# Topologia quoziente

In topologia, la topologia quoziente è intuitivamente quella ottenuta da uno spazio topologico "attaccando" alcuni punti fra loro. Lo spazio topologico che si ottiene viene anche chiamato spazio quoziente.

## Definizione

Sia $X$ uno spazio topologico e $\sim$ una relazione di equivalenza su $X$. Definiamo una topologia sull'insieme quoziente $X/{\sim }$ (che consiste di tutte le classi di equivalenza di $\sim$) nel modo seguente: un insieme di classi di equivalenza in $X/{\sim }$ è aperto se e solo se la loro unione è aperta in $X$.
Sia $q:X\to X/{\sim }$ la proiezione che manda ogni elemento di $X$ nella sua classe. Elenchiamo alcune definizioni equivalenti di topologia quoziente sull'insieme $X/{\sim }$:
* Un insieme in $X/{\sim }$ è aperto se e solo se lo è la sua controimmagine tramite $q$ in $X$.
* La topologia su $X/{\sim }$ è la topologia più fine fra tutte quelle che rendono la mappa $q$ continua.
* Analogamente possiamo definire la topologia quoziente sfruttando una sua "proprietà universale".
La topologia quoziente è l'unica topologia con questa proprietà: se $g:X\to Z$ è una funzione insiemistica (qualsiasi) tale che $a\sim b$ implica $g(a)=g(b)$ per ogni $a$ e $b$ in $X$, allora esiste un'unica funzione $f:X/{\sim }\to Z$ tale che $g=f\circ q$ per cui valga: $f$ è continua se e solo se $g$ è continua.
Nell'ultima definizione, diciamo che $g$ scende al quoziente.

## Esempi

* Incollamento. In topologia si costruiscono numerosi spazi per "incollamento". Se X è uno spazio topologico e due punti x e y di X vengono incollati, si costruisce lo spazio quoziente tramite la seguente semplice relazione di equivalenza: a ~ b se e solo se a = b oppure a = x, b = y (oppure a = y, b = x). I due punti quindi diventano un punto solo. Ad esempio, in questo modo si può ottenere uno spazio connesso da uno avente due componenti connesse.
** In generale, se A è un sottoinsieme di uno spazio topologico X, si costruisce uno spazio quoziente che "identifica A ad un solo punto" mediante la relazione di equivalenza a ~ b se e solo se a e b sono elementi di A. Tale spazio viene talvolta indicato con X/A
* Consideriamo X = R l'insieme di tutti i numeri reali, e poniamo x ~ y se e solo x−y è un intero. Lo spazio quoziente X/~ è omeomorfo al cerchio S$^1$ tramite la mappa che manda la classe di equivalenza di x su exp(2πix).
* L'esempio precedente può essere esteso in dimensione arbitraria. Consideriamo X = R$^n$ e poniamo x ~ y se e solo se le i-esime coordinate dei vettori x e y differiscono di un intero, per ogni i. Lo spazio quoziente è omeomorfo al toro se n = 2, ed è chiamato toro n-dimensionale per n qualsiasi. Il toro n-dimensionale è omeomorfo al prodotto di n cerchi.
* La bottiglia di Klein può essere ottenuta quozientando il piano $\mathbb {R} ^{2}$ tramite una opportuna relazione di equivalenza.
* Il nastro di Möbius può essere ottenuto quozientando un rettangolo tramite una opportuna relazione di equivalenza.
* Lo spazio proiettivo è ottenuto quozientando uno spazio vettoriale privato dell'origine tramite la relazione seguente: $x\sim y$ se e solo se esiste $\lambda$ tale che $x=\lambda y$, cioè $x$ e $y$ stanno sulla stessa retta.

## Proprietà

* Se X soddisfa qualche assioma di separazione, lo spazio quoziente X/~ può non soddisfarlo. Ad esempio, X/~ è T1 se e solo se ogni classe di equivalenza di ~ è chiusa in X.
Poiché la proiezione sul quoziente è continua, la topologia di quest'ultimo eredita alcune proprietà dello spazio iniziale. Quindi:
* Se X è connesso, anche X/~ lo è.
* Se X è compatto, anche X/~ lo è.