# Test dei ranghi logaritmici

In statistica, il test dei ranghi logaritmici (in inglese logrank test) è un test di verifica d'ipotesi per confrontare le distribuzioni di sopravvivenza di due campioni. È un test non parametrico che è appropriato usare quando i dati sono asimmetrici e censurati verso destra (tecnicamente, la censura deve essere non informativa). Si usa ampiamente negli studi clinici per stabilire l'efficacia di un nuovo trattamento confrontato con un trattamento di controllo quando la grandezza da misurare è il tempo che precede l'evento (come il tempo dal trattamento iniziale a un attacco cardiaco). Il test a volte è chiamato test di Mantel-Cox, dal nome di Nathan Mantel e David Cox. Il test dei ranghi logaritmici può essere visto anche come un test di Cochran-Mantel-Haenszel stratificato nel tempo.
Il test fu proposto per la prima volta da Nathan Mantel e fu denominato test dei ranghi logaritmici da Richard e Julian Peto.

## Definizione

La statistica del test dei ranghi logaritmici confronta le stime delle funzioni di rischio di due gruppi in ciascun momento degli eventi osservati. Si costruisce calcolando il numero osservato e quello atteso degli eventi in uno dei gruppi in ciascun momento degli eventi osservati e poi sommando questi ultimi per ottenere una sintesi complessiva lungo tutti i punti temporali in cui si verifica un evento.
Siano $j=1,\ldots,J$ i distinti tempi degli eventi osservati in ciascuno dei due gruppi. Per ogni tempo $j$, siano $N_{1j}$ e $N_{2j}$ il numero dei soggetti "a rischio" (che non hanno ancora avuto un evento o che sono stati censurati) all'inizio del periodo $j$ rispettivamente nei due gruppi (spesso trattamento rispetto a controllo). Sia
    $N_{j}=N_{1j}+N_{2j}.$
Siano inoltre $O_{1j}$ e $O_{2j}$ il numero di eventi osservati rispettivamente nel gruppo 1 e nel gruppo 2 al tempo $j$, e sia
    $O_{j}=O_{1j}+O_{2j}.$
Dato che gli eventi $O_{j}$ sono accaduti in tutti e due i gruppi al tempo $j$, in base all'ipotesi nulla (dei due gruppi che hanno identiche funzioni di sopravvivenza e di rischio) $O_{1j}$ ha la distribuzione ipergeometrica con parametri $N_{j}$, $N_{1j}$ e $O_{j}$. Questa distribuzione ha valore atteso $E_{1j}$ e varianza $V_{j}$ date da
    $E_{1j}={\frac {O_{j}}{N_{j}}}N_{1j}\qquad V_{j}={\frac {O_{j}(N_{1j}/N_{j})(1-N_{1j}/N_{j})(N_{j}-O_{j})}{N_{j}-1}}.$
La statistica dei ranghi logaritmici confronta ogni $O_{1j}$ con la sua speranza matematica $E_{1j}$ in base all'ipotesi nulla ed è definita come
    $Z={\frac {\sum _{j=1}^{J}(O_{1j}-E_{1j})}{\sqrt {\sum _{j=1}^{J}V_{j}}}}.$

## Distribuzione asintotica

Se i due gruppi hanno la stessa funzione di sopravvivenza, la statistica dei ranghi logaritmici è approssimativamente normale standard. Un test di livello unilaterale $\alpha$ respingerà l'ipotesi nulla se $Z>z_{\alpha }$, dove $z_{\alpha }$ è il quantile $\alpha$ superiore della distribuzione normale standard. Se il rapporto di rischio è $\lambda$, ci sono $n$ soggetti totali, $d$ è la probabilità che un soggetto in ciascun gruppo abbia infine un evento (cosicché $nd$ è il numero atteso di eventi al tempo dell'analisi) e la proporzione di soggetti casualizzati in ciascun gruppo è il 50%, allora la statistica dei ranghi logaritmici è approssimativamente normale con media $(\log {\lambda })\,{\sqrt {\frac {n\,d}{4}}}$ e varianza 1. Per un test $\alpha$ di livello unilaterale di potenza $1-\beta$, la dimensione del campione richiesta è $n={\frac {4\,(z_{\alpha }+z_{\beta })^{2}}{d\log ^{2}{\lambda }}}$ dove $z_{\alpha }$ e $z_{\beta }$ sono i quantili della distribuzione normale standard.

## Distribuzione congiunta

Si supponga che $Z_{1}$ e $Z_{2}$ siano le statistiche dei ranghi logaritmici in due diversi punti temporali nello stesso studio ($Z_{1}$ anteriore). Ancora, si assuma che le funzioni di rischio nei due gruppi siano proporzionali al rapporto di rischio $\lambda$ e che $d_{1}$ e $d_{2}$ siano le probabilità che un soggetto abbia un evento nei due punti temporali in cui $d_{1}\leq d_{2}$. $Z_{1}$ e $Z_{2}$ sono approssimativamente normali bivariate con medie $\log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{1}}{4}}}$ e $\log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{2}}{4}}}$ e correlazione ${\sqrt {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$. I calcoli che implicano la distribuzione congiunta sono necessari per mantenere correttamente il tasso di errore quando i dati sono esaminati molteplici volte all'interno di uno studio condotto da un comitato per il monitoraggio dei dati.

## Relazione con altre statistiche

* Si è dimostrato che il test dei ranghi logaritmici è un test troppo permissivo, consentendo risultati significativi per modelli di previsione di sopravvivenza che hanno scarsa accuratezza. Il test F* fu sviluppato in risposta a queste osservazioni e si è dimostrato che è più critico e che traccia l'accurarezza dei modelli di previsione com maggiore fedeltà.
* La statistica dei ranghi logaritmici può essere derivata come il test a punteggio per il modello dei rischi proporzionali di Cox confrontando i due gruppi. È perciò asintoticamente equivalente alla statistica del test del rapporto di verosimiglianza basata su quel modello.
* La statistica dei ranghi logaritmici è asintoticamente equivalente alla statistica del test del rapporto di verosimiglianza per qualsiasi famiglia di distribuzioni con rischi proporzionali alternativi. Ad esempio, se i dati dei due campioni hanno distribuzioni esponenziali.
* Se $Z$ è la statistica dei ranghi logaritmici, $D$ è il numero di eventi osservati e ${\hat {\lambda }}$ è la stima del rapporto di rischio, allora $\log {\hat {\lambda }}\approx Z\,{\sqrt {4/D}}$. Questa relazione è utile quando due delle quantità sono note (ad es. da un articolo pubblicato), ma è necessaria la terza.
* La statistica dei ranghi logaritmici può essere usata quando le osservazioni sono censurate. Se le osservazioni censurate non sono presenti nei dati, allora è appropriato il test di Wilcoxon-Mann-Whitney.
* La statistica dei ranghi logaritmici dà a tutti i calcoli lo stesso peso, indipendentemente dal momento nel quale un evento accade. La statistica dei ranghi logaritmici di Peto dà maggior peso statistico agli eventi anteriori quando vi è un grande numero di osservazioni.