# Operatore bilineare

In matematica, un operatore bilineare è una generalizzazione della moltiplicazione che soddisfa la legge distributiva.

## Definizione

Siano $V$, $W$ e $X$ tre spazi vettoriali sullo stesso campo $F$; un operatore bilineare è una funzione:
    $B:V\times W\rightarrow X$
tale che per ogni $w\in W$ la mappa:
    $v\mapsto B(v,w)$
è un operatore lineare da $V$ a $X$, e per ogni $v\in V$ la mappa:
    $w\mapsto B(v,w)$
è un operatore lineare da $W$ a $X$. In altre parole, se si tiene il primo argomento dell'operatore bilineare fisso, mentre si fa variare il secondo argomento, si ottiene un operatore lineare, e la stessa cosa vale se si tiene fisso il secondo argomento.
Se $V=W$ e si ha $B(v,w)=B(w,v)$ per ogni $v,w\in V$, allora $B$ è simmetrico.
Nel caso in cui $X=F$, si ha una forma bilineare, e questo caso è particolarmente utile nello studio, per esempio, del prodotto scalare e delle forme quadratiche.
La definizione funziona senza altri cambiamenti se al posto di spazi vettoriali si usano moduli su un anello commutativo $R$. È inoltre semplice generalizzare questo concetto a una funzione in $n$ variabili, e il termine appropriato è multilineare.
Nel caso di un anello non commutativo $R$, un modulo destro $M_{R}$ e un modulo sinistro $_{R}N$, possiamo definire un operatore bilineare $B:M\times N\rightarrow T$, ove $T$ è un gruppo abeliano, tale che per ogni $n\in N$, $m\mapsto B(m,n)$, e per ogni $m\in M$, $n\mapsto B(m,n)$ sono omomorfismi di gruppi, e che inoltre soddisfa:
    $B(mt,n)=B(m,tn)$
per ogni $m\in M,n\in N,t\in R$.

## Proprietà

Una prima immediata conseguenza della definizione è il fatto che $B(x,y)=\mathbf {0}$ ogni volta che $x=\mathbf {0}$ o $y=\mathbf {0}$. Ciò si prova scrivendo il vettore nullo $\mathbf {0}$ come $0\cdot \mathbf {0}$ e spostando lo scalare $0$ "al di fuori", davanti a $B$, per linearità.
L'insieme $L(V,W;X)$ di tutte le mappe bilineari è un sottospazio lineare dello spazio (spazio vettoriale, modulo) di tutte le mappe da $V\times W$ in $X$.
Se $V,W,X$ sono di dimensione finita, allora lo è anche $L(V,W;X)$. Se $X=F$, (per es. nel caso di una forma bilineare) la dimensione di questo spazio è $\dim V\cdot \dim W$ (mentre lo spazio $L(V\times W;K)$ di forme lineari ha dimensione $\dim V+\dim W$). Per provarlo, si scelgano una base ${\mathcal {B}}$ per $V$ e una base ${\mathcal {C}}$ per $W$; a questo punto ogni mappa bilineare può essere univocamente rappresentata dalla matrice $A$ data da $a_{ij}=B(b_{i},c_{j})$, e viceversa (qui $b_{i}$ e $c_{j}$ denotano rispettivamente l'$i$-esimo elemento della base ${\mathcal {B}}$ e il $j$-esimo elemento della base ${\mathcal {C}}$).
Se $X$ è uno spazio di dimensione superiore, si ha banalmente $\dim L(V,W;X)=\dim V\cdot \dim W\cdot \dim X$.

## Esempi

* La moltiplicazione di matrici è una mappa bilineare $M(m,n)\times M(n,p)\rightarrow M(m,p)$.
* Se in uno spazio vettoriale $V$ sul campo dei numeri reali $\mathbb {R}$ definito un prodotto scalare, allora il prodotto scalare è un operatore bilineare $V\times V\rightarrow \mathbb {R}$.
* In generale, per uno spazio vettoriale $V$ su un campo $F$, una forma bilineare su $V$ è equivalente a un operatore bilineare $V\times V\rightarrow F$.
* Se $V$ è uno spazio vettoriale, $V^{*}$ è il suo spazio duale e $v\in V,f\in V^{*}$, allora l'operatore di applicazioni $b(f,v)=f(v)$ è un operatore bilineare da $V\times W$ nel campo di base.
* Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sullo stesso campo $F$. Se $f$ è un elemento di $V^{*}$ e $g$ è un elemento di $W^{*}$, allora $b(v,w)=f(v)g(w)$ definisce un operatore bilineare $V\times W\rightarrow F$.
* Il prodotto vettoriale in $\mathbb {R} ^{3}$ è un operatore bilineare $\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$.
* Siano $B:V\times W\rightarrow X$ un operatore bilineare e $L:U\rightarrow W$ un operatore lineare; allora $(v,u)\mapsto B(v,L(u))$ è un operatore bilineare su $V\times U$.
* La mappa nulla, definita da $B(v,w)=\mathbf {0}$ per ogni $(v,w)\in V\times W$ è l'unica mappa da $V\times W$ in $X$ che sia nel contempo bilineare e lineare. Infatti, se $(v,w)\in V\times W$ e $B$ è una mappa sia lineare che bilineare, allora $B(v,w)=B(v,\mathbf {0} )+B(\mathbf {0} ,w)$ (per linearità rispetto alla somma di $V\times W$) e $B(v,\mathbf {0} )+B(\mathbf {0} ,w)=\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0}$ (per bilinearità).