# Sistema dinamico lineare

Nell'analisi dei sistemi dinamici, un sistema dinamico lineare è un sistema dinamico la cui evoluzione è governata da un'equazione lineare, e che quindi soddisfa il principio di sovrapposizione degli effetti. Le equazioni differenziali che descrivono tale classe di sistemi dinamici sono particolarmente semplici, e possono essere frequentemente risolte in modo esatto.
Un sistema dinamico è un concetto astratto che si utilizza per rappresentare il comportamento di un processo fisico nello spazio e nel tempo. Viene modellizzato con una funzione $\mathbf {Z}$ che, nel dominio del tempo, ad una sollecitazione $\mathbf {u} _{in}(t)$ fornisce una risposta $\mathbf {u} _{out}(t)$:
    $\mathbf {u} _{out}(t)=\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in}(t))$
I sistemi lineari sono soggetti al principio di sovrapposizione, ovvero un sistema è lineare se valgono le seguenti proprietà:
    $\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{1}}+\mathbf {u} _{in_{2}})=\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{1}})+\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{2}})\qquad \forall \mathbf {u} _{in_{1}},\mathbf {u} _{in_{2}}$
    $\mathbf {Z} (c\mathbf {u} _{in})=c\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in})\qquad c\in \mathbb {R}$
Una classe particolarmente importante di sistemi dinamici lineari è quella dei sistemi tempo-invarianti.

## Descrizione

Un sistema dinamico è lineare quando dipende linearmente dalle variabili di stato $\mathbf {x} (t)$ e dalle variabili di ingresso $\mathbf {u} (t)$. Viene descritto dalla variazione del vettore colonna di stato $\mathbf {x}$, ambientato in uno spazio vettoriale di dimensione $n$ detto spazio delle fasi, secondo le equazioni matriciali:
    ${\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}}=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)$
    $\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)$
dove $\mathbf {y} (t)$ è l'uscita o evoluzione. Lo stato $\mathbf {x} (t)$ è un vettore di dimensione $n$, l'ingresso $\mathbf {u} (t)$ ha dimensione $q$, mentre $\mathbf {y} (t)$ ha dimensione $p$; sono moltiplicati per le matrici $A$ matrice di dimensione $n\times n$, $B$ matrice di dimensione $n\times q$, $C$ matrice di dimensione $p\times n$ e $D$ matrice di dimensione $p\times q$.
Nel caso di un sistema dinamico a tempo discreto l'equazione ha la forma:
    $\mathbf {x} (n+1)=A(n)\mathbf {x} (n)+B(n)\mathbf {u} (n)$
    $\mathbf {y} (n)=C(n)\mathbf {x} (n)+D(n)\mathbf {u} (n)$
con $n\in \mathbb {Z}$.

### Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

Un sistema stazionario (o tempo invariante) è un sistema i cui parametri non dipendono dal tempo. Viene descritto da un sistema di equazioni differenziali a coefficienti costanti:
    $\left\{{\begin{matrix}{\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}}=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)\\\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)\end{matrix}}\right.\,$
Si tratta di una classe di problemi particolarmente studiata e della quale sono state sviluppate molte tecniche di analisi; molte sono ad esempio basate sulla funzione di trasferimento e sul formalismo della rappresentazione spettrale dei segnali e in spazio di stato.

## Scomposizione del problema differenziale

Talvolta si sceglie di rappresentare il sistema soltanto attraverso la variazione del suo stato a partire da uno stato iniziale $\mathbf {x} (t=0)$, ovvero con una relazione del tipo:
    ${\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=F(t)\cdot \mathbf {x} (t)$
    $\mathbf {x} _{0}=\mathbf {x} (0)$
Se il vettore iniziale $\mathbf {x} _{0}$ è allineato con un autovettore destro $\mathbf {r} _{k}$ di $F$, allora:
    ${\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=F\cdot \mathbf {r} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {r} _{k}$
con $\lambda _{k}$ l'autovalore corrispondente. La soluzione è:
    $\mathbf {x} (t)=\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}$
come si verifica per sostituzione.
Se $F$ è diagonalizzabile, ogni vettore $\mathbf {x} _{0}$ in $\mathbb {R} ^{n}$ può essere scritto come combinazione lineare di autovettori destro $\mathbf {r} _{k}$ e sinistro $\mathbf {l} _{k}$ di $F$:
    $\mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {l} _{k},\mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}$
dove $\left(\cdot ,\cdot \right)$ è il prodotto scalare che fornisce i coefficienti. Dunque, la soluzione generale $\mathbf {x} (t)$ è la combinazione lineare:
    $\mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}$

### In due dimensioni

Dato il sistema in due dimensioni:
    ${\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=A\mathbf {x} (t)$
il polinomio caratteristico ha la forma:
    $\det(A-\lambda I)=\lambda ^{2}-\tau \lambda +\Delta =0$
con $\tau$ la traccia e $\Delta$ il determinante di $A$. Le radici $\lambda _{n}$ sono gli autovalori di $A$, ed hanno la forma:
    $\lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}\qquad \lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}$
Si nota che $\Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}$ e $\tau =\lambda _{1}+\lambda _{2}$, sicché se $\Delta <0$ gli autovalori hanno segno opposto ed il punto fisso è un punto di sella. Se invece $\Delta >0$ gli autovalori hanno lo stesso segno, e quindi se $\tau >0$ sono entrambi positivi (ed il punto è instabile) mentre se $\tau <0$ sono entrambi negativi (ed il punto è stabile).

## Esempio

Un circuito RC è formato da un generatore di tensione che fornisce un segnale di ingresso $V_{in}(t)$ e da un resistore $R$ in serie ad un condensatore di capacità $C$. La legge di Kirchhoff delle tensioni per la maglia è:
    $R\cdot i(t)+V_{out}(t)=V_{in}(t)$
Usando la relazione caratteristica del condensatore la corrente che scorre nel circuito è:
    $i(t)=C{\frac {d}{dt}}V_{out}(t)$
si ha sostituendo:
    $RC{\frac {d}{dt}}V_{out}+V_{out}=V_{in}$
Si tratta di un'equazione differenziale di ordine 1 con costante di tempo $\tau =RC$.