# Distribuzione Beta

In teoria delle probabilità e in statistica, la distribuzione $\mathrm {B}$ (Beta) è una distribuzione di probabilità continua definita da due parametri $\alpha$ e $\beta$ sull'intervallo unitario $[0,1]$.
Questa distribuzione nasce in modo molto naturale nella inferenza bayesiana, perché governa la probabilità $p$ di un processo di Bernoulli a posteriori dell'osservazione di $\alpha -1$ "successi" e $\beta -1$ "fallimenti", quando $p$ è a priori distribuita uniformemente tra $0$ e $1$.

## Definizione

La distribuzione Beta di parametri $(\alpha ,\beta )$ (entrambi positivi) è definita sull'intervallo $[0,1]$ con funzione di densità di probabilità
    $f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}$.
In altri termini la funzione di densità di probabilità è proporzionale alla funzione
    $x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}$,
riscalata per un fattore dato dalla funzione Beta
    $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx$;
in questo modo ha probabilità totale $P(X\in [0,1])=1$.
La sua funzione di ripartizione è la funzione Beta incompleta regolarizzata
    $F(x)=I_{x}(\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} _{x}(\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}={\frac {\int _{0}^{x}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt}{\int _{0}^{1}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt}}$.

### Caratteristiche

I momenti semplici di una variabile aleatoria $X$ con distribuzione Beta di parametri $(\alpha ,\beta )$ sono
    $\mu _{k}=E[X^{k}]={\frac {\int _{0}^{1}x^{\alpha +k-1}(1-x)^{\beta -1}dx}{\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx}}={\frac {\mathrm {B} (\alpha +k,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}={\frac {(\alpha )_{k}}{(\alpha +\beta )_{k}}}$,
dove $x_{k}$ indica il fattoriale crescente con k fattori, $(x)_{k}=x(x+1)\cdots (x+k-1)$. (L'ultima uguaglianza può essere dedotta dall'espressione della funzione Beta attraverso la funzione Gamma, $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )/\Gamma (\alpha +\beta )$ e dalla proprietà $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$.)
I momenti semplici soddisfano quindi la relazione ricorsiva
    $\mu _{k+1}={\frac {\alpha +k}{\alpha +\beta +k}}\mu _{k}$.
In particolare, la distribuzione ha:
* valore atteso $E[X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$;
* varianza ${\text{Var}}(X)={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}$;
* indice di asimmetria $\gamma _{1}=2{\frac {\beta -\alpha }{\alpha +\beta +2}}{\sqrt {\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}}$;
* indice di curtosi $\gamma _{2}=6{\frac {\alpha ^{3}-2\alpha ^{2}\beta -2\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3}+\alpha ^{2}-4\alpha \beta +\beta ^{2}}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}$.
Invertendo le relazioni qui sopra, che forniscono il valore atteso e la varianza in funzione dei parametri $\alpha$ e $\beta$, possiamo esprimere univocamente i suddetti parametri in termini del valore atteso e della varianza:
    $\alpha =E[X]\left({\frac {E[X](1-E[X])}{{\text{Var}}(X)}}-1\right)$;
    $\beta =(1-E[X])\left({\frac {E[X](1-E[X])}{{\text{Var}}(X)}}-1\right)$.
Queste formule vengono applicate nel metodo dei momenti, con la media e la varianza osservate su un campione.
L'entropia è
    $H(X)=\log \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\digamma (\alpha )-(\beta -1)\digamma (\beta )+(\alpha +\beta -2)\digamma (\alpha +\beta )$,
dove $\digamma$ è la funzione digamma.
La moda della distribuzione dipende dai segni di $\alpha -1$ e $\beta -1$, ed è unica solo se almeno uno dei due è positivo:
    se $\alpha >1$ e $\beta >1$ allora la moda è ${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}$;
    se $\alpha >1$ (o $\alpha =1$) e $\beta <1$ allora la moda è 1;
    se $\beta >1$ (o $\beta =1$) e $\alpha <1$ allora la moda è 0.
(La funzione di densità di probabilità ha un asintoto in 0 se $\alpha <1$, in 1 se $\beta <1$.)

## Relazioni con altre distribuzioni

Una distribuzione Beta può essere definita su un qualunque intervallo $[a,b]$, costruendo una nuova variabile casuale $Y=a+(b-a)X$.
Se $X$ segue la distribuzione Beta di parametri $(\alpha ,\beta )$ allora $1-X$ segue la distribuzione Beta di parametri $(\beta ,\alpha )$.
* La distribuzione Beta di parametri $(1,1)$ corrisponde alla distribuzione continua uniforme ${\mathcal {U}}([0,1])$ sull'intervallo unitario.
* La distribuzione di Dirichlet è una generalizzazione della distribuzione Beta: essa descrive la distribuzione a posteriori dei parametri di una distribuzione multinomiale a posteriori, appunto, di un'osservazione. La distribuzione di Dirichlet con due parametri è esattamente la distribuzione Beta.
* Per $\alpha =\beta ={\tfrac {3}{2}}$ la densità di probabilità del tipo Beta $f(x)={\sqrt {x(1-x)}}$ è, in termini geometrici, la metà superiore di una circonferenza: $(2f(x))^{2}+(2x-1)^{2}=1$, descrive un semicerchio. La variabile aleatoria $Y=r(2X-1)$ segue una distribuzione di Wigner di parametro r.
* Se $X$ e $Y$ sono due variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni Gamma di rispettivi parametri $(\alpha ,\theta )$ e $(\beta ,\theta )$, allora la variabile aleatoria ${\tfrac {X}{X+Y}}$ segue la distribuzione Beta di parametri $(\alpha ,\beta )$.
* Se la variabile aleatoria $X$ segue la distribuzione Beta di parametri $(\alpha ,\beta )$ allora la variabile aleatoria $T={\tfrac {X}{1-X}}$ è descritta dalla distribuzione Beta del secondo tipo, che ha funzione di densità di probabilità
    $f(t)={\frac {x^{\alpha -1}/(1-x)^{\alpha +\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}$
* La distribuzione di Wilks $\Lambda (p,m,n)$ può essere interpretata come la distribuzione che governa il prodotto $X_{1}\cdots X_{n}$ di n variabili aleatorie indipendenti $X_{1},...,X_{n}$ con rispettivi parametri $({\tfrac {m+1-p}{2}},{\tfrac {p}{2}}),...,({\tfrac {m+n-p}{2}},{\tfrac {p}{2}})$.
* Se $Y$ è una variabile aleatoria con distribuzione di Kumaraswamy di parametri $(a,b)$ allora $X=Y^{a}$ segue la distribuzione Beta di parametri $(1,b)$.

## Inferenza bayesiana
### La distribuzione Beta e il processo di Bernoulli

E' immediato dimostrare che, se X è distribuita come una v.c. binomiale con parametri n e π
    $f(x|\pi )=Binom(x|n;\pi )$
e il parametro π è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b
    $g(\pi )=Beta(\pi |a;b)$
allora il parametro π è distribuito a posteriori, anch'esso, come una v.c. Beta, ma con parametri a+x e b+n-x
    $g(\pi |x)=Beta(\pi |a+x;b+n-x)$
Come detto in precedenza, qualora il parametro π sia distribuito a priori come una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibili valori di π equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori del parametro π è una Beta con parametri x+1 e n-x+1
    $g(\pi |x)=(n+1){n \choose x}\pi ^{x}(1-\pi )^{n-x}$
essa ha come valore modale p
    $p={\frac {x}{n}}$, che corrisponde alla stima usata in ambito frequentistico, mentre il valore atteso o media, è
    $p={\frac {x+1}{n+2}}$, che per x<n/2 è maggiore del valore modale ${\frac {x}{n}}$. Il valore atteso minimizza lo scarto quadratico.
Infatti, la probabilità di ottenere $\alpha -1$ successi e $\beta -1$ fallimenti in un processo di Bernoulli di parametro p è ${\tbinom {\alpha +\beta -2}{\alpha -1}}p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}$, proporzionale alla densità $f(p)$ della distribuzione Beta di parametri $(\alpha ,\beta )$.
Pertanto, come detto sopra, se la variabile aleatoria $S$ segue una distribuzione binomiale ${\mathcal {B}}(P,\alpha +\beta -2)$ con parametro aleatorio P distribuito a priori uniformemente sull'intervallo unitario $[0,1]$, a posteriori dell'osservazione $S=\alpha -1$ il parametro P segue la distribuzione $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )$.
Più in generale, se $S$ è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale ${\mathcal {B}}(P,n)$ e il parametro P segue a priori la distribuzione $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )$, allora a posteriori dell'osservazione $S=s$ il parametro P segue la distribuzione $\mathrm {B} (\alpha +s,\beta +n-s)$.
Il caso della distribuzione uniforme a priori è un caso particolare di quest'ultimo, essendo $\mathrm {B} (1,1)={\mathcal {U}}(0,1)$.

#### Priori coniugate e la v.c. binomiale negativa

Se X è distribuita come una v.c. binomiale negativa con parametri m e θ
    $f(x|\theta )=BinNeg(x|m;\theta )$
e il parametro θ è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b
    $g(\theta )=Beta(\theta |a;b)$
allora il parametro θ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Beta, ma con parametri a+m e b+x
    $g(\theta |x)=Beta(\theta |a+m;b+x)$
Qualora la distribuzione a priori sia una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibili valori di θ equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori è una Beta con parametri m+1 e x+1
che ha come valore modale t
    t=m/(m+x)
Similmente, se la variabile aleatoria $T$ segue la distribuzione di Pascal ${\mathcal {NB}}(P,n)$ e P segue a priori la distribuzione $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )$, allora a posteriori dell'osservazione $T=t$ il parametro P segue la distribuzione $\mathrm {B} (\alpha +n,\beta +t)$.