# Coefficiente di determinazione

In statistica, il coefficiente di determinazione, più comunemente R$^2$, è un indice che misura il legame tra la variabilità dei dati e la correttezza del modello statistico utilizzato. Intuitivamente, esso è legato alla frazione della varianza non spiegata dal modello.

## Definizione

La definizione più generale è la seguente:
    $R^{2}=1-{\frac {RSS}{TSS}},$
con $RSS$ devianza residua (Residual Sum of Squares):
    $RSS=\sum _{i=1}^{n}e_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}$
$TSS$ devianza totale (Total Sum of Squares):
    $TSS=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}$
dove:
    ${\hat {y}}_{i}$ sono i dati stimati dal modello,
    $y_{i}$ sono i dati osservati,
    ${\overline {y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}$ è la media dei dati osservati.

## Adjusted R$^2$

L'adjusted $R^{2}$ (o ${\bar {R^{2}}}$) (meglio conosciuto in Italiano come $R^{2}$ corretto o aggiustato) è una variante dell' $R^{2}$ semplice.
Mentre $R^{2}$ semplice è utilizzato per l'analisi di regressione lineare semplice come principale indice di bontà della curva di regressione, $R^{2}$ corretto viene utilizzato per l'analisi di regressione lineare multipla. Esso serve a misurare la frazione di devianza spiegata, cioè la proporzione di variabilità di $Y$ "spiegata" dalla variabile esplicativa $X$. All'aumentare del numero di variabili esplicative (o predittori) $X$, aumenta anche il valore di $R^{2}$, per cui spesso è utilizzato al suo posto ${\bar {R^{2}}}$, che serve a misurare la frazione di varianza spiegata.
Il coefficiente ${\bar {R}}^{2}$ può essere negativo e vale sempre la disuguaglianza ${\bar {R}}^{2}\leq R^{2}$.
    ${\bar {R}}^{2}=1-{n-1 \over n-k-1}\cdot {\frac {RSS}{TSS}},$
dove:
* $n$ è il numero delle osservazioni;
* $k$ è il numero dei regressori.

## R$^2$ e Correlazione lineare

Se si ha a disposizione la correlazione tra due variabili discrete, $\rho _{X,Y}$, (o indice di correlazione di Pearson) si può determinare il coefficiente di determinazione, elevando semplicemente al quadrato la correlazione. Viceversa, se si ha a disposizione $R^{2}$, si può determinare la correlazione, facendo la radice quadrata.
    ${\displaystyle R^{2}=\rho _{X,Y}^{2}\Leftrightarrow \rho _{X,Y}={\sqrt {R^{2}}}}$
dove:
* $\displaystyle \rho _{X,Y}$ è la correlazione tra le variabili $X$ e $Y$, ottenibile dividendo la covarianza tra le due variabili e il prodotto dei loro scarti quadratici medi $\displaystyle \rho _{X,Y}=\left({\frac {\sigma _{X,Y}}{\sigma _{X}\cdot \sigma _{Y}}}\right)$.
La formula empirica di questo modello è il seguente:
    $R^{2}={\frac {ESS}{TSS}},$
dove $ESS=\sum _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})^{2}$ è la devianza spiegata dal modello (Explained Sum of Squares). Questa definizione è possibile poiché, per regressioni lineari semplici, la devianza può essere scomposta come $ESS=TSS-RSS$.
R$^2$ varia tra $-\infty$ e 1: quando è 0 il modello utilizzato offre una spiegazione dei dati non migliore del valore medio ($RSS=TSS$); quando è 1 il modello spiega perfettamente i dati. Un modello peggiore della media ($RSS>TSS$) ha coefficiente $R^{2}$ minore di 0.

## Interpretazione

Se $R^{2}$ o ${\bar {R^{2}}}$ sono prossimi a 1, significa che i regressori predicono bene il valore della variabile dipendente in campione; mentre se è uguale a 0, significa che non lo fanno.
I coefficienti $R^{2}$ e ${\bar {R^{2}}}$ non dicono se:
* una variabile sia statisticamente significativa;
* i regressori sono causa effettiva dei movimenti della variabile dipendente;
* c'è una distorsione da variabile omessa;
* è stato scelto il gruppo dei regressori più appropriato.