# Trasformazioni stella-triangolo

Le trasformazioni stella-triangolo o triangolo-stella sono molto utilizzate nel campo dell'elettrotecnica per poter più agevolmente risolvere circuiti con bipoli passivi. Trasformare una configurazione triangolo in una stella (o viceversa) significa trovare un set di valori di resistenza (o impedenza) tali che rendano il sistema equivalente. In altre parole a parità di tensione nei punti a, b e c le correnti di alimentazione delle due configurazioni devono essere identiche nei tre punti, e in entrambe le configurazioni.

## Regime stazionario
### Passaggio da stella a triangolo

Per dimostrare il passaggio da una configurazione a stella ad una a triangolo (più utile ad esempio nel calcolo delle resistenze in parallelo) si procede risolvendo il primo circuito con il metodo delle maglie ed il secondo con il metodo dei nodi considerando il nodo A a potenziale nullo per semplicità. Per fare ciò si fornisce un'alimentazione esterna che non altera le caratteristiche del sistema.
Per il primo circuito si ha:
${\begin{bmatrix}R_{a}+R_{b}&-R_{a}\\-R_{a}&R_{a}+R_{c}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}$
per cui la prima corrente di maglia è
$I_{1}=-V_{b}{\frac {R_{a}}{R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}}-V_{b}{\frac {R_{c}}{R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}}+V_{c}{\frac {R_{a}}{R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}}$.
Per il secondo circuito invece si ottiene
${\begin{bmatrix}G_{ab}+G_{bc}&-G_{bc}\\-G_{bc}&G_{ac}+G_{bc}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}$
quindi l'equazione per la corrente $I_{1}$ è
$I_{1}=-(G_{ab}+G_{bc})V_{b}+G_{bc}V_{c}$.
Eguagliando i coefficienti si ottiene la relazione per la conduttanza tra il nodo B e C:
$G_{bc}={\frac {R_{a}}{R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}}$
e quindi analogamente si dimostra che
$G_{ac}={\frac {R_{b}}{R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}}$
e
$G_{ab}={\frac {R_{c}}{R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}}$
Si noti quindi che il valore della conduttanza di un lato del triangolo è pari al rapporto tra la resistenza che si oppone al lato in esame e il prodotto misto a due a due delle resistenze stella, si avranno quindi le rispettive resistenze:
$R_{bc}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}{R_{a}}}$
$R_{ac}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}{R_{b}}}$
$R_{ab}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}{R_{c}}}$

### Passaggio da triangolo a stella

In maniera perfettamente duale si ottengono le resistenze stella dalle conduttanze triangolo:
$R_{a}={\frac {G_{bc}}{G_{ab}G_{ac}+G_{ab}G_{bc}+G_{ac}G_{bc}}}$
$R_{b}={\frac {G_{ac}}{G_{ab}G_{ac}+G_{ab}G_{bc}+G_{ac}G_{bc}}}$
$R_{c}={\frac {G_{ab}}{G_{ab}G_{ac}+G_{ab}G_{bc}+G_{ac}G_{bc}}}$
Oppure (considerando solo le resistenze):
$R_{a}={R_{ab}R_{ac} \over R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}$
$R_{b}={R_{ab}R_{bc} \over R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}$
$R_{c}={R_{bc}R_{ac} \over R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}$

### Dimostrazione tramite principio di sovrapposizione degli effetti

Un altro modo per dimostrare la validità dell'equivalenza si può ottenere tramite la sovrapposizione degli effetti.
Perché la configurazione a triangolo sia equivalente alla stella le correnti nei punti A, B e C devono essere identiche nelle due configurazioni.
Determiniamo ora le correnti con il principio di sovrapposizione nelle due configurazioni.
Prendiamo la configurazione a triangolo e calcoliamo le correnti entranti nei nodi A, B e C.
$I_{a}={\frac {V_{a}-V_{b}}{R_{ab}//(R_{bc}+R_{ac})}}+{\frac {V_{a}-V_{c}}{R_{ac}//(R_{ab}+R_{bc})}}$
$I_{b}={\frac {V_{b}-V_{c}}{R_{bc}//(R_{ac}+R_{ab})}}+{\frac {V_{b}-V_{a}}{R_{ab}//(R_{ac}+R_{bc})}}$
$I_{c}={\frac {V_{c}-V_{a}}{R_{ac}//(R_{ab}+R_{bc})}}+{\frac {V_{c}-V_{b}}{R_{bc}//(R_{ab}+R_{ac})}}$
Ora calcoliamo le stesse correnti con la configurazione a stella
$I_{a}={\frac {V_{a}-V_{b}}{R_{a}+R_{b}}}+{\frac {V_{a}-V_{c}}{R_{a}+R_{c}}}$
$I_{b}={\frac {V_{b}-V_{c}}{R_{b}+R_{c}}}+{\frac {V_{b}-V_{a}}{R_{b}+R_{a}}}$
$I_{c}={\frac {V_{c}-V_{a}}{R_{c}+R_{a}}}+{\frac {V_{c}-V_{b}}{R_{c}+R_{b}}}$
È facile notare che per avere l'equivalenza e necessario che
$\left\{{\begin{array}{l}R_{a}+R_{b}=R_{ab}//(R_{bc}+R_{ac})={\frac {R_{ab}(R_{bc}+R_{ac})}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}={\frac {R_{ab}R_{bc}+R_{ab}R_{ac}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}={\frac {R_{ab}R_{bc}+R_{ab}R_{ac}}{R_{s}}}\\\\R_{b}+R_{c}=R_{bc}//(R_{ac}+R_{ab})={\frac {R_{bc}(R_{ac}+R_{ab})}{R_{bc}+R_{ac}+R_{ab}}}={\frac {R_{bc}R_{ac}+R_{bc}R_{ab}}{R_{bc}+R_{ac}+R_{ab}}}={\frac {R_{bc}R_{ac}+R_{bc}R_{ab}}{R_{s}}}\\\\R_{a}+R_{c}=R_{ac}//(R_{ab}+R_{bc})={\frac {R_{ac}(R_{ab}+R_{bc})}{R_{ac}+R_{ab}+R_{bc}}}={\frac {R_{ac}R_{ab}+R_{ac}R_{bc}}{R_{ac}+R_{ab}+R_{bc}}}={\frac {R_{ac}R_{ab}+R_{ac}R_{bc}}{R_{s}}}\\\end{array}}\right.$
dove $R_{s}=R_{ac}+R_{ab}+R_{bc}$.
Determiniamo ora $R_{a},R_{b}eR_{c}$ (trasformazione triangolo stella).
$\left\{{\begin{array}{l}R_{a}={\frac {(R_{a}+R_{b})-(R_{b}+R_{c})+(R_{a}+R_{c})}{2}}={\frac {(R_{ab}R_{bc}+R_{ab}R_{ac})-(R_{bc}R_{ac}+R_{bc}R_{ab})+(R_{ac}R_{ab}+R_{ac}R_{bc})}{2R_{s}}}={\frac {R_{ab}R_{ac}}{R_{s}}}\\\\R_{b}={\frac {(R_{a}+R_{b})+(R_{b}+R_{c})-(R_{a}+R_{c})}{2}}={\frac {(R_{ab}R_{bc}+R_{ab}R_{ac})+(R_{bc}R_{ac}+R_{bc}R_{ab})-(R_{ac}R_{ab}+R_{ac}R_{bc})}{2R_{s}}}={\frac {R_{ab}R_{bc}}{R_{s}}}\\\\R_{c}={\frac {-(R_{a}+R_{b})+(R_{b}+R_{c})+(R_{a}+R_{c})}{2}}={\frac {-(R_{ab}R_{bc}+R_{ab}R_{ac})+(R_{bc}R_{ac}+R_{bc}R_{ab})+(R_{ac}R_{ab}+R_{ac}R_{bc})}{2R_{s}}}={\frac {R_{ac}R_{bc}}{R_{s}}}\\\end{array}}\right.$
quindi
$\left\{{\begin{array}{l}R_{a}={\frac {R_{ab}R_{ac}}{R_{ac}+R_{ab}+R_{bc}}}\\\\R_{b}={\frac {R_{ab}R_{bc}}{R_{ac}+R_{ab}+R_{bc}}}\\\\R_{c}={\frac {R_{ac}R_{bc}}{R_{ac}+R_{ab}+R_{bc}}}\\\end{array}}\right.$
Invertendo la soluzione si ottiene facilmente la trasformazione inversa.

## Regime sinusoidale

Le configurazioni secondo cui possiamo trovare i componenti resistitivi, capacitivi e induttivi sono le seguenti:
È possibile il passaggio dagli schemi a destra (configurazione a triangolo) a quelli a sinistra (configurazione a stella) mediante le seguenti formule:

### Passaggio da triangolo a stella

${\bar {Z}}_{a}={{\bar {Z}}_{ab}{\bar {Z}}_{ac} \over {\bar {Z}}_{ab}+{\bar {Z}}_{bc}+{\bar {Z}}_{ac}}$
${\bar {Z}}_{b}={{\bar {Z}}_{ab}{\bar {Z}}_{bc} \over {\bar {Z}}_{ab}+{\bar {Z}}_{bc}+{\bar {Z}}_{ac}}$
${\bar {Z}}_{c}={{\bar {Z}}_{bc}{\bar {Z}}_{ac} \over {\bar {Z}}_{ab}+{\bar {Z}}_{bc}+{\bar {Z}}_{ac}}$

### Passaggio da stella a triangolo

${\bar {Z}}_{ab}={{\bar {Z}}_{a}{\bar {Z}}_{b}+{\bar {Z}}_{b}{\bar {Z}}_{c}+{\bar {Z}}_{c}{\bar {Z}}_{a} \over {\bar {Z}}_{c}}$
${\bar {Z}}_{bc}={{\bar {Z}}_{a}{\bar {Z}}_{b}+{\bar {Z}}_{b}{\bar {Z}}_{c}+{\bar {Z}}_{c}{\bar {Z}}_{a} \over {\bar {Z}}_{a}}$
${\bar {Z}}_{ca}={{\bar {Z}}_{a}{\bar {Z}}_{b}+{\bar {Z}}_{b}{\bar {Z}}_{c}+{\bar {Z}}_{c}{\bar {Z}}_{a} \over {\bar {Z}}_{b}}$