# Notazione di Einstein

In algebra lineare la notazione di Einstein o la convenzione di Einstein nelle sommatorie è una convenzione per contrarre i tensori: ogni indice che compare all'interno di un fattore più di una volta viene sommato al variare di tutti i possibili valori che l'indice può assumere.
Nelle applicazioni più comuni l'indice può valere 1,2,3 (per calcoli nello spazio euclideo), o 0,1,2,3 o 1,2,3,4 (per calcoli nello spaziotempo di Minkowski), ma esso può variare in qualsiasi intervallo, compresi insiemi infiniti. La notazione astratta degli indici è uno sviluppo della notazione di Einstein.
La convenzione è stata introdotta dallo stesso Albert Einstein per rendere più concise alcune equazioni di geometria differenziale utili a formulare la relatività generale. La convenzione non ha tuttavia alcun significato fisico; si tratta di un metodo di scrittura utile nel formalismo matematico.

## Definizione

Nell'articolo del 1916 "La fondazione della teoria della relatività generale" (Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie), dopo alcuni paragrafi di introduzione, Einstein dedica il punto B della sezione 4 ai "Mezzi matematici per la formulazione di equazioni covarianti in modo generale". A valle della definizione di quadrivettore covariante e controvariante, dedica una nota alla "Osservazione sulla scrittura semplificata delle espressioni". Dunque, fu lui stesso a usare la dizione di "notazione semplificata", da applicare ai tensori precedentemente introdotti. A proposito scrive:
«Un'occhiata alle equazioni del presente paragrafo mostra che le sommatorie si effettuano sempre rispetto agli indici che si presentano due volte sotto il segno di somma e unicamente rispetto a indici siffatti. Perciò, è possibile, senza ledere la chiarezza, sopprimere il segno $\sum$. A tale scopo diamo la seguente regola: "quando un indice si presenta due volte in un termine di un'espressione, occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario".[...]. Seguendo l'uso introdotto da Levi-Civita, indichiamo il carattere covariante collocando l'indice in basso e quello controvariante collocando l'indice in alto.»
La convenzione è quindi la seguente:
Quando un indice si presenta due volte in un termine di un'espressione occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario.

## Esempi

Generalmente la convenzione di Einstein è usata in presenza di tensori. Gli esempi qui proposti riguardano tutti tensori.

### Prodotto scalare

Il prodotto scalare di due vettori $\mathbf {x}$ e $\mathbf {y}$ dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ è definito come
    $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.$
Usando la convenzione di Einstein, si può sottintendere il simbolo di sommatoria. L'espressione può essere scritta come
    $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x_{i}y^{i}.$
Infatti il termine $x_{i}y^{i}$ contiene due volte l'indice $i$, una volta come covariante e una volta come controvariante, la sommatoria sui valori di $i$ può essere sottintesa.

### Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale di due vettori $\mathbf {u}$ e $\mathbf {v}$ in $\mathbb {R} ^{3}$ è definito come
    $(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )_{i}=\varepsilon _{ijk}u^{j}v^{k}\,\!$
Nell'espressione è sottintesa una somma sugli indici $j$ e $k$ poiché entrambi compaiono due volte in posizioni opposte nel termine di destra. Il simbolo $\varepsilon _{ijk}$ dipendente da 3 indici è il simbolo di Levi-Civita. L'espressione però non è sommata sull'indice $i$, perché questo compare una volta sola in ogni termine. L'espressione infatti esprime per ogni $i$ l'$i$-esima componente del prodotto vettoriale fra $\mathbf {u}$ e $\mathbf {v}$.
Indicando con
    $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$
la base canonica di $\mathbb {R} ^{3}$, è possibile scrivere il prodotto vettoriale in un'unica equazione del tipo
    $\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}u^{j}v^{k}\mathbf {e} ^{i}$
Qui la somma è effettuata su tutti gli indici $i,j,k$. In altre parole,
    $\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}u_{j}v_{k}\mathbf {e} _{i}.$

## Indici muti e liberi

In un'espressione scritta secondo la convenzione di Einstein, gli indici che vanno sommati si chiamano muti e gli altri sono liberi. Ad esempio, nell'espressione
    $v^{i}=T_{k}^{i}w^{k}-U_{h}^{i}z^{h}$
gli indici $k$ e $h$ sono muti e l'indice $i$ è libero. Poiché gli indici $k$ e $h$ devono essere sommati su alcuni valori predeterminati, hanno un ruolo tutto interno all'espressione che non si "manifesta" all'esterno: in particolare, è possibile cambiare lettera per indicare gli indici muti a piacimento. Ad esempio, i due indici muti possono essere scambiati senza variare il significato dell'espressione:
    $v^{i}=T_{h}^{i}w^{h}-U_{k}^{i}z^{k}.$

## Notazione astratta degli indici

La notazione di Einstein presenta l'inconveniente di non specificare se le relazioni tra le grandezze che compaiono nelle equazioni (in particolar modo i tensori) valgano componente per componente o se siano equazioni tensoriali, indipendenti dalla scelta di una base. Per questo motivo Roger Penrose e altri hanno proposto l'introduzione di una differenziazione della notazione da usarsi nella notazione di Einsten:
* Equazioni che contengano indici indicati da lettere latine, del tipo sono da considerarsi relazioni tra tensori e non è necessaria la scelta di una base di coordinate
    $T_{b_{1},\dots ,b_{s}}^{a_{1},\dots ,a_{r}}$
* Equazioni che contengano indici indicati da lettere greche, del tipo sono da considerarsi relazioni tra le componenti dei tensori e quindi è necessaria la scelta di una base di coordinate.
    $T_{\nu _{1},\dots ,\nu _{s}}^{\mu _{1},\dots ,\mu _{r}}$
La notazione astratta degli indici (abstract index notation) distingue queste due situazioni; pertanto
    $T_{de}^{abc},\ T_{b_{1},\dots ,b_{s}}^{a_{1},\dots ,a_{r}}$
indicano veri e propri tensori di tipo (3, 2) e $(r,s)$, mentre
    $T_{\lambda }^{\mu }$
indica un numero, componente del tensore $T$ dipendente dai numeri $\mu$ e $\lambda$.
Questa notazione si scontra parzialmente con un uso precedente in presenza di uno spaziotempo a 4 dimensioni, tuttavia ancora diffuso, secondo il quale si usano le lettere greche quando si vuole indicare che la sommatoria deve essere svolta su tutti gli indici (spaziali e temporali), si usano le lettere latine quando la sommatoria e ristretta alle sole componenti spaziali Per esempio,
    $x^{\mu }x_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}=-(x^{0})^{2}+||{\hat {x}}||^{2}$
dove abbiamo usato la metrica
    $g_{\mu \nu }=\operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)$
e $x^{0}=ct$, invece
    $x^{i}x_{i}=\sum _{i=1}^{3}=||{\hat {x}}||^{2}.$
La parte spaziale (vettore 3 dimensionale) del quadrivettore $x$ è indicata da ${\hat {x}}$ e
    $||{\hat {x}}||^{2}$
è la norma quadra di ${\hat {x}}$.