# Operatore aggiunto

In analisi funzionale l'aggiunto di un operatore, chiamato anche operatore hermitiano aggiunto o dagato, generalizza il trasposto coniugato di una matrice quadrata al caso infinito dimensionale e il concetto di complesso coniugato di un numero complesso. Ogni operatore lineare limitato su uno spazio di Hilbert ha un corrispondente operatore aggiunto.
Se A è un operatore, l'aggiunto di A si scrive A$^*$ o A$^†$ (l'ultimo soprattutto nella notazione bra-ket).

## Definizione

La definizione di operatore aggiunto si diversifica a seconda che ci si trovi in uno spazio di Hilbert o in uno spazio di Banach.

### Spazio di Banach

Siano $X$ e $Y$ spazi di Banach e $T:X\to Y$ un operatore lineare continuo, e quindi limitato. Si definisce operatore aggiunto di $T$ l'operatore lineare limitato $T':Y^{*}\to X^{*}$ definito dalla relazione:
    $(T'\phi )(x)=\phi (Tx)\qquad \forall x\in X\quad \forall \phi \in Y^{*}$
dove l'asterisco denota lo spazio duale.
La mappa che associa un operatore lineare limitato al suo aggiunto è un isomorfismo isometrico tra lo spazio degli operatori lineari limitati da $X$ a $Y$ allo spazio degli operatori lineari limitati da $Y^{*}$ a $X^{*}$. Se la dimensione dello spazio è infinita, tale mappa è continua sia nella topologia operatoriale debole, sia in quella uniforme (indotta dalla norma). Se la dimensione è finita, la mappa è continua solo nella topologia operatoriale forte.

### Spazio di Hilbert

Sia $V$ uno spazio di Hilbert, con prodotto hermitiano $\langle ,\rangle$, e sia $A$ un operatore lineare continuo in $V$. Per ogni $\mathbf {w}$ di $V$ si definisce il funzionale lineare:
    $L_{w}:V\longrightarrow \mathbf {C}$
tale che:
    $L_{w}(\mathbf {v} )=\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle$
per ogni $\mathbf {v}$ di $V$. Si tratta di un operatore continuo poiché $A$ è continuo e così pure il prodotto hermitiano.
Se l'operatore è limitato il teorema di rappresentazione di Riesz afferma che esiste un unico elemento $\mathbf {w} '$ tale che:
    $\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} '\rangle$
Si definisce aggiunto di A l'unico operatore A$^*$ tale che:
    $\langle \mathbf {v} ,A^{*}\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} '\rangle$
ovvero:
    $\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,A^{*}\mathbf {w} \rangle$
Se M è la matrice che rappresenta $A$ rispetto ad una base di $V$, la matrice che rappresenta $A^{*}$ rispetto alla stessa base è la matrice trasposta complessa coniugata di M.
Vale inoltre il teorema che se l'operatore $A^{*}$ è aggiunto di $A$ allora:
    $\|A\|=\|A^{*}\|$
L'operatore aggiunto $A^{*}$ è dunque tale che:
    $\mathbf {w} '=A^{*}\mathbf {w} \$
La sua esistenza per gli operatori limitati è garantita dal teorema di Riesz, ed ha la proprietà di essere anch'esso un operatore limitato:
    $|\langle A^{*}\mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle |=|\langle \mathbf {w} ,A\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {w} \|\|A\|\|\mathbf {v} \|$
dalla quale si ha che:
    ${\frac {\|A^{*}\mathbf {w} \|}{\|\mathbf {w} \|}}\leq \|A\|$
Se $A=A^{*}$ si dice che tale operatore è autoaggiunto o hermitiano, e si ha:
    $\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,A\mathbf {w} \rangle$

### Operatori non limitati

Nel caso di operatori non limitati il teorema di rappresentazione di Riesz perde di validità. In tal caso è possibile definire l'operatore aggiunto di operatori densamente definiti, ovvero gli operatori tali per cui la chiusura del dominio coincide con l'intero spazio vettoriale.
Sia $H$ uno spazio di Hilbert con prodotto hermitiano $\langle ,\rangle$ e sia $A$ un operatore lineare densamente definito in $H$. Sia $D(A^{*})$ l'insieme di tutti gli elementi $\phi \in H$ tali per cui esiste $\eta \in H$ tale che:
    $\langle A\psi ,\phi \rangle =\langle \psi ,\eta \rangle \qquad \forall \psi \in D(A)$
Per ogni $\phi \in D(A^{*})$ si definisce aggiunto di $A$ l'operatore $A^{*}$ tale che:
    $A^{*}\phi =\eta \$
ovvero:
    $\langle A\psi ,\phi \rangle =\langle \psi ,A^{*}\phi \rangle$
Il lemma di Riesz permette inoltre di concludere che $\phi \in D(A^{*})$ se e solo se:
    $|\langle A\psi ,\phi \rangle |\leq C\|\psi \|\qquad \forall \psi \in D(A)$

## Proprietà

L'aggiunto gode delle seguenti proprietà:
* $A^{**}=A\$
* Se A è invertibile, lo è anche A* e si ha:
    $(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}\$
* $(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}\$ se A o B sono limitati
* Se $\lambda$ è un numero complesso si ha:
    $(\lambda A)^{*}=\lambda ^{*}A^{*}\$
* $(AB)^{*}=B^{*}A^{*}\$
Inoltre, la relazione tra l'immagine di $A$ ed il nucleo dell'aggiunto è data da:
    $\ker A^{*}=\left(\operatorname {im} \ A\right)^{\bot }$
Infatti:
    ${\begin{aligned}A^{*}\mathbf {v} =0&\iff \langle A^{*}\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =0\quad \forall \mathbf {w} \in H\\&\iff \langle \mathbf {v} ,A\mathbf {w} \rangle =0\quad \forall \mathbf {w} \in H\\&\iff \mathbf {v} \ \bot \ \operatorname {im} \ A\end{aligned}}$
ed inoltre:
    $\left(\ker A^{*}\right)^{\bot }={\overline {\operatorname {im} \ A}}$
che segue dalla prima considerando lo spazio ortogonale per entrambi i membri. L'immagine non è necessariamente un insieme chiuso, mentre lo è il nucleo di un operatore continuo.

## Spettro dell'operatore aggiunto

Lo spettro $\sigma (T)$ ed il risolvente $R_{\lambda }(T)$ di un operatore $T$ definito su uno spazio di Banach coincidono con quelli del suo aggiunto, mentre in uno spazio di Hilbert si ha che:
    $\sigma (T^{*})=\{\lambda :{\bar {\lambda }}\in \sigma (T)\}\qquad R_{\lambda }(T^{*})=R_{\lambda }(T)^{*}$
Se $\lambda$ appartiene allo spettro residuo di $T$, allora $\lambda$ appartiene allo spettro puntuale dell'aggiunto $T'$. Se invece $\lambda$ appartiene allo spettro puntuale di $T$, allora esso appartiene sia allo spettro puntuale e sia allo spettro residuo di $T'$.
Inoltre, se $T$ è autoaggiunto su uno spazio di Hilbert si ha:
* $T$ non ha spettro residuo.
* Lo spettro $\sigma (T)$ è un sottoinsieme di $\mathbb {R}$,ovvero gli autovalori sono reali.
* Autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali.