# Metodo delle variazioni delle costanti

In analisi matematica, il metodo di variazione delle costanti o metodo di Lagrange è una procedura generale che consente di determinare l'integrale generale di un'equazione differenziale lineare di qualunque ordine e qualunque sia la funzione continua $f(t)$ che costituisce il termine noto. Questo metodo risulta applicabile laddove si riescano a determinare n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata e delle primitive di opportune funzioni che forniscono la soluzione di un sistema.
Il metodo è qui illustrato inizialmente per equazioni del primo e del secondo ordine, e quindi generalizzato a equazioni di ordine n arbitrario. La variabile da cui dipende la funzione incognita $y$ è chiamata in tutti gli esempi $t$.

## Equazioni del primo ordine

Una equazione differenziale lineare del primo ordine in forma normale è del tipo:
    $y'(t)+a(t)y(t)=f(t)$.
Il metodo di variazione delle costanti consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:
    $\displaystyle {\tilde {y}}(t)=c(t)e^{-A(t)}$.
Tale forma è suggerita dalla soluzione $y_{o}(t)$ dell'equazione omogenea associata:
    $y'(t)+a(t)y(t)=0$
che, per separazione delle variabili, si ottiene essere nella forma:
    $y_{o}(t)=Ce^{-A(t)}$,
dove $A(t)$ è una primitiva di $a(t)$ e $C$ è una costante arbitraria. Il motivo per cui il metodo si chiama così è dovuto al fatto che, per la soluzione dell'equazione completa, la costante $C$ viene trasformata in una funzione del tempo $c(t)$ da determinare.
Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di ${\tilde {y}}(t)$ nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:
    ${\tilde {y}}'(t)=c'(t)y(t)+c(t)y'(t)$
Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:
    $c'(t)y(t)+c(t)y'(t)+a(t){\tilde {y}}=f(t)$,
da cui, sostituendo:
    $c'(t)e^{-A(t)}-c(t)a(t)e^{-A(t)}+c(t)a(t)e^{-A(t)}=f(t)$.
Semplificando si ottiene:
    $c'(t)e^{-A(t)}=f(t)$.
Moltiplicando ambo i membri per $e^{A(t)}$ e integrando si ha:
    $c(t)=\int f(t)e^{A(t)}dt+D$,
dove $D$ è una costante arbitraria. Pertanto si ottiene l'insieme di soluzioni particolari:
    ${\tilde {y}}=c(t)e^{-A(t)}=e^{-A(t)}\int f(t)e^{A(t)}dt+De^{-A(t)}$
in cui si può scegliere la soluzione particolare più semplice, cioè quella in cui $D=0$.
L'integrale generale è ottenuto sommando tale soluzione particolare ${\tilde {y}}(t)$ alla soluzione $y_{o}(t)$ dell'equazione omogenea associata ricavata in precedenza, ottenendo:
    $y(t)={\tilde {y}}(t)+y_{o}(t)=e^{-A(t)}\int f(t)e^{A(t)}dt+Ce^{-A(t)}$.
A questo punto l'unica difficoltà è il calcolo di un integrale che può non essere immediato, o, addirittura, non risolvibile con metodi analitici.
Si riconosce immediatamente la coerenza con due casi particolari. Per l'equazione omogenea, ponendo $f(t)=0$ si ottiene $y(t)=Ce^{-A(t)}$, che ne è soluzione; nel caso di coefficiente costante $a(t)=A$ si riconosce che la soluzione è in termini dell'esponenziale $e^{-At}$.

### Esempio

Per integrare l'equazione
    $y'+2ty=t$
è sufficiente riconoscere che $a(t)=2t$ (la cui primitiva è $A(t)=t^{2}$), che $f(t)=t$ e sostituire nell'integrale generale ottenendo la soluzione generale:
    $y(t)=e^{-t^{2}}\int te^{t^{2}}dt+Ce^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}e^{-t^{2}}e^{t^{2}}+Ce^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}+Ce^{-t^{2}}$
che può essere verificata per sostituzione nell'equazione differenziale data. Eventuali condizioni aggiuntive possono poi essere utilizzate per ottenere il valore di $C$.

## Equazioni del secondo ordine

Una equazione differenziale del secondo ordine è del tipo:
    $y''(t)+a(t)y'(t)+b(t)y(t)=f(t)$
Il metodo di variazione delle costanti in questo caso consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:
    $\displaystyle {\tilde {y}}=c_{1}(t)y_{1}(t)+c_{2}(t)y_{2}(t)$
costruite a partire da due soluzioni $y_{1}(t)$ e $y_{2}(t)$ dell'equazione omogenea associata:
    $y''(t)+a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0$
Poiché spesso l'equazione omogenea associata è di più semplice risoluzione, questo metodo risulta essere utile in molti casi concreti.
Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di ${\tilde {y}}$ nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:
    ${\tilde {y}}'(t)=c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)+c_{1}(t)y_{1}'(t)+c_{2}(t)y_{2}'(t)$
Al fine di semplificare i calcoli, si impone la condizione seguente:
    $c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)=0$
Questo fa sì che risulti:
    ${\tilde {y}}'=c_{1}(t)y_{1}'(t)+c_{2}(t)y_{2}'(t)$
e di conseguenza:
    ${\tilde {y}}''=c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)+c_{1}(t)y_{1}''(t)+c_{2}(t)y_{2}''(t)$
Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:
    $(c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)+c_{1}(t)y_{1}''(t)+c_{2}(t)y_{2}''(t))+a(c_{1}(t)y_{1}'(t)+c_{2}(t)y_{2}'(t))+b(c_{1}(t)y_{1}(t)+c_{2}(t)y_{2}(t))=f(t)$
e quindi:
    $c_{1}(t)(y_{1}''(t)+ay_{1}'(t)+by_{1}(t))+c_{2}(t)(y_{2}''(t)+ay_{2}'(t)+by_{2}(t))+(c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t))=f(t)$
I primi due addendi sono identicamente nulli, poiché $y_{1}(t)$ e $y_{2}(t)$ sono soluzioni dell'equazione omogenea, quindi il tutto si riduce a:
    $c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)=f(t)$
Tutto ciò porta allo studio del sistema lineare di due equazioni nelle incognite $c_{1}'$ e $c_{2}'$:
    $\left\{{\begin{matrix}c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)=0\\c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)=f(t)\end{matrix}}\right.$
Il determinante della matrice:
    $\left({\begin{matrix}y_{1}(t)&y_{2}(t)\\y_{1}'(t)&y_{2}'(t)\end{matrix}}\right)$
è il wronskiano di $y_{1}(t)$ e $y_{2}(t)$: questo è nullo se e solo se le due soluzioni sono dipendenti. Ne segue che in questo caso non è mai nullo, ed il sistema ha sempre una soluzione, data da:
    $c_{1}'(t)={\frac {-y_{2}(t)f(t)}{y_{2}'(t)y_{1}(t)-y_{1}'(t)y_{2}(t)}}\qquad \qquad c_{2}'(t)={\frac {y_{1}(t)f(t)}{y_{2}'(t)y_{1}(t)-y_{1}'(t)y_{2}(t)}}$
Integrando $c_{1}'(t)$ e $c_{2}'(t)$ si può ottenere a scelta o una soluzione particolare dell'equazione di partenza (integrando definitamente) o l'integrale generale dell'equazione di partenza (integrando indefinitamente).

## Equazioni di ordine n

Nel caso di equazioni di ordine n:
    $y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots +a_{0}(t)y(t)=f(t)$
si considerano le n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea e si cerca una soluzione particolare dell'equazione nella forma:
    ${\tilde {y}}=c_{1}(t)y_{1}(t)+c_{2}(t)y_{2}(t)+\cdots +c_{n}(t)y_{n}(t)$
Si risolve quindi il sistema lineare nelle n incognite $c_{i}'(t)$:
    ${\begin{cases}c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)+\cdots +c_{n}'(t)y_{n}(t)=0\\c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)+\cdots +c_{n}'(t)y_{n}'(t)=0\\\cdots \cdots \cdots \cdots \\c_{1}'(t)y_{1}^{(n-2)}(t)+c_{2}'(t)y_{2}^{(n-2)}(t)+\cdots +c_{n}'(t)y_{n}^{(n-2)}(t)=0\\c_{1}'(t)y_{1}^{(n-1)}(t)+c_{2}'(t)y_{2}^{(n-1)}(t)+\cdots +c_{n}'(t)y_{n}^{(n-1)}(t)=f(t)\end{cases}}$
Il determinante di questo sistema viene detto determinante wronskiano e, come sopra, si può dimostrare che è sempre non nullo a partire dall'indipendenza delle soluzioni dell'equazione omogenea. Si determinano le funzioni incognite integrando gli n termini soluzioni del sistema di cui sopra, per ricavare l'integrale generale dell'equazione.
Nello specifico, data un'equazione ordinaria lineare non omogenea:
    $y^{(n)}(t)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(t)y^{(i)}(t)=b(t)$
sia $y_{1}(t),\ldots ,y_{n}(t)$ un sistema fondamentale di soluzioni della corrispondente equazione omogenea:
    $y^{(n)}(t)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(t)y^{(i)}(t)=0$
Allora una soluzione particolare dell'equazione non omogenea è data da:
    $y_{p}(t)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(t)y_{i}(t)$
dove $c_{i}(t)$ sono funzioni differenziabili che si assume soddisfino le condizioni:
    $\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(t)y_{i}^{(j)}(t)=0\qquad j=0,\ldots ,n-2$
Considerando la soluzione particolare dell'equazione omogenea, differenziando ripetutamente e utilizzando le condizioni precedenti:
    $y_{p}^{(j)}(t)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(t)y_{i}^{(j)}(t)\qquad j=0,\ldots ,n-1$
Con un'ultima differenziazione si ha:
    $y_{p}^{(n)}(t)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(t)y_{i}^{(n-1)}(t)+\sum _{i=1}^{n}c_{i}(t)y_{i}^{(n)}(t)$
Sostituendo quindi la soluzione particolare nell'equazione di partenza e applicando le ultime due relazioni si ottiene:
    $\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(t)y_{i}^{(n-1)}(t)=b(t)$
Questa equazione e la precedente sono sistemi lineari che possono essere risolti con la regola di Cramer:
    $c_{i}'(t)={\frac {W_{i}(t)}{W(t)}}\qquad i=1,\ldots ,n$
dove $W(t)$ è il wronskiano del sistema fondamentale di soluzioni e $W_{i}(t)$ è il wronskiano del sistema fondamentale con l'i-esima colonna rimpiazzata da $(0,0,\ldots ,b(t))$.
La soluzione particolare dell'equazione non omogenea può essere scritta come:
    $y_{p}(t)=\sum _{i=1}^{n}y_{i}(t)\,\int {\frac {W_{i}(t)}{W(t)}}dt$