# Regola del prodotto

Nell'analisi matematica, la regola del prodotto o regola di Leibniz è una regola di derivazione che nella sua forma generale permette di calcolare qualsiasi derivata prima del prodotto di $k$ funzioni $f_{i},$ con $i=1,\ldots ,k,$ tutte derivabili:
    ${\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).$

## Enunciato semplice

La derivata prima del prodotto di due funzioni derivabili in $x$ è uguale al prodotto della prima per la derivata della seconda più il prodotto della seconda funzione per la derivata della prima, che nella notazione di Lagrange si esprime:
    $\left[g(x)f(x)\right]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).$

## Dimostrazione

Applicando la definizione di derivata ed ipotizzando le funzioni $f(x)$ e $g(x)$ derivabili in $x$:
    $[f(x)g(x)]'=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}.$
Ora sottraiamo e sommiamo la quantità $f(x+h)g(x)$:
    $\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}}.$
Raccogliendo $f(x+h)$ e $g(x)$ si ottiene
    $\lim _{h\to 0}f(x+h)\left[{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]+\lim _{h\to 0}g(x)\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right].$
Siccome le funzioni $f(x)$ e $g(x)$ sono, per ipotesi, derivabili in $x$, quindi è qui anche continua sia $\lim _{h\to 0}f(x+h)=f(x)$che $\lim _{h\to 0}g(x+h)=g(x)$. Si conclude che:
    $\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=g'(x),$
    $\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x),$
e quindi:
    $f(x)g'(x)+f'(x)g(x),$
come volevasi dimostrare.

## La scoperta di Leibniz

La scoperta di questa regola è stata attribuita al matematico Gottfried Leibniz - da cui il nome - che la dimostrò utilizzando il differenziale, utilizzando una sua particolare notazione, come di seguito riportata, in cui $f(x)$ e $g(x)$ sono due funzioni di $x$. Allora il differenziale di $fg$ è
    $d(fg)=(f+df)(g+dg)-fg=f(dg)+g(df)+(df)(dg).$
Siccome il termine $(df)(dg)$ è "trascurabile" in quanto differenziale del second'ordine, Leibniz concluse che
    $d(fg)=f(dg)+g(df).$
Questo è identico alla forma differenziale della regola del prodotto. Se si divide entrambi per il differenziale $dx$, si ottiene
    ${\frac {d}{dx}}(fg)=f\left({\frac {dg}{dx}}\right)+g\left({\frac {df}{dx}}\right)$
che corrisponde nella notazione di Lagrange a:
    $(fg)'=fg'+f'g.$

## Funzioni costanti

Un caso particolare notevole è la derivata di una funzione $f(x)$ per una costante $k$:
    $D\left[kf(x)\right]=k\cdot f'(x)+k'\cdot f(x),$
ma $k'=0$ essendo derivata di una costante allora, per l'annullamento del prodotto, rimane solo il primo termine; quindi
    $D\left[kf(x)\right]=kf'(x).$

## Generalizzazioni
### Prodotto multiplo

La regola può essere generalizzata anche per una collezione di $n$ funzioni derivabili, $f_{1},\ldots ,f_{k}$ ,e dimostrabile con un processo simile a quello già visto ottenendo la regola generale:
    La derivata del prodotto di n funzioni è uguale alla sommatoria di n addendi ognuno dei quali contenente la derivata dell'n-esima funzione e le restanti non derivate.
       $(f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}(x))'=f_{1}'(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}(x)+f_{1}(x)f_{2}^{\prime }(x)\cdots f_{n}(x)+\cdots +f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}^{\prime }(x),$
più succintamente introducendo la produttoria e considerando le funzioni ${f_{j}(x)}$ prive di zeri:
    ${\frac {d}{dx}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)=\sum _{j=1}^{k}{\frac {f'_{j}(x)}{f_{j}(x)}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x).$

#### Applicazione polinomiale

Dall'applicazione della precedente si può dimostrare per induzione che
    ${d \over dx}ax^{n}=nax^{n-1},$
per $n$ intero positivo: $x^{n}$ è una produttoria di $n$ funzioni uguali tutte uguali a $x$, per cui, per la generalizzazione, si otterrà una sommatoria di $n$ elementi tutti uguali tra loro:
    $n{\frac {x'}{x}}x^{n}=nx^{n-1}\cdot x'.$
Applicando ora l'ipotesi induttiva del principio di induzione per $x'$ e ricordando che $x=x^{1}$, possiamo scrivere:
    $nx^{n-1}\cdot x'=nx^{n-1}\cdot (1\cdot x^{1-1})=nx^{n-1}\cdot x^{0}.$
Il risultato segue ricordando che $x^{0}=1.$

### Derivate successive

Le derivate successive $n$-sime del prodotto di due funzioni sono:
    ${\frac {d^{n}}{{dx}^{n}}}f(x)g(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x),$
dove ${n \choose k}$ indica il coefficiente binomiale.

#### Applicazione polinomiale

Proviamo a derivare due volte la funzione $x^{3}e^{x}$, usando il fatto che la derivata di $e^{x}$ è sempre uguale a sé stessa.
    ${\begin{aligned}D^{(2)}[x^{3}e^{x}]&={2 \choose 0}6xe^{x}+{2 \choose 1}3x^{2}e^{x}+{2 \choose 2}x^{3}e^{x}\\&=1\cdot 6xe^{x}+2\cdot 3x^{2}e^{x}+1\cdot x^{3}e^{x}\\&=6xe^{x}+6x^{2}e^{x}+x^{3}e^{x}.\end{aligned}}$
Per quanto riguarda la derivazione di una funzione a esponente naturale:
    ${d^{n} \over dx^{n}}x^{a}={\frac {a!}{(a-n)!}}x^{a-n}.$