# Identità di Cassini

L'identità di Cassini, scoperta nel 1680 dal matematico ed astronomo italiano Giovanni Cassini, è un'identità che si applica ai numeri di Fibonacci.
La successione di Fibonacci è una successione di numeri interi naturali definita assegnando ai primi due valori
$F_{0}=0$, $F_{1}=1$
e successivamente definendo i restanti valori della successione come la somma dei due precedenti e cioè:
$F_{n}:=F_{n-1}+F_{n-2}$ $\forall n\geq 2$
L'identità di Cassini asserisce che per ogni n ≥ 2 si ha:
$F_{n+1}\cdot F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$

## Dimostrazione

Dimostriamo la proprietà procedendo per induzione su n.
Base Induttiva:
Per n = 2 si ha: $F_{3}\cdot F_{1}-F_{2}^{2}=2\cdot 1-1=1=(-1)^{2}$. Quindi l'enunciato è valido per n = 2.
Passo Induttivo:
Supponiamo che la proprietà sia valida per un certo n, ossia che valga $F_{n+1}\cdot F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$, e dimostriamo che allora vale anche per n + 1, cioè che si ha $F_{n+2}\cdot F_{n}-F_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}$.
Da come è definita la successione di Fibonacci, si ricava che $F_{n-1}=F_{n+1}-F_{n}$; sostituendo nell'ipotesi induttiva si ottiene:
$F_{n+1}\cdot (F_{n+1}-F_{n})-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$
da cui segue che
$F_{n+1}^{2}-F_{n+1}\cdot F_{n}-F_{n}^{2}=F_{n+1}^{2}-F_{n}\cdot (F_{n+1}+F_{n})=(-1)^{n}$
Ma $F_{n+1}+F_{n}=F_{n+2}$, dunque:
$F_{n+1}^{2}-F_{n}\cdot F_{n+2}=(-1)^{n}$
e moltiplicando ambo i membri per $-1$ si ha
$F_{n}\cdot F_{n+2}-F_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}$.

## Generalizzazioni

Nel 1879, il matematico belga Eugene Catalan propose la seguente generalizzazione:
$F_{n-r}F_{n+r}-F_{n}^{2}=(-1)^{n-r+1}F_{r}^{2}$
che, ponendo $r=1$, diventa
$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}F_{1}^{2}=(-1)^{n}$
cioè l'identità di Cassini.
Più recentemente, nel 1989, Steven Vajda ha pubblicato questa ulteriore generalizzazione:
$F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}$
Ovviamente anche da questa identità si ricavano come casi particolari le altre due:
* l'identità di Cassini si ottiene ponendo $i=-1,\;j=1$
* l'identità di Catalan si ottiene ponendo $i=-r,\;j=r$
applicando l'estensione di Fibonacci agli indici negativi: $F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}$ .

## Dimostrazione dell'identità generalizzata

Vogliamo dimostrare che
$F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}$
Poniamo
${\begin{aligned}\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\\\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\end{aligned}}$
Applicando la Formula di Binet, secondo cui si ha che
$F_{n}={\frac {\Phi ^{n}-\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$
e osservando che $\Phi \varphi =-1$, per il primo prodotto al primo membro risulta
5F$_{n+i}$F$_{n+j}$=(Φ$^{n+i}$−φ$^{n+i}$)(Φ$^{n+j}$−φ$^{n+j}$)=Φ$^{2n+i+j}$+φ$^{2n+i+j}$−(Φφ)$^n$(Φ$^j$φ$^i$+Φ$^i$φ$^j$)=Φ$^{2n+i+j}$+φ$^{2n+i+j}$−(Φ$^j$φ$^i$+Φ$^i$φ$^j$)(−1)$^n${\textstyle 5F_{n+i}F_{n+j}=(\Phi ^{n+i}-\varphi ^{n+i})(\Phi ^{n+j}-\varphi ^{n+j})=\Phi ^{2n+i+j}+\varphi ^{2n+i+j}-(\Phi \varphi )^{n}(\Phi ^{j}\varphi ^{i}+\Phi ^{i}\varphi ^{j})=\Phi ^{2n+i+j}+\varphi ^{2n+i+j}-(\Phi ^{j}\varphi ^{i}+\Phi ^{i}\varphi ^{j})(-1)^{n}}
Per il secondo prodotto a primo membro abbiamo
5F$_n$F$_{n+i+j}$=(Φ$^n$−φ$^n$)(Φ$^{n+i+j}$−φ$^{n+i+j}$)=Φ$^{2n+i+j}$+φ$^{2n+i+j}$−(Φφ)$^n$(Φ$^{i+j}$+φ$^{i+j}$)=Φ$^{2n+i+j}$+φ$^{2n+i+j}$−(Φ$^{i+j}$+φ$^{i+j}$)(−1)$^n${\textstyle 5F_{n}F_{n+i+j}=(\Phi ^{n}-\varphi ^{n})(\Phi ^{n+i+j}-\varphi ^{n+i+j})=\Phi ^{2n+i+j}+\varphi ^{2n+i+j}-(\Phi \varphi )^{n}(\Phi ^{i+j}+\varphi ^{i+j})=\Phi ^{2n+i+j}+\varphi ^{2n+i+j}-(\Phi ^{i+j}+\varphi ^{i+j})(-1)^{n}}
Sottraendo la seconda espressione dalla prima, si ottiene
5(F$_{n+i}$F$_{n+j}$−F$_n$F$_{n+i+j}$)=(Φ$^{i+j}$+φ$^{i+j}$−Φ$^j$φ$^i$−Φ$^i$φ$^j$)(−1)$^n$=(−1)$^n$[Φ$^i$(Φ$^j$−φ$^j$)−φ$^j$(Φ$^i$−φ$^i$)]=(−1)$^n$(Φ$^i$−φ$^i$)(Φ$^j$−φ$^j$)=5(−1)$^n$F$_i$F$_j${\textstyle 5(F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j})=(\Phi ^{i+j}+\varphi ^{i+j}-\Phi ^{j}\varphi ^{i}-\Phi ^{i}\varphi ^{j})(-1)^{n}=(-1)^{n}[\Phi ^{i}(\Phi ^{j}-\varphi ^{j})-\varphi ^{j}(\Phi ^{i}-\varphi ^{i})]=(-1)^{n}(\Phi ^{i}-\varphi ^{i})(\Phi ^{j}-\varphi ^{j})=5(-1)^{n}F_{i}F_{j}}
e infine, dividendo per $5$,
$F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}$