# Modello di dispersione esponenziale

Le famiglie di dispersione esponenziale sono un insieme di modelli parametrici, appartenenti a una classe più ampia, esprimibile tramite una funzione di distribuzione ascrivibile a
$p(y|\theta ,\phi )=\exp {\left\{{\frac {\theta y-b(\theta )}{a(\phi )}}+c(y,\phi )\right\}}$
in cui $y\in {\mathcal {S}}\subseteq \mathbb {R}$, $\theta \in \Theta \subseteq \mathbb {R}$, $\phi >0$, $a(\phi )>0$. Il parametro $\theta$ è detto "parametro naturale", mentre $\phi$ è detto "parametro di dispersione". Spesso $a(\phi )=\phi$ oppure $a(\phi )=\phi /w$, con $w$ costante nota. Inoltre, per alcuni importanti modelli, come Poisson, esponenziale e Bernoulli, $\phi =1$, dunque sono parametrizzate solo da $\theta$.
Esiste anche una versione vettoriale, che si applica per risposte $\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{k}$ multivariate, ovvero
$p(\mathbf {y} |{\boldsymbol {\theta }},\phi )=\exp {\left\{{\frac {{\boldsymbol {\theta }}^{T}\mathbf {y} -b({\boldsymbol {\theta }})}{a(\phi )}}+c(\mathbf {y} ,\phi )\right\}}$
in cui $\phi$ è ancora una grandezza scalare.
La trattazione delle famiglie di dispersione esponenziale nella forma sopra specificata risulta particolarmente funzionale alle analisi di regressione e allo studio dei modelli lineari generalizzati.

## Media, varianza e cumulanti di ordine superiore

Definendo la funzione generatrice dei cumulanti $K_{Y}(t|\theta ,\phi )$ come il logaritmo della funzione generatrice dei momenti $M_{Y}(t|\theta ,\phi )=\mathbb {E} [e^{tY}]$, si ottiene
${\begin{array}{l}M_{Y}(t|\theta ,\phi )=\mathbb {E} [e^{tY}]=\int _{\mathcal {S}}e^{ty}p(y|\theta ,\phi )dy=\exp \left\{{\frac {b(\theta +t\cdot a(\phi ))-b(\theta )}{a(\phi )}}\right\}\\[12pt]K_{Y}(t|\theta ,\phi )=\log M_{Y}(t|\theta ,\phi )={\frac {b(\theta +t\cdot a(\phi ))-b(\theta )}{a(\phi )}}\end{array}}$
da cui si possono ricavare i generici cumulanti di ordine $r$ derivando $r$ volte $K_{Y}$ in $t=0$, risulta pertanto
$\kappa _{r}(Y)=\left.{\frac {\partial ^{r}K_{Y}(t|\theta ,\phi )}{\partial t^{r}}}\right|_{t=0}=a(\phi )^{r-1}b^{(r)}(\theta )$
dove $b^{(r)}$ denota la derivata $r$-esima di $b$, $r=1,2,3,\dots$ .
A partire da questo risultato è facile ottenere le espressioni per media e varianza della variabile $Y$:
${\begin{array}{l}\mathbb {E} [Y]=\kappa _{1}(Y)=b'(\theta )\\[10pt]{\text{Var}}(Y)=\kappa _{2}(Y)=a(\phi )b''(\theta )\end{array}}$
e poiché $\mathrm {Var} (Y)>0$ e $a(\phi )>0$ consegue che $b''(\theta )>0$, vale a dire che $b(\theta )$ è una funzione convessa e $b'(\theta )=\mu (\theta )=\mathbb {E} [Y]$ è una funzione strettamente crescente, con dominio $\Theta$ e codominio lo spazio delle medie ${\mathcal {M}}$, dunque anche biiettiva, con inversa $\theta (\mu )$.
I cumulanti di ordine 3 e 4 danno rispettivamente una misura di asimmetria e curtosi.

### Funzione di varianza

Si è visto $\mathrm {Var} (Y)$ esprimibile come funzione di $\phi$ e di $\theta$, ma poiché $\theta$ è in relazione biunivoca con $\mu$, è possibile scrivere
$\mathrm {Var} (Y)=a(\phi )b''(\theta )=a(\phi )v(\mu )$
in cui $v(\mu )$ viene denominata "funzione di varianza". La funzione di varianza caratterizza, assieme ad $a(\phi )$, una precisa famiglia di dispersione esponenziale. Ad esempio solo 6 famiglie della classe DE hanno funzione di varianza al più quadratica ($v(\mu )=\alpha +\beta \mu +\gamma \mu ^{2}$).

### Parametrizzazione con media e funzione di varianza

Per le ragioni presentate precedentemente si può pensare di esprimere l'intera distribuzione come espressione di media $\mu$ e varianza $\sigma ^{2}=a(\phi )v(\mu )$ e a tal fine introdurre una notazione compatta $Y\sim DE(\mu ,a(\phi )v(\mu ))$, con $\mu \in {\mathcal {M}},\ \phi >0,\ a(\phi )>0$.

## Principali famiglie di dispersione esponenziale

La classe delle famiglie di dispersione esponenziale, come visto, è in grado di racchiudere sia distribuzioni continue, che discrete. La tabella sottostante riassume i principali modelli che ne fanno parte, le loro caratteristiche e le relazioni tra i parametri tradizionali e quelli della dispersione esponenziale.
| Distribuzioni continue | Distribuzioni continue | ${\mathcal {S}}$ | $\theta$ | $\Theta$ | $b(\theta )$ | $\phi$ | $a(\phi )$ | ${\mathcal {M}}$ | $v(\mu )$ |
| Distribuzione normale | ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ | $\mathbb {R}$ | $\mu$ | $\mathbb {R}$ | $\theta ^{2}/2$ | $\sigma ^{2}$ | $\sigma ^{2}$ | $\mathbb {R}$ | $1$ |
| Distribuzione gamma | $Ga\left(\alpha ,{\frac {\alpha }{\mu }}\right)$ | $[0,+\infty )$ | $-1/\mu$ | $(-\infty ,0)$ | $-\ln(-\theta ))$ | $1/\alpha$ | $1/\alpha$ | $(0,+\infty )$ | $\mu ^{2}$ |
| Distribuzioni discrete | Distribuzioni discrete | | | | | | | | |
| Distribuzione binomiale (riscalata) | ${\frac {1}{m}}Bi(m,\mu )$ | $\left\{0,{\frac {1}{m}},{\frac {2}{m}},\dots ,1\right\}$ | $\ln \left({\frac {\mu }{1-\mu }}\right)$ | $\mathbb {R}$ | $\ln(1+\exp(\theta ))$ | $1$ | $1/m$ | $(0,1)$ | $\mu (1-\mu )$ |
| Distribuzione di Poisson | $Po(\mu )$ | $\mathbb {N}$ | $\ln {\mu }$ | $\mathbb {R}$ | $\exp(\theta )$ | $1$ | $1$ | $(0,+\infty )$ | $\mu$ |
| Distribuzione binomiale negativa (riscalata) | ${\frac {1}{r}}Bineg\left(r,{\frac {1}{1+\mu }}\right)$ | $\mathbb {N}$ | $\ln \left({\frac {\mu }{1+\mu }}\right)$ | $(-\infty ,0)$ | $-\ln(1-\exp(\theta ))$ | $1$ | $1/r$ | $(0,+\infty )$ | $\mu (1+\mu )$ |
rientrano nella classe anche la distribuzione normale inversa e la distribuzione di Tweedie.