# Superficie di Steiner

La superficie di Steiner, scoperta dal matematico svizzero Jakob Steiner, è un'immersione auto-intersecante del piano proiettivo reale nello spazio 3-dimensionale, con un inusuale alto grado di simmetria. Questa applicazione non è un'immersione del piano proiettivo; comunque, la figura risultante dalla rimozione di sei punti singolari lo è.
La costruzione più semplice è l'immagine di una sfera centrata nell'origine sotto l'azione della funzione $f(x,y,z)=(yz,xz,xy)$. Ciò conduce alla formula implicita:
    $x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}-r^{2}xyz=0.\,$
Inoltre, parametrizzando la sfera in termini di longitudine ($\theta$) e latitudine ($\phi$), si ottengono le seguenti equazioni parametriche per la superficie romana:
    $x=r^{2}\cos(\theta )\cos(\phi )\sin(\phi )$
    $y=r^{2}\sin(\theta )\cos(\phi )\sin(\phi )$
    $z=r^{2}\cos(\theta )\sin(\theta )\cos ^{2}(\phi )$
L'origine è un punto triplo, e ognuno dei piani $xy$, $yz$, $xz$ è tangente alla superficie in questo punto. Gli altri siti dell'auto-intersezione sono punti doppi, che definiscono segmenti lungo ciascun asse coordinato e terminano in sei punti di schiacciamento. Il gruppo di simmetria della superficie è quello del tetraedro. Più in particolare, sono proiezioni lineari di una immersione in uno spazio a 5 dimensioni, detta superficie di Veronese, che è l'immagine di una sfera regolare centrata nell'origine.
Esistono $10$ tipi di superficie di Steiner (classificate da Coffman, Schwartz e Stanton) fra le quali la cross cap e la superficie romana di Steiner, così chiamata poiché Steiner la scoprì durante il suo soggiorno a Roma nel 1836.
Una superficie di Steiner è un polinomio quadratico $\,p_{i}=Au^{2}+Buv+Cv^{2}+Du+Ev+F$ $(i=0,1,2,3)$ nelle variabili $u,v$ dato superficie nello spazio tridimensionale:: $\,(x,y,z)=\left({\frac {p_{1}}{p_{0}}},{\frac {p_{2}}{p_{0}}},{\frac {p_{3}}{p_{0}}}\right)$
Costruzione: dato lo spazio proiettivo reale, si considerino le coordinate omogenee $\,(u_{0},u_{1},u_{2})$ nello spazio proiettivo 5-dimensionale, con le coordinate omogenee:
    $(u_{0}^{2},u_{1}^{2},u_{2}^{2},u_{1}u_{2},u_{0}u_{2},u_{0}u_{1})$

## Derivazione della formula implicita

Per semplicità considereremo solo il caso per $r=1$. Si tracci la sfera individuata dai tre punti $(x,y,z)$ tali che
    $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,$
Applichiamo ora a questi punti la trasformazione $T$, dove $T(x,y,z)=(yz,zx,xy)=(U,V,W),\,$.
In questo modo, otteniamo che
    ${\begin{aligned}U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}&=z^{2}x^{2}y^{4}+x^{2}y^{2}z^{4}+y^{2}z^{2}x^{4}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{2}y^{2}z^{2})\\[8pt]&=(1)(x^{2}y^{2}z^{2})=(xy)(yz)(zx)=UVW,\end{aligned}}$
e perciò $U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0\,$, che è la tesi voluta.

## Derivazione delle equazioni parametriche

La superficie romana è data da:
    $(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})=(u_{0}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2},u_{1}u_{2},u_{0}u_{2},u_{0}u_{1})$
In coordinate affini abbiamo:
    $\,x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}-xyz=0$
Altre parametrizzazioni dell'equazione sono dati da:
    $x={\frac {s}{1+s^{2}+t^{3}}}$
    $y={\frac {s\cdot t}{1+s^{2}+t^{3}}}$
    $z={\frac {t}{1+s^{2}+t^{3}}},$
Si consideri ora una sfera di raggio $r$, longitudine $\phi$, e latitudine $\theta$. Allora le sue equazioni parametriche sono
    $x=r\,\cos \theta \,\cos \phi ,$
    $y=r\,\cos \theta \,\sin \phi ,$
    $z=r\,\sin \theta .$
Ora, applicando la trasformazione $T$ a tutti i punti di questa sfera otteniamo
    $x'=yz=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\sin \phi ,$
    $y'=zx=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\cos \phi ,$
    $z'=xy=r^{2}\,\cos ^{2}\theta \,\cos \phi \,\sin \phi ,$
che sono i punti della Superficie di Steiner. Sia $\phi$ compreso tra $0$ e $2\pi$, e $\theta$ variabile tra $0$ e ${\frac {\pi }{2}}$.
Ciò risulta dalla parametrizzazione della sfera unitaria
    $(x,y,z)=(\cos(u)\cos(v),\sin(u)\cos(v),\sin(v))$
sotto la trasformazione $(x,y,z)\mapsto (xy,yz,xz)=(\cos(u)\sin(u){\cos(v)}^{2},\sin(u)\cos(v)\sin(v),\cos(u)\cos(v)\sin(v)).$
Il cross-cap è dato da:
    $(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})=(u_{0}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2},u_{1}u_{2},2u_{0}u_{1},u_{0}^{2}-u_{1}^{2})$
In coordinate affini:
    $\,4x^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2}+z)+y^{2}(y^{2}+z^{2}-1)=0$

## Relazione col piano proiettivo reale

La sfera, prima di essere trasformata, non è omeomorfa col piano proiettivo reale $RP^{2}$, mentre la sfera centrata sull'origine possiede questa proprietà: vale a dire che, se i punti $(x,y,z)$ appartengono alla sfera, allora anche i punti antipodàli $(-x,-y,-z)$ appartengono alla medesima sfera, ma le due triplette di punti sono differenti e sono situati su lati opposti rispetto al centro della sfera.
La trasformazione $T$ converte le due triplette di punti antipodali, nel solito punto,
    $T:(x,y,z)\rightarrow (yz,zx,xy),$
    $T:(-x,-y,-z)\rightarrow ((-y)(-z),(-z)(-x),(-x)(-y))=(yz,zx,xy).$