# Sistema dinamico lineare stazionario discreto

In teoria dei sistemi, un sistema dinamico lineare stazionario discreto o sistema dinamico lineare stazionario a tempo discreto, spesso abbreviato in sistema LTI discreto, è un sistema dinamico lineare stazionario che ha in ingresso un segnale a tempo discreto.

## Descrizione

Un sistema dinamico stazionario discreto è un sistema discreto i cui parametri non dipendono dal tempo:
    $x(n+1)=f(x_{0},n_{0},u(n))$
    $y(n)=h(x_{0},n_{0},u(n))$
dove $x(n)$ sono le variabili di stato al tempo $n$, $x_{0}$ le variabili di stato al tempo $n=0$, $u(n)$ e $y(n)$ le variabili di ingresso e uscita al tempo $n$.
Un sistema è lineare quando dipende linearmente dalle variabili di stato e dalle variabili di ingresso, ed in tal caso si può escrivere in forma matriciale
    $x(n+1)=A(n)x(n)+B(n)u(n)$
    $y(n)=C(n)x(n)+D(n)u(n)$
dove $A$, $B$, $C$ e $D$ sono matrici di dimensioni opportune che premoltiplicano $x(n)$ e $u(n)$.
Un processo lineare stazionario (LTI) è quindi descritto da equazioni matriciali:
    $\left\{{\begin{array}{c}x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)\\y(n)=Cx(n)+Du(n)\end{array}}\right.$
dove le matrici sono costanti.

## Funzione di trasferimento

Un sistema a tempo discreto trasforma la successione in ingresso $\{x\}$ in un'altra successione $\{y\}$, data dalla convoluzione discreta con la risposta $h$ alla delta di Kronecker:
    $y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k]$
Gli elementi di $\{y\}$ possono dipendere da ogni elemento di $\{x\}$. Solitamente $y[n]$ dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo $n$.
La maggior parte dei segnali a tempo discreto sono ottenuti da un segnale a tempo continuo considerandone il valore assunto in precisi istanti di tempo, solitamente separati da un intervallo temporale fisso $T$. La procedura che permette di ottenere un segnale discreto a partire da uno continuo è detta campionamento, ed è alla base della conversione analogico-digitale (ADC). Essa trasforma una funzione continua $x(t)$ nel segnale discreto:
    $x[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z}$
con $1/T$ la frequenza di campionamento. Il teorema del campionamento pone un limite alla massima frequenza del segnale continuo, che non può essere superiore ad $1/(2T)$ se si vuole evitare perdita di informazione (fenomeno di aliasing).
Come nel caso di sistemi a tempo continuo, se $O$ è l'operatore di trasformazione al tempo n:
    $y[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{n}\{x\}$
la successione:
    $h[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{n}\{\delta [m]\}$
caratterizza completamente il sistema. Per mostrare questo, dato che vale l'identità:
    $x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k]$
si ha:
    $y[n]=O_{n}\{x\}=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k]\right\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k]\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n-k}\{\delta [m]\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]$
L'operatore $O_{n}$ restituisce un'uscita proporzionale alla media pesata di $x[k]$ con funzione peso data da $h[-k]$. Se $h[k]=0$ per valori di $k$ negativi il sistema è causale.

### Autofunzioni

Gli esponenziali del tipo $z^{n}=e^{sTn}$, con $n\in \mathbb {Z}$, sono autofunzioni di un operatore lineare tempo-invariante. Infatti, detto $T\in \mathbb {R}$ il periodo di campionamento e $z=e^{sT}$, con $z,s\in \mathbb {C}$, si supponga $x[n]=\,\!z^{n}$ l'ingresso del sistema. Se $h[n]$ è la risposta impulsiva, si ha:
    $y[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)$
La funzione:
    $H(z)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}$
dipende solo dal parametro z, ed è l'autovalore associato all'autovettore (autofunzione) $z^{n}$ del sistema LTI.
La trasformata zeta:
    $H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}$
è la funzione di trasferimento del sistema. Di particolare interesse è il caso in cui le autofunzioni siano sinusoidi pure $e^{j\omega n}$, con $\omega \in \mathbb {R}$, che possono essere scritte come $z^{n}$, dove $z=e^{j\omega }$. Per funzioni di questo tipo la funzione di trasferimento è data dalla trasformata di Fourier a tempo discreto:
    $H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}$
Grazie alle proprietà della convoluzione, nel dominio della trasformata si ottiene una moltiplicazione:
    $y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}$

## Soluzione dell'equazione matriciale

Si vuole risolvere l'equazione:
    $\left\{{\begin{array}{c}x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)\\y(n)=Cx(n)+Du(n)\end{array}}\right.$
Si deve valutare per $n=0,1,2,\dots$ e pertanto si ha:
    $x(1)=Ax(0)+Bu(0)\$
    $x(2)=Ax(1)+Bu(1)=A^{2}x(0)+ABu(0)+Bu(1)\$
    $x(3)=Ax(2)+Bu(2)=A^{3}x(0)+A^{2}Bu(0)+ABu(1)+Bu(2)\$
    $x(n)=A^{n}x(0)+A^{n-1}Bu(0)+A^{n-2}Bu(1)+...+Bu(n-1)\$
Si ottiene:
    $x(n)=A^{n}x(0)+\sum _{m=0}^{n-1}A^{m}Bu(n-m-1)\$
Posto $l=n-m-1$ si ha $m=n-l-1$, e quindi la soluzione dell'equazione matriciale alle differenze è:
    $x(n)=A^{n}x(0)+\sum _{l=0}^{n-1}A^{n-l-1}Bu(l)$
Occorre distinguere i seguenti casi:
* $A$ ammette soltanto autovalori reali con molteplicità algebrica uguale alla molteplicità geometrica per ogni autovalore.
* $A$ ammette soltanto autovalori complessi coniugati.
* $A$ ammette sia autovalori reali che complessi coniugati.
* $A$ non è diagonalizzabile.

### Autovalori reali e molteplicità algebriche e geometriche coincidenti

In tal caso considerata la matrice $P$, n per n, le cui colonne sono gli autovettori di $A$ linearmente indipendenti che generano ciascun autospazio relativo ad ogni autovalore si ottiene, dalla teoria della diagonalizzazione delle matrici:
    $P^{-1}AP=\Lambda \$
dove $\Lambda$ è la matrice diagonale in cui sulla diagonale principale vi sono gli autovalori di $A$ ripetuti eventualmente ciascuno con la propria molteplicità. In particolare, se gli autovalori di $A$ sono reali e distinti sulla matrice diagonale $\Lambda$ vi saranno gli n autovalori distinti di $A$. Essendo $A=P\Lambda P^{-1}$ allora:
    $A^{n}=(P\Lambda P^{-1})(P\Lambda P^{-1})...(P\Lambda P^{-1})=P\Lambda ^{n}P^{-1}\$
pertanto, la soluzione dell'equazione matriciale alle differenzè è:
    $x(n)=P\Lambda ^{n}P^{-1}x(0)+\sum _{l=0}^{n-1}P\Lambda ^{n-l-1}P^{-1}Bu(l)\$
Si nota che la risposta libera nello stato ottenuta ponendo $u(t)=0$ è:
    $x_{l}(n)=P\Lambda ^{n}P^{-1}x(0)\$
mentre la risposta forzata nello stato, ottenuta ponendo $x(0)=0$, è:
    $x_{f}(n)=\sum _{l=0}^{n-1}P\Lambda ^{n-l-1}P^{-1}Bu(l)\$
Inoltre la risposta libera nell'uscita per $u(l)=0$ è:
    $y_{l}(n)=CP\Lambda ^{n}P^{-1}x(0)\$
mentre la risposta forzata nell'uscita' per $x(0)=0$ è:
    $y_{f}(n)=\sum _{l=0}^{n-1}CP\Lambda ^{n-l-1}P^{-1}Bu(l)+Du(n)\$

### Autovalori complessi coniugati

Volendo analizzare il caso in cui $A$ ammette soltanto autovalori complessi coniugati, supponiamo che $A$ sia una matrice 2 per 2 e siano $\alpha +j\omega$ ($j$ è l'unità immaginaria), $\alpha -j\omega$ i due autovalori complessi coniugati di $A$, e siano $u_{a}+ju_{b}$, $u_{a}-ju_{b}$ i due autovettori complessi coniugati corrispondenti. Allora, applicando la definizione di autovalore e di autovettore si ha la seguente equazione algebrica:
    $(A-(\alpha +j\omega )I)((u_{a}+ju_{b})=0\$
dove $I$ è la matrice identica di dimensione 2, che si può scrivere separando parte reale e parte immaginaria nella forma:
    $((A-\alpha I)u_{a}+\omega u_{b})+j((A-\alpha I)u_{b}+\omega u_{a}))=0\$
Affinché l'equazione sia vera è necessario che parte reale e parte immaginaria si annullino entrambe pertanto si ha il sistema:
    ${\begin{array}{c}(A-\alpha I)u_{a}+\omega u_{b}=0\\(A-\alpha I)u_{b}+\omega u_{a}=0\end{array}}\$
che può essere posto nella forma:
    $A(u_{a}u_{b})=(u_{a}u_{b})\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)$
Pertanto se si pone $T^{-1}$ uguale alla matrice le cui colonne sono la parte reale e immaginaria dei due autovettori complessi coniugati si ha che:
    $TAT^{-1}=\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)$
Rappresentando il numero complesso $u_{a}+ju_{b}$ nel piano di Gauss se $\lambda$ è il modulo e $\beta$ l'argomento si ha:
    $\alpha =\lambda \cos \beta$ e $\omega =\lambda \;\mathrm {sen} \,\beta$
pertanto:
    $A=T^{-1}\lambda \left({\begin{array}{cc}\cos \beta &\;\mathrm {sen} \,\beta \\-\;\mathrm {sen} \,\beta &\cos \beta \end{array}}\right)T$
Si dimostra per induzione che:
    $A^{n}=T^{-1}\lambda ^{n}\left({\begin{array}{cc}\cos n\beta &\;\mathrm {sen} \,n\beta \\-\;\mathrm {sen} \,n\beta &\cos n\beta \end{array}}\right)T$
Pertanto la soluzione dell'equazione matriciale alle differenze è:
    $x(n)=T^{-1}\lambda ^{n}\left({\begin{array}{cc}\cos n\beta &\;\mathrm {sen} \,n\beta \\-\;\mathrm {sen} \,n\beta &\cos n\beta \end{array}}\right)Tx(0)+\sum _{l=0}^{n-1}T^{-1}\lambda ^{n}\left({\begin{array}{cc}\cos(n-l-1)\beta &\;\mathrm {sen} (n-l-1)\beta \\-\;\mathrm {sen} (n-l-1)\beta &\cos(n-l-1)\beta \end{array}}\right)TBu(l)$

### Autovalori reali e autovalori complessi coniugati

Si supponga che la matrice $A$ di ordine n ammetta $k$ autovalori reali distinti $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k}$ a cui corrispondono $k$ autovettori distinti $v_{1},v_{2},...,v_{k}$ allora si hanno le seguenti equazioni:
    ${\begin{array}{c}Av_{1}=\lambda _{1}v_{1}\\Av_{2}=\lambda _{2}v_{2}\\...\\Av_{k}=\lambda _{k}v_{k}\end{array}}$
Si supponga inoltre che la matrice $A$ ammetta $p$ coppie di autovalori complessi coniugati la cui p-esima coppia è:$\alpha _{p}+j\omega _{p}$ e $\alpha _{p}-j\omega _{p}$ a cui corrisponde la coppia di autovettori complessi coniugati $u_{a_{p}}+ju_{b_{p}}$ e $u_{a_{p}}-ju_{b_{p}}$ allora per quanto visto nel caso precedente per la p-esima coppia, se $\tau _{p}$ è il modulo dell'autovalore p-esimo e $\beta$ il suo argomento si ha:
    $A(u_{a_{p}}u_{b_{p}})=(u_{a_{p}}u_{b_{p}})\tau _{p}\left({\begin{array}{cc}\cos \beta _{p}&\;\mathrm {sen} \,\beta _{p}\\-\;\mathrm {sen} \,\beta _{p}&\cos \beta _{p}\end{array}}\right)$
Ora posto $T^{-1}$ uguale alla matrice le cui colonne sono i $k$ autovettori corrispondenti agli autovalori reali e le parti reali e immaginarie delle $p$ coppie di autovettori complessi coniugati, cioè:
    $T^{-1}=(v_{1},v_{2},...,v_{k},u_{a_{1}},u_{b_{1}},u_{a_{2}},u_{b_{2}},...,u_{a_{p}},u_{b_{p}})$
allora dalle precedenti equazioni si ha la matrice diagonale a blocchi:
    $TAT^{-1}={\mbox{diag}}\left(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k},\tau _{p}\left({\begin{array}{cc}\cos \beta _{1}&\;\mathrm {sen} \,\beta _{1}\\-\;\mathrm {sen} \,\beta _{1}&\cos \beta _{1}\end{array}}\right),...,\tau _{p}\left({\begin{array}{cc}\cos \beta _{p}&\;\mathrm {sen} \,\beta _{p}\\-\;\mathrm {sen} \,\beta _{p}&\cos \beta _{p}\end{array}}\right)\right)$
pertanto:
    $x_{l}(t)=T^{-1}{\mbox{diag}}\left(\lambda _{1}^{n},\lambda _{2}^{n},...,\lambda _{k}^{n},\tau _{p}^{n}\left({\begin{array}{cc}\cos n\beta _{1}&\;\mathrm {sen} \,n\beta _{1}\\-\;\mathrm {sen} \,n\beta _{1}&\cos n\beta _{1}\end{array}}\right),...,\tau _{p}^{n}\left({\begin{array}{cc}\cos n\beta _{p}&\;\mathrm {sen} \,n\beta _{p}\\-\;\mathrm {sen} \,n\beta _{p}&\cos n\beta _{p}\end{array}}\right)\right)Tx(0)$