# Spazio riflessivo

In matematica, in particolare in analisi funzionale, uno spazio di Banach (o più in generale uno spazio vettoriale topologico localmente convesso) è detto spazio riflessivo se coincide con il duale continuo del suo spazio duale continuo (cioè il suo biduale), sia come spazio vettoriale, sia come spazio topologico.

## Spazi di Banach

Sia $X$ uno spazio vettoriale normato sul campo $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ o $\mathbb {F} =\mathbb {C}$, e con norma $\|\cdot \|$. Si consideri il suo spazio duale continuo $X'$, che consiste in tutti i funzionali lineari continui $f:X\to {\mathbb {F} }$ ed in cui è definita la norma duale $\|\cdot \|'$ data da:
    $\|f\|'=\sup\{|f(x)|\,:\,x\in X,\ \|x\|\leq 1\}$
Il duale $X'$ è uno spazio di Banach, e il suo duale $X''=(X')'$ è detto biduale di $X$. Si tratta dell'insieme di tutti i funzionali lineari $h:X'\to {\mathbb {F} }$ ed è fornito della norma $\|\cdot \|''$, duale di $\|\cdot \|'$. A ogni vettore $x\in X$ può essere associato un funzionale scalare $J(x):X'\to {\mathbb {F} }$ nel modo seguente:
    $J(x)(f)=f(x)\qquad f\in X'$
dove $J(x)$ è un funzionale lineare continuo su $X'$, ovvero $J(x)\in X''$. Si ottiene in questo modo la funzione:
    $J:X\to X''$
detta mappa di valutazione, che è lineare. Segue dal teorema di Hahn-Banach che $J$ è una funzione iniettiva e che preserva la norma:
    $\forall x\in X\qquad \|J(x)\|''=\|x\|$
ovvero $J$ mappa $X$ isometricamente nella sua immagine $J(X)$ in $X''$. L'immagine $J(X)$ non è necessariamente uguale a $X''$.
Uno spazio normato $X$ è riflessivo se soddisfa le seguenti condizioni equivalenti:
* La mappa di valutazione $J:X\to X''$ è suriettiva.
* La mappa di valutazione $J:X\to X''$ è un isomorfismo isometrico tra spazi normati.
* La mappa di valutazione $J:X\to X''$ è un isomorfismo tra spazi normati.
Uno spazio riflessivo $X$ è uno spazio di Banach dal momento che $X$ è (per quanto detto sopra) isometrico allo spazio di Banach $X''$.
Da notare che uno spazio di Banach è riflessivo se è linearmente isometrico al suo biduale rispetto a $J$, ma si dimostra che esiste uno spazio $X$ non riflessivo che è linearmente isometrico a $X''$.
Uno spazio di Banach è detto quasi-riflessivo (o di ordine $d$) se il quoziente $X''/J(X)$ ha dimensione finita $d$.

### Proprietà

* Se uno spazio di Banach $Y$ è isomorfo a uno spazio di Banach riflessivo $X$, allora $Y$ è riflessivo.
* Ogni sottospazio vettoriale chiuso di uno spazio riflessivo è riflessivo. Il duale di uno spazio riflessivo è riflessivo. Il quoziente di uno spazio riflessivo per un suo sottospazio vettoriale chiuso è riflessivo.
* Se $X$ è uno spazio di Banach, le seguenti affermazioni sono equivalenti:
** $X$ è riflessivo.
** Il duale di $X$ è riflessivo.
** La sfera unitaria chiusa in $X$ è compatta nella topologia debole (teorema di Kakutani).
** Ogni successione limitata in $X$ possiede una sottosuccessione debolmente convergente, dal momento che compattezza debole e compattezza sequenziale debole coincidono per il teorema di Eberlein-Šmulian.
** Ogni funzionale lineare continuo su $X$ raggiunge il suo valore massimo sulla sfera unitaria in $X$ (teorema di James).
    Dalla terza proprietà segue che i sottoinsiemi convessi chiusi e limitati di uno spazio riflessivo $X$ sono debolmente compatti. In questo modo, per ogni successione decrescente di insiemi convessi, chiusi, limitati e non vuoti di $X$, la loro intersezione non è vuota. Come conseguenza, ogni funzione convessa continua $f$ definita su un sottoinsieme convesso e chiuso $C\subset X$, e tale per cui l'insieme:
    $C_{t}=\{x\in C\,:\,f(x)\leq t\}$
    è non vuoto e limitato per ogni $t\in \mathbb {R}$, raggiunge il suo minimo valore su $C$.
* Gli spazi di Banach riflessivi sono frequentemente caratterizzati tramite le loro proprietà geometriche. Se $C$ è un sottoinsieme convesso e chiuso dello spazio riflessivo $X$, allora per ogni $x\in X$ esiste $c\in C$ tale che $\|x-c\|$ minimizza la distanza tra $x$ e i punti di $C$. Si nota che mentre la minima distanza tra $x$ e $C$ è unicamente definita dalla scelta di $x$, lo stesso non si può dire per il punto $c$: il punto più vicino $c$ è unico quando $X$ è uniformemente convesso.
* Uno spazio di Banach riflessivo è separabile se e solo se lo è il suo duale. Ciò segue dal fatto che per ogni spazio normato $Y$ la separabilità del duale $Y'$ implica la separabilità di $Y$ stesso.

### Spazi superriflessivi

Uno spazio di Banach $Y$ è finitamente rappresentabile in uno spazio di Banach $X$ se per ogni sottospazio $Y_{0}$ di $Y$ che ha dimensione finita e per ogni $\epsilon >0$ esiste un sottospazio $X_{0}$ di $X$ tale per cui la distanza moltiplicativa di Banach-Mazur tra $X_{0}$ e $Y_{0}$ soddisfa:
    $d(X_{0},Y_{0})<1+\varepsilon$
Uno spazio di Banach finitamente rappresentabile in $\ell ^{2}$ è uno spazio di Hilbert, ed ogni spazio di Banach è finitamente rappresentabile nello spazio delle successioni $c_{0}$. Lo spazio Lp $L^{p}[0,1]$ è inoltre finitamente rappresentabile in $\ell ^{p}$.
Uno spazio di Banach $X$ è detto superriflessivo se tutti gli spazi di Banach $Y$ finitamente rappresentabili in $X$ sono riflessivi, ovvero se nessuno spazio non riflessivo $Y$ è finitamente rappresentabile in $X$.
Un risultato che si deve a R. C. James mostra che uno spazio è superriflessivo se e solo se lo è il suo duale.

## Spazi localmente convessi

Il concetto di spazio di Banach riflessivo può essere generalizzato considerando spazi localmente convessi. Sia $X$ uno spazio vettoriale topologico su $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$. Si consideri il suo spazio duale $X'_{\beta }$ relativamente alla topologia forte, che è formato da tutti i funzionali lineari continui $f:X\to {\mathbb {F} }$ e munito della topologia forte $\beta (X',X)$, ovvero la topologia associata alla convergenza uniforme di sottoinsiemi limitati di $X$. Lo spazio $X'$ è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso, e si può quindi considerare il suo duale $\beta ((X'_{\beta })',X'_{\beta })$ (relativamente alla topologia forte), detto biduale forte di $X$. Si tratta dello spazio formato da tutti i funzionali lineari $h:X'_{\beta }\to {\mathbb {F} }$ e in esso è definita la topologia forte $\beta ((X'_{\beta })',X'_{\beta })$. Ogni vettore $x\in X$ genera una funzione $J(x):X'_{\beta }\to {\mathbb {F} }$ per mezzo della formula:
    $J(x)(f)=f(x)\qquad f\in X'$
che è un funzionale lineare continuo su $X'_{\beta }$, ovvero $J(x)\in (X'_{\beta })'_{\beta }$. Si ottiene la mappa di valutazione:
    $J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }$
che è lineare. Se $X$ è localmente convesso, dal teorema di Hahn-Banach si ha che $J$ è una funzione iniettiva e aperta (cioè per ogni intorno $U$ dello zero in $X$ esiste un intorno $V$ dello zero in $(X'_{\beta })'_{\beta }$ tale che $J(U)\supseteq V\cap J(X)$). Tuttavia può essere non suriettiva, né continua.
Uno spazio localmente convesso $X$ è detto:
* semi-riflessivo se la mappa di valutazione $J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }$ è suriettiva.
* riflessivo se la mappa di valutazione $J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }$ è suriettiva e continua. In tal caso $J$ è un isomorfismo tra spazi vettoriali topologici.
Si dimostra che uno spazio di Hausdorff $X$ localmente convesso è semi-riflessivo se e solo se $X$ con la topologia $\sigma (X,X^{*})$ ha la proprietà che i suoi sottoinsiemi chiusi e limitati sono debolmente compatti.
Uno spazio localmente convesso $X$ è riflessivo se e solo se è semi-riflessivo ed è uno spazio botte. Inoltre, il duale (rispetto alla topologia forte) di uno spazio semi-riflessivo è uno spazio botte.