# Potenziale scalare

Il potenziale scalare di un dato campo vettoriale è un campo scalare il cui gradiente è uguale a quel campo vettoriale, ed è studiato in matematica applicata, in particolare nel calcolo vettoriale. Storicamente il concetto è nato per descrivere il campo elettrostatico.

## Definizione

Dato un campo vettoriale $\mathbf {V} :\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k}$ di classe $C^{1}$, si chiama potenziale scalare una funzione $\phi :\Omega \to \mathbb {R}$ di classe $C^{2}$ tale che:
    $\nabla \phi =-\mathbf {V}$
ovvero il gradiente di $\phi$ è il campo vettoriale stesso. Se il gradiente esiste, il campo vettoriale è un campo conservativo. In questo caso il carattere vettoriale del campo $\mathbf {V}$ si perde poiché esso può essere descritto da un campo scalare (con conseguente perdita di entropia di informazione),
In modo equivalente, se $\mathbf {V}$ è conservativo (il suo rotore è nullo) e le sue componenti hanno derivate parziali continue, il potenziale di $\mathbf {V}$ in $\mathbf {r}$ rispetto alla posizione $\mathbf {r} _{0}$ è dato dall'integrale di linea:
    $\phi (\mathbf {r} )=-\int _{C}\mathbf {V} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =-\int _{a}^{b}\mathbf {V} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt$
dove $C$ è una qualsiasi curva regolare a tratti contenuta in $\Omega$ che congiunge $\mathbf {r} _{0}$ a $\mathbf {r}$:
    $a\leq t\leq b\qquad \mathbf {r} (a)=\mathbf {r_{0}} \qquad \mathbf {r} (b)=\mathbf {r}$
In tre dimensioni, ponendo $\mathbf {r} =(x,y,z)$ e $\mathbf {r} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})\in \Omega$ si ha(a patto che il dominio ${\ce {\Omega}}$ sia connesso per spezzate):
    $\phi (x,y,z)-\phi (0,0,0)=-\int _{x_{0}}^{x}V_{x}(t,0,0)dt-\int _{y_{0}}^{y}V_{y}(x,t,0)dt-\int _{z_{0}}^{z}V_{z}(x,y,t)dt$
e le componenti di $\mathbf {V}$ sono:
    $V_{x}(x,y,z)=-{\frac {\partial \phi }{\partial x}}(x,y,z)$
    $V_{y}(x,y,z)=-{\frac {\partial \phi }{\partial y}}(x,y,z)$
    $V_{z}(x,y,z)=-{\frac {\partial \phi }{\partial z}}(x,y,z)$
ovvero le derivate parziali del potenziale rispetto alla variabile $x$, $y$ e $z$. Integrando ambo i membri di ogni equazione del sistema si ha un sistema di equazioni differenziali che hanno come soluzione una classe di funzioni definite a meno di una costante.
Il potenziale è sempre definito a meno di una costante moltiplicativa arbitraria ed è quindi proporzionale all'energia potenziale di un corpo immerso nel campo. La costante di proporzionalità è la stessa che si ha tra l'intensità del campo e la forza agente sul corpo.

## Calcolo del potenziale scalare

Per mostrare come si calcola il potenziale di un campo conservativo, illustreremo l'idea del procedimento in dimensione 2 e forniremo poi un esempio in dimensione 3.
Dalla relazione ${\frac {\partial \phi }{\partial x}}(x,y)=f_{1}(x,y)$, otteniamo $\phi (x,y)=F_{1}(x,y)+\psi _{1}(y)$, dove $F_{1}(x,y)$ è una qualunque primitiva di $f_{1}(x,y)$, ossia che soddisfa ${\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}(x,y)=f_{1}(x,y)$, mentre $\psi _{1}(y)$ è una funzione per il momento incognita che rappresenta la costante di integrazione rispetto a $x$ e che dipende solo da $y$. Per determinare tale funzione, deriviamo l'ultima relazione rispetto a $y$, ottenendo ${d\psi _{1} \over dy}={\frac {\partial \phi }{\partial y}}(x,y)-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(x,y)=f_{2}(x,y)-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(x,y)=g(y)$. Detta $G(y)$ una qualunque primitiva di $g(y)$, avremo quindi $\psi _{1}(y)=G(y)+c$ e dunque in definitiva $\phi (x,y)=F_{1}(x,y)+G(y)+c$

### Esempio di calcolo del potenziale

Consideriamo il campo vettoriale in $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbf {f} (x,y,z)=2yz\mathbf {i} +2z(x+3y)\mathbf {j} +(y(2x+3y)+2z)\mathbf {k}$. È immediato verificare che $\nabla \times \mathbf {f} =0$, e dunque che il campo è conservativo.
Integrando la relazione ${\frac {\partial \phi }{\partial x}}(x,y,z)=2yz$, otteniamo $\phi (x,y,z)=2xyz+\psi _{1}(y,z)$. Derivando tale identità rispetto a $y$ e usando il fatto che ${\frac {\partial \phi }{\partial y}}(x,y,z)=2xz+6yz$ otteniamo ${\frac {\partial \psi _{1}}{\partial y}}(y,z)=6yz$, da cui $\psi _{1}(y,z)=3y^{2}z+\psi _{2}(z)$. Derivando ora questa identità rispetto a $z$ e usando il fatto che ${\frac {\partial \phi }{\partial z}}(x,y,z)=2xy+3y^{2}+2z$, otteniamo che ${d\psi _{2} \over dz}(z)=2z$, ossia che $\psi _{2}(z)=z^{2}+c$. Concludiamo che tutti i potenziali di $\mathbf {f}$ sono dati dalla formula $\phi (x,y,z)=2xyz+3y^{2}z+z^{2}+c$

## Potenziale gravitazionale

Nell'ambito della meccanica classica, secondo la legge di gravitazione universale di Newton, il campo gravitazionale esercitato da un corpo puntiforme, o da un corpo rigido con densità a simmetria sferica (si veda il teorema del guscio sferico), di massa $m$, che per semplicità consideriamo posto nell'origine degli assi cartesiani, è:
    $\mathbf {g} _{(\mathbf {r} )}=-G{\frac {m}{r^{2}}}\!\cdot \!{\hat {\mathbf {u} }}_{r}$
dove $r$ è il modulo della distanza e ${\hat {\mathbf {u} }}_{r}$ il suo versore, mentre $G$ è la costante di gravitazione universale. Di conseguenza il potenziale avrà l'espressione:
    $w_{(\mathbf {r} )}=-G{\frac {m}{r}}+C={\frac {U_{(\mathbf {r} )}}{m_{r}}}$
dove $U_{(\mathbf {r} )}$ è l'energia potenziale gravitazionale del corpo di massa $m_{r}$ posizionato in $r$. Per convenzione, la costante additiva $C$ si pone uguale a zero: questo corrisponde a fissare la condizione al contorno che il potenziale si annulli per $r$ tendente all'infinito.
Quando si consideri una fascia limitata nei pressi della superficie terrestre, il campo gravitazionale della Terra si può approssimare con un vettore costante (con modulo pari a $g$) diretto verticalmente verso il basso. In questo caso l'espressione del potenziale è:
    $w_{(z)}=gz+C$
dove $g$ è il valore dell'accelerazione di gravità medio in quella regione; si tenga presente che sulla superficie terrestre esso è in media pari a circa 9,81 m/s². La costante $C$ può essere scelta arbitrariamente perché all'interno della fascia sono di interesse solo le variazioni di potenziale. L'unità di misura del potenziale gravitazionale è il J/kg (joule su chilogrammo).

## Potenziale elettrostatico

Il fatto che il campo elettrostatico sia rappresentabile come un potenziale scalare è legato al fatto che sia un campo irrotazionale (caso particolare della legge di Faraday per l'elettrostatica):
    $\nabla \times \mathbf {E} _{0}=\mathbf {0} ,$
infatti in questo caso il teorema del rotore garantisce che un campo di rotore nullo ha un semplice potenziale scalare:
    $\mathbf {E} _{0}=-\nabla V,$
qui $V$ è il potenziale scalare che abbiamo associato al campo elettrostatico, chiamato potenziale elettrostatico. L'unità di misura del potenziale elettrico è il volt: tra due punti $A$ e $B$ di una regione di spazio sede di un campo elettrico c'è una differenza di potenziale di 1 volt se la forza elettrica compie il lavoro di 1 joule per portare una carica di 1 coulomb da $A$ a $B$. Nel caso generale dell'elettrodinamica la legge di Faraday rende invece il campo elettrico rotazionale in modo proporzionale alla variazione nel tempo del campo magnetico:
    $\nabla \times \mathbf {E} _{0}=-{\frac {\partial B}{\partial t}}.$
D'altra parte, la legge di Gauss magnetica equivale per il teorema della divergenza a dire che il campo magnetico ammette un potenziale vettore:
    $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .$
Rispetto al caso precedente basta aggiungere un termine:
    $\mathbf {E} =E_{0}-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},$
ossia la legge di Faraday corrisponde ad esprimere il campo elettrico nella seguente funzione dei potenziali elettrostatico e magnetico:
    $\mathbf {E} =-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.$

## Energia elettrostatica

Il potenziale elettrico corrisponde all'energia potenziale associata ad una carica puntiforme per unità di carica elettrica, poiché il campo magnetico non ammette energia potenziale. L'energia potenziale della carica è il livello di energia che la carica possiede a causa della sua posizione all'interno del campo elettrico; pertanto il potenziale elettrico della carica di prova è il rapporto tra l'energia potenziale e il valore della carica stessa, cioè:
    $V_{(r)}={\frac {U_{(r)}}{q}}$

## Potenziale fluidodinamico

In fluidodinamica, un flusso irrotazionale può essere descritto introducendo un potenziale scalare $\phi$, tale per cui il suo gradiente corrisponda al campo di velocità. Nel caso in cui il flusso sia anche incomprimibile (flusso potenziale incomprimibile), il potenziale soddisfa l'equazione di Laplace $\nabla ^{2}\phi =0$.

## Pressione

In fluidodinamica e in fluidostatica classiche se viene introdotta la semplificazione di fluido ideale, la pressione è l'energia potenziale per unità di volume delle forze di superficie. In fluidostatica nello stesso tempo lo è anche delle forze di volume.

## Diffusività materiale

La velocità in un mezzo diffusivo ammette un potenziale cinetico detto diffusività, $\mathbf {D}$:
    $\mathbf {v} =-\nabla D+\Delta v$.
mentre nel caso generale, in cui il rotore della velocità non è nullo, la velocità è funzione anche di altri parametri legati ad esso.
Nel caso diffusivo si dimostrano valide le leggi di Fick.