# Temperatura di bulbo umido

La temperatura di bulbo umido (in inglese wet bulb temperature) è la temperatura a cui si porta l'acqua in condizioni di equilibrio di scambio convettivo con una massa d'aria in moto turbolento completamente sviluppato. Viene solitamente misurata da un apposito termometro coperto da un panno imbevuto d'acqua.
Tale temperatura riflette l'effetto refrigerante dell'evaporazione dell’acqua. Può essere determinata facendo passare l’aria sopra un termometro che sia stato avvolto con un tessuto umido. L'effetto refrigerante dell’evaporazione dell'acqua causa una temperatura più bassa rispetto a quella del bulbo secco.
A partire dal valore della temperatura di bulbo umido si ricava l'umidità assoluta di un ambiente.
La misurazione della temperatura di bulbo umido riveste particolare importanza sanitaria, in quanto è stato stimato che una temperatura di bulbo umido di 35 gradi protratta per una durata di 6 ore porta alla morte delle persone, anche di individui in perfetta salute.

## Misurazione della temperatura di bulbo umido

Per calcolare la temperatura di bulbo umido si avvolge un termometro a mercurio con una garza imbevuta di acqua e investita da un flusso di aria continuo con velocità $v_{\infty }$.
Lo strumento utilizzato per tale misurazione è chiamato psicrometro.

### Transitorio iniziale

Inizialmente l'intero sistema si trova a temperatura $T$, ed esiste un gradiente di concentrazione tra l'interfaccia e il bulk. In particolare, si ha una concentrazione (espressa in termini di frazione molare $y_{i}$ all'interfaccia e $y$ nel bulk.
Si ha quindi un flusso di materia $N_{A}$ pari a:
    $N_{A}=K'_{y}(y_{i}-y)={\frac {K_{y}}{(1-y)_{ML}}}(y_{i}-y)$
in cui $K'_{y}$ rappresenta il coefficiente di trasporto in fase stagnante, $K_{y}$ è il coefficiente di trasporto in controdiffusione per trasporto equimolecolare, e $(1-y)_{ML}$ rappresenta la differenza media logaritmica di $(1-y)$.
In una fase iniziale (transitorio), la temperatura $T_{i}$ all'interfaccia liquido-gas sarà minore della temperatura $T_{L}$ nel bulk del liquido. In queste condizioni si ha un flusso di calore $q_{L}$ dovuto alla differenza di temperatura tra liquido e interfaccia, pari a:
    $q_{L}=h_{L}(T_{L}-T_{i})$
e un flusso di calore $q_{G}$ contrario, dovuto alla differenza di temperatura tra il bulk del gas e l'interfaccia:
    $q_{G}=h_{y}(T-T_{i})$
a questi contributi si somma il termine energetico $N_{A}$ dovuto al gradiente di concentrazione.

### Periodo stazionario

Dopo un certo tempo di esposizione all'aria, si raggiunge una condizione in cui la temperatura assume un valore costante, pari alla temperatura di bulbo umido $T_{w}$.
In queste condizioni, il termine $q_{L}$ si è annullato (essendo ora $T_{L}=T_{i}=T_{w}$) mentre $q_{G}$ e $N_{A}$ sono pari a:
    $q_{G}=h_{y}(T-T_{w})$
    $N_{A}={\frac {K_{y}}{(1-y)_{ML}}}(y_{w}-y)$
in cui $h_{y}$ è il coefficiente di scambio termico verso il bulbo per convezione (si trascurano gli effetti dell'irraggiamento).
La costanza della temperatura è garantita dall'eguaglianza dei due contributi di apporto di calore sensibile $q_{G}$ (associato al liquido di reintegro che permea la garza) e il contributo dovuto a $N_{A}$ (associato al liquido che evapora dalla garza), che si può scrivere come:
    $\lambda _{w}\cdot N_{A}\cdot S_{sm}=q_{G}\cdot S_{sc}$
ovvero:
    $\lambda _{w}{\frac {K_{y}}{(1-y)_{ML}}}(y_{w}-y)\cdot S_{sm}=h_{y}(T-T_{w})\cdot S_{sc}$
dove la superficie di scambio di calore $S_{sc}$ e la superficie di scambio di materia $S_{sm}$ possono considerarsi uguali se il termometro è completamente imbevuto. Con $\lambda _{w}$ si indica il calore latente di evaporazione calcolato a temperatura $T_{w}$.
Possiamo inoltre approssimare la forza spingente relativa a $N_{A}$ a una differenza di umidità molari $(Y_{w}-Y)$:
    $N_{A}={\frac {K_{y}}{(1-y)_{ML}}}(y_{w}-y)=K_{y}\left({\frac {y_{w}}{(1-y)_{ML}}}-{\frac {y}{(1-y)_{ML}}}\right)\simeq K_{y}(Y_{w}-Y)$
essendo:
    $Y={\frac {y}{1-y}}$
    $Y_{w}={\frac {y_{w}}{1-y_{w}}}$
Possiamo quindi scrivere:
    ${\frac {Y_{w}-Y}{T_{w}-T}}=-{\frac {h_{y}}{\lambda _{w}K_{y}}}$
Supponendo che il moto del gas sia in regime turbolento completamente sviluppato (che equivale a dire che il valore di $v_{\infty }$ sia abbastanza elevato), possiamo sfruttare l'analogia di Chilton-Colburn:
    $\left({\frac {Nu}{Sh}}\right)=\left({\frac {Pr}{Sc}}\right)^{n}$
dove compaiono i numeri adimensionali di Nusselt ($Nu$), Sherwood ($Sh$), Prandtl ($Pr$) e Schmidt ($Sc$).
Esplicitando le grandezze coinvolte nella definizione dei gruppi adimensionali, ricaviamo l'espressione:
    ${\frac {h_{y}}{k_{c}}}={\frac {k}{\mathcal {D}}}\cdot \left({\frac {c_{p}\rho {\mathcal {D}}}{k}}\right)^{n}$
ovvero:
    ${\frac {h_{y}}{k_{c}}}=c_{p}\rho \cdot \left({\frac {c_{p}\rho {\mathcal {D}}}{k}}\right)^{(n-1)}=c_{p}\rho \cdot \left({\frac {Pr}{Sc}}\right)^{(n-1)}$
dove:
* $c_{p}$: calore specifico a pressione costante
* $\rho$: densità
* ${\mathcal {D}}$: coefficiente di diffusione molecolare.
Introducendo il numero di Lewis $Le$ (pari al rapporto tra numero di Schmidt e numero di Prandtl), otteniamo:
    ${\frac {h_{y}}{K_{y}}}=c_{p,m}\cdot Le^{-(n-1)}$
in cui $c_{p,m}$ è il calore specifico molare a pressione costante.

#### Temperatura di bulbo umido per un sistema aria-acqua

L'equazione sopra è valida per qualsiasi sistema liquido-gas. Particolarizzando l'equazione per il sistema aria-acqua abbiamo delle utili semplificazioni, infatti per il sistema aria-acqua si può assumere $Le\simeq 1$. Assumiamo inoltre che il calore specifico molare a pressione costante si possa confondere con il calore specifico molare umido $c_{h}$, pari a $c_{h}=c_{p,aria}+y\cdot c_{p,acqua}$.
Otteniamo quindi la cosiddetta relazione di Lewis:
    ${\frac {h_{y}}{K_{y}}}\simeq c_{h}$
da cui:
    ${\frac {Y_{w}-Y}{T_{w}-T}}=-{\frac {c_{h}}{\lambda _{w}}}$
che è analoga all'espressione della temperatura di saturazione adiabatica:
    ${\frac {Y_{sa}-Y}{T_{sa}-T}}=-{\frac {c_{h}}{\lambda _{sa}}}$
ne consegue che nel sistema acqua-aria la temperatura di bulbo umido e la temperatura di saturazione adiabatica coincidono:
    $T_{sa}=T_{w}$ (per il sistema acqua-aria)

## Determinazione della temperatura di bulbo umido dal diagramma psicrometrico

La temperatura di bulbo umido è immediatamente ricavabile dai diagrammi psicrometrici se si hanno almeno due dati di ingresso.
Conoscendo la temperatura di bulbo secco e la temperatura di saturazione adiabatica si ricava prima l'umidità molare $Y$ e quindi la temperatura di bulbo umido $T_{w}$.