# Insieme transitivo

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, un insieme $A$ si dice transitivo se vale una delle seguenti condizioni equivalenti:
* se $x\in A$ e $y\in x$, allora $y\in A$ .
* se $x\in A$ e $x$ non è un Ur-elemento, allora $x$ è un sottoinsieme di $A$ .
Allo stesso modo, una classe $M$ è detta transitiva se ogni elemento di $M$ è un sottoinsieme di $M$ .

## Esempi

Un insieme è detto numero ordinale se è transitivo e totalmente ordinato dall'appartenenza. La classe di tutti gli ordinali è una classe transitiva.
Uno qualsiasi dei livelli $V_{\alpha }$ e $L_{\alpha }$ che portano alla costruzione dell'universo di von Neumann $V$ e dell'universo costruibile di Gödel $L$ sono insiemi transitivi. Gli universi $V$ e $L$ sono essi stessi classi transitive.
Quello che segue è un elenco completo di tutti gli insiemi transitivi finiti con un massimo di 20 parentesi:

## Proprietà

Un insieme $X$ è transitivo se e solo se ⋃X⊆X{\textstyle \bigcup X\subseteq X}, dove ⋃X{\textstyle \bigcup X} è l'unione di tutti gli elementi di $X$ che sono insiemi, ⋃X={y∣∃x∈X:y∈x}{\textstyle \bigcup X=\{y\mid \exists x\in X:y\in x\}}.
Se $X$ è transitivo, anche ⋃X{\textstyle \bigcup X} è transitivo.
Se $X$ e $Y$ sono transitivi, $X\cup Y$ e $X\cup Y\cup \{X,Y\}$ sono transitivi. In generale, se $Z$ è una classe i cui elementi sono insiemi transitivi, allora ⋃Z{\textstyle \bigcup Z} e Z∪⋃Z{\textstyle Z\cup \bigcup Z} sono transitivi. (La prima affermazione di questo paragrafo si ottiene nel caso di $Z=\{X,Y\}$.)
Un insieme $X$ che non contiene Ur-elementi è transitivo se e solo se è un sottoinsieme del proprio insieme potenza, X⊆P(X).{\textstyle X\subseteq {\mathcal {P}}(X).} L'insieme potenza di un insieme transitivo senza Ur-elementi è transitivo.

## Chiusura transitiva

La chiusura transitiva $\operatorname {TC} (X)$ di un insieme $X$ è il più piccolo insieme transitivo che contiene $X$ come sottoinsieme, X⊆TC⁡(X){\textstyle X\subseteq \operatorname {TC} (X)}. Dato l'insieme $X$, la sua chiusura transitiva risulta essere
$\operatorname {TC} (X)=\bigcup \left\{X,\;\bigcup X,\;\bigcup \bigcup X,\;\bigcup \bigcup \bigcup X,\;\bigcup \bigcup \bigcup \bigcup X,\ldots \right\}.$
Infatti, denotando X$_0$=X{\textstyle X_{0}=X} e X$_{n+1}$=⋃X$_n${\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}}, vogliamo mostrare che l'insieme
$T=\bigcup _{n=0}^{\infty }X_{n}$
è transitivo e che per ogni T$_1${\textstyle T_{1}} insieme transitivo che contiene X{\textstyle X} come sottoinsieme, si abbia T⊆T$_1${\textstyle T\subseteq T_{1}}.
Mostriamo che $T$ è transitivo. Siano y∈x∈T{\textstyle y\in x\in T}. Ma allora esiste n{\textstyle n} tale che x∈X$_n${\textstyle x\in X_{n}} e pertanto y∈⋃X$_n$=X$_{n+1}${\textstyle y\in \bigcup X_{n}=X_{n+1}}. Poiché X$_{n+1}$⊆T{\textstyle X_{n+1}\subseteq T}, si ha y∈T{\textstyle y\in T} e T{\textstyle T} è transitivo.
Sia ora T$_1${\textstyle T_{1}} come sopra. Mostriamo per induzione che X$_n$⊆T$_1${\textstyle X_{n}\subseteq T_{1}} per ogni $n$ e dunque che T⊆T$_1${\textstyle T\subseteq T_{1}}. Il caso base vale essendo per ipotesi X$_0$=X⊆T$_1${\textstyle X_{0}=X\subseteq T_{1}}. Ora supponiamo X$_n$⊆T$_1${\textstyle X_{n}\subseteq T_{1}}. Allora X$_{n+1}$=⋃X$_n$⊆⋃T$_1${\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}\subseteq \bigcup T_{1}}. Ma T$_1${\textstyle T_{1}} è transitivo, quindi ⋃T$_1$⊆T$_1${\textstyle \bigcup T_{1}\subseteq T_{1}} e dunque X$_{n+1}$⊆T$_1${\textstyle X_{n+1}\subseteq T_{1}} . Questo completa la dimostrazione.