# Teorema della convergenza monotona

In matematica, per teorema della convergenza monotona si identificano diversi teoremi relativi alla convergenza di successioni o serie.

## Successioni di numeri reali

Nel caso di successioni di numeri, il teorema della convergenza monotona afferma che se $\{s_{n}\}$ è una successione monotona di numeri reali, allora la successione converge se e solo se è limitata.
La dimostrazione del fatto che se una successione monotona converge allora essa è limitata, viene dal fatto che ogni successione convergente è limitata (i dettagli della dimostrazione sono indicati qui).
L'implicazione inversa, cioè che se una successione monotona è limitata allora essa converge, si dimostra nel modo seguente: prendiamo una successione monotona crescente (nel caso di successioni decrescenti la dimostrazione è analoga) e chiamiamo $I$ l'immagine della successione $\{s_{n}\}$ . La limitatezza fa sì che esista finito un elemento
    $s=\sup I$
tale che per ogni elemento della successione vale $s_{n}\leq s$. Scelto un $\varepsilon >0$ arbitrario, esiste un indice $N>0$ tale che
    $s-\varepsilon <s_{N}\leq s$
perché $s-\varepsilon$ non è maggiorante di $I$. Se quindi scegliamo un indice $n\geq N$, la monotonia della successione implica $s_{n}\geq s_{N}$ e quindi vale
    $s-\varepsilon <s_{n}\leq s.$
Dall'arbitrarietà di $\varepsilon$ segue la convergenza di $\{s_{n}\}$ a $s$.

## Serie di numeri

Nel caso di serie di numeri, il teorema della convergenza monotona afferma che se per ogni coppia di numeri naturali j e k il numero $a_{j,k}$ è reale e non negativo e $a_{j,k}\leq a_{j+1,k}$, allora:
    $\lim _{j\to \infty }\sum _{k}a_{j,k}=\sum _{k}\lim _{j\to \infty }a_{j,k}$

## Successioni di funzioni

Nel caso di successioni di funzioni, il teorema della convergenza monotona, anche detto teorema di Beppo Levi, afferma che se $(X,\Sigma ,\mu )$ è uno spazio di misura e $\{f_{n}\}$ una successione di funzioni misurabili su $\Sigma$ tale che:
    $0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \dots \leq \infty \quad \forall x\in X$
    $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)\quad \forall x\in X$
allora $f$ è misurabile in $\Sigma$ e:
    $\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu =\int _{X}fd\mu \$
dove l'integrale è di Lebesgue. Si noti che il valore di ogni integrale può essere infinito.

### Dimostrazione

Sia $\{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ una successione non decrescente di funzioni misurabili non negative e si ponga:
    $f=\sup _{k\in \mathbb {N} }f_{k}$
Per la proprietà di monotonìa dell'integrale, è immediato vedere che:
    $\int fd\mu \geq \lim _{k}\int f_{k}d\mu$
Si vuole provare la diseguaglianza nell'altra direzione, cioè:
    $\int fd\mu \leq \lim _{k}\int f_{k}d\mu$
Dalla definizione di integrale segue che esiste una successione non decrescente $g_{n}$ di funzioni semplici non negative che convergono puntualmente a $f$ quasi ovunque e tali che:
    $\lim _{k}\int g_{k}d\mu =\int fd\mu$
Perciò basta provare che per ogni $k\in \mathbb {N}$ si ha:
    $\int g_{k}d\mu \leq \lim _{j}\int f_{j}d\mu$
Si vuole provare che se $g$ è una funzione semplice e:
    $\lim _{j}f_{j}(x)\geq g(x)$
quasi ovunque, allora:
    $\lim _{j}\int f_{j}d\mu \geq \int gd\mu$
Spezzando la funzione $g$ nelle sue parti a valori costanti, questo si riduce al caso in cui $g$ è la funzione indicatrice di un insieme. Il risultato che si vuole provare è il seguente. Si supponga che $A$ sia un insieme misurabile e $\{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ sia una successione non descrescente di funzioni misurabili su $A$ tali che:
    $\lim _{n}f_{n}(x)\geq 1$
per quasi tutti gli $x\in A$. Allora:
    $\lim _{n}\int f_{n}d\mu \geq \mu (A)$
Per provare questo risultato si fissi ε > 0 e si definisca la successione di insiemi misurabili:
    $B_{n}=\{x\in A:f_{n}(x)\geq 1-\varepsilon \}$
Per la monotonìa dell'integrale, segue che per ogni $n\in \mathbb {N}$ si ha:
    $\mu (B_{n})(1-\varepsilon )=\int (1-\varepsilon )1_{B_{n}}d\mu \leq \int f_{n}d\mu$
Per ipotesi:
    $\bigcup _{i}B_{i}=A$
a meno di un insieme di misura 0. Quindi per l'addittività numerabile di $\mu$ :
    $\mu (A)=\lim _{n}\mu (B_{n})\leq \lim _{n}(1-\varepsilon )^{-1}\int f_{n}d\mu$
Poiché questo è vero per ogni ε positivo, segue la tesi.