# Omologia singolare

In topologia l'omologia singolare è una costruzione che permette di associare ad uno spazio topologico un oggetto algebrico detto omologia.
Esistono altre costruzioni che producono essenzialmente la stessa omologia, ad esempio l'omologia simpliciale e l'omologia cellulare. L'omologia singolare è la costruzione che funziona nella più ampia generalità: per la sua costruzione non è necessario che lo spazio topologico sia un complesso simpliciale o un complesso di celle.

## Definizione

Sia $X$ uno spazio topologico. Come ogni omologia, l'omologia singolare è definita a partire da un complesso di catene
    $\dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0.$
Il complesso di catene qui è costruito a partire dalla nozione di simplesso singolare.

### Simplesso standard

Il simplesso standard $\Delta _{n}$ è l'inviluppo convesso in $\mathbb {R} ^{n+1}$ dei punti
    $e_{0},\ldots ,e_{n}$
che formano la base canonica di $\mathbb {R} ^{n+1}$. Per $n=1,2,3$ il simplesso standard è rispettivamente un segmento, un triangolo, un tetraedro. I punti $e_{0},e_{1},\ldots ,e_{n}$ sono i vertici del simplesso. Il simplesso $\Delta _{n}$ ha dimensione $n$.
Una faccia di dimensione $k$ di $\Delta _{n}$ è l'inviluppo convesso di $k+1$ vertici distinti
    $e_{i_{0}},\ldots ,e_{i_{k}}.$
Tale faccia è canonicamente identificata con il simplesso standard $\Delta _{k}$: il fatto che questa identificazione sia canonica è un punto essenziale della teoria, che dipende dal fatto che i vertici del simplesso standard sono ordinati. Se $i_{0}<\ldots <i_{k}$, l'identificazione $F$ è tale che
    $F(e_{i_{j}})=e_{j}$
e si estende per combinazione convessa a tutta la faccia.
Se la dimensione non è specificata, per faccia di $\Delta _{n}$ si intende una faccia di dimensione $n-1$: queste giocano un ruolo importante nella costruzione dell'omologia singolare. Il simplesso $\Delta _{n}$ ha quindi $n+1$ facce $f_{0},\ldots ,f_{n}$ opposte ai vertici $e_{0},\ldots ,e_{n}$.

### Simplesso singolare

Sia $X$ uno spazio topologico Un simplesso singolare è una mappa continua
    $\sigma \colon \Delta _{n}\to X$
dal simplesso standard in $X$. Anche qui $n$ è la dimensione del simplesso singolare. Il bordo $i$-esimo $\partial _{i}\sigma$ del simplesso singolare $\sigma$ è il simplesso singolare di dimensione $n-1$ seguente:
    $\partial _{i}\sigma \colon \Delta _{n-1}\to X$
definito restringendo $\sigma$ alla $i$-esima faccia di $\Delta _{n}$ (identificata canonicamente con $\Delta _{n-1}$).

### Complesso di catene

Una catena è una combinazione lineare formale di simplessi singolari (tutti della stessa dimensione $n$), a coefficienti interi
    $a_{1}\sigma _{1}+\ldots +a_{h}\sigma _{h}.$
Il numero $h$ di elementi è variabile (purché finito) e i coefficienti $a_{i}$ sono numeri interi. Una catena non è una mappa: può essere interpretata solo astrattamente, come combinazione lineare formale di oggetti. Le catene possono essere sommate in modo naturale e formano un gruppo abeliano, indicato con $C_{n}$. In altre parole, $C_{n}$ è il gruppo abeliano libero generato dall'insieme di tutti i simplessi singolari. Questo insieme è in generale molto grande (può avere cardinalità più che numerabile anche per spazi $X$ molto semplici).
Per definire un complesso di catene è infine necessario introdurre una mappa di bordo
    $\partial \colon C_{n}\to C_{n-1}.$
per ogni $n>0$. La mappa è definita su ogni simplesso singolare $\sigma$ di dimensione $n$ nel modo seguente:
    $\partial \sigma =\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\partial _{i}\sigma .$
La mappa $\partial$ è quindi estesa per linearità a tutto $C_{n}$.

### Omologia

La costruzione descritta produce finalmente un complesso di catene
    $\dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0.$
L'alternanza dei segni nella definizione di $\partial$ ha un importante effetto: la composizione di due bordi successivi è sempre la mappa banale, cioè quella che manda ogni simplesso nello zero (lo zero in $C_{n}$ è la combinazione lineare vuota). Infatti facendo due volte il bordo di un $n$-simplesso singolare si ottiene una catena in cui ogni $(n-2)$-sottosimplesso singolare compare due volte, ma con segni opposti. Vale quindi la proprietà
    $\partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0.$
A questo punto l'omologia singolare è definita a partire da questo complesso con un procedimento standard, usato in tutte le teorie omologiche. Si definisce l'$n$-esimo gruppo di omologia singolare $H_{n}(X)$ come il gruppo quoziente
    $H_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1}).$