# Operatore di Frobenius-Perron

In matematica, l'operatore di Frobenius-Perron codifica informazioni riguardo una funzione iterata ed è spesso utilizzato per studiare il comportamento di sistemi dinamici, meccanica statistica, caos quantistico e frattali. L'operatore di Frobenius-Perron è anche chiamato operatore transfer o operatore di Ruelle.
Si consideri una trasformazione misurabile $S\colon X\to S$, con $(X,\Sigma ,m)$ uno spazio con misura $m$ $\sigma$-finita. Sia $\mu$ una misura di probabilità su $(X,\Sigma )$ e si osservi l'evoluzione di tale misura sotto l'azione del sistema. Se la misura $\mu$ descrive la distribuzione dei punti nello spazio delle fasi $X$, la misura $\nu$ tale che $\nu (B)=\mu (S^{-1}(B))$ descriverà la distribuzione dei punti dopo l'azione della trasformazione $S$. Sia $\mu$ assolutamente continua rispetto ad $m$ con densità $f$. Se anche $\nu$ è assolutamente continua rispetto ad $m$, con $g={\frac {d\nu }{dm}}$, possiamo definire l'operatore $P_{S}$ su $(X,\Sigma )$ data da
    $P(x,B)={\begin{cases}1,&S(x)\in B,\\0,&S(x)\notin B.\\\end{cases}}$
Per trasformazioni non singolari, l'operatore $P_{S}$ è correttamente definito. La condizione di non singolarità prenderà in tal caso la forma
    $m(B)=0\implies m(S^{-1}(B))=0,\;\;B\in \Sigma .$
Tale operatore può essere esteso ad un operatore lineare limitato $P_{S}\colon L^{1}\to L^{1}$, con $P_{S}$ operatore stocastico detto operatore di Frobenius-Perron per la trasformazione $S$.

## Definizione

Sia $(X,\Sigma ,m)$ uno spazio di misura $\sigma$-finito e sia $S$ una trasformazione non singolare di $X$. Un operatore $P_{S}\colon L^{1}\to L^{1}$ che soddisfa la condizione
    $\int _{B}P_{S}f(x)m(dx)=\int _{S^{-1}(B)}f(x)m(dx),\;\;B\in \Sigma ,\;\;f\in L^{1}$
è detto operatore di Frobenius-Perron per la trasformazione $S$. L'aggiunto dell'operatore di Frobenius-Perron $P_{S}^{*}\colon L^{\infty }\to L^{\infty }$, detto operatore di Koopman, è dato da $P_{S}^{*}g(x)=g(S(x))$.
In particolare, se $S\colon X\to S$ è biettiva e non singolare rispetto a $m$, allora
    $P_{S}f(x)=1_{S(X)}(x)f(S^{-1}(x)){\frac {d(m\circ S^{-1})}{dm}}(x)$
per quasi ogni $x\in X$.

## Proprietà

L'operatore di Frobenius-Perron è un particolare tipo di operatore di Markov perciò ogni proprietà dimostrata per gli operatori di Markov può essere trasferita all'operatore di Frobenius-Perron. In particolare:
* $P$ è un operatore lineare;
* $Pf\geq 0$ se $f\geq 0$;
* $\int _{X}Pf(x)\mu (dx)=\int _{X}f(x)\mu (dx)$;
* l'operatore di Frobenius-Perron della composizione di trasformazioni è la composizione degli operatori di Frobenius-Perron delle trasformazioni.
Dal teorema di cambiamento di variabile per trasformazioni non singolari discende immediatamente che per ogni $f\in L^{1}$, $Pf(x)=f(S^{-1}(x))J^{-1}(x).$

### Teorema di esistenza dell'operatore di Frobenius-Perron

Sia $X\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ con interno non vuoto e frontiera con misura di Lebesgue nulla. Sia $S\colon X\to X$ una trasformazione misurabile. Assumiamo che esista una famiglia di sottoinsiemi disgiunti di $X$, $U_{1},\dots ,U_{n}$, con le seguenti proprietà:
* gli insiemi $X_{0}=X\setminus \bigcup _{i=1}^{n}U_{i}$ e $S(X_{0})$ hanno misura di Lebesgue nulla;
* le funzioni $S_{i}=S|_{U_{i}}$ sono diffeomorfismi da $U_{i}$ in $S(U_{i})$.
Allora anche le trasformazioni $\psi _{i}=S_{i}^{-1}$ sono diffeomorfismi da $S(U_{i})$ in $U_{i}$, l'operatore di Frobenius-Perron esiste ed è dato dalla formula
    $P_{S}f(x)=\sum _{i\in I_{x}}f(\psi _{i}(x))|\det \psi '_{i}(x)|,$
dove $I_{x}=\{i:\psi _{i}(x)\in U_{i}\}$. Difatti:
    $\int _{S^{-1}(B)}f(x)dx=\sum _{i=1}^{n}\int _{S^{-1}(B)\cap U_{i}}f(x)dx=\sum _{i=1}^{n}\int _{\psi _{i}(B)}f(x)dx=\sum _{i=1}^{n}\int _{S^{-1}(B)\cap U_{i}}f(\psi _{i}(x))|\det \psi '_{i}(x)|dx=\int _{B}\sum _{i\in I_{x}}f(\psi _{i}(x))|\det \psi '_{i}(x)|dx=\int _{B}Pf(x)dx.$

### Operatore di Frobenius-Perron su intervalli

Supponiamo che $X$ sia un intervallo, $X=[a,b]\in \mathbb {R}$ e sia $A=[a,x]$. Allora
    $Pf(x)={\frac {d}{dx}}\int _{S^{-1}([a,x])}f(s)ds.$
Se $S$ è differenziabile e invertibile allora $S$ è monotona. Sia quindi $S$ monotona crescente ed $S^{-1}$ con derivata continua. Allora $S^{-1}([a,x])=[S^{-1}(a),S^{-1}(x)]$ e quindi
    $Pf(x)={\frac {d}{dx}}\int _{S^{-1}(a)}^{S^{-1}(x)}f(s)ds=d(S^{-1}(x)){\frac {d}{dx}}\left[S^{-1}(x)\right].$

## Esempi
### Mappa logistica

Sia $S(x)=\alpha x(1-x)$ una mappa logistica, con $0\leq x\leq 1$, con $\alpha =4$. Si trova facilmente la forma analitica della retroimmagine di un intervallo $[0,x]\subset [0,1]$:
    $S^{-1}([0,x])=[0,{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x}}]\cup [{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x}},1].$
L'equazione diventa quindi
    $Pf(x)={\frac {d}{dx}}\left(\int _{0}^{1/2-1/2{\sqrt {1-x}}}f(u)du+\int _{1/2+1/2{\sqrt {1-x}}}^{1}f(u)du\right),$
ossia
    $Pf(x)={\frac {1}{4{\sqrt {1-x}}}}\left[f({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x}})+f({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x}})\right].$
Il calcolo dell'operatore di Frobenius-Perron corrispondente alla trasformazione quadratica mostra quindi come $S$ trasforma la densità $f$ in una nuova densità $Pf$. Prendendo ad esempio $f(x)\equiv 1$ per $x\in [0,1]$, otteniamo
    $Pf(x)={\frac {1}{2{\sqrt {1-x}}}},$
    $P^{2}f(x)={\frac {\sqrt {2}}{8{\sqrt {1-x}}}}\left({\frac {1}{\sqrt {1+{\sqrt {1-x}}}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-{\sqrt {1-x}}}}}\right),$
    $\qquad \vdots$
    $f_{*}(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}},$
con $f_{*}(x)$ densità limite di $P^{n}f$ quando $n\to \infty$.

## Applicazioni
### Sistema di funzioni iterate

Si consideri un insieme finito di funzioni non singolari differenti, $S_{1},\dots ,S_{k}$ su uno spazio di misura $\sigma$-finito $(X,\Sigma ,m)$. Siano $p_{1}(x),\dots ,p_{k}(x)$ funzioni misurabili non negative definite su $X$ tali che $p_{1}(x)+\cdots +p_{k}(x)=1$ per ogni $x\in X$. Si prenda un punto $x$. Si sceglierà la trasformazione $S_{j}$ con probabilità $p_{j}(x)$ e la posizione di $x$ dopo l'azione del sistema sarà $S_{j}(x)$. Si consideri dunque la probabilità di transizione $P(x,B)=\sum _{j=1}^{k}p_{j}(x)\delta _{S_{j}(x)}(B)$ per ogni $x\in X$ e insieme misurabile $B$. Per ogni misura $\mu$ si avrà:
    $P\mu (B)=\sum _{j=1}^{k}\int _{X}p_{j}(x)\delta _{S_{j}(x)}(B)\mu (dx)=\sum _{j=1}^{k}\int _{S_{j}^{-1}(B)}p_{j}(x)\mu (dx)$
e, se $\mu$ è assolutamente continua, $f={\frac {d\mu }{dm}}$, si avrà
    $P\mu (B)=\sum _{j=1}^{k}\int _{S_{j}^{-1}(B)}p_{j}(x)f(x)m(dx)=\sum _{j=1}^{k}\int _{B}P_{S_{j}}(p_{j}f)(x)m(dx),$
con $P_{S_{1}},\dots ,P_{S_{k}}$ operatori di Frobenius-Perron associati. L'operatore stocastico corrispondente a $P$ sarà della forma $Pf=\sum _{j=1}^{k}P_{S_{j}}(p_{j}f),\;\;f\in L^{1}$.
Sia $S_{y}\colon X\to X$, $y\in Y$, una famiglia di trasformazioni misurabili, dove $Y$ è uno spazio metrico dotato di misura di Borel $\nu$, e sia $p_{y}\colon X\to [0,+\infty )$ una famiglia di funzioni misurabili tali che $\int _{Y}p_{y}(x)\nu (dy)=1,\;\;x\in X,$ con probabilità di transizione $P$ della forma $P(x,B)=\int _{Y}1_{B}(S_{y}(x))p_{y}(x)\nu (dy),\;\;x\in X.$ Se ogni trasformazione $S_{y}$ è non singolare, allora l'operatore stocastico corrispondente alla probabilità di transizione è della forma
    $Pf=\int _{Y}P_{S_{y}}(p_{y}f)\nu (dy),\;\;f\in L^{1},$
dove $P_{S_{y}}$ è l'operatore di Frobenius-Perron per $S_{y}$.