# Teorema di scomposizione

Il teorema di scomposizione, anche detto teorema di Pellegrini, è un teorema delle reti lineari che permette di trasformare una generica rete N in un'altra N' che ne renda più semplice l'analisi e che evidenzi le sue proprietà principali.

## Enunciato

Siano e, h, u, w, q=q', e t=t' sei nodi arbitrari della rete N e sia $S$ un generatore indipendente di tensione o corrente posizionato tra e e h, mentre $U$ è la grandezza di uscita, sia essa una tensione o una corrente, relativa al ramo di immittenza $X_{u}$ connesso tra u e w. Venga adesso tagliata la connessione qq' e venga inserito un circuito a tre terminali ("TTC") tra i due nodi q e q' e il nodo t=t' come nella figura b ($W_{r}$ e $W_{p}$ sono quantità omogenee, tensioni o correnti, relative alle porte qt e q't=q't' del TTC).
Affinché le due reti N e N' siano equivalenti per ogni $S$, devono valere i due vincoli $W_{r}=W_{p}$ e ${\bar {W_{r}}}={\bar {W_{p}}}$, dove la barra sopra la lettera indica la quantità duale.
Il circuito a tre terminali sopracitato si può implementare, ad esempio, connettendo un generatore ideale indipendente di tensione o corrente $W_{p}$ tra q' e t' , e un'immittenza $X_{p}$ tra q e t.

## Funzioni di rete

Con riferimento alla rete N', si definiscono le seguenti funzioni di rete:
$A\equiv {\frac {U}{W_{p}}}|_{S=0}\!\,$ ; $\beta \equiv {\frac {W_{r}}{U}}|_{S=0}\!\,$ ; $X_{i}\equiv {\frac {W_{p}}{\bar {W_{p}}}}|_{S=0}\!\,$
$\gamma \equiv {\frac {U}{S}}|_{W_{p}=0}\!\,$ ; $\alpha \equiv {\frac {W_{r}}{S}}|_{W_{p}=0}\!\,$ ; $\rho \equiv {\frac {\bar {W_{p}}}{S}}|_{W_{p}=0}\!\,$
dalle quali, per il principio di sovrapposizione degli effetti, si ha:
$W_{r}=\alpha S+\beta AW_{p}$
${\bar {W_{p}}}=\rho S+{\frac {W_{p}}{X_{i}}}$.
Pertanto, il primo vincolo per l'equivalenza delle reti è soddisfatto se $W_{p}={\frac {\alpha }{1-\beta A}}S$.
Inoltre,
${\bar {W_{r}}}={\frac {W_{r}}{X_{p}}}$
${\bar {W_{p}}}=\left({\frac {1}{X_{i}}}+{\frac {\rho }{\alpha }}(1-\beta A)\right)W_{r}$
quindi il secondo vincolo per l'equivalenza delle reti vale se ${\frac {1}{X_{p}}}={\frac {1}{X_{i}}}+{\frac {\rho }{\alpha }}(1-\beta A)$

## Funzione di trasferimento

Considerando l'espressione delle funzioni di rete $\gamma$ e $A$, il primo vincolo per l'equivalenza delle reti, e che, per il principio di sovrapposizione degli effetti, $U=\gamma S+AW_{p}$, la funzione di trasferimento $A_{f}\equiv {\frac {U}{S}}$ è data da
$A_{f}={\frac {\alpha A}{1-\beta A}}+\gamma$.
Nel caso in cui il circuito in esame sia un amplificatore reazionato, le funzioni di rete $\alpha$, $\gamma$ e $\rho$ tengono conto delle non idealità di tale amplificatore. In particolare:
* $\alpha$ tiene conto della non idealità della rete di confronto in ingresso
* $\gamma$ tiene conto della non unidirezionalità della catena di reazione
* $\rho$ tiene conto della non unidirezionalità della catena di amplificazione.
Se possiamo considerare ideale tale amplificatore, ovvero se $\alpha =1$, $\rho =0$ e $\gamma =0$, la funzione di trasferimento si riduce alla nota espressione derivante dalla teoria classica della reazione:
$A_{f}={\frac {A}{1-\beta A}}$.

## Calcolo dell'impedenza e dell'ammettenza tra due nodi

Tramite il teorema di scomposizione il calcolo dell'impedenza (o dell'ammettenza) tra due nodi risulta abbastanza semplificato.

### Impedenza

Inseriamo un generico generatore $S$ tra i nodi j=e=q e k=h tra i quali vogliamo calcolare l'impedenza $Z$. Effettuando un taglio come in figura, notiamo che l'immittenza $X_{p}$ risulta in serie con $S$ ed è percorsa dalla stessa corrente erogata da $S$. Se scegliamo una sorgente di tensione in ingresso $V_{s}=S$ e, come conseguenza, una corrente $I_{s}={\bar {S}}$, e un'impedenza $Z_{p}=X_{p}$, possiamo fare le seguenti considerazioni:
$Z={\frac {V_{s}}{I_{s}}}={\frac {V_{s}}{I_{r}}}=Z_{p}{\frac {V_{s}}{V_{r}}}=Z_{p}{\frac {V_{s}}{V_{p}}}=Z_{p}{\frac {1-\beta A}{\alpha }}$.
Considerando che $\alpha ={\frac {V_{r}}{V_{s}}}|_{V_{p}=0}={\frac {Z_{p}}{Z_{p}+Z_{b}}}$, dove $Z_{b}$ è l'impedenza vista tra i nodi k=h e t togliendo $Z_{p}$ e cortocircuitando i generatori di tensione presenti, si ottiene l'impedenza $Z$ tra i nodi j e k nella forma:
$Z=\left(Z_{p}+Z_{b}\right)\left(1-\beta A\right)$

### Ammettenza

Si procede in maniera analoga alla precedente, solo che stavolta si effettua un taglio come nella figura a lato, notando che $S$ risulta ora in parallelo a $X_{p}$. Considerando un generatore di corrente in ingresso $I_{s}=S$ (conseguentemente si ha una tensione $V_{s}={\bar {S}}$) e un'ammettenza $Y_{p}=X_{p}$, l'ammettenza $Y$ tra i nodi j e k si calcola come segue:
$Y={\frac {I_{s}}{V_{s}}}={\frac {I_{s}}{V_{r}}}=Y_{p}{\frac {I_{s}}{I_{r}}}=Y_{p}{\frac {I_{s}}{I_{p}}}=Y_{p}{\frac {1-\beta A}{\alpha }}$.
Considerando che $\alpha ={\frac {I_{r}}{I_{s}}}|_{I_{p}=0}={\frac {Y_{p}}{Y_{p}+Y_{b}}}$, dove $Y_{b}$ è l'ammettenza vista tra i nodi k=h e t togliendo $Y_{p}$ e aprendo i generatori di corrente presenti, si ottiene l'ammettenza $Y$ nella forma:
$Y=\left(Y_{p}+Y_{b}\right)\left(1-\beta A\right)$

### Osservazioni

La realizzazione del TTC mediante una generatore indipendente $W_{p}$ e una immittenza $X_{p}$ è utile e intuitiva per il calcolo della immittenza $X$ tra due nodi ma presenta, come per le altre funzioni di rete, la difficoltà del calcolo di $X_{p}$ dalla equazione di equivalenza che si può evitare con l'uso di un generatore dipendente ${\bar {W_{p}}}$ in luogo di $X_{p}$ e impiegando, per quanto riguarda $X$, la formula di Blackman. Tale realizzazione del TTC, come esempio eclatante di reazione, consente anche di considerare in reazione una rete costituita da un generatore di tensione e due impedenze in serie.