# Particella libera

In fisica, in particolare in meccanica quantistica, la particella libera è la descrizione di una particella soggetta ad un potenziale costante, cioè quello in cui si considera una particella non soggetta a forze.

## Caso unidimensionale

L'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo per la funzione d'onda di una particella libera è caratterizzata da un potenziale nullo, ed assume la forma:
    $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)$
con la funzione d'onda preparata nello stato iniziale $\psi (x,0)=\phi _{k}(x)$. La soluzione più generale nel caso di particella libera è il pacchetto d'onda in una dimensione:
    $\psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int dp\,\phi (p)e^{i(px-{\frac {p^{2}}{2m}}t)/\hbar }$
Che è una sovrapposizione di onde piane:
    $\psi _{k}(x,t)=A\,e^{-iE_{k}t/\hbar +ikx}=\phi _{k}(x)\,e^{-iE_{k}t/\hbar },$
di energia $E_{k}=p^{2}/(2m)$ e quantità di moto $p=\hbar \,k$, che viaggia con frequenza:
    $\omega _{k}={\frac {E_{k}}{\hbar }}={\frac {\hbar k^{2}}{2m}},$
Il vettore k è il vettore d'onda, $\phi _{k}(x)$ è la relativa autofunzione dell'energia e
    $\phi (p)=\langle \phi _{k}|\psi _{k}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int dxe^{-{\frac {ipx}{\hbar }}}\psi ^{0}(x)$
la trasformata di Fourier della funzione $\psi (x)$.
Il fattore prima dell'integrale del pacchetto d'onda è dovuto alla corretta normalizzazione, dovuta alla interpretazione probabilistica della funzione d'onda. Essendo un'equazione differenziale al primo ordine nel tempo, l'equazione di Schrödinger deve essere accompagnata dalla condizione iniziale della funzione d'onda. Ad esempio al tempo $t=0$ si impone che la funzione d'onda sia:
    $\psi (x,t=0)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int dp\,\phi (p)e^{ipx/\hbar }$
in modo che la sua evoluzione nel tempo esista determinata per ogni istante t. Abbiamo stabilito anche che la giusta interpretazione della funzione d'onda è che:
    $P(x,t)dx=|\psi (x,t)|^{2}dx\$
rappresenta la probabilità che la particella si trovi nell'intervallo $x,x+dx$, avendo l'accortezza di normalizzare la funzione d'onda:
    $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x,t)|^{2}dx=1$
che rappresenta il fatto che la probabilità di trovare la particella in qualche punto dello spazio (in questo caso siamo su una retta perché stiamo prendendo solo il caso unidimensionale, ma tutto ciò vale anche nel caso tridimensionale), deve essere 1 con certezza. Abbiamo inoltre stabilito che le funzioni accettabili come soluzioni dell'equazione di Schrödinger sono le funzioni definite in un campo vettoriale complesso e che siano a quadrato sommabili, cioè sia sempre verificata:
    $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x,0)|^{2}dx<\infty$
e il fatto che sia lineare implica che possiamo considerare la sovrapposizione:
    $\psi (x,t)=c_{1}\psi _{1}(x,t)+c_{2}\psi _{2}(x,t)\$
dove $c_{1},c_{2}\in \mathbb {C}$ che suggerisce valevole il principio di sovrapposizione, essa è anche soluzione dell'equazione di Schrödinger. Un'altra caratteristica delle soluzioni dell'equazione di Schrödinger è che se il modulo quadro della funzione d'onda è importante perché rappresenta una probabilità, la fase dell'onda invece non ha rilevanza fisica.

### Autofunzioni

Nel caso di particella libera le autofunzioni dell'energia coincidono con le autofunzioni dell'operatore impulso, dal momento che i due operatori ${\hat {H}}$ e ${\hat {p}}$ commutano, e possiedono quindi una base di autostati comune. L'equazione di Schrödinger stazionaria per le autofunzioni di particella libera è in generale
    $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\phi (x)=E\,\phi (x).$
dove m è la massa della particella ed E l'energia dello stato $\phi$. Si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti, che può essere posta nella forma:
    ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\phi (x)=-k^{2}\cdot \phi (x),$
dove $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ è un parametro reale se $E\geq 0$. La soluzione generale, dipendente da $k$, può essere scritta nella forma
    $\phi _{k}(x)=A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx},$
con A,B coefficienti reali arbitrari da determinarsi. Imponendo la condizione al contorno che l'autofunzione contenga solo una componente progressiva, si ottiene $B=0$ e
    $\phi _{k}(x)=A\,e^{ikx},$
La costante A si ricava imponendo che gli stati $\phi _{k}$ siano ortonormali.

## Caso tridimensionale

Lo studio della particella libera in tre dimensioni è un esempio di propagazione di onde sferiche.

### L'equazione di Schrödinger radiale

L'equazione di Schrödinger radiale nel caso di particella libera per le autofunzioni dell'energia
    $\Psi _{k,l,m}=R(r)Y_{l,m}(\theta ,\varphi )$
dove $Y_{l,m}$ sono le armoniche sferiche, ha la forma:
    $-{\frac {1}{2m}}\left[{\frac {\hbar ^{2}}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d}{dr}}\right)-{\frac {l(l+1)\hbar ^{2}}{r^{2}}}\right]\Psi _{k,l,m}=E\Psi _{k,l,m}$
dove $l(l+1)\hbar ^{2}$ sono gli autovalori del momento angolare orbitale ${\mathcal {L}}$. La funzione $R_{E,l}$ dipende anche da l ma non da m, infatti non compare l'operatore ${\mathcal {L}}_{z}$. Posto $R(r)={\frac {R_{k,l}(r)}{r}}$, l'equazione per la parte radiale si può scrivere:
    $\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {\hbar ^{2}l(l+1)}{2mr^{2}}}\right]R_{k,l}(r)=ER_{k,l}(r)$
Le funzioni $R_{k,l}$ dipendono da k e dal valore di l.
La normalizzazione delle funzioni d'onda sono date da:
    $\int _{0}^{\infty }\Psi _{k',l',m'}^{*}\Psi _{k,l,m}r^{2}\,dr\,\int d\Omega =2\pi \delta _{l'l}\delta _{m'm}\delta (k'-k)$
come vuole la normalizzazione discreta ($d\Omega =d\theta d\varphi$) per l ed m data dalle autofunzioni del momento angolare e normalizzazione continua per k. Per le funzioni radiali che ci interessano:
    $\int _{0}^{\infty }R_{k',l}^{*}R_{k,l}r^{2}\,dr=2\pi \delta (k'-k)$
In termini di energia usando $\hbar ^{2}k^{2}/2m=E$ questa condizione diventa
    $\int _{0}^{\infty }R_{E',l}^{*}R_{E,l}r^{2}\,dr=\delta (E'-E)$

#### Soluzione per $l=0$

Per $l=0$ l'equazione si semplifica:
    ${\frac {d^{2}R_{k,0}(r)}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {dR_{k,0}(r)}{dr}}+k^{2}R_{k,0)}(r)=0$
la cui soluzione regolare nell'origine cioè che soddisfa la condizione di continuità $\lim _{r\to 0}R(r)=0$ è data da:
    $R_{k,0}(r)=A_{1}{\frac {\sin kr}{r}}$
mentre quella singolare nell'origine:
    $R_{k,0}(r)=-A_{2}{\frac {\cos kr}{r}}$
dove $A_{1},A_{2}$ sono costanti di normalizzazione. Le costanti di normalizzazione si ottengono dalla condizione di normalizzazione vista sopra:
    $A_{1}^{2}\int _{0}^{\infty }dr\,r^{2}\sin(k'r)\sin(kr)=2\pi \delta (k'-k)$
da cui $A_{1}=2$. Quindi:
    $R_{k,0}(r)=2{\frac {\sin kr}{r}}$
    $R_{k,0}(r)=-2{\frac {\cos kr}{r}}$

#### Soluzione per $l\neq 0$

Facciamo la sostituzione:
    $R_{k,l}(r)=r^{l}\chi _{k,l}\$
e risolviamo l'equazione:
    ${\frac {d^{2}\chi _{k,l}}{dr^{2}}}+{\frac {2(l+1)}{r}}{\frac {d\chi _{k,l}}{dr}}+k^{2}\chi _{k,l}=0$
derivando rispetto ad r abbiamo:
    ${\frac {d^{3}\chi _{k,l}}{dr^{3}}}+{\frac {2(l+1)}{r}}{\frac {d^{2}\chi _{k,l}}{dr^{2}}}+k^{2}{\frac {d\chi _{k,l}}{dr}}-{\frac {2(l+1)}{r^{2}}}{\frac {d\chi _{k,l}}{dr}}=0$
cioè derivando si aggiunge un termine costante. Quindi se $\chi '_{k,l}=r\chi _{k,l+1}$ l'equazione precedente si riduce
    ${\frac {d^{2}\chi _{k,l+1}}{dr^{2}}}+{\frac {2(l+2)}{r}}{\frac {d\chi _{k,l+1}}{dr}}+k^{2}\chi _{k,l+1}=0$
dove le funzioni $\chi _{k,l}$ sono legate dalla relazione ricorsiva:
    $\chi _{k,l+1}={\frac {1}{r}}{\frac {d\chi _{k,l}}{dr}}$
Quindi noto il termine:
    $\chi _{k,0}(r)=R_{k,0}(r)=2{\frac {\sin kr}{r}}$
allora tutte le funzioni sono note infatti per $l\neq 0$:
    $\chi _{k,l}(r)=\left({\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\right)^{l}\chi _{k,0}$
In definitiva le funzioni radiali sono date da:
    $R_{k,l}(r)=N_{l}r^{l}\left({\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\right)^{l}{\frac {\sin kr}{r}}$
dove la costante di normalizzazione vale $N_{l}={\frac {2(-)^{l}}{k^{l}}}$. Le soluzioni singolari nell'origine sono date:
    $S_{k,l}(r)=N_{l}r^{l}\left({\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\right)^{l}{\frac {\cos kr}{r}}$

#### Comportamento asintotico

Per $r\to 0$ le funzioni regolari possono essere sviluppate in serie di $\sin kr$ al primo ordine in r:
    $\left({\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\right)^{l}{\frac {\sin kr}{r}}\simeq \left({\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\right)^{l}(-)^{l}{\frac {(kr)^{2l+1}}{r(2l+1)!}}+O(r^{2})={\frac {(-)^{l}k^{2l+1}}{(2l+1)(2l-1)(2l-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}+O(r^{2})$
Le funzioni d'onda radiali regolari nell'origine assumono la forma:
    $R_{k,l}(r)\simeq {\frac {2k^{l+1}r^{l}}{(2l+1)(2l-1)(2l-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}+O(r^{2})$
Per $r\to \infty$ le funzioni regolari di r:
    $R_{k,l}\simeq {\frac {2}{r}}\sin \left(kr-{\frac {l\pi }{2}}\right)$
infatti ogni derivazione rispetto ad r del seno aggiunge solo un termine $-\pi /2$

### Funzioni di Bessel sferiche

Le soluzioni $R_{k,l}(r)$ possono essere rappresentate in termini di funzioni di Bessel sferiche regolari e singolari nell'origine. Le prime funzioni di Bessel sferiche sono:
    $j_{0}(x)={\frac {\sin x}{x}}$
    $n_{0}(x)=-{\frac {\cos x}{x}}$
    $j_{1}(x)={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}}$
    $n_{1}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}}$
    $j_{2}(x)=\left({\frac {3}{x^{3}}}-{\frac {1}{x}}\right)\sin x-{\frac {3\cos x}{x^{2}}}$
    $n_{2}(x)=-\left({\frac {3}{x^{3}}}-{\frac {1}{x}}\right)\cos x-{\frac {3\sin x}{x^{2}}}$
    $j_{l}(x)=(-)^{l}x^{l}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{l}{\frac {\sin x}{x}}$
    $n_{l}(x)=-(-)^{l}x^{l}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{l}{\frac {\cos x}{x}}$
Allora le funzioni radiali regolari e singolari per la particella libera sono espresse:
    $R_{k,l}(r)={\sqrt {\frac {2\pi k}{r}}}J_{l+1/2}(kr)=2kj_{l}(kr)$
    $S_{k,l}(r)={\sqrt {\frac {2\pi k}{r}}}N_{l+1/2}(kr)=2kn_{l}(kr)$
dove $J_{l+1/2},N_{l+1/2}$ sono le soluzioni rispettivamente regolari e singolari dell'equazione di Bessel:
    ${\frac {d^{2}}{dz^{2}}}Z_{v}+{\frac {1}{z}}Z_{v}+\left(1-{\frac {v^{2}}{z^{2}}}\right)Z_{v}=0$
Il legame tra le funzioni di Bessel di ordine intero e semintero è dato da:
    $j_{l}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{l+1/2}(x)$
Gli andamenti asintotici per $x\to 0$:
    $j_{l}(x)\simeq {\frac {x^{l}}{(2l+1)!!}}$
    $n_{l}(x)\simeq {\frac {(2l-1)!!}{x^{l+1}}}$
per $x\to \infty$
    $j_{l}(x)\simeq {\frac {1}{x}}\cos \left(x-{\frac {(l+1)\pi }{2}}\right)$
    $n_{l}(x)\simeq {\frac {1}{x}}\sin \left(x-{\frac {(l+1)\pi }{2}}\right)$
come si voleva.

### Funzioni di Hankel sferiche

Le prime funzioni di Hankel sferiche per la particella libera sono:
    $h_{0}^{(1)}(x)={\frac {e^{ix}}{ix}}$
    $h_{1}^{(1)}(x)=-{\frac {e^{ix}}{x}}\left(1+{\frac {i}{x}}\right)$
    $h_{2}^{(1)}(x)={\frac {ie^{ix}}{x}}\left(1+{\frac {3i}{x}}{\frac {3}{x^{2}}}\right)$
Allora le funzioni radiali per la particella libera sono espresse:
    $R_{k,l}^{(1)}(r)=2kh_{1}^{(l)}(kr)$
    $R_{k,l}^{(2)}(r)=2kh_{2}^{(l)}(kr)$
e gli andamenti asintotici: per $x\to \infty$
    $h_{l}^{(1)}(x)\simeq {\frac {1}{x}}e^{i(x-(l+1)\pi /2)}$
    $h_{l}^{(2)}(x)\simeq {\frac {1}{x}}e^{-i(x-(l+1)\pi /2)}$
Così le funzioni radiali hanno comportamento asintotico:
    $R_{k,l}^{(1)}\simeq {\frac {1}{kr}}e^{i(kr-(l+1)\pi /2)}$
    $R_{k,l}^{(2)}\simeq {\frac {1}{kr}}e^{-i(kr-(l+1)\pi /2)}$
Mentre nell'origine $r\to 0$:
    $R_{k,l}^{\pm }\simeq {\frac {(2l-1)!!}{k^{l}}}r^{-l-1}$