# Operatore di inversione temporale

L'operatore di inversione temporale è un operatore utilizzato in meccanica quantistica; modifica lo stato a cui viene applicato dando luogo a un nuovo stato "temporalmente invertito".

## Introduzione

L'azione dell'operatore di inversione temporale su un sistema fisico è più propriamente descritta come inversione del moto, anziché come inversione del tempo. Si consideri il moto di una particella soggetta ad un certo potenziale; immaginando, in un certo istante di tempo $t$ di bloccare la particella e sostituire la sua quantità di moto $\mathbf {p}$ con $\mathbf {-p}$, la particella torna indietro ripercorrendo (nel verso opposto) la stessa traiettoria. In altre parole, se la curva $\mathbf {x} (t)$ è soluzione dell'equazione del moto (non dissipativa):
$m{\ddot {\mathbf {x} }}=-\nabla V(\mathbf {x} )$
allora anche $\mathbf {x} (-t)$ soddisfa l'equazione del moto. $\mathbf {x} (-t)$ rappresenta la soluzione temporalmente invertita.

## L'operatore di inversione temporale

Dato uno stato $|\alpha \rangle$, lo stato temporalmente invertito si ottiene applicando ad $|\alpha \rangle$ l'operatore di inversione temporale, indicato con $\Theta$:
$|\alpha \rangle \rightarrow \Theta |\alpha \rangle$

## Proprietà

Una proprietà fondamentale dell'operatore di inversione temporale è l'antiunitarietà.
Un operatore antiunitario applicato ad uno stato realizza una trasformazione
$|{\tilde {\alpha }}\rangle =\theta |\alpha \rangle$
$|{\tilde {\beta }}\rangle =\theta |\beta \rangle$
che soddisfa le seguenti due proprietà
$\langle {\tilde {\beta }}|{\tilde {\alpha }}\rangle =\langle \beta |\alpha \rangle ^{*}$
$\theta \left[a|\alpha \rangle +b|\beta \rangle \right]=a^{*}\theta |\alpha \rangle +b^{*}\theta |\beta \rangle$
(la seconda relazione definisce un operatore antilineare)
Un generico operatore antiunitario può essere scritto come prodotto di due operatori
$\theta =U\cdot K$
dove $U$ è un operatore unitario e $K$ coniuga il numero a cui è moltiplicato.
L'azione dell'operatore $K$ su uno stato non modifica i ket di base. Infatti uno stato $|\alpha \rangle$, scritto come combinazione lineare di autostati $|\phi '\rangle$
$|\alpha \rangle =\sum _{\phi '}|\phi '\rangle \langle \phi '|\alpha \rangle$
si trasforma, sotto l'azione di $K$ nel modo seguente:
$K|\alpha \rangle =\sum _{\phi '}\langle \phi '|\alpha \rangle ^{*}K|\phi '\rangle =\sum _{\phi '}\langle \phi '|\alpha \rangle ^{*}|\phi '\rangle$.

## Sistemi simmetrici sotto inversione temporale

Indicando con $|\psi \rangle$ uno stato al tempo $t=0$, lo stato $|\psi ,t\rangle$ corrispondente ad un istante immediatamente successivo $t=\delta t$ si ottiene applicando l'operatore di evoluzione temporale (in forma infinitesima):
$|\psi ,t\rangle =\left(1-{\frac {iH}{\hslash }}\delta t\right)|\psi \rangle$.
Facendo evolvere allo stesso modo lo stato prima invertito temporalmente si ottiene:
$\left(1-{\frac {iH}{\hslash }}\delta t\right)\Theta |\psi \rangle$.
Per sistemi simmetrici sotto inversione temporale questo stato deve coincidere con quello che si ottiene facendo prima "evolvere all'indietro" $|\psi \rangle$ e poi applicando l'operatore di inversione temporale:
$\left(1-{\frac {iH}{\hslash }}\delta t\right)\Theta |\psi \rangle =\Theta \left(1-{\frac {iH}{\hslash }}\left(-\delta t\right)\right)|\psi \rangle$,
da cui si ricava:
$-iH\Theta |\psi \rangle =\Theta iH|\psi \rangle$.
Siccome il ragionamento è valido per ogni ket $|\psi \rangle$, si può scrivere
$-iH\Theta =\Theta iH$.
L'antiunitarietà di $\Theta$ porta alla seguente relazione:
$\Theta H=H\Theta$.
In altre parole l'hamiltoniana di un sistema simmetrico sotto inversione temporale commuta con l'operatore $\Theta$:
$[H,\Theta ]=0$