# Parte interna

In matematica, e più precisamente in topologia, la parte interna di un insieme $S$ consiste in tutti i punti che sono intuitivamente «non sui bordi di $S$». Un punto della parte interna di $S$ è un punto interno di $S$. La nozione di parte interna è per molti versi il duale della nozione di chiusura.

## Definizioni

Se $S$ è un sottoinsieme di uno spazio euclideo, allora $x$ è un punto interno di $S$ se esiste una palla aperta centrata in $x$ e contenuta in $S$.
Questa definizione si generalizza a ogni sottoinsieme $S$ di uno spazio metrico $X$, infatti se $X$ è uno spazio metrico con metrica $d$, allora $x$ è un punto interno di $S$ se esiste $r>0$ tale che $y$ sia in $S$ ogni volta che la distanza è $d(x,y)<r$.
La parte interna di un sottoinsieme $S$ di uno spazio euclideo è l'insieme di tutti i punti interni di S.
L'interno di $S$ è indicato con ${\rm {int}}(S)$, ${\rm {Int}}(S)$, o ${\overset {\circ }{S}}$. In altre parole:
    ${\rm {Int}}(S)=\{x\in S\ |\ \exists U(x):U(x)\subset S\}$
dove si indica con $U(x)$ un intorno di $x$.
Nota che queste proprietà sono soddisfatte anche se "interno", "sottoinsieme", "unione", contenuto in", "più grande" e "aperto" sono sostituiti da "chiusura", "superinsieme", "intersezione", "che contiene", "più piccolo" e "chiuso". Per maggiori informazioni sull'argomento, vedi operatore di interno più in basso.

### Caso generale in uno spazio topologico

Questa definizione si generalizza a uno spazio topologico sostituendo la "palla aperta" con "intorno". Nota che questa definizione non dipende dal fatto che gli intorni siano aperti oppure no.
Sia $(X,\tau )$ spazio topologico e sia $S\subseteq X$. Un punto $x\in X$ si dice interno a $S$ se $\exists \ U\in \tau$ tale che $x\in U\subseteq S$$_,$ ossia se $S$ è un intorno di $x$.
La parte interna di un sottoinsieme $S$ è l'insieme di tutti i punti interni di $S$ ed è indicato con $Int(S)$ oppure ${\overset {\circ }{S}}$.

## Proprietà

Sia $(X,\tau )$ spazio topologico e siano $A$,$B$ sottoinsiemi di $X$.
Allora:
* ${\rm {Int}}(A)\subseteq A$ è un aperto in $X$ ed è il più grande aperto contenuto in $A$;
* $A$ è aperto in $X$ $\Leftrightarrow$ $A={\rm {Int}}(A)$;
* $A\subseteq B\Rightarrow {\rm {Int}}(A)\subseteq {\rm {Int}}(B)$;
* ${\rm {Int}}(A\cup B)\supseteq {\rm {Int}}(A)\cup {\rm {Int}}(B)$
* ${\rm {Int}}(A\cap B)={\rm {Int}}(A)\cap {\rm {Int}}(B)$.
Osserviamo che quindi queste proprietà valgono anche in un qualsiasi spazio metrico e spazio euclideo.

## Esempi

* In ogni spazio la parte interna dell'insieme vuoto è l'insieme vuoto.
* In ogni spazio $X$,${\overset {\circ }{X}}=X$.
* Se $X$ è lo spazio euclideo $\mathbb {R}$ dei numeri reali, allora ${\rm {Int}}([0,1])=(0,1)$.
* Se $X$ è lo spazio euclideo $\mathbb {R}$, allora la parte interna dell'insieme $\mathbb {Q}$ dei numeri razionali è vuoto.
* Se $X$ è il piano complesso $\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}$, allora $\operatorname {Int} ({z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1})=\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}.$
* In ogni spazio euclideo, la parte interna di ogni insieme finito è l'insieme vuoto.
Sull'insieme dei numeri reali è possibile porre un'altra topologia diversa da quella standard.
* Se $X=\mathbb {R}$, dove $\mathbb {R}$ ha la topologia del limite inferiore, allora ${\rm {Int}}([0,1])=[0,1)$.
* Se si considera su $\mathbb {R}$ la topologia nella quale ogni insieme è aperto, allora ${\rm {Int}}([0,1])=[0,1]$.
* Se si considera su $\mathbb {R}$ la topologia nella quale gli unici insiemi aperti sono l'insieme vuoto e $\mathbb {R}$ stesso, allora ${\rm {Int}}([0,1])=\emptyset$.
Questi esempi mostrano che l'interno di un insieme dipende dalla scelta della topologia dello spazio sottostante. Gli ultimi due esempi sono casi particolari dei seguenti:
* In ogni spazio discreto, dal momento che ogni insieme è aperto, ogni insieme è uguale al suo interno.
* In ogni spazio banale $X$, dal momento che gli unici insiemi aperti sono l'insieme vuoto e $X$ stesso, abbiamo ${\rm {Int}}(X)=X$ e per ogni sottoinsieme proprio $A$ di $X$, ${\overset {\circ }{A}}=\emptyset$.

## Operatore parte interna

Dato un insieme $S$, l'operatore parte interna ${\overset {\circ }{S}}$ è il duale dell'operatore di chiusura ${\bar {S}}$, nel senso che
    ${\displaystyle {\overset {\circ }{S}}}=X\backslash {\overline {(X\backslash S)}}$
e anche
    ${\displaystyle {\bar {S}}=X\backslash {\overset {\circ }{(X\backslash S)}}}$
dove $X$ indica lo spazio topologico contenente $S$, e $\backslash$ indica il complemento di un insieme.
Di conseguenza la teoria astratta degli operatori di chiusura e gli assiomi di chiusura di Kuratowski possono essere facilmente tradotti nel linguaggio degli operatori parte interna, sostituendo gli insiemi con i loro complementi.