# Gruppo nilpotente

In matematica, un gruppo nilpotente è un gruppo $G$ che ammette una serie centrale, ovvero una successione di sottogruppi normali
    $\{1\}\subseteq H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq \cdots \subseteq H_{n-1}\subseteq H_{n}=G$
tale che ogni quoziente $H_{i+1}/H_{i}$ è contenuto nel centro di $G/H_{i}$. Il minimo $n$ per cui $G$ ammette una serie centrale di lunghezza $n$ è detto indice (o classe) di nilpotenza di $G$.
I gruppi nilpotenti formano una classe intermedia tra i gruppi abeliani e i gruppi risolubili; con i primi condividono il fatto di poter essere ricostruiti (almeno per la loro parte di torsione) dai sottogruppi di Sylow, mentre con i secondi la vicinanza ai gruppi abeliani mediante serie di sottogruppi.
I gruppi nilpotenti hanno un ruolo centrale nello studio dei gruppi di Lie; nella teoria delle algebre di Lie, un'analoga definizione porta al concetto di algebra di Lie nilpotente.

## Definizione

A partire da un gruppo $G$, possono essere definite due diverse catene di sottogruppi, una ascendente e una discendente.
La serie centrale ascendente è la successione $\{1\}=Z_{0}\subseteq Z_{1}\subseteq Z_{2}\subseteq \cdots$ dove ogni $Z_{i}$ definito come $Z_{i}:=\{g\in G\mid [g,h]\in Z_{i-1}{\text{ per ogni }}h\in G\}$ (dove $[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$ è il commutatore di $g$ ed $h$); equivalentemente, $Z_{i}$ è tale che $Z_{i}/Z_{i-1}$ è il centro di $G/Z_{i-1}$.
La serie centrale discendente è la successione $G=\Gamma _{0}\supseteq \Gamma _{1}\supseteq \Gamma _{2}\supseteq \cdots$, dove $\Gamma _{i}:=[G,\Gamma _{i-1}]$ è il sottogruppo generato dagli elementi $[g,h]$, per ogni $g\in G$ e ogni $h\in \Gamma _{i-1}$.
Un gruppo è nilpotente se la serie centrale ascendente arriva a $G$ (cioè se $Z_{n}=G$ per qualche $n$), o equivalentemente se la serie centrale discendente arriva al sottogruppo banale $\{1\}$ (cioè se $H_{m}=\{1\}$ per qualche $m$); un'ulteriore condizione equivalente è l'esistenza di una serie centrale arbitraria, ovvero una successione di sottogruppi normali
    $\{1\}\subseteq H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq \cdots \subseteq H_{k-1}\subseteq H_{k}=G$
in cui $H_{i+1}/H_{i}\subseteq Z(G/H_{i})$. Se questo avviene, la lunghezza della serie centrale ascendente e di quella discendente sono uguali, e questo numero è la minima lunghezza di una serie normale di $G$: è detto indice (o classe) di nilpotenza di $G$.

## Esempi

Tutti i gruppi abeliani sono nilpotenti, in quanto ammettono la serie centrale $\{1\}\subseteq G$, e di conseguenza hanno indice di nilpotenza 1; viceversa, ogni gruppo con indice di nilpotenza 1 è abeliano.
Tutti i p-gruppi finiti sono nilpotenti e, in particolare, un gruppo con $p^{n}$ elementi ha indice di nilpotenza al più $n-1$; questo segue dal fatto che ogni p-gruppo ha centro non banale. Questo non vale se il gruppo è infinito: ad esempio, data una successione $G_{n}$ di p-gruppi, in cui $G_{n}$ ha indice di nilpotenza $n$, allora la somma diretta $\bigoplus G_{n}$ è un p-gruppo la cui serie centrale ascendente non termina.
Un esempio di gruppo infinito non abeliano ma nilpotente è il gruppo di Heisenberg $G=\left\{{\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\mid a,b,c\in \mathbb {R} \right\}$.
Un gruppo il cui centro è banale non è mai nilpotente, in quanto la sua serie ascendente è stazionaria già a $Z_{0}$.

## Proprietà

La proprietà di essere nilpotente si trasferisce ai sottogruppi e ai gruppi quoziente; se inoltre $G$ ha indice di nilpotenza $c$, allora l'indice dei suoi sottogruppi e dei suoi quozienti è al più $c$. Tuttavia la nilpotenza non è chiusa per estensioni: per esempio $S_{3}$ non è nilpotente, ma è estensione di $A_{3}$ mediante $S_{3}/A_{3}$, entrambi i quali sono gruppi nilpotenti. Se però $N$ è contenuto nel centro di $G$ e il quoziente $G/N$ è nilpotente di classe $c$, risulta che $G$ è nilpotente di classe al più $c+1$. Il prodotto diretto di una quantità finita di gruppi nilpotenti è ancora nilpotente, e la sua classe di nilpotenza è uguale al massimo delle classi dei fattori.
Poiché i quozienti $H_{i+1}/H_{i}$ sono contenuti nel centro di $G/H_{i}$, ogni quoziente è abeliano, e quindi una serie centrale è, in particolare, una serie normale; questo implica che ogni gruppo nilpotente è risolubile. L'implicazione non può essere rovesciata: ad esempio il gruppo simmetrico $S_{3}$ è risolubile ma non nilpotente (in quanto il suo centro è banale).
Una delle proprietà più importanti dei gruppi nilpotenti è il loro legame con i loro sottogruppi di Sylow. Se infatti $G$ è un gruppo nilpotente finito, allora tutti i suoi sottogruppi di Sylow sono normali, e $G$ stesso è il prodotto diretto dei sottogruppi di Sylow; dal momento che i p-gruppi sono nilpotenti, questo risultato classifica i gruppi nilpotenti finiti come i prodotti diretti di p-gruppi. Nel caso infinito, i sottogruppi di Sylow possono non generare l'intero gruppo (in quanto possono essere presenti elementi di ordine infinito), ma essi sono ancora normali nel gruppo, e il loro prodotto diretto è uguale al sottogruppo di torsione di $G$.