# Quadrato perfetto

In matematica un quadrato perfetto o numero quadrato è un numero intero che può essere espresso come il quadrato di un altro numero intero, ovvero un numero la cui radice quadrata principale è anch'essa un numero intero. Ad esempio, 9 è un quadrato perfetto in quanto può essere scritto come 3 × 3. Un numero è un quadrato perfetto quando, scomposto, presenta tutti esponenti pari: scrivendo il numero come prodotto di potenze di numeri primi ottenuti dalla scomposizione si ha che la radice quadrata di tale prodotto è intera se tutti i fattori si estraggono di radice, ciò può accadere solo se l'esponente di ogni fattore è pari.
Talora da questi numeri si esclude lo zero, cioè per quadrato perfetto si intende un intero positivo che è il quadrato di un altro intero positivo.

## Esempi

I primi 100 quadrati perfetti sono:
    0$^2$ = 0
    1$^2$ = 1
    2$^2$ = 4
    3$^2$ = 9
    4$^2$ = 16
    5$^2$ = 25
    6$^2$ = 36
    7$^2$ = 49
    8$^2$ = 64
    9$^2$ = 81
    10$^2$ = 100
    11$^2$ = 121
    12$^2$ = 144
    13$^2$ = 169
    14$^2$ = 196
    15$^2$ = 225
    16$^2$ = 256
    17$^2$ = 289
    18$^2$ = 324
    19$^2$ = 361
    20$^2$ = 400
    21$^2$ = 441
    22$^2$ = 484
    23$^2$ = 529
    24$^2$ = 576
    25$^2$ = 625
    26$^2$ = 676
    27$^2$ = 729
    28$^2$ = 784
    29$^2$ = 841
    30$^2$ = 900
    31$^2$ = 961
    32$^2$ = 1024
    33$^2$ = 1089
    34$^2$ = 1156
    35$^2$ = 1225
    36$^2$ = 1296
    37$^2$ = 1369
    38$^2$ = 1444
    39$^2$ = 1521
    40$^2$ = 1600
    41$^2$ = 1681
    42$^2$ = 1764
    43$^2$ = 1849
    44$^2$ = 1936
    45$^2$ = 2025
    46$^2$ = 2116
    47$^2$ = 2209
    48$^2$ = 2304
    49$^2$ = 2401
    50$^2$ = 2500
    51$^2$ = 2601
    52$^2$ = 2704
    53$^2$ = 2809
    54$^2$ = 2916
    55$^2$ = 3025
    56$^2$ = 3136
    57$^2$ = 3249
    58$^2$ = 3364
    59$^2$ = 3481
    60$^2$ = 3600
    61$^2$ = 3721
    62$^2$ = 3844
    63$^2$ = 3969
    64$^2$ = 4096
    65$^2$ = 4225
    66$^2$ = 4356
    67$^2$ = 4489
    68$^2$ = 4624
    69$^2$ = 4761
    70$^2$ = 4900
    71$^2$ = 5041
    72$^2$ = 5184
    73$^2$ = 5329
    74$^2$ = 5476
    75$^2$ = 5625
    76$^2$ = 5776
    77$^2$ = 5929
    78$^2$ = 6084
    79$^2$ = 6241
    80$^2$ = 6400
    81$^2$ = 6561
    82$^2$ = 6724
    83$^2$ = 6889
    84$^2$ = 7056
    85$^2$ = 7225
    86$^2$ = 7396
    87$^2$ = 7569
    88$^2$ = 7744
    89$^2$ = 7921
    90$^2$ = 8100
    91$^2$ = 8281
    92$^2$ = 8464
    93$^2$ = 8649
    94$^2$ = 8836
    95$^2$ = 9025
    96$^2$ = 9216
    97$^2$ = 9409
    98$^2$ = 9604
    99$^2$ = 9801

## Proprietà

Un numero m è un quadrato perfetto se e solo se è possibile disporre m punti per formare un quadrato geometrico, per questo l'elevamento alla seconda potenza è chiamato anche elevamento al quadrato.
* 1
* 4
* 9
* 16
* 25
La formula dell'n-esimo quadrato perfetto è n$^2$.
Si osserva inoltre che la successione delle differenze fra due quadrati perfetti consecutivi è la successione dei numeri dispari positivi:
    1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, ..., 2n - 1 ,2n + 1 , ...
L'n-esimo quadrato perfetto è perciò equivalente alla somma dei primi n numeri dispari, come si può vedere dalle figure sopra, dove un quadrato viene ottenuto dal precedente aggiungendo un numero dispari di punti. Ad esempio:
    5$^2$ = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
La somma dei numeri dispari si può scrivere sotto forma di sommatoria: $n^{2}=\sum _{k=0}^{n-1}(2k+1)$.
L'n-esimo quadrato perfetto può essere calcolato dal precedente nel seguente modo:
    n$^2$ = (n-1)$^2$ + (2n-1)
Ad esempio:
    6$^2$ = 5$^2$ + (2×6 - 1) = 25 + 11 = 36
L'n-esimo quadrato perfetto può essere calcolato dai precedenti due nel seguente modo:
    n$^2$ = 2 × (n-1)$^2$ - (n-2)$^2$ + 2
Ad esempio:
    6$^2$ = 2×5$^2$ - 4$^2$ + 2 = 2×25 - 16 + 2 = 50 - 16 + 2 = 36
L'n-esimo quadrato perfetto può essere calcolato dai precedenti tre nel seguente modo:
    n$^2$ =(n-1)$^2$ + (n-2)$^2$ - (n-3)$^2$ + 4
Ad esempio:
    6$^2$ = 5$^2$ + 4$^2$ - 3$^2$ + 4 = 25 + 16 - 9 + 4 = 45 - 9 = 36
Un quadrato perfetto equivale anche alla somma di due numeri triangolari consecutivi. La somma di due numeri quadrati consecutivi è un numero quadrato centrato. Ogni numero quadrato dispari è anche un numero ottagonale centrato.
Il teorema dei quattro quadrati dice che ogni intero positivo può essere scritto come somma di 4 quadrati perfetti. 3 quadrati perfetti non sono sufficienti per i numeri nella forma 4$^m$(8h + 7). Un intero positivo può essere scritto come somma di due quadrati se e solo se la sua fattorizzazione non contiene potenze dispari di numeri primi nella forma 4k+3. Questo risultato è generalizzato nel problema di Waring.
I numeri quadrati sono gli unici ad avere un numero dispari di divisori. Un intero positivo che non ha come divisore nessun quadrato perfetto ad eccezione di 1 si chiama privo di quadrati.
Poiché il prodotto di due numeri negativi è positivo, così come quello di due numeri positivi, nessun numero quadrato è negativo. Ciò ha conseguenze importanti. Ne deriva, in particolare, che non si possa estrarre la radice quadrata di un numero negativo all'interno dei numeri reali. Questo lascia una lacuna nell'insieme dei reali che i matematici hanno riempito creando i numeri immaginari, a cominciare da i, che è per convenzione la radice quadrata di -1.

## Quadrati perfetti razionali

La definizione di quadrato perfetto può essere estesa all'ambito dei numeri razionali. Si introduce così il concetto di quadrato perfetto razionale, cioè un numero razionale non negativo esprimibile come frazione che in forma ridotta ha come numeratore e come denominatore due quadrati perfetti, il secondo dei quali diverso da 0.
Per esempio 4/9 = 2/3 × 2/3.
I quadrati perfetti razionali sono i soli numeri razionali non negativi la cui radice quadratica principale è anch'essa un numero razionale (non negativo); le radici quadrate di tutti gli altri numeri razionali sono numeri irrazionali, cioè non si possono esprimere come frazioni.