# Dimostrazione della divergenza della serie dei reciproci dei primi

Uno dei primi teoremi della teoria dei numeri dimostrato in modo analitico è la divergenza della serie dei reciproci dei numeri primi, cioè
    $\lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\infty ,$
dove la variabile $p$ indica un numero primo.

## Dimostrazione (Eulero)

Per la dimostrazione è necessario un lemma riguardante la serie armonica.
Dalla definizione del numero di Nepero si ricava immediatamente che
    $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e,$
per ogni $n$ intero positivo, prendendo il logaritmo di entrambi i membri si ottiene
    $n\,\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)<1,$
da cui
    $\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)<{\frac {1}{n}}$
e infine
    $\ln \left(n+1\right)-\ln \left(n\right)<{\frac {1}{n}}.$
Considerando adesso la somma dei reciproci di tutti i numeri naturali fino a $n$ si ricava
    $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}>\sum _{k=1}^{n}\left(\ln \left(k+1\right)-\ln \left(k\right)\right)=\ln \left(n+1\right).$
Quest'ultima disuguaglianza sarà fondamentale nella dimostrazione della divergenza della somma dei reciproci dei numeri primi.
Adesso definiamo il prodotto $P$ come
    $P\left(x\right)=\prod _{p\leq x}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1}.$
Sapendo che
    $\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1}=1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{p^{3}}}+\ldots$
si ricava
    $P\left(x\right)=\sum _{n\in A\left(x\right)}{\frac {1}{n}},$
dove l'insieme $A$ è definito come
    $A\left(x\right)=\lbrace n:p|n\Longrightarrow p\leq x\rbrace .$
Evidentemente se $n\leq x$ allora $n\in A\left(x\right)$ quindi
    $P\left(x\right)>\sum _{n\leq x}{\frac {1}{n}}$
e dalla disuguaglianza ricavata sulla serie armonica si ricava
    $P\left(x\right)>\ln \left(x+1\right).$
Adesso sapendo che $y>-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-y\right)$ per ogni $0<y<{\frac {1}{2}}$ si ottiene
    $\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}>-{\frac {1}{2}}\sum _{p\leq x}\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {1}{2}}\ln P\left(x\right)>{\frac {1}{2}}\ln \ln x,$
dove l'ultimo membro diverge per $x$ tendente a infinito, quindi la serie dei reciproci dei numeri primi diverge.

## Seconda dimostrazione (Eulero)

Eulero fornì anche un'altra dimostrazione, partendo sempre dalla serie armonica. Usando l'espansione di questa come prodotto infinito scrisse:
    $S=\ln \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)=\ln \left(\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=\sum _{p}\ln \left({\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=\sum _{p}-\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right),$
usando le proprietà dei logaritmi; quindi espanse la somma come la serie di Taylor di $\ln(1-x)$:
    $S=\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{4p^{2}}}+\cdots \right).$
I termini ${\frac {1}{3p}},$ ${\frac {1}{4p^{2}}},$ ecc., possono essere maggiorati come:
    $S<\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\left(\sum _{p}{\frac {1}{p(p-1)}}\right).$
Il secondo addendo converge perché è minore della corrispondente serie in cui gli addendi sono presi tra tutti i naturali anziché solo tra i primi; quindi
    $S<\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+C.$
Poiché la somma $S$ cresce come $\ln \ln {n}$ per $n$ tendente all'infinito, Eulero concluse che
    ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\cdots +{\frac {1}{p_{n}}}\approx \ln \ln {n}.$

## Terza dimostrazione (Erdős)

La dimostrazione di Erdős fa uso solo di metodi elementari.
Per assurdo sia $\sum _{p}{\frac {1}{p}}<\infty$ allora esiste un numero primo $P$ tale che $\sum _{p>P}{\frac {1}{p}}<1/2$.
Sia $N>P$ un intero arbitrario, indichiamo con $N_{1}$ il numero di interi minori o uguali a $N$ che hanno solo fattori primi minori o uguali a $P$, indichiamo anche $N_{2}=N-N_{1}$. Abbiamo che
    $N_{2}\leq \sum _{p\geq P}\left\lfloor {\frac {N}{p}}\right\rfloor <\sum _{p\geq P}{\frac {N}{p}}<{\frac {N}{2}}.$
Ora stimiamo $N_{1}$, scriviamo $k=\pi (P)$, ogni $x\leq N$ si può scrivere nella forma
    $x=yz^{2},$
dove $y$ è privo di quadrati e $z\leq {\sqrt {N}}$, se $x$ è divisibile solo per i primi minori o uguali a $P$, allora lo è anche $y$. Ci sono meno di $2^{k}$ possibili scelte per $y$ e meno di ${\sqrt {N}}$ scelte per $z$, da cui
    $N_{1}\leq 2^{k}{\sqrt {N}}$
e quindi
    $N<2^{k}{\sqrt {N}}+{\frac {N}{2}}$
si dimostra facilmente per induzione e utilizzando il postulato di Bertrand che per l'ennesimo numero primo si ha $p_{n}\leq 2^{n}$ e di conseguenza $\pi (n)\geq {\frac {\ln n}{\ln 2}}$, quindi possiamo scegliere $N=2^{2k+2}>P$ e troviamo
    $N<2^{k}(2^{k+1})+2^{2k+1}=N$
che è assurdo e conclude la dimostrazione.

## Quarta dimostrazione (Clarkson)

Come nella dimostrazione precedente, notiamo che se la serie dei reciproci dei primi convergesse, allora esisterebbe $k$ tale che $\sum _{m=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{m}}}<{\frac {1}{2}}$, dove con $p_{m}$ indichiamo il $m$-esimo numero primo. Consideriamo ora il numero $Q=p_{1}p_{2}\cdots p_{k}$: si osserva immediatamente come $1+nQ$ per $n=1,2,\ldots$ non sia divisibile dai primi $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k}$. Dunque, la decomposizione in fattori primi di $1+nQ$ richiede i primi successivi a questi, ossia $p_{k+1},p_{k+2},\ldots$. Se ne deduce quindi che
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1+nQ}}<\sum _{t=1}^{\infty }\left(\sum _{m=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{m}}}\right)^{t}$
poiché ogni termine della sommatoria a sinistra si può trovare sviluppando sufficientemente la doppia sommatoria a destra. Per la disuguaglianza ottenuta dall'ipotesi iniziale, segue però che
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1+nQ}}<\sum _{t=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{t}$
e la serie a destra, geometrica di ragione ${\frac {1}{2}}$, converge a 1, quindi per il criterio del confronto anche la serie $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1+nQ}}$ converge. Ciò è una contraddizione, poiché è immediato verificare come questa serie in realtà diverga: per il criterio di confronto tra serie e integrale, la nostra serie converge se e solo se converge il seguente integrale, $\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{1+Qx}}dx$, che però diverge, poiché
    $\int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{1+Qx}}dx=\lim _{c\rightarrow +\infty }{\frac {1}{Q}}\left[\ln(1+Qx)\right]_{1}^{c}=+\infty .$
Quindi, come volevasi dimostrare, la serie dei reciproci dei primi diverge.