# Decomposizione polare

In matematica, in particolare in algebra lineare e analisi funzionale, la decomposizione polare di una matrice o di un operatore lineare continuo è una fattorizzazione analoga alla forma polare di un numero complesso.

## Decomposizione di una matrice

La decomposizione polare di una matrice quadrata $A$ è una fattorizzazione della forma:
    $A=UP$
dove $U$ è una matrice unitaria e $P$ è una matrice hermitiana semidefinita positiva. Intuitivamente, questa decomposizione separa la matrice in una componente $P$ che dilata lo spazio lungo un insieme di assi ortonormali e una componente $U$ che rappresenta una rotazione. La decomposizione della complessa coniugata ${\overline {A}}$ di $A$ è data da ${\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}$.
Si tratta di una decomposizione che è sempre possibile. Se $A$ è una matrice invertibile, la decomposizione è unica e $P$ è definita positiva. Si nota che:
    $\det A=\det U\,\det P=re^{i\theta }$
fornisce la corrispondente decomposizione del determinante di $A$, dal momento che $\det P=r=|\det A|$ e $\det U=e^{i\theta }$.
La matrice $P$ è sempre unica, ed è data da:
    $P={\sqrt {A^{*}A}}$
dove $A^{*}$ è la trasposta coniugata di $A$. Se $A$ è invertibile, allora $U$ è data da:
    $U=AP^{-1}$
Relativamente alla decomposizione ai valori singolari $A=W\Sigma V^{*}$ di $A$, si ha:
    $P=V\Sigma V^{*}\qquad U=WV^{*}$
il che conferma che $P$ è definita positiva e $U$ è unitaria.
Si può anche decomporre $A$ nella forma:
    $A=P'U$
dove $U$ è la medesima e $P'$ è data da:
    $P'=UPU^{-1}={\sqrt {AA^{*}}}=W\Sigma W^{*}$
La matrice $A$ è normale se e solo se $P'=P$. In tal caso, $U\Sigma =\Sigma U$ ed è possibile diagonalizzare $U$ con una matrice che commuta con $\Sigma$ e che è simile ad $U$ per mezzo di una matrice unitaria.

## Decomposizione di un operatore lineare

La decomposizione polare di matrici viene generalizzata al caso degli operatori lineari limitati. Detto $A$ un operatore lineare limitato tra spazi di Hilbert, la sua decomposizione polare è una fattorizzazione canonica $A=UP$ come prodotto di un'isometria parziale $U$ e di un operatore autoaggiunto non-negativo $P$ per i quali il nucleo coincide con il nucleo di $A$.
Il motivo per cui $U$ è un'isometria parziale, e non un operatore unitario, è che se $A$ è lo shift unilaterale su $l^{2}(\mathbb {N} )$ allora $|A|=(A^{*}A)^{1/2}=I$, quindi se $A=U|A|$ allora $U$ deve essere $A$, che non è unitario.
L'esistenza della decomposizione polare è una conseguenza del lemma di Douglas: se $A$ e $B$ sono operatori limitati su uno spazio di Hilbert $H$ e $A^{*}A\leq B^{*}B$, allora esiste una contrazione $C$ tale che $A=CB$. Inoltre, $C$ è unico se $\ker(B^{*})\subset \ker(C)$. L'operatore $C$ può essere definito dalla relazione:
    $C(Bh)\equiv Ah\qquad \forall h\in H$
e può essere esteso sia alla chiusura dell'immagine di $B$, sia al complemento ortogonale di $H$. Il lemma è valido anche in tal caso poiché $A^{*}A\leq B^{*}B$ implica $\ker(A)\subset \ker(B)$. In particolare, se $A^{*}A=B^{*}B$ allora $C$ è un'isometria parziale che è unica se $\ker(B^{*})\subset \ker(C)$.
In generale, per ogni operatore limitato $A$:
    $A^{*}A=(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}$
e dal lemma si ha:
    $A=U(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}$
per qualche isometria parziale $U$. Se $P=(A^{*}A)^{1/2}$ si ottiene la decomposizione polare $A=UP$.

### Operatori non limitati

Nel caso in cui $A$ sia un operatore chiuso, densamente definito tra spazi di Hilbert complessi, ma che non è limitato, allora esiste comunque un'(unica) decomposizione polare:
    $A=U|A|$
dove $|A|$ è un operatore autoaggiunto non-negativo che può essere non limitato, e che possiede lo stesso dominio di $A$, mentre $U$ è un'isometria parziale che si annulla sul complemento ortogonale dell'immagine di $|A|$.

## Quaternioni

La decomposizione polare di quaternioni $H$ dipende dalla "sfera" $\lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace$ di radici quadrate di -1: dato un $r$ sulla sfera ed un angolo $-\pi <a\leq \pi$, il versore $e^{ar}=\cos(a)+r\ \sin(a)$ è sulla 3-sfera di $H$. Per $a=0$ e $a=\pi$, il versore è 1 o -1 a seconda di quale $r$ si sceglie. La norma $t$ di un quaternione $q$ è la distanza euclidea di $q$ dall'origine. Quando un quaternione non è solo un numero reale allora vi è un'unica decomposizione polare:
    $q=te^{ar}$