# Distribuzione Gamma inversa

In teoria delle probabilità la distribuzione casuale gamma inversa è una distribuzione di probabilità, dipendente da due parametri α e β.
    La variabile aleatoria ha come supporto i reali positivi e parametri strettamente maggiori di zero.
    $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{+}$
    $\alpha ,\beta \in \mathbb {R} ^{+}$
    La sua funzione di densità di probabilità è $f(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {e^{-{\frac {\beta }{x}}}}{x^{\alpha +1}}}$
    La funzione di distribuzione cumulativa di probabilità è
    $F(x)=\int _{0}^{x}{f(t)dt}={\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}$
dove $\Gamma (\alpha ,\beta /x)$ è la funzione gamma incompleta e $\Gamma (\alpha )$ la funzione gamma di Eulero.
Calcoliamo i momenti semplici della nostra distribuzione
$\mu _{k}=\int _{0}^{\infty }x^{k}f(x)dx={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {\beta }{x}}}}{x^{\alpha +1-k}}}dx$
Ora applichiamo la sostituzione $z={\frac {\beta }{x}}\Leftrightarrow dz=-{\frac {\beta }{x^{2}}}dx=-{\frac {z^{2}}{\beta }}dx$ troviamo quindi quanto segue
$\mu _{k}={\frac {\beta ^{\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{\alpha -1-k}}{\beta ^{\alpha +1-k}}}e^{-z}dz={\frac {\beta ^{k}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }z^{\alpha -k-1}e^{-z}dz$
Quest'ultimo integrale converge per $\alpha -k\in \mathbb {R} ^{+}\Rightarrow \alpha >k$
nel caso possiamo applicare la definizione integrale della funzione $\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt$
$\mu _{k}=\beta ^{k}\cdot {\frac {\Gamma (\alpha -k)}{\Gamma (\alpha )}}=\beta ^{k}\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{\alpha -i}}$
Da qui possiamo ricavarci il valore atteso della nostra variabile aleatoria
$\mathbb {E} [X]={\frac {\beta }{\alpha -1}}$ per ogni α > 1
e la sua varianza, che ricordiamo essere
$Var(X):=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X])^{2}]=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} ^{2}[X]$
Che nel nostro caso esisterà per il parametro α > 2
$Var(X)={\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)(\alpha -2)}}-{\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}}}={\frac {\beta ^{2}(\alpha -1)-\beta ^{2}(\alpha -2)}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}={\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}$
Procediamo ora ad un semplice calcolo per ottenere la moda della nostra distribuzione
$\left({\frac {df}{dx}}\right)_{x=x^{*}}=0\Rightarrow \left[\beta {x^{*}}^{-1}-(\alpha +1)\right]{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{x^{*}}^{-(\alpha +2)}e^{-{\frac {\beta }{x^{*}}}}=0$
il secondo fattore di questo prodotto non si annulla mai e può essere semplificato, ottenendo così un'unica soluzione. Pertanto se la derivata si annulla in un solo punto e la funzione vale 0 agli estremi dell'intervallo $[0,\infty )$ in cui è definita positiva, allora il nostro punto è effettivamente un punto di massimo.
${x^{*}}={\frac {\beta }{\alpha +1}}$
Per cui l'intera distribuzione è maggiorata da
$f(x^{*})={\frac {(\alpha +1)^{\alpha +1}}{\beta \Gamma (\alpha )}}e^{-(\alpha +1)}$

## Distribuzioni collegate

* $X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )$ allora $X\sim {\mbox{Inv-chi-square}}(\nu )$ se $\alpha ={\frac {\nu }{2}}$ e $\beta ={\frac {1}{2}}$; $X$ è la variabile casuale chi quadro inversa
* $X\sim {\mbox{Gamma}}(k,\theta )$ allora $Y\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,\theta )$ se $Y={\frac {1}{X}}$; $X$ è la variabile casuale Gamma

## Derivazione

$X:\Omega \rightarrow A\subseteq \mathbb {R}$
$Y:\Omega '\rightarrow B\subseteq \mathbb {R}$
X è nel nostro caso una variabile aleatoria di tipo Gamma, per cui la sua funzione di densità di probabilità si può scrivere come segue
    $f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}{\Gamma (\alpha )}}$ e l'insieme di supporto A coincide con i reali positivi.
Definiamo quindi la trasformazione a cui associare la nuova variabile aleatoria Y.
$g:A\rightarrow B$
$Y=g(X)={\frac {1}{X}}$ per cui anche B effettivamente coincide con i reali positivi.
Pertanto procediamo con il calcolare $f_{Y}(y)$ dato dalla seguente relazione
    $f_{Y}(y)=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)\right|$
    $f_{Y}(y)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\cdot y^{-\alpha +1}e^{-{\frac {\beta }{y}}}{\frac {1}{y^{2}}}={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\cdot y^{-\alpha -1}e^{-{\frac {\beta }{y}}}$
Che risulta essere proprio la nostra variabile aleatoria discussa finora.