# Somma di Cesaro

In matematica, e più precisamente in analisi, la somma di Cesàro è una definizione alternativa di somma di una serie, che coincide con quella usuale quando la serie è convergente. Fu introdotta dal matematico Ernesto Cesaro alla fine del XIX secolo.

## Definizione

Data una serie
    $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
con somme parziali
    $s_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n},$
la somma di Cesàro è il limite (quando esiste) della media aritmetica delle somme parziali
    $\lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\ldots +s_{n}}{n}}.$

## Teorema della media di Cesaro

Il teorema delle medie di Cesaro permette di calcolare il limite della successione delle medie di una successione $a_{n}$, noto il limite di $a_{n}$. La successione delle medie di $a_{n}$ si definisce come:
    $\sigma _{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}.$
Il teorema della media di Cesaro afferma che se $a_{n}$ ammette limite, allora
    $\lim _{n\to \infty }\sigma _{n}=\lim _{n\to \infty }a_{n}.$

### Dimostrazione

Poniamo $\sigma _{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}$, $l=\lim _{n\to \infty }a_{n}$ e sia $\varepsilon >0$. Notiamo che se fosse $\vert a_{k}-l\vert <\varepsilon \ \forall k$ allora si avrebbe
    $\vert \sigma _{n}-l\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-l\right\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-{\frac {1}{n}}nl\right\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}l\right\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-l)\right\vert \leq {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\vert a_{k}-l\vert <{\frac {1}{n}}n\varepsilon =\varepsilon .$
Tuttavia ciò non è vero sempre, ma lo sarà per $n>{\tilde {n}}$, per un certo ${\tilde {n}}={\tilde {n}}(\varepsilon )$. Spezziamo dunque la somma da $1$ a ${\tilde {n}}$ e da ${\tilde {n}}+1$ a $n$:
    $\vert \sigma _{n}-l\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-l\right\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{\tilde {n}}a_{k}+{\frac {1}{n}}\sum _{k={\tilde {n}}+1}^{n}a_{k}-{\frac {1}{n}}{\Big(n-{\tilde {n}})l+{\tilde {n}}l{\Big )}\right\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{\tilde {n}}a_{k}+{\frac {1}{n}}\sum _{k={\tilde {n}}+1}^{n}a_{k}-{\frac {1}{n}}\sum _{k={\tilde {n}}+1}^{n}l-{\frac {\tilde {n}}{n}}l\right\vert .$
Riunendo le somme come in precedenza e applicando la disuguaglianza triangolare otteniamo:
    $\vert \sigma _{n}-l\vert \leq {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{\tilde {n}}\vert a_{k}\vert +{\frac {1}{n}}\sum _{k={\tilde {n}}+1}^{n}\vert a_{k}-l\vert +{\frac {\tilde {n}}{n}}\vert l\vert <{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{\tilde {n}}\vert a_{k}\vert +{\frac {n-{\tilde {n}}}{n}}\varepsilon +{\frac {\tilde {n}}{n}}\vert l\vert .$
Richiamando M=∑$_{k=1}$$^{n~}$|a$_k$|{\textstyle M=\sum _{k=1}^{\tilde {n}}\vert a_{k}\vert } e riordiando otteniamo
    $\vert \sigma _{n}-l\vert <\varepsilon +{\frac {1}{n}}{\bigM+{\tilde {n}}(\vert l\vert -\varepsilon ){\big )},$
dove la quantità in parentesi è indipendente da $n$, per cui il secondo addendo tende a $0$ per $n\to \infty$. Per l'arbitrarietà di $\varepsilon$ si ha dunque
    $\forall \varepsilon >0\,\exists {\tilde {n}}\in \mathbb {N} :\left|\sigma _{n}-l\right|<\varepsilon ,{\text{ per ogni }}n>{\tilde {n}}.$
Cioè $\sigma _{n}\to l$ se $a_{n}\to l.$

## Proprietà

Se la serie è convergente, la somma di Cesàro coincide con la somma della serie; la somma di Cesàro infatti non dipende da alcuna somma parziale di indice finito. Questo significa formalmente che, per $n$ tendente all'infinito
    ${\frac {s_{1}+\ldots +s_{n}}{n}}\approx {\frac {s_{1}+\ldots +s_{m}}{n}}+{\frac {s_{m+1}+\ldots +s_{n}}{n-m}}\approx {\frac {s_{m+1}+\ldots +s_{n}}{n-m}},$
per ogni intero $m$ finito. L'operazione svolta dunque è quella di mediare solo le somme delle serie di indice molto elevato: se la serie converge è evidente che il risultato sarà semplicemente la somma infinita della serie. La somma di Cesàro è però definita anche per alcune serie non convergenti; ad esempio, se
    $a_{n}=(-1)^{n},$ (serie di Grandi)
la serie non ammette limite, ma per convenzione si può considerare come valore limite quello medio delle due sottosuccessioni estratte, per $n$ pari e per $n$ dispari, che è -0,5. La somma di Cesàro $n$-esima in questo caso è data da
    ${\begin{cases}-{\frac {1}{n}}\quad &{\text{se }}n{\text{ dispari,}}\\\\0&{\text{se }}n{\text{ pari,}}\end{cases}}$
il cui limite è 0. Questo esempio dimostra che il teorema di Cesàro non è invertibile.
Questo teorema può essere ricavato dal teorema di Stolz-Cesàro ponendo $a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ e $b_{n}=n$.