# Numero di Fermat

Un numero di Fermat, chiamato così dal matematico francese Pierre de Fermat, è un numero intero esprimibile come:
    $F_{n}=2^{2^{n}}+1,$
con $n$ intero non negativo.

## Numeri primi di Fermat

Fermat credeva, erroneamente, che tutti i numeri della forma indicata sopra fossero numeri primi. In effetti, questo è vero per i primi cinque:
    $F_{0}=2^{2^{0}}+1=3$
    $F_{1}=2^{2^{1}}+1=5$
    $F_{2}=2^{2^{2}}+1=17$
    $F_{3}=2^{2^{3}}+1=257$
    $F_{4}=2^{2^{4}}+1=65\,537$
Ma nel 1732 Eulero dimostrò che Fermat si sbagliava, dando la fattorizzazione di F$_5$:
    $F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4\,294\,967\,297=641\cdot 6\,700\,417.$
Nel 1770 dimostrò anche che ogni eventuale divisore di F$_n$ è della forma $K2^{n+1}+1$, risultato che venne migliorato da Lucas nel 1878 con la considerazione che tali divisori devono anche essere del tipo $L2^{n+2}+1$, per gli $F_{n}$ con $n>1$, dove $K$ e $L$ sono interi positivi.
Nel caso di $F_{5}$, per $L=1,2,3,4,5$ troviamo rispettivamente 129, 257, 385, 513, 641; di questi, solo 257 e 641 sono primi, e 641 effettivamente divide $F_{5}$.
Non è stato trovato nessun altro numero di Fermat primo, e anzi si ritiene molto probabile che i numeri di Fermat primi siano in numero finito.
A febbraio 2015, le uniche altre fattorizzazioni complete di numeri di Fermat sono le seguenti:
* $F_{6}=274177\cdot 67280421310721$ (Clausen, Landry e Le Lasseur, 1880)
* $F_{7}=59649589127497217\cdot 5704689200685129054721$ (Morrison e Brillhart, 1970)
* $F_{8}=1238926361552897\cdot P62$ (Brent e Pollard, 1980)
* $F_{9}=2424833\cdot 7455602825647884208337395736200454918783366342657\cdot P99$ (Western, 1903 / Lenstra, Manasse e altri, 1990)
* $F_{10}=45592577\cdot 6487031809\cdot 4659775785220018543264560743076778192897\cdot P252$ (Selfridge, 1953 / Brillhart, 1962 / Brent, 1995)
* $F_{11}=319489\cdot 974849\cdot 167988556341760475137\cdot 3560841906445833920513\cdot P564$ (Cunningham, 1899 / Brent e Morain, 1988)
dove $Px$ indica un fattore primo di $x$ cifre.
Si può comunque dimostrare (in base al test di primalità noto come test di Pépin) che $F_{n}$ è primo se e solo se $3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.$
I numeri di Fermat appaiono in contesti a prima vista completamente non correlati. Ad esempio, Gauss dimostrò che si possono fare le costruzioni con riga e compasso dei poligoni regolari con $n$ lati se e solo se $n$ è il prodotto di una potenza di 2 per un prodotto finito di numeri di Fermat primi e distinti.
Nel luglio 2014 Raymond Ottusch ha trovato un divisore primo di $F_{3329780}$. Questo numero primo possiede ben 1002367 cifre, ed è
    $193\cdot {2^{3329782}}+1.$
Al momento della dimostrazione, $F_{3329780}$ diventava quindi il più grande numero di Fermat di cui fosse conosciuto almeno un fattore primo e di conseguenza la non primalità.
Il 18 luglio 2009 il GIMPS ha annunciato la scoperta di un divisore di $F_{19}$:
    $8962167624028624126082526703\cdot {2^{22}+1}$ divide $F_{19}$.
Il 13 febbraio 2015 PrimeGrid ha annunciato di aver scoperto un divisore primo di $F_{2662088}$:
    $267\cdot {2^{2662090}}+1.$
In un sistema numerico binario, tutti i numeri di Fermat sono palindromi (3=11; 5=101; 17=10001; 65537=10000000000000001), e tutti i primi di Fermat sono quindi palindromi primi.

## Proprietà

* I numeri di Fermat soddisfano le seguenti relazioni di ricorrenza valide per n≥2, che possono essere provate tramite induzione:
    $F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1$
    $F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2}$
    $F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2}$
    $F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2.$
Dall'ultima relazione si deduce il cosiddetto teorema di Goldbach: ogni coppia di numeri di Fermat è coprima, ovvero nessun numero primo divide due numeri di Fermat diversi. Infatti, se $F_{i}$ e $F_{j}$ (con $i<j$) avessero un fattore comune $a>1$, questo dividerebbe sia
    $F_{0}\cdots F_{j-1}$
che
    $F_{j}=F_{0}\cdots F_{j-1}+2$
e quindi $a$ dividerebbe 2, ossia $a=2$, il che è impossibile perché tutti i numeri di Fermat sono dispari. Quindi due numeri di Fermat sono sempre coprimi.
Da questo si può dimostrare il teorema dell'infinità dei numeri primi: poiché esistono infiniti numeri di Fermat, e ogni numero primo ne divide al più 1, devono esistere infiniti primi.
* Nessun numero di Fermat può essere espresso come somma di due numeri primi, ad eccezione di $F_{1}=5=2+3$; questo può essere dimostrato osservando che, essendo $F_{n}$ sempre dispari, per essere somma di due primi dovrebbe essere primo il numero $F_{n}-2=2^{2^{n}}-1$, che però è sempre divisibile per 3.
* Nessun numero di Fermat può essere espresso come differenza di due potenze $p$-esime, dove $p$ è un primo dispari.
* La somma dei reciproci di tutti i numeri di Fermat è irrazionale. (Solomon W. Golomb, 1963)