# Teorema di unicità del limite

Il teorema di unicità del limite è un teorema di matematica, e più precisamente di analisi. Assume forme diverse a seconda dei contesti, ed in ciascuno di questi afferma che non possono esserci due limiti distinti. Si applica soprattutto a successioni e funzioni.

## Successioni
### Enunciato

Il teorema di unicità del limite per le successioni asserisce che
Una successione $\{a_{n}\}$ di numeri reali non può avere due limiti distinti.
In altre parole, se la successione ha un limite, questo è unico.

### Dimostrazione

Supponiamo che $l_{1},l_{2}$ siano limiti (finiti; in verità, si può facilmente eliminare tale restrizione) della successione $\{a_{n}\}$. Mostreremo che $l_{1}=l_{2}$.
Per la definizione di limite, per ogni $\varepsilon >0$ esistono $N_{1}$ ed $N_{2}$ tali che per ogni $i>N_{1}$ è vera $|a_{i}-l_{1}|<\varepsilon$, e per ogni $i>N_{2}$ è vera $|a_{i}-l_{2}|<\varepsilon$ . Sia $N$ il massimo tra $N_{1}$ e $N_{2}$. Allora per ogni $i>N$ abbiamo
    $|l_{1}-l_{2}|\leq |l_{1}-a_{i}|+|a_{i}-l_{2}|<2\varepsilon$
per la disuguaglianza triangolare. Quindi $|l_{1}-l_{2}|<2\varepsilon$ per ogni $\varepsilon >0$, e quindi $|l_{1}-l_{2}|=0$. Quindi $l_{1}=l_{2}$.

### Generalizzazioni

Il teorema vale (con analoga dimostrazione) anche per qualsiasi successione di punti in uno spazio metrico. Più in generale, vale in qualsiasi spazio topologico di Hausdorff.

## Funzioni
### Enunciato

Il teorema di unicità del limite per le funzioni asserisce che
Una funzione $f:X\to \mathbb {R}$ definita su un intervallo aperto $X$ dei numeri reali non può avere due limiti distinti in un punto $x_{0}$ di accumulazione per $X$.
In altre parole, se la funzione ha limite in $x_{0}$, questo è unico.

### Dimostrazione

Supponiamo che $l_{1},l_{2}$ siano limiti della funzione in $x_{0}$. Mostreremo che $l_{1}=l_{2}$, ragionando per assurdo e supponendo quindi che $l_{1}$ e $l_{2}$ siano distinti. Allora esistono due intorni $V_{1}$ di $l_{1}$ e $V_{2}$ di $l_{2}$ disgiunti.
Per definizione di limite, esistono due intorni $U_{1}$ e $U_{2}$ di $x_{0}$ per cui vale:
    $f(x)$ appartiene a $V_{1}$ per ogni $x$ in $U_{1}\cap X$ diverso da $x_{0}$,
    $f(x)$ appartiene a $V_{2}$ per ogni $x$ in $U_{2}\cap X$ diverso da $x_{0}$.
L'insieme $U_{1}\cap U_{2}$ è un altro intorno di $x_{0}$, quindi contiene un punto $x$ di $X$ diverso da $x_{0}$ perché $x_{0}$ è punto di accumulazione per $X$. Per questo punto, $f(x)$ è contemporaneamente in $V_{1}$ e $V_{2}$, che però sono disgiunti: questo è assurdo.

### Generalizzazioni

Il teorema vale (con analoga dimostrazione) anche per qualsiasi funzione $f:X\to Y$ fra spazi metrici, come ad esempio lo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ o un qualsiasi suo sottoinsieme. Più in generale, vale per funzioni fra spazi topologici, con l'ipotesi che il codominio $Y$ sia di Hausdorff.

## Osservazione

L'ipotesi nell'enunciato generale che il codominio sia uno spazio di Hausdorff (come $\mathbb {R} ^{n}$ con l'usuale topologia euclidea) è la chiave di tutto il teorema. Infatti in uno spazio non di Hausdorff in generale non vale l'unicità del limite. Basti vedere quest'esempio:
Sia $X=\mathbb {R}$ con la topologia euclidea, mentre $Y=(\mathbb {R} ,\mathrm {T} )$ con la topologia della semicontinuità inferiore, cioè i cui aperti sono le semirette destre; sia $f:X\to Y,f(x)=x^{2}$. Allora la funzione ammette infiniti limiti, in particolare:
    $\lim _{x\to 0}f(x)=a$, per ogni $a\leq 0$.
Infatti, scelto un qualsiasi $a\leq 0$, i suoi intorni sono gli insiemi del tipo $[a-r,+\infty )$, con $r$ > 0, dunque essi contengono l'immagine di un qualsiasi intorno dello 0 dato secondo la topologia euclidea, cioè degli intervalli $[-\varepsilon ,\varepsilon ]$, restringendo opportunamente il raggio $\varepsilon$.