# Teorema di convoluzione

In matematica, il teorema di convoluzione afferma che sotto opportune condizioni la trasformata di Laplace, così come la trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni è il prodotto delle trasformate delle funzioni stesse. Questo teorema ha importanti risvolti nell'analisi dei segnali, in particolare nell'ambito delle reti lineari.

## Enunciato

Siano $f$ e $g$ due funzioni la cui convoluzione è indicata da $f*g$. Sia ${\mathcal {F}}$ l'operatore trasformata di Fourier, sicché ${\mathcal {F}}\{f\}$ e ${\mathcal {F}}\{g\}$ sono le trasformate di $f$ e $g$ rispettivamente. Allora:
    ${\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}$
dove $\cdot$ denota la moltiplicazione. Si ha anche che:
    ${\mathcal {F}}\{f\cdot g\}={\mathcal {F}}\{f\}*{\mathcal {F}}\{g\}$
Applicando la trasformata inversa ${\mathcal {F}}^{-1}$, si ottiene:
    $f*g={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}{\big \}}$
Si noti che la relazione è valida esclusivamente per le forme della trasformata mostrate nella dimostrazione riportata in seguito. Il teorema è valido anche per la trasformata di Laplace.

## Dimostrazione

La dimostrazione presentata è mostrata per una particolare normalizzazione della trasformata di Fourier: nei casi in cui la normalizzazione sia differente, nella derivazione compare un fattore scalare.
Siano $f$, $g$ appartenenti a $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$. Sia $F$ la trasformata di Fourier di $f$ e $G$ la trasformata di $g$:
    $F(\nu )={\mathcal {F}}\{f\}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,\mathrm {d} x$
    $G(\nu )={\mathcal {F}}\{g\}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,\mathrm {d} x$
dove il punto tra $x$ e $\nu$ indica il prodotto interno a $\mathbb {R} ^{n}$. Sia $h$ la convoluzione di $f$ e $g$:
    $h(z)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,\mathrm {d} x$
Si nota che:
    $\int \!\!\int |f(x)g(z-x)|\,dx\,dz=\int |f(x)|\int |g(z-x)|\,dx\,dz=\int |f(x)|\,\|g\|_{1}\,dx=\|f\|_{1}\|g\|_{1}$
e quindi, per il teorema di Fubini, si ha che $h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, e dunque la sua trasformata $H$ è definita dalla formulazione integrale:
    ${\begin{aligned}H(\nu )={\mathcal {F}}\{h\}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(z)e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,dx\,e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz\end{aligned}}$
Dal momento che:
    $|f(x)g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \nu }|=|f(x)g(z-x)|$
grazie a quanto detto sopra si può applicare nuovamente il teorema di Fubini:
    $H(\nu )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz\right)\,dx$
Sostituendo $y=z-x$ si ha quindi $dy=dz$, e dunque:
    $H(\nu )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} }g(y)e^{-2\pi i(y+x)\cdot \nu }\,dy\right)\,dx$
       $=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \nu }\,dy\right)\,dx$
       $=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \nu }\,dy$
Questi due integrali definiscono $F(\nu )$ e $G(\nu )$, così:
    $H(\nu )=F(\nu )\cdot G(\nu )$
come si voleva dimostrare.

## Convoluzione discreta

Si può mostrare in modo simile che la convoluzione discreta di due successioni $x$ e $y$ è data da:
    $x*y=\scriptstyle {DTFT}^{-1}\displaystyle {\big\scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{x\}\cdot \ \scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{y\}{\big ]}$
dove $\scriptstyle {DTFT}$ è la trasformata di Fourier a tempo discreto.
Un importante caso particolare è la convoluzione circolare di $x$ e $y$ definita da $x_{N}*y$, dove $x_{N}$ è una sommazione periodica:
    $x_{N}[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN]$
Si può allora mostrare che:
    ${\begin{aligned}x_{N}*y&=\scriptstyle {DTFT}^{-1}\displaystyle {\big\scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{x_{N}\}\cdot \scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{y\}{\big ]}\\&=\scriptstyle {DFT}^{-1}\displaystyle {\big\scriptstyle {DFT}\displaystyle \{x_{N}\}\cdot \scriptstyle {DFT}\displaystyle \{y_{N}\}{\big ]}\end{aligned}}$
dove $\scriptstyle {DFT}$ è la trasformata discreta di Fourier. Infatti, $\scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{x_{N}\}$ può essere scritta come:
    $\scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{x_{N}\}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {DFT}\displaystyle \{x_{N}\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right)$
così che il suo prodotto con $\scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{y\}(f)$ è una funzione discreta:
    $\scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{x_{N}\}\cdot \scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{y\}={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\scriptstyle {DFT}\displaystyle \{x_{N}\}[k]\cdot \underbrace {\scriptstyle {DTFT}\displaystyle \{y\}(k/N)} _{\scriptstyle {DFT}\displaystyle \{y_{N}\}[k]}\cdot \delta \left(f-k/N\right)$
La DTFT inversa è:
    ${\begin{aligned}(x_{N}*y)[n]&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\scriptstyle {DFT}\displaystyle \{x_{N}\}[k]\cdot \scriptstyle {DFT}\displaystyle \{y_{N}\}[k]\cdot \delta \left(f-k/N\right)\cdot e^{i2\pi fn}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\scriptstyle {DFT}\displaystyle \{x_{N}\}[k]\cdot \scriptstyle {DFT}\displaystyle \{y_{N}\}[k]\cdot \int _{0}^{1}\delta \left(f-k/N\right)\cdot e^{i2\pi fn}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\scriptstyle {DFT}\displaystyle \{x_{N}\}[k]\cdot \scriptstyle {DFT}\displaystyle \{y_{N}\}[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k}\\&=\scriptstyle {DFT}^{-1}\displaystyle {\big\scriptstyle {DFT}\displaystyle \{x_{N}\}\cdot \scriptstyle {DFT}\displaystyle \{y_{N}\}{\big ]}\end{aligned}}$
come si voleva dimostrare.