# Limite di una funzione

In matematica, il limite di una funzione in un punto di accumulazione per il suo dominio esprime la quantità a cui tende il valore assunto dalla funzione all'avvicinarsi del suo argomento a quel punto. Indicando con $f(x)$ la funzione e con $x_{0}$ il punto di accumulazione, il limite viene indicato con:
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$
e si legge limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $x_{0}$. In altri termini, lim$_{x→x0}$f(x)=l{\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l} significa che quando il valore di $x$ si avvicina a $x_{0}$ ($x\to x_{0}$), il valore $f(x)$ assunto dalla funzione si avvicina a $l$, cioè $f(x)\to l$. Il valore $l$ può essere finito ($l\in \mathbb {R}$), infinito ($\pm \infty$), o non esistere. Il limite rappresenta in un certo senso il comportamento di un oggetto matematico quando una o più variabili del suo dominio tendono ad assumere un determinato valore.
Il concetto di limite di una funzione viene generalizzato da quello di limite di un filtro, mentre un caso particolare è quello di limite di una successione di punti in uno spazio topologico.

## Definizione

Siano dati una funzione $f\colon X\to \mathbb {R}$ definita su un sottoinsieme $X$ della retta reale $\mathbb {R}$, e un punto di accumulazione $x_{0}$ di $X$. Un numero reale $l$ è il limite di $f(x)$ per $x$ tendente a $x_{0}$ se, fissato arbitrariamente un valore $\varepsilon$ della distanza fra $f(x)$ e $l$, si riesce a trovare, in corrispondenza di questo, un valore $\delta$ della distanza tra $x$ ed $x_{0}$ per il quale per tutti gli $x$, escluso $x_{0}$, che distano da $x_{0}$ meno di $\delta$, si ha che $f(x)$ disti da $l$ meno di $\varepsilon$.
La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi $|x-x_{0}|$ è la distanza fra $x$ e $x_{0}$ e $|f(x)-l|$ è la distanza fra $f(x)$ e $l$. I concetti di "fissato arbitrariamente" e "si riesce a trovare" sono espressi formalmente, rispettivamente, con i quantificatori "per ogni" (quantificatore universale) ed "esiste" (quantificatore esistenziale).
La definizione formale metrica di limite stabilisce che $l$ è il limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $x_{0}$ se per ogni numero reale $\varepsilon >0$ esiste un altro numero reale positivo $\delta$ tale che se $0<|x-x_{0}|<\delta$ allora $|f(x)-l|<\varepsilon$, o con formalismo puramente matematico
    $\forall \varepsilon >0\;\;\exists \delta >0\;:\;0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon$
che è riassunto dalla scrittura:
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l$
La definizione topologica, equivalente a quella metrica, usa il concetto di intorno è: $l$ è limite se per ogni intorno $U$ di $l$ in $\mathbb {R}$ esiste un intorno $V$ di $x_{0}$ in $\mathbb {R}$ tale che $f(x)$ appartiene a $U$ per ogni $x\neq x_{0}$ in $V\cap X$. Il punto $x_{0}$ non è necessariamente contenuto nel dominio di $f$. Il punto è comunque escluso nella definizione di limite, poiché il limite deve dipendere soltanto dai valori di $f$ in punti arbitrariamente vicini a $x_{0}$ ma non dal valore che $f$ assume in $x_{0}$: per questo motivo si chiede che $|x-x_{0}|$ sia maggiore di zero.
La definizione di cui sopra è quella maggiormente utilizzata al giorno d'oggi. Tuttavia, nella seconda metà del XX secolo una revisione dei concetti basilari di topologia ha indotto alcuni illustri studiosi a proporre una definizione modificata di limite. Se infatti $x_{0}$ è più in generale punto di aderenza per l'insieme $X$, allora si dice che $l$ è limite se per ogni numero reale $\varepsilon >0$ esiste $\delta >0$ tale che $|f(x)-l|<\varepsilon$ ogni volta che $|x-x_{0}|<\delta$. La condizione $x\neq x_{0}$ viene quindi a mancare. La definizione riformata non modifica i limiti tradizionali come ad esempio la definizione di derivata, ma tratta in modo diverso alcuni casi "patologici". Si osservi che la condizione di aderenza di $x_{0}$ a $X$ è condizione necessaria e sufficiente affinché il limite, inteso con la definizione riformata, sia unico. Inoltre, utilizzando questa definizione la continuità diventa un caso particolare di limite a tutti gli effetti: infatti si vede facilmente che $f$ continua in $x_{0}$, punto del suo dominio, equivale a dire che $f$ ammette limite $l=f(x_{0})$ in $x_{0}$. Vari altri classici risultati assumono una forma più semplificata assumendo la definizione riformata di limite: ad esempio il teorema del passaggio al limite in una funzione composta vale sotto le ipotesi più naturali possibili.

### Estensione al caso infinito

La definizione di limite viene normalmente estesa per considerare anche i casi in cui $x_{0}$ e/o $l$ sono infiniti.
La funzione $f$ ha limite $+\infty$ in un punto finito $x_{0}$ se per ogni numero reale $N>0$ esiste un altro numero reale $\delta >0$ tale che $f(x)>N$ per ogni $x$ in $X$ con $0<|x-x_{0}|<\delta$, ovvero
    $\forall N>0\;\;\exists \delta >0\;:\;0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow f(x)>N$
che in maniera più sintetica si scrive:
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty$
Analogamente si definisce il limite $-\infty$ sostituendo $f(x)>N$ con $f(x)<-N$.
Per definire il limite per $x_{0}\to +\infty$, è ancora necessario che $+\infty$ sia un "punto di accumulazione" per il dominio $X$: questo si traduce nella richiesta che $X$ contenga valori arbitrariamente grandi, cioè che il suo estremo superiore sia infinito:
    $\sup X=+\infty$
In questo caso, un numero finito $l\in \mathbb {R}$ è limite di $f$ per $x\to +\infty$ se per ogni numero reale $\varepsilon >0$ esiste un altro numero reale $S>0$ tale che $|f(x)-l|<\varepsilon$ per ogni $x$ in $X$ con $x>S$, ovvero
    $\forall \varepsilon >0\;\;\exists S>0\;:\;x>S\Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon$
che in maniera più sintetica si scrive:
    $\lim _{x\to +\infty }f(x)=l$
Analogamente si definisce il limite per $x\to -\infty$, sostituendo $x>S$ con $x<-S$.
Resta quindi da esaminare il caso in cui entrambi $x_{0}$ e $l$ sono infiniti. La funzione $f$ ha limite $+\infty$ per $x\to +\infty$ se per ogni numero reale $N>0$ esiste un altro numero reale $S>0$ tale che $f(x)>N$ per ogni $x$ in $X$ con $x>S$, ovvero
    $\forall N>0\;\;\exists S>0\;:\;x>S\Rightarrow f(x)>N$
che in maniera più sintetica si scrive:
    $\lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty$
In maniera analoga si definiscono i casi in cui $x_{0}\to -\infty$ e/o $f(x)\to -\infty$.

### Retta estesa e definizione generale

Tutte queste definizioni possono essere raggruppate elegantemente in una sola proposizione: per questo scopo, è sufficiente estendere la retta reale $\mathbb {R}$ alla retta reale estesa:
    $\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \cup \lbrace -\infty ,+\infty \rbrace$
ottenuta aggiungendo due punti $-\infty$ e $+\infty$. La retta reale estesa è un insieme ordinato e uno spazio topologico. Il concetto di intorno si estende quindi alla retta reale estesa: gli intorni di $+\infty$ sono tutti gli insiemi che contengono una semiretta $(a,+\infty )$, per qualche $a$.
In questo modo, si possono riunire tutte le definizioni precedenti in una sola proposizione, ottenuta sostituendo $\mathbb {R}$ con $\mathbb {R} ^{*}$ nella definizione che usa gli intorni. Sia quindi $f:X\to \mathbb {R} ^{*}$ una funzione definita su un insieme $X$ di $\mathbb {R} ^{*}$, e sia $x_{0}$ un punto di accumulazione per $X$. Un valore $l$ in $\mathbb {R} ^{*}$ è limite di $f$ in $x_{0}$ se per ogni intorno $U$ di $l$ in $\mathbb {R} ^{*}$ esiste un intorno $V$ di $x_{0}$ in $\mathbb {R} ^{*}$ tale che $f(x)$ appartiene a $U$ per ogni $x\neq x_{0}$ in $V\cap X$.
Per il teorema di unicità del limite, una funzione può avere un limite (finito o infinito) in $x_{0}$ oppure nessuno (non può quindi averne più di uno).

### Terminologia

Se il limite per $x\to x_{0}$ di $f(x)$ è 0, $f(x)$ si dice infinitesima o convergente in $x_{0}$. D'altro canto, se $f(x)$ tende a $\pm \infty$ è detta divergente. Se $x_{0}$ è contenuto nel dominio $X$ di $f$, e se vale:
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$
allora la funzione è continua in $x_{0}$. La nozione di continuità è molto importante in matematica: intuitivamente, una funzione continua in $x_{0}$ ha il grafico che "non fa salti" intorno al punto, quindi può essere disegnato manualmente senza staccare mai la penna dal foglio: in ogni punto $x_{0}$ del suo dominio, la $f$ assume in $x_{0}$ il valore del suo limite per $x\to x_{0}$. Altrimenti, la funzione ha in $x_{0}$ un punto di discontinuità.

## Esempi

Sono qui elencati alcuni esempi.
* La funzione $f(x)=x^{2}$ è continua in $x_{0}=3$, perché il suo valore $f(3)=3^{2}=9$ coincide con il valore ottenuto come limite:
    $\lim _{x\to 3}x^{2}=9$
* Quanto $x$ diventa molto grande, il valore $1/x$ diventa arbitrariamente piccolo, e tende quindi a zero:
    $\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}=0$
* Quando $x$ diventa molto grande, il valore $x^{3}$ diventa arbitrariamente grande, e tende quindi a $+\infty$:
    $\lim _{x\to +\infty }x^{3}=+\infty$
* La funzione seno oscilla indefinitamente fra $-1$ e $+1$, e quindi non tende a nessun limite preciso per $x\to \infty$. Quest'affermazione si dimostra formalmente grazie al primo teorema delle restrizioni: siccome la restrizione del seno ai valori ${\tfrac {\pi }{2}}+2k\pi$ è costantemente 1 e la restrizione a $-{\tfrac {\pi }{2}}+2k\pi$ è costantemente -1, la funzione seno non può ammettere limite globale. Quindi:
    $\lim _{x\to +\infty }\sin x={\rm {indefinito}}$
    o più rigorosamente:
    $\nexists \lim _{x\to +\infty }\sin x$

## Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto

Per avere informazioni più precise è a volte utile utilizzare i concetti di limite destro e limite sinistro, definiti tramite la nozione di intorno destro e sinistro.
Un intorno destro di un punto $x_{0}$ della retta estesa $\mathbb {R} ^{*}$ è un intervallo del tipo $[x_{0},x_{0}+r[$ con $r>0$. Analogamente, un intorno sinistro è un intervallo del tipo $]x_{0}-r,x_{0}]$. In particolare, gli intorni di $-\infty$ sono tutti destri e quelli di $+\infty$ sono sinistri.
A questo punto, sia $f:X\to \mathbb {R}$ con $x_{0}$ punto di accumulazione per $X$. Un valore $l$ della retta estesa è limite destro per $f$ in $x_{0}$ se per ogni intorno $U$ di $l$ esiste un intorno destro $V^{+}$ di $x_{0}$ tale che $f(x)$ appartiene a $U$ per ogni $x$ in $V^{+}\cap X$.
Il limite sinistro è definito in modo analogo. I limiti sinistro e destro (se esistono) vengono descritti rispettivamente come:
    $\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x),\quad \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)$
Vale il risultato seguente: se $x_{0}$ è un punto di accumulazione sia destro sia sinistro del dominio $X$, allora esiste il limite di una funzione in $x_{0}$ se e solo se esistono limite destro e limite sinistro, e questi due coincidono.
Ad esempio, la funzione gradino $f$ mostrata in figura ha limite sinistro e destro in $x_{0}=0$, ma questi non coincidono: quindi non ha limite in $x_{0}=0$:
    $\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=0,\quad \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1$
Le nozioni di limite per difetto e per eccesso vengono definite in modo analogo, sostituendo l'intorno $U$ di $l$ con intorni destri e sinistri. I limiti per difetto e per eccesso (se esistono) possono essere indicati con un piccolo abuso di linguaggio nel modo seguente:
    $l^{+}=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x),\quad l^{-}=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)$

## Proprietà di base
### Limitatezza locale

Per il teorema di limitatezza locale, una funzione che ha limite finito in $x_{0}$ è limitata in un intorno di $x_{0}$, ovvero esistono un numero $K>0$ e un intorno $V$ di $x_{0}$ tale che $|f(x)|<K$ per ogni $x$ del dominio contenuto in $V$.
D'altra parte, una successione limitata in un intorno di $x_{0}$ non ha necessariamente limite in $x_{0}$: ad esempio la funzione gradino è ovunque limitata, ma non ha limite in zero.

### Permanenza del segno

Per il teorema di permanenza del segno, se una funzione ha limite $l>0$ strettamente positivo in $x_{0}$, allora assume valori strettamente positivi per ogni $x$ sufficientemente vicino a $x_{0}$. In altre parole, esiste un intorno $V$ di $x_{0}$ tale che $f(x)>0$ per ogni $x$ del dominio in $V$ diversa da $x_{0}$.
Analogamente, una funzione che ha limite $l<0$ strettamente negativo ha valori strettamente negativi per tutti gli $x$ sufficientemente vicini a $x_{0}$. Una funzione che ha limite $l=0$ può assumere vicino a $x_{0}$ valori di entrambi i segni (ad esempio la funzione $f(x)=x$ con $x_{0}=0$).

## Confronto fra funzioni

Siano $f$ e $g$ due funzioni definite su un dominio $X$, con $x_{0}$ punto di accumulazione per $X$. Se $f(x)\geq g(x)$ per ogni $x$ del dominio in un intorno $V$ di $x_{0}$, e se entrambe le funzioni hanno limite in $x_{0}$, allora vale:
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)\geq \lim _{x\to x_{0}}g(x)$
Questo risultato è ottenuto applicando il teorema di permanenza del segno alla differenza $f-g$.

### Teorema del confronto (o dei carabinieri)

Il teorema del confronto (o dei carabinieri) asserisce che una funzione "stretta fra due successioni" convergenti allo stesso limite converge anch'essa a questo limite. Formalmente, se $f,g$ e $h$ sono tre funzioni definite su un dominio $X$ con punto di accumulazione $x_{0}$, tali che:
    $f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)$
per ogni $x\neq x_{0}$ del dominio in un intorno di $x_{0}$, e tali che:
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=l$
allora anche:
    $\lim _{x\to x_{0}}g(x)=l$
Viene detto "dei carabinieri" perché $f(x)$ e $h(x)$ vengono immaginati come i due carabinieri che portano in cella $g(x)$ cioè il criminale, oppure perché si immaginano due carabinieri che cercano di catturare un criminale da due lati opposti, esso tenderà, insieme ai carabinieri (le funzioni esterne), allo stesso punto.

## Operazioni con i limiti

Funzioni aventi lo stesso dominio possono essere sommate o moltiplicate. In molti casi è possibile determinare il limite della funzione risultante dai limiti delle singole funzioni.
Siano $f$ e $g$ due funzioni con lo stesso dominio $X$, e $x_{0}$ un punto di accumulazione per $X$. Se esistono i limiti:
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1},\quad \lim _{x\to x_{0}}g(x)=l_{2}$
allora:
* $\lim _{x\to x_{0}}(c\cdot f(x))=c\cdot l_{1}\qquad \forall c\in \mathbb {R}$
* $\lim _{x\to x_{0}}(f(x)\pm g(x))=l_{1}\pm l_{2}$
* $\lim _{x\to x_{0}}(f(x)\cdot g(x))=l_{1}\cdot l_{2}$
* $\lim _{x\to x_{0}}{1 \over f(x)}={1 \over l_{1}}\qquad {\mbox{se }}l_{1}\neq 0$
* $\lim _{x\to x_{0}}{f(x) \over g(x)}={l_{1} \over l_{2}}\qquad {\mbox{se }}l_{2}\neq 0$
Alcune delle uguaglianze elencate sono estendibili ai casi in cui $l_{1}$ e/o $l_{2}$ sia infinito.

## Spazi metrici

Il concetto di limite è generalizzato a ogni funzione $f:X\to Y\,\!$ fra spazi metrici $X$ e $Y$ nel modo seguente. Se $x_{0}$ è un punto di $X$, un valore $y_{0}$ di $Y$ è limite di $f(x)$ per $x\to x_{0}$ se $f(x)$ si avvicina arbitrariamente a $y_{0}$ quando $x$ si avvicina a $x_{0}$. Formalmente, se per ogni $\varepsilon >0$ esiste $\delta >0$ tale che $d(f(x),y_{0})<\varepsilon$ per ogni $x$ con $0<d(x,x_{0})<\delta$. In questo caso si scrive:
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=y_{0}$
Continua a valere il teorema di unicità del limite: una funzione non può tendere a due limiti diversi in un punto.

## Spazi topologici

Siano $(X,\tau )$ e $(Y,\psi )$ due spazi topologici e siano $A\subseteq X$ , $x_{0}$ un elemento della chiusura di $A$ in $X$ , $l\in Y$.
Data $f:A\to Y$ un'applicazione si dice che $l$ è un limite di $f(x)$ per $x\to x_{0}$ in $A$, e si scrive $l\in \lim _{x\to x_{0}}f(x)$ se:
${\begin{matrix}F:&A\cup \{x_{0}\}&\longrightarrow &Y\\&x&\longmapsto &f(x)&se&x\in A-\{x_{0}\}\\&x&\longmapsto &l&se&x=x_{0}\end{matrix}}$
è continua in $x_{0}$ con $A\cup \{x_{0}\}$ dotato della topologia indotta da $\tau$ e $Y$ dotato della topologia $\psi$.
Inoltre se $x_{0}$ punto di accumulazione di $A$ in $X$ e lo spazio $(Y,\psi )$ è di Hausdorff allora l'insieme $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ ha al più un elemento (unicità del limite).

## Funzioni reali a più variabili

Lo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ è uno spazio metrico, con la metrica euclidea. Quindi la definizione di limite per spazi metrici si applica a qualsiasi funzione:
    $f:X\to \mathbb {R} ^{m}$
dove $X$ è un qualsiasi sottoinsieme di $\mathbb {R} ^{n}$.

## Funzioni complesse

Una funzione complessa $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ può essere interpretata come funzione:
    $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$
In questo modo è quindi anche definito il limite per funzioni fra insiemi di numeri complessi.