# Integrale di superficie

In matematica, un integrale di superficie è un integrale definito calcolato su una superficie, ad esempio un insieme di curve, che può essere pensato come un integrale doppio analogo ad un integrale di linea.

## Definizione

Si definisce elemento di volume in $\mathbb {R} ^{k}$ la k-forma:
    $\mathrm {d} \mathbf {V} _{k}=\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{k}.$
Sia $S$ una $k$-superficie positivamente orientata in $\mathbb {R} ^{k}$ e $f$ una funzione continua definita sull'immagine di $S$ e a valori in $\mathbb {R}$. Allora:
    $\int _{S}f(\mathbf {x} )\;\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{k}=\int _{S}f\;\mathrm {d} \mathbf {V} _{k}.$
Sia $D\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ il dominio di parametrizzazione di $S$ e $S\colon D\to \mathbb {R} ^{k}$ iniettiva e differenziabile con matrice jacobiana $J_{S}$ positiva. Allora:
    $\int _{S(D)}f(\mathbf {x} )\;\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{D}f(S(\mathbf {u} ))\left|J_{S}(\mathbf {u} )\right|\;\mathrm {d} \mathbf {u} .$
Se $f=1$ l'integrale fornisce il volume della superficie.

### Integrale di funzioni su 2-superfici nello spazio

Sia $S$ una 2-superficie in $\mathbb {R} ^{3}$ con dominio di parametrizzazione $D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$. Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni $x$, $y$ e $z$ di due variabili indipendenti $u$ e $v$:
    $S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)).$
Sia $f\colon S(D)\to \mathbb {R}$ una funzione definita su $S$. Ad ogni punto $(u,v)\in D$ del dominio di parametrizzazione è possibile associare il vettore:
    $\mathbf {N} (u,v)={\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\mathbf {e} _{3}$
dove i vettori $\mathbf {e} _{i}$ sono gli elementi della base canonica di $\mathbb {R} ^{3}$. Si definisce integrale di superficie di $f$ sulla superficie $S(D)$ la scrittura:
    $\int _{S}f\;\mathrm {d} \mathbf {V} _{2}=\int _{D}f(S(u,v))|\mathbf {N} (u,v)|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v.$
In modo equivalente si scrive anche, notando che il prodotto interno è proprio il vettore normale:
    $\int _{S}f\;\mathrm {d} S=\iint _{D}f(S(u,v))\left|{\partial S \over \partial u}\times {\partial S \over \partial v}\right|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v=\iint _{D}f(S(u,v))\left|\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right)\right|\,\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v$
dove
    $\mathbf {N} (u,v)={\partial S \over \partial u}\times {\partial S \over \partial v}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v))}}\right)$
è l'elemento di superficie normale a $S$. Inoltre
    ${\frac {\partial (x_{i},x_{j})}{\partial (u,v)}}={\frac {\partial S_{x_{i}}}{\partial u}}{\frac {\partial S_{x_{j}}}{\partial v}}-{\frac {\partial S_{x_{j}}}{\partial u}}{\frac {\partial S_{x_{i}}}{\partial v}}.$
Se $f=1,$ l'integrale fornisce l'area della superficie:
    $A(S)=\int _{D}|\mathbf {N} (u,v)|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v.$

### Integrale di 2-forme su 2-superfici nello spazio

Sia $S$ una 2-superficie in $\mathbb {R} ^{3}$ con dominio di parametrizzazione $D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$. Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni $x$, $y$ e $z$ di due variabili indipendenti $u$ e $v$:
    $S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)).$
Sia
    $\omega =\omega _{x}(x,y,z)\;\mathrm {d} y\wedge \;\mathrm {d} z+\omega _{y}(x,y,z)\;\mathrm {d} z\wedge \;\mathrm {d} x+\omega _{z}(x,y,z)\;\mathrm {d} x\wedge \;\mathrm {d} y$
una 2-forma definita su $S$. Si definisce integrale di $\omega$ su $S$
    $\int _{S}\omega =\int _{D}\omega (S(u,v))[J_{S}(u,v)]\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v=\int _{D}\left[\omega _{x}(S(u,v)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}+\omega _{y}(S(u,v)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}}+\omega _{z}(S(u,v)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right]\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v.$
Interpretando la 2-forma $\omega$ come un campo vettoriale $\mathbf {F} =(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})$ definito su $S$ si ha:
    $\int _{S}{\mathbf {F} }\cdot \;\mathrm {d} {\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {F} }\cdot {\mathbf {n} })\;\mathrm {d} S=\iint _{D}{\mathbf {F} }(S(u,v))\cdot \mathbf {n} \,\,|\mathbf {N} (u,v)|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v=\iint _{D}{\mathbf {F} }(S(u,v))\cdot \mathbf {N} (u,v)\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v$
dove $\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {N} (u,v)}{|\mathbf {N} (u,v)|}}$ è il versore normale alla superficie.

## Esempio

Sia $S$ una superficie (chiusa o aperta) analiticamente rappresentata da tre funzioni $x$, $y$ e $z$ di due variabili indipendenti $\xi$ e $\eta$:
    $x=x(\xi ,\eta ),\qquad y=y(\xi ,\eta ),\qquad z=z(\xi ,\eta )$
e sia $f(P)$ funzione continua dei punti $P(\xi ,\eta )$ di detta superficie. Decomposta $S$ in modo arbitrario in elementi $\Delta s$, si fissi su ciascuno di questi un punto $P(\xi ,\eta )$, e si formi il prodotto $f(P)\Delta s$ del valore di $f(P)$ per ogni $\Delta s$. La somma di tali prodotti è indicata con $\sum _{\Delta s=1}^{n}f(P)\Delta s$. Facendo aumentare indefinitamente il numero $n$ degli elementi della decomposizione e facendo diminuire ciascuna delle aree $\Delta s$, se esiste il limite di tale somma e se è finito, allora esso è l'integrale di superficie della funzione $f(P)$ sulla superficie $S$. Viene indicato con $\int _{S}f(P)\cdot \mathrm {d} s$ oppure con $\iint _{S}f(P)\cdot \mathrm {d} s$.
Il suo calcolo effettivo si ottiene mediante un integrale doppio esteso all'area piana $C$ proiezione della superficie $S$ sul piano $xy.$
Con lo "spianamento" della superficie $S$ l'integrale in $\mathrm {d} s$ si trasforma nel seguente integrale doppio:
    $\iint _{C}f(P)\cdot {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\cdot \mathrm {d} C$
ove $p=\mathrm {d} z/\mathrm {d} x$ e $q=\mathrm {d} z/\mathrm {d} y$, che consente il calcolo dell'integrale di superficie.