# Criterio di convergenza di Cauchy

Il criterio di convergenza di Cauchy è un teorema di analisi matematica che fornisce le condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza del limite per una successione di numeri reali o complessi (o, più in generale, per una successione a valori in uno spazio metrico completo).
Oltre al risultato principale, vi sono numerosi criteri di convergenza applicabili in situazioni diverse (serie, funzioni, successioni e serie di funzioni, ecc.), che sono a loro volta chiamati criteri di Cauchy per la somiglianza concettuale.

## Criterio di Cauchy per le successioni

Il criterio di convergenza di Cauchy asserisce che una successione $\{a_{n}\}$ di numeri reali ha limite finito se e solo se è di Cauchy. In altre parole, se e solo se per ogni $\varepsilon >0$ esiste $N$ tale che $|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon$ per ogni $n,m>N$.
Una successione convergente è sempre di Cauchy, in ogni contesto. La proprietà essenziale che garantisce l'implicazione opposta è la completezza dei numeri reali.

### Dimostrazione

Innanzitutto proviamo che se $\{a_{n}\}$ converge allora è di Cauchy. Per ipotesi,
    $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$
cioè per ogni $\varepsilon >0$ esiste $N$ tale che
    $|a_{n}-a|<\varepsilon$
per ogni $n>N$. Dalla disuguaglianza triangolare si ricava:
    $|a_{n}-a_{m}|\leq |a_{n}-a|+|a_{m}-a|<2\varepsilon$
per ogni coppia $n$ e $m$ di numeri maggiori di $N$. Poiché $2\varepsilon$ è "piccolo a piacere", ne segue che $\{a_{n}\}$ è una successione di Cauchy.
Mostriamo l'implicazione inversa. Sia $\{a_{n}\}$ di Cauchy. Una tale successione è necessariamente limitata. Quindi è contenuta in un intervallo chiuso $[-R,R]$ per $R$ sufficientemente grande. Questo intervallo è un insieme chiuso e limitato di $\mathbb {R}$: un tale insieme di $\mathbb {R}$ è compatto per il teorema di Heine-Borel (la completezza di $\mathbb {R}$ è fondamentale per ottenere questo risultato).
Poiché la successione $\{a_{n}\}$ è contenuta in un compatto, esiste una sottosuccessione $\{a_{n_{k}}\}$ convergente ad un certo limite $a$. Dalla definizione di limite, per ogni $\varepsilon >0$ esiste $N$ tale che
    $|a_{n_{k}}-a|<\varepsilon$
per ogni $n_{k}>N$. Poiché $\{a_{n}\}$ è una successione di Cauchy, esiste $N'$ tale che
    $|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon$
per ogni $n,m>N'$. Quindi
    $|a_{n}-a|\leq |a_{n}-a_{n_{k}}|+|a-a_{n_{k}}|<2\varepsilon$
per ogni $n$ maggiore di $\max\{N,N'\}.$

## Criterio di Cauchy per i limiti di funzioni

Sia $f$ una funzione reale definita in un insieme $X\subseteq \mathbb {R}$ e sia $x_{0}$ un punto di accumulazione di $X$ (eventualmente infinito). Allora $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ esiste ed è reale se e solo se per ogni $\varepsilon >0$ esiste un intorno $V$ di $x_{0}$ tale che:
    $|f(t_{1})-f(t_{2})|<\varepsilon$
per ogni coppia di reali $t_{1},t_{2}\in X\cap V$ e diversi da $x_{0}$.

## Criterio di Cauchy per l'integrale improprio

Dal precedente criterio per i limiti di funzioni, discende il seguente criterio.
Sia $f:]a,b]\to \mathbb {R}$ una funzione integrabile secondo Riemann in ogni sottointervallo chiuso contenuto in $]a,b]$. Allora $f$ è integrabile in senso improprio in $]a,b]$ se e solo se per ogni $\varepsilon >0$ esiste un intorno $U$ di $a$ tale che
    $\left|\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon$
per ogni $t_{1},t_{2}\in ]a,b]\cap U$.

## Criterio di Cauchy per le serie numeriche

Adattando il discorso alle serie, si può enunciare questo criterio, corollario immediato dell'enunciato precedente. Una serie $\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}$ a valori reali è convergente se e solo se per ogni $\varepsilon >0$ esiste un $n_{\varepsilon }$ tale che per ogni $n>n_{\varepsilon }$ e per ogni $p$ in $\mathbb {N}$ vale che $|a_{n+1}+..+a_{n+p}|<\varepsilon$.
Infatti il termine compreso dentro il valore assoluto non è altro che $|s_{n+p}-s_{n}|$, dove $\{s_{n}\}$ è la successione delle somme parziali.

## Successioni di funzioni

Criteri di convergenza analoghi valgono anche per le successioni di funzioni.

### Criterio di Cauchy per la convergenza puntuale

Sia $\{f_{n}(x)\}$ una successione di funzioni definite in un insieme $A\subseteq \mathbb {C}$. Essa converge puntualmente in $B\subseteq A$se e solo se per ogni $x\in B$ e per ogni $\varepsilon >0$ esiste un indice $\nu \in \mathbb {N}$ tale che:
    $|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\varepsilon$
per ogni $n,m>\nu$.
In questa definizione, l'indice $\nu$ dipende sia dalla scelta del punto $x$, sia dalla scelta di $\varepsilon$.

### Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme

Sia $\{f_{n}(x)\}$ una successione di funzioni definite in un insieme $A\subseteq \mathbb {C}$. Essa converge uniformemente in $B\subseteq A$ se e solo se per ogni $\varepsilon >0$ esiste un indice $\nu \in \mathbb {N}$ tale che:
    $|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\varepsilon$
per ogni $n,m>\nu$ e ogni $x\in B$.
Come ci si aspetta dalla nozione di convergenza uniforme, in questo caso l'indice $\nu$ dipende solamente dalla scelta di $\varepsilon$.

## Serie di funzioni

Dall'applicazione dei due precedenti criteri sulle successioni di funzioni alla successione delle somme parziali di una serie di funzioni si ottengono immediatamente i due seguenti criteri di convergenza.

### Criterio di Cauchy per la convergenza puntuale

Sia $\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)$ una serie di funzioni definite in un insieme $A\subseteq \mathbb {C}$. Essa converge puntualmente in $B\subseteq A$ se e solo se per ogni $x\in B$ e per ogni $\varepsilon >0$ esiste un indice $\nu \in \mathbb {N}$ tale che:
    $|f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+...+f_{n+p}(x)|<\varepsilon$
per ogni $n>\nu$ (ε,x) e ogni naturale $p>0$.

### Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme

Sia $\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)$ una serie di funzioni definite in un insieme $A\subseteq \mathbb {C}$. Essa converge uniformemente in $B\subseteq A$ se e solo se per ogni $\varepsilon >0$ esiste un indice $\nu \in \mathbb {N}$ tale che:
    $|f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+...+f_{n+p}(x)|<\varepsilon$
per ogni $n>\nu$( ε) e ogni naturale $p>0$.

## Prodotti infiniti

Esiste anche un analogo del criterio di Cauchy per la convergenza di un prodotto infinito.
Il prodotto infinito
    $\prod _{n=1}^{+\infty }a_{n}$
converge se e solo se per ogni $\varepsilon >0$ esiste $\nu$ tale che:
    $|a_{n+1}a_{n+2}\cdot \cdot \cdot a_{n+p}-1|<\varepsilon$
per ogni $n>\nu$ e ogni naturale $p>0$.