# Formula di Rydberg

In fisica atomica, la formula di Rydberg (1889) rappresenta una generalizzazione della formula di Balmer che permette di calcolare le lunghezze d'onda delle righe spettrali dell'idrogeno.

## Origine della formula

Nel 1889 il fisico svedese Johannes Rydberg generalizzò, con la formula di Rydberg, quella di Balmer per tutte le transizioni dell'idrogeno (non solo la serie di Balmer L (n = 2), parzialmente nello spettro visibile, ma anche la serie di Lyman K (n = 1) nell'ultravioletto e quelle di Paschen M (n = 3), Brackett N (n = 4), Pfund O (n = 5) e Humphreys P (n = 6) nell'infrarosso):
    ${\frac {1}{\lambda }}=R_{H}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)$
dove:
* λ lunghezza d'onda della radiazione emessa
* R$_H$ costante di Rydberg dell'idrogeno, pari a circa (1,097 x 10$^7$) m$^{-1}$
* n ed m numeri interi positivi con m > n
I due termini, la cui differenza dà una riga spettrale, rappresentano i livelli energetici atomici della transizione.
Per n = 2 si ritrova la serie di Balmer:
    ${\frac {1}{\lambda }}={\frac {4}{B}}\left({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)=R_{\mathrm {H} }\left({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)$
con m = 3, 4, 5, 6, 7...
Per i numeri quantici $n$ fisso ed $m$ variabile si trovano le diverse serie spettroscopiche dell'idrogeno:
Serie spettroscopiche dell'idrogeno :
| Orbita | Numero quantico $n$ | Numero quantico $m$ | Serie spettroscopica | Lunghezza d'onda minima | Lunghezza d'onda massima |
| | | | | $\lambda _{min}=n^{2}/R_{H}=n^{2}\,91$ nm | Riga $\alpha$ $(m-n=1)$ |
| K | $1$ | $2\rightarrow \infty$ | Lyman | 91 nm | 121 nm |
| L | $2$ | $3\rightarrow \infty$ | Balmer | 365 nm | 656 nm |
| M | $3$ | $4\rightarrow \infty$ | Paschen | 820 nm | 1.874 nm |
| N | $4$ | $5\rightarrow \infty$ | Brackett | 1.458 nm | 4.051 nm |
| O | $5$ | $6\rightarrow \infty$ | Pfund | 2.278 nm | 7.456 nm |
| P | $6$ | $7\rightarrow \infty$ | Humphreys | 3.281 nm | 12.365 nm |

## Formula di Rydberg-Ritz

Nel 1908 il fisico Walther Ritz generalizzò, tramite la formula di Rydberg-Ritz, la formula di Rydberg per elementi diversi dall'idrogeno:
    ${\frac {1}{\lambda }}=R_{M}\left[{\frac {1}{(n+a)^{2}}}-{\frac {1}{(m+b)^{2}}}\right]$
con:
* $R_{M}$ costante di Rydberg per un dato elemento chimico
* a e b parametri caratteristici di ogni elemento (per l'idrogeno, a e b sono pari a 0)
Ogni elemento chimico ha la propria costante di Rydberg $R_{M}$. Per tutti gli atomi idrogenoidi (ossia quelli con un solo elettrone sull'orbita più esterna), $R_{M}$ può essere derivato dalla costante di Rydberg "all'infinito" (per un nucleo infinitamente pesante), come segue:
    $R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+m_{e}/M}}$
dove:
* $M$ massa del suo nucleo atomico
* $m_{e}$ massa dell'elettrone
Ad esempio, per l'atomo d'idrogeno
    $R_{H}={\frac {R_{\infty }}{1+m_{e}/m_{p}}}={\frac {R_{\infty }}{1+1/1836}}=0,999\,455\,634\,R_{\infty }$
con $m_{p}$ massa del protone.
La costante di Rydberg "all'infinito" (CODATA, 2014) vale
    $R_{\infty }={\frac {m_{e}c\alpha ^{2}}{4\pi \hbar }}={\frac {m_{e}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}=1.097\,373\,156\,850\,8(65)\times 10^{7}\,\mathrm {m} ^{-1}$
dove:
* $h$ costante di Planck
* $\hbar$ costante di Planck ridotta
* $m_{e}$ massa dell'elettrone
* $e$ carica elementare
* $c$ velocità della luce nel vuoto
* $\varepsilon _{0}$ costante dielettrica del vuoto
* α costante di struttura fine