# Equazione di Lane-Emden

In astrofisica, l'equazione di Lane-Emden è una forma adimensionale dell'equazione di Poisson per il potenziale gravitazionale di un fluido politropico, autogravitante, a simmetria sferica. Prende il nome dagli astrofisici Jonathan Homer Lane e Robert Emden. L'equazione è
    ${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0,$
dove $\xi$ è un raggio adimensionale e $\theta$ si riferisce alla densità, e quindi alla pressione, tramite $\rho =\rho _{c}\theta ^{n}$ per la densità centrale $\rho _{c}$. L'indice $n$ è l'indice politropico che appare nell'equazione di stato politropica,
    $P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}\,$
dove $P$ e $\rho$ sono rispettivamente la pressione e la densità, e $K$ è una costante di proporzionalità. Le condizioni al contorno standard sono $\theta (0)=1$ e $\theta '(0)=0$. Le soluzioni quindi descrivono l'andamento della pressione e della densità con il raggio e sono conosciute come politropiche di indice $n$. Se si considera un fluido isotermico (con indice politropico tendente a infinito) invece di uno politropico, si ottiene l'equazione di Emden-Chandrasekhar.

## Applicazioni

Fisicamente, l'equilibrio idrostatico collega il gradiente del potenziale, la densità e il gradiente della pressione, mentre l'equazione di Poisson collega il potenziale con la densità. Pertanto, se abbiamo un'equazione ulteriore che detta come la pressione e la densità variano l'una rispetto all'altra, si può ottenere una soluzione. La scelta di un gas politropico porta all'equazione di Lane–Emden. L'equazione è un'utile approssimazione per le sfere di plasma autogravitanti come le stelle, ma tipicamente è un'assunzione piuttosto limitata.

## Derivazione
### Dall'equilibrio idrostatico

Si consideri un fluido autogravitante a simmetria sferica in equilibrio idrostatico. La massa si conserva e quindi vale l'equazione di continuità
    ${\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho$
dove $\rho$ è una funzione di $r$. L'equazione dell'equilibrio idrostatico è
    ${\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}$
dove anche $m$ è una funzione di $r$. Fare di nuovo la derivata produce
    ${\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho \end{aligned}}$
dove l'equazione di continuità è stata usata per sostituire il gradiente di massa. Moltiplicando ambo i membri di $r^{2}$ e raccogliendo le derivate di $P$ a sinistra, si può scrivere
    $r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho$
Dividere ambo i membri per $r^{2}$ dà, in un certo senso, una forma dimensionale dell'equazione desiderata. Se, inoltre, si sostituisse per l'equazione politropica di stato con $P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}$ e $\rho =\rho _{c}\theta ^{n}$, si ha
    ${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}$
Raccogliendo i costanti e sostituendo $r=\alpha \xi$, dove
    $\alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G,$
abbiamo l'equazione di Lane-Emden,
    ${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0$

### Dall'equazione di Poisson

Si può cominciare in maniera equivalente con l'equazione di Poisson,
    $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}\right)=4\pi G\rho$
Si può sostituire il gradiente del potenziale usando l'equilibrio idrostatico, per mezzo di:
    ${\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}$
che analogamente porta alla forma dimensionale dell'equazione di Lane–Emden.

## Soluzioni esatte

Per un certo valore dell'indice politropico $n$, indichiamo la soluzione all'equazione di Lane-Emden come $\theta _{n}(\xi )$. In generale, l'equazione di Lane–Emden deve essere risolta numericamente per trovare $\theta _{n}$, ma esistono soluzioni esatte e analitiche per $n=0,1,5$. Tuttavia, per $n$ tra 0 e 5, le soluzioni sono continue e finite, e il raggio della stella è dato da
    $R=\alpha \xi _{1}$,
dove $\theta _{n}(\xi _{1})=0$.
Per una certa soluzione $\theta _{n}$, il profilo della densità è dato da
    $\rho =\rho _{c}\theta _{n}^{n}$.
La massa totale $M$ di una determinata stella si ottiene integrando la densità da 0 a $\xi _{1}$.
La pressione può essere trovata usando l'equazione di stato politropica, $P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}$, ovvero
    $P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta _{n}^{n+1}$
Infine, se il gas è perfetto, l'equazione di stato è $P=k_{B}\rho T/\mu$, dove $k_{B}$ è la costante di Boltzmann e $\mu$ la massa molecolare media. Il profilo di temperatura è quindi dato da
    $T={\frac {K\mu }{k_{B}}}\rho _{c}^{1/n}\theta _{n}$
Come sopra indicato, l'equazione di Lane–Emden è integrabile solo per tre valori dell'indice politropico $n$.

### Per n = 0

Se $n=0$, l'equazione diventa
    ${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+1=0$
Riordinando e integrando si arriva a
    $\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}$
Dividere ambo i membri per $\xi ^{2}$ e integrare di nuovo fornisce
    $\theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}$
Le condizioni al contorno $\theta (0)=1$ e $\theta '(0)=0$ implicano che le costanti di integrazione sono $C_{0}=1$ e $C_{1}=0$. Pertanto,
    $\theta (\xi )=1-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}$

### Per n = 1

Quando $n=1$, l'equazione può essere sviluppata nella forma
    ${\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0$
Si assume che la soluzione sia una serie di potenze:
    $\theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\xi ^{n}$
Ciò porta a una relazione ricorsiva per i coefficienti dello sviluppo:
    $a_{n+2}=-{\frac {a_{n}}{(n+3)(n+2)}}$
Questa relazione può essere risolta, ottenendo la soluzione generale:
    $\theta (\xi )=a_{0}{\frac {\sin \xi }{\xi }}+a_{1}{\frac {\cos \xi }{\xi }}$
La condizione al contorno per una politropica fisica richiede che $\theta (\xi )\rightarrow 1$ per $\xi \rightarrow 0$. Questo richiede che $a_{0}=1,a_{1}=0$, arrivando così alla soluzione:
    $\theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}$

### Per n = 5

Si inizia dall'equazione di Lane–Emden:
    ${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+\theta ^{5}=0$
Riscrivendo per ${\frac {d\theta }{d\xi }}$ si ottiene:
    ${\frac {d\theta }{d\xi }}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right)^{3/2}{\frac {2\xi }{3}}={\frac {\xi ^{3}}{3\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}$
Derivando rispetto a ξ porta a:
    $\theta ^{5}={\frac {\xi ^{2}}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}+{\frac {3\xi ^{2}}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}={\frac {9}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}$
Che semplificato diventa:
    $\theta ^{5}={\frac {1}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}$
Pertanto l'equazione di Lane–Emden ha la soluzione
    $\theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}$
quando $n=5$.