654.729.075}}\pi ^{10}r^{20}$ | ${\frac {2.048}{13.749.310.575}}\pi ^{10}r^{21}$ | 0,292.932.159 | 0,0139.491.504 |
Evidentemente, con questa notazione,
* la misura ipersuperficiale $S_{n}(1)$ raggiunge il suo valore massimo per $n=6$ dimensioni, corrispondente al caso della $6$-sfera.
Inoltre, con la stessa notazione, la relazione tra ipervolume e misura ipersuperficiale si scrive:
    $V_{n}(r)=\int _{0}^{r}S_{n-1}(r')dr'=S_{n-1}(r)\cdot {\frac {r}{n}}$