# Compendium musicae

Il Compendium musicae è un breve trattato sulla musica, scritto da Cartesio nel 1618 e dedicato all'amico Isaac Beeckman.
Il motivo per il quale Cartesio studia il suono è quello di comprendere in maniera più ampia come la musica riesce a commuoverci. Egli assume di poter comprendere tale proprietà dall'esame che fa delle caratteristiche fondamentali che rendono commovente il suono, ovvero la durata ed il tono. Egli è dell'opinione che una semplice analisi matematica della consonanza possa fornirci le nozioni fondamentali sul modo di produrre il suono e quindi sulla natura della musica. Per Cartesio ogni oggetto piacevole viene percepito come semplice, le serie armoniche sono più semplici delle serie geometriche e quindi da preferire. Egli traduce i rapporti musicali in segmenti di linea in modo da renderli visibili all'occhio e quindi intuitivamente più chiari:
Cartesio suppone che la semplicità di ascolto venga rispecchiata nella semplicità visiva, privilegiando perciò la percezione visiva di segmenti di linea rispetto ai rapporti matematici.

## La consonanza

Con semplici operazioni matematiche sulle linee Cartesio deriva le consonanze. Il procedimento consiste in successive bisezioni di una corda AB prima in C, con origine dell'ottava $(1/2)$: $AC-AB$, poi in D, punto intermedio tra C e B, con origine dei segmenti AC e AD che generano propriamente la quinta $(2/3)$, mentre da segmenti AD e AB deriva accidentalmente la quarta $(3/4)$, DB.
Cartesio si arresta nella bisezione della retta alla lettera E, il motivo sta nel fatto che un'ulteriore divisione in F darebbe origine al tono maggiore $(8/9)$:$AC-AF$ e al tono minore $(9/10)$:$AF-AE$, entrambi dissonanti. Cartesio definisce il rapporto di semitono come $15/16$ riprendendo i dati di Zarlino, tuttavia se avesse continuato nella suddivisione della retta sarebbe giunto a trovare il punto G e avrebbe ottenuto valori differenti, $AC/AG=16/17$ e $AG/AF=17/18$.

## Note alte e note basse

Nell'opera di Cartesio si trova anche tutta una parte dedicata al rapporto tra note basse e note alte. In particolare sostiene che il suono sta al suono come la corda sta alla corda, poiché una corda più corta è contenuta in una corda più lunga, allo stesso modo le note più alte sono contenute in quelle più basse, per questo la nota più bassa è la più importante. Inoltre, come Platone nel Timeo, Cartesio sostiene che le note alte hanno più velocità delle note basse. Cartesio osservò anche che ogni nota contiene la sua ottava, fenomeno che aveva già accennato Aristotele. La spiegazione per cui l'intervallo di quarta risulta essere l'ombra dell'intervallo di quinta per Cartesio ha una semplice spiegazione geometrica.
Se si prende una corda AC e la si pizzica si ottiene anche la sua ottava, quindi AC fa risuonare anche EF. Ora quest'ultima nota è effettivamente una quarta considerata a partire dalla nota suonata da DB.

## Mobilizzazione del re

Cartesio affronta anche il problema della scala di Zarlino; egli è a conoscenza dell'incongruenza della scala di Zarlino riferita all'intervallo di terza minore re-fa e a quello di quinta re-la, entrambe sfalsate di un comma sintonico pari a $80/81$. Cartesio propone di assegnare al re due valori leggermente diversi, re e re*, il secondo più basso del primo di un comma sintonico. In questo modo le consonanze sono mantenute pure, e si stabilizza il tono mobilizzando una delle note. La mobilizzazione del re, del do e di tutte le altre cinque note fa sì che l'ottava non era più suddivisa in 12 parti, bensì in 19. In questo modo si può mantenere la precisione matematica, ma al prezzo di un'accresciuta complessità di esecuzione.

## Consonanza

La spiegazione di Cartesio sulla consonanza è analoga a quella di Galileo. Le due corde A e B stiano tra loro nel rapporto di $3:1$ e le corde A e C nel rapporto di $3:2$. Se A e B vengono messe in moto nello stesso momento, A compirà un'oscillazione mentre B ne compirà tre. Segue che quando A inizia la sua seconda oscillazione, B inizierà la sua quarta, e quando A inizia la terza, B inizia la settima. In questo modo le due corde iniziano ogni oscillazione insieme a distanza di un momento. Ora se A e C vengono messe in moto contemporaneamente, A avrà completato un'oscillazione mentre C è già a metà della sua seconda, quindi C non sarà in grado di partire nuovamente con A nel secondo momento di tempo, ma solo nel terzo. Quindi mentre le corde A e C iniziano contemporaneamente solo ad intervalli di due momenti, A e B partono insieme ad ogni momento, questo fa sì che i suoni si mescolino meglio e producano un'armonia più dolce.
Cartesio sviluppa l'idea che la dolcezza delle consonanze dipende dalla frequenza con cui i battiti prodotti dai corpi sonori coincidono a intervalli regolari. Tuttavia Cartesio sostiene che la teoria matematica non può fornire un criterio di qualità estetica, criterio che dipende esclusivamente dai gusti dell'ascoltatore.