# Polinomio di Bernoulli

In matematica, i polinomi di Bernoulli si incontrano nello studio di molte funzioni speciali e in particolare della funzione zeta di Riemann e della funzione zeta di Hurwitz. Questo in gran parte è dovuto al fatto che essi costituiscono la sequenza di Sheffer relativa all'ordinario operatore di derivazione. Contrariamente alle successioni di polinomi ortogonali, la successione dei polinomi di Bernoulli è caratterizzata dal fatto che il numero delle intersezioni con l'asse delle x nell'intervallo unitario non cresce illimitatamente al crescere del grado dei polinomi. Al crescere del grado i polinomi di Bernoulli, sottoposti ad appropriate omotetie, approssimano le funzioni seno e coseno.

## Funzioni generatrici

La funzione generatrice dei polinomi di Bernoulli è
    ${\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}$ .
La funzione generatrice dei polinomi di Eulero è invece
    ${\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$

## Caratterizzazione mediante un operatore differenziale

I polinomi di Bernoulli si possono anche definire come:
    $B_{n}(x):={D \over e^{D}-1}x^{n},$
dove $D:={\frac {d}{dx}}$ denota la differenziazione rispetto alla $x$ e la frazione va sviluppata come serie formale di potenze.
Allo stesso modo, i polinomi di Eulero sono dati da:
    $E_{n}(x)={\frac {2}{e^{D}+1}}x^{n}.$

## Formula esplicita

Una formula esplicita per i polinomi di Bernoulli è la seguente:
    $B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}.$
Si osserva la rilevante somiglianza con l'espressione mediante la serie globalmente convergente per la funzione zeta di Hurwitz. In effetti si ha
    $B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,x),$
dove $\zeta (s,q)$ denota la zeta di Hurwitz; in un certo senso, la zeta di Hurwitz estende i polinomi di Bernoulli ai valori non interi della $n.$
Una formula esplicita per i polinomi di Eulero è data da:
    $E_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}.$

## I numeri di Bernoulli e i numeri di Eulero

I numeri di Bernoulli sono dati da $B_{n}=B_{n}(0).$
A loro volta i numeri di Eulero sono dati da $E_{n}=2^{n}E_{n}(1/2).$

## Espressioni esplicite per i polinomi dei gradi minori

I primi componenti della successione dei polinomi di Bernoulli sono:
    $B_{0}(x)=1;$
    $B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}};$
    $B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}};$
    $B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x;$
    $B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}};$
    $B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x;$
    $B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.$
I polinomi di Eulero dei gradi più bassi sono:
    $E_{0}(x)=1;$
    $E_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}};$
    $E_{2}(x)=x^{2}-x;$
    $E_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{4}};$
    $E_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x;$
    $E_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}};$
    $E_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x.$

## Differenze

I polinomi di Bernoulli e quelli di Eulero ubbidiscono molte relazioni fornite dal calcolo umbrale:
    $B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1};$
    $E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.$

## Derivate

Ciascuna delle due successioni di polinomi è una sequenza polinomiale e più precisamente una sequenza di Appel:
    $B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x);$
    $E_{n}'(x)=nE_{n-1}(x).$

## Traslazioni

    $B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k};$
    $E_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}.$
Queste identità sono equivalenti ad affermare che ciascuna di queste successioni polinomiali è una sequenza di Appel. Un altro esempio di queste successioni è fornito dai polinomi di Hermite.

## Simmetrie

    $B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x);$
    $E_{n}(1-x)=(-1)^{n}E_{n}(x);$
    $(-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1};$
    $(-1)^{n}E_{n}(-x)=-E_{n}(x)+2x^{n}.$

## Serie di Fourier

La serie di Fourier dei polinomi di Bernoulli è anche una serie di Dirichlet e un caso speciale di funzione zeta di Hurwitz
    $B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}.$

## Inversione

Può essere utile esprimere le potenze della variabile come combinazioni lineari dei polinomi di Bernoulli. Specificamente si ha
    $x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x).$
Queste uguaglianze e le espressioni esplicite dei polinomi di Bernoulli vanno viste come le identità di collegamento tra le due basi dello spazio vettoriale dei polinomi fornite dalle potenze della variabile e dai polinomi di Bernoulli.

## Collegamento con i fattoriali decrescenti

Un'altra coppia di successioni di identità di collegamento fra basi dello spazio vettoriale dei polinomi riguarda i polinomi di Bernoulli e i fattoriali decrescenti. I polinomi di Bernoulli sono espressi come combinazioni lineari di fattoriali decrescenti $(x)_{k}$ dalle
    $B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1},$
dove $B_{n}:=B_{n}(0)$ e
    $\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)$
denota il numero di Stirling di seconda specie. Viceversa i fattoriali decrescenti sono espressi come combinazioni lineari di polinomi di Bernoulli:
    $(x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right),$
dove
    $\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=s(n,k)$
denota il numero di Stirling di prima specie.

## Teoremi di moltiplicazione

Questi teoremi di moltiplicazione sono stati dati da Joseph Ludwig Raabe nel 1851:
    $B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right);$
    $E_{n}(mx)=m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}E_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right),\quad {\text{per }}m=1,3,\ldots ;$
    $E_{n}(mx)={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}B_{n+1}\left(x+{\frac {k}{m}}\right),\quad {\text{per }}m=2,4,\ldots .$

## Integrali

Integrali indefiniti
    $\int _{a}^{x}dt\;B_{n}(t)={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}};$
    $\int _{a}^{x}dt\;E_{n}(t)={\frac {E_{n+1}(x)-E_{n+1}(a)}{n+1}}.$
Integrali definiti
    $\int _{0}^{1}dt\;B_{n}(t)B_{m}(t)=(-1)^{n-1}{\frac {m!n!}{(m+n)!}}B_{n+m},\quad {\text{per }}m,n\geq 1;$
    $\int _{0}^{1}dt\;E_{n}(t)E_{m}(t)=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}.$