# Riflessione (geometria)

In matematica, e più precisamente in geometria, una riflessione è una trasformazione della retta, del piano o dello spazio che "specchia" tutti i punti rispetto a (rispettivamente) un punto, una retta, o un piano (detti rispettivamente centro, asse o piano di riflessione).

## Definizione

Sia $\pi$ un iperpiano in uno spazio euclideo di dimensione $n$ passante per l'origine. In altre parole, $\pi$ è un sottospazio vettoriale di dimensione $n-1$.
Una riflessione rispetto a $\pi$ è la trasformazione lineare data da
    $\mathrm {Ref} _{a}({\vec {v}})={\vec {v}}-2{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {a}}}{{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}{\vec {a}}$
dove $a$ è un qualsiasi vettore ortogonale a $\pi$, e $v\cdot a$ è il prodotto scalare fra $v$ ed $a$.
Sia $P$ un punto nello spazio euclideo. Una riflessione rispetto a $P$ è la trasformazione lineare data da
    $\mathrm {Ref} _{p}({\vec {v}})=2{\vec {p}}-{\vec {v}}$

## Proprietà

* La matrice associata ad una riflessione rispetto ad una base ortonormale i cui primi $n-1$ elementi sono contenuti nell'iperpiano è molto semplice: è una matrice diagonale aventi tutti i valori $1$ sulla diagonale tranne l'ultimo, che è $-1$.
* La composizione di due riflessioni lungo lo stesso iperpiano $p$ è la funzione identità.
* La composizione di due riflessioni del piano lungo rette distinte può essere una rotazione o una traslazione.
* Ogni matrice associata ad una riflessione rispetto ad una qualsiasi base è una matrice ortogonale con determinante uguale a $-1$.
* Utilizzando la definizione di matrice di Householder, si possono ricavare molto facilmente le equazioni relative a questo tipo di trasformazione.

## Geometria euclidea piana

Nel piano euclideo, due punti $A$ e $A'$ si dicono simmetrici rispetto a una retta r (cui non appartengono) quando $r$ è l'asse del segmento ${\overline {AA'}}$. Il punto $A'$ è il simmetrico di A rispetto ad $r$ e viceversa.
La corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto $A$ che non appartiene ad $r$ il punto $A'$ suo simmetrico, e ad ogni punto $C$ in $r$ associa il punto $C$ stesso, è detta simmetria assiale di asse $r$ nel piano considerato.
La simmetria assiale è un'isometria del piano, cioè conserva la lunghezza dei segmenti.
Alcuni autori utilizzano la notazione $\eta _{r}$ per indicare la simmetria assiale di asse $r$; il simmetrico di $A$ si scrive quindi ${\rm {A}}'=\eta _{r}({\rm {A}})$.
La simmetria assiale è involutoria, cioè coincide con la propria inversa e composta con se stessa dà l'identità.
Infine, la simmetria assiale è un'isometria di tipo inverso, cioè inverte l'orientazione degli oggetti (ad esempio, una coppia di assi ortogonali, il senso di percorrenza dei lati di un triangolo, etc.)

### Definizione di simmetria assiale

Si dice simmetria assiale di asse $r$ la trasformazione geometrica che lascia invariata la retta $r$ e che associa ad ogni punto $P$ del piano non appartenente ad $r$ il punto $Q$ in modo tale che il segmento ${\overline {PQ}}$ sia perpendicolare alla retta $r$ e abbia come punto medio $H$, piede della perpendicolare condotta da $P$ a $r$.

### Simmetria assiale in geometria analitica

Data l'equazione dell'asse di simmetria $y=mx+q$ e il segmento di estremi $P(x;y)$ e $Q(x';y')$, la retta passante per P e Q è perpendicolare all'asse di simmetria (pertanto $m_{PQ}=-{\frac {1}{m}}$) e lo interseca nel punto medio H di coordinate
$\left({\frac {x+x'}{2}};{\frac {y+y'}{2}}\right)$
Poiché H appartiene all'asse, vale la seguente equazione:
${\frac {y+y'}{2}}=m{\frac {x+x'}{2}}+q$
Il coefficiente angolare della retta passante per P e Q si può scrivere come
$m_{PQ}={\frac {y-y'}{x-x'}}$
Pertanto,
${\frac {y-y'}{x-x'}}=-{\frac {1}{m}}$
Per determinare le coordinate del punto Q, simmetrico di P, si ricorre al sistema di equazioni
${\begin{cases}{\frac {y+y'}{2}}=m{\frac {x+x'}{2}}+q\\{\frac {y-y'}{x-x'}}=-{\frac {1}{m}}\end{cases}}$
Da cui si ricava
${\begin{cases}x'={\frac {-2mq+x-m^{2}x+2my}{m^{2}+1}}\\y'={\frac {2q+2mx-y+m^{2}y}{m^{2}+1}}\end{cases}}$

#### Casi particolari

* Simmetria assiale rispetto alla retta $y=x$, bisettrice del primo e del terzo quadrante
${\begin{cases}x'=y\\y'=x\end{cases}}$
* Simmetria assiale rispetto alla retta $y=-x$, bisettrice del secondo e del quarto quadrante
${\begin{cases}x'=-y\\y'=-x\end{cases}}$
* Simmetria assiale rispetto alla retta $x=k$, parallela all'asse y
${\begin{cases}x'=2k-x\\y'=y\end{cases}}$
* Simmetria assiale rispetto alla retta $y=k$, parallela all'asse x
${\begin{cases}x'=x\\y'=2k-y\end{cases}}$
* Simmetria assiale rispetto alla retta $x=0$, asse delle ordinate
${\begin{cases}x'=-x\\y'=y\end{cases}}$
* Simmetria assiale rispetto alla retta $y=0$, asse delle ascisse
${\begin{cases}x'=x\\y'=-y\end{cases}}$

## In geometria descrittiva

La riflessione è un tipo di corrispondenza biunivoca detta affinità che può essere ortogonale, quando il piano di riflesso (specchio) è ortogonale al piano della figura oggettiva, altrimenti obliqua.