# Teorema di Stokes

In matematica, in particolare in geometria differenziale, il teorema di Stokes è un enunciato riguardante l'integrazione delle forme differenziali che generalizza diversi teoremi di calcolo vettoriale, quali il teorema della divergenza o il teorema del rotore. Prende il nome da Sir George Gabriel Stokes (1819-1903), nonostante la prima formulazione del teorema sia stata attribuita a William Thomson (Lord Kelvin), che la inviò in una lettera a Stokes nel luglio del 1850.

## Introduzione

Il teorema fondamentale del calcolo integrale stabilisce che se $f$ è una funzione reale che ammette primitiva su un intervallo $[a,b]$, l'integrale di $f$ su tale intervallo può essere calcolato tramite una sua primitiva:
    $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)$
Poiché ${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x}}=f$, si può interpretare $\mathrm {d} F(x)=f(x)\mathrm {d} x$ nel contesto più generale delle forme differenziali come il differenziale esterno della 0-forma $F(x)$.
Il teorema di Stokes generalizza il teorema fondamentale del calcolo considerando una n-forma $\omega$ e il suo differenziale esterno $d\omega$. L'intervallo $[a,b]$ è una varietà differenziabile di dimensione uno, avente come frontiera l'insieme $\{a,b\}$: l'integrazione di $f$ su questo intervallo può quindi essere estesa all'integrazione su una varietà $M$ di ordine maggiore, e per far questo è necessario che $M$ sia orientabile e la forma differenziale sia a supporto compatto. Il bordo di $M$, indicato con $\partial M$, è ancora una varietà ed eredita l'orientazione di $M$.

## Il teorema

Sia $\Omega$ una varietà differenziabile orientata di dimensione n e sia $\alpha$ una n-forma differenziale a supporto compatto su $\Omega$.
Si supponga inizialmente che $\alpha$ sia a supporto compatto nel dominio di una carta orientata $\{U,\phi \}$. L'integrale di $\alpha$ su $\Omega$ è definito come:
    $\int _{\Omega }\alpha =\int _{\phi (U)}\left(\phi ^{-1}\right)^{*}\alpha$
ovvero attraverso il pull-back di $\alpha$ in $\mathbb {R} ^{n}$. Più in generale, l'integrale di $\alpha$ su $\Omega$ è definito considerando una partizione dell'unità $\{\psi _{i}\}$ associata al ricoprimento localmente finito $\{U_{i},\phi _{i}\}$ di carte (orientate in modo coerente):
    $\int _{\Omega }\alpha \equiv \sum _{i}\int _{U_{i}}\psi _{i}\,\alpha$
dove ogni termine nella somma è valutato attraverso il pull-back in $\mathbb {R} ^{n}$ precedentemente definito. Tale definizione non dipende dalla scelta della partizione dell'unità e delle carte.

### Enunciato

Il teorema di Stokes afferma che se $\omega$ è una (n-1)-forma a supporto compatto su $\Omega$ e $\partial \Omega$ è la frontiera di $\Omega$, allora:
    $\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega =\int _{\partial \Omega }\omega \ \ \left(=\oint _{\partial \Omega }\omega \right)$
dove $\mathrm {d} \omega$ è la derivata esterna di $\omega$, definita per mezzo della sola struttura di varietà. Ovvero, l'integrale di ogni forma differenziale a supporto compatto $\omega$ sulla frontiera di una varietà orientata $\Omega$ è pari all'integrale della sua derivata esterna valutato su tutta $\Omega$.

## Casi particolari
### Teorema del gradiente

Il teorema del gradiente afferma che:
    $\int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi$
per ogni 0-forma $\phi$ definita su una qualche curva differenziabile $\gamma \subset \mathbb {R} ^{n}$. Si tratta della versione del teorema di Stokes con 1-forme differenziali definite su una varietà di dimensione 1. L'enunciato opposto afferma che data una forma differenziale $\omega$ definita su un dominio contraibile, se l'integrale di $\omega$ su ogni varietà chiusa sia nullo allora esiste una forma $\psi$ tale che $\omega =d\psi$. Su un dominio contraibile ogni forma chiusa è esatta, e tale risultato è riassunto dal lemma di Poincaré.

### Teorema del rotore

Il teorema del rotore afferma che il flusso del rotore di determinati campi vettoriali attraverso superfici regolari dotate di bordo è uguale alla circuitazione del campo lungo la frontiera della superficie:
    $\int _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\cdot d\mathbf {s} =\oint _{\partial S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$.
dove $\mathbf {F} :\Omega \to \mathbb {R} ^{3}$ un campo vettoriale di classe $C^{1}$, con $\Omega$ un dominio regolare contenuto in $\mathbb {R} ^{3}$, e $S:D\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ è una superficie regolare a tratti dotata di frontiera $\partial S$.
Il campo vettoriale $\mathbf {F}$ può essere considerato come una 1-forma, ed in tal caso il rotore è la derivata esterna.

### Teorema della divergenza

Si consideri un insieme $V\subset \mathbb {R} ^{n}$ compatto delimitato da una superficie liscia $\partial V$. Se $\mathbf {F}$ è un campo vettoriale differenziabile con continuità (di classe $C^{1}$) definito in un intorno di $V$, si ha:
    $\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,dv=\oint _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s}$
dove $d\mathbf {s} =\mathbf {n} \ dS$ è l'elemento di superficie ($\mathbf {n}$ è il versore uscente normale). In altri termini, il flusso di $\mathbf {F}$ attraverso la superficie chiusa $\partial V$ coincide con l'integrale della divergenza di $\mathbf {F}$ svolto nel volume $V$ di cui la superficie è frontiera. Si può utilizzare il teorema di Stokes per uguagliare l'integrale su un volume n-dimensionale della divergenza di un campo vettoriale $\mathbf {F}$ definito sulla regione $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ all'integrale di $\mathbf {F}$ sulla superficie (di dimensione n-1) che costituisce il bordo di $U$:
    $\int _{U}\nabla \cdot \mathbf {F} \,dV_{n}=\oint _{\partial U}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS_{n-1}$
In una notazione più concisa si può scrivere:
    $\int _{V}{\dfrac {\partial F_{i}}{\partial x_{i}}}dV=\int _{S}F_{i}n_{i}\,dS$
sicché rimpiazzando $\mathbf {F}$ con un campo tensoriale $T$ di ordine n si ottiene la generalizzazione:
    $\int _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}}{\partial x_{i_{q}}}}dV=\int _{S}T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\,dS$
dove si verifica la contrazione degli indici in entrambi i membri della relazione, per almeno un indice. Si può estendere la precedente relazione, che vale in tre dimensioni, a varietà di dimensione arbitraria.