# Teorema di Morley

In geometria, il teorema di Morley stabilisce che i punti di intersezione delle coppie di trisettrici degli angoli adiacenti allo stesso lato di un qualsiasi triangolo, sono i vertici di un triangolo equilatero, chiamato "primo triangolo di Morley" o più semplicemente "triangolo di Morley". Tale teorema fu enunciato per la prima volta nel 1899 dal matematico anglo-americano Frank Morley. Il teorema, chiamato anche "miracolo di Morley", per la sua generalità e semplicità, è stato oggetto poi di varie generalizzazioni, una delle quali mostra in particolare che, se tutte le trisecanti si intersecano, si ottengono altri quattro triangoli equilateri. Il teorema di Morley è valido solo nell'ambito della geometria euclidea e non sussiste quindi né in quella sferica né in quella iperbolica.

## Dimostrazioni

Esistono molte dimostrazioni del teorema di Morley che utilizzano tecniche che vanno dalla geometria elementare, come nel caso della dimostrazione data da John Conway, in cui, a partire da un triangolo equilatero, si costruisce un altro triangolo che, alla fine, si può rendere simile a un triangolo qualsiasi (e il triangolo equilatero di partenza costituisce il suo triangolo di Morley), all'uso della trigonometria, all'utilizzo dei numeri complessi.

### Dimostrazione trigonometrica

Una delle dimostrazioni che si avvalgono della trigonometria parte dalla seguente identità:
       $\sin(3\theta )=4\sin \theta \sin(60^{\circ }+\theta )\sin(120^{\circ }+\theta )$         [1]
che, applicando la formula di addizione del seno, si può dimostrare essere uguale a quest'altra identità:
       $\sin(3\theta )=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta .$
La quale a sua volta può essere verificata applicando due volte la formula di addizione del seno al primo membro e poi utilizzando la formula :$\cos ^{2}\theta =1-\sin ^{2}\theta$ per sostituire la funzione coseno.
Osservando la figura 1, si vede che sul lato ${\overline {BC}}$ sono stati presi i punti $D,E,F$, e che, dato che la somma degli angoli interni di ogni triangolo è 180°, $3\alpha +3\beta +3\gamma =180^{\circ }$, da cui $\alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }.$ Da questo consegue che gli angoli del triangolo $XEF$ sono $\alpha ,(60^{\circ }+\beta ),$ e $(60^{\circ }+\gamma ).$
Dalla figura 1 si vede anche che:
       $\sin(60^{\circ }+\beta )={\frac {\overline {DX}}{\overline {XE}}}$         [2]
e
       $\sin(60^{\circ }+\gamma )={\frac {\overline {DX}}{\overline {XF}}}.$         [3]
Inoltre,
       ${\hat {AYC}}=180^{\circ }-\alpha -\gamma =120^{\circ }+\beta$
e
       ${\hat {AZB}}=120^{\circ }+\gamma .$         [4]
Applicando il teorema dei seni ai triangoli $AYC$ e $AZB$ si ottiene
       $\sin(120^{\circ }+\beta )={\frac {\overline {AC}}{\overline {AY}}}\sin \gamma$         [5]
e
       $\sin(120^{\circ }+\gamma )={\frac {\overline {AB}}{\overline {AZ}}}\sin \beta .$         [6]
L'altezza del triangolo $ABC$ può essere espressa, utilizzando l'equazione [1] per sostituire $\sin(3\beta )$ e $\sin(3\gamma )$, in due modi:
       $h={\overline {AB}}\sin(3\beta )={\overline {AB}}\cdot 4\sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )\sin(120^{\circ }+\beta )$
e
       $h={\overline {AC}}\sin(3\gamma )={\overline {AC}}\cdot 4\sin \gamma \sin(60^{\circ }+\gamma )\sin(120^{\circ }+\gamma ).$
Utilizzando ora le equazioni [2] e [5] nell'equazione della $\beta$ e le equazioni [3] e [6] in quella della $\gamma$, si ottiene:
       $h=4{\overline {AB}}\sin \beta \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XE}}}\cdot {\frac {\overline {AC}}{\overline {AY}}}\sin \gamma$
e
       $h=4{\overline {AC}}\sin \gamma \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XF}}}\cdot {\frac {\overline {AB}}{\overline {AZ}}}\sin \beta$
Poiché i numeratori sono uguali:
       ${\overline {XE}}\cdot {\overline {AY}}={\overline {XF}}\cdot {\overline {AZ}}$
o
       ${\frac {\overline {XE}}{\overline {XF}}}={\frac {\overline {AZ}}{\overline {AY}}}.$
Poiché l'angolo $EXF$ e l'angolo $ZAY$ sono congruenti e i lati che formano questi angoli sono proporzionali, allora i triangoli $XEF$ e $AZY$ sono simili.
Ne consegue quindi che gli angoli $AYZ$ e $XFE$ sono congruenti e uguali a $(60^{\circ }+\gamma )$, mentre gli angoli $AZY$ e $XEF$ sono congruenti e uguali a $(60^{\circ }+\beta ).$ Allo stesso modo si possono ricavare gli angoli alla base per i triangoli $BXZ$ e $CYX.$
In particolare si trova che l'angolo $BZX$ è pari a $(60^{\circ }+\alpha )$ e, sempre dalla figura 1, si vede che:
       ${\hat {AZY}}+{\hat {AZB}}+{\hat {BZX}}+{\hat {XZY}}=360^{\circ }.$
Sostituendo in base a quanto sopra detto e utilizzando l'equazione [4] per l'angolo $AZB$ si ottiene:
       $(60^{\circ }+\beta )+(120^{\circ }+\gamma )+(60^{\circ }+\alpha )+{\hat {XZY}}=360^{\circ }$
e quindi:
       ${\hat {XZY}}=60^{\circ }.$
Allo stesso modo si trova che anche gli altri due angoli del triangolo $XYZ$ hanno un valore di $60^{\circ }$ e quindi che il triangolo $XYZ$ è un triangolo equilatero.

## Lato e area

Il primo triangolo di Morley ha lati di lunghezza pari a:
    $a^{\prime }=b^{\prime }=c^{\prime }=8R\sin(A/3)\sin(B/3)\sin(C/3),\,$
dove R è il circumraggio del triangolo di partenza e ${\hat {A}},{\hat {B}}$ e ${\hat {C}}$ sono gli angoli di tale triangolo. Poiché l'area di un triangolo equilatero è espressa dalla formula ${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a'^{2},$ l'area del triangolo di Morley può essere espressa come:
    ${\text{Area}}=16{\sqrt {3}}R^{2}\sin ^{2}(A/3)\sin ^{2}(B/3)\sin ^{2}(C/3).$

## Triangoli di Morley

Il teorema di Morley implica l'esistenza di 18 triangoli equilateri. Il triangolo sopra descritto nel teorema, chiamato primo triangolo di Morley, ha i vertici che, in coordinate trilineari relative al triangolo ABC, sono espressi come:
    A-vertice = 1 : 2 cos(C/3) : 2 cos(B/3)
    B-vertice = 2 cos(C/3) : 1 : 2 cos(A/3)
    C-vertice = 2 cos(B/3) : 2 cos(A/3) : 1
Un altro dei triangoli equilateri di Morley, anch'esso un triangolo centrale, chiamato secondo triangolo di Morley ha invece i vertici espressi come:
    A-vertice = 1 : 2 cos(C/3 − 2π/3) : 2 cos(B/3 − 2π/3)
    B-vertice = 2 cos(C/3 − 2π/3) : 1 : 2 cos(A/3 − 2π/3)
    C-vertice = 2 cos(B/3 − 2π/3) : 2 cos(A/3 − 2π/3) : 1
Il terzo dei 18 triangoli equilateri di Morley, anch'esso un triangolo centrale, chiamato terzo triangolo di Morley è dato dai seguenti vertici:
    A-vertice = 1 : 2 cos(C/3 − 4π/3) : 2 cos(B/3 − 4π/3)
    B-vertice = 2 cos(C/3 − 4π/3) : 1 : 2 cos(A/3 − 4π/3)
    C-vertice = 2 cos(B/3 − 4π/3) : 2 cos(A/3 − 4π/3) : 1
I tre triangoli sopra descritti formano tra loro coppie omotetiche. Un altro triangolo a loro omotetico è formato da tre punti X presenti sulla circumcirconferenza del triangolo ABC e tali per cui la linea XX$^{−1}$ è tangente al circumcerchio, dove X$^{−1}$ denota il coniugato isogonale di X. Tale triangolo equilatero, chiamato triangolo circumtangenziale, ha i seguenti vertici:
    A-vertice = csc(C/3 − B/3) : csc(B/3 + 2C/3) : −csc(C/3 + 2B/3)
    B-vertice = −csc(A/3 + 2C/3) : csc(A/3 − C/3) : csc(C/3 + 2A/3)
    C-vertice = csc(A/3 + 2B/3) : −csc(B/3 + 2A/3) : csc(B/3 − A/3)
Un quinto triangolo equilatero, anch'esso omotetico agli altri, si ottiene ruotando il triangolo circumtangenziale di ?/6 attorno al suo centro. Chiamato triangolo circumnormale, i suoi vertici possono essere espressi come:
    A-vertice = sec(C/3 − B/3) : −sec(B/3 + 2C/3) : −sec(C/3 + 2B/3)
    B-vertice = −sec(A/3 + 2C/3) : sec(A/3 − C/3) : −sec(C/3 + 2A/3)
    C-vertice = −sec(A/3 + 2B/3) : −sec(B/3 + 2A/3) : sec(B/3 − A/3)
Attraverso un'operazione chiamata "extraversione" si può ottenere ognuno dei 18 triangoli di Morley da ognuno degli altri 18. Inoltre, ogni triangolo può essere "extravertito" in tre diversi modi, e i 18 triangoli di Morley assieme alle 27 coppie di triangoli extravertiti, formati i 18 vertici e le 27 facce di un grafo di Pappo.

## Centri dei triangoli

Il baricentro del primo triangolo di Morley in coordinate trilineari è espresso come:
    Centro di Morley = X(356) = cos(A/3) + 2 cos(B/3)cos(C/3) : cos(B/3) + 2 cos(C/3)cos(A/3) : cos(C/3) + 2 cos(A/3)cos(B/3).
Il primo triangolo di Morley è omologo al triangolo ABC: le linee che connettono un vertice del triangolo di partenza con il vertice opposto del triangolo di Morley si incontrano nel punto:
    Primo centro di Morley–Taylor–Marr = X(357) = sec(A/3) : sec(B/3) : sec(C/3).