# Azione di gruppo

In algebra, un'azione di gruppo è una mappa che consente di mettere in relazione gli elementi di un gruppo con quelli di un altro insieme. È così possibile ottenere una corrispondenza tra le proprietà del gruppo e quelle dell'insieme (che può, a seconda dei casi, essere dotato di altre strutture, per esempio strutture algebriche).

## Definizione

Siano G un gruppo ed A un insieme. Si dice azione di gruppo (ovvero G-azione) una funzione:
    $G\times A\longrightarrow A$
    $(g,a)\mapsto g\cdot a,$
dove $\cdot$ è definita in modo tale da verificare le due seguenti condizioni:
* $1_{G}\cdot a=a\quad \forall a\in A;$
* $g\cdot (h\cdot a)=(gh)\cdot a\quad \forall g,h\in G,\ a\in A.$
Quest'ultima proprietà non va confusa con quella associativa che è definita solo per elementi di uno stesso insieme, mentre g, h e a appartengono a insiemi diversi.
In letteratura, data una G-azione su un insieme A, si dice anche che il gruppo G agisce su A o che A è un G-insieme.

## Orbite

Data la relazione di equivalenza $\sim$ su $A$
    $x,y\in A,\ x\ \sim \ y\ \ {\rm {se}}\ \exists g\in G\ \ {\rm {t.c.}}\ \ y=g\cdot x$
le classi di equivalenza così definite si dicono orbite. Le orbite formano una partizione di $A$. L'orbita contenente l'elemento $x$ è data da
    $O(x)=\{g\cdot x\mid g\in G\}.$
Nel caso di un'azione di coniugio, le orbite prendono il nome di classi di coniugio.

### Numero di orbite

Se il gruppo finito $G$ agisce sull'insieme finito $A$, per il lemma di Burnside (dovuto a Frobenius) il numero di orbite di tale azione è pari a:
    ${\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|{\mbox{fix}}(g)|$
dove
    ${\mbox{fix}}(g)=\{a\in A:g\cdot a=a\}$
è l'insieme degli elementi di $A$ che sono lasciati fissi dall'elemento $g$ di $G$.

### Sistemi dinamici

Nell'analisi dei sistemi dinamici, l'evoluzione di un sistema dinamico viene formalizzata da un omomorfismo di gruppo $\alpha :G\to {\mbox{aut}}(A)$ che induce un'azione continua di un gruppo topologico G su un'algebra localmente convessa A. In tal caso le orbite sono le traiettorie compiute dal sistema nello spazio delle fasi.

## Stabilizzatore

Dato un punto $x$ in $A$, si definisce stabilizzatore di $x$ il sottogruppo di $G$ formato dagli elementi che fissano $x$:
    $G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}.$
Lo stabilizzatore è un sottogruppo di G.
Per un gruppo finito, l'orbita $O_{x}$ di un elemento $x$ conta tanti elementi quanti l'indice dello stabilizzatore $G_{x}$ in $G$. Vale allora la seguente formula per il calcolo dell'ordine di $G$:
    $|G|=|O_{x}|\cdot |G_{x}|.$
Una biiezione esplicita fra le classi laterali
    $M=\{gG_{x}\}_{x\in X,g\in G}$
e l'orbita $O(x)$ è data da:
    $O(x)\rightarrow M,$
    $g\cdot x\mapsto gG_{x}.$

## Azioni sinistre e destre

L'azione definita viene detta più propriamente azione a sinistra. Si può definire in maniera analoga un'azione a destra $A\times G\rightarrow A$ di $G$ su $A$, per la quale valgono risultati analoghi a quelli dell'azione a sinistra.

## Definizioni ulteriori

Un'azione è banale se
    $\forall g\in G,\forall x\in A:\,g\cdot x=x.$
Un'azione è fedele se ogni elemento di $G$ sposta almeno un punto di $A$:
    $\forall g\in G,g\neq e,\,\exists x\in A:\,g\cdot x\neq x.$
Un'azione è libera se gli stabilizzatori sono tutti banali:
    $\forall g\in G,g\neq e,\forall x\in A:\,g\cdot x\neq x.$
Un'azione è transitiva se esiste un'unica orbita:
    $\forall x,y\in A,\,\exists g\in G:\,y=g\cdot x.$
Un'azione è semplicemente transitiva se:
    $\forall x,y\in A,\,\exists !g\in G:\,y=g\cdot x.$
Un punto fisso è un elemento $x$ in $A$ che è lasciato invariato da tutti gli elementi di $G$, ovvero la sua orbita si riduce al solo elemento $\{x\}$:
    $g\cdot x=x,\,\forall g\in G.$
Si hanno analoghe definizioni per le azioni destre. Inoltre, si noti che ogni azione libera è fedele e un'azione è semplicemente transitiva se e solo se è libera e transitiva.

## Azioni e permutazioni

Se $\cdot$ è un'azione del gruppo $G$ sull'insieme non vuoto $X$ allora per ogni $g\in G$ la funzione $\pi _{g}:X\to X:x\mapsto g\cdot x$ è una permutazione di $X$, in effetti l'insieme $S:=\{\pi _{g}:g\in G\}$ costituisce un sottogruppo del gruppo simmetrico di $X$. In particolare $S$ è isomorfo a $G$ se e solo se l'azione è fedele.

## Esempi

* Ogni gruppo agisce su se stesso, tramite traslazione:
    $G\times G\rightarrow G,$
    $(g,x)\mapsto g\cdot x.$
* Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita $n$. Si consideri il gruppo delle funzioni lineari invertibili $\mathrm {GL} _{n}(V)$. Allora
    $\mathrm {GL} _{n}(V)\times V\rightarrow V,$
    $(f,v)\mapsto f\cdot v:=f(v),$
è un'azione di $\mathrm {GL} _{n}(V)$ su $V.$

## Azioni su spazi topologici

Supponiamo ora che $A$ sia uno spazio topologico. Sia $X$ lo spazio delle orbite dotato della topologia quoziente e sia $p$ la proiezione naturale
    $p:A\to X\,\!.$
Per definizione di topologia quoziente la mappa $p$ è una funzione continua.

### Azioni e rivestimenti

Un caso molto studiato in topologia è quello in cui la mappa $p$ è un rivestimento. Affinché questo accada, sono necessarie alcune ipotesi sull'azione.
L'azione è detta propriamente discontinua se per ogni coppia di sottoinsiemi compatti $H$ e $K$ di $A$ l'intersezione
    $gH\cap K\,\!$
è non vuota solo per un numero finito di elementi $g$ del gruppo $G$.
Se $A$ è uno spazio di Hausdorff localmente compatto, le condizioni seguenti sono equivalenti.
* $G$ agisce in modo libero e propriamente discontinuo.
* $X$ è di Hausdorff e ogni $x$ in $A$ ha un intorno aperto $U$ tale che
    $gU\cap U=\emptyset$
per ogni $g$ in $G$.
* $X$ è di Hausdorff e la proiezione $p:A\to X$ è un rivestimento.

### Esempi

Il gruppo ${\mathbb {Z} }_{2}\equiv {\mathbb {Z} }/{2\mathbb {Z} }=\{0,1\}$ agisce sulla sfera $S^{n}$: si associa all'elemento "1" la mappa antipodale. L'azione è libera e propriamente discontinua. Lo spazio quoziente è lo spazio proiettivo reale $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}$.