# Metodo di riduzione dell'ordine

In matematica, il metodo di riduzione dell'ordine è una procedura utilizzata per risolvere equazioni differenziali lineari ordinarie. Frequentemente si applica a equazioni lineari del secondo ordine quando si conosce una soluzione $y_{1}(x)$ e si vuole trovare una seconda soluzione linearmente indipendente $y_{2}(x)$. Nel caso di equazioni di ordine n produce un abbassamento di grado dell'equazione.

## Metodo generale

Data un'equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea:
    $y''+p(t)y'+q(t)y=r(t)$
ed una soluzione $y_{1}(t)$ dell'equazione omogenea, si vuole trovare una soluzione dell'equazione completa che abbia la forma:
    $y_{2}=v(t)y_{1}(t)\,$
dove $v(t)$ è una funzione arbitraria. Derivando:
    $y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)$
    $y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t)$
e sostituendo nell'equazione di partenza si ha:
    $y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=r(t)$
Dato che $y_{1}(t)$ è soluzione dell'equazione omogenea:
    $y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0$
la precedente si può ridurre a:
    $y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=r(t)$
che è un'equazione del primo ordine per $v'(t)$. Dividendo per $y_{1}(t)$ si ha:
    $v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'={\frac {r(t)}{y_{1}(t)}}$
Moltiplicando l'equazione per il fattore di integrazione:
    $\mu (t)=e^{\int ({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t))dt}=y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt}$
l'equazione si può ridurre a:
    ${\frac {d}{dt}}(v'(t)y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt})=y_{1}(t)r(t)e^{\int p(t)dt}$
Integrando l'ultima equazione si trova $v'(t)$, che contiene una costante d'integrazione. Quindi integrando $v'(t)$ si giunge alla soluzione dell'equazione non omogenea (con due costanti di integrazione):
    $y_{2}(t)=v(t)y_{1}(t)$

## Esempio

Data l'equazione lineare a coefficienti costanti:
    $ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0$
dove $a$, $b$ e $c$ sono coefficienti non nulli, si assuma che l'equazione caratteristica associata:
    $a\lambda ^{2}+b\lambda +c=0$
abbia due radici ripetute:
    $\lambda _{1}=\lambda _{2}=-{\frac {b}{2a}}$
Una soluzione dell'equazione è allora:
    $y_{1}(x)=e^{-{\frac {b}{2a}}x}$
Per trovare la seconda, si consideri la funzione:
    $y_{2}(x)=v(x)y_{1}(x)$
con $v(x)$ una funzione ignota da determinare. La funzione $y_{2}(x)$ deve soddisfare l'equazione di partenza; sostituendola in essa si ha:
    $a\left(v''y_{1}+2v'y_{1}'+vy_{1}''\right)+b\left(v'y_{1}+vy_{1}'\right)+cvy_{1}=0$
e raccogliendo le derivate di $v(x)$:
    $\left(ay_{1}\right)v''+\left(2ay_{1}'+by_{1}\right)v'+\left(ay_{1}''+by_{1}'+cy_{1}\right)v=0$
Sapendo che $y_{1}(x)$ è una soluzione, il coefficiente del termine di grado zero dell'equazione precedente è nullo. Inoltre, sostituendo $y_{1}(x)$ nel coefficiente del secondo termine (primo grado) si ha che il coefficiente diventa:
    $2a\left(-{\frac {b}{2a}}e^{-{\frac {b}{2a}}x}\right)+be^{-{\frac {b}{2a}}x}=\left(-b+b\right)e^{-{\frac {b}{2a}}x}=0$
Rimane quindi soltanto il termine di secondo grado:
    $ay_{1}v''=0$
Essendo $a\neq 0$ e $y_{1}(x)$ una funzione esponenziale (sempre positiva) si può scrivere:
    $v''=0$
che integrando due volte produce:
    $v(x)=c_{1}x+c_{2}$
dove $c_{1}$ e $c_{2}$ sono costanti date dall'integrazione. Si può allora scrivere la seconda soluzione come:
    $y_{2}(x)=(c_{1}x+c_{2})y_{1}(x)=c_{1}xy_{1}(x)+c_{2}y_{1}(x)$
Essendo il secondo termine un multiplo scalare della prima soluzione (dunque linearmente dipendente con essa), esso non viene considerato e si giunge a:
    $y_{2}(x)=xy_{1}(x)=xe^{-{\frac {b}{2a}}x}$
Per mostrare che invece la seconda soluzione $y_{2}(x)$ è linearmente indipendente, si calcola il Wronskiano:
    $W(y_{1},y_{2})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}&xy_{1}\\y_{1}'&y_{1}+xy_{1}'\end{vmatrix}}=y_{1}(y_{1}+xy_{1}')-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}+xy_{1}y_{1}'-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}=e^{-{\frac {b}{2a}}x}\neq 0$
Quindi $y_{2}(x)$ è la seconda soluzione cercata.