# Logaritmo naturale

Il logaritmo naturale (o logaritmo neperiano) è il logaritmo in base e, dove $e$ è uguale a $2{,}71828\ldots$ Il logaritmo naturale è definito per tutte le $x$ reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero.

## Definizione

Se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che $\ln(x)$ è il numero per cui $e^{\ln(x)}=x$. Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le $x$ reali positive.
In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue: il logaritmo naturale di $a$ è l'area sottesa dal grafico di $1/x$ da $1$ ad $a$. In altre parole, è il valore dell'integrale
    $\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx,\quad \quad {\text{ per ogni }}a>0.$
Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:
    $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).$
Questo può essere dimostrato definendo $t=x/a$ e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:
    $\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b).$
Il numero $e$ può essere definito come l'unico numero reale $a$ tale che $\ln(a)=1.$

## Convenzioni

* In matematica si è soliti utilizzare la scrittura "$\log(x)$" per intendere $\log _{e}(x);$ altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (ad esempio $\log _{10}(x)$ è il logaritmo in base $10$ di $x$).
* In ingegneria, biologia e altre scienze generalmente si scrive "$\ln(x)$" o (raramente) "$\log _{e}(x)$" per intendere il logaritmo naturale di $x$, mentre si scrive "$\log(x)$" per intendere $\log _{10}(x).$
* In alcuni testi della fine del XX secolo, il logaritmo in base 10 veniva scritto con l'iniziale maiuscola e sottintendendo la base: $\mathrm {Log}$.
* Nei più comuni linguaggi di programmazione, tra cui C, C++, Fortran, e BASIC, "log" o "LOG" sottintendono il logaritmo naturale.
* Nelle calcolatrici il logaritmo naturale è "ln", mentre "log" è il logaritmo in base $10$.
* Nel campo dell'analisi asintotica della complessità degli algoritmi, per $\log(N)$ si sottintende il logaritmo in base 2 di $N.$

## La funzione inversa dell'esponenziale in base e

La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale, quindi si ha che:
    $e^{\ln(x)}=x,\quad$ per tutte le $x$ positive e
    $\ln(e^{x})=x,\quad$ per tutte le $x$ reali.
In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.
I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale strettamente positiva e diversa da $1$, non solo $e$, inoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.

## Derivata

La derivata della funzione logaritmo naturale è data da
    ${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.$

## Serie comuni

La serie di Taylor centrata in $0$ del logaritmo naturale è:
    $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n},\quad {\text{ per }}-1<x\leq 1.$
Utilizzando l'identità
    $\ln x=\operatorname {artanh} \,\left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right),\quad {\text{ per }}x>0,$
e sostituendo ${\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}$ nella serie di Taylor dell'arcotangente iperbolica si ottiene
    $\ln x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)^{2n+1},\quad {\text{ per }}x>0.$
Applicando la trasformazione binomiale alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni $x$ con valore assoluto maggiore di $1$:
    $\ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots .$
Si noti inoltre che $x \over {x-1}$ è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero $y$ è sufficiente sostituire $y \over {y-1}$ al posto di $x$.
Una serie esotica dovuta a Bill Gosper è la seguente:
    ${\frac {1}{\ln x}}={\frac {1}{x-1}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{-n}}{1+x^{2^{-n}}}},{\text{ per }}x>0.$
Un altro procedimento per la stima di $\ln(x)$ è fornito dall'algoritmo Newton-Raphson: $y=\ln(x)$ è la soluzione dell'equazione $e^{y}-x=0$, che partendo da una approssimazione arbitraria $y_{0}$, si può ottenere iterativamente trovando un'approssimazione successiva, progressivamente più vicina.
    $y_{n+1}=y_{n}-{\frac {g(y_{n})}{g'(y_{n})}}=y_{n}-{\frac {e^{y_{n}}-x}{e^{y_{n}}}}=y_{n}-1+{\frac {x}{e^{y_{n}}}}.$
Al posto dell'esponenziazione è possibile sfruttare o la serie di Taylor per l'esponenziale, o il limite fondamentale $\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {y_{n}}{m}}\right)^{m}$ per ottenere risultati algebrici.

## Integrali e regole di integrazione

L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti:
    $\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$
Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma $g(x)=f'(x)/f(x)$ che si traducono nella scrittura $\ln(|f(x)|)$: l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:
    ${d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={1 \over x}.$
Cioè
    $\int {dx \over x}=\ln |x|+C,$
e
    $\int {{f^{'}(x) \over f(x)}\,dx}=\ln |f(x)|+C.$

### Esempi

Con quest'ultima regola, è possibile calcolare gli integrali della tangente e della cotangente sfruttando le loro definizioni:
    $\int \tan(x)\,dx=\int {\sin(x) \over \cos(x)}\,dx,$
    $\int \tan(x)\,dx=\int {-{d \over dx}\cos(x) \over {\cos(x)}}\,dx.$
Da cui ponendo $f(x)=\cos(x)$ si ha che $f'(x)=-\sin(x)$ e quindi:
    $\int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C,$
    $\int \cot(x)\,dx=\ln {\left|\sin(x)\right|}+C,$
dove $C$ è la costante reale arbitraria degli integrali indefiniti.

## Calcolo del logaritmo naturale e cambio di base

Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base $10$. È ancora utile per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di $10$):
    $\log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}},$
che diventa:
    $\ln x={\frac {\operatorname {Log} x}{\operatorname {Log} e}}.$
Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:
    $\operatorname {Log} e=0,43429\ldots$
e
    ${\frac {1}{\operatorname {Log} e}}=2{,}30258\ldots .$