# Spazio di misura

In analisi matematica uno spazio di misura (o spazio mensurale, o spazio di Lebesgue) è una struttura astratta utilizzata per formalizzare il concetto di misura, come generalizzazione delle idee elementari di lunghezza di una curva o area di una superficie.

## Definizione

Si definisce spazio di misura uno spazio misurabile $(X,{\mathfrak {F}})$ dotato di una misura $\mu$ positiva definita sulla σ-algebra ${\mathfrak {F}}$ costituita da sottoinsiemi misurabili di $X$. Un tale spazio si rappresenta con una terna $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$.
Quando lo spazio misurabile $(X,{\mathfrak {F}})$ è uno spazio boreliano, talvolta lo spazio di misura $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ è detto spazio di misura boreliano. Dato uno spazio di misura $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$, in genere si denota con $|\mu |$ la variazione totale di $\mu$ su $(X,{\mathfrak {F}})$.
Se $|\mu |(X)<\infty$ lo spazio di misura si dice finito. Se inoltre $X$ può scriversi come unione numerabile di insiemi:
    $X=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }X_{i}$
di misura finita, cioè tali che $|\mu |(X_{i})<\infty$, allora lo spazio misurabile si dice σ-finito.

## Spazio di probabilità

Uno spazio di probabilità $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ è uno spazio di misura tale che $P(E)\geq 0$ per ogni $E\in {\mathcal {F}}$ e $P(\Omega )=1$. In questo contesto $P$ è detta misura di probabilità. Dalla definizione stessa, segue che uno spazio di probabilità è sempre uno spazio di misura finita.
La struttura di spazio di probabilità è stata introdotta da Andrey Nikolaevich Kolmogorov negli anni trenta, nell'ambito di una serie di lavori del matematico russo che hanno posto i fondamenti dell'intera teoria della probabilità.

## Completamento di uno spazio di misura

Uno spazio di misura si dice completo se ogni insieme contenuto in un insieme nullo è misurabile (avendo ovviamente in questo caso misura nulla). In generale, da un punto di vista pratico, è conveniente utilizzare spazi completi. Tuttavia, dato uno spazio di misura non completo, è sempre possibile estenderlo ad uno spazio completo nel seguente senso.
Sia $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ uno spazio di misura. Esiste un unico spazio di misura completo $(X,{\mathfrak {F}}^{\prime },\mu ^{\prime })$, detto completamento di $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$, sullo stesso insieme $X$ con le seguenti proprietà:
* la σ-algebra ${\mathfrak {F}}^{\prime }$ è più fine (cioè contiene) ${\mathfrak {F}}$.
* la misura $\mu ^{\prime }$ ristretta ad ${\mathfrak {F}}$ coincide con $\mu$, ossia per ogni sottoinsieme misurabile di $X$ $E\in {\mathfrak {F}}$ accade $\mu (E)=\mu ^{\prime }(E)$.
* se $(X,{\mathfrak {G}},\nu )$ è un altro spazio con tale proprietà, allora ${\mathfrak {G}}$ è più fine di ${\mathfrak {F}}^{\prime }$ (o equivalentemente, ${\mathfrak {F}}^{\prime }$ è la meno fine tra tutte le σ-algebre su cui sia possibile effettuare tale costruzione).
Evidentemente, se $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ è completo, esso coincide col suo completamento. In generale è possibile costruire in maniera esplicita il completamento di uno spazio non completo. Ne illustriamo qui la procedura.
Consideriamo l'insieme ${\mathfrak {N}}$ di tutti gli insiemi contenuti in insiemi nulli (tali insiemi sono talvolta detti trascurabili). Sia ${\mathfrak {F}}^{\prime }=\sigma \left({\mathfrak {N}}\bigcup {\mathfrak {F}}\right)$ la più piccola σ-algebra contenente sia gli elementi di ${\mathfrak {F}}$ che quelli di ${\mathfrak {N}}$. Poiché l'unione e l'intersezione numerabili di insiemi trascurabili è trascurabile, si vede facilmente che ogni elemento $E^{\prime }$ di ${\mathfrak {F}}^{\prime }$ può essere ottenuto da un elemento $E$ di ${\mathfrak {F}}$ unendovi o sottraendovi un insieme trascurabile. Sarà allora sufficiente estendere $\mu$ ad una nuova misura su $(X,{\mathfrak {F}}^{\prime })$ semplicemente ponendo $\mu ^{\prime }(E^{\prime }):=\mu (E)$.
Un caso notevole, è quello dello spazio di misura di Lebesgue (il secondo esempio sopra), che è il completamento dello spazio di Borel (il primo esempio sopra).

## La categoria degli spazi di misura

L'insieme degli spazi di misura forma una categoria, dove i morfismi sono dati dalle funzioni misurabili che conservano la misura. Più precisamente, dati due spazi di misura $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$, $(Y,{\mathfrak {G}},\nu )$ un morfismo è naturalmente associato ad una funzione $f:X\mapsto Y$ tale che:
* $f$ sia $({\mathfrak {F}},{\mathfrak {G}})$-misurabile.
* Per ogni insieme $F\in {\mathfrak {G}}$ accade $\mu \left(f^{-1}(F)\right)=\nu (F)$.
In particolare, i due spazi di misura si diranno isomorfi se esiste una funzione biiettiva $f:X\mapsto Y$ misurabile e con inversa misurabile, tale che per ogni $E\in {\mathfrak {F}}$ accada $\mu (E)=\nu (f(E))$.
Dato uno spazio misurabile $(X,{\mathfrak {F}})$, e due misure $\mu ,\nu$ su di esso, $\nu$ si dice assolutamente continua rispetto a $\mu$ se ogni insieme $E\in {\mathfrak {F}}$ che ha misura nulla rispetto a $\mu$ ha misura nulla anche rispetto a $\nu$: $\mu (E)=0\Rightarrow \nu (E)=0$ Due misure assolutamente continue l'una rispetto all'altra si dicono equivalenti.

### Isomorfismi di spazi misurabili

Dal teorema di Radon-Nikodym si può allora dedurre la seguente preposizione: siano $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ e $(X,{\mathfrak {F}},\nu )$ due spazi di misura σ-finiti costruiti sopra il medesimo spazio misurabile $(X,{\mathfrak {F}})$. Se $\mu ,\,\nu$ sono equivalenti, allora i due spazi sono isomorfi.

## Applicazioni

* Naturalmente, l'applicazione più naturale della nozione di spazio di misura si ha proprio nella teoria della misura, in quanto essa costituisce un oggetto fondamentale di tale teoria.
* Se $(X,{\mathfrak {F}})$ è uno spazio misurabile ed $S$ un semigruppo, un'azione misurabile di $S$ su $X$ è una famiglia (indicizzata dal parametro $s\in S$) di mappe misurabili $T_{s}:X\mapsto X$ tali che $T_{s}\circ T_{t}=T_{st}$ per ogni $s,t\in S$. Un sistema dinamico conservativo è una quadrupla $(X,{\mathfrak {F}},\mu ,S)$, dove $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ è uno spazio di misura, e $T$ è un'azione misurabile di un semigruppo $S$ su $X$, che conserva la misura: $\mu \left(T_{s}^{-1}(E)\right)=\mu (E)$ per ogni $E\in {\mathfrak {F}},\,s\in S$. La teoria dei sistemi dinamici conservativi è -nonostante la sua generalità- molto ricca. Da essa si possono ad esempio derivare con semplicità e generalità molte delle proprietà della meccanica classica. Infatti, i sistemi hamiltoniani rientrano nella classe dei sistemi dinamici conservativi.

## Esempi

* La terna $(\mathbb {R} ,{\mathfrak {B}},\mu )$, dove $\mathbb {R}$ è la retta reale, ${\mathfrak {B}}$ è la relativa σ-algebra boreliana, e $\mu$ è la misura di Borel è uno spazio di misura boreliano. Questo non è uno spazio finito, in quanto la misura (in questo caso lunghezza) dell'intera retta reale è infinita. Tuttavia tale spazio è σ-finito, in quanto ogni intervallo del tipo $[n,n+1]$ ha misura $1$, ed $\mathbb {R} =\bigcup _{n}[n,n+1]$.
* La terna $(\mathbb {R} ,{\mathfrak {L}},\lambda )$, dove ${\mathfrak {L}}$ è la σ-algebra di Lebesgue, e $\lambda$ è la misura di Lebesgue è uno spazio di misura non boreliano. Questo spazio di misura è pure σ-finito, per la stessa motivazione data sopra.
* Lo spazio discreto $\Omega =\{1,\ldots ,n\}$, con la convenzione che ogni sottoinsieme di $\Omega$ è misurabile e la misura di un sottoinsieme è data da $\mathbb {P} (A)={\frac {|A|}{n}}$, è uno spazio di probabilià.
* Se $\Omega$ è uno spazio di misura finita, allora si può ottenere uno spazio di probabilità introducendo la misura $\mathbb {P} (A)={\frac {\mu (A)}{\mu (\Omega )}}$.