# Tavola dei gruppi piccoli

Viene qui presentata una tavola dedicata ai gruppi finiti di ordine piccolo, cioè di cardinalità contenuta. Vengono elencati tutti i gruppi con al più 19 elementi.
Tavole di questo tipo, oltre a fornire numerosi esempi, sono anche utili per capire "che tipo di gruppo è" un gruppo dato (cioè, più formalmente, a quale di questi è isomorfo). Infatti in molti casi alcune semplici informazioni facilmente calcolabili, come la cardinalità e il fatto che sia abeliano o meno, sono sufficienti a determinare il gruppo dato.

## Notazioni usate

* C$_n$: gruppo ciclico di ordine n, si assume come convenzione che C$_n$= { e, a, a$^2$, a$^3$, a$^4$, a$^5$,..., a$^{n-1}$ }.
* D$_n$: gruppo diedrale di ordine 2n: D$_n$=$\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle$
* S$_n$: gruppo simmetrico di grado n, costituito dalle n! permutazioni di n oggetti.
* A$_n$: gruppo alternante di grado n, costituito dalle n!/2 permutazioni pari degli n oggetti. Tale gruppo può essere visto come sottogruppo di indice 2 del gruppo S$_n$.
* Dic$_n$: gruppo diciclico di ordine 4n.
* e: elemento neutro del gruppo.
* <a>: sottogruppo ciclico generato dall'elemento a.
La notazione G × H denota il prodotto diretto di due gruppi G e H. I gruppi abeliani e i gruppi semplici vengono segnalati. Per i gruppi di ordine n < 60, i gruppi semplici sono precisamente i gruppi ciclici C$_n$, per n numero primo. Per denotare la relazione di isomorfismo tra gruppi usiamo il segno di uguaglianza "=".
Nei grafi dei cicli dei gruppi l'elemento identità è raffigurato da un cerchietto nero.

## Tavola

| Ordine | Gruppo | Proprietà | Sottogruppi normali | Sottogruppi massimali |
| 1 | Gruppo banale = C$_1$ = S$_1$ = A$_2$ | abeliano | C$_1$ = S$_1$ = A$_2$ | |
| 2 | C$_2$ = S$_2$ | abeliano, semplice, il più piccolo gruppo non banale | {e}, C$_2$ = S$_2$ | {e} |
| 3 | C$_3$ = A$_3$ | abeliano, semplice | {e}, C$_3$ = A$_3$ | {e} |
| 4 | C$_4$ | abeliano | {e}, <a$^2$>, C$_4$ | <a$^2$> |
| 4 | Gruppo di Klein = C$_2$ × C$_2$ = D$_2$ | abeliano, il più piccolo gruppo non ciclico | {e}, <r>, 
, <rs>, Dic$_1$ | <r>, 
, <rs> |
| 5 | C$_5$ | abeliano, semplice | {e}, C$_5$ | {e} |
| 6 | C$_6$ = C$_2$ × C$_3$ | abeliano | {e}, <a$^2$>, <a$^3$>, C$_6$ | <a$^2$>, <a$^3$> |
| 6 | S$_3$ = D$_3$ | il più piccolo gruppo non abeliano | {e}, A$_3$=<(1,2,3)>, S$_3$ | <(1,2)>, <(2,3)>, <(1,3)>, A$_3$ |
| 7 | C$_7$ | abeliano, semplice | {e}, C$_7$ | {e} |
| 8 | C$_8$ | abeliano | {e}, <a$^4$>, <a$^2$>, C$_8$ | <a$^2$> |
| 8 | C$_2$ ×C$_4$ | abeliano | | |
| 8 | C$_2$ × C$_2$ × C$_2$ = D$_2$ × C$_2$ | abeliano | | |
| 8 | D$_4$ | non abeliano | | |
| 8 | Gruppo dei quaternioni, Q$_8$ = Dic$_2$ | non abeliano; il più piccolo gruppo hamiltoniano | | |
| 9 | C$_9$ | abeliano | | |
| 9 | C$_3$ × C$_3$ | abeliano | | |
| 10 | C$_{10}$ = C$_2$ × C$_5$ | abeliano | | |
| 10 | D$_5$ | non abeliano | | |
| 11 | C$_{11}$ | abeliano, semplice | | |
| 12 | C$_{12}$ = C$_4$ × C$_3$ | abeliano | | |
| 12 | C$_2$ × C$_6$ = C$_2$ × C$_2$ × C$_3$ = D$_2$ × C$_3$ | abeliano | | |
| 12 | D$_6$ = D$_3$ × C$_2$ | non abeliano | | |
| 12 | A$_4$ | non abeliano | | |
| 12 | Dic$_3$ = prodotto semidiretto di C$_3$ e C$_4$, dove C$_4$ agisce su C$_3$ per inversione | non abeliano | | |
| 13 | C$_{13}$ | abeliano, semplice | | |
| 14 | C$_{14}$ = C$_2$ × C$_7$ | abeliano | | |
| 14 | D$_7$ | non abeliano | | |
| 15 | C$_{15}$ = C$_3$ × C$_5$ | abeliano | | |
| 16 | C$_{16}$ | abeliano | | |
| 16 | C$_2$ × C$_2$ × C$_2$ × C$_2$ | abeliano | | |
| 16 | C$_2$ × C$_2$ × C$_4$ | abeliano | | |
| 16 | C$_2$ × C$_8$ | abeliano | | |
| 16 | C$_4$ × C$_4$ | abeliano | | |
| 16 | D$_8$ | non abeliano | | |
| 16 | Gruppo generalizzato dei quaternioni, Q$_{16}$ = Dic$_4$ | non abeliano | | |
| 16 | C$_2$ × D$_4$ | non abeliano | | |
| 16 | C$_2$ × Q$_8$ | non abeliano | | |
| 16 | Gruppo quasidiedrale di ordine 16 | non abeliano | | |
| 16 | Gruppo modulare di ordine 16 | non abeliano | | |
| 16 | Prodotto semidiretto di C$_4$ e C$_4$ dove un fattore agisce sull'altro per inversione | non abeliano | | |
| 16 | Gruppo generato dalle matrici di Pauli | non abeliano | | |
| 16 | G$_{4,4}$ | non abeliano | | |
| 17 | C$_{17}$ | abeliano, semplice | | |
| 18 | C$_{18}$ | abeliano | | |
| 18 | D$_9$ | non abeliano | | |
| 18 | C$_3$ × S$_3$ | non abeliano | | |
| 18 | C$_6$ × C$_3$ | abeliano | | |
| 18 | Prodotto semidiretto di C$_3$ × C$_3$ e C$_2$ | non abeliano | | |
| 19 | C$_{19}$ | abeliano, semplice | | |

## Biblioteca dei gruppi piccoli

Il sistema di algebra computazionale GAP contiene la "Small Groups library" che consente di accedere alla descrizione dei gruppi di ordine "piccolo". Anche in questa biblioteca i gruppi sono presentati a meno di isomorfismo, cioè attraverso rappresentanti delle classi di isomorfismo.
Attualmente la biblioteca contiene i seguenti gruppi:
* quelli di ordine non superiore a 2000, eccettuati quelli di ordine 1024 (si tratta di ben 423 164 062 gruppi);
* i gruppi di ordine 5$^5$ e 7$^4$ (92 gruppi);
* i gruppi di ordine q$^n$·p dove q$^n$ è multiplo di 2$^8$, 3$^6$, 5$^5$ o 7$^4$ e dove p è un primo arbitrario diverso da q;
* quelli il cui ordine si fattorizza in al più 3 fattori primi.
Essa contiene descrizioni esplicite dei gruppi presentati in un formato leggibile da computer.
Questa biblioteca è stata costruita e organizzata da Hans Ulrich Besche, Bettina Eick ed Eamonn O'Brien.