# Somma connessa

La somma connessa è un'operazione eseguita in matematica, e più precisamente in geometria, per creare una nuova varietà a partire da due varietà date. Le varietà date sono topologiche o differenziabili.
In modo analogo è definita anche la somma connessa fra nodi, un'operazione che costruisce un nodo a partire da due nodi dati.
A dispetto del nome scelto, le operazioni di somma connessa hanno spesso delle analogie con l'operazione di moltiplicazione fra numeri interi. In particolare, per le varietà di dimensione 2 e 3, e per i nodi, vi sono dei teoremi che, analogamente a quanto enunciato nel teorema fondamentale dell'aritmetica, sostengono che ogni varietà/nodo si ottiene in modo unico come somma connessa di alcune varietà indecomponibili, chiamate prime in analogia con i numeri primi. Non esistono però teoremi di questo tipo in dimensione 4 o superiore.

## Somma connessa fra varietà
### Definizione

Siano $M$ e $N$ due varietà topologiche della stessa dimensione $n$. Siano $B_{M}$ e $B_{N}$ due aperti rispettivamente in $M$ e $N$, le cui chiusure sono entrambe omeomorfe al disco chiuso $n$-dimensionale
    $D^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|\leqslant 1\}.$
Quindi $B_{M}$e $B_{N}$ sono entrambe omeomorfe alla palla aperta
    $B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|<1\}$
e il loro bordo è omeomorfo alla sfera $(n-1)$-dimensionale
    $S^{n-1}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|=1\}.$
Sia quindi $\psi$ un fissato omeomorfismo
    $\psi :\partial B_{N}\to \partial B_{M}.$
La somma connessa di $M$ e $N$ è quindi definita come lo spazio che si ottiene rimuovendo le due palle aperte da $M$ e $N$ e incollando successivamente i nuovi bordi sferici tramite la mappa $\psi$. Questo nuovo spazio viene indicato con $M$#$N$ ed è anch'esso una varietà $n$-dimensionale. Formalmente:
    $M\#N={\frac {(M-B_{M})\sqcup (N-B_{N})}{\sim }}$
dove $\sim$ è la relazione di equivalenza che identifica ogni $x$ in $\partial B_{M}$ con l'immagine $\psi (x)$ in $B_{N}$.

### Dipendenza dalle scelte fatte

La varietà ottenuta $M$#$N$ dipende dalla scelta degli aperti $B_{M},B_{N}$ e dall'omeomorfismo $\psi$. Se però le varietà $M,N$ sono differenziabili, e ogni omeomorfismo nella definizione è in verità un diffeomorfismo, la scelta degli aperti non influisce nel risultato.
D'altro canto, se l'omeomorfismo $\psi$ è sostituito con un altro omeomorfismo $\psi '$ omotopo a $\psi$ il risultato non cambia. A meno di omotopia, vi sono solo 2 omeomorfismi di $S^{n-1}$ in sé: quello che mantiene l'orientazione della sfera e quello che la inverte. Quindi ci sono solo due possibili risultati.
Quindi se le varietà sono differenziabili la somma connessa $M$#$N$ dipende soltanto dall'orientazione della mappa d'incollamento $\psi$. In alcuni casi (ad esempio, per le superfici), anche l'orientazione della mappa è ininfluente.
Per molte varietà di dimensione maggiore l'orientazione della mappa è però determinante, e generalmente si adotta un piccolo "trucco" per eliminare anche quest'ultimo fattore di arbitrarietà. Innanzitutto, questo può essere presente solo se entrambe $M$e $N$ sono orientabili. Al fine di scegliere a priori uno dei due incollamenti, in questo caso si suppone che $M$e $N$ siano orientate: l'orientazione delle varietà induce un'orientazione nelle sfere che andranno identificate, e nell'operazione si decide di incollare queste tramite una mappa che inverta l'orientazione, in modo da ottenere una nuova varietà orientata $M$#$N$ in modo concorde alle orientazioni precedenti.

### Proprietà

La somma connessa per varietà differenziabili si comporta in modo simile alla moltiplicazione fra numeri interi, e questa similitudine è più marcata nelle dimensioni 2 e 3.

#### Dimensione qualsiasi

In qualsiasi dimensione $n$, l'operazione di somma connessa è commutativa e associativa. Inoltre la sfera $S^{n}$ è un elemento neutro per l'operazione #:
    $M\#S^{n}=S^{n}\#M=M.$
Infatti effettuare una somma connessa con una sfera equivale a togliere un aperto omeomorfo a una palla, e reinserirne un altro, lasciando quindi invariata la varietà.

#### Dimensioni 2 e 3

In dimensione 2 e 3 l'analogia con i numeri interi si spinge oltre: esiste infatti un analogo del teorema fondamentale dell'aritmetica, che asserisce che ogni numero intero si fattorizza in modo unico come prodotto di numeri primi. Una varietà differenziabile $M$ è prima se non è ottenibile come somma connessa
    $M=N\#N'$
dove entrambi i fattori $N$ e $N'$ sono diversi da $S^{n}$. La classificazione delle superfici e il teorema di Kneser-Milnor sostengono rispettivamente che ogni 2- o 3-varietà $M$ orientabile compatta è ottenibile in modo unico come prodotto di varietà prime:
    $M=N_{1}\#N_{2}\#\ldots \#M_{k}.$
In dimensione 2, le varietà prime orientabili e compatte sono la sfera e il toro. In dimensione 3, le 3-varietà prime sono infinite e non sono ancora state classificate in modo soddisfacente. Non esiste un teorema analogo per le varietà di dimensione 4 o superiore.

### Somma connessa al bordo

Esiste una versione di somma connessa al bordo per varietà con bordo $M$ e $M'$ della stessa dimensione $n$. Consiste nello scegliere due dischi $(n-1)$-dimensionali
    $D\subset \partial M,\quad D'\subset \partial M'$
e nell'incollarli tramite un omeomorfismo $f:D\to D'$.
Il risultato è una nuova varietà con bordo, che dipende soltanto dalle componenti connesse di $\partial M$ e $\partial M'$ contenenti i dischi. Ad esempio, un corpo con manici è ottenuto tramite somma connessa al bordo di più tori solidi.

## Somma connessa fra nodi
### Definizione

La somma connessa fra nodi è un'operazione analoga, che presenta alcune analogie con la somma connessa fra varietà. Consiste nella costruzione di un nodo a partire da due nodi dati, come mostrato nell'esempio in figura.
Come per le varietà, questa operazione non dipende dal tipo di diagramma scelto per rappresentare i nodi, né dalla "striscia" scelta su cui operare la somma connessa. La somma connessa di due nodi $K$ e $H$ si indica con $K$#$H$.

### Proprietà

L'operazione di somma connessa è commutativa e associativa. Il nodo banale $O$ è l'elemento neutro dell'operazione, ovvero
    $O\#K=K\#O=K$
per ogni altro nodo $K$. Come per le 2- e 3-varietà, esiste un Teorema di fattorizzazione in nodi primi. Un nodo $K$ è primo se non è ottenibile come somma connessa
    $K=K'\#K''$
di due nodi non banali. Il teorema di fattorizzazione asserisce che ogni nodo $K$ è ottenibile in modo unico come somma connessa di numeri primi
    $K=K_{1}\#\ldots K_{h}.$
Come i numeri primi, i nodi primi sono quindi i "mattoni" della teoria dei nodi, ed è a loro che è rivolta generalmente maggiore attenzione.