# Processo di Poisson

Un processo di Poisson, dal nome del matematico francese Siméon-Denis Poisson, è un processo stocastico che simula il manifestarsi di eventi che siano indipendenti l'uno dall'altro e che accadano continuamente nel tempo. Il processo è definito da una collezione di variabili aleatorie $N_{t}$ per $t>0,$ che vengono viste come il numero di eventi occorsi dal tempo 0 al tempo $t.$ Inoltre il numero di eventi tra il tempo $a$ e il tempo $b$ è dato come $N_{b}-N_{a}$ ed ha una distribuzione di Poisson. Ogni traiettoria del processo (ovvero ogni possibile mappa da $t$ a $N_{t}(\omega ),$ dove $\omega$ appartiene allo spazio di probabilità su cui è definita $N$) è una funzione a gradino sui numeri interi
Il processo di Poisson è un processo a tempo continuo: la sua controparte a tempo discreto è il processo di Bernoulli. Il processo di Poisson è uno dei più famosi processi di Lévy. I processi di Poisson sono anche un esempio di catena di Markov a tempo continuo.

## Definizione

Esistono tre definizioni equivalenti di processo di Poisson:

### Definizione infinitesimale

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:
* $N_{0}=0.$
* Il numero di eventi contati in intervalli di tempo disgiunti sono indipendenti, ossia le variabili aleatorie
       $N_{t_{k}}-N_{t_{k-1}},\dots ,N_{t_{1}}-N_{t_{0}},\qquad \forall t_{0}=0<t_{1}<\dots <t_{k},$
    sono indipendenti.
* La probabilità di un evento in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza, ossia, per $h\rightarrow 0$
       $\mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}=1)=\lambda h+o(h).$
    La costante di proporzionalità $\lambda$ è detta intensità del processo.
* La probabilità che accada più di un evento in un piccolo intervallo di tempo è trascurabile, ossia
       $\mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}>1)=o(h).$

### Costruzione attraverso i tempi di attesa

Consideriamo degli eventi che si manifestano a distanze aleatorie $S_{k}$ l'uno dall'altro, dove gli $S_{k}$ sono distribuzioni esponenziali di parametro $\lambda$, ognuna indipendente dalle altre. Allora il processo definito da
    $N_{t}=\sup {\left\{n:\sum _{k=1}^{n}{S_{k}}\leq t\right\}}$
è un processo di Poisson di intensità $\lambda .$

### Definizione attraverso le probabilità di transizione

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:
* $N_{0}=0.$
* Gli incrementi sono stazionari (ovvero la distribuzione del numero di eventi che accadono in un certo intervallo dipende solo dalla lunghezza dell'intervallo) e hanno distribuzione di Poisson di parametro $\lambda t,$ ossia:
       $\mathbb {P} (N_{t+\tau }-N_{t}=k)={\frac {e^{-\lambda \tau }(\lambda \tau )^{k}}{k!}},\qquad k=0,1,\ldots .$

## Proprietà

Oltre a quelle elencate nelle definizioni, il processo di Poisson soddisfa altre proprietà:
* Il processo di Poisson soddisfa la proprietà di Markov.
* Il processo di Poisson soddisfa la proprietà di Markov forte.
* Il tempo del n-esimo evento ha distribuzione Gamma $\Gamma \left(n,{\frac {1}{\lambda }}\right)$.
* Sapendo che in un certo intervallo di tempo è accaduto un solo evento, si ha che la sua distribuzione è uniforme.
* Se $N_{t}$ e $M_{t}$ sono due processi di Poisson indipendenti di intensità $\lambda$ e $\mu$, allora $Z_{t}=N_{t}+M_{t}$ è un processo di Poisson di intensità $\lambda +\mu .$
* Il processo di Poisson è un processo di Lévy.