# Vettore nullo

In algebra lineare, il vettore nullo (o elemento zero) di uno spazio vettoriale è l'elemento neutro dell'operazione di addizione definita nello spazio, cioè quel vettore che lascia invariato qualunque vettore dello spazio a cui venga sommato. Tale vettore esiste sempre (per assioma) in qualunque spazio vettoriale, ed è possibile dimostrare che è anche unico.

## Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale definito sul campo ${\mathcal {K}}$. Dagli assiomi che definiscono lo spazio, esiste un elemento $\mathbf {0} \in V$ tale che, se $+:V\times V\to V$ rappresenta l'operazione di somma tra vettori, allora:
    $\mathbf {v} +\mathbf {0} =\mathbf {v} \quad \quad {\mbox{ per ogni }}\mathbf {v} \in V$
Questo è il vettore nullo. Tramite il vettore nullo si definisce (e si dimostra che è unico) l'opposto di un qualunque vettore $\mathbf {v} \in V$; esso è il vettore $-\mathbf {v}$ tale che:
    $\mathbf {v} +(-\mathbf {v} )=\mathbf {0}$.
(si richiede per assioma che $\mathbf {v} \in V\Rightarrow -\mathbf {v} \in V$).
Da questi due assiomi segue che il vettore nullo è opposto di se stesso, in quanto per definizione
    $\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} \quad {\mbox{ da cui }}-\mathbf {0} =\mathbf {0}$.

## Unicità

Il vettore nullo è univocamente determinato dalla propria definizione.
Siano infatti $\mathbf {n} ,\mathbf {n} ^{\prime }$ due vettori per cui valga la definizione di vettore nullo. Allora
    $\mathbf {n} ^{\prime }=\mathbf {n} ^{\prime }+\mathbf {n} =\mathbf {n}$.

## Proprietà
### Proprietà generali

Si indichi con $0$ l'elemento neutro della somma di ${\mathcal {K}}$; il vettore nullo gode delle seguenti proprietà:
* $0\mathbf {v} =\mathbf {0} \ \forall \mathbf {v} \in V$.
Per le proprietà di campo di cui gode ${\mathcal {K}}$, 0 ammette opposto e questo è 0, sicché $0+0=0$:
    $0\mathbf {v} =(0+0)\mathbf {v} =0\mathbf {v} +0\mathbf {v}$
(distributività del prodotto per uno scalare). Per gli assiomi di spazio vettoriale, esiste l'opposto di $0\mathbf {v}$:
    $-0\mathbf {v} +0\mathbf {v} =-0\mathbf {v} +(0\mathbf {v} +0\mathbf {v} )$
Il primo membro è il vettore nullo, per definizione, mentre al secondo membro si applica l'associatività della somma, ottenendo:
    $\mathbf {0} =\mathbf {0} +0\mathbf {v} =0\mathbf {v}$.
* $\lambda \mathbf {0} =\mathbf {0} \ \forall \lambda \in {\mathcal {K}}$
L'opposto del vettore nullo è il vettore nullo, sicché $\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0}$:
    $\lambda \mathbf {0} =\lambda (\mathbf {0} +\mathbf {0} )=\lambda \mathbf {0} +\lambda \mathbf {0}$
(distributività del prodotto per uno scalare). Per gli assiomi di spazio vettoriale, esiste l'opposto di $\lambda \mathbf {0}$:
    $-\lambda \mathbf {0} +\lambda \mathbf {0} =-\lambda \mathbf {0} +(\lambda \mathbf {0} +\lambda \mathbf {0} )$
Il primo membro è il vettore nullo, per definizione, mentre al secondo membro si applica l'associatività della somma, ottenendo:
    $\mathbf {0} =\mathbf {0} +\lambda \mathbf {0} =\lambda \mathbf {0}$.
* $\lambda \mathbf {v} =\mathbf {0} \Leftrightarrow \lambda =0\vee \mathbf {v} =\mathbf {0}$
L'implicazione a sinistra $\Leftarrow$ segue dalle prime due proprietà. Per quanto riguarda l'implicazione a destra, si supponga che:
    $\lambda \mathbf {v} =\mathbf {0}$
Allora, o $\lambda =0$, nel qual caso non c'è nulla da dimostrare, o $\lambda \neq 0$, nel qual caso esso ammette inverso per le proprietà di ${\mathcal {K}}$, cioè esiste $\lambda ^{-1}$ tale che $\lambda ^{-1}\lambda =1$, dove 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione in ${\mathcal {K}}$. Per gli assiomi di spazio vettoriale, $1\mathbf {v} =\mathbf {v}$ sicché:
    $\lambda ^{-1}\lambda \mathbf {v} =\lambda ^{-1}\mathbf {0}$
    $\mathbf {v} =\mathbf {0}$.
* Un insieme di vettori che includa il vettore nullo è necessariamente linearmente dipendente; questo vale anche qualora l'insieme consti del solo vettore nullo. Data infatti una combinazione lineare di un simile sistema di vettori, è sufficiente porre tutti i coefficienti uguali a zero tranne quello che moltiplica il vettore nullo, e il risultato sarà zero.
* Per ogni base fissata $\{\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}\}$ dello spazio finito-dimensionale $V$, il vettore delle coordinate del vettore nullo è il vettore $(0,0,\cdots ,0)^{T}$.
Valga la scrittura in coordinate
    $\mathbf {0} =c_{1}\mathbf {e} _{1}+\ldots +c_{n}\mathbf {e} _{n}$
Allora, poiché $\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0}$:
    $\mathbf {0} +\mathbf {0} =(c_{1}+c_{1})\mathbf {e} _{1}+\ldots +(c_{n}+c_{n})\mathbf {e} _{n}=c_{1}\mathbf {e} _{1}+\ldots +c_{n}\mathbf {e} _{n}$
da cui, essendo i vettori di base linearmente indipendenti:
${\begin{cases}c_{1}+c_{1}=c_{1}\\\vdots \\c_{n}+c_{n}=c_{n}\end{cases}}$
per cui $c_{1}=\ldots =c_{n}=0$.
* Il vettore nullo deve necessariamente appartenere a qualunque sottoinsieme non vuoto di uno spazio vettoriale in cui sia garantita l'esistenza dell'opposto e la chiusura rispetto a combinazioni lineari (un tale sottoinsieme è detto sottospazio vettoriale, e si dimostra essere a sua volta uno spazio vettoriale). In particolare, l'insieme costituito dal solo vettore nullo è uno spazio vettoriale (nonché lo spazio vettoriale di minima cardinalità possibile): esso è un sottospazio di qualunque spazio vettoriale, e la sua dimensione è per definizione 0.

### Proprietà in spazi più strutturati

* Se in $V$ è definito un prodotto scalare o hermitiano non degenere $(\cdot |\cdot ):V\times V\to {\mathcal {K}}$, allora
    $(\mathbf {v} |\mathbf {x} )=0\;\;\forall \mathbf {x} \in V\quad \iff \quad \mathbf {v} =\mathbf {0}$.
Questo segue dall'isomorfismo tra un qualunque spazio vettoriale e il suo spazio duale (l'insieme dei funzionali lineari definiti su di esso). In questo senso, al vettore nullo corrisponde tramite isomorfismo il funzionale nullo.
* Se $(V,\|\cdot \|)$ è uno spazio normato, allora per definizione
    $\|\mathbf {v} \|=0\quad \iff \quad \mathbf {v} =\mathbf {0}$;
(questo non vale negli spazi seminormati).
* Negli spazi tridimensionali su cui è definito il prodotto vettoriale il vettore nullo ha la proprietà di annullare sempre il prodotto; inoltre, il prodotto tra due vettori non nulli è il vettore nullo se e solo se questi due vettori sono proporzionali.

## Esempi particolari

Nello spazio $\mathbb {R} ^{n}$ (o $\mathbb {C} ^{n}$) il vettore nullo rappresenta l'origine degli assi coordinati.
Negli spazi di funzioni (con somma e moltiplicazione per scalare definiti puntualmente) il vettore nullo è la funzione nulla, cioè la funzione che manda il proprio dominio in $\{0\}$.
Nello spazio $M_{m,n}({\mathcal {K}})$ delle matrici $m\times n$ a coefficienti nel campo ${\mathcal {K}}$, il vettore nullo è la matrice i cui elementi sono tutti zero.