# Definizioni della funzione esponenziale

Nella matematica, la funzione esponenziale (fra le infinite funzioni esponenziali di base $a$ positiva diversa da 1 s'intenderà nel seguito quella "naturale" ossia con base $e=2,718281\ldots$) può essere caratterizzata in vari modi. Le seguenti definizioni sono le più comuni. Questo articolo discute il motivo per cui ogni caratterizzazione ha senso, e del perché ogni definizione implica l'altra. Come caso speciale di queste considerazioni, si vedrà che le tre definizioni più comuni della costante matematica e sono anche equivalenti tra di loro.

## Definizioni più comuni

Le sei più comuni definizione della funzione esponenziale $\exp(x)=e^{x}$ con $x$ reale sono:
    1. Si definisce $e^{x}$ come il limite
          $e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$
    2. Si definisce $e^{x}$ come il valore della serie
          $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$
       (Con $n!$ si indica il fattoriale di $n$. Una dimostrazione che e è irrazionale utilizza questa rappresentazione.)
    3. Si definisce $e^{x}$ come l'unico numero $y>0$ tale che
          $\int _{1}^{y}{\frac {dt}{t}}=x.$
       Ne deriva che è l'inversa della funzione logaritmo naturale, che è definita da questo integrale.
    4. Si definisce $e^{x}$ come l'unica soluzione del problema di Cauchy
          $y'=y,\quad y(0)=1.$
       ($y'$ denota la derivata di $y$.)
    5. La funzione esponenziale $f(x)=e^{x}$ è l'unica funzione misurabile secondo Lebesgue con $f(1)=e$ che soddisfa
          $f(x+y)=f(x)f(y){\text{ per ogni }}x{\text{ e }}y$
       (Hewitt and Stromberg, 1965, esercizio 18.46). Alternativamente, è l’unica funzione continua "da qualche parte" con queste proprietà (Rudin, 1976, capitolo 8, esercizio 6). Il termine "continua da qualche parte" significa esiste almeno un punto $x$ in cui $f(x)$ è continua. Come mostrato sotto, se $f(x+y)=f(x)f(y)$ per ogni $x$ e $y$ e inoltre $f(x)$ è continua in un punto $x$ allora $f(x)$ è necessariamente continua ovunque.
       (Come controesempio, se non la continuità o la misurabilità, è possibile dimostrare l'esistenza di una funzione non misurabile e discontinua ovunque con questa proprietà usando una base di Hamel per i numeri reali sul campo dei razionali, come descritto da Hewitt e Stromberg.)
       Poiché $f(x)=e$ per $x$ razionali per la proprietà precedente (vedere sotto), si potrebbe anche usare la monotonicità o altre proprietà per rinforzare la scelta di $e^{x}$ per numeri irrazionali, ma tali alternative si rivelano insolite.
       Si possono anche sostituire le condizioni che $f(1)=e$ e che $f$ sia una funzione misurabile secondo Lebesgue o continua da qualche parte con la singola proprietà $f'(0)=1$. Questa condizione, insieme a $f(x+y)=f(x)f(y)$, implicano facilmente entrambe le condizioni nella quarta caratterizzazione. Infatti, si ha la condizione iniziale $f(0)=1$ dividendo entrambi membri dell'equazione
          $f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)$
       per $f(0)$, e $f'(x)=f(x)$ deriva da $f'(0)=1$ e la definizione della derivata come segue:
          ${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x)f(h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}f(x){\frac {f(h)-1}{h}}\\&=f(x)\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-1}{h}}\\&=f(x)\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}\\&=f(x)f'(0)=f(x).\end{aligned}}$
    6. Sia $e$ l'unico numeri reale che soddisfa
          $\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1.$
       Si può mostrare che questo limite esiste. Questa definizione è particolarmente adatta per calcolare la derivata della funzione esponenziale. Si definisce quindi $e^{x}$ la funzione esponenziale con questa base.

## Estensione a domini più grandi

Un modo di descrivere la funzione esponenziale su domini più grandi dei numeri reali è di definirla prima in $\mathbb { R)$ usando una delle precedenti caratterizzazioni e dopo estenderla in un modo che vada bene per ogni funzione analitica.
È possibile anche usare la caratterizzazione direttamente sul dominio più grande, sebbene potrebbero comparire alcuni problemi. (1), (2), e (4) hanno tutte senso per una arbitraria algebra di Banach. (3) presenta dei problema per i numeri complessi, perché ci sono percorsi d'integrazione che non sono equivalenti, e (5) non è sufficiente. Per esempio, la funzione $f$ definita (per $x$ e $y$ reali) come
    $f(x+iy)=e^{x}(\cos(2y)+i\sin(2y))=e^{x+2iy}$
soddisfa la condizione nella (5) senza essere la funzione esponenziale di $x+iy$. Per rendere (5) sufficiente per il dominio dei numeri complessi, si dovrebbe assumere che esista un punto in cui $f$ sia una mappa conforme o altrimenti aggiungere la condizione
    $f(i)=\cos(1)+i\sin(1).$
In particolare, la condizione alternativa nella (5) che $f'(0)=1$ è sufficiente dal momento che implicitamente assume che $f$ sia conforme.

## Dimostrazione che ogni caratterizzazione è ben definita

Qualcuna di queste definizioni richiedono delle giustificazioni per dimostrare che sono ben definite. Per esempio, quando il valore della funzione è definito come il risultato di un limite (di una successione o di una serie), si deve provare che tale limite esiste.

### Caratterizzazione 2

Poiché
    $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x}{n+1}}\right|=0<1.$
segue dal criterio del rapporto che $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$ converge per ogni $x$.

### Caratterizzazione 3

Dal momento che l'integrando è una funzione integrabile di $t$, l'espressione è ben definita. Ora si deve mostrare che la funzione da $\mathbb {R} ^{+}$ a $\mathbb {R}$ definita come
    $\int _{1}^{(\cdot )}{\frac {dt}{t}}$
è biettiva. Siccome $t^{-1}$ è positivo per $t>0$, questa funzione è monotona crescente, quindi iniettiva. Se inoltre valgono i due integrali
    $\int _{1}^{\infty }{\frac {dt}{t}}=+\infty ,\quad \int _{1}^{0}{\frac {dt}{t}}=-\infty ,$
allora è chiaramente anche suriettiva. Infatti, nel caso in esame questi integrali valgono nel nostro caso, come si deduce dal criterio dell'integrale e dalla divergenza della serie armonica.

## Equivalenza delle definizioni

Le seguenti dimostrazioni dimostrano l'equivalenza delle tre caratterizzazioni date precedentemente per $e$. La dimostrazione consiste di due parti. Prima, si stabilisce l'equivalenza delle definizioni 1 e 2 e successivamente l'equivalenza fra 1 e 3.

### Equivalenza delle definizioni 1 e 2

I seguenti ragionamenti sono adattati da una dimostrazione in Rudin, teorema 3.31, p. 63–-5.
Sia $x\geq 0$ un fissato numero reale non negativo. Si definisce
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}},\ t_{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$
Per il teorema binomiale,
    ${\begin{aligned}t_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}=1+x+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))x^{k}}{k!\,n^{k}}}\\[8pt]&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+{\frac {x^{3}}{3!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\leq s_{n}\end{aligned}}$
(usando $x\geq 0$ per ottenere la disuguaglianza finale) in modo che
    $\limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }s_{n}=e^{x},$
dove l'esponenziale $e^{x}$ è definito con la seconda caratterizzazione. Si deve utilizzare il limite superiore perché non si sa ancora se realmente $t_{n}$ converge. Ora, per l'altro verso della disuguaglianza, si nota che dall'espressione di prima con $t_{n}$, se $m\leq n$, si ottiene
    $1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {m-1}{n}}\right)\leq t_{n}.$
Fissato $m$, si manda $n$ all'infinito e si ricava
    $s_{m}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}$
(ancora, si deve usare il limite inferiore poiché non si conosce se il limite effettivamente esiste). Ora, presa la disuguaglianza appena ottenuta, si prende $m$ tendente all'infinito e tenendo conto dell'altra si ha
    $\limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq e^{x}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n},$
cosicché
    $\lim _{n\to \infty }t_{n}=e^{x}.$
Si può quindi estendere questa equivalenza ai numeri negativi notando che $\left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}$ e prendendo il limite per $n$ che tende all'infinito. Il termine d'errore di questa limite è rappresentato da
    $\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=e^{x}\left(1-{\frac {x^{2}}{2n}}+{\frac {x^{3}(8+3x)}{24n^{2}}}+\cdots \right),$
dove il grado dei polinomi (in $x$) nel termine con denominatore $x^{k}$ è $2k$.

### Equivalenza delle definizioni 1 e 3

Si definisca la funzione logaritmo naturale in termini dell'integrale definito come sopra. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale,
    ${\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={\frac {1}{x}}.$
Inoltre, $\ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=0.$
Sia $x$ un numero reale fissato, e sia
    $y=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$
Si mostrerà che $\ln(y)=x$, il quale implica che $y=e^{x}$, dove $e^{x}$ è secondo la definizione 3. Si ha
    $\ln y=\ln \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$
Qui si è usata la continuità di $\ln(y)$, che segue dalla continuità di $1/t$:
    $\ln y=\lim _{n\to \infty }n\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {x\ln \left(1+(x/n)\right)}{(x/n)}}.$
Qui invece si è usato il fatto che $\ln(a^{n})=n\ln(a)$, che può essere dimostrato tramite induzione matematica per i numeri naturali oppure usando l'integrazione per sostituzione. (L'estensione a potenze reali deve aspettare finché $\ln$ e $\exp$ sono definiti come uno l'inverso dell'altro, in modo che $a^{b}$ possa essere espresso per $b$ reale come $e^{b\ln(a)}$.)
    ${\begin{aligned}\ln y&=x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)}{h}},\qquad {\text{dove }}h={\frac {x}{n}}\\&=x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)-\ln 1}{h}}=x\cdot {\frac {d}{dt}}\ln t{\Bigg |}_{t=1}=x.\end{aligned}}$

### Equivalenza della definizione 2 e 4

Sia $n$ un numero intero non negativo. Per la definizione 4 e utilizzando l'induzione, ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=y$.
Dunque ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.$
Usando la serie di Taylor,
    $y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$
Questo mostra che la definizione 4 implica la 2.
Secondo la definizione 2,
    ${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}e^{x}&={\frac {d}{dx}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx^{n-1}}{n!}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}\\[6pt]&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad {\text{dove }}k=n-1\\[6pt]&=e^{x}\end{aligned}}$
Inoltre, $e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.$ Questo dimostra che la definizione 2 implica la 4, concludendo la dimostrazione.

### Equivalenza delle definizioni 1 e 5

La seguente dimostrazione è la versione semplificata di una in Hewitt e Stromberg, esercizio 18.46. Prima, si prova che la misurabilità (o l'integrabilità secondo Lebesgue) implica la continuità per una funzione $f(x)$ non nulla che soddisfa $f(x+y)=f(x)f(y)$, e che la continuità implica $f(x)=e^{kx}$ per qualche $k$, e alla fine da $f(1)=e$ si ricava $k=1$.
Prima di tutto si dimostra un po' di proprietà elementari di $f(x)$ con l'ipotesi che $f(x+y)=f(x)f(y)$ e $f(x)$ non è identicamente zero:
* Se $f(x)$ è non nulla in un punto $y$, allora è non nulla ovunque. Dimostrazione: $f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0$ implica $f(x)\neq 0$.
* $f(0)=1$. Dimostrazione: $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)$ e $f(x)$ non è zero.
* $f(-x)=1/f(x)$. Dimostrazione: $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$.
* Se $f(x)$ è continua in un punto $y$, allora è continua ovunque. Dimostrazione: $f(x+\delta )-f(x)=f(x-y)[f(y+\delta )-f(y)]\rightarrow 0$ con $\delta \rightarrow 0$ per la continuità in $y$.
La seconda e terza proprietà significano che è sufficiente di dimostrare che $f(x)=e^{x}$ per $x$ positivi.
Se $f(x)$ è una funzione integrabile secondo Lebesgue, allora si può definire
    $g(x)=\int _{0}^{x}f(x')\,dx'.$
Da ciò segue che
    $g(x+y)-g(x)=\int _{x}^{x+y}f(x')\,dx'=\int _{0}^{y}f(x+x')\,dx'=f(x)g(y).$
Poiché $f(x)$ è non nulla, si può scegliere qualche $y$ tale che $g(y)\neq 0$ per risolvere l'espressione precedente in $f(x)$. Pertanto:
    ${\begin{aligned}f(x+\delta )-f(x)&={\frac {[g(x+\delta +y)-g(x+\delta )]-[g(x+y)-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {[g(x+y+\delta )-g(x+y)]-[g(x+\delta )-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {f(x+y)g(\delta )-f(x)g(\delta )}{g(y)}}=g(\delta ){\frac {f(x+y)-f(x)}{g(y)}}.\end{aligned}}$
L'espressione finale deve tendere a zero se $\delta \rightarrow 0$, dato che $g(0)=0$ e $g(x)$ è continua. Segue che $f(x)$ è continua.
Si dimostra ora che $f(q)=e^{kq}$, per qualche $k$, per ogni numero razionale positivo $q$. Sia $q=n/m$ per gli interi positivi $n$ e $m$. Allora
    $f\left({\frac {n}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}+\cdots +{\frac {1}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}\right)^{n}$
per induzione matematica su $n$. Dunque, $f(1/m)^{m}=f(1)$ e quindi
    $f\left({\frac {n}{m}}\right)=f(1)^{n/m}=e^{k(n/m)}.$
per $k=\ln[f(1)]$. Si noti che se ci si restringe alla funzione a valori reali $f(x)$, allora $f(x)=f(x/2)^{2}$ è positiva ovunque e allora $k$ è reale.
Infine, per continuità, dal momento che $f(x)=e^{kx}$ per ogni $x$ razionale, deve essere vero per ogni numero reale poiché la chiusura dei razionali sono i reali (cioè, si può scrivere ogni $x$ reale come il limite di una successione di razionali). Se $f(1)=e$ allora ne deriva che $k=1$. Questo è equivalente alla definizione 1 (o 2, o 3), a seconda di quale caratterizzazione si usa per e.

### Definizione 2 implica definizione 6

Secondo la definizione 2,
    $\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(\left(1+h+{\frac {h^{2}}{2!}}+{\frac {h^{3}}{3!}}+{\frac {h^{4}}{4!}}+\cdots \right)-1\right)=\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{2!}}+{\frac {h^{2}}{3!}}+{\frac {h^{3}}{4!}}+\cdots \right)=1.$

### Definizione 6 implica definizione 4

Secondo la definizione 6,
    ${\frac {d}{dx}}e^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}=e^{x}\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=e^{x}.$
Ma si ha inoltre $e^{0}=1$, dunque la definizione 6 implica la definizione 4.