# Raggio di Einstein

Il raggio di Einstein è il raggio di un anello di Einstein, ed è importante nello studio delle lenti gravitazionali, poiché le distanze tipiche tra le immagini nelle lenti gravitazionali sono dell'ordine del raggio di Einstein.

## Derivazione

Nella derivazione seguente del raggio di Einstein si assume che tutta la massa M della galassia L che agisce da lente sia concentrata nel centro della galassia (massa puntuale).
Per una massa puntuale la deflessione può essere calcolata ed è uno dei classici test della teoria della relatività generale. Per angoli piccoli α$_1$ la deflessione totale dovuta ad una massa puntuale M è data (vedi metrica di Schwarzschild) da
    $\alpha _{1}={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{b_{1}}}$
dove
    b$_1$ è il parametro di impatto (la distanza di massimo avvicinamento della traiettoria del fascio di luce al centro di massa)
    G è la costante gravitazionale,
    c è la velocità della luce.
Si nota che, per angoli piccoli e con l'angolo espresso in radianti, il punto b$_1$ di minima distanza dalla lente L, che forma un angolo θ$_1$ con la lente L a una distanza d$_L$ è dato da b$_1$ = θ$_1$ d$_L$; possiamo quindi esprimere l'angolo di curvatura α$_1$ come
    $\alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{\theta _{1}}}{\frac {1}{d_{\rm {L}}}}$ (eq. 1)
Se impostiamo θ$_S$ come l'angolo sotto al quale l'osservatore vedrebbe la sorgente senza la lente (la quale di solito non è osservabile), e θ$_1$ come l'angolo osservato dell'immagine della sorgente rispetto alla lente, allora dalla geometria delle lenti si ricava (calcolando le distanze nel piano della sorgente) che la distanza verticale spazzata dall'angolo θ$_1$ ad una distanza d$_S$ è la stessa della somma delle due distanze verticali θ$_S$ d$_S$ e α$_1$ d$_{LS}$. Questa è l'equazione della lente
    $\theta _{1}\;d_{\rm {S}}=\theta _{\rm {S}}\;d_{\rm {S}}+\alpha _{1}\;d_{\rm {LS}}$
che può essere riscritta in funzione di θ$_1$
    $\alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {d_{\rm {S}}}{d_{\rm {LS}}}}(\theta _{1}-\theta _{\rm {S}})$ (eq. 2)
Imponendo l'uguaglianza delle due equazioni e facendo i calcoli, otteniamo
    $\theta _{1}-\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{1}}}\;{\frac {d_{\rm {LS}}}{d_{\rm {S}}d_{\rm {L}}}}$
Per una sorgente situata dietro la lente, θ$_S$ = 0, e l'equazione della lente per una massa puntuale assegna un valore caratteristico a θ$_1$ che viene chiamato raggio di Einstein, indicato con θ$_E$. Imponendo θ$_S$ = 0 e risolvendo per θ$_1$ si ottiene
    $\theta _{E}=\left({\frac {4GM}{c^{2}}}\;{\frac {d_{\rm {LS}}}{d_{\rm {L}}d_{\rm {S}}}}\right)^{1/2}$
Il raggio di Einstein per una massa puntuale fornisce una formula che rende adimensionali le variabili. In funzione del raggio di Einstein, l'equazione della lente per una massa puntuale diventa
    $\theta _{1}=\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{1}}}$
Sostituendo le costanti nell'equazione si ottiene
    $\theta _{E}=\left({\frac {M}{10^{11.09}M_{\bigodot }}}\right)^{1/2}\left({\frac {d_{\rm {L}}d_{\rm {S}}/d_{\rm {LS}}}{\rm {Gpc}}}\right)^{-1/2}{\rm {arcsec}}$
In questa ultima forma, la massa è espressa in masse solari M$_☉$ e le distanze in Gigaparsec (Gpc).
Per un denso ammasso di galassie con massa M$_c$ ≈ 10 × 10$^{15}$ M$_☉$ alla distanza di 1 Gigaparsec (1 Gpc) questo raggio potrebbe essere lungo anche 100 arcosecondi (macrolente gravitazionale). Nel caso invece di una microlente gravitazionale (con una massa dell'ordine di M$_☉$) ad una distanza di circa 3 Kiloparsec (3 kpc), il raggio di Einstein risultante sarebbe dell'ordine del milliarcosecondo. Di conseguenza sarebbe impossibile osservare le immagini delle microlenti gravitazionali con le tecniche attuali.
Allo stesso modo, per il raggio di luce inferiore che raggiunge l'osservatore da sotto la lente, abbiamo
    $\theta _{2}\;d_{\rm {S}}=-\;\theta _{\rm {S}}\;d_{\rm {S}}+\alpha _{2}\;d_{\rm {LS}}$
e
    $\theta _{2}+\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{2}}}\;{\frac {d_{\rm {LS}}}{d_{\rm {S}}d_{\rm {L}}}}$
e perciò
    $\theta _{2}=-\;\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{2}}}$
L'argomento trattato può essere esteso al caso di lenti che hanno una distribuzione di masse qualunque, invece che una massa puntuale, esprimendo diversamente l'angolo di curvatura α. Le posizioni θ$_I$(θ$_S$) delle immagini possono così essere calcolate. Per piccole deflessioni questa mappatura è univoca e consiste in distorsioni delle posizioni osservate che sono invertibili. Questa è chiamata lente gravitazionale debole (weak lensing). Nel caso di grandi deflessioni si possono avere immagini multiple e una mappatura non invertibile: questa è una lente gravitazionale forte (strong lensing). Bisogna infine osservare che per ottenere un anello di Einstein la distribuzione di massa deve essere assialsimmetrica.