# Dimostrazioni del limite di una funzione

Nella pagina seguente vengono riportate tutte le dimostrazioni dei teoremi contenuti nell'articolo limite di una funzione, perciò per fare riferimento a eventuali applicazioni si prega di fare riferimento alla relativa pagina.

## Teorema di unicità

Sia:
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}$ e $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{2}$
allora:
    $l_{1}=l_{2}$

### Dimostrazione

La dimostrazione del teorema procede per assurdo. Presi:
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}$ e $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{2}$
con $l_{1}\neq l_{2}$, allora esistono due intorni $V_{1}$ di $l_{1}$ e $V_{2}$ di $l_{2}$ tali che siano disgiunti ($V_{1}\cap V_{2}=\emptyset$). Per definizione devono esistere due intorni $U_{1}$ e $U_{2}$ di $x_{0}$ per cui vale:
* $f(x)\in V_{1}$ se $x\in U_{1}$
* $f(x)\in V_{2}$ se $x\in U_{2}$
Dunque prendendo l'intorno di $x_{0}$ costruito come $U_{1}\cap U_{2}$, dovrebbe succedere, contemporaneamente, che $f(x)\in V_{1}$ e $f(x)\in V_{2}$, il che è assurdo. Da tali procedimenti si è arrivati a dire che, nonostante siano stati presi due intorni disgiunti dei limiti, l'intersezione tra gli intorni non è vuota, cioè praticamente non esistono intorni disgiunti dei limiti. Questo però, per la proprietà di separazione (o di Hausdorff), deve sempre accadere se i limiti sono distinti, in conclusione allora i limiti devono per forza essere uguali.

## Teorema della permanenza del segno

Se il limite della funzione risulta positivo allora anche la funzione è positiva.
Sia $f$ una funzione continua nel suo dominio, $f:X\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ e $x_{0},l\in \mathbb {R} ^{*}$ con $x_{0}$ di accumulazione per $X$, allora:
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l>0\,(<0)\to f(x)>0\,(<0){\mbox{ per }}x\to x_{0}$
Infatti, si ponga $l\in \mathbb {R} ,\,l>0$. Preso l'intorno $V=(l-\varepsilon ;l+\varepsilon )$ con $0<\varepsilon <l$. Allora, per definizione di limite, esiste un intorno $U$ di $x_{0}$, per il quale:
    $f(x)\in V\qquad \forall x\in U\cap X\backslash \left\{x_{0}\right\}$
cioè:
    $l+\varepsilon >f(x)>l-\varepsilon >0$
È possibile eseguire la stessa dimostrazione per $+\infty$ e $-\infty$.

## Criterio di regolarità per confronto

Siano $f,g,h:X\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $f,g,h\in C^{0}(X;\mathbb {R} )$, e $x_{0}$ un punto di accumulazione per $X$. Se:
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=l$
e se esiste un intorno $U$ di $x_{0}$ tale che risulti:
    $f(x)\leq g(x)\leq h(x)\qquad \forall x\in U\cap X\backslash \left\{x_{0}\right\}$
allora:
    $\lim _{x\to x_{0}}g(x)=l$

### Dimostrazione

Sia $l\in \mathbb {R}$. Preso un intorno $V$ di $l$, $(l-\varepsilon ,l+\varepsilon )$ esistono intorni $U_{1}$ e $U_{2}$ di $x_{0}$.
Per definizione si ha:
    $x\neq x_{0}\in U_{1}\to f(x)\in V\qquad x\neq x_{0}\in U_{2}\to h(x)\in V$
Allora, preso l'intorno $U=U_{1}\cap U_{2}$ di $x_{0}$, succede, per ipotesi, che:
    $l-\varepsilon \leq f(x)\leq g(x)\leq h(x)\leq l+\varepsilon$
cioè:
    $x\in U\backslash \left\{x_{0}\right\}\to g(x)\in V$
Del tutto analoga la dimostrazione per i casi $l=\pm \infty$, ma in questi due casi, basterà sono una funzione che maggiori (o minori) la funzione che si sta studiando.

## Operazioni con i limiti

Sia $f:X_{f}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,g:X_{g}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,X_{f}\cap X_{g}\neq \varnothing$ e $x_{0}$ un punto di accumulazione per $X_{f},\,X_{g}$.
Se esistono
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}\qquad \lim _{x\to x_{0}}g(x)=l_{2}$
allora:
* $\lim _{x\to x_{0}}(c\cdot f(x))=c\cdot l_{1}\qquad c\in \mathbb {R}$
* $\lim _{x\to x_{0}}(f(x)\pm g(x))=l_{1}\pm l_{2}$
* $\lim _{x\to x_{0}}(f(x)\cdot g(x))=l_{1}\cdot l_{2}$
* $\lim _{x\to x_{0}}{1 \over f(x)}={1 \over l_{1}}\qquad l_{1}\neq 0$
* $\lim _{x\to x_{0}}{f(x) \over g(x)}={l_{1} \over l_{2}}\qquad l_{2}\neq 0$