# Numero p-adico

Il sistema dei numeri $p$-adici è stato descritto per la prima volta da Kurt Hensel nel 1897. Per ogni numero primo $p$, il sistema dei numeri $p$-adici estende l'aritmetica dei numeri razionali in modo differente rispetto all'estensione verso i numeri reali e complessi. L'uso principale di questo strumento viene fatto nella teoria dei numeri.
L'estensione è ottenuta da un'interpretazione alternativa del concetto di valore assoluto. Il motivo della creazione dei numeri $p$-adici era il tentativo di introdurre il concetto e le tecniche delle serie di potenze nel campo della teoria dei numeri. Attualmente il loro utilizzo va oltre, per esempio l'analisi dei $p$-adici rappresenta una forma alternativa di calcolo differenziale.
Più concretamente per un dato numero primo $p$, il campo $\mathbb {Q} _{p}$ dei numeri $p$-adici è un'estensione dei numeri razionali. Se tutti i campi $\mathbb {Q} _{p}$ vengono considerati collettivamente, arriviamo al principio locale-globale di Helmut Hasse, il quale a grandi linee afferma che certe equazioni possono essere risolte nell'insieme dei numeri razionali se e solo se possono essere risolte negli insiemi dei numeri reali e dei numeri $p$-adici per ogni $p$. Il campo $\mathbb {Q} _{p}$ possiede una topologia indotta da una metrica, che è, a sua volta, indotta da una norma alternativa sui numeri razionali. Questa metrica è completa, nel senso che ogni serie di Cauchy converge.
Nel campo delle curve ellittiche, i numeri $p$-adici sono conosciuti come numeri $\ell$-adici, a causa dei lavori di Jean-Pierre Serre. Il numero primo $p$ è spesso riservato per l'aritmetica modulare di queste curve.

## Motivazioni

L'introduzione più semplice ai numeri $p$-adici è considerare i numeri $10$-adici, che sono gli interi con un infinito numero di cifre a sinistra. Si prenda per esempio il numero $\ldots 9999$, dove i puntini a sinistra indicano un numero infinito di cifre "$9$", e si eseguano su di esso delle operazioni aritmetiche. Eseguendo la semplice operazione di sommare il numero $1$ (che in formato $p$-adico è $\ldots 0001$), otteniamo:
${\frac {\;\;\;\ldots 9999 \atop +\ldots 0001}{\ldots 0000}}$
come si può facilmente vedere lavorando da destra a sinistra e riportando sempre un $1$. Per i numeri $10$-adici si ha quindi che $\ldots 9999=-1$. Ne segue che gli interi negativi possono essere rappresentati come una serie di cifre, dove quelle a sinistra sono $9$. Gli avvezzi all'informatica avranno notato che questa "tecnica" è del tutto analoga alla notazione complemento a due, nella quale i numeri negativi sono scritti con una serie di $1$ a sinistra; nei $2$-adici avviene esattamente la stessa cosa. In generale, si avrà la cifra $p-1$ per i numeri $p$-adici.

## Costruzione
### Approccio analitico

L'approccio analitico consiste nel considerare all'interno di $\mathbb {Q}$ non la norma euclidea, ma appunto la norma p-adica definita da:
    $||x||_{p}={\frac {1}{p^{n}}},$
dove $n\in \mathbb {Z}$ e $x\in \mathbb {Q}$ è scritto in forma irriducibile, cioè tale che $x=p^{n}{\frac {a}{b}}$, con $a$ e $b$ interi tali che $p\nmid a$ e $p\nmid b$.
Questa norma induce di conseguenza una distanza e quindi si può parlare di convergenza di successioni.
In questo modo i numeri $p$-adici $\mathbb {Q} _{p}$ vengono definiti come il completamento secondo Cauchy di $\mathbb {Q}$ con la norma $p$-adica. I numeri $p$-adici di norma minore o uguale a $1$ sono detti interi $p$-adici e l'insieme di tutti gli interi $p$-adici, in genere indicato con $\mathbb {Z} _{p}$, forma un sottoanello di $\mathbb {Q} _{p}.$
Viene definita anche la valutazione $p$-adica come la valutazione:
    $v_{p}(a)=\log _{\frac {1}{p}}||a||_{p}.$

### Approccio algebrico

L'approccio algebrico consiste nel considerare $\mathbb {Q} _{p}$ come il campo delle frazioni di $\mathbb {Z} _{p}$, che a sua volta è il limite proiettivo di $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$.
La caratteristica di $\mathbb {Q} _{p}$ è $0$ ed infatti il suo sottocampo fondamentale è $\mathbb {Q}$, e che $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} _{p}$ si vede immediatamente dalla costruzione analitica.

## Rappresentazione

Un modo comune di rappresentare un numero $p$-adico $a\in \mathbb {Q} _{p}$ è il seguente:
    $a=\sum _{i=n}^{\infty }a_{i}p^{i},$
con $a_{n}\neq 0$, dove $n\in \mathbb {Z}$ non è altro che la valutazione $p$-adica $v_{p}(a)$ e $0\leq a_{i}\leq p-1$ per ogni $i$.
La convergenza di questa serie è garantita dal fatto che con la norma $p$-adica
    $\lim _{m\rightarrow +\infty }\sum _{i=m}^{\infty }a_{i}p^{i}=0.$
A volte viene utilizzata anche la seguente rappresentazione: $a=(a_{-k}a_{-k+1}\dots a_{0},a_{1}\dots a_{n}\dots )$ dove gli $a_{i}$ sono i coefficienti della serie precedentemente considerata. Da notare la virgola presente dopo $a_{0}$, i numeri precedenti alla virgola sono in numero finito, mentre quelli successivi in numero infinito, eventualmente si possono ripetere da un certo punto in poi in modo periodico.