# Limite diretto

In matematica, il limite diretto (anche chiamato limite induttivo) è una costruzione che, dati degli oggetti relazionati tra loro attraverso dei morfismi, fornisce un nuovo oggetto. Il limite diretto può essere definito in ogni categoria.

## Definizione formale
### Limite diretto di gruppi

Iniziamo con la definizione di un sistema diretto di gruppi e omomorfismi. Siano (I, ≤) un insieme parzialmente ordinato e diretto e ( A$_i$ )$_{i∈I}$ una famiglia di gruppi. Sia poi f$_{ij}$: A$_i$ → A$_j$ per i ≤ j (si noti l'ordine) una famiglia di omomorfismi con le seguenti proprietà:
* f$_{ii}$ è l'identità in A$_i$ per ogni i,
* f$_{ik}$ = f$_{jk}$ o f$_{ij}$ per ogni i ≤ j ≤ k.
Allora l'insieme delle coppie ( A$_i$, f$_{ij}$ ) è chiamato un sistema diretto di gruppi e morfismi su I.
Definiamo il limite diretto del sistema diretto ( A$_i$, f$_{ij}$ ) come l'unione disgiunta degli A$_i$, modulo una certa relazione d'equivalenza ~,
    $\varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .$
La relazione d'equivalenza ~ è definita come segue: due elementi x$_i$ ∈ A$_i$ e x$_j$ ∈ A$_j$ sono equivalenti se esiste un qualche k ∈ I tale che i, j ≤ k e che f$_{ik}$(x$_i$) = f$_{jk}$(x$_j$). Euristicamente, due elementi nell'unione disgiunta sono equivalenti se e solo se diventano uguali da un certo punto in poi nel sistema diretto.
Il limite diretto, che per comodità indicheremo con A, è fornito di morfismi canonici φ$_i$: A$_i$ → A che mandano ogni elemento nella sua classe d'equivalenza. Inoltre, il limite diretto gode della proprietà universale descritta nella sezione seguente. Infine, se i vari gruppi A$_i$ sono gruppi topologici (e i morfismi sono omomorfismi continui), allora su A si pone la topologia più fine che rende continui i morfismi canonici ed A risulta essere un gruppo topologico rispetto a tale topologia.
La stessa costruzione può essere effettuata anche se gli A$_i$ al posto di essere gruppi sono insiemi, anelli, moduli (su un anello fissato), algebre (su un campo fissato), etc., e gli omomorfismi sono omomorfismi per le corrispondenti categorie. Il limite diretto apparterrà anch'esso a quella categoria.

### Definizione generale

Il limite diretto può essere definito in modo astratto in una qualsiasi categoria attraverso una proprietà universale. Sia (X$_i$, f$_{ij}$) un sistema diretto di oggetti e morfismi in una categoria C. Il limite diretto di questo sistema è un oggetto X in C insieme con dei morfismi φ$_i$: X$_i$ → X soddisfacenti a φ$_i$ = φ$_j$ o f$_{ij}$ per ogni i ≤ j. La coppia (X, φ$_i$) deve essere universale nel senso che per ogni altra coppia (Y, ψ$_i$) esiste un unico morfismo u: X → Y tale che il seguente diagramma commuti:
per ogni i ≤ j. Il limite diretto è in genere denotato come
    $X=\varinjlim X_{i},$
lasciando sottinteso il sistema diretto (X$_i$, f$_{ij}$).
Al contrario di ciò che accade per gli oggetti algebrici, in alcuni casi il limite diretto può non esistere. Tuttavia, se esiste esso è unico, nel senso che tutti i limiti diretti di un sistema diretto sono isomorfi tra loro. In altre parole, se X e X′ sono due limiti diretti di uno stesso sistema, allora esiste un unico isomorfismo X′ → X che commuta con le proiezioni.

## Esempi

* Una collezione di sottoinsiemi M$_i$ di un insieme M può essere parzialmente ordinata dall'inclusione. Se definiamo il morfismo da A a B come l'inclusione per ogni coppia di sottoinsiemi A e B con A ⊆ B, allora il limite diretto risultante da questo sistema non è altro che l'unione degli M$_i$.
* Se l'insieme degli indici I di un sistema diretto (X$_i$, f$_{ij}$) ha un massimo i*, allora il limite diretto del sistema è isomorfo a X$_{i*}$ e il morfismo canonico φ$_{i*}$ : X$_{i*}$ → X è un isomorfismo.
* Sia p un primo. Si consideri il sistema diretto composto dai gruppi Z/p$^n$Z e dagli omomorfismi Z/p$^n$Z → Z/p$^m$Z, con n ≤ m, che sono indotti dalla moltiplicazione per p$^{m-n}$. Il limite diretto di questo sistema è isomorfo al gruppo di tutte le radici dell'unità di ordine una qualche potenza di p, ed è chiamato gruppo di Prüfer Z(p$^∞$).
* I limiti diretti sono connessi ai limiti proiettivi attraverso la relazione
    $\mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).$