# Decisione ottimale

Il termine decisione ottimale è un importante concetto nella teoria delle decisioni e si riferisce alla decisione che porta al miglior risultato fra le alternative disponibili in quel momento. Al fine di paragonare i possibili esiti della scelta, normalmente si procede ad assegnare il grado di utilità relativa ad ogni possibile opzione decisionale; se sussiste un certo grado di incertezza sull'esito, la decisione ottimale massimizza l'utilità attesa, vale a dire il valore medio dell'utilità calcolato su tutti i possibili esiti.

## Descrizione

A volte, in situazioni finanziarie, dove l'utilità viene definita in termini di risultato economico, si considera il problema di minimizzare la perdita.
Il termine "utilità", in questo contesto, viene utilizzato in modo arbitrario in riferimento al grado di desiderabilità del risultato e non secondo il suo significato comune. Per esempio, per qualcuno può rappresentare una decisione ottimale acquistare un'auto sportiva invece di una station wagon, anche se il costo relativo è maggiore e la versatilità minore, poiché il criterio di valutazione per la decisione può essere diverso (es. effetto sull'immagine personale).
Il problema dell'identificazione della decisione ottimale è un problema di ottimizzazione. In pratica, poche persone verificano che la loro decisione sia stata quella ottimale, ma utilizzano il metodo euristico per arrivare a decisioni che sono "abbastanza buone", cioè soddisfacenti.
Se la decisione è sufficientemente importante, si può ricorrere ad un approccio più formale, soprattutto per motivare il tempo speso per analizzarla o quando, dato l'alto numero di possibilità decisionali, è troppo complessa per poter giungere alla scelta con un semplice approccio intuitivo.

## Formalizzazione matematica

Ogni decisione $d$ in un set $D$ di decisioni disponibili porterà ad un esito $o=f(d)$. Tutti i possibili esiti formano il set $O$. Assegnando l'utilità $U_{O}(o)$ ad ogni esito, possiamo definire l'utilità di una certa decisione $d$ come: $U_{D}(d)\ =\ U_{O}(f(d))\,$
Una decisione ottimale $d_{\mathrm {opt} }$ è quindi quella che massimizza $U_{D}(d)$ :
    $d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}U_{D}(d)\,$
La soluzione del problema può essere perciò divisa in tre passaggi:
* predizione dell'esito $o$ per ogni decisione $d$
* assegnazione dell'utilità $U_{O}(o)$ a ogni esito $o$
* identificazione della decisione $d$ che massimizza $U_{D}(d)$

## Incertezza riguardo all'esito

Se non è possibile predire con certezza l'esito di una particolare decisione, è necessario un approccio probabilistico, che si può esprimere, nella maggior parte dei casi, in questo modo:
Per una decisione data $d$, conosciamo la distribuzione probabile per i possibili esiti, descritta dalla distribuzione condizionata $p(o|d)$. Possiamo ora calcolare l'utilità attesa della decisione $d$ come
    $U_{D}(d)=\int {p(o|d)U(o)do}\,$ dove l'integrale prende il posto dell'intero set $O$ (DeGroot, pp 121)
Una decisione ottimale $d_{\mathrm {opt} }$ è quindi quella che rende massimo $U_{D}(d)$, proprio come mostrato sopra $d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}U_{D}(d)\,$

### Esempio

Il Problema di Monty Hall.