# Momento (elaborazione delle immagini)

Nell'elaborazione delle immagini ed in visione artificiale il momento di un'immagine, in analogia con il concetto di momento, è una particolare media dell'intensità dei pixel che compongono l'immagine.
In senso più generale, sono detti momenti anche le funzioni di tali medie, che godono di particolari proprietà o caratteristiche.

## Momenti semplici

Per una funzione continua bi-dimensionale f(x,y) il momento (spesso chiamato "momento semplice") di ordine (p + q) è definito come
    $M_{pq}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{p}y^{q}f(x,y)\,dx\,dy$
per p,q = 0,1,2,...
Un teorema di unicità (Papoulis [1991]) afferma che se f(x,y) è continua a tratti ed ha valori non nulli solo in una porzione finita del piano xy, allora esistono i momenti di ogni ordine e la sequenza dei momenti (M$_{pq}$) è unicamente determinata da f(x,y). Per converso, (M$_{pq}$) determina unicamente f(x,y). In pratica, la funzione può essere descritta in funzione dei suoi momenti di ordine più basso.
Adattando questa definizione ad un'immagine digitale i cui pixel sono caratterizzati da intensità I(x,y), il momento semplice M$_{ij}$ è dato da
    $M_{ij}=\sum _{x}\sum _{y}x^{i}y^{j}I(x,y)$
In alcuni casi risulta conveniente normalizzare l'intensità in analogia ad una funzione di densità di probabilità, cioè dividere la quantità M$_{ij}$ appena definita per
    $\sum _{x}\sum _{y}I(x,y)$

### Esempi

Semplici proprietà delle immagini derivate attraverso i momenti semplici includono:
* Area (per immagini binarie) o somma dei livelli di grigio (per immagini in scala di grigio): M$_{00}$
* Centroide: {${\bar {x}},\ {\bar {y}}$} = {M$_{10}$/M$_{00}$, M$_{01}$/M$_{00}$ }

## Momenti centrali

Il momento centrale di una funzione bidimensionale continua f(x,y) di ordine (p + q) è definito come
    $\mu _{pq}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-{\bar {x}})^{p}(y-{\bar {y}})^{q}f(x,y)\,dx\,dy$
in cui ${\bar {x}}={\frac {M_{10}}{M_{00}}}$ e ${\bar {y}}={\frac {M_{01}}{M_{00}}}$ sono le componenti del centroide.
Se I(x, y) è l'intensità di un'immagine digitale, il suo momento centrale si calcola come
    $\mu _{pq}=\sum _{x}\sum _{y}(x-{\bar {x}})^{p}(y-{\bar {y}})^{q}I(x,y)$
I momenti centrali fino al terzo ordine sono
    $\mu _{00}=M_{00},$
    $\mu _{01}=0,$
    $\mu _{10}=0,$
    $\mu _{11}=M_{11}-{\bar {x}}M_{01}=M_{11}-{\bar {y}}M_{10},$
    $\mu _{20}=M_{20}-{\bar {x}}M_{10},$
    $\mu _{02}=M_{02}-{\bar {y}}M_{01},$
    $\mu _{21}=M_{21}-2{\bar {x}}M_{11}-{\bar {y}}M_{20}+2{\bar {x}}^{2}M_{01},$
    $\mu _{12}=M_{12}-2{\bar {y}}M_{11}-{\bar {x}}M_{02}+2{\bar {y}}^{2}M_{10},$
    $\mu _{30}=M_{30}-3{\bar {x}}M_{20}+2{\bar {x}}^{2}M_{10},$
    $\mu _{03}=M_{03}-3{\bar {y}}M_{02}+2{\bar {y}}^{2}M_{01}.$
Si può dimostrare che:
    $\mu _{pq}=\sum _{m}^{p}\sum _{n}^{q}{p \choose m}{q \choose n}(-{\bar {x}})^{(p-m)}(-{\bar {y}})^{(q-n)}M_{mn}$
Si dimostra inoltre che i momenti centrali sono invarianti rispetto a traslazioni dell'immagine

### Esempi

Informazioni sull'orientamento di un'immagine possono esser derivate dai momenti centrali di secondo ordine a partire dalla matrice di covarianza. Avendo definito tali momenti
    $\mu '_{20}=\mu _{20}/\mu _{00}=M_{20}/M_{00}-{\bar {x}}^{2}$
    $\mu '_{02}=\mu _{02}/\mu _{00}=M_{02}/M_{00}-{\bar {y}}^{2}$
    $\mu '_{11}=\mu _{11}/\mu _{00}=M_{11}/M_{00}-{\bar {x}}{\bar {y}}$
la matrice di covarianza dell'immagine $I(x,y)$ è
    $\operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}$.
Gli autovettori di tale matrice corrispondono all'asse maggiore ed all'asse minore dell'ellisse associato all'intensità dell'immagine: l'orientazione dell'immagine può allora essere estratta dall'angolo che il semiasse maggiore (autovettore associato all'autovalore massimo) forma con la direzione orizzontale. Tale angolo Θ è dato dalla seguente formula:
    $\Theta ={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2\mu '_{11}}{\mu '_{20}-\mu '_{02}}}\right)$
Per trovare l'eccentricità di tale ellisse è sufficiente considerare che essa dipende dalla differenza relativa di grandezza degli autovalori e può pertanto essere calcolata tramite
    ${\sqrt {1-{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}}}$
in cui gli autovalori valgono:
    $\lambda _{i}={\frac {\mu '_{20}+\mu '_{02}}{2}}\pm {\frac {\sqrt {4{\mu '}_{11}^{2}+({\mu '}_{20}-{\mu '}_{02})^{2}}}{2}}$

## Momenti centrali normalizzati

I momenti η$_{pq}$ dove p + q ≥ 2 possono essere costruiti per essere invarianti sia a traslazione sia a cambiamenti di scala dividendo il corrispondente momento centrale per il momento di ordine (00) propriamente scalato, secondo la formula
    $\eta _{pq}={\frac {\mu _{pq}}{\mu _{00}^{\left(1+{\frac {p+q}{2}}\right)}}}$

## Momenti di Hu

È possibile inoltre calcolare momenti che siano contemporaneamente invarianti a traslazione, cambiamenti di scala e rotazione. L'insieme di momenti più usati che godono di queste proprietà è l'insieme dei sette momenti di Hu:
    ${\begin{aligned}\phi _{1}=\ &\eta _{20}+\eta _{02}\\\phi _{2}=\ &(\eta _{20}-\eta _{02})^{2}+(2\eta _{11})^{2}\\\phi _{3}=\ &(\eta _{30}-3\eta _{12})^{2}+(3\eta _{21}-\eta _{03})^{2}\\\phi _{4}=\ &(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}+(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}\\\phi _{5}=\ &(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+\\\ &(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{21}+\eta _{03})[3(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]\\\phi _{6}=\ &(\eta _{20}-\eta _{02})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+4\eta _{11}(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})\\\phi _{7}=\ &(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+\\\ &(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})[3(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}].\end{aligned}}$

### Proprietà

* Il momento φ$_1$ è analogo al momento di inerzia intorno al centroide dell'immagine in cui le intensità dei pixel sono analoghe a densità fisiche.
* I primi sei momenti sono anche invarianti rispetto a riflessione. Per distinguere immagini specchiate, è pertanto necessario utilizzare il momento φ$_7$.

## Altri momenti invarianti a rotazione

Una teoria generale per derivare un insieme completo di momenti invarianti a rotazione è stata proposta da J. Flusser e T. Suk. Essi hanno dimostrato che i tradizionali momenti di Hu non sono completi o comunque indipendenti. Dato che i momenti I$_2$ and I$_3$ non sono veramente indipendenti, essi propongono un ottavo momento:
    ${\begin{aligned}I_{8}=\ &\eta _{11}[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{03}+\eta _{21})^{2}]-(\eta _{20}-\eta _{02})(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{03}+\eta _{21})\end{aligned}}$