# Integrale di Gauss

L'integrale di Gauss è un integrale definito, calcolato per la prima volta da Gauss. È alla base della distribuzione normale (detta pure gaussiana), mattone fondamentale della teoria della probabilità. La funzione integranda, normalizzata affinché l'area dell'integrale da $-\infty$ a $+\infty$ sia $1$, è detta anche funzione gaussiana.
La forma solitamente usata per l'integrale di Gauss è:
    $\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }},$
o l'equivalente
    $\int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}.$
Una generalizzazione per una generica funzione gaussiana è:
    $\int _{-\infty }^{+\infty }a\,e^{-bx^{2}+cx+d}\,dx=a\,{\sqrt {\frac {\pi }{b}}}\,\exp \left({\frac {c^{2}}{4b}}+d\right),$
dove $b$ è reale e positivo.
Nel caso in cui l'esponente presenti numeri immaginari:
    $\int _{-\infty }^{+\infty }\,e^{ibx^{2}}\,dx=e^{i\mathrm {segno} (b){\frac {\pi }{4}}}\,{\sqrt {\frac {\pi }{|b|}}}={\sqrt {\frac {i\pi }{b}}}.$
Per una funzione a più variabili, dove $A$ è una matrice $n\times n$ simmetrica definita positiva (quindi invertibile), si ha:
    $\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}},$
dove l'integrazione è effettuata su $\mathbb {R} ^{n}$.

## Calcolo dell'integrale

L'integrale indefinito$\int {e^{-x^{2}}}\,dx$ non è esprimibile in termini di funzioni elementari; di conseguenza, anche nel caso di integrale definito è impossibile usare la primitiva di $f(x)=e^{-x^{2}}$ per calcolare la differenza tra i due estremi ed ottenere il valore cercato. Tuttavia esistono alcuni metodi che permettono di aggirare il calcolo esplicito della primitiva.

### Coordinate polari nel piano

Consideriamo l'integrale:
    $I_{1}=\int _{\mathbb {R} }e^{-x^{2}}\,dx=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx.$
Consideriamo ora l'integrale:
    ${\begin{aligned}I_{2}&=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy.\end{aligned}}$
Osserviamo che, posto $f(x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})}$, possiamo scrivere: $f(x,y)=g(x)h(y)=(e^{-x^{2}})(e^{-y^{2}})$, in virtù di ciò segue:
    ${\begin{aligned}I_{2}&=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy\\&=\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}}\,dy\right)\\&=I_{1}^{2}\end{aligned}}$
Essendo l'esponenziale una funzione sempre positiva, sarà sufficiente calcolare il valore dell'integrale doppio esteso ad $\mathbb {R} ^{2}$, che è un integrale generalizzato, e poi estrarre la radice quadrata del risultato.
Calcoliamo dunque:
    $\iint _{C}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy,$
dove C={(x, y)∈R$^2$:x$^2$+y$^2$≤R$^2$}{\textstyle C=\{(x, y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq R^{2}\}} con $R>0.$
Passando ad un sistema di coordinate polari nel piano:
    $\varphi ={\begin{cases}x=\rho \cos \theta \\y=\rho \operatorname {sen} \theta \end{cases}}\qquad |J_{\varphi }|={\Biggl |}{\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\theta )}}{\Biggl |}=\rho$
    $Q=\varphi ^{-1}(C)=\{(\rho ,\theta )\in \mathbb {R^{2}} :0\leq \rho \leq R,\,0\leq \theta \leq 2\pi \}$
dunque:
    ${\begin{aligned}\iint _{C}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy&=\iint _{Q}e^{-\rho ^{2}}\rho \,d\rho \,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{R}\rho e^{-\rho ^{2}}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{R}\rho e^{-\rho ^{2}}\,d\rho \,=\,\pi {\biggl-e^{-\rho ^{2}}{\biggl ]}_{0}^{R}\\&=\pi {\biggl1-e^{-R^{2}}{\biggl )}.\end{aligned}}$
Quindi
    $I_{1}^{2}=I_{2}=\lim _{R\to +\infty }\iint _{C}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy=\lim _{R\to +\infty }\pi {\biggl1-e^{-R^{2}}{\biggl )}=\pi ,$
e quindi
    $I_{1}=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$

## Un altro integrale gaussiano

Vediamo come ottenere la formula risolutiva per un integrale del tipo:
    $I=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-\alpha x^{2}+\beta x}dx,$
con $\alpha >0.$ Riscriviamo il termine all'esponenziale come il termine di un quadrato:
    $-\alpha x^{2}+\beta x=-\left({\sqrt {\alpha }}x-{\frac {\beta }{2{\sqrt {\alpha }}}}\right)^{2}+{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}.$
Sostituendo si ha:
    $I=\int _{-\infty }^{+\infty }\exp \left({\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}-\left({\sqrt {\alpha }}x-{\frac {\beta }{2{\sqrt {\alpha }}}}\right)^{2}\right)dx.$
Poiché il primo membro dell'esponenziale non dipende da $x$, può essere portato fuori, in tal modo:
    $I=e^{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-({\sqrt {\alpha }}x-{\frac {\beta }{2{\sqrt {\alpha }}}})^{2}}dx.$
Effettuando il cambio di variabile
    $y={\sqrt {\alpha }}x-{\frac {\beta }{2{\sqrt {\alpha }}}},$
    $dy={\sqrt {\alpha }}dx\implies dx={\frac {dy}{\sqrt {\alpha }}}$
si ottiene
    $I=e^{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{-y^{2}}}{\sqrt {\alpha }}}dy,$
che è l'integrale gaussiano già calcolato alla sezione precedente e che dà
    $I={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}e^{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}.$