# Derivata esterna

In geometria differenziale, la derivata esterna estende il concetto di differenziale di una funzione a forme differenziali di ordine maggiore. La forma attualmente usata della derivata esterna è dovuta ad Élie Cartan.

## Definizione

La derivata esterna di una forma differenziale di grado $k$ è una forma differenziale di grado $k+1$.

### Derivata esterna di una funzione

Sia $f$ una funzione liscia (cioè una 0-forma). La derivata esterna di $f$ è il differenziale $df$ di $f$, ovvero l'unica uno-forma tale che per ogni campo vettoriale $X$ si abbia $df(X)=Xf$, dove $Xf$ è la derivata direzionale di $f$ in direzione $X$.

### Derivata esterna di una k-forma

La derivata esterna è definita come l'unica trasformazione lineare a valori reali che mappa k-forme in (k+1)-forme tale da soddisfare le seguenti proprietà:
* $df$ è il differenziale di $f$ per $f$ funzione liscia.
* $d(df)=0$ per ogni funzione liscia $f$.
* $d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{p}\alpha \wedge d\beta$, con $\alpha$ una p-forma.
La seconda proprietà vale in un contesto più generale, poiché $d(d\alpha )=0$ per ogni k-forma $\alpha$, mentre la terza implica, come caso particolare, che se $f$ è una funzione e $\alpha$ una k-forma allora $d(f\alpha )=df\wedge \alpha +f\wedge d\alpha$ poiché le funzioni sono forme di grado zero.

## Derivata esterna in coordinate locali

In un sistema di coordinate locale $(x^{1},\dots ,x^{n})$ si considerino i differenziali $(dx^{1},\dots ,dx^{n})$, che costituiscono un insieme di uno-forme. Dato un insieme di indici $I=(i_{1},\dots ,i_{k})$, con $1\leq i_{p}\leq n$ e $1\leq p\leq k$, la derivata esterna di una k-forma:
    $\omega =f_{I}{\text{d}}x^{I}=f_{i_{1},i_{2}\cdots i_{k}}{\text{d}}x^{i_{1}}\wedge {\text{d}}x^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}$
su $\mathbb {R} ^{n}$ è definita nel modo seguente:
    ${\text{d}}{\omega }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}{\text{d}}x^{i}\wedge {\text{d}}x^{I}$
Per una generica k-forma:
    $\omega =\sum _{I}f_{I}dx_{I}$
con $I=(i_{1},\dots ,i_{n})$, la definizione è estesa per linearità.
La definizione mostrata in coordinate locali segue dalla definizione precedente. Infatti, sia:
    $\omega =f_{I}{\text{d}}x_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x_{i_{k}}$
allora si ha:
    ${\text{d}}{\omega }={\text{d}}(f_{I}{\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}})$
       $={\text{d}}f_{I}\wedge ({\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}})+f_{I}{\text{d}}({\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}})$
       $={\text{d}}f_{I}\wedge {\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}+\sum _{p=1}^{k}(-1)^{(p-1)}f_{I}{\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{p-1}}\wedge {\text{d}}^{2}x^{i_{p}}\wedge {\text{d}}x^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}$
       $={\text{d}}f_{I}\wedge {\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}$
       $=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}{\text{d}}x^{i}\wedge {\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}$
dove $f_{I}$ è interpretata come una zero-forma, alla quale sono applicate le proprietà della derivata esterna.

## Formula invariante

Si può trovare una formula esplicita per la derivata esterna di una k-forma $\omega$ quando si considerano k+1 campi vettoriali lisci $V_{0},...,V_{k}$:
    ${\text{d}}\omega (V_{0},...,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}\left(\omega (V_{0},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})\right)$
       $+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,{\hat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})$
dove $[V_{i},V_{j}]$ sono le parentesi di Lie, e il cappello denota l'omissione di un dato elemento:
    $\omega (V_{1},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})=\omega (V_{1},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k})$
In particolare, per 1-forme si ha:
    $d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])$
dove $X$ e $Y$ sono campi vettoriali.

## La derivata esterna nel calcolo vettoriale

Diversi operatori utilizzati nel calcolo vettoriale sono casi speciali della nozione di differenziazione esterna, o ne hanno una stretta relazione.

### Gradiente

Una funzione liscia $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ è una 0-forma. La sua derivata esterna è la 1-forma:
    $\mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,\mathrm {d} x^{i}=\langle \nabla f,\cdot \rangle$
In altre parole, la forma $df$ agisce su ogni campo vettoriale $V$ restituendo in ogni punto il prodotto scalare di $V$ con il gradiente $\nabla f$. La 1-forma $df$ è una sezione del fibrato cotangente che produce un'approssimazione lineare locale di $f$ nello spazio cotangente ad ogni punto.

### Divergenza

Un campo vettoriale $V=(v_{1},...,v_{n})$ su $\mathbb {R} ^{n}$ possiede una corrispondente (n-1)-forma:
    $\omega _{V}=v_{1}\;(\mathrm {d} x^{2}\wedge \mathrm {d} x^{3}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})-v_{2}\;(\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{3}\cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\;(\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n-1})$
    $=\sum _{p=1}^{n}{(-1)^{(p-1)}v_{p}(\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{p-1}\wedge {\widehat {\mathrm {d} x^{p}}}\wedge \mathrm {d} x^{p+1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})}$
dove ${\widehat {\mathrm {d} x^{p}}}$ denota l'omissione di tale elemento. L'integrale di $\omega _{V}$ su un'ipersuperficie è il flusso di $V$ attraverso tale ipersuperficie.
La derivata esterna di tale (n-1)-forma è la n-forma:
    $\mathrm {d} \omega _{V}=\operatorname {div} (V)\;(\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})$

### Rotore

Un campo vettoriale $V$ su $\mathbb {R} ^{n}$ possiede una corrispondente 1-forma:
    $\eta _{V}=v_{1}\;\mathrm {d} x^{1}+v_{2}\;\mathrm {d} x^{2}+\cdots +v_{n}\;\mathrm {d} x^{n}$
Localmente, $\eta _{V}$ è il prodotto interno con $V$, e l'integrale di $\eta _{V}$ lungo un cammino è il lavoro meccanico compiuto "contro" $-V$ lungo il cammino. Se n=3, la derivata esterna di $\eta _{V}$ è la 2-forma:
    $\mathrm {d} \eta _{V}=\omega _{\operatorname {rot} (V)}$