# Costruzione dei numeri reali

In matematica, i numeri reali vengono costruiti in vari modi equivalenti. Tra questi, i più noti usano le sezioni di Dedekind e le successioni di Cauchy. Ciascuna di queste costruzioni definisce i numeri reali come una estensione dell'insieme dei numeri razionali.

## Costruzione intuitiva a partire dai numeri decimali

Un numero reale è una quantità che può essere rappresentata come
    $x=n+0.d_{1}d_{2}d_{3}...$
dove $n$ è un numero intero e ogni $d_{i}$ è una cifra tra 0 e 9 (le cifre $d_{1},d_{2},\ldots$ sono infinite). Questa definizione deve però tenere conto della doppia rappresentazione periodica dei decimali finiti: analogamente a quanto avviene per i numeri razionali, in cui due rappresentazioni come frazione danno talvolta lo stesso numero (ad esempio, $1/2$ e $2/4$), anche lo stesso numero reale può essere rappresentato in due modi diversi; questo accade quando la successione $d_{1},d_{2},\ldots$ finisce con una successione di 9 consecutivi. Ad esempio, i numeri
    $1=0,99999999\ldots$
rappresentano lo stesso numero reale (vedi 0,999...). Si può ovviare a questo problema definendo come numero reale una quantità rappresentabile come $x=n+0.d_{1}d_{2}d_{3}...$ in cui la successione $d_{i}$ non termina con una infinità di 9 consecutivi. In questo modo viene scartata a priori una delle due rappresentazioni equivalenti.
Questa costruzione si collega alle successive nel modo seguente: il numero $x=n+0.d_{1}d_{2}d_{3}...$ è il numero reale $x$ che soddisfa questa doppia disequazione per ogni $k$:
    $n+{\frac {d_{1}}{10}}+{\frac {d_{2}}{100}}+...+{\frac {d_{k}}{10^{k}}}\leq x<n+{\frac {d_{1}}{10}}+{\frac {d_{2}}{100}}+...+{\frac {d_{k}}{10^{k}}}+{\frac {1}{10^{k}}}.$
La rappresentazione tramite decimali è certamente la più nota e maneggevole; i matematici preferiscono però usare costruzioni più astratte per i numeri reali, essenzialmente per questi motivi:
* l'aggiramento del problema della doppia rappresentazione è macchinoso e poco elegante
* non è possibile definire le operazioni elementari di somma e moltiplicazione fra numeri reali con operazioni "cifra per cifra" nel modo solito (dovremmo "partire da destra") ma solo con approssimazioni troncate, ritrovandosi su un terreno analogo a quello delle successioni di Cauchy e delle sezioni di Dedekind,
* la rappresentazione è ancorata alla base scelta (nello specifico la base 10) e quindi non è "canonica".

## Costruzione tramite serie

Un modo per costruire l'insieme $\mathbb {R}$ simile a quello appena visto, ma più astratto, è quello di utilizzare le serie e gli insiemi di numeri naturali. Questo metodo prende spunto dall'argomento diagonale di Cantor, utilizzato per dimostrare la non numerabilità dei numeri reali.
Consideriamo la rappresentazione binaria di un numero reale $x\geq 0$: essa è una stringa di 0 e 1, di cui la sottostringa prima della virgola ha lunghezza finita (si omette lo 0 prima della virgola se $x\leq 1$, in modo da evitare che i numeri minori di 1 abbiano cifre nella parte intera); sia dunque $n\in \mathbb {N}$ il numero di cifre binarie di $x$ che rappresentano la sua parte intera. Possiamo allora riscrivere $x$ come segue: $x=2^{n}\cdot d$, da cui si ricava $d={\frac {x}{2^{n}}}$.
Dato che la rappresentazione binaria di $2^{n}$ è lunga $n+1$ cifre (1 seguito da $n$ zeri), mentre quella di $x$ ha solo $n$ cifre nella parte intera, allora $0\leq x\leq 2^{n}$, dunque, dividendo per $2^{n}$, si ottiene $0\leq {\frac {x}{2^{n}}}\leq 1$, e siccome ${\frac {x}{2^{n}}}=d$, abbiamo che $0\leq d\leq 1$.
Quindi, ogni coppia di numeri reali opposti può essere espressa come $\pm 2^{n}\cdot d$, dove $n\in \mathbb {N}$ e $0\leq d\leq 1$. Questo però non basta, perché $d$ è a sua volta un numero reale. Sappiamo però che esso è compreso tra 0 e 1, possiamo perciò sfruttare quest'informazione a nostro favore.
Consideriamo dunque la rappresentazione binaria di $d$: essa è una stringa infinita di 0 e 1, possiamo allora "contare" le cifre partendo dalla più significativa, assegnando ad ognuna un numero naturale a partire da 1, incrementandolo di 1 ogni volta che passiamo alla cifra successiva. In questo modo, possiamo definire il seguente insieme di naturali $S=\{i\in \mathbb {N} \mid {\text{l'}}i{\text{-esima cifra di }}d{\text{ è }}1\}$. La funzione $\mathbf {1} _{S}\colon \mathbb {N} \to \{0,1\}$, che è la funzione indicatrice di $S$, è dunque così definita:
$\mathbf {1} _{S}(i)={\begin{cases}1,&{\text{se }}i\in S\\0,&{\text{se }}i\notin S\\\end{cases}}$
Per cui, basandoci sulla notazione posizionale, possiamo esprimere $d$ come una serie:
$d=\sum _{i=1}^{\infty }2^{-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)$
Dunque, $x$ può essere espresso come segue:
$x=2^{n}\cdot d=2^{n}\cdot \sum _{i=1}^{\infty }2^{-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)=\sum _{i=1}^{\infty }2^{n}\cdot 2^{-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)=\sum _{i=1}^{\infty }2^{n-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)$
In definitiva, possiamo allora definire l'insieme $\mathbb {R}$ come segue:
$\mathbb {R} =\left\{\pm \sum _{i=1}^{\infty }2^{n-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)\ {\bigg |}\ n\in \mathbb {N} ,S\subseteq \mathbb {N} \right\}$

## Costruzione tramite le sezioni di Dedekind
### Costruzione

Questa costruzione, introdotta da Richard Dedekind, nasce dall'osservazione che ogni numero razionale divide l'insieme $\mathbb {Q}$ dei razionali in due insiemi: l'insieme $A_{r}$ dei razionali tali che $a<r$ e l'insieme $B_{r}$ dei razionali tali che $b\geq r$. Dedekind chiama quindi la coppia $(A_{r};B_{r})$ una sezione in due insiemi. D'altra parte, anche un numero reale come ${\sqrt {2}}$ definisce una sezione $(A,B)$, dove $A$ è dato da tutti i razionali $a$ tali che $a<{\sqrt {2}}$, mentre $B$ è dato da tutti i razionali $\beta$ con $\beta >{\sqrt {2}}$.
Dedekind definisce quindi un numero reale come una sezione dei numeri razionali. Nella definizione originaria, una sezione di Dedekind è una coppia $(A,B)$ di sottoinsiemi non vuoti di $\mathbb {Q}$ tali che
   * $A\cap B=\emptyset$
   * $A\cup B=\mathbb {Q}$
   * $\forall a\in A,\forall b\in B,a<b$
In questo modo però ogni numero razionale determina due sezioni:
* $(A,B)$ dove $A$ è l'insieme dei razionali strettamente minori di $r$ e $B$ è l'insieme dei razionali maggiori o uguali a $r$,
* $(A,B)$ dove $A$ è l'insieme dei razionali minori o uguali a $r$ e $B$ è l'insieme dei razionali strettamente maggiori di $r$.
Per evitare l'ambiguità, si fa a meno del secondo insieme della coppia e si definisce la sezione come costituita da un solo sottoinsieme $A$ di $\mathbb {Q}$ tale che
   * $A$ è non vuoto e differente da $\mathbb {Q}$
   * per ogni $a$ in $A$, se $a'<a$ allora $a'$ appartiene a $A$.
   * $A$ non ha massimo, cioè non esiste $m$ in $A$ tale che $m>a$ per ogni altro $a$ in $A$.
Con questa definizione l'ambiguità è eliminata: ogni numero razionale viene associato ad un'unica sezione. Si definisce quindi l'insieme $\mathbb {R}$ dei numeri reali come l'insieme delle sezioni. Ad esempio, il numero irrazionale ${\sqrt {2}}$ è definito dalla sezione
    $A=\{a\in \mathbb {Q} \ |\ a<0\ {\text{oppure}}\ a^{2}<2\}$.
Quale conseguenza della costruzione stessa è evidente che in $\mathbb {R}$ è presente una copia isomorfa di $\mathbb {Q}$: l'insieme $\{X_{q}\mid q\in \mathbb {Q} \}$, dove indichiamo con $X_{q}$ il segmento iniziale $\{x\in \mathbb {Q} \mid x<q\}$.

### Proprietà
#### Relazione d'ordine e completezza

L'insieme delle sezioni ha una relazione d'ordine data dall'inclusione che gli fornisce la struttura di insieme totalmente ordinato. È anche evidente che questo ordinamento è quello giusto: riproduce quello già esistente sui razionali aggiungendovi inoltre l'importante proprietà di completezza o continuità, espressa dall'assioma di Dedekind: ogni insieme non vuoto e limitato ha un estremo superiore. Questa proprietà è equivalente a richiedere che i reali siano uno spazio metrico completo con la distanza usualmente definita.

#### Addizione

L'addizione fra numeri reali è definita nel modo seguente. Dati due sezioni $A$ e $B$, la somma $A+B$ è la sezione
    $A+B=\{a+b\ |\ a\in A,b\in B\}$
Una volta verificato che la definizione data produce una sezione, i numeri reali, con questa operazione, sono un gruppo commutativo, con elemento neutro $X_{0}=\{x<0\}$.

#### Moltiplicazione

La costruzione della moltiplicazione è leggermente più macchinosa per via dei segni. Si definisce su tutti i reali positivi nel modo seguente:
    $A\times B=\{ab\ |\ a\in A,a>0,b\in B,b>0\}\cup \{a\in \mathbb {Q} \ |\ a<0\}$
e si estende ai numeri negativi usando la regola del segno. Anche in questo caso è facile dimostrare che gli insiemi prodotti sono sezioni.
L'insieme $\mathbb {R}$ munito delle operazioni di somma e prodotto è un campo. Con l'ordinamento dato, questo è anche un campo archimedeo completo. Il sottoinsieme $\{X_{q}\ |\ q\in \mathbb {Q} \}$ è un sottocampo, naturalmente isomorfo a $\mathbb {Q}$.

## Costruzione tramite successioni di Cauchy

Questa costruzione è più complessa, ma offre due vantaggi: la definizione delle operazioni di somma e prodotto è immediata, e la costruzione può essere generalizzata per fornire un procedimento generale per il completamento degli spazi metrici.

### Costruzione

L'idea di Cantor è motivata dal fatto che ogni numero reale è ottenibile come limite di una successione di Cauchy di numeri razionali, ovvero di una successione $(u_{n})$ di razionali tale che:
$\forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} \;\forall m,n>N\quad |u_{m}-u_{n}|<\varepsilon \;$
Sia ${\mathcal {C}}$ l'insieme di tutte le successioni di Cauchy di numeri razionali. È evidente che (infinite) successioni distinte possono convergere allo stesso limite.
Si procede allora considerando equivalenti due successioni di Cauchy $(u_{n})$ e $(v_{n})$ che esibiscono la seguente proprietà:
$(u_{n})\sim (v_{n})\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }u_{n}-v_{n}=0$
Nel caso di successioni convergenti questo è equivalente a dire che "convergono allo stesso limite".
Che si tratti poi di una relazione di equivalenza è molto semplice da provare.
Si definisce allora l'insieme $\mathbb {R}$ dei numeri reali come l'insieme quoziente di ${\mathcal {C}}$ rispetto alla relazione di equivalenza così definita.

### Proprietà
#### Relazione d'ordine e completezza

Due numeri reali $u$ e $v$ sono in relazione $u\leqslant v$ se e solo se esistono due successioni di Cauchy $(u_{n}),(v_{n})$ che li definiscono tali che $u_{n}\leqslant v_{n}$ per ogni $n$. Con questa relazione d'ordine, i numeri reali sono un insieme totalmente ordinato.

#### Somma e prodotto

Somma e prodotto vengono definiti termine a termine nelle successioni. Se $(u_{n})$ e $(v_{n})$ sono due successioni di Cauchy, si definisce cioè
    $(u+v)_{n}=u_{n}+v_{n}$
    $(u\cdot v)_{n}=u_{n}\cdot v_{n}$
Con queste due operazioni i numeri reali risultano essere un campo.

#### Completezza

La completezza può essere inferita quale conseguenza dell'Assioma di Dedekind. Può anche essere dimostrata, partendo dalla definizione, mostrando che ogni successione di Cauchy di numeri reali è convergente. Questa dimostrazione si presta ad essere generalizzata agli spazi metrici qualsiasi.
Anche in questa costruzione è evidente in $\mathbb {R}$ la presenza di una copia isomorfa di $\mathbb {Q}$: l'insieme $\{X_{q}\mid q\in \mathbb {Q} \}$, dove indichiamo con $X_{q}$ il segmento iniziale $\{x\in \mathbb {Q} \mid x<q\}$.

### Completamento

L'operazione appena descritta consiste nell'aggiungere ad uno spazio metrico $\mathbb {Q}$ ulteriori punti, determinati da tutte le possibili successioni di Cauchy. Questa operazione può essere definita per ogni spazio metrico $X$ ed è chiamata completamento. Il risultato è uno spazio completo $X'$ che contiene (una copia isomorfa di) $X$. In particolare, i numeri reali formano uno spazio completo (per i reali ciò è equivalente all'assioma di Dedekind).