# Classe di coniugio

In matematica e specialmente in teoria dei gruppi, gli elementi di un gruppo possono essere divisi in classi di coniugio; gli elementi di una stessa classe di coniugio condividono molte proprietà, e il loro studio nel caso di gruppi non abeliani può essere di aiuto per la comprensione della loro struttura. Nel caso di gruppi abeliani, al contrario, ogni classe di coniugio è formata da un singolo elemento del gruppo.

## Definizione

Sia $G$ un gruppo. Due elementi $x$ e $x^{*}$ di $G$ sono detti coniugati se esiste un terzo elemento $g$ in $G$ tale che $gxg^{-1}=x^{*}$. Si dimostra che la relazione di coniugio è una relazione di equivalenza, ed esiste quindi una partizione di $G$ in insiemi disgiunti ognuno detto classe di equivalenza rispetto un elemento $x$ fissato:
    $\operatorname {Co_{G}} (\cdot x)={Co}(\cdot x)=G\circ x=\{x^{*}\in G|x^{*}=gxg^{-1},g\in G\}\subseteq G,$
    $\operatorname {Co_{G}} (x\cdot )={Co}(x\cdot )=x^{*}\circ G=\{x\in G|g^{-1}x^{*}g=x,g\in G\}\subseteq G,$
per azione sinistra o destra e in genere vengono dette orbite di $x$, e nel caso dell'azione di $G$ su $G$ viene detta classe di coniugio di $x$. Da notare che questi due tipi di classi coincidono e sono dei sottoinsiemi non dei sottogruppi di $G$. Se con $n_{O}=\left|X/G\right|$ indichiamo il numero di orbite o classi di coniugio distinte, allora possiamo definire l'insieme degli elementi rappresentativi delle singole classi come:
    $G_{\mbox{csr}}=\{x_{1},\ x_{2}\ldots ,x_{n_{O}}\}\subseteq X,$
dove per l'azione di coniugio si ha $X=G$ e csr le iniziali di complete system of rapresentatives. Il numero delle orbite o classi di coniugio si può ricavare con più metodi:
* la ricerca degli elementi $x$ fissati da $g$ (lemma di Burnside)
* la partizione di $n$ che corrisponde al numero di tipi di cicli del gruppo simmetrico $S_{n}$ (poiché c'è un isomorfismo tra $G$ e il gruppo simmetrico per il teorema di Cayley).

### Descrizione tramite classi di equivalenza

Descriviamo ogni classe di coniugio come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione di equivalenza $\sim _{G\cdot }$ definita in $G$ ponendo per $a,b\in G$:
    $a\sim _{G\cdot }b\Longleftrightarrow gag^{-1}=b\Longleftrightarrow b\in \operatorname {Co} (a).$
La classe d'equivalenza contenente l'elemento $g$ è proprio $Hg$: infatti $g=eg$, dove $e$ è l'elemento neutro di $G$, quindi $e\in H$ perché $H$ è un sottogruppo.
Anche ogni classe coniugio sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:
    $a\sim _{\cdot G}b\Longleftrightarrow g^{-1}bg=a\Longleftrightarrow a\in \operatorname {Co} (b).$
L'insieme quoziente destro o sinistro mediante la relazione di equivalenza, cioè l'insieme o collezione delle classi coniugio distinte o disgiunte in cui è partizionato $G$ si definisce come:
    $G/\sim _{\cdot G}=G/\sim _{G\cdot }:=\{\operatorname {Co} (x)\,|\,x\in G\},$
dove l'elemento $x$ è il rappresentante della classe di coniugio. Cioè le partizioni destre e sinistre coincidono e quindi qualsiasi sottogruppo è sempre normale.

## Proprietà

* L'unità appartiene sempre ad una propria classe di coniugio, cioè: $\operatorname {Co} (e)=\{e\}$. Infatti si ha:
       $geg^{-1}=gg^{-1}=e,\quad \forall g\in G.$
* Se $G$ è abeliano, $\operatorname {Co} (x)=\{x\}$ per ogni $x$ in $G$. In questo caso si ha che il centro $\operatorname {Z} (G)$ coincide con $G$.
* Se due elementi $x$ e $y$ appartengono alla stessa classe di coniugio, allora condividono lo stesso ordine. In particolare per il gruppo simmetrico devono avere tutti la stessa struttura ciclica o il tipo, cioè:
       $\operatorname {Co} (x)=\{x\in S_{n}:x=[{l_{1}}^{k_{1}}\ \ldots \ {l_{r}}^{k_{r}}]\}.$
    quindi un $\alpha \in \operatorname {Co} (x)$ ha $l_{1},l_{2},\ldots ,l_{r}$ numeri interi che rappresentano le lunghezze dei cicli nella struttura ciclica di $\alpha$ (cioè 1-ciclo, 2-ciclo, ...), mentre $k_{i}$ indica il numero di cicli aventi stessa lunghezza $l_{i}$ con l'indice $i=1,2,\ldots ,r$, e rappresentando un singolo ciclo con la notazione ${\alpha _{k_{i}}}^{l_{i}}=({a_{1}}^{k_{i}}\ {a_{2}}^{k_{i}}\ \ldots {a_{l_{i}}}^{k_{i}})$ abbiamo:
       $\alpha =\sum _{i=1}^{r}\left({\alpha _{1}}^{l_{i}}\cdots {\alpha _{k_{i}}}^{l_{i}}\right)\ =\ \sum _{i=1}^{r}\left(\sum _{j=1}^{k_{i}}\alpha _{j}^{l_{i}}\right)$
    essendo $\sum \limits _{i=1}^{r}k_{i}l_{i}=n$. Allora il numero dei coniugati o dello stesso tipo di $\alpha$ è:
       $|\operatorname {Co} (x)|={\frac {n!}{\left(k_{1}!\ l_{1}^{k_{1}}\right)\left(k_{2}!\ l_{2}^{k_{2}}\right)\cdots \left(k_{r}!\ l_{r}^{k_{r}}\right)}}={\frac {n!}{\left(l_{1}^{k_{1}}\ l_{2}^{k_{2}}\cdots \ l_{r}^{k_{r}}\right)\left(k_{1}!\ k_{2}!\ \cdots k_{r}!\ \right)}}={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{r}\ l_{i}^{k_{i}}\ k_{i}!}}.$
* Un elemento di $G$ appartiene al centro $\operatorname {Z} (G)$ di $G$ se e solo se la sua classe di coniugio è formata solo dall'elemento stesso. In simboli:
       $x\in \operatorname {Z} (G)\iff \operatorname {Co} (x)=\{x\}.$
* Se due elementi $x$ e $y$ sono coniugati, allora lo sono anche le loro potenze di ordine $k$, cioè $x^{k}$ e $y^{k}$.

## Coniugio come azione di gruppo

Si può definire l'azione di coniugio sinistra come l'azione di $G$ in sé stesso:
    $g\cdot x=gxg^{-1}=y;$
oppure l'azione di coniugio destra
    $y\cdot g=g^{-1}yg=x,$
per la proprietà simmetrica della relazione di coniugio. Le orbite dell'azione di coniugio vengono dette le classi di coniugio di $x,$ che denotiamo $\operatorname {Co} (x)$ già definita, mentre lo stabilizzatore di ogni elemento in questo caso viene detto il suo centralizzatore (o centralizzante) che denotiamo $\operatorname {C} _{G}(x)$ e, per l'uso successivo, ne riportiamo la definizione:
    $\operatorname {C} _{G}(x)=\{g\in G|\ gxg^{-1}=x\}=\{g\in G|\ gx=xg\}\leq G$
ed è un sottogruppo di $G,$ per cui ha senso considerare le classi laterali destre e sinistre, ed anche il numero di tali classi o l'indice $[G\ :\ \operatorname {C} _{G}(x)]$.
Allo stesso modo si può definire l'azione di coniugio sinistra di $G$ sulla famiglia $S$ dei sottoinsiemi o dei sottogruppi di $G$ con $S=\{H:H<G,\{e\},G\}$ che comprende i sottogruppi propri e quelli banali o impropri cioè $\{e\}$ e $G$ stesso:
    $g\cdot H=gHg^{-1}=K;$
oppure l'azione di coniugio destra
    $K\cdot g=g^{-1}Kg=H,$
per la proprietà simmetrica della relazione di coniugio.

### Sottogruppo coniugato

Possiamo definire il sottogruppo coniugato come:
    $H^{g}=gHg^{-1}=\{ghg^{-1}\ :\ h\in H\}\leq G$
che si dimostra essere ancora un sottogruppo di $G.$ L'insieme di tutti i coniugati di $H$ si denota:
    $\operatorname {Co} (H)=G\circ H=\{gHg^{-1}\ :\ g\in G\}=\{H^{g}|g\in G\}$
e, mentre le classi di coniugio sono formate da elementi dello stesso ordine, qui le classi sono formate da sottogruppi con stesso indice $[G:H]=[G:H^{g}]$. Infine lo stabilizzatore di tale $H$ viene detto normalizzatore e, per completezza, ne riportiamo la definizione:
    $N_{G}(H)=\{\ g\in G|gHg^{-1}=H\}.$

## Equazione delle classi di coniugio

Se $G$ è un gruppo finito, allora per ogni elemento $x$ del gruppo, ha senso costruire due insiemi per l'azione di coniugio a sinistra:
    $\operatorname {Co} (x)=\{gxg^{-1},g\in G\}\subseteq G,\quad \operatorname {C} _{G}(x)=\{g\in G|\ gxg^{-1}=x\}=\{g\in G|\ gx=xg\}\leq G$
e consideriamo le relative classi laterali sinistre:
    $g\operatorname {C} _{G}(x)=\{gh,h\in \operatorname {C} _{G}(x)=H\}\subseteq G$
facciamo vedere come gli elementi nella classe di coniugazione di $x$ sono in corrispondenza biunivoca con le classi laterali del centralizzatore $\operatorname {C} _{G}(x).$ Infatti due elementi $g_{1},g_{2}\in g\operatorname {C} _{G}(x)$ della stessa classe laterale danno origine allo stesso elemento coniugato $x$. In particolare con $g=x$ si ha:
    $g_{1}=xh_{1},\quad g_{2}=xh_{2}\implies g_{2}{h_{2}}^{-1}=x\implies g_{1}=g_{2}{h_{2}}^{-1}h_{1}=g_{2}h^{'},\quad h_{1},h_{2}\in H.$
Essendo facile far vedere che $h^{'}\in \operatorname {C} _{G}(x)$ si ha:
    $g_{1}xg_{1}^{-1}=g_{2}h^{'}\ x\ (g_{2}h^{'})^{-1}=g_{2}h^{'}\ x\ {h^{'}}^{-1}g_{2}^{-1}=g_{2}\ x\ h^{'}{h^{'}}^{-1}g_{2}^{-1}=g_{2}xg_{2}^{-1},$
cioè due elementi della stessa classe laterale corrispondono allo stesso elemento coniugato. In altro modo due elementi coniugati della stessa classe $x,y\in \operatorname {Co} (x)$ hanno i rispettivi centralizzanti $\operatorname {C} _{G}(x),\operatorname {C} _{G}(y)$ che sono coniugati. Vale anche il viceversa: se consideriamo due elementi della stessa classe di coniugio $c_{1},c_{2}\in Co_{G}(x),$ allora per le rispettive classi laterali sinistre rispetto al centralizzatore $\operatorname {C} _{G}(x)$ si ha $c_{1}\operatorname {C} _{G}(x)=c_{2}\operatorname {C} _{G}(x)$. Questo è un caso particolare del teorema orbita-stabilizzatore, quando si considera il gruppo come agente su se stesso attraverso l'azione per coniugio ($G$ è un $G$-insieme), dove le orbite sono le classi di coniugazione e i sottogruppi stabilizzatori sono i centralizzatori. In altri termini esiste una relazione che lega il centralizzante di un elemento con la classe di coniugio dello stesso:
    $|G\circ x|=|Co(x)|=[G:\operatorname {C} _{G}(x)]=|G|\ /\ |\operatorname {C} _{G}(x)|,$
con $[G:\operatorname {C} _{G}(x)]$ l'indice in $G$ del centralizzante di $x$ tramite $G$. Ossia il numero di elementi nella classe di coniugio di $x$ è l'indice $\left[G:\operatorname {C} _{G}(x)\right]$ del centralizzatore $\operatorname {C} _{G}(x)$ in $G$; quindi la dimensione di ogni classe di coniugio divide l'ordine del gruppo ($|G|$).
Inoltre, nell'ipotesi di un centro banale, se scegliamo un singolo elemento rappresentativo $x_{i}$ da ogni classe di coniugio, essendo $G$ partizionato in $n_{O}$ classi disgiunte dalla relazione di coniugio, si ottiene
    $G=\bigcup _{i=1}^{n_{O}}\ \operatorname {Co} (x_{i}),\qquad \operatorname {Co} (x_{i})\cap \operatorname {Co} (x_{j})=\varnothing ,\quad i,j=1,\ldots ,n_{O}\ i\neq j$
e quindi prendendo l'ordine del primo membro e del secondo, si ottiene l'equazione delle classi:
    $|G|=\sum _{i=1}^{n_{O}}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right]=1+\sum _{i=2}^{n_{O}}{\frac {|G|}{|\operatorname {C} _{G}(x_{i})|}},$
dove $\operatorname {C} _{G}(x_{i})$ è il centralizzatore di $x_{i}.$ Nell'ipotesi di centro non banale, osserviamo che ogni elemento $y$ che sta al centro $\operatorname {Z} (G)\trianglelefteq G$ (un sottogruppo normale) forma una classe di coniugio $\operatorname {Co} (y)=\{y\}$, che contiene il solo elemento $y,$ si ottiene la forma generale dell'equazione delle classi:
    $|G|=\sum _{i=1}^{n_{Oz}}|{\operatorname {Co} (y_{i})}|+\sum _{j=1}^{n_{O}}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{j})\right]=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{j=1}^{n_{O}}{\frac {|G|}{|\operatorname {C} _{G}(x_{j})|}}=n_{Oz}+\sum _{j=1}^{n_{O}}{\frac {|G|}{|\operatorname {C} _{G}(x_{j})|}},$
dove la somma dell'indice $j$ è su un elemento rappresentativo di ciascuna classe di coniugio che non è il centro.
La conoscenza dei divisori dell'ordine di gruppo $|G|$ viene spesso utilizzata per ottenere informazioni sull'ordine del centro ($|\operatorname {Z} (G)|$) o delle classi di coniugio ($|O(x)|$).

### Esempi
#### Gruppo simmetrico S$_n$

Consideriamo il gruppo simmetrico $S_{3}$ non abeliano. In notazione ciclica il gruppo ha i seguenti elementi:
    $S_{3}=\{(1)(2)(3),(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2),(1\ 2)(3),(1\ 3)(2),(2\ 3)(1)\}$
che sappiamo avere centro banale $\operatorname {Z} (S_{3})=\{(1)(2)(3))\}=\{\mathrm {id} \}$ e quindi il centro $\operatorname {Z} (G)$ forma una sola classe di coniugio $\operatorname {Co} (\mathrm {id} )=\{\mathrm {id} \}$ e il corrispondente centralizzante $\operatorname {C} _{G}(\mathrm {id} )=S_{3}\trianglelefteq S_{3}$ per cui
    $|{\operatorname {Z} (S_{3})}|={\frac {|S_{3}|}{|\operatorname {C} _{S_{3}}(\mathrm {id} )|}}={\frac {6}{6}}=1.$
Fatta questa premessa determiniamo il numero delle classi di coniugio $\operatorname {Co} (x_{i})$ e i centralizzatori $\operatorname {C} _{S_{3}}(x_{i})$, dove $x_{i}\quad (i=1,\ldots n_{O})$ è il rappresentante della $i$-esima classe di coniugio. Innanzitutto osserviamo che $n_{O}$ è uguale al numero di partizioni di $n=3,$ ossia alla decomposizione di $n$ nella somma d'interi positivi. Essendo $1\leq 2\leq 3=n$, occorre trovare gli $i_{j}:\sum _{j=1}^{r}i_{j}=3,\quad i\in \{1,2,3\}$ e cioè i seguenti casi:
    $1+1+1=3;$
    $1+2=3;$
    $3=3.$
Quindi le classi sono 3, cioè $n_{O}=3$ ed equivale ai 3 tipi di cicli possibili che si hanno in $S_{3}$: $[1^{3}],[1^{1}\ 2^{1}],[3^{1}]$. L'insieme degli elementi rappresentativi sia $\{x_{1},x_{2},x_{3}\}=\{C_{3},\sigma ^{'},{C_{3}}^{3}\}$.

##### Calcolo dei centralizzanti

Consideriamo i 2-cicli e vogliamo trovare quanti elementi commutano con esso. Essendo $x\cdot e=e\cdot x$, allora l'elemento con tutti i punti fissi (l'identità o neutro) commuta, inoltre $x\cdot x=e$ cioè lo stesso $x$ commuta. Non commuta con un 3-ciclo in quanto $S_{3}$ non è abeliano. Quindi il tipo $[1^{1}\ 2^{1}]$ ha come generico sottogruppo centralizzante:
    $\operatorname {C} _{S_{3}}(x)=\{(1)(2)(3),x\},\quad x=(1\ 2),(2\ 3),(1\ 3),$ cioè $|\operatorname {C} _{S_{3}}(x)|=2$
e sono i tre sottogruppi delle riflessioni di ordine 2: $T_{2}^{'},T_{2}^{''},T_{2}^{'''}.$
Consideriamo i 3-cicli e notiamo che essi formano il sottogruppo abeliano normale $A_{3}$, cioè quello alterno per cui per il tipo $[3^{1}]$ si ottiene
    $\operatorname {C} _{S_{3}}(x)=A_{3}=\{(1)(2)(3),(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)\}$ cioè $|\operatorname {C} _{S_{3}}(x)|=3$
e quindi sono due sottogruppi, uno per ogni 3-ciclo, coincidenti con $A_{3}.$
Infine per l'elemento neutro si ha
    $\operatorname {C} _{S_{3}}(\mathrm {id} )=S_{3},$ cioè $|\operatorname {C} _{S_{3}}(\mathrm {id} )|=6,$
cioè coincide con il sottogruppo banale. Da notare che l'altro sottogruppo banale con solo l'unità non è centralizzante.

##### Calcolo delle classi di coniugio

Si può procedere utilizzando la tabella di Cayley di $S_{3}$ oppure col seguente metodo più semplice. Per i 2-cicli osserviamo che fissato, ad esempio, $x=(1\ 2)(3)$ come rappresentante della classe si ha:
    $(1\ 3)=(2\ 3)(1\ 2){(2\ 3)}^{-1},\quad (2\ 3)=(1\ 3)(1\ 2){(1\ 3)}^{-1},$ dove sono stati omessi i punti fissi dei cicli per semplicità.
che ci permette di ottenere le tre classi di coniugio coincidenti:
    $\operatorname {Co} (1\ 2)=\operatorname {Co} (1\ 3)=\operatorname {Co} (2\ 3)=\{(1\ 2),(1\ 3),(2\ 3)\},$ cioè $|\operatorname {Co} (x)|=3.$
Per i 3-cicli allora, necessariamente, perché le classi di coniugio formano una partizione (con $x=(1\ 2\ 3)$ come rappresentante della classe)
    $\operatorname {Co} (\,(1\ 2\ 3)\,)=\operatorname {Co} (\,(1\ 3\ 2)\,)=\{(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)\},$ cioè $|\operatorname {Co} (\,(1\ 2\ 3)\,)|=2.$
Da quanto visto è facile verificare l'equazione delle classi di coniugio
    $|S_{3}|=6=|\operatorname {Z} (S_{3})|+Co(\,(1\ 2)(3)\,)+|\operatorname {Co} (\,(1\ 2\ 3)\,)|=|\operatorname {Z} (S_{3})|+{\frac {|S_{3}|}{|\operatorname {C} _{S_{3}}((3)(1\ 2))|}}+{\frac {|S_{3}|}{|\operatorname {C} _{S_{3}}((1\ 2\ 3))|}}=1+3+2.$
Riassumendo e tenendo conto dell'esempio sulle classi laterali di $S_{3}$:
          Classi di coniugio e centralizzanti di $G=S_{3}$ $x$${Co}_{G}(x)\subseteq G$$H\leq G$$G/\sim _{\cdot H}$${Co}(H)$$|{Co}_{G}(x)|=[G:H]$ $\sigma ^{'}$$Co(\sigma ^{'})=\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}$$T_{2}^{'}$$T_{2}^{'},\{C_{3},\sigma ^{''}\},\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}$$\{T_{2}^{'},T_{2}^{''},T_{2}^{'''}\}$3 $Co(\sigma ^{''})=\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}$$T_{2}^{''}$$T_{2}^{''},\{C_{3}^{2},\sigma ^{'}\},\{C_{3},\sigma ^{'''}\}$ $Co(\sigma ^{'''})=\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}$$T_{2}^{'''}$$T_{2}^{'''},\{C_{3}^{2},\sigma ^{''}\},\{C_{3},\sigma ^{'}\}$ $C_{3}$$Co(C_{3})=Co(C_{3}^{2})=\{C_{3},C_{3}^{2}\}$$A_{3}\vartriangleleft S_{3}$$A_{3},\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}$$\{A_{3}\}$2 $\mathrm {id} =C_{3}^{3}$$\operatorname {Z} (S_{3})=\{C_{3}^{3}\}$$S_{3}\trianglelefteq S_{3}$$S_{3}$$\{S_{3}\}$1
dove $x$ è il rappresentante della classe di coniugio, $H$ è il sottogruppo ${C}_{G}(x)\leq G$ e $\operatorname {Co} (H)$ l'insieme dei sottogruppi coniugati di $H.$ L'ultima colonna evidenzia il teorema orbita-stabilizzatore.

#### p-gruppi

Questo esempio fa uso dell'equazione delle classi di coniugio per dimostrare una proprietà dei $p$-gruppi.
Consideriamo un $p$-gruppo finito $G$ cioè:
    $|G|=p^{n},\quad p\in \mathbf {P} ,n\in \mathbb {N} ,$
dove $\mathbf {P}$ è l'insieme dei numeri primi e $\mathbb {N}$ quello dei numeri naturali. Vogliamo dimostrare che "ogni $p$-gruppo finito ha un centro $\operatorname {Z} (G)$ non banale", cioè che non sia formato dal solo elemento neutro del gruppo ($|\operatorname {Z} (G)|\neq 1$).
Poiché l'ordine di qualsiasi classe di coniugio di $G$ deve dividere l'ordine di $G,$ ne segue che qualsiasi classe di coniugio $\operatorname {Co} (x_{j})\nsubseteq \operatorname {Z} (G)$ ha ordine $|\operatorname {Co} (x_{j})|=p^{k_{j}},\quad 0<k_{j}<n.$ Mentre si ha pure $\operatorname {Co} (y_{i})=\{y_{i}\},\ |\operatorname {Co} (y_{i})|=1.$ Nell'equazione delle classi:
    $|G|=\sum _{i}|\operatorname {Co} (y_{i})|+\sum _{j}|\operatorname {Co} (x_{j})|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{j}|\operatorname {Co} (x_{j})|$
$p$ divide $|\operatorname {Co} (x_{j})|$ e quindi divide anche $|{\operatorname {Z} (G)}|$ che dimostra un centro non banale.
Si può studiare l'equazione delle classi di coniugio applicando la serie geometrica in un caso limite:
    $|G|=p^{n}=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{j}|\operatorname {Co} (x_{j})|=\sum _{i=1}^{n_{Oz}}|\operatorname {Co} (y_{i})|+\sum _{j=1}^{n_{O}}p^{k_{j}}=n_{Oz}+p+p^{2}+\ldots +p^{(n-1)}={\frac {p}{p-1}}(p^{n}-2p^{(n-1)}+1)+\sum _{j=1}^{n-1}p^{j}.$
Si deduce che ${\text{mcm}}\left(|{\operatorname {Z} (G)}|,p\right)=\left({\frac {p}{p-1}}(p^{n}-2p^{(n-1)}+1),p\right)=p\neq 1\implies |\operatorname {Z} (G)|>1$, cioè il centro non è banale. Da notare che in qualsiasi altro caso l'ordine del centro contiene sempre il fattore $p.$
Casi particolari
* per $n=1$, $G$ è un gruppo abeliano e si ha ${\operatorname {Z} (G)}=G\cong C_{p}$, cioè isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine $p.$
* per $n=2$, $G$ è un gruppo abeliano e si ha ${\operatorname {Z} (G)}=G\cong C_{p}\times C_{p}$, cioè isomorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine $p.$ Infatti qualsiasi elemento $g\in G:g\notin \operatorname {Z} (G)$ ammette i seguenti due casi:
** $g\in G:|<g>|=p^{2},$ allora $G$ è isomorfo al gruppo ciclico di ordine $p^{2},$ quindi abeliano con $\operatorname {Z} (G)=G$.
** $g\in G:|<g>|=p,$ ed essendo $G$ un $p$-gruppo per quanto dimostrato sopra $|\operatorname {Z} (G)|>1$ che implica due casi $|\operatorname {Z} (G)|=p$ e $|\operatorname {Z} (G)|=p^{2}.$
**   * $|\operatorname {Z} (G)|=p,$ allora esiste un elemento $b$ di $G$ che non appartiene al centro di $G.$
       Da notare che $\operatorname {C} _{G}(b)$ include $b$ e il centro che non contiene $b$ ma almeno $p$ elementi. Quindi l'ordine di $\operatorname {C} _{G}(b)$ è strettamente maggiore di $p,$ e si ha:
       $\left|\operatorname {C} _{G}(b)\right|=p^{2}\implies b\in \operatorname {Z} (g)$ quindi un assurdo. Ne concludiamo che $G$ è abeliano e isomorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici ciascuno di ordine $p$, come nel caso 1.
**   * $|\operatorname {Z} (G)|=p^{2}=|G|$ cioè coincide con l'intero gruppo e le classi di coniugazione sono formate da un solo elemento, come nel caso 1.