# Spazio di Fréchet

In matematica, uno spazio di Fréchet è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso che è completo rispetto a una metrica invariante sotto traslazione. Tali spazi prendono il nome dal matematico Maurice Fréchet. Sono diversi gli esempi di spazi di funzioni che sono spazi di Fréchet, tra i più rilevanti gli spazi di Banach, che sono completi rispetto alla metrica indotta dalla norma.

## Definizione

Gli spazi di Fréchet possono essere definiti in due modi equivalenti: il primo utilizza una metrica invariante sotto traslazione, il secondo una famiglia numerabile di seminorme.
Uno spazio vettoriale topologico $X$ è uno spazio di Fréchet se soddisfa le seguenti proprietà:
* è localmente convesso;
* la sua topologia può essere indotta da una metrica invariante rispetto a traslazioni, cioè una distanza $d:X\times X\to \mathbb {R}$ tale per cui $d(x,y)=d(x+a,y+a)$ per tutti gli $a,x,y\in X,$ questo significa che $U\subset X$ è aperto se e solo se per ogni $u\in U$ esiste $\varepsilon >0$ tale che $\{v:d(u,v)<\varepsilon \}\subset U;$
* è uno spazio metrico completo.
Si nota che non vi è una nozione naturale di distanza tra due punti di uno spazio di Fréchet: differenti metriche invarianti sotto traslazione possono infatti indurre la medesima topologia.
In modo equivalente, uno spazio vettoriale topologico $X$ è uno spazio di Fréchet se soddisfa le seguenti proprietà:
* è uno spazio di Hausdorff;
* la sua topologia può essere indotta da una famiglia numerabile di seminorme $\|\cdot \|_{k}$, con $k$ intero non negativo, questo significa che $U\subset X$ è aperto se e solo se per ogni $u\in U$ esistono $K\geq 0$ e $\varepsilon >0$ tali che $\{v:\|u-v\|_{k}<\varepsilon \ \forall k\leq K\}\subset U$;
* è completo rispetto alla famiglia di seminorme.
Una successione $(x_{n})\in X$ converge a $x$ nello spazio di Fréchet definito da una famiglia di seminorme se e solo se converge a $x$ rispetto a ognuna delle seminorme.

## Costruzione di spazi di Fréchet

La seminorma $\|\cdot \|$ è una funzione definita da uno spazio vettoriale $X$ a valori in $\mathbb {R}$ e che soddisfa le tre seguenti proprietà per tutti i vettori $x$ e $y$ in $X$ e per ogni scalare $c$:
    $\|x\|\geq 0;$
    $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|;$
    $\|c\cdot x\|=|c|\|x\|.$
Se $\|x\|=0$ implica $x=0$, allora $\|\cdot \|$ è di fatto una norma.
Le seminorme consentono di costruire spazi di Fréchet partendo da uno spazio vettoriale $X$, sul quale si definisce una famiglia numerabile di seminorme $\|\cdot \|_{k}$ con le seguenti proprietà:
* se $x\in X$ e $\|x\|_{k}=0$ per $k\geq 0$, allora $x=0;$
* se $(x_{n})$ è una successione in $X$ che è una successione di Cauchy rispetto ad ogni seminorma $\|\cdot \|_{k}$, allora esiste $x\in X$ tale che $(x_{n})$ converge a $x$ rispetto ad ogni seminorma $\|\cdot \|_{k}.$
La topologia indotta dalla famiglia numerabile di seminorme rende $X$ uno spazio di Fréchet: la prima proprietà assicura che sia uno spazio di Hausdorff mentre la seconda che sia completo.
La medesima topologia può essere generata utilizzando una metrica completa invariante sotto traslazione definita da:
    $d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }2^{-k}{\frac {\|x-y\|_{k}}{1+\|x-y\|_{k}}},$
per ogni $x,y\in X.$ Si nota che la funzione $u\to u/(1+u)$ mappa $[0,\infty )$ in $[0,1)$ in modo monotono, e dunque la precedente definizione assicura che la distanza $d(x,y)$ è "piccola" se e solo se esiste $K$ abbastanza "grande" da fare in modo che $\|x-y\|_{k}$ sia "piccola" per $k=0,\dots ,K$.

## Differenziazione in spazi di Fréchet

Se $X$ e $Y$ sono spazi di Fréchet, allora lo spazio $L(X,Y)$ degli operatori lineari continui da $X$ in $Y$ non è uno spazio Fréchet. Questa è la maggiore distinzione tra la teoria degli spazi di Banach e quella degli spazi di Fréchet, che necessitano di una differente definizione di differenziazione con continuità: la derivata di Gâteaux.
Siano $X$ e $Y$ spazi di Fréchet, $U$ un aperto di $X$, $P:U\to Y$ una funzione, $x\in U$ e $h\in X$. Si dice che $P$ è una funzione differenziabile in $x$ nella direzione $h$ se esiste il limite:
    $D(P)(x)(h)=\lim _{t\to 0}\,{\frac {1}{t}}{\BigP(x+th)-P(x){\Big )}$
Si dice che $P$ è differenziabile con continuità in $U$ se $D(P):U\times X\to Y$ è una funzione continua.
Se $P:U\to Y$ è differenziabile con continuità allora l'equazione differenziale:
    $x'(t)=P(x(t))\qquad x(0)=x_{0}\in U$
non ha necessariamente soluzioni, e se esistono possono non essere uniche. Questo è in forte contrasto con la situazione negli spazi di Banach.
Il teorema della funzione inversa non è valido in spazi di Fréchet: un suo parziale sostituto è il teorema di Nash-Moser.