# Serie formale di potenze in più variabili

In matematica le serie formali di potenze in più variabili costituiscono estensioni abbastanza dirette delle serie formali di potenze. Se si denotano con R un anello commutativo, con r un intero maggiore di 1 e con X$_1$,... ,X$_r$ si denotano variabili formali, si giunge alla definizione di un anello di serie formali di potenze sopra R in queste variabili, denotato R[[X$_1$,...,X$_r$]]. Gli elementi di questo anello si possono esprimere univocamente nella forma
    $\sum _{\mathbf {n} \in \mathbb {N} ^{r}}a_{\mathbf {n} }\mathbf {X^{n}}$
dove n = (n$_1$,...,n$_r$) ∈ N$^r$ e con X$^n$ si denota il monomio X$_1$$^{n1}$...X$_r$$^{nr}$. Questa somma nella topologia appropriata converge per ogni scelta dei coefficienti a$_n$∈R, e l'ordine della sommazione è ininfluente.

## Definizione

Una possibile definizione dell'anello delle serie formali di potenze sopra R si serve dell'ideale che denotiamo con I, l'ideale di R[X$_1$,...,X$_r$] generato da X$_1$,...,X$_r$, cioè l'ideale consistente nei polinomi con termine costante uguale a zero. Come R[[X$_1$,...,X$_r$]] si assume allora il completamento dell'anello dei polinomi R[X$_1$,...,X$_r$] in r variabili rispetto alla topologia I-adica.
Alternativamente, si può procedere in modo simile a quello tenuto con la costruzione più esplicita e graduale per le serie formali di potenze di una sola variabile, giungendo in un primo momento alla struttura di anello in termini di successioni "multi-dimensionali" e successivamente definendo la topologia.
La topologia su R[[X$_1$,...,X$_r$]] è la topologia J-adica, dove con J si denota l'ideale di R[[X$_1$,...,X$_r$]] generato da X$_1$,...,X$_r$, ovvero l'ideale consistente nelle serie con termine costante nullo. Quindi due serie sono considerate "vicine" se i loro primi pochi termini coincidono, dove per primi pochi termini intendiamo i termini il cui grado totale n$_1$ + ... + n$_r$ ha valore limitato.

## Avvertenza

Sebbene R[[X$_1$, X$_2$]] e R[[X$_1$]][[X$_2$]] siano isomorfi in quanto anelli, essi non sono muniti della stessa topologia. Ad esempio, la successione di loro elementi
    $f_{n}=X_{1}^{n},\quad n\geq 1$
converge a zero in R[[X$_1$, X$_2$]] per n → ∞; al contrario, essa non converge nell'anello R[[X$_1$]][[X$_2$]], in quanto la copia di R[[X$_1$]] immersa in R[[X$_1$]][[X$_2$]] è stata munita della topologia discreta.

## Operazioni

Tutte le operazioni definite per le serie in una variabile possono essere introdotte per le serie in più variabili.
* L'addizione viene effettuata termine a termine.
* La moltiplicazione viene effettuata con la regola di Cauchy.
* Una serie risulta invertibile rispetto al prodotto alla Cauchy se e solo se il suo termine costante è invertibile nell'anello R.
* La composizione f(g(X)) di due serie f e g viene definita solo se il termine costante della g è zero.
Per quanto riguarda la derivazione formale, ora si introducono r operatori di derivata parziale che differenziano rispetto alle r singole variabili. Ciascuno di essi commuta con tutti i rimanenti, come accade per le derivazioni parziali delle funzioni continuamente differentiabili.

### Proprietà universale

L'insieme delle serie formali di potenze in più variabili R[[X$_1$, ..., X$_r$]] è caratterizzato dalla seguente proprietà universale. Se S è un'algebra commutativa associativa su R, se I è un ideale di S tale che la topologia I-adica su S è completa e se x$_1$, ... e x$_r$ sono elementi di I, allora esiste un'unica applicazione Φ : R[[X$_1$, ..., X$_n$]] → S con le seguenti proprietà:
* Φ è un omomorfismo di R-algebra
* Φ è continua
* Φ(X$_i$) = x$_i$ per i = 1, ..., r.