# Limite inverso

In matematica, il limite inverso (anche chiamato limite proiettivo) è una costruzione che, dati degli oggetti relazionati tra loro attraverso dei morfismi, fornisce un nuovo oggetto. Il limite inverso può essere definito in ogni categoria.

## Definizione formale
### Limite inverso di gruppi

Iniziamo con la definizione di un sistema inverso (o proiettivo) di gruppi e omomorfismi. Siano (I, ≤) un insieme parzialmente ordinato e diretto (non tutti gli autori richiedono che I sia diretto) e ( A$_i$ )$_{i∈I}$ una famiglia di gruppi. Sia poi f$_{ij}$: A$_j$ → A$_i$ per i ≤ j (si noti l'ordine) una famiglia di omomorfismi con le seguenti proprietà:
* f$_{ii}$ è l'identità in A$_i$ per ogni i,
* f$_{ik}$ = f$_{ij}$ o f$_{jk}$ per ogni i ≤ j ≤ k.
Allora l'insieme delle coppie ( A$_i$, f$_{ij}$ ) è chiamato un sistema inverso di gruppi e morfismi su I.
Definiamo il limite inverso del sistema inverso ( A$_i$, f$_{ij}$ ) come il sottogruppo del prodotto diretto degli A$_i$
    $\varprojlim A_{i}:={\Big \(a_{i})\in \prod _{i\in I}A_{i}\;{\Big |}\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\mbox{ per ogni }}i\leq j{\Big \}}.$
Il limite inverso, che per comodità indicheremo con A, è fornito di proiezioni naturali π$_i$: A → A$_i$ che selezionano l'i-esima componente del prodotto diretto. Inoltre, il limite inverso gode della proprietà universale descritta nella sezione seguente. Infine, se i vari gruppi A$_i$ sono gruppi topologici (e i morfismi sono omomorfismi continui), allora anche A è un gruppo topologico rispetto alla topologia ereditata dal prodotto diretto.
La stessa costruzione può essere effettuata anche se gli A$_i$ al posto di essere gruppi sono insiemi, anelli, moduli (su un anello fissato), algebre (su un campo fissato), etc., e gli omomorfismi sono omomorfismi per le corrispondenti categorie. Il limite inverso apparterrà anch'esso a quella categoria.

### Definizione generale

Il limite inverso può essere definito in modo astratto in una qualsiasi categoria attraverso una proprietà universale. Sia (X$_i$, f$_{ij}$) un sistema inverso di oggetti e morfismi in una categoria C. Il limite inverso di questo sistema è un oggetto X in C insieme con dei morfismi π$_i$: X → X$_i$ (chiamate proiezioni) soddisfacenti a π$_i$ = f$_{ij}$ o π$_j$ per ogni i ≤ j. La coppia (X, π$_i$) deve essere universale nel senso che per ogni altra coppia (Y, ψ$_i$) esiste un unico morfismo u: Y → X tale che il seguente diagramma commuti:
per ogni i ≤ j. Il limite inverso è in genere denotato come
    $X=\varprojlim X_{i},$
lasciando sottinteso il sistema inverso (X$_i$, f$_{ij}$).
Al contrario di ciò che accade per gli oggetti algebrici, in alcuni casi il limite inverso può non esistere. Tuttavia, se esiste esso è unico, nel senso che tutti i limiti inversi di un sistema inverso sono isomorfi tra loro. In altre parole, se X e X′ sono due limiti inversi di uno stesso sistema, allora esiste un unico isomorfismo X′ → X che commuta con le proiezioni.

## Esempi

* L'anello degli interi p-adici si può definire come il limite inverso degli anelli Z/p$^n$Z (vedi aritmetica modulare) dove l'insieme degli indici I è l'insieme dei numeri naturali, con il consueto ordinamento, ed il morfismo da Z/p$^n$Z a Z/p$^m$Z è definito come la riduzione modulo p$^m$ per ogni m ≤ n. La topologia naturale sugli interi p-adici coincide con quella ereditata dal limite inverso se si pone la topologia discreta sui tutti gli anelli Z/p$^n$Z.
* L'anello R [t ] delle serie formali di potenze su un anello commutativo R può essere pensato come il limite inverso degli anelli R [t ] / t$^n$R [t ], indicizzati dai numeri naturali con l'ordinamento canonico e con il morfismo da R [t ] / t$^n$R [t ] a R [t ] / t$^m$R [t ] dato dalla proiezione naturale, per ogni m ≤ n.
* I gruppi profiniti si possono definire come limiti inversi di gruppi finiti muniti della topologia discreta.
* Se l'insieme degli indici I di un sistema inverso (X$_i$, f$_{ij}$) ha un massimo m allora la proiezione naturale π$_m$: X → X$_m$ è un isomorfismo.
* Se (I, =) è l'ordine banale, allora il limite inverso del corrispondente sistema inverso non è altro che il prodotto.