# Pentagramma miracoloso

Pentagramma miracoloso (dal latino Pentagramma mirificum) è un poligono stellato su una sfera, composto da cinque grandi archi di cerchio, i cui angoli interni sono tutti angoli retti. Questa forma è stata descritta da Nepero nel 1614 nel libro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descrizione della tabella Ammirabile di logaritmi) insieme alle regole che collegano i valori delle funzioni trigonometriche di cinque parti di un triangolo sferico rettangolo (due angoli e tre lati). Le proprietà del pentagramma miracoloso furono studiate, tra gli altri, da Carl Friedrich Gauss.

## Proprietà geometriche

Su una sfera, sia gli angoli che i lati di un triangolo (archi di grandi cerchi) sono misurati come angoli.
Ci sono cinque angoli retti, ciascuno di misura $\pi /2,$ a $A$, $B$, $C$, $D$, e $E.$
Ci sono dieci archi, ciascuno di misura $\pi /2:$$PC$, $PE$, $QD$, $QA$, $RE$, $RB$, $SA$, $SC$, $TB$, e $TD.$
Nel pentagono sferico $PQRST$, ogni vertice è il polo del lato opposto. Ad esempio, punto $P$ è il polo dell'equatore $RS$, punto $Q$ - il polo dell'equatore $ST$, eccetera.
Ad ogni vertice del pentagono $PQRST$, l'angolo esterno è uguale in misura al lato opposto. Per esempio, $\angle APT=\angle BPQ=RS,\;\angle BQP=\angle CQR=ST,$ eccetera.
I triangoli sferici di Nepero $APT$, $BQP$, $CRQ$, $DSR$, e $ETS$ sono rotazioni l'una dell'altra.

## Le formule di Gauss

Gauss ha introdotto la notazione
    $(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon )=(\tan ^{2}TP,\tan ^{2}PQ,\tan ^{2}QR,\tan ^{2}RS,\tan ^{2}ST).$
Le seguenti identità valgono, consentendo la determinazione di tre qualsiasi delle quantità di cui sopra dalle due rimanenti:
    ${\begin{aligned}1+\alpha &=\gamma \delta &1+\beta &=\delta \varepsilon &1+\gamma &=\alpha \varepsilon \\1+\delta &=\alpha \beta &1+\varepsilon &=\beta \gamma .\end{aligned}}$
Gauss ha dimostrato la seguente "bella uguaglianza" (schöne Gleichung):
    ${\begin{aligned}\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon &=\;3+\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon \\&=\;{\sqrt {(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )(1+\delta )(1+\varepsilon )}}.\end{aligned}}$
L'equazione è soddisfatta, ad esempio, dai numeri $(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon )=(9,2/3,2,5,1/3)$, il cui prodotto $\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon$ è uguale a $20$.
Dimostrazione della prima parte dell'uguaglianza:
    ${\begin{aligned}\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon &=\alpha \beta \gamma \left({\frac {1+\alpha }{\gamma }}\right)\left({\frac {1+\gamma }{\alpha }}\right)=\beta (1+\alpha )(1+\gamma )\\&=\beta +\alpha \beta +\beta \gamma +\alpha \beta \gamma =\beta +(1+\delta )+(1+\varepsilon )+\alpha (1+\varepsilon )\\&=2+\alpha +\beta +\delta +\varepsilon +1+\gamma \\&=3+\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon \end{aligned}}$
Prova della seconda parte dell'uguaglianza:
    ${\begin{aligned}\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon &={\sqrt {\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}\delta ^{2}\varepsilon ^{2}}}\\&={\sqrt {\gamma \delta \cdot \delta \varepsilon \cdot \varepsilon \alpha \cdot \alpha \beta \cdot \beta \gamma }}\\&={\sqrt {(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )(1+\delta )(1+\varepsilon )}}\end{aligned}}$
Gauss ha ottenuto anche la formula
    $(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\alpha }})(1+i{\sqrt {\beta }})(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\gamma }})(1+i{\sqrt {\delta }})(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\varepsilon }})=\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon e^{iA_{PQRST}},$
dove $A_{PQRST}=2\pi -(|{\overset {\frown }{PQ}}|+|{\overset {\frown }{QR}}|+|{\overset {\frown }{RS}}|+|{\overset {\frown }{ST}}|+|{\overset {\frown }{TP}}|)$ è l'area del pentagono $PQRST$.

## Proiezione gnomonica

L'immagine del pentagono sferico $PQRST$ nella proiezione gnomonica (una proiezione dal centro della sfera) su qualsiasi piano tangente alla sfera forma un pentagono rettilineo. I suoi cinque vertici $P'Q'R'S'T'$ determinano in modo univoco una sezione conica; in questo caso - un'ellisse. Gauss ha mostrato che le altezze del pentagramma $P'Q'R'S'T'$ (linee che passano per i vertici e perpendicolari ai lati opposti) si incrociano in un punto $O'$, che è l'immagine del punto di tangenza del piano alla sfera.
Arthur Cayley ha osservato che, se impostiamo l'origine di un sistema di coordinate cartesiane nel punto $O'$, ed indicando quindi le coordinate dei vertici $P'Q'R'S'T'$: $(x_{1},y_{1}),\ldots ,$$(x_{5},y_{5})$ soddisfano le uguaglianze $x_{1}x_{4}+y_{1}y_{4}=$$x_{2}x_{5}+y_{2}y_{5}=$$x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}=$$x_{4}x_{2}+y_{4}y_{2}=$$x_{5}x_{3}+y_{5}y_{3}=-\rho ^{2}$, dove $\rho$ è la lunghezza del raggio della sfera.