# Spazio iperbolico

In matematica, lo spazio iperbolico è uno spazio introdotto indipendentemente dai matematici Bolyai e Lobachevsky nel XIX secolo, su cui è definita una particolare geometria non euclidea, detta geometria iperbolica. Si tratta dell'esempio più importante di geometria non euclidea, assieme alla geometria ellittica.
Lo spazio iperbolico ha dimensione arbitraria $n$ ed è indicato con $\mathbb {H} ^{n}$. Può essere realizzato tramite vari modelli equivalenti, quali ad esempio il disco, il semispazio di Poincaré o il modello dell'iperboloide. Come nella geometria euclidea, gli spazi più studiati sono il piano iperbolico $\mathbb {H} ^{2}$ e lo spazio iperbolico tridimensionale $\mathbb {H} ^{3}$.

## I modelli

Lo spazio iperbolico $\mathbb {H} ^{n}$ è un particolare spazio, su cui è definita una geometria che soddisfa i primi 4 assiomi di Euclide ma non il quinto. La geometria presente in questo spazio è detta iperbolica.
Il numero $n$ indica la dimensione dello spazio iperbolico. In ogni dimensione $n$, lo spazio iperbolico può essere realizzato da differenti modelli, tutti equivalenti.

### Modello del disco

Nel modello del disco di Poincaré, lo spazio iperbolico è la palla $n$-dimensionale
    $B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|<1\}.$
Per $n=2$, questo è il cerchio di raggio unitario centrato nell'origine del piano cartesiano, senza la circonferenza di bordo.
Una retta nel disco di Poincaré è un arco di circonferenza, oppure un segmento, che interseca il bordo $\partial B^{n}$ della palla $B^{n}$ ortogonalmente in due punti. Due "rette" che si intersecano in un punto formano un angolo, e la sua ampiezza è pari all'angolo formato dalle tangenti.

### Modello del semispazio

Nel modello del semispazio di Poincaré, lo spazio iperbolico è il semispazio
    $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ x_{n}>0\}.$
Come nel modello del disco, le rette iperboliche sono gli archi di circonferenza e le rette ortogonali al bordo. In questo modello, il bordo è l'iperpiano orizzontale $x_{n}=0$.

### Modello di Klein

Nel modello di Klein lo spazio iperbolico è (come nel modello del disco) l'insieme dei punti interni ad un cerchio $C$. Le rette sono però segmenti veri e propri: la maggiore semplicità nel descrivere le rette viene però pagata nella descrizione degli angoli, che sono distorti rispetto agli angoli euclidei: l'angolo formato da due rette non è quello euclideo, ma dipende da questo tramite una formula opportuna.
La distanza fra due punti $P$ e $Q$ interni al disco è
    $d(P,Q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {|Q-A||P-B|}{|P-A||Q-B|}}$
dove $|R-S|$ è la distanza euclidea fra i punti $R$ e $S$. I punti $A$ e $B$ sono le intersezioni fra la retta euclidea passante per $P$ e $Q$ e il bordo $\partial B^{n}$. Il logaritmo è il logaritmo naturale. L'argomento del logaritmo è il birapporto dei quattro punti allineati.

### Modello dell'iperboloide

Nel modello dell'iperboloide, lo spazio iperbolico è l'iperboloide
    $H={\big \(x_{1},\ldots ,x_{n+1})\in \mathbb {R} ^{n+1}\ {\big |}\ x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}=-1,x_{n+1}>0{\big \}}.$
In questo modello, una retta è data dall'intersezione di $H$ con un piano passante per l'origine di $\mathbb {R} ^{n+1}$. In questo contesto, è utile definire su $\mathbb {R} ^{n+1}$ una struttura di spaziotempo di Minkowski, cioè il prodotto scalare con segnatura $(n,1)$:
    $\phi {\big(x_{1},\ldots ,x_{n+1}),(y_{1},\ldots ,y_{n+1}){\big )}=x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}-x_{n+1}y_{n+1}.$
L'insieme degli $x$ aventi $\phi (x,x)=-1$ ha due componenti connesse, una delle quali (quella superiore, avente $x_{n+1}>0$) è l'iperboloide $H$. La distanza fra due punti $P$ e $Q$ su $H$ è definita come
    $d(P,Q)=\operatorname {arcosh} (\phi (P,Q)).$

### Definizione univoca

La definizione più rigorosa di spazio iperbolico $\mathbb {H} ^{n}$ è la seguente: $\mathbb {H} ^{n}$ è l'unica varietà iperbolica completa e semplicemente connessa di dimensione $n$. Una varietà iperbolica è una varietà riemanniana avente curvatura sezionale costantemente $-1$.
Per "unica" si intende "a meno di isometrie": tutti i modelli elencati sopra sono in effetti collegati tramite isometrie, quindi definiscono concretamente la stessa varietà. Il fatto che esista un solo spazio con queste proprietà è un teorema importante in geometria differenziale.

## Sottospazi
### Geodetiche

Una geodetica è l'analogo della retta nel contesto euclideo. Nel modello del disco o del semispazio, le geodetiche sono archi di circonferenza o retta ortogonali al bordo (del disco o del semispazio). Le geodetiche hanno proprietà simili alle rette nella geometria euclidea:
* Per ogni coppia di punti distinti passa una sola geodetica,
* Per ogni punto e per ogni vettore tangente nel punto, esiste un'unica geodetica passante per il punto e tangente a questo vettore,
* La geodetica che collega due punti $P$ e $Q$ è la curva con lunghezza minore fra tutte le curve che collegano i due punti. Questa lunghezza è proprio pari alla distanza $d(P,Q)$.
Le ultime due proprietà sono valide, almeno localmente, in ogni varietà riemanniana.

### Sottospazi

Come nello spazio euclideo, in quello iperbolico sono definiti, oltre alle geodetiche, spazi di dimensione superiore, come ad esempio i piani.
Un sottospazio di $\mathbb {H} ^{n}$ è un sottoinsieme $S$ tale che per ogni coppia $P$ e $Q$ di punti in $S$ l'intera geodetica passante per $P$ e $Q$ è contenuta in $S$.
Mentre le geodetiche esistono (almeno localmente) in ogni varietà riemanniana, i sottospazi esistono solo in varietà molto particolari, quali appunto lo spazio euclideo e quello iperbolico. Come nel caso euclideo, un sottospazio di $\mathbb {H} ^{n}$ risulta essere isometrico a $\mathbb {H} ^{k}$, per qualche $k$. Il numero $k$ è la dimensione del sottospazio: per $k=1$ si ottiene una geodetica, per $k=2$ un piano, etc.
L'intersezione di due sottospazi è sempre un sottospazio.

### Parallelismo

Lo spazio iperbolico si differenzia però nettamente da quello euclideo per la nozione di parallelismo. Dati due sottospazi $S$ e $S'$ disgiunti, esistono due nozioni di parallelismo ben distinte:
* Se esiste un $k>0$ tale che $d(x,x')>k$ per ogni $x$ in $S$ e ogni $x'$ in $S'$, allora i due spazi sono ultraparalleli.
* Se non esiste un tale $k$, i due spazi sono asintoticamente paralleli.
Nel secondo caso, esistono successioni di punti $(x_{i})$ e $(x_{i}')$ in $S$ e $S'$ le cui distanze $d(x_{i},x_{i}')$ tendono a zero. Questo fenomeno non si verifica negli spazi euclidei.

## Isometrie

Una isometria di $\mathbb {H} ^{n}$ è un movimento rigido dello spazio, cioè una funzione che sposta tutti i punti dello spazio mantenendo le distanze fra questi. Le isometrie dello spazio iperbolico si comportano per molti aspetti in modo simile a quelle dello spazio euclideo. Possono inoltre essere studiate efficacemente tramite la sfera all'infinito.

### Spazio omogeneo e isotropo

Nello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$, esempi di isometrie sono le traslazioni e le rotazioni. Tramite queste isometrie è possibile spostare punti e rette a piacimento: la stessa proprietà vale anche nello spazio iperbolico: questo è infatti omogeneo e isotropo: i punti e le rette sono tutti indistinguibili. Più precisamente, per ogni coppia di punti $P$ e $Q$, e per ogni coppia di rette $r$ e $s$ passanti rispettivamente per $P$ e $Q$, esiste una isometria dello spazio che manda $P$ in $Q$ e $r$ in $s$.

### Sfera all'infinito

Nel modello del disco di Poincaré $B^{n}$, la sfera all'infinito dello spazio iperbolico $\mathbb {H} ^{n}$ è il bordo $\partial B^{n}$ del disco. Come spazio topologico, ${\overline {\mathbb {H} ^{n}}}$ è omeomorfo al disco chiuso
    $D^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|\leq 1\}=B^{n}\cup S^{n-1}.$
Si tratta quindi di uno spazio compatto. Il procedimento di compattificazione tramite aggiunta di "punti all'infinito" è simile al passaggio dallo spazio euclideo a quello proiettivo.

### Tipi di isometrie

Una isometria dello spazio iperbolico
    $f:\mathbb {H} ^{n}\to \mathbb {H} ^{n}$
si estende al bordo. Esiste cioè un unico omeomorfismo
    ${\bar {f}}:{\overline {\mathbb {H} ^{n}}}\to {\overline {\mathbb {H} ^{n}}}$
che coincide con $f$ all'interno del disco, cioè su $\mathbb {H} ^{n}$.
Il teorema del punto fisso di Brouwer asserisce che ogni omeomorfismo del disco chiuso $D^{n}$ in sé ha un punto fisso. Tale teorema, che non è valido sulla palla aperta $B^{n}$, garantisce quindi l'esistenza di un punto fisso per la funzione estesa ${\bar {f}}$ (ma non per $f$).
Una isometria $f$ che preserva l'orientazione dello spazio iperbolico è detta:
* ellittica se ha un punto fisso in $\mathbb {H} ^{n}$,
* parabolica se non ha punti fissi in $\mathbb {H} ^{n}$ e ne ha uno al bordo $\partial \mathbb {H} ^{n}$,
* iperbolica se non ha punti fissi in $\mathbb {H} ^{n}$ e ne ha due al bordo $\partial \mathbb {H} ^{n}$.
Non vi sono altre possibilità oltre a quelle elencate.

### Varietà iperboliche complete

Ogni varietà iperbolica completa è ottenibile come quoziente dello spazio iperbolico per un gruppo di isometrie che agisce in modo libero e propriamente discontinuo. In particolare, una tale isometria non deve avere punti fissi in $\mathbb {H} ^{n}$.
Se la varietà iperbolica è orientabile, il gruppo è formato da isometrie che preservano l'orientazione. Tali isometrie sono quindi iperboliche o paraboliche (le ellittiche sono escluse perché hanno punti fissi in $\mathbb {H} ^{n}$). Se la varietà è compatta, tutte le isometrie sono iperboliche.

## Piano iperbolico
### Geometria iperbolica

Il piano iperbolico è lo spazio iperbolico $\mathbb {H} ^{2}$ bidimensionale. È lo spazio iperbolico più studiato, ed il primo ad essere stato introdotto storicamente, come esempio di geometria iperbolica e quindi non-euclidea. Sul piano iperbolico sono infatti validi i primi quattro assiomi di Euclide:
* Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.
* Si può prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente.
* Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.
* Tutti gli angoli retti sono uguali.
ma non è vero il quinto:
       Data una qualsiasi retta $r$ ed un punto $P$ non appartenente ad essa, è possibile tracciare per $P$ una ed una sola retta parallela alla retta $r$ data.
Quest'ultimo assioma va infatti sostituito con il seguente:
       Data una qualsiasi retta $r$ ed un punto $P$ non appartenente ad essa, è possibile tracciare per $P$ infinite rette parallele alla retta $r$ data.

## Spazio iperbolico tridimensionale

Lo spazio iperbolico tridimensionale $\mathbb {H} ^{3}$ è stato oggetto di intensi studi da parte dei matematici soprattutto a partire dalla fine degli anni settanta, cioè più di un secolo dopo l'introduzione del piano iperbolico. L'improvviso interesse per lo spazio iperbolico è dovuto agli studi di William Thurston, che hanno mostrato inaspettatamente l'enorme importanza della geometria iperbolica nello studio delle varietà differenziabili di dimensione 3.