# Funzione a supporto compatto

In matematica, una funzione a valori reali o complessi definita su un dominio di $\mathbb {R} ^{n}$ (o, più in generale, in uno spazio topologico) si dice funzione a supporto compatto se ha per supporto un sottoinsieme compatto dell'insieme di definizione (il supporto è definito come la chiusura dell'insieme dei punti del dominio in cui la funzione non si annulla).
Rivestono particolare importanza le funzioni a supporto compatto che sono anche continue o infinitamente differenziabili: in tal caso si restringe il campo ad una classe molto ristretta di funzioni, dette funzioni di test, che vengono usate principalmente nella teoria delle distribuzioni.
Dal teorema di Heine-Borel e dalla definizione di supporto di una funzione segue che una funzione con dominio in $\mathbb {R} ^{n}$ (o $\mathbb {C} ^{n}$) è a supporto compatto se e solo se è diversa da 0 in un insieme limitato di punti, in quanto la chiusura di un insieme limitato è a sua volta limitata ed è chiusa per definizione.

## Definizione

Una funzione definita su uno spazio topologico $X$ si dice essere a supporto compatto se il suo supporto:
    $\mathrm {supp} \,f:={\overline {\{\mathbf {x} \in X:f(\mathbf {x} )\neq \mathbf {0} \}}}$
è un sottoinsieme compatto di $X$, ovvero per ogni famiglia $\{U_{i}\}_{i\in I}$ di sottoinsiemi aperti di $\mathrm {supp} \,f$ tale che:
    $\bigcup _{i\in I}U_{i}\supseteq \mathrm {supp} \,f$
esiste un sottoinsieme finito $J$ di $I$ tale che:
    $\bigcup _{i\in J}U_{i}\supseteq \mathrm {supp} \,f$
Un'importante classe di funzioni a supporto compatto è quella delle funzioni test. Lo spazio delle funzioni test sul dominio $O$ di $\mathbb {R} ^{n}$ è chiamato $D(O)$, mentre lo spazio delle funzioni test su $\mathbb {R} ^{n}$ è denotato con $D$, ove non sia necessario specificare il numero di variabili.
È da notare che una funzione a supporto compatto in un dato dominio di $\mathbb {R} ^{n}$ può essere prolungata in modo naturale ad una funzione a supporto compatto su tutto $\mathbb {R} ^{n}$ semplicemente assegnando il valore 0 a tutti i punti al di fuori del dominio originario. In questo modo è possibile pensare ad una funzione in $D(O)$ come avente dominio in $\mathbb {R} ^{n}$, e quindi se $O\subset O'\subset \mathbb {R} ^{n}$ si ha anche $D(O)\subset D(O')\subset D$.

## Le funzioni continue a supporto compatto

Una classe particolarmente importante di funzioni a supporto compatto è quella delle funzioni che sono anche continue. Si dimostra che lo spazio $C_{c}(X)$ delle funzioni continue a supporto compatto su uno spazio di Hausdorff localmente compatto $X$ e a valori complessi è denso in uno spazio L$^p$ definito su uno spazio di misura, a patto che $1\leq p<\infty$. Tale classe di funzioni gode inoltre della proprietà che due funzioni in $C_{c}(\mathbb {R} ^{k})$ differiscono soltanto per insiemi di misura di Lebesgue non nulla, e pertanto se sono uguali quasi ovunque allora sono uguali. Inoltre, facendo coincidere $X$ con lo spazio $\mathbb {R} ^{k}$, poiché $L^{p}(\mathbb {R} ^{k})$ è completo, esso è il completamento dello spazio ottenuto dotando $C_{c}(\mathbb {R} ^{k})$ della $L^{p}$-metrica. Nel caso in cui $p=\infty$, il completamento di $C_{c}(\mathbb {R} ^{k})$ tramite la $L^{\infty }$-metrica è lo spazio $C_{0}(\mathbb {R} ^{k})$ delle funzioni continue che si annullano all'infinito.

## Proprietà

Le funzioni a supporto compatto godono inoltre delle seguenti proprietà.
* Data una funzione $f$ localmente integrabile in $\mathbb {R} ^{n}$ e una $\phi$ in $D$, allora l'integrale di Lebesgue:
    $\int f(x)\phi (x)d^{n}x$
    ha sempre valore finito.
* Se $g$ è una funzione assolutamente continua su $\mathbb {R}$ con derivata di Radon-Nikodym $g'$, allora vale:
    $\int g'(x)\phi (x)dx=-\int g(x)\phi '(x)dx$
    In altre parole, nell'eseguire l'integrazione per parti con una funzione test, i termini di bordo si annullano.
* La somma o il prodotto di due funzioni a supporto compatto è ancora a supporto compatto.

## Convergenza

Lo spazio $D(O)$ può essere munito di una struttura di spazio topologico definendo un criterio di convergenza per le successioni. Una successione di funzioni $\{\phi _{k}\}$ di $D(O)$ converge a una funzione $\phi \in D(O)$ se il supporto di $\phi _{k}$ è contenuto nel supporto di $\phi$, e se le derivate di ogni ordine di $\phi _{k}$ convergono uniformemente alle corrispondenti derivate di $\phi$.
Si tratta di una condizione molto forte di convergenza. Infatti, una successione convergente in $D(O)$ è anche puntualmente convergente, uniformemente convergente e convergente nello spazio delle funzioni p-sommabili per ogni $p$.

## Esempi

* Un esempio di funzione a supporto compatto è la funzione a campana:
    $\Omega (x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}}&|x|<1\\0&|x|\geq 1\end{cases}}$
    definita su tutto $\mathbb {R} ^{n}$.
    La funzione $\operatorname {\Omega }$ ha supporto nel disco chiuso di raggio 1 centrato nello 0, è infinitamente derivabile e si annulla con tutte le sue derivate per $||x||\to 1$.
* Una stretta parente della funzione a campana è data, $\forall \varepsilon >0$, da:
    $\Omega _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}K_{\varepsilon }e^{-{\frac {1}{1-{\frac {|x|^{2}}{\varepsilon ^{2}}}}}}&|x|<\varepsilon \\0&|x|\geq \varepsilon \end{cases}}$
    dove $K_{\varepsilon }$ è una costante reale positiva scelta in modo da avere:
    $\int \Omega _{\varepsilon }(x)d^{n}x=1$
    La funzione $\operatorname {\Omega _{\varepsilon }}$ gode delle stesse proprietà della campana, salvo che ha supporto nel disco chiuso di raggio $\varepsilon$. Si può dimostrare che le $\operatorname {\Omega _{\varepsilon }}$ sono approssimanti della delta, nel senso che, presa una funzione $\operatorname {\phi }$ continua nello 0, vale $\lim _{\varepsilon \to 0}\,\int \Omega _{\varepsilon }(x)\phi (x)d^{n}x=\phi (0)$.
* Un'importante funzione a supporto compatto in una variabile si ottiene dalla convoluzione di $\operatorname {\Omega _{\varepsilon }}$ con la funzione caratteristica $\operatorname {\chi } _{[-1,1]}(x)$, che vale 1 per $-1\leq x\leq 1$ e 0 altrimenti. Si ha quindi, per ogni $\varepsilon >0$:
    $\operatorname {\chi _{\varepsilon }(x)} =\int \Omega _{\varepsilon }(x-y)\chi _{[-1,1]}(y)dy$
    Si vede che, per questa funzione, vale:
    $\chi _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}1&|x|<1-\varepsilon \\0&|x|>1+\varepsilon \end{cases}}$
    quindi, per $\varepsilon \to 0,\operatorname {\chi _{\varepsilon }(x)} \to \operatorname {\chi } _{[-1,1]}(x)$ puntualmente.