# Numero complesso iperbolico

In matematica, i numeri complessi iperbolici (o numeri complessi spezzati) sono un'estensione dei numeri reali, ottenuta aggiungendo ad essi un elemento non reale, usualmente indicato con il simbolo $\varepsilon$, e detto unità immaginaria iperbolica, il cui quadrato è uguale a $1$. I numeri complessi iperbolici presentano numerose analogie con gli ordinari numeri complessi; a differenza di questi, però, non costituiscono un campo, ma solamente un anello.
I numeri complessi iperbolici furono introdotti nel 1848 da James Cockle, e utilizzati da William Clifford per rappresentare la somma di rotazioni. A partire dal XX secolo sono stati utilizzati per rappresentare le trasformazioni di Lorentz all'interno della relatività ristretta.

## Algebra dei complessi iperbolici

Un numero complesso iperbolico può essere espresso nella forma:
    $z=a+b\varepsilon$,
dove $a$ e $b$ sono numeri reali, e vale la relazione:
    $\varepsilon ^{2}=1$.
Sui numeri complessi è possibile eseguire le normali operazioni algebriche, considerando $\varepsilon$ come una variabile, e avendo cura di eseguire la sostituzione $\varepsilon ^{2}=1$ (o, più in generale, $\varepsilon ^{2n}=1$ per ogni potenza pari dell'unità immaginaria iperbolica, e $\varepsilon ^{2n+1}=\varepsilon$ per ogni potenza dispari). È quindi possibile calcolare la somma e il prodotto di due numeri complessi iperbolici $z_{1}=a_{1}+b_{1}\varepsilon$ e $z_{2}=a_{2}+b_{2}\varepsilon$:
    ${\begin{matrix}z_{1}+z_{2}&=&(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\varepsilon \\z_{1}z_{2}&=&(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\varepsilon \\\end{matrix}}$
L'inverso moltiplicativo del numero $a+b\varepsilon$ è:
    $\left(a+b\varepsilon \right)^{-1}={\frac {a-b\varepsilon }{a^{2}-b^{2}}}$,
ed è definito solamente se $a^{2}-b^{2}\neq 0$, per cui i numeri complessi iperbolici non formano un campo.

### I complessi iperbolici come anello quoziente

È possibile definire i numeri iperbolici come gli elementi dell'anello quoziente
    ${\frac {\mathbb {R} [X]}{(X^{2}-1)}}$,
dove $\mathbb {R} [X]$ è l'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti reali, e in $(X^{2}-1)$ è l'ideale generato dal polinomio $X^{2}-1$. Questo ideale non è massimale, perché è contenuto nei due ideali $(X-1)$ e $(X+1)$, pertanto l'anello dei numeri complessi iperbolici non è un campo. Inoltre, le operazioni di somma e prodotto sono continue rispetto all'usuale topologia del piano, per cui l'anello è anche un anello topologico.
Definendo l'operazione di prodotto per uno scalare $\alpha \in \mathbb {R}$:
    $\alpha (a+b\varepsilon )=\alpha a+\alpha b\varepsilon$,
i numeri complessi iperbolici formano una algebra associativa e commutativa dotata di unità, di dimensione $2$. Questa algebra è anche un'algebra di Clifford, dotata di una forma quadratica definita positiva.

## Metrica

I numeri iperbolici complessi possono essere rappresentati sul piano reale, analogamente agli usuali numeri complessi; questo piano tuttavia non possiede la metrica euclidea: definiamo il coniugato del numero $z=x+y\varepsilon$ come $z^{*}=x-y\varepsilon$. Il modulo di un numero complesso iperbolico è allora definito come:
    $|z|=zz^{*}=x^{2}-y^{2}$.
La metrica così definita ha segnatura $(1,-1)$ e dota i numeri complessi iperbolici della struttura di spazio di Minkowski, ed è conservata dalla moltiplicazione:
    $\lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert .$.
È anche possibile definire un equivalente della formula di Eulero:
    $\exp(\varepsilon \theta )=\cosh(\theta )+\varepsilon \sinh(\theta )$.
I numeri della forma $\exp(\varepsilon \theta )$ hanno modulo uguale a $1$ secondo la metrica appena definita, e giacciono sull'iperbole equilatera di equazione:
    $x^{2}-y^{2}=1$.
Questa iperbole svolge sul piano iperbolico un ruolo analogo a quello della circonferenza unitaria sul piano complesso. La moltiplicazione per $\exp(\varepsilon \theta )$ conserva la norma, e corrisponde ad una rotazione iperbolica, ovvero ad una trasformazione di Lorentz.
È anche possibile definire il prodotto scalare come:
    $\left\langle z_{1},z_{2}\right\rangle =\left\langle a_{1}+b_{1}\varepsilon ,a_{2}+b_{2}\varepsilon \right\rangle =\mathrm {Re} \left(z_{1}z_{2}^{*}\right)=\mathrm {Re} \left(z_{1}^{*}z_{2}\right)=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}$.

## Rappresentazione matriciale

Le proprietà algebriche dell'unita immaginaria $\varepsilon$ sono esprimibili dalla matrice:
    ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$
In generale, il numero complesso iperbolico $a+b\varepsilon$ è rappresentato dalla matrice
    ${\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}}.$
Le usuali operazioni di somma e moltiplicazione tra matrici coincidono con la somma e il prodotto definiti sopra. L'operazione di coniugazione corrisponde alla moltiplicazione da ambo i lati per la matrice:
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$.
La rotazione iperbolica corrisponde alla moltiplicazione per la matrice:
    ${\begin{pmatrix}\cosh \theta &\sinh \theta \\\sinh \theta &\cosh \theta \end{pmatrix}}.$

## La base diagonale

L'unità reale $1$ e quella immaginaria $\varepsilon$ costituiscono una base per il piano complesso iperbolico; è possibile tuttavia utilizzare altre basi mediante opportuni cambi di coordinate. Una base particolarmente utilizzata è quella costituita dai due elementi idempotenti non banali:
    ${\begin{matrix}e&=&{\frac {1-\varepsilon }{2}}\\e^{*}&=&{\frac {1+\varepsilon }{2}}\end{matrix}}$
La base formata da $e$ ed $e^{*}$ è detta base diagonale o base nulla, in quanto i suoi componenti hanno modulo nullo. La trasformazione delle coordinate da una base all'altra è data dalla seguente formula:
    $z=a+b\varepsilon =(a-b)e+(a+b)e^{*}$.
Alcune operazioni tra numeri complessi iperbolici hanno una espressione molto più semplice nella base diagonale; dati i numeri $z_{1}=x_{1}e+y_{1}e^{*}$ e $z_{2}=x_{2}e+y_{2}e^{*}$ valgono le seguenti:
* moltiplicazione: $z_{1}z_{2}=(x_{1}x_{2})e+(y_{1}y_{2})e^{*}$;
* coniugazione: $z_{1}^{*}=y_{1}e+x_{1}e^{*}$;
* modulo: $\lVert z_{1}\rVert =x_{1}y_{1}$.