# Tensore energia impulso

Il tensore energia-impulso, anche detto tensore energia-quantità di moto, è un tensore definito nell'ambito della teoria della relatività. Esso descrive il flusso di energia e quantità di moto associate a un campo.

## Definizione

Il tensore energia impulso è il tensore $T^{ik}$ del secondo ordine che fornisce il flusso della componente $i$-esima della quantità di moto attraverso una ipersuperficie $S_{k}$ con coordinate $x_{k}$ costanti. In relatività generale la quantità di moto è il quadrimpulso $P^{i}$, e dunque:
    $P^{i}=\alpha \int T^{ik}dS_{k}$
dove $\alpha$ è un termine costante. Eseguendo l'integrale sull'iperpiano $x^{0}={\text{costante}}$ si ha l'impulso in tre dimensioni:
    $P^{i}=\alpha \int T^{i0}dV$
con $dV$ l'elemento di spazio tridimensionale e $dVdt$ il volume contenuto in $dS_{k}$.
Le componenti spaziali del tensore sono quindi le componenti tridimensionali dell'impulso classico, mentre la componente temporale è l'energia divisa per la velocità della luce: esso rappresenta il vettore energia-momento totale della regione di spazio a cui è esteso l'integrale.
Il tensore è utilizzato per esprimere la conservazione del quadrimpulso, fornita dall'equazione di continuità:
    ${\frac {\partial T_{i}^{k}}{\partial x^{k}}}=0$
Infatti, esso corrisponde alla corrente di Noether associata alle traslazioni nello spaziotempo, e in relatività generale questa quantità agisce come sorgente della curvatura dello spaziotempo. Nello spaziotempo curvo l'integrale spaziale dipende dalla porzione di spazio in generale, e questo significa che non c'è modo di definire un vettore energia-momento globale in uno spaziotempo curvo generale.
Il tensore è inoltre simmetrico:
    $T^{ik}=T^{ki}$
e la componente temporale è la densità di massa relativistica $\rho$, cioè la densità di energia divisa per la velocità della luce al quadrato:
    $T^{00}=\rho$
Il flusso della massa relativistica attraverso la superficie $x^{i}$ è equivalente alla densità dell'i-esima componente della quantità di moto:
    $T^{0i}=T^{i0}$
Le componenti spaziali di $T^{ik}$ rappresentano dunque il flusso della quantità di moto i-esima attraverso la superficie $x^{k}$. In particolare, $T^{ii}$ rappresenta la componente normale della tensione interna, detta pressione quando è indipendente dalla direzione, mentre $T^{ik}$ rappresenta lo sforzo di taglio.

## Derivazione

Si consideri un sistema in cui l'azione ha la forma data dall'integrale quadridimensionale:
    $S=\int \lambda \left(q,{\frac {\partial q}{\partial x^{i}}},t\right)dVdt=\int \lambda d\Omega$
dove $\lambda$ è la densità di lagrangiana relativa all'elemento di volume $dV$, funzione delle coordinate generalizzate, della loro derivata e del tempo. Il principio variazionale di Hamilton stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle configurazioni è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso, ovvero $\delta {\mathcal {S}}=0$, e quindi:
    ${\begin{aligned}\delta S&={\frac {1}{c}}\int \left({\frac {\partial \lambda }{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}\delta {\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}\right)d\Omega \\&={\frac {1}{c}}\int \left[{\frac {\partial \lambda }{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}\delta q\right)-\delta q{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}\right]d\Omega \\&=0\end{aligned}}$
Se si applica il teorema di Gauss e si considera l'integrale su tutto lo spazio, il secondo termine si annulla. L'equazione del moto assume allora la forma dell'equazioni di Eulero-Lagrange:
    ${\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial q}}=0$
dove l'indice ripetuto implica la sommatoria, secondo la notazione di Einstein. Sostituendo tale espressione all'interno di:
    ${\frac {\partial \lambda }{\partial x^{i}}}={\frac {\partial \lambda }{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}}\right)$
si ottiene:
    ${\frac {\partial \lambda }{\partial x^{i}}}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}\right){\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}\right)$
Dato che ${\frac {\partial \lambda }{\partial x^{i}}}=\delta _{i}^{k}{\frac {\partial \lambda }{\partial x^{k}}}$, si definisce il tensore energia impulso come:
    $T_{i}^{k}={\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}-\delta _{i}^{k}\lambda$
in modo che l'espressione assume la forma:
    ${\frac {\partial T_{i}^{k}}{\partial x^{k}}}=0$
Il teorema della divergenza consente di trasformare l'integrale volumetrico di tale derivata in un flusso attraverso la ipersuperficie che delimita il volume:
    $\int {\frac {\partial T_{i}^{k}}{\partial x^{k}}}d\Omega =\alpha \int T^{ik}dS_{k}=P^{i}$
dove $P^{i}$ è il quadrimpulso del sistema e $\alpha$ un termine costante che si pone solitamente pari a $1/c$: la relazione stabilisce che $P^{i}$ si conserva.

## Conservazione dell'energia

Scrivendo in modo esplicito le derivate dell'equazione di continuità $\partial T_{i}^{k}/\partial x^{k}=0$ si hanno le espressioni:
    ${\frac {1}{c}}{\frac {\partial T^{00}}{\partial t}}+{\frac {\partial T^{0\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}=0\qquad {\frac {1}{c}}{\frac {\partial T^{\alpha 0}}{\partial t}}+{\frac {\partial T^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}=0$
Integrando l'equazione a sinistra sul volume $V$ e utilizzando il teorema della divergenza si ottiene:
    ${\frac {\partial }{\partial t}}\int T^{00}dV=-c\int {\frac {\partial T^{0\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}dV=-c\int T^{0\alpha }df_{\alpha }$
Il primo termine è la variazione dell'energia contenuta nel volume $V$, il terzo rappresenta quindi la quantità di energia che fuoriesce dalla superficie che delimita il volume, quantificata come l'integrale su tutta la superficie del flusso infinitesimo attraverso l'elemento di superficie $d\mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})$. In elettrodinamica, la densità del flusso dell'energia associata al campo elettromagnetico è data dal vettore di Poynting.
Applicando il medesimo procedimento alle componenti spaziali del tensore si ottiene l'analoga equazione di continuità per l'impulso: per tale motivo le componenti spaziali del tensore energia-impulso costituiscono il tensore degli sforzi.

## Il tensore energia impulso del campo elettromagnetico

Il tensore energia impulso associato al campo elettromagnetico in un punto-universo privo di carica, detto tensore degli sforzi elettromagnetico, è definito nel sistema internazionale di unità di misura e nello spaziotempo di Minkowski piatto (ossia nell'approssimazione di campo (elettromagnetico e di altra natura) di debole intensità) come:
    $T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}[F^{\mu \alpha }F^{\nu }_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }]$
dove $F^{\mu \nu }$ è il tensore elettromagnetico. La forma matriciale esplicita (tensore simmetrico) è:
    $T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2})&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{bmatrix}}$
dove ${\vec {S}}$ è il vettore di Poynting, $\eta _{\mu \nu }$ il tensore metrico dello spaziotempo di Minkowski:
    $\eta _{\mu \nu }\!={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$
e $\sigma _{ij}$ il tensore degli sforzi di Maxwell:
    $\sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left({\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}}\right)\delta _{ij}$
Si noti che $c^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}$ dove c è la velocità della luce.
Il tensore energia-impulso associato al campo elettromagnetico puro in un punto-universo privo di carica in relatività generale entra nell'equazione di campo di Einstein nella quale il tensore energia-impulso deve contenere anche tutte le influenze dovute alla massa e agli altri campi presenti nell'universo.