# Funzione di Thomae

La funzione di Thomae, da Carl Johannes Thomae, ha molti nomi, come la funzione popcorn, la funzione di Dirichlet modificata e la funzione Riemann. Questa funzione a valori reali è definita come
    $f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}},&{\text{se }}x={\tfrac {p}{q}}{\text{ razionale e ridotta ai minimi termini con }}p\in \mathbb {Z} {\text{ e }}q>0,\\1,&x=0,\\0,&{\text{se }}x{\text{ irrazionale.}}\end{cases}}$
È una variante della funzione di Dirichlet, che vale 1 sui razionali e 0 per gli altri valori.

## Discontinuità sui razionali

La funzione popcorn ha un insieme complicato di discontinuità: $f$ è continua su tutti i numeri irrazionali e discontinua su tutti i numeri razionali.
La verifica della discontinuità può essere fatta utilizzando la continuità sequenziale, posto $x_{\infty }={p \over q}\in \mathbb {Q}$ e $\xi \not \in \mathbb {Q}$, si costruisce la successione
    $x_{n}=\left\{x_{\infty }+{\xi \over n}\right\}.$
Essa è tale da verificare le due seguenti proprietà:
    $x_{n}\not \in \mathbb {Q} \;\forall n\in \mathbb {N} ,$
    $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x_{\infty }.$
E come si vede fornisce un esempio di successione che non rispetta la condizione di continuità sequenziale in quanto per essa si ha:
    $\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=\lim _{n\rightarrow \infty }0=0\not ={1 \over q}=f(x_{\infty }).$

## Continuità sugli irrazionali

Ricordiamo che, per definizione, una funzione è continua in un punto se:
    $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x:|x_{0}-x|<\delta \Rightarrow |f(x_{0})-f(x)|<\varepsilon .$
Sia dunque $x_{0}\not \in \mathbb {Q} ,$ non è difficile convincersi che la seguente definizione di intorno risolve il problema:
    $\delta :={1 \over 2}\inf \left\{|x-x_{0}|,x:f(x)\geq \varepsilon \right\}.$
Assegnati $\varepsilon$ e $x_{0}$, il numero reale $\delta$ può essere ottenuto esplicitamente nel seguente modo:
* Si definisce l'intero non negativo:
       ${\bar {\varepsilon }}:=\left\lfloor {1 \over \varepsilon }\right\rfloor ,$
    dove con il simbolo $\lfloor \cdot \rfloor$ si indica la funzione parte intera.
* Si definisce allora il seguente sottoinsieme sui razionali:
       $\mathbb {Q} (\varepsilon )=\left\{{p \over q}{\text{ con }}p,q\in \mathbb {N} {\text{ e tali che }}p\leq q\leq {\bar {\varepsilon }}\right\},$
    cioè l'insieme di tutte le frazioni minori di 1 con denominatore non più grande di ${\bar {\varepsilon }}$. Non è difficile dimostrare che tale insieme è finito.
* Si può quindi calcolare:
       $\delta :={1 \over 2}\min \left\{|x_{0}-\lfloor x_{0}\rfloor -x|,x\in \mathbb {Q} (\varepsilon )\right\},$
    che è lo stesso di quello definito precedentemente.

## Integrabilità

Contrariamente alla funzione indicatrice dei numeri razionali in $[0,1]$, la funzione di Thomae risulta Riemann-integrabile su tale intervallo e con integrale nullo. Preso infatti un numero naturale $n\geq 2$ e considerati i numeri razionali $\alpha ={\frac {p}{q}}\in [0,1]$ con $\gcd(p,q)=1$ e $q\leq n$, gli intervalli chiusi $I_{\alpha }$ centrati in $\alpha$ e aventi raggio ${\frac {4}{n^{2}}}$ ricoprono $\left[{\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}\right]$. Tali intervalli possono essere opportunamente ristretti in modo da produrre una partizione di $\left[{\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}\right]$ in intervalli di ampiezza $\leq {\frac {8}{n^{2}}}$, e la somma di Riemann superiore associata a tale partizione è limitata da
    ${\frac {8}{n^{2}}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {\varphi (m)}{m}}\leq {\frac {8}{n}}c,$
che è una quantità convergente a zero per $n\to +\infty$.

## Altro

Il grafico della funzione di Thomae presenta una dimensione frattale di 3/2.