# Covarianza (probabilità)

In statistica e in teoria della probabilità, la covarianza di due variabili statistiche o variabili aleatorie è un valore numerico che fornisce una misura di quanto le due varino assieme.

## Probabilità
### Definizione

La covarianza di due variabili aleatorie $X$ e $Y$ è il valore atteso del prodotto delle loro distanze dalla media:
    $\mathrm {Cov} (X,Y)=\mathbb {E} {\Big{\bigX-\mathbb {E} [X]{\big )}(Y-\mathbb {E} [Y]{\big )}{\Big ]}.$
La covarianza di $X$ e $Y$ può anche essere espressa come la differenza tra il valore atteso del loro prodotto e il prodotto dei loro valori attesi:
    $\mathrm {Cov} (X,Y)=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y].$
Infatti per la linearità del valore atteso risulta
    $\mathbb {E} {\BigXY-X\mathbb {E} [Y]-\mathbb {E} [X]Y+\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]{\Big ]}=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]+\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y].$

### Proprietà

La covarianza rispetta le seguenti proprietà, per variabili aleatorie $X$, $Y$ e $Z$, e costanti $a$ e $b$:
* ${\text{Cov}}(X,Y)={\text{Cov}}(Y,X)\$
* ${\text{Cov}}(aX+b,Y)=a{\text{Cov}}(X,Y)\$
* ${\text{Cov}}(X+Y,Z)={\text{Cov}}(X,Z)+{\text{Cov}}(Y,Z)\$
Due variabili aleatorie indipendenti hanno covarianza nulla, poiché dalla loro indipendenza segue
    $\mathbb {E} [XY]=\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y].$
Due variabili aleatorie che hanno covarianza nulla sono incorrelate.
Due variabili aleatorie dipendenti possono essere incorrelate. Ad esempio, se $X$ è una variabile aleatoria di legge uniforme sull'intervallo $[-1,1]$ e $Y=X^{2}$, allora
    $\textstyle {\text{Cov}}(X,Y)={\text{Cov}}(X,X^{2})=\mathbb {E} [X^{3}]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [X^{2}]=0-0\mathbb {E} [X^{2}]=0.$

### Varianza

La covarianza può essere considerata una generalizzazione della varianza
    ${\text{Var}}(X)={\text{Cov}}(X,X)\$
e compare come termine di correzione nella relazione
    ${\text{Var}}(X+Y)={\text{Var}}(X)+{\text{Var}}(Y)+2{\text{Cov}}(X,Y).$
Più in generale, per variabili aleatorie $X_{1},\ldots ,X_{n}$ e $Y_{1},\ldots ,Y_{m}$ vale
    $\textstyle {\text{Var}}(\sum _{i}X_{i})={\text{Cov}}(\sum _{i}X_{i},\sum _{j}X_{j})=\sum _{i,j}{\text{Cov}}(X_{i},X_{j})=\sum _{i}{\text{Var}}(X_{i})+2\sum _{i>j}{\text{Cov}}(X_{i},X_{j}),$
come caso particolare di
    $\textstyle {\text{Cov}}\left(\sum _{i}X_{i},\sum _{j}Y_{j}\right)=\sum _{i,j}{\text{Cov}}(X_{i},Y_{j}).$

## Statistica

In statistica la covarianza di due variabili statistiche $X$ e $Y$, indicata come $\textstyle \sigma _{X,Y}={\text{Cov}}(X,Y)$, è un indice di variabilità congiunta.
Su una popolazione di $N$ osservazioni congiunte $(x_{i},y_{i})$, di rispettive medie ${\bar {x}}$ e ${\bar {y}}$, la covarianza osservata è
    $\sigma _{X,Y}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}y_{i}-\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}\right).$
Uno stimatore della covarianza di $n$ osservazioni congiunte $(x_{i},y_{i})$ può essere ottenuto correggendo la formula della covarianza, dividendo per il numero di gradi di libertà. In questo caso il numero di gradi di libertà è dato dal numero delle osservazioni, $n$, a cui va sottratto il numero di stimatori utilizzati nel computo della covarianza. Nella covarianza entrano le medie campionarie delle $x_{i},y_{i}$, e si può dimostrare che il computo di queste medie corrisponde alla sottrazione di 1 solo grado di libertà (non due, come ci si potrebbe aspettare). Perciò lo stimatore della covarianza è dato da
    $s_{X,Y}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{n-1}}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n-1}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{n}}.$
Lo stimatore della covarianza è anche detto covarianza campionaria.
La varianza e la covarianza intervengono per definire l'indice di correlazione di Bravais-Pearson
    $\rho _{X,Y}={\frac {\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sqrt {\sum _{j}(x_{j}-{\bar {x}})^{2}\sum _{k}(y_{k}-{\bar {y}})^{2}}}}={\frac {{\text{Cov}}(X,Y)}{\sqrt {{\text{Var}}(X){\text{Var}}(Y)}}}.$
La covarianza è limitata dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, infatti siano $U=(x_{1}-{\bar {x}},\ldots ,x_{n}-{\bar {x}})$ e $V=(y_{1}-{\bar {y}},\ldots ,y_{n}-{\bar {y}})$ i vettori degli scarti degli $x_{i}$ e $y_{i}$ rispetto alle relative medie, si può applicare la diseguaglianza ottenendo
    $|\langle U,V\rangle |\leq {\sqrt {\langle U,U\rangle \langle V,V\rangle }}$
che equivale a scrivere
    $\left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})\right|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}.$
Moltiplicando per Un fattore $1/n$ entrambi i lati si ottiene la relazione
    $|\sigma _{X,Y}|\leq \sigma _{X}\sigma _{Y},$
dove $\sigma _{X}$ e $\sigma _{Y}$ sono le deviazioni standard per le due variabili.
Nel caso in cui $z=f(x,y)$ possiamo dire che la covarianza è limitata nell'intervallo
    $|\sigma _{Z}|\leq |\partial _{x}f(x,y)|\sigma _{X}+|\partial _{y}f(x,y)|\sigma _{Y}.$
Infatti, l'espressione generale per la deviazione standard di $z$ è
    $\sigma _{Z}={\sqrt {|\partial _{x}f(x,y)|^{2}\sigma _{X}^{2}+|\partial _{y}f(x,y)|^{2}\sigma _{Y}^{2}+2|\partial _{x}f(x,y)||\partial _{y}f(x,y)|\sigma _{X,Y}}}.$
Il valore massimo (minimo), per monotonia delle funzioni, sarà ottenuto in corrispondenza di $\sigma _{X,Y}=\sigma _{X}\sigma _{Y}$ ($\sigma _{X,Y}=-\sigma _{X}\sigma _{Y}$), quindi il valore corrispondente di $\sigma _{Z}$ massimo sarà
    $\sigma _{Z}={\sqrt {|\partial _{x}f(x,y)|^{2}\sigma _{X}^{2}+|\partial _{y}f(x,y)|^{2}\sigma _{Y}^{2}+2|\partial _{x}f(x,y)||\partial _{y}f(x,y)|\sigma _{X}\sigma _{Y}}}=|\partial _{x}f(x,y)|\sigma _{X}+|\partial _{y}f(x,y)|\sigma _{Y}.$
Osserviamo che il valore massimo è dato dalla somma diretta dei contributi delle incertezze tipo moltiplicate per i relativi coefficienti ottenuti linearizzando la relazione. Si dimostra anche che tale formula è generalizzabile al caso di una funzione dipendente da $n$ variabili.