# Trasformazione lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una trasformazione lineare, detta anche applicazione lineare o mappa lineare, è una funzione lineare tra due spazi vettoriali sullo stesso campo, cioè una funzione che conserva le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per uno scalare. In altre parole, una trasformazione lineare preserva le combinazioni lineari. Nel linguaggio dell'algebra astratta, una trasformazione lineare è un omomorfismo di spazi vettoriali, in quanto conserva le operazioni che caratterizzano gli spazi vettoriali.
In analisi funzionale una trasformazione lineare è spesso detta operatore lineare. In tale contesto, particolare importanza rivestono gli operatori lineari continui tra spazi vettoriali topologici, come ad esempio spazi di Banach.

## Definizione

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sullo stesso campo $K.$ Una funzione $f\colon V\to W$ è una trasformazione lineare se soddisfa le seguenti proprietà:
* $f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} ),$
* $f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ),$
per ogni coppia di vettori $\mathbf {x}$ e $\mathbf {y}$ in $V$ e per ogni scalare $a$ in $K.$ La prima proprietà è detta additività, la seconda omogeneità di grado 1.
Equivalentemente, $f$ è lineare se "preserva le combinazioni lineari" (principio di sovrapposizione), ossia se:
    $f(a_{1}\mathbf {x} _{1}+\cdots +a_{m}\mathbf {x} _{m})=a_{1}f(\mathbf {x} _{1})+\cdots +a_{m}f(\mathbf {x} _{m}),$
per ogni intero positivo $m$ e ogni scelta dei vettori $\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{m}$ e degli scalari $a_{1},\ldots ,a_{m}.$
Se $f\colon V\to W$ è una applicazione lineare e $\mathbf {0} _{V}$ e $\mathbf {0} _{W}$ sono i vettori nulli di $V$ e $W$ rispettivamente, allora:
    $f(\mathbf {0} _{V})=f(\mathbf {0} _{V}+\mathbf {0} _{V})=f(\mathbf {0} _{V})+f(\mathbf {0} _{V}),$
e togliendo $f(\mathbf {0} _{V})$ da ambo i membri si ottiene
    $\mathbf {0} _{W}=f(\mathbf {0} _{V}).$
Sostituendo allo zero una combinazione lineare di vettori linearmente dipendenti si dimostra che un'applicazione lineare iniettiva manda sottoinsiemi del dominio linearmente indipendenti in sottoinsiemi del codominio linearmente indipendenti.
Un'applicazione lineare è descritta completamente attraverso la sua azione sui vettori di una base qualsiasi del dominio. Poiché la scrittura di un vettore in una data base è unica, la linearità dell'applicazione determina l'unicità del vettore immagine.
Un'applicazione lineare biunivoca (o invertibile) è inoltre un isomorfismo tra spazi vettoriali.

## Esistenza e unicità dell'applicazione lineare

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali di dimensione finita. Sia $B_{V}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ una base di $V$ e siano $\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}$ vettori di $W.$ Allora esiste un'unica applicazione lineare da $V$ in $W$ tale che:
    $f(\mathbf {v} _{i})=\mathbf {w} _{i},\quad \forall \ i=1,\ldots ,n.$
Nel caso non si conosca la forma esplicita dell'applicazione è comunque possibile stabilirne l'esistenza e l'unicità attraverso la conoscenza dell'azione dell'applicazione su un insieme di vettori dati $\{{\mathbf {v} }_{i}\}$, dei quali si conosce quindi l'immagine. Se l'insieme di vettori è una base del dominio allora l'applicazione è univocamente determinata, mentre se i vettori dati non costituiscono una base ci sono due casi:
* I vettori di cui si conosce l'immagine sono linearmente indipendenti: in tal caso l'applicazione esiste ma non è unica.
* I vettori di cui si conosce l'immagine sono linearmente dipendenti: in tal caso uno o più vettori sono combinazione lineare dei restanti. Si ha:
    $\mathbf {v} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}.$
L'applicazione esiste (ma non è unica) se e solo se:
    $f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}f(\mathbf {v} _{i}).$

## Matrice associata

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali di dimensione finita. Scelte due basi $B_{V}$ e $B_{W}$ per $V$ e $W,$ ogni trasformazione lineare da $V$ a $W$ è rappresentabile come una matrice. Si ponga:
    $B_{V}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}),$
    $B_{W}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}).$
Ogni vettore $\mathbf {v}$ in $V$ è univocamente determinato dalle sue coordinate $c_{1},\ldots ,c_{n},$ definite in modo che:
    $\mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.$
Se $f\colon V\to W$ è una trasformazione lineare si ha:
    $f(\mathbf {v} )=f(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n})=c_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {v} _{n}).$
Quindi la funzione $f$ è determinata dai vettori $f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})$. Ciascuno di questi è scrivibile come:
    $f(\mathbf {v} _{j})=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.$
La funzione $f$ è dunque interamente determinata dai valori di $a_{i,j},$ che formano la matrice associata a $f$ nelle basi $B_{V}$ e $B_{W}.$
La matrice associata $A$ è di tipo $m\times n,$ e può essere usata agevolmente per calcolare l'immagine $f(\mathbf {v} )$ di ogni vettore di $V$ grazie alla relazione seguente:
    $A[\mathbf {v} ]_{B_{V}}=[\mathbf {w} ]_{B_{W}},$
dove $[\mathbf {v} ]_{B_{V}}$ e $[\mathbf {w} ]_{B_{W}}$ sono le coordinate di $\mathbf {v}$ e $\mathbf {w}$ nelle rispettive basi.
Si nota che la scelta delle basi è essenziale: la stessa matrice, usata su basi diverse, può rappresentare applicazioni lineari diverse.

## Struttura di spazio vettoriale

L'insieme $\mathrm {Hom} (V,W)$ delle applicazioni lineari da $V$ in $W$ è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale sul campo $K$ formato da tutte le funzioni da $V$ in $W,$ infatti:
* se $f\colon V\to W$ e $g\colon V\to W$ sono lineari, allora è lineare la loro somma $f+g,$ definita dalla relazione
    $(f+g)(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} )+g(\mathbf {v} );$
* se $f\colon V\to W$ è lineare e $a$ è un elemento del campo $K,$ allora la funzione $af,$ definita da $(af)(\mathbf {v} )=a(f(\mathbf {v} )),$ è anch'essa lineare.
Nel caso finito-dimensionale, dopo aver fissato delle basi, le operazioni di somma e prodotto di una funzione per uno scalare di applicazioni lineari corrispondono rispettivamente a somma di matrici e moltiplicazione di matrici per uno scalare. Le basi definiscono quindi un isomorfismo $\mathrm {Hom} (V,W)\to M(n,m)$ tra gli spazi vettoriali delle applicazioni lineari e delle matrici $n\times m,$ dove $m$ e $n$ sono le dimensioni rispettivamente di $V$ e $W.$

## Nucleo e immagine

Se $f\colon V\to W$ è lineare, il nucleo di $f$ è l'insieme:
    $\mathrm {Ker} (f)=\{\mathbf {x} \in V:f(\mathbf {x} )=0\},$
mentre l'immagine di $f$ è l'insieme:
    $\operatorname {Im} (f)=\{f(\mathbf {x} )\in W:\mathbf {x} \in V\}.$
L'insieme $\mathrm {Ker} (f)$ è un sottospazio di $V$, mentre $\operatorname {Im} (f)$ è un sottospazio di $W$. Se $V$ e $W$ hanno dimensione finita, il teorema della dimensione asserisce che:
    $\dim(\mathrm {Ker} (f))+\dim(\operatorname {Im} (f))=\dim(V).$
Questo teorema fornisce un criterio necessario e sufficiente al fine di stabilire l'esistenza di una trasformazione lineare.

## Endomorfismi e automorfismi

Una trasformazione lineare $f\colon V\to V$ è un endomorfismo di $V.$ L'insieme di tutti gli endomorfismi ${\text{End}}(V)$ insieme a addizione, composizione e moltiplicazione per uno scalare come descritti sopra formano un'algebra associativa con unità sul campo $K$: in particolare formano un anello e uno spazio vettoriale su $K.$ L'elemento identità di questa algebra è la trasformazione identità di $V.$
Un endomorfismo biiettivo di $V$ viene chiamato automorfismo di $V.$ La composizione di due automorfismi è di nuovo un automorfismo, e l'insieme di tutti gli automorfismi di $V$ forma un gruppo, il gruppo generale lineare di $V,$ chiamato $\mathrm {Aut} (V)$ o $\mathrm {GL} (V).$
Se la dimensione di $V$ è finita basterà che $f$ sia iniettiva per poter affermare che sia anche suriettiva (per il teorema della dimensione). Inoltre l'isomorfismo
    ${\textrm {End}}(V)\to M(n)$
fra gli endomorfismi e le matrici quadrate $n\times n$ descritto sopra è un isomorfismo di algebre. Il gruppo degli automorfismi di $V$ è isomorfo al gruppo lineare generale $\mathrm {GL} (n,K)$ di tutte le matrici $n\times n$ invertibili a valori in $K.$

## Pull-Back di funzioni ed applicazione trasposta

Siano $A,$ $B$ e $C$ insiemi e siano $F(A,C)$ e $F(B,C)$ le famiglie di funzioni da $A$ in $C$ e da $B$ in $C$ rispettivamente. Ogni $\phi \colon A\to B$ determina univocamente una corrispondenza $\phi ^{*}\colon F(B,C)\to F(A,C)$ chiamata pull-back tramite $\phi ,$ che manda $F$ in $F\circ \phi .$
Se nello specifico si considerano $A=V$ e $B=W$ due spazi vettoriali su un campo $K=C$ e anziché prendere interamente $F(V,K)$ e $F(W,K)$ si considerano gli spazi duali $V^{*}$ e $W^{*}$ si ha che ad ogni trasformazione lineare $\phi \colon V\to W$ si può associare l'opportuna restrizione del pull-back tramite $\phi$, ovvero la funzione $\phi ^{*}\colon W^{*}\to V^{*}$ che prende il nome di trasposta di $\phi .$
Segue direttamente da come sono definite le operazioni in $V^{*}$ e $W^{*}$ che $\phi ^{*}$ è a sua volta lineare. Con un semplice calcolo si vede che fissate delle basi per $V$ e $W$ e le rispettive duali in $V^{*}$ e $W^{*},$ la matrice di trasformazione associata a $\phi ^{*}$ è la trasposta di quella di $\phi .$
Segue dalla definizione che un funzionale $\lambda \in W^{*}$ viene mandato in zero da $\phi ^{*}$ solo se l'immagine di $\phi$ è contenuta nel nucleo di $\lambda$ cioè, indicando con $U^{\perp }$ il sottospazio dei funzionali che annullano $U\subset W$, si ha $\mathrm {Ker} (\phi ^{*})\subseteq (\Im \phi )^{\perp }$. Inoltre dalla stessa definizione si deduce che un funzionale $\mu \in V^{*}$ è immagine di un funzionale $\eta \in W^{*}$ (vale a dire $\mu =\phi ^{*}(\eta )$ solo se $\eta$ annulla il nucleo di $\phi$, ossia $\Im (\phi ^{*})\subseteq (\mathrm {Ker} \phi )^{\perp }$ . Nel caso in cui $V$ e $W$ siano di dimensione finita si deduce dal teorema della dimensione e dalle relazioni $\dim ~V=\mathrm {Ker} \phi +(\mathrm {Ker} \phi )^{\perp }$ e $\dim ~W^{*}=\dim ~W=\Im \phi +(\Im \phi )^{\perp }$ che le due inclusioni precedenti sono a tutti gli effetti uguaglianze.

## Esempi

* La moltiplicazione $f(v)=av,$ in qualsiasi spazio vettoriale su $K,$ per una costante fissata $a\in K.$
* Una rotazione del piano euclideo rispetto all'origine di un angolo fissato.
* Una riflessione del piano euclideo rispetto ad una retta passante per l'origine.
* La proiezione di uno spazio vettoriale $V$ decomposto in somma diretta: su uno dei due sottospazi $U$ o $W.$
    $V=U\oplus W$
* Una matrice $A$ di tipo $m\times n$ con valori reali definisce una trasformazione lineare: dove $Av$ è il prodotto di $A$ e $v.$ Ogni trasformazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita è essenzialmente di questo tipo: si veda la sezione seguente.
    $L_{A}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\qquad L_{A}(v)=Av,$
* L'integrale di una funzione reale su un intervallo definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale delle funzioni continue definite sull'intervallo nello spazio vettoriale $\mathbb {R} .$
* La derivata definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale di tutte le funzioni derivabili in qualche intervallo aperto di $\mathbb {R}$ nello spazio di tutte le funzioni.
* Lo spazio $\mathbb {C}$ dei numeri complessi ha una struttura di spazio vettoriale complesso di dimensione 1, e anche di spazio vettoriale reale di dimensione 2. La coniugazione è una mappa $\mathbb {R}$-lineare ma non $\mathbb {C}$-lineare: infatti la proprietà di omogeneità vale solo per scalari reali.
    $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\qquad f(z)={\bar {z}}$