# Spazio Lp

In matematica, e più precisamente in analisi funzionale, lo spazio $L^{p}$ è lo spazio delle funzioni a p-esima potenza sommabile. Si tratta di uno spazio funzionale i cui elementi sono particolari classi di funzioni misurabili.
Lo spazio delle successioni a p-esima potenza sommabile è inoltre detto spazio $l^{p}$. In particolare, lo spazio l$^2$ delle successioni a quadrato sommabile rappresenta un caso di notevole importanza.
Gli spazi $L^{p}$, con $1\leq p\leq \infty$, sono spazi di Banach. In particolare, $L^{2}$ è anche uno spazio di Hilbert.

## Definizione

Sia $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ uno spazio di misura e sia $1\leq p\leq \infty$. Sia inoltre $f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$ una funzione misurabile. Si distinguono i seguenti due casi.

### Caso p finito

Si definisce norma p-esima o norma $L^{p}$ di $f$ il numero
    $\|f\|_{p}=\left(\int _{X}|f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}.$
Valgono le seguenti due proprietà: l'omogeneità rispetto al prodotto per scalare,
    $\|\lambda f\|_{p}=|\lambda |\|f\|_{p},$
e la disuguaglianza triangolare,
    $\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}.$
Lo spazio $L^{p}(X,{\mathfrak {M}},\mu )=\{f:X\longrightarrow \mathbb {R} {\text{ misurabili}}:\Vert f\Vert _{p}<\infty \}$ delle funzioni misurabili con norma $L^{p}$ finita, indicato anche come $L^{p}(X)$, $L^{p}(\mu )$ o solo $L^{p}$ risulta essere, per le suddette proprietà della norma $\Vert \cdot \Vert _{p}$, uno spazio vettoriale reale. Le funzioni in $L^{p}$ si dicono a p-esima potenza sommabile. In particolare, dalla disuguaglianza triangolare segue che la somma di due o più funzioni $p$-sommabili è ancora $p$-sommabile. A rigore, la norma $\Vert \cdot \Vert _{p}$ è una seminorma a causa della presenza di funzioni nulle quasi ovunque. Per rendere $\Vert \cdot \Vert _{p}$ una norma si definisce $f=g$ se $\Vert f-g\Vert _{p}=0$, cioè due funzioni sono equivalenti se sono uguali quasi ovunque. L'insieme quoziente rispetto a questa relazione d'equivalenza è ancora uno spazio vettoriale, su cui la seminorma risulta essere una norma a tutti gli effetti. Questo spazio normato è lo spazio $L^{p}$. Poiché tale norma risulta essere completa, esso è inoltre uno spazio di Banach.

### Caso p infinito

Se $f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$ è una funzione misurabile, allora definiamo la sua norma del sup essenziale o norma infinito
    $\|f\|_{\infty }=\inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C{\text{ quasi ovunque}}{\big \}},$
con la convenzione $\inf \emptyset =+\infty$. Se definiamo
    $L^{\infty }(X)=\{f:X\longrightarrow \mathbb {R} {\text{ misurabili}}:\Vert f\Vert _{\infty }<\infty \},$
e come sopra definiamo come equivalenti due funzioni quasi ovunque uguali, $\Vert \cdot \Vert _{\infty }$ è una norma su $L^{\infty }(X)$ che risulta essere uno spazio di Banach.
La norma infinito non va confusa con la norma uniforme, e per questo a volte si preferisce usare la notazione
    $\Vert f\Vert _{\infty }={\text{ess sup}}_{X}\,\vert f\vert .$
Tale ambiguità si giustifica osservando che se $f\in L^{\infty }$ allora esiste un insieme di misura nulla $E\subset X$ tale che
    ${\text{ess sup}}_{X}\,\vert f\vert ={\text{sup}}_{X\setminus E}\,\vert f\vert .$
Il nome di "norma infinito" deriva dal fatto che se $1\leq p<\infty$ e $f\in L^{p}\cap L^{\infty }$, allora
    $\Vert f\Vert _{\infty }=\lim _{p\rightarrow +\infty }\Vert f\Vert _{p}.$

### Generalizzazioni

Gli spazi $L^{p}$ possono essere definiti anche prendendo come insieme di valori il campo dei numeri complessi. In questo caso lo spazio $L^{p}$ può essere indicato con $L^{p}(X,\mathbb {C} )$. Una generalizzazione più accentuata considera funzioni a valori in un generico spazio di Banach $E$. In tal caso, la norma p-esima è definita come
    $\|f\|_{p}=\left(\int _{X}\|f(x)\|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}},$
dove l'integranda è la potenza p-esima della norma dello spazio $E$. Similmente, si generalizza la norma del sup essenziale.

## Lo spazio l$^p$

Consideriamo lo spazio di misura $(\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),\mu )$, con $\mu (A)=\#A$ la misura del conteggio. Si denota con $\ell ^{p}$ lo spazio $L^{p}$ associato a tale spazio di misura, ovvero l'insieme delle successioni $x=\{\xi _{n}\}$ tali che
    $\|x\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|\xi _{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty .$
Vi sono tre casi particolarmente importanti:
* $\ell ^{1}$ è lo spazio delle successioni la cui serie converge assolutamente;
* $\ell ^{2}$ è lo spazio delle successioni a quadrato sommabili;
* $\ell ^{\infty }$ è lo spazio delle successioni limitate.
Lo spazio $\ell ^{p}$ è uno spazio di Banach e, per $1\leq p<\infty$, separabile.

## Proprietà degli spazi L$^p$

Nel seguito si espongono le principali proprietà che caratterizzano gli spazi $L^{p}$.

### Il caso p=2

Nello spazio $L^{2}(X,\mathbb {C} )$ delle funzioni a quadrato sommabili, la norma è indotta dal prodotto interno:
    $\langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(x)}}g(x)dx$
e quindi $L^{2}$ è uno spazio di Hilbert. Il caso $p=2$ è molto particolare, dal momento che $L^{2}$ è l'unico spazio di Hilbert tra gli spazi $L^{p}$.

### Dualità

Se $1<p<\infty$ allora lo spazio duale continuo di $L^{p}$, definito come lo spazio di tutti i funzionali lineari continui, è isomorfo in modo naturale a $L^{q}$, dove $q$ è tale che:
    ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.$
Usando la notazione di Dirac, tale isomorfismo canonico associa a $f\in L^{q}$ il funzionale
    $\langle f\vert g\rangle =\int _{X}{\bar {f}}g\;{\mbox{d}}\mu .$
Poiché la relazione $1/p+1/q=1$ è simmetrica allora $L^{p}$ è uno spazio riflessivo: il duale continuo del duale continuo di $L^{p}$, detto spazio biduale, è isometrico a $L^{p}$.
Per $p=1$ il duale di $L^{1}$ è isomorfo a $L^{\infty }$ nel caso in cui $X$ sia uno spazio $\sigma$-finito. Non è valido il viceversa: il duale di $L^{\infty }$ è uno spazio vettoriale "più grande" di $L^{1}$ e per questo motivo $L^{1}$ non è riflessivo. Ad esempio, sia $f\mapsto \langle f\vert$ l'immersione canonica di $L^{1}(\mathbb {R} )$ nel duale di $L^{\infty }(\mathbb {R} )$. Osserviamo che l'applicazione $g\mapsto g(0)$, con $g\in L^{\infty }$, appartiene al duale continuo di $L^{\infty }$. Supponiamo, per assurdo, che esista una funzione $\delta \in L^{1}$ tale che $\langle \delta \vert g\rangle =g(0)$ per ogni $g\in L^{\infty }$. Notiamo che per ogni $n\geq 1$
    $\langle \delta \vert 1\rangle =\langle \delta \vert {\mathit {1}}_{(-1/n,1/n)}\rangle =1.$
Tuttavia, per il teorema della convergenza dominata
    $1=\lim _{n\rightarrow +\infty }\int _{\mathbb {R} }{\bar {\delta }}(x){\mathit {1}}_{(-1/n,1/n)}(x)dx=0.$
Si ottiene così un assurdo.
Il duale di $L^{\infty }(\mu )$ è uno spazio un po' più difficile da definire. Si dimostra che se $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ è uno spazio di misura allora il duale di $L^{\infty }(\mu )$ è isomorfo allo spazio di tutte le misure finitamente additive e assolutamente continue rispetto a $\mu$.

#### La disuguaglianza di Hölder

Siano $p>1$ e $p'>1$ due esponenti coniugati, ovvero due numeri reali tali che
    ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1.$
Se $p=1$ allora per convenzione $p'=\infty$. Se $f\in L^{p}$ e $g\in L^{p'}$ allora $fg\in L^{1}$ e
    $\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{p'}.$
Esplicitando la norma p-esima si ottiene la scrittura equivalente
    $\int _{X}fgd\mu \leq \left[\int _{X}f^{p}d\mu \right]^{1 \over p}\left[\int _{X}g^{p'}d\mu \right]^{1 \over {p'}}.$

### Separabilità

Rispetto alla misura di Lebesgue lo spazio $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$, con $1\leq p<\infty$, è separabile. Ad esempio, se ${\mathcal {B}}$ è una base numerabile di $\mathbb {R} ^{n}$ allora un suo sottoinsieme numerabile denso è costituito dall'insieme delle funzioni del tipo
    $s(x)=\sum _{j=i}^{n}a_{j}\chi _{B_{j}}(x)$
con $a_{j}\in \mathbb {Q}$ e $B_{j}\in {\mathcal {B}}$.
Lo spazio $L^{\infty }$ non è invece separabile in nessun caso se la cardinalità di $X$ è infinita.

## Relazioni di inclusione tra spazi L$^p$

Si può provare, sfruttando la disuguaglianza di Hölder, che se la misura di $X$ è finita allora al crescere di $p$ lo spazio $L^{p}$ "decresce", ovvero $L^{p}\supset L^{q}$ per ogni $p<q\leq \infty$. Infatti se $q=\infty$ allora
    $\Vert f\Vert _{p}^{p}=\int _{X}\vert f\vert ^{p}d\mu \leq \Vert f\Vert _{\infty }^{p}\int _{X}d\mu \leq \Vert f\Vert _{\infty }^{p}\mu (X),$
mentre se $q<+\infty$ allora per Hölder
    ${\begin{aligned}\Vert f\Vert _{p}^{p}&=\int _{X}1\cdot \vert f\vert ^{p}d\mu \leq \Vert \,\vert f\vert ^{p}\Vert _{q/p}\Vert 1\Vert _{q/(q-p)}\\&=\Vert f\Vert _{q}^{p}\mu (X)^{(q-p)/q}\end{aligned}}.$
Per esempio, la funzione
    $f(x)={\frac {1}{\sqrt {x}}}$
appartiene $L^{p}{\bigl(0,1){\bigr )}$ per ogni $p<2$. Segue inoltre, dalle disuguaglianze sopra esibite, che l'inclusione di $L^{q}$ in $L^{p}$ è una funzione continua.