# Teorema di Cayley

Il teorema di Cayley, dal nome del matematico britannico Arthur Cayley, è un teorema riguardante la teoria dei gruppi.
Il teorema asserisce che ogni gruppo è isomorfo a un sottogruppo di un gruppo simmetrico. In altre parole, ogni gruppo può essere considerato come un particolare gruppo di permutazioni.

## Enunciato

Sia $G$ un gruppo di cardinalità arbitraria (non necessariamente finita). Sia $S(G)$ il gruppo simmetrico di $G$ (vale a dire il gruppo delle permutazioni dell'insieme $G$). Il teorema di Cayley asserisce il fatto seguente:
Il gruppo $G$ è isomorfo ad un sottogruppo di $S(G)$.
In particolare, ogni gruppo finito $G$ è isomorfo ad un sottogruppo di un gruppo simmetrico finito.
Il gruppo simmetrico su $n$ oggetti contiene una copia di ogni gruppo di ordine n.

## Costruzione dell'isomorfismo

Un isomorfismo può essere costruito come segue.
    $T_{g}\colon G\to G$ tale che $T_{g}(x)=gx$
cioè si moltiplica a sinistra per l'elemento $g$ di $G$. L'applicazione $T_{g}$ è una permutazione sugli elementi di $G$ e dunque risulta in $S(G)$. Per concludere basta definire l'applicazione:
    $T\colon G\to S(G)$
che associa ad ogni elemento $g$ di $G$ la corrispondente permutazione $T_{g}$.
È semplice mostrare come questa applicazione realizzi effettivamente un omomorfismo (risulta cruciale, per la dimostrazione, la proprietà associativa dell'operazione definita su $G$)
Questo omomorfismo, inoltre, risulta essere iniettivo, e quindi $G$ è isomorfo alla sua immagine $T(G)$.

### Osservazione

In generale, la dimostrazione standard del teorema di Cayley non produce la rappresentazione di $G$ in un gruppo di permutazioni di ordine minimale.
Semplici esempi di questo si vedono prendendo $G$ coincidente proprio con un gruppo di permutazioni.
Ad esempio, si prenda $G=S_{3}$, cioè uguale al gruppo simmetrico su 3 oggetti (che ha ordine 3!=6). Utilizzando il procedimento dimostrativo del teorema si riesce a rappresentarlo come sottogruppo di $S_{6}$ (un gruppo il cui ordine è 6!=720).
Tuttavia, siccome $S_{3}$ è già di per sé un gruppo di permutazioni, una sua rappresentazione è quella su $S_{3}$ stesso, che, come già detto, ha solo ordine 6

## Esempi

La costruzione appena descritta può essere concretamente visualizzata su alcuni gruppi noti. Qui $S_{n}$ è il gruppo delle permutazioni dell'insieme $\{0,\ldots ,n-1\}$ e ogni permutazione è descritta come prodotto di cicli.
* Il gruppo ciclico $\mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}$ è identificato ad un sottogruppo di $S_{2}$: l'elemento $0$ corrisponde all'identità e l'elemento $1$ alla permutazione $(01).$
* $\mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}$ è identificato ad un sottogruppo di $S_{3}$: l'elemento $0$ corrisponde all'identità, l'elemento $1$ alla permutazione $(123)$ e l'elemento $2$ alla permutazione $(132).$ L'uguaglianza $1+1=2$ corrisponde a $(123)(123)=(132).$
* $\mathbb {Z} _{4}=\{0,1,2,3\}$ è identificato ad un sottogruppo di $S_{4}$: gli elementi corrispondono a $e,$ $(1234),$ $(13)(24),$ $(1432).$

## Applicazioni

Il teorema trova numerose applicazioni sia dal punto di vista pratico che teorico. Nella teoria dei grafi permette ad esempio di derivare numerose proprietà strutturali di grafi ed alberi.