# Teorema di Heine-Borel

In matematica, in particolare nella topologia degli spazi metrici, il teorema di Heine–Borel è un teorema che caratterizza gli spazi compatti in $\mathbb {R} ^{n}$. Prende il nome dai matematici Eduard Heine e Émile Borel.

## Il teorema

Il teorema di Heine-Borel afferma che se $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, allora $E$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
Alla luce di questo teorema, in analisi reale la seconda proprietà (chiusura e limitatezza) viene a volte utilizzata come definizione di compattezza. L'equivalenza tuttavia cessa di esser vera su sottospazi di spazi metrici (e topologici) più generali; in un qualunque spazio metrico, comunque, la compattezza rimane condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché un insieme sia chiuso e limitato.

## Dimostrazione con il teorema di Bolzano-Weierstrass

Si dimostra il teorema in $\mathbb {R} ^{2}$, è poi possibile estendere la dimostrazione in $\mathbb {R} ^{n}$.
Si consideri un insieme $A$ limitato, cioè contenuto in una palla $B(x_{0},r)$ a sua volta contenuta in una palla più grande $C(0,R)$. Si consideri una successione in $A$, che essendo in $\mathbb {R} ^{2}$ avrà due coordinate:
    $X_{k}=(X_{k1},X_{k2}),\quad \forall k\in \mathbb {N}$
e tale che:
    $\forall y\in B,d(y,X_{0})<r,\qquad d(y,0)\leq d(y,x_{0})+d(x_{0},0)<R.$
Si ha:
    $|X_{k1}|\leq d(X_{k},0)\leq R,\qquad |X_{k2}|\leq d(X_{k},0)\leq R.$
Essendo quindi $X_{k1}$ limitata, per il teorema di Bolzano-Weierstrass è possibile estrarre una sottosuccessione che converga:
    $X_{kh_{1}}\rightarrow X_{0_{1}}$
Estraendo una sottosuccessione $X_{kh_{2}}$ di $X_{k2}$ convergente, non è detto che converga per stessi indici di $X_{kh_{1}}$. Si estraggono allora altre due sottosuccessioni convergenti (lo sono tutte) con gli stessi indici:
    $X_{khj_{1}}\rightarrow X_{0_{1}},\qquad X_{khj_{2}}\rightarrow X_{0_{2}}.$
Si ha quindi:
    $X_{k}=(X_{khj_{1}},X_{khj_{2}})\rightarrow (X_{0_{1}},X_{0_{2}})=X_{0}.$
Per dimostrare che $X_{0}\in A$, si considera una successione $X_{k}$ appartenente ad $A$.
Per assurdo si ponga che $X_{0}\notin A$ e $A^{C}$. Se $A$ è chiuso, $A^{C}$ è aperto, quindi esiste una palla $B(X_{0},D)$ contenuta in $A^{C}$. Esiste pertanto un $k'$ tale che per $k>k'$ $X_{k}$ appartiene a $B,$ il che è assurdo, perché $X_{k}$ non può appartenere sia a $B$ che ad $A$.

## Corollari

Una conseguenza notevole di questo teorema è la compattezza della sfera in $\mathbb {R} ^{n}$.
Infatti questa è chiusa, poiché è un luogo di zeri di una funzione continua (ad esempio $f(x)=||x||-1$), ed è limitata. Analogamente la palla unitaria chiusa di $\mathbb {R} ^{n}$, essendo limitata e ovviamente chiusa, è compatta.
Da ciò segue che $\mathbb {R} ^{n}$, non essendo compatto, non è omeomorfo alla palla unitaria chiusa in esso contenuta.

## Dimostrazione topologica

Sia $K\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ un compatto. Si consideri il ricoprimento di palle aperte:
    ${\mathcal {R}}=\{B_{n}(0):n\in \mathbb {N} \}.$
Esso deve ammettere un sottoricoprimento finito ${\mathcal {F}}$, dunque $K$ è contenuto nella palla di raggio massimo appartenente a ${\mathcal {F}}$. Da ciò segue che $K$ è limitato. Inoltre i compatti in uno spazio di Hausdorff sono chiusi, dunque $K$ è anche chiuso.
Viceversa, supponiamo che $K\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ sia chiuso e limitato. Allora $K\subseteq {\overline {B_{r}(0)}}$. Ma la n-palla è omeomorfa all'n-cubo:
    $K\subseteq {\overline {B_{r}(0)}}\simeq [0,1]^{n}.$
Si può provare facilmente che $[0,1]$ è compatto anche senza il teorema di Heine-Borel, dunque l'n-cubo è compatto, perché prodotto di compatti (teorema di Tychonoff).
Si ha quindi che anche ${\overline {B_{r}(0)}}$ è compatta e quindi $K$ è un sottospazio chiuso di uno spazio compatto (si noti che essendo ${\overline {B_{r}(0)}}$ chiuso, $K$ è chiuso non solo in $\mathbb {R} ^{n}$, ma anche nella topologia indotta sulla palla), dunque $K$ è compatto.

## Estensioni
### Spazi metrici

Il teorema può essere esteso agli spazi metrici nelle seguenti forme.
Uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato.
Un sottospazio di uno spazio metrico completo è compatto se e solo se è chiuso e totalmente limitato. Dim: è sufficiente provare che un sottospazio di uno spazio metrico completo è a sua volta completo se e solo se è chiuso.

### Spazi vettoriali reali e complessi

Il teorema si applica anche agli spazi vettoriali sul campo reale o complesso di dimensione finita. Cessa di esser valido in spazi di dimensione infinita. Anzi, si può dimostrare che esso è vero se e solo se lo spazio vettoriale (reale o complesso) è di dimensione finita.