# Parallelismo in geometria iperbolica

La nozione di parallelismo in geometria iperbolica differisce molto da quella presente nella geometria euclidea. Essenzialmente, esistono due tipi di parallelismo in geometria iperbolica: due rette (o oggetti più generali) in uno spazio iperbolico possono essere
* asintoticamente paralleli se sono paralleli ma "si incontrano all'infinito".
* ultraparalleli se sono paralleli e divergono all'infinito.
L'aspetto nuovo della geometria iperbolica, non presente nella euclidea, è proprio la possibilità di avere rette ultraparallele. Un'altra differenza sta nel fatto che il parallelismo in geometria iperbolica non è una relazione di equivalenza, perché non vale la proprietà transitiva.

## Rette nel piano iperbolico

Due rette nel piano iperbolico possono essere essenzialmente di tre tipi.

### Rette secanti

Due rette sono secanti se si intersecano in un punto. Due rette non secanti sono parallele. Esistono però due nozioni ben diverse di parallelismo.

### Rette asintoticamente parallele

Due rette parallele sono asintoticamente parallele se vale uno dei seguenti fatti equivalenti:
* le due rette hanno un punto all'infinito in comune;
* esistono coppie di punti sulle due rette arbitrariamente vicini (cioè per ogni $\varepsilon >0$ esistono due punti $x$ e $y$ appartenenti alle due rette con distanza minore di $\varepsilon$);
* non esiste nessuna retta perpendicolare a entrambe;
* esiste un orociclo perpendicolare a entrambe.

### Rette ultraparallele

Due rette parallele sono ultraparallele se vale uno dei seguenti fatti equivalenti:
* le due rette non hanno punti all'infinito in comune;
* la distanza fra punti è limitata inferiormente (cioè esiste $M>0$ tale che la distanza fra due punti $x$ e $y$ appartenenti alle due rette è sempre maggiore di $M$);
* esiste una retta perpendicolare a entrambe;
* non esiste nessun orociclo perpendicolare a entrambe.
La retta perpendicolare ad entrambe è in realtà unica.

## Angolo di parallelismo

Il quinto postulato iperbolico asserisce che, data una retta $l$ ed un punto $P$ disgiunto da $r$, esistono almeno due rette parallele a $r$ passanti per $P$. Dal postulato risulta però che tali rette sono infinite: questo segue dai fatti seguenti.
* Sia $B$ il punto di $l$ più vicino a $P$. Il segmento $PB$ è perpendicolare a $l$ (si veda la figura). Ogni retta $s$ passante per $P$ è adesso identificata dall'angolo $\theta$ che forma con il segmento $PB$. L'angolo è detto angolo di parallelismo di $l$ e $s$.
* Se due rette $s_{1}$ e $s_{2}$ sono parallele a $l$, queste formano angoli diversi $\theta _{1}$ e $\theta _{2}$: ogni altra retta con un angolo compreso fra $\theta _{1}$ e $\theta _{2}$ risulta essere parallela a $l$.
Le rette parallele a $l$ passanti per $P$ sono tutte e sole le rette con angolo di parallelismo appartenente ad un intervallo chiuso $[\theta ,\pi -\theta ]$. Le rette con angolo di parallelismo $\theta$ e $\pi -\theta$ sono asintoticamente parallele a $l$: in una direzione queste si avvicinano sempre più a $r$, senza mai intersecarla. Tutte le rette con angolo di parallelismo compreso fra $\theta$ e $\pi -\theta$ sono invece ultraparallele rispetto a $l$.

## Proprietà
### Il parallelismo non è una relazione d'equivalenza

Il parallelismo in geometria iperbolica non è (a differenza di quanto accade nella geometria euclidea) una relazione d'equivalenza. In particolare, non è vero che se $r$ è parallelo a $s$ e $s$ è parallelo a $t$ allora $r$ è parallelo a $t$. Per mostrare ciò basta prendere $r$ e $t$ due rette distinte passanti per un punto $P$ non contenuto in $s$.