# Integrale di Riemann-Stieltjes

In analisi matematica, l'integrale di Riemann-Stieltjes è una generalizzazione dell'integrale di Riemann. L'integrale prende il nome dai matematici Bernhard Riemann e Thomas Joannes Stieltjes.
Una generalizzazione di questo operatore è data dall'integrale di Lebesgue-Stieltjes.

## Definizione

Date due funzioni di variabile reale $f,\,g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, sia $x_{0}=a<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{i}<\ldots <x_{n}=b$ una partizione dell'intervallo $[a,b]\subset \mathbb {R}$. Da ognuno dei sottointervalli definiti dalla partizione si consideri un punto $c_{i}\in \left[x_{i},x_{i+1}\right]$. Il calibro $\delta (P)$ della partizione $P$ è la massima ampiezza tra i sottointervalli della partizione:
    $\delta (P)=\max _{x_{i}\in P}|x_{i+1}-x_{i}|$
L'integrale di Riemann-Stieltjes di $f$ rispetto a $g$, denotato da:
    $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} g(x)$
è definito come il seguente limite:
    $\lim _{\delta (P)\rightarrow 0}\sum _{x_{i}\in P}f(c_{i})(g(x_{i+1})-g(x_{i}))$
se esso esiste indipendentemente dalla scelta dei punti $c_{i}$. La funzione $f$ è definita integranda, mentre $g$ è la funzione integratrice.
Esistono diversi teoremi riguardanti l'esistenza del limite sopra definito; la condizione di esistenza più semplice stabilisce che la funzione integranda sia continua, e la funzione integratrice sia a variazione limitata; quest'ultima condizione equivale a chiedere che $g$ sia la differenza di due funzioni monotone. Un'altra condizione di esistenza è che le due funzioni non condividano alcuno punto di discontinuità.

## Legami con gli altri tipi di integrali

Perché l'integrale sopra definito esista, sono richieste condizioni più deboli rispetto a quelle dell'integrale di Riemann. Se la funzione $g$ è di classe $C^{1}$, ovvero derivabile e con derivata continua, l'integrale sopra definito coincide con l'integrale di Riemann:
    $\int _{a}^{b}f(x)g^{\prime }(x)\mathrm {d} x$
In generale, tuttavia, la funzione integratrice può presentare discontinuità di salto o altre irregolarità che rendono impossibile utilizzare l'espressione che contiene la sua derivata (come ad esempio nel caso della funzione di Cantor). È così possibile estendere la nozione di integrabilità anche a molti casi non trattabili tramite l'integrale di Riemann. Inoltre, per l'integrale di Riemann-Stieltjes valgono tutte le usuali proprietà dell'integrale di Riemann.
È possibile estendere ancora la classe delle funzioni integrabili, considerando l'integrale di Lebesgue; tuttavia se si ammettono integrali impropri, quest'ultimo non può essere considerato in senso stretto come una generalizzazione dell'integrale di Riemann-Stieltjes. L'integrale di Lebesgue-Stieltjes costituisce la generalizzazione degli integrali di Riemann-Stieltjes e Lebesgue.

## Applicazioni

L'integrale di Riemann-Stiltjes trova applicazione in molti campi della matematica e della fisica, laddove si incontrano funzioni non integrabili secondo Riemann.

### Fisica

In fisica è possibile esprimere numerose quantità per mezzo di integrali; ad esempio, la massa di un oggetto può essere espressa come somma infinita delle infinitesime masse che la compongono, o del prodotto tra densità e volume:
    $M=\int \mathrm {d} \mu =\int \rho \mathrm {d} V$
La prima espressione ha tuttavia significato solo se la massa ha una distribuzione continua nello spazio; la seconda, se calcolata come integrale di Riemann-Stieltjes, consente di dare significato all'integrale anche nel caso di distribuzioni di massa discontinue (ad esempio puntiformi).

### Distribuzioni di probabilità

Si consideri una funzione di ripartizione $g$ di una variabile aleatoria $X$; la derivata di $g$ è la sua densità di probabilità. Data una funzione $f$ per cui il valore atteso $E(|f(X)|)$ è finito, vale la formula:
    $E(f(X))=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)g^{\prime }(x)\mathrm {d} x$
Se per la variabile aleatoria $X$ non è possibile definire una funzione di densità di probabilità (ad esempio se $X$ ha una distribuzione discreta), non è possibile applicare la formula precedente; utilizzando l'integrale di Riemann-Stieltjes, si può invece esprime il valore atteso di $f(X)$ come:
    $E(f(X))=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} g$
per qualunque distribuzione cumulativa di probabilità.

### Analisi funzionale

Lo spazio duale dello spazio di Banach delle funzioni continue $C[a,b]$ sull'intervallo $[a,b]\subset \mathbb {R}$ si può rappresentare come lo spazio formato dagli integrali di Riemann-Stieltjes rispetto a funzioni a variazione limitata.