# Serie geometrica

In matematica, una serie geometrica è una serie tale per cui il rapporto tra due termini successivi è costante.

## Definizione

La serie geometrica è una serie del tipo $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$. In modo equivalente, può essere definita come il limite della successione delle somme parziali $\{s_{n}:n\in \mathbb {N} \}$, in cui:
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}x^{k}=1+x+x^{2}+\dots +x^{n}.$
La somma parziale $n$-esima di una serie geometrica è dunque la somma per $k$ che va da zero ad $n$ di $x^{k}$. Il rapporto di ogni termine della somma rispetto al termine precedente è costantemente uguale a $x$ ed è detto ragione della serie.
Questo tipo di serie ricorre con una particolare frequenza nell'analisi degli algoritmi; in molti casi il valore di questi ultimi può essere calcolato direttamente con le formule illustrate successivamente. Una delle espressioni più comuni è proprio la somma parziale della nota serie geometrica.

## Formule

Possiamo dimostrare che $\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}$ in diversi modi.
Consideriamo: $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}x^{k}=1+x+x^{2}+\dots +x^{n}.$ Moltiplicando entrambi i membri della precedente equazione per $(1-x)$. Vediamo che i termini del polinomio da $1$ a $n$ si semplificano con i corrispondenti della sommatoria:
    $(1-x)\sum _{k=0}^{n}x^{k}=1-x^{n+1}.$
Dividendo ambo i membri per il termine $1-x,$ si ottiene rapidamente la somma per la serie geometrica:
    $\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}.$
Un altro modo semplicemente algebrico per arrivare alla somma da $0$ ad n consiste nel partire da:
    $s_{n}=1+x+x^{2}+\dots +x^{n}$ quindi sottrarre $1$ e dividere tutto per $x$ ambo i membri
    ${\frac {s_{n}-1}{x}}=1+x+x^{2}+\dots +x^{n-1}=s_{n-1}$ poiché $s_{n-1}=s_{n}-x^{n}$ allora possiamo scrivere
    ${\frac {s_{n}-1}{x}}=s_{n}-x^{n}$ facendo tutti i passaggi algebrici, da quest'ultima equazione, otteniamo:
    $s_{n}(1-x)=1-x^{n+1}$ con un ultimo passaggio $s_{n}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}$ è la somma che stavamo cercando.
È possibile dimostrare che $\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}$ anche per induzione. Osserviamo che per $n=0$ si ottiene ${\frac {1-x}{1-x}}=1$ pertanto la base induttiva è verificata. Supponiamo che la formula sia vera per $n$, ovvero che la somma dei primi $n$ termini valga proprio ${\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}$, allora la somma dei primi $n+1$ termini vale
    $x^{n+1}+{\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}={\frac {x^{n+1}-x^{n+2}+1-x^{n+1}}{1-x}}={\frac {1-x^{n+2}}{1-x}}$
Pertanto la formula, supposta vera per i primi $n$ termini, è vera anche per i primi $n+1$ termini, pertanto è stato dimostrato per induzione matematica che: $\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}$
Osserviamo che tale formula è valida per $x\neq 1$, se $x=1$ la somma vale banalmente $1+n$.
Se la serie non parte da $0$, ma da un altro termine $m$, allora
    $\sum _{k=m}^{n}x^{k}={\frac {x^{m}-x^{n+1}}{1-x}}.$
Derivando la somma rispetto a $x$ si possono trovare formule per somme del tipo
    $\sum _{k=0}^{n}k^{s}x^{k}.$
Ad esempio:
    ${\frac {d}{dx}}\sum _{k=0}^{n}x^{k}=\sum _{k=1}^{n}kx^{k-1}={\frac {1-x^{n+1}}{(1-x)^{2}}}-{\frac {(n+1)x^{n}}{1-x}}$

## Comportamento della serie

La serie ha il seguente carattere:
* divergente per $x\geq 1$ perché si ha $s_{n}=1+x+x^{2}+\dots +x^{n}\geq nx+1$ e per il teorema del confronto diverge;
* indeterminata per $x<-1$ perché si ha $s_{n}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}$ e $\lim _{n\to +\infty }x^{n}$ non esiste (alcuni testi riportano, per questo caso, il carattere divergente, intendendo che $|s_{n}|\to +\infty$);
* indeterminata nel caso $x=-1$, poiché la funzione somma oscilla tra $1$ e $0;$
* convergente quando $|x|<1.$
Se infatti $|x|<1$ la somma della serie esiste e vale
    $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{x}^{k}=\lim _{n\to \infty }{{1-x^{n+1}} \over {1-x}}={\frac {1}{1-x}}.$
Quest'ultima formula è valida in ogni algebra di Banach con la condizione che la norma di $x$ sia minore di $1$, e anche nel campo dei numeri p-adici se $|x|_{p}<1$. In particolare è valida nel campo dei numeri complessi con l'usuale definizione di valore assoluto.
Si ha che $S=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\dots$ ;
allora $xS=x(1+x+x^{2}+x^{3}+\dots )=x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}-1=S-1.$
Pertanto vale $xS=S-1\rightarrow S-xS=1\rightarrow S(1-x)=1.$
A questo punto, se e solo se $|x|<1$, ha senso scrivere: $S={\frac {1}{1-x}}$ , c.v.d.
Come nel caso delle somme finite, possiamo derivare la serie per trovare le formule di somme analoghe. Ad esempio:
    ${\frac {d}{dx}}\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }kx^{k-1}={\frac {1}{(1-x)^{2}}}.$
Questa formula naturalmente è valida solo per $|x|<1$.

### Stima della somma

Per effettuare la stima della somma geometrica finita conoscendo quella infinita, spezziamo la serie come segue
    $\sum _{i=0}^{n}x^{i}+\sum _{i=n+1}^{\infty }x^{i},$
ricordando che la serie geometrica ha somma pari a ${\frac {1}{1-x}}$ otteniamo che
    $\sum _{i=0}^{n}x^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}-\sum _{i=n+1}^{\infty }x^{i}={\frac {1}{1-x}}-x^{n+1}\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}.$

## Serie geometrica troncata

Se si pone che $f_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}x^{i}$ si ha che:
    $f_{n}(1)=\lim _{x\to 1}{\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}=n+1.$
La funzione $f_{n}(x)$ viene chiamata serie geometrica troncata. La serie geometrica troncata è alla base delle stime di somme molto complesse. Utilizzando l'operatore $xD$ (dove con $D$ si indica la derivata) si ha che
    $xDf_{n}(x)=xD(\sum _{i=0}^{n}x^{i})=x\sum _{i=0}^{n}ix^{i-1}=\sum _{i=1}^{n}ix^{i}.$
riconducendosi alla serie geometrica troncata. Quindi si ha
    $\sum _{i=1}^{n}ix^{i}=xD(f_{n}(x))={\frac {nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(1-x)^{2}}}.$

## Esempi

Si vuole calcolare la seguente sommatoria:
    $\sum _{k=1}^{n}k2^{k}.$
Consideriamo la funzione
    $t_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}x^{k}$
e osserviamo che la sua derivata è data da
    $t_{n}'(x)=\sum _{k=1}^{n}kx^{k-1},$
questo significa che
    $2t_{n}'(2)=\sum _{k=1}^{n}k2^{k},$
e quindi il nostro problema si riduce a valutare la derivata di $t_{n}(x)$ in $2$. Poiché $t_{n}(x)={{x^{n+1}-1} \over {x-1}},$ per ogni $x\neq 1,$ otteniamo
    $t_{n}'(x)={{(n+1)x^{n}(x-1)-x^{n+1}+1} \over {(x-1)^{2}}},$
e di conseguenza
    $\sum _{k=0}^{n}k2^{k}=2t_{n}'(2)=2{{(n+1)2^{n}(2-1)-2^{n+1}+1} \over {(2-1)^{2}}}=(n-1)2^{n+1}+2.$