# Pull-back

In matematica, con il termine pull-back, che tradotto letteralmente dall'inglese significa "tirare indietro", ci si riferisce ad un operatore lineare che, dati due spazi vettoriali ${\mathcal {V,W}}$ e un operatore lineare ${\mathcal {L}}\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {W}}$, ad ogni tensore $T\in \mathbf {T} _{q}^{p}({\mathcal {W}})$ associa un tensore dello stesso tipo su ${\mathcal {V}}$. Più in generale, questa operazione può essere fatta quando al posto di ${\mathcal {V,W}}$ si considerino due varietà lisce ${\mathcal {M,N}}$ qualsiasi, sostituendo all'operatore lineare ${\mathcal {L}}$ un'applicazione liscia $\Phi \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {N}}$ e al tensore $T$ un campo tensoriale liscio su ${\mathcal {N}}$.
Nel definire questa operazione si procede per gradi, mostrando che per certi tipi di tensori (o campi tensoriali) all'applicazione lineare (o alla funzione $\Phi$) non è richiesto che sia un isomorfismo (o diffeomorfismo).
Esiste un operatore "duale" del pull-back che prende il nome di push-forward.

## Esempi

Prima di proseguire la trattazione facciamo due esempi semplici che possano fare luce sul significato dell'operatore.
Siano ${\mathcal {M,N}}$ due varietà con dimensione arbitraria, anche diversa, $\Phi \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {N}}$ e $f\colon {\mathcal {N}}\to \mathbb {R}$. Il pull-back di $f$ tramite $\Phi$ che si denoterà $\Phi ^{*}f\colon {\mathcal {M}}\to \mathbb {R}$ risulterà essere semplicemente la composizione di funzioni:
    $f\circ \Phi =f(\Phi ).$
Ora consideriamo due spazi vettoriali ${\mathcal {V,W}}$ con dimensione finita, non necessariamente uguale, e i rispettivi duali ${\mathcal {V^{*},W^{*}}}$; sia $\alpha \in {\mathcal {W}}^{*}$ e ${\mathcal {L}}\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {W}},$ allora il pull-back di $\alpha$ tramite ${\mathcal {L}}$ definito come ${\mathcal {L}}^{*}\colon {\mathcal {W}}^{*}\to {\mathcal {V}}^{*},$ cioè ${\mathcal {L}}^{*}\alpha \in {\mathcal {V}}^{*}$ e tale che per ogni $v\in {\mathcal {V}}$ sia così definito:
    $\langle v,{\mathcal {L}}^{*}\alpha \rangle :=\langle {\mathcal {L}}v,\alpha \rangle .$
L'operatore ${\mathcal {L}}^{*}$ prende anche il nome di aggiunto.
Quindi questi due esempi mostrano ciò che fa il pull-back, cioè "tira indietro" i due tensori ed inoltre abbiamo già studiato il caso in cui sia dato un campo tensoriale di tipo $(0,0)$, cioè una funzione scalare, su una varietà e nel secondo caso un tensore di tipo $(0,1)$ su ${\mathcal {W}}$.

## Pull-back di tensori (0,p)

Per questo tipo di tensori si generalizza il discorso fatto sopra per i tensori di tipo $(0,1)$ ed anche in questo caso gli spazi vettoriali ${\mathcal {V,W}}$ potranno non avere la stessa dimensione e quindi ${\mathcal {L}}$ non essere invertibile. Consideriamo $T\in \mathbf {T} _{p}^{0}({\mathcal {W}}),$ allora si definisce ${\mathcal {L}}^{*}T\in \mathbf {T} _{p}^{0}({\mathcal {V}})$ in questo modo: dati $v_{1},v_{2},\cdots ,v_{p}\in {\mathcal {V}}$ si ha
    ${\mathcal {L}}^{*}T(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{p}):=T({{\mathcal {L}}v_{1},{\mathcal {L}}v_{2},\ldots ,{\mathcal {L}}v_{p}}).$
L'idea alla base di questa definizione è quella di utilizzare la proprietà universale di linearizzazione; infatti se si considera l'applicazione multilineare così definita:
    $\phi \colon {\mathcal {W}}^{*}\times {\mathcal {W}}^{*}\times \cdots \times {\mathcal {W}}^{*}\to \otimes ^{p}{\mathcal {V}}^{*}$
    $\phi (\beta ^{1},\dots ,\beta ^{p})={\mathcal {L}}^{*}\beta ^{1}\otimes \cdots \otimes {\mathcal {L}}^{*}\beta ^{p},$
con $\beta ^{i}\in {\mathcal {W}}^{*},$ per $i=1,\dots ,p,$, per la proprietà universale di linearizzazione questa definisce un'unica applicazione multilineare
    $\otimes ^{p}{\mathcal {L}}^{*}\colon \otimes ^{p}{\mathcal {W}}^{*}\to \otimes ^{p}{\mathcal {V}}^{*}$
tale che
    $\otimes ^{p}{\mathcal {L}}^{*}(\beta ^{1}\otimes \cdots \otimes \beta ^{p})={\mathcal {L}}^{*}\beta ^{1}\otimes \cdots \otimes {\mathcal {L}}^{*}\beta ^{p}.$
Ora ricordando che ogni $T\in \mathbf {T} _{p}^{0}({\mathcal {W}})$, data una base $\eta _{i}\in {\mathcal {W}}^{*},$ per $i=1,\dots ,p,$ di ${\mathcal {W}}^{*}$, ammette un'unica scrittura del tipo $T^{i_{1},\dots ,i_{p}}\eta _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \eta _{i_{p}}$, dove abbiamo utilizzato la notazione di Einstein, per linearità si ha l'uguaglianza con la definizione iniziale.
Se ora si considerano due varietà lisce ${\mathcal {M,N}}$ con dimensione rispettivamente $m$ e $n,$ un'applicazione $\Phi \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {N}}$ liscia e un campo tensoriale $T\in \mathbf {T} _{p}^{0}{\mathcal {N}}$ liscio, l'operazione di pull-back ci consente di "trasferire" il campo tensoriale su ${\mathcal {M}}$.
Ogni applicazione $\Phi$ liscia tra varietà induce un'applicazione lineare, detta tangente e denotata $T\Phi \colon T{\mathcal {M}}\to T{\mathcal {N}}$, tale che per ogni vettore appartenente allo spazio tangente di ${\mathcal {M}}$, in un punto $M$, fa corrispondere un vettore appartenente allo spazio tangente di ${\mathcal {N}}$ nel punto immagine $\Phi (M)$. Questa applicazione tangente coincide con lo jacobiano della funzione $\Phi$.
Grazie questa osservazione è banale estendere il pull-back ai campi tensoriali, usando quanto già visto nel caso di campi vettoriali, lavorando puntualmente sulle fibre dei fibrati tensoriali. Infatti $\Phi ^{*}T\in \mathbf {T} _{p}^{0}{\mathcal {M}}$ è così definito:
    $\Phi ^{*}T|_{M}(X_{1},\ldots ,X_{p})=T|_{\Phi (M)}(T\Phi X_{1},\ldots ,T\Phi X_{p}),$
dove $M$ è un punto sulla varietà ${\mathcal {M}}$ e $X_{1},\ldots ,X_{p}\in T{\mathcal {M}}$.

## Pull-back di tensori arbitrari

Come nella sezione precedente mostreremo il pull-back per spazi vettoriali e poi estenderemo il tutto alle varietà.
In questo caso si hanno due spazi vettoriali ${\mathcal {V,W}}$ con dimensione uguale, un isomorfismo ${\mathcal {L}}\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {W}}$, e un tensore $T\in \mathbf {T} _{q}^{p}{\mathcal {W}}$; il pull-back, dati $\beta ^{1},\ldots ,\beta ^{p}\in {\mathcal {V^{*}}}$ e $v_{1},\ldots ,v_{q}\in {\mathcal {V}}$, per definizione è
    ${\mathcal {L}}^{*}T(\beta ^{1},\ldots ,\beta ^{p},v_{1},\ldots ,v_{q})=T({\mathcal {L^{*}}}^{-1}\beta ^{1},\ldots ,{\mathcal {L^{*}}}^{-1}\beta ^{p},{\mathcal {L}}v_{1},\ldots ,{\mathcal {L}}v_{q}),$
dove ${\mathcal {L^{*}}}^{-1}$ indica l'inverso dell'aggiunto che esiste perché ${\mathcal {L^{-1}}}^{*}={\mathcal {L^{*}}}^{-1},$ infatti
    ${\mathcal {L^{*}}}\colon {\mathcal {W^{*}}}\to {\mathcal {V^{*}}},$
    ${\mathcal {L^{*}}}^{-1}\colon {\mathcal {V^{*}}}\to {\mathcal {W^{*}}}.$
Quindi la definizione è ben posta e nel caso di tensori $(0,q)$ coincide con quella precedente.
Per le varietà si procede in maniera analoga a quanto fatto precedentemente, la differenza è che ora le due varieta ${\mathcal {M,N}}$ devono la stessa dimensione e la funzione $\Phi$ deve essere un diffeomorfismo; quindi dato un campo tensoriale qualunque su ${\mathcal {N}}$, il suo pull-back risulta essere
    $\Phi ^{*}T|_{M}(\alpha ^{1},\ldots ,\alpha ^{p},X_{1},\ldots ,X_{q})=T|_{\Phi (M)}(T\Phi ^{*-1}\alpha ^{1},\ldots ,T\Phi ^{*-1}\alpha ^{p},T\Phi X_{1},\ldots ,T\Phi X_{q}),$
dove $T\Phi$ indica sempre l'applicazione tangente e $\alpha ^{i}\in T^{*}{\mathcal {M}}\quad X_{j}\in T{\mathcal {M}}$.

### Esempio

Si consideri il pull-back di un campo vettoriale $X\in T{\mathcal {N}}$; da quanto detto risulta:
    $\Phi ^{*}X=T\Phi ^{-1}X\in {\mathcal {M}}.$
Sia ora $\gamma \colon I\in \mathbb {R} \to {\mathcal {N}}$ tale che ${\frac {d\gamma }{dt}}=X,\quad \forall t\in I,$ e $\gamma (0)=N_{0}$, cioè la soluzione del problema di Cauchy su ${\mathcal {N}}$ con dato iniziale $N_{0}$.
Allora si ha che $\Phi ^{-1}\circ \gamma$ è soluzione del problema di Cauchy su ${\mathcal {M}}$ con dato iniziale $M_{0}=\Phi ^{-1}(N_{0})$ del campo vettoriale $\Phi ^{*}X$. Quindi se ora si considera il flusso $\Psi _{t}^{X}$ indotto dal campo vettoriale $X$ su ${\mathcal {N}}$, il rispettivo flusso del campo vettoriale $T\Phi ^{-1}X$ su ${\mathcal {M}}$ risulta essere $\Phi ^{-1}\circ \Psi _{t}^{X}\circ \Phi$.

## Espressione sulle basi del pull-back

Nelle sezioni precedenti si è presentato il pull-back in maniera astratta senza far ricorso a basi negli spazi vettoriali interessati o a coordinate sulle varietà perché i tensori, e il calcolo tensoriale, nascono come una struttura algebrica completamente intrinseca allo spazio dove vengono definiti, cioè indipendenti dalla scelta di basi.
In questa sezione si mostra invece qual è l'espressione del pull-back sulle basi. Siano $e_{1},\dots ,e_{n}\in {\mathcal {V}}$ e $\eta ^{1},\dots ,\eta ^{n}\in {\mathcal {V}}^{*}$ una base su ${\mathcal {V}}$ e la rispettiva base duale su ${\mathcal {V}}^{*}$, e siano $f_{1},\dots ,f_{n}\in {\mathcal {W}}$ e $\varphi ^{1},\dots ,\varphi ^{n}\in {\mathcal {W}}^{*}$ una base su ${\mathcal {W}}$ e la duale su ${\mathcal {W}}^{*}$. L'operatore ${\mathcal {L}}\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {W}}$ rispetto a queste basi ha rappresentazione
    ${\mathcal {L}}e_{i}={\mathcal {L}}_{i}^{j}f_{j},$
con $j$ indice di riga e $i$ di colonna, si è utilizzata la notazione di Einstein (per tutta la sezione se ne farà uso). Di conseguenza ${\mathcal {L}}^{*}$ si rappresenta
    ${\mathcal {L}}^{*}\varphi ^{i}={\mathcal {L}}_{j}^{i}\eta ^{j}$
in pratica risulta essere la trasposta. Quindi la componente $({\mathcal {L}}^{*}T)_{j_{1}\cdots j_{q}}^{i_{1}\cdots i_{p}}$ su tale base risulta
    ${\mathcal {L}}^{*}T(\eta ^{i_{1}},\dots ,\eta ^{i_{q}},e_{j_{1}},\dots ,e_{j_{p}},)=T({\mathcal {L}}_{\quad r_{1}}^{-1\ i_{1}}\varphi ^{r_{1}},\dots ,{\mathcal {L}}_{\quad r_{p}}^{-1\ i_{p}}\varphi ^{r_{p}},{\mathcal {L}}_{j_{1}}^{s_{1}}f_{s_{1}},\dots ,{\mathcal {L}}_{j_{q}}^{s_{q}}f_{s_{q}})={\mathcal {L}}_{\quad r_{1}}^{-1\ i_{1}}\cdots {\mathcal {L}}_{\quad r_{p}}^{-1\ i_{p}}\ T_{s_{1}\cdots s_{q}}^{r_{1}\cdots r_{p}}\ {\mathcal {L}}_{j_{1}}^{s_{1}}\cdots {\mathcal {L}}_{j_{q}}^{s_{q}},$
dove $T_{s_{1}\cdots s_{q}}^{r_{1}\cdots r_{p}}=T(\varphi ^{i_{1}},\dots ,\varphi ^{i_{p}},f_{j_{1}},\dots ,f_{j_{q}}).$
Notiamo che se ${\mathcal {W}}={\mathcal {V}}$, allora ${\mathcal {L}}$ è l'applicazione del cambiamento di base e quindi il risultato ottenuto coincide con il comportamento dei tensori rispetto al cambio di base.

## Composizione del pull-back

Sia data una terza varietà $Q$ e un diffeomorfismo $\Psi \colon {\mathcal {N}}\to {\mathcal {Q}},$ allora il pull-back di un campo tensoriale $T\in \mathbf {T} _{q}^{p}Q$ su ${\mathcal {M}}$ è il pull-back della composizione di funzioni $\Psi \circ \Phi$ che è un diffeomorfismo tra ${\mathcal {M}}$ e ${\mathcal {Q}}$ e dato che l'applicazione tangente $T(\Psi \circ \Phi )=T\Psi \circ T\Phi$, si ha la seguente relazione:
    $(\Psi \circ \Phi )^{*}T=\Phi ^{*}\Psi ^{*}T.$
Da questa relazione, dato che il pull-back della funzione identità è l'identità, si ha:
    $\Phi ^{-1*}=\Phi ^{*-1}.$

## Pull-back commuta con la derivata esterna

Date due varietà ${\mathcal {M,N}}$, una funzione liscia $\Phi \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {N}}$, una q-forma $\theta$ su ${\mathcal {M}}$, si ha la seguente uguaglianza:
    $\Phi ^{*}\mathbf {d} \theta =\mathbf {d} \Phi ^{*}\theta ,$
dove $\mathbf {d}$ indica la derivata esterna.
Si noti che è un'uguaglianza tra $(q+1)$-forme su ${\mathcal {M}}$, difatti questa relazione è verificata se è vera l'uguaglianza tra:
    $\Phi ^{*}df=d\Phi ^{*}f,$
dove $f$ è una funzione scalare liscia su ${\mathcal {N}}$ (quindi può essere vista come una 0-forma su ${\mathcal {N}}$). Ma questa è immediata perché il pull-back di una funzione è semplicemente una composizione di funzioni; infatti:
    $\Phi ^{*}df=df\circ T\Phi =d(f\circ \Phi ).$
Da cui ricordando che la regola per la derivata esterna di una $q$-forma $\Omega =\omega _{i_{1}\dots i_{q}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{q}}$ è:
    $d\Omega ={\frac {\partial \omega _{i_{1}\dots i_{q}}}{\partial x^{j}}}dx^{j}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{q}},$
con $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{q},$ e $\omega \colon {\mathcal {N}}\to \mathbb {R}$ liscia e con somma sugli indici sottintesa (notazione di Einstein).

## Pull-back e derivata di Lie

Tra pull-back e derivata di Lie, di un tensore $T$ lungo un campo vettoriale $X$, vi è la seguente relazione:
    ${\mathcal {L}}_{\Phi ^{*}X}\Phi ^{*}T=\Phi ^{*}{\mathcal {L}}_{X}T.$
La verifica è immediata ricordando l'espressione della derivata di Lie come derivata temporale e dal fatto che $\Phi ^{*-1}$ non dipende dal tempo; da cui:
    ${\mathcal {L}}_{\Phi ^{*}X}\Phi ^{*}T={\frac {d}{dt}}\Phi ^{*}\Psi _{t}^{X*}\Phi ^{-1*}\Phi ^{*}T=\Phi ^{*}{\frac {d}{dt}}\Psi _{t}^{X*}T=\Phi ^{*}{\mathcal {L}}_{X}T.$