# Isometria dello spazio iperbolico

In geometria, una isometria dello spazio iperbolico è una isometria dello spazio iperbolico $\mathbb {H} ^{n}$. Si tratta cioè di un movimento rigido dello spazio, cioè una funzione che sposta tutti i punti dello spazio mantenendo le distanze fra questi.
Le isometrie dello spazio iperbolico si comportano per alcuni aspetti in modo simile a quelle dello spazio euclideo, ma sono più ricche di queste in altri aspetti. Possono essere studiate efficacemente tramite la sfera all'infinito.
Le isometrie dello spazio iperbolico formano un gruppo.

## Definizione

Una isometria di $\mathbb {H} ^{n}$ è un diffeomorfismo che preserva il tensore metrico. In particolare, preserva la distanza fra punti, le geodetiche, gli angoli fra curve e i volumi.

## Lo spazio iperbolico è omogeneo e isotropo

Nello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$, esempi di isometrie sono le traslazioni e le rotazioni. Tramite queste isometrie è possibile spostare punti e rette a piacimento: la stessa proprietà vale anche nello spazio iperbolico.
Come lo spazio euclideo, anche lo spazio iperbolico $\mathbb {H} ^{n}$ è infatti omogeneo e isotropo: i punti e le rette sono tutti indistinguibili. Più precisamente, per ogni coppia di punti $P$ e $Q$, e per ogni coppia di rette $r$ e $s$ passanti rispettivamente per $P$ e $Q$, esiste una isometria dello spazio che manda $P$ in $Q$ e $r$ in $s$. Questo fatto può essere mostrato agevolmente scegliendo il modello più appropriato.
Nel modello del semispazio, il punto $(0,\ldots ,0,1)$ può essere spostato su un arbitrario $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ tramite la composizione delle isometrie
    $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(x_{1}+X_{1},\ldots ,x_{n-1}+X_{n-1},x_{n})$
e
    $g(x_{1},\ldots ,x_{n})=(X_{n}x_{1},\ldots ,X_{n}x_{n}).$
Quindi è possibile spostare $P$ e $Q$ su un punto arbitrario. Nel modello del disco di Poincaré, si può supporre che $P=Q$ sia l'origine $(0,\ldots ,0)$. A questo punto, $r$ e $s$ sono due rette passanti per l'origine, e possono essere portate l'una nell'altra tramite una opportuna rotazione del disco (centrata nell'origine).

## Sfera all'infinito

Nel modello del disco di Poincaré $B^{n}$, la sfera all'infinito dello spazio iperbolico $\mathbb {H} ^{n}$ è il bordo $\partial B^{n}$ del disco. Si tratta quindi della sfera $S^{n-1}$ di dimensione $n-1$
    $S^{n-1}={\big \x\in \mathbb {R} ^{n}\ {\big |}\ |x|=1{\big \}}.$
La sfera all'infinito può essere definita in modo intrinseco a partire da $\mathbb {H} ^{n}$, a prescindere dal modello. Viene indicata con $\partial \mathbb {H} ^{n}$. Aggiungendo allo spazio iperbolico la sfera all'infinito, si ottiene uno spazio che viene indicato con
    ${\overline {\mathbb {H} ^{n}}}=\mathbb {H} ^{n}\cup \partial \mathbb {H} ^{n}.$
Come spazio topologico, ${\overline {\mathbb {H} ^{n}}}$ è omeomorfo al disco chiuso
    $D^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|\leq 1\}=B^{n}\cup S^{n-1}.$
Si tratta quindi di uno spazio compatto. Il procedimento di compattificazione tramite aggiunta di "punti all'infinito" è simile al passaggio dallo spazio euclideo a quello proiettivo.

## Tipi di isometrie

Una isometria dello spazio iperbolico
    $f:\mathbb {H} ^{n}\to \mathbb {H} ^{n}$
si estende al bordo. Esiste cioè un unico omeomorfismo
    ${\bar {f}}:{\overline {\mathbb {H} ^{n}}}\to {\overline {\mathbb {H} ^{n}}}$
che coincide con $f$ all'interno del disco, cioè su $\mathbb {H} ^{n}$. La funzione ${\bar {f}}$ non può essere globalmente un'isometria, per un motivo semplice: lo spazio ${\overline {\mathbb {H} ^{n}}}$ non è uno spazio metrico, poiché la distanza è definita solo al suo interno, su $\mathbb {H} ^{n}$, ma non sul bordo (i punti al bordo non sono veri e propri punti dello spazio iperbolico: sono all'infinito e quindi hanno informalmente distanza infinita rispetto a quelli interni).
Il teorema del punto fisso di Brouwer asserisce che ogni omeomorfismo del disco chiuso $D^{n}$ in sé ha un punto fisso. Tale teorema, che non è valido sulla palla aperta $B^{n}$, garantisce quindi l'esistenza di un punto fisso per la funzione estesa ${\bar {f}}$ (ma non per $f$).
Una isometria $f$ che preservare l'orientazione dello spazi iperbolico è detta:
* ellittica se ha un punto fisso in $\mathbb {H} ^{n}$,
* parabolica se non ha punti fissi in $\mathbb {H} ^{n}$ e ne ha uno al bordo $\partial \mathbb {H} ^{n}$,
* iperbolica se non ha punti fissi in $\mathbb {H} ^{n}$ e ne ha due al bordo $\partial \mathbb {H} ^{n}$.
Non vi sono altre possibilità oltre a quelle elencate.

## Varietà iperboliche complete

Ogni varietà iperbolica completa è ottenibile come quoziente dello spazio iperbolico per un gruppo di isometrie che agisce in modo libero e propriamente discontinuo. In particolare, una tale isometria non deve avere punti fissi in $\mathbb {H} ^{n}$.
Se la varietà iperbolica è orientabile, il gruppo è formato da isometrie che preservano l'orientazione. Tali isometrie sono quindi iperboliche o paraboliche (le ellittiche sono escluse perché hanno punti fissi in $\mathbb {H} ^{n}$). Se la varietà è compatta, tutte le isometrie sono iperboliche.