# Differintegrale

Nell'analisi frazionaria, un'area della matematica applicata, il differintegrale è un operatore formato dalla combinazione di derivata e integrale. Applicato ad una funzione $f$, il q-differintegrale di $f$, indicato come
    $\mathbb {D} ^{q}f$
è la derivata frazionaria (se q > 0) o l'integrale frazionario (se q < 0). Se q = 0, allora il q-differintegrale di una funzione è la funzione stessa. Nel contesto della derivata e integrale frazionari, ci sono numerose definizioni del differintegrale.

## Definizioni standard

Le tre forme più comuni sono:
* Il differintegrale di Riemann–Liouville
    Questo è il più semplice e facile da usare, e di conseguenza è spesso il più usato. È una generalizzazione della formula di Cauchy per integrazioni ripetute ad un ordine arbitrario.
    ${\begin{aligned}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int _{a}^{t}(t-\tau )^{n-q-1}f(\tau )d\tau \end{aligned}}$
* Il differintegrale di Grunwald–Letnikov
    Questo differintegrale è la diretta generalizzazione della definizione di derivata. È molto più difficile da usare del differintegrale di Riemann–Liouville, ma qualche volta viene usato per risolvere problemi che quest'ultimo non può.
    ${\begin{aligned}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {t-a}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \choose j}f\left(t-j\left[{\frac {t-a}{N}}\right]\right)\end{aligned}}$
* Il differintegrale di Weyl
    Formalmente è simile a quello di Riemann–Liouville, ma applicato generalmente a funzioni periodiche, con integrale zero su un periodo.

## Definizione attraverso le trasformate

Richiamando la trasformata di Fourier, qui denotata con ${\mathcal {F}}$ :
    $F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$
Con tale trasformata, nello spazio di Fourier, la derivata si trasforma in una moltiplicazione:
    ${\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)]$
Pertanto,
    ${\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{n}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}$
che si generalizza a
    $\mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}.$
Sotto la trasformata di Laplace, indicata con ${\mathcal {L}}$, la derivata si trasforma ancora in una moltiplicazione
    ${\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].$
Generalizzando ad un ordine arbitrario e risolvendo in $\mathbb {D} ^{q}f(t)$, si ottiene
    $\mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f(t)]\right\}.$

## Principali proprietà

Linearità
    $\mathbb {D} ^{q}(f+g)=\mathbb {D} ^{q}(f)+\mathbb {D} ^{q}(g)$
    $\mathbb {D} ^{q}(af)=a\mathbb {D} ^{q}(f)$
Regola dello zero
    $\mathbb {D} ^{0}f=f\,$
Regola del prodotto
    $\mathbb {D} _{t}^{q}(fg)=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}(f)\mathbb {D} _{t}^{q-j}(g)$
In generale, la regola della composizione (o del semigruppo) non è soddisfatta:
    $\mathbb {D} ^{a}\mathbb {D} ^{b}f\neq \mathbb {D} ^{a+b}f$

## Differintegrali principali

    $\mathbb {D} ^{q}(t^{n})={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1-q)}}t^{n-q}$
    $\mathbb {D} ^{q}(\sin(t))=\sin \left(t+{\frac {q\pi }{2}}\right)$
    $\mathbb {D} ^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}$