# Equazione xʸ = yˣ

In generale, l'elevamento a potenza non gode della proprietà commutativa. Tuttavia, l'equazione $x^{y}=y^{x}$ vale in casi speciali, come $x=2,\ y=4.$

## Storia

L'equazione $x^{y}=y^{x}$ è menzionata in una lettera di Daniel Bernoulli a Christian Goldbach del 29 giugno 1728. La lettera afferma che quando $x\neq y$ le uniche soluzioni nell'insieme dei numeri naturali sono $(2,4)$ e $(4,2),$ sebbene ci siano infinite soluzioni nell'insieme dei numeri razionali, come
    $\left({\tfrac {9}{4}},{\tfrac {27}{8}}\right),\left({\tfrac {256}{81}},{\tfrac {64}{27}}\right),\left({\tfrac {256}{81}},{\tfrac {625}{256}}\right),\ldots ,\left((1+{\tfrac {1}{n}})^{n},(1+{\tfrac {1}{n}})^{(n+1)}\right).$
La risposta di Goldbach, del 31 gennaio 1729, contiene la soluzione generale dell'equazione, ottenuta con la sostituzione $y=vx.$ Una soluzione simile è stata trovata da Eulero.
J. van Hengel ha sottolineato che se $r,n$ sono numeri interi positivi con $r\geq 3$, allora $r^{r+n}>(r+n)^{r}$; quindi è sufficiente considerare le possibilità $x=1$ e $x=2$ per trovare soluzioni nei numeri naturali.
Il problema è stato discusso in numerose pubblicazioni. Nel 1960, l'equazione era tra le domande sulla William Lowell Putnam Competition, che spinse Alvin Hausner a estendere i risultati ai campi di numeri algebrici.

## Soluzioni reali positive

Un insieme infinito di soluzioni banali nei numeri reali positivi è dato da $x=y.$ Le soluzioni non banali possono essere scritte esplicitamente come:
    $y=\exp {\Big{-W_{-1}{\Big-{\frac {\ln x}{x}}{\Big )}}{\Big ]},\quad \mathrm {per} \quad 1<x<e,$
    $y=\exp {\Big{-W_{0}{\Big-{\frac {\ln x}{x}}{\Big )}}{\Big ]},\quad \mathrm {per} \quad e<x.$
Qui, $W_{-1}$ e $W_{0}$ rappresentano i rami negativi e principali della funzione W di Lambert.
Soluzioni non banali possono essere trovate più facilmente assumendo $x\neq y$ e ponendo $y=vx.$ Ne segue
    $(vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.$
Elevando entrambi termini alla ${\tfrac {1}{x}}$ e dividendo per $x$, si ottiene
    $v=x^{v-1}.$
Quindi le soluzioni non banali nei reali positivi sono espresse come
    $x=v^{1/(v-1)},$
    $y=v^{v/(v-1)}.$
Ponendo $v=2$ o $v={\tfrac {1}{2}}$ si ottiene la soluzione non banale negli interi positivi: $4^{2}=2^{4}.$
Esistono altre coppie costituite da numeri algebrici, come ${\sqrt {3}}$ e $3{\sqrt {3}}$, così come ${\sqrt[{3}]{4}}$ e $4{\sqrt[{3}]{4}}$.
La parametrizzazione di cui sopra porta a una proprietà geometrica di questa curva: $x^{y}=y^{x}$ descrive la curva isoclina dove le funzioni potenza della forma $x^{v}$ hanno coefficiente angolare $v^{2}$ per una scelta reale positiva di $v\neq 1$. Per esempio, $x^{8}=y$ ha un coefficiente angolare di $8^{2}$ nel punto $({\sqrt[{7}]{8}},{\sqrt[{7}]{8}}^{8}),$ che è anche un punto sulla curva $x^{y}=y^{x}.$
Le soluzioni banali e non banali si intersecano quando $v=1.$ Le equazioni precedenti non possono essere calcolate direttamente, ma si può prendere il limite per $v\to 1.$ Questo è più convenientemente fatto sostituendo $v=1+1/n$ e mandando $n\to \infty ,$, così
    $x=\lim _{v\to 1}v^{1/(v-1)}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e.$
Quindi, la retta $y=x$ e la curva $x^{y}-y^{x}=0,$ con $y\neq x,$ si intersecano in $x=y=e.$
Per $x\to \infty$, la soluzione non banale è asintotica alla retta $y=1.$ Una forma asintotica più completa è
    $y=1+{\frac {\ln x}{x}}+{\frac {3}{2}}{\frac {(\ln x)^{2}}{x^{2}}}+\cdots .$

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La curva ${\sqrt[{x}]{y}}-{\sqrt[{y}]{x}}=0,$ con $y\neq x,$ può essere scritta esplicitamente come
    $y=e^{W_{0}(\ln(x^{x}))},\quad \mathrm {per} \quad 0<x<1/e,$
    $y=e^{W_{-1}(\ln(x^{x}))},\quad \mathrm {per} \quad 1/e<x<1.$
Questa equazione descrive la curva isoclina in cui le funzioni potenza hanno coefficiente angolare 1, analoga alla proprietà geometrica di $x^{y}=y^{x}$ descritta sopra.
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