# Test di McNemar

Il Test di McNemar è un test non parametrico che si applica a tabelle di frequenza 2 x 2.
Viene generalmente impiegato per verificare l'esistenza di differenze in dati dicotomici (presenza/assenza; positivo/negativo) prima e dopo un certo cambio o evento o trattamento (ovvero per valutare l'efficacia di quel trattamento), qualora siano disponibili dati sotto forma di frequenze. Il test vuole determinare se le frequenze marginali di riga e colonna sono uguali.
Per la stessa analisi si può utilizzare il test binomiale, ma il Test di McNemar è più agevole e snello.

## Descrizione del test

Consideriamo ad esempio il caso di $n=200$ persone che vengono classificate positive e negative prima di un trattamento, poi vengono trattate e successivamente ri-classificate in positive e negative (così da vedere quelle che sono passate da positive a negative, e viceversa.
Se prima del trattamento avevo:
* 120 persone positive
* 80 persone negative
e, dopo il trattamento:
* 30 delle 120 persone positive sono diventate negative (hanno cambiato)
* 20 delle 80 persone negative sono diventate positive (hanno cambiato)
allora posso costruire la seguente tabella 2 x 2:
| | dopo è + | dopo è - | TOT |
| prima del trattamento era positivo: | 90 | 30 | 120 |
| prima del trattamento era negativo: | 20 | 60 | 80 |
| TOT | 110 | 90 | 200 |
Le celle possono essere identificate dalle lettere: a, b, c e d. I totali di riga e colonna vengono detti frequenze marginali. Il totale delle frequenze viene indicato con $n$.
| | dopo è + | dopo è - | TOT |
| prima del trattamento era positivo: | a | b | a+b |
| prima del trattamento era negativo: | c | d | c+d |
| TOT | a+c | b+d | n |
Il Test di McNemar verifica l'ipotesi:
    $H_{0}$: le frequenze marginali sono uguali.
Questo accade quando:
    $(a+b)=(a+c)$
    $(c+d)=(b+d)$
ovvero quando:
    $b=c$
La statistica test di McNemar è la seguente:
    $\chi ^{2}={\frac {(b-c)^{2}}{(b+c)}}$
Sotto l'ipotesi $H_{0}$, $\chi ^{2}$ è una Chi quadrato con 1 grado di libertà. La formula è bene venga corretta con la correzione di continuità di Yates, in quanto il Chi quadrato è una distribuzione continua, mentre quella campionaria è discreta. E, soprattutto quando le frequenze sono piccole, l'approssimazione può essere scarsa.
    $\chi ^{2}={\frac {(|b-c|-1)^{2}}{(b+c)}}$
Si rifiuta l'ipotesi $H_{0}$ (ovvero le frequenze marginali non sono omogenee), se il $\chi ^{2}$ è significativo (ovvero se il valore p è $p<0.05$).
Per frequenze basse $b+c<10$ è opportuno usare il test binomiale.

## Esempio

Nei laboratori di microbiologia viene impiegato per confrontare due metodi qualitativi (generalmente un metodo di riferimento, ed un metodo nuovo) attraverso prove su campioni a valore noto (contaminati sperimentalmente in laboratorio).
Dapprima $n$ campioni vengono contaminati artificialmente, in modo che risultino positivi o negativi con il metodo di riferimento. Dopodiché vengono esaminati con il metodo nuovo. I casi discordanti sono i seguenti:
* i campioni che con il metodo di riferimento erano classificati come positivi e con il metodo nuovo vengono classificati ancora come positivi indichiamoli con: PP.
* i campioni che con il metodo di riferimento erano classificati come negativi e con il metodo nuovo vengono classificati ancora come negativi indichiamoli con: NN.
* i campioni che con il metodo di riferimento erano classificati come negativi e con il metodo nuovo vengono classificati positivi vengono detti: Falsi Positivi, definiamoli pari a FP.
* i campioni che con il metodo di riferimento erano classificati come positivi e con il metodo nuovo vengono classificati negativi vengono detti: Falsi Negativi, definiamoli pari a FN.
Possiamo allora scrivere i dati con la seguente tabella:
| | con metodo 2 è + | con metodo 2 è - | TOT |
| con il metodo vecchio era positivo: | PP | FN | PP+FN |
| con il metodo vecchio era negativo: | FP | NN | FP+NN |
| TOT | PP+FP | FN+NN | N |
dove N=PP+FP+FN+NN=numerosità dei campioni.
Il test di McNemar vuole testare l'ipotesi che:
* il numero totale di positivi con il primo metodo = PP+FN sia pari al numero totale di positivi con il secondo metodo = PP+FP
    ovvero PP+FN = PP+FP
e
* il numero totale di negativi con il primo metodo = FP+NN sia pari al numero totale di negativi con il secondo metodo = FN+NN
    ovvero FP+NN = FN+NN
entrambe le condizioni si riassumono con l'ipotesi:
    $H_{0}$: FN=FP.
L'espressione per il test di McNemar è la seguente:
    $\chi ^{2}={\frac {(|FP-FN|-1)^{2}}{(FP+FN)}}$
Per valori alti di $\chi ^{2}$ il metodo nuovo non risulta idoneo, ovvero la differenza fra falsi positivi e falsi negativi è troppo pronunciata e dunque non è dovuta al caso.
N.b. nei laboratori di microbiologia viene applicato solo quando $FP+FN>22$.