# Anello (algebra)

In matematica, in particolare in algebra astratta, un anello è una struttura algebrica composta da un insieme su cui sono definite due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto, indicate rispettivamente con $+$ e $\cdot$, che godono di proprietà simili a quelle verificate dai numeri interi. La parte della matematica che li studia è detta teoria degli anelli.

## Definizione formale

L'insieme $A$, dotato di due operazioni binarie $+$ e $\cdot$, è un anello se valgono le seguenti proprietà:
$(A,+)$ è un gruppo abeliano con elemento neutro $0$:
* $(a+b)+c=a+(b+c),$
* $a+b=b+a,$
* esiste un elemento $0\in A$ tale che $0+a=a+0=a,$
* per ogni $a\in A$ esiste un elemento $-a\in A$ tale che $a+(-a)=(-a)+a=0.$
$(A,\cdot )$ è un semigruppo:
* $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).$
La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:
* $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c),$
* $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c).$
Le relazioni devono valere per ogni $a$, $b$ e $c$ in $A$.
Come per i numeri, il simbolo $\cdot$ per la moltiplicazione è spesso omesso.
Spesso vengono studiati anelli che posseggono ulteriori proprietà: se anche la moltiplicazione è commutativa, $A$ è detto anello commutativo, se ammette un elemento neutro (generalmente indicato con $1$; cioè $(A,\cdot )$ è un monoide) allora l'anello è unitario; se poi l'anello è commutativo e non esistono divisori dello $0$ (cioè se $ab=0$ allora almeno uno tra $a$ e $b$ è $0$) si è in presenza di un dominio d'integrità.
Un corpo è un anello con unità i cui elementi non nulli hanno inverso moltiplicativo. Un campo è un anello commutativo con unità i cui elementi non nulli hanno inverso moltiplicativo, ossia un corpo commutativo. L'esempio più importante di corpo non commutativo è il corpo $\mathbb {H}$ dei quaternioni, mentre gli insiemi $\mathbb {Q}$ (numeri razionali), $\mathbb {R}$ (numeri reali) e $\mathbb {C}$ (numeri complessi) sono esempi di campi.
A volte la definizione di anello è lievemente diversa. La più importante di queste differenze è la richiesta che l'anello possegga anche l'unità: tra i matematici che adottano questa definizione vi sono Bourbaki e Serge Lang. In questo caso, per riferirsi alla struttura qui presentata come anello, viene usato il termine pseudoanello. Altri autori non richiedono l'associatività del prodotto.

## Esempi

L'esempio più basilare della struttura di anello è l'insieme $\mathbb {Z}$ dei numeri interi, dotato delle usuali operazioni di somma e prodotto. Tale anello è commutativo ed è un dominio d'integrità. L'insieme dei numeri naturali non è invece un anello, perché non esistono gli inversi rispetto all'addizione.
Allo stesso modo, l'insieme $A[x]$ dei polinomi con variabile $x$, e coefficienti in un anello $A$, è un anello con le usuali operazioni di somma e prodotto fra polinomi. Tale anello eredita molte proprietà da quelle di $A$, quali la commutatività e l'assenza di divisori dello 0. Anche l'insieme $F(X,A)$ delle funzioni da un insieme qualsiasi $X$ ad un anello $A$ forma un altro anello con le usuali operazioni di somma e prodotto fra funzioni punto a punto, definite nel modo seguente:
    $(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x).$
Un anello non commutativo è invece l'anello delle matrici $n\times n$ (con $n\geq 2$) a valori in un anello $A$ (indicato con $M(n,A)$), con le operazioni di somma e prodotto fra matrici. Generalmente questo anello possiede anche dei divisori dello zero. Ad esempio, in $M(2,\mathbb {R} )$ valgono le relazioni:
    ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\\\end{pmatrix}},$
    ${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\\\end{pmatrix}},$
e
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.$

## Teoremi di base

A partire dagli assiomi, si può dedurre immediatamente che per ogni $a$ e $b$ in un anello $A$:
* $0a=a0=0,$
* $(-a)b=a(-b)=-(ab).$
Se poi l'anello $A$ è unitario, allora
* l'unità è unica,
* $(-1)a=-a,$
* $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ se $a$ e $b$ hanno inversi rispetto al prodotto,
* se $0=1$ allora l'anello è formato da un solo elemento,
Un altro importante teorema, che non richiede l'esistenza dell'unità, è il teorema del binomio:
    $(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k},$
valido per ogni coppia di elementi $x$ e $y$ che commutano (cioè tali che $xy=yx$).

## Sottostrutture

Un sottoanello di un anello $A$ è un sottogruppo $S$ di $(A,+)$ che sia chiuso rispetto al prodotto. In altre parole, $S$ è un sottoinsieme non vuoto di $A$, e se $a$ e $b$ sono in $S$, allora anche $a-b$ e $ab$ sono in $S$. Poiché gli assiomi elencati sopra continuano a valere per $S$, anch'esso è un anello rispetto alle operazioni $+$ e $\cdot$ di $A$. In questo modo costruiamo facilmente altri esempi:
* I numeri interi divisibili per $n$ sono un sottoanello di $\mathbb {Z}$.
* I numeri razionali con denominatore dispari sono un sottoanello di $\mathbb {Q}$.
* L'insieme di tutti i numeri reali della forma $a+b{\sqrt {2}}$ con $a$ e $b$ interi è un sottoanello di $\mathbb {R}$.
* Gli interi gaussiani $a+bi$ in $\mathbb {C}$, dove $a$ e $b$ sono interi, sono un sottoanello di $\mathbb {C}$.
* I polinomi in $A[x]$ del tipo $p(x)=a_{0}+a_{1}x^{2}+a_{2}x^{4}+\dots +a_{n}x^{2n}$ sono un sottoanello di $A[x]$.
* L'insieme delle frazioni diadiche costituisce un sottoanello dei numeri razionali.
Un particolare sottoanello è il centro di un anello $A$: esso comprende tutti gli elementi che commutano (moltiplicativamente) con qualsiasi elemento di $A$. Esso coincide con l'intero anello se e solo se $A$ è un anello commutativo.
A partire da un sottoanello $S$ di $A$ e da un sottoinsieme $X$, si può costruire il più piccolo sottoanello contenente $S$ ed $X$: esso è indicato con $S[X]$, ed è uguale all'insieme delle combinazioni degli elementi di $S\cup X$ mediante le operazioni di anello. Tale operazione è detta estensione di anelli, ed è "finitamente generata" se $X$ è finito.

### Ideali

Spesso tuttavia al posto di questa struttura si preferisce usare quella, più forte, di ideale: esso è definito in un anello commutativo come un particolare sottoanello tale che tutti i prodotti $ai$, dove $a$ è un elemento dell'anello e $i$ appartiene all'ideale, sono ancora elementi dell'ideale. Se invece l'anello non è commutativo, è necessario distinguere tra ideali destri e sinistri: i primi sono quelli tali che $ia$ appartiene all'ideale per ogni $i$ nell'ideale e $a$ nell'anello, mentre per i secondi, allo stesso modo, $ai$ appartiene all'ideale. Se un ideale è sia destro che sinistro, viene detto bilatero o bilaterale.
L'importanza di questa struttura risiede nel fatto che il nucleo di un omomorfismo tra due anelli è sempre un ideale bilatero di $A$, e che a partire da un ideale bilatero $I$ è possibile costruire l'anello quoziente $A/I$. Inoltre la presenza di ideali permette di stabilire un'importante proprietà dell'anello: esso è infatti un campo se e solo se è privo di ideali non banali (cioè diversi dall'insieme $\{0\}$ e dall'anello stesso).
A seconda del rapporto di un ideale con il resto dell'anello, sono possibili ulteriori specificazioni: un ideale primo $I$ è un ideale tale che, per ogni prodotto ab che appartiene ad $I$, almeno uno tra $a$ e $b$ appartiene ad $I$ (il nome deriva dalla similitudine di questa definizione con il lemma di Euclide riguardante i numeri primi); se invece non esistono ideali "intermedi" tra $I$ ed $A$ (cioè se l'unico ideale di $A$ che contiene $I$ è $A$ stesso) si parla di ideale massimale. Questi due tipi di ideali sono particolarmente importanti in relazione ai loro quozienti: in un anello commutativo, infatti, $I$ è primo se e solo se $A/I$ è un dominio d'integrità, mentre se l'anello è anche unitario $I$ è massimale se e solo se $A/I$ è un campo. Questo implica anche che, in un anello commutativo unitario, ogni ideale massimale è primo.
Il lemma di Krull (la cui dimostrazione si basa sul lemma di Zorn) afferma che ogni anello unitario possiede almeno un ideale massimale; se esso è unico, l'anello si dice locale. L'insieme degli ideali primi di un anello commutativo $A$ forma il cosiddetto spettro di $A$.

## Elementi invertibili

Un elemento $a$ di un anello $A$ con unità è invertibile se esiste un $b$ tale che $ab=ba=1$.
Gli elementi invertibili di un anello sono spesso chiamati unità. Normalmente è il contesto che chiarisce se si parla di unità intesa come l'elemento neutro moltiplicativo, o di unità intesa come elemento invertibile.
L'insieme degli elementi invertibili in $A$ è generalmente descritto come $A^{*}$. L'insieme $A^{*}$ forma un gruppo con l'operazione prodotto, chiamato gruppo moltiplicativo di $A$.
Ad esempio, nei numeri interi il gruppo moltiplicativo è dato dai due elementi $\{-1,1\}$. In un corpo o in un campo, il gruppo moltiplicativo coincide con tutto l'anello privato dell'elemento neutro.

## Omomorfismi

Un omomorfismo tra due anelli $A$ e $B$ è una funzione che preserva le operazioni, cioè una funzione $f$ tale che, per ogni coppia di elementi $a$ e $b$ di $A$, si ha $f(a+b)=f(a)+f(b)$ e $f(ab)=f(a)f(b)$. Gli omomorfismi quindi preservano in qualche modo la struttura algebrica; particolarmente importanti tra di essi sono gli isomorfismi, ovvero gli omomorfismi biunivoci, che la conservano completamente: due anelli isomorfi possono essere considerati "uguali" per tutte le proprietà algebriche.
Ogni omomorfismo mappa lo zero di $A$ nello zero di $B$, mentre questo non avviene per l'unità, nemmeno se entrambi gli anelli sono unitari: condizioni sufficienti perché questo avvenga è che l'omomorfismo sia suriettivo oppure che nel codominio non esistano divisori dello zero. Il nucleo di un omomorfismo è un ideale bilatero di $A$, e viceversa ogni ideale è il nucleo di un omomorfismo: invece l'immagine di $A$ è un sottoanello di $B$. Gli omomorfismi preservano in una certa misura anche le sottostrutture: l'immagine di un sottoanello è un sottoanello, mentre l'immagine di un ideale è un ideale nell'immagine di $A$, ma non necessariamente in $B$.
Una relazione molto importante è il teorema fondamentale di omomorfismo, che permette di trovare degli isomorfismi a partire dagli omomorfismi: se $f$ è un omomorfismo tra $A$ e $B$ e $I$ è il suo nucleo, allora il quoziente $A/I$ è isomorfo all'immagine $f(A)$.
Un omomorfismo suriettivo può essere considerato una proiezione di un anello $A$ su un suo quoziente $A/I$ (dove $I$ è il nucleo); un omomorfismo iniettivo, invece, può essere considerato un'inclusione di un anello nell'altro, perché, per il teorema di omomorfismo, esiste nel codominio un'immagine isomorfa ad $A$, che quindi può essere considerata uguale ad $A$. Se $A$ è un campo, inoltre, tutti gli omomorfismi non nulli sono iniettivi, in quanto gli unici ideali sono quelli banali.

## Prodotto diretto

Il prodotto diretto di due anelli $A$ e $B$ è il prodotto cartesiano $A\times B$ con le operazioni definite termine a termine:
    $(a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),$
    $(a_{1},b_{1})(a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2},b_{1}b_{2}).$
Questo nuovo insieme forma un anello, in cui lo $0$ è la coppia $(0_{A},0_{B})$. Diverse proprietà di questo nuovo anello possono essere dedotte dalle proprietà degli anelli di partenza: $A\times B$ è commutativo se e solo se lo sono entrambi i fattori, mentre se $A$ e $B$ sono unitari allora $(1_{A},1_{B})$ è l'unità di $A\times B$. Una proprietà che invece non passa al prodotto è l'assenza di divisori degli zeri: infatti il prodotto $(0_{A},a)(b,0_{B})$ è sempre uguale a $(0_{A},0_{B})$, anche se $a$ e $b$ non sono zeri. Questo implica che il prodotto diretto di campi non è mai un campo, a meno che uno non sia ridotto al solo $0$.
Questa definizione si può estendere naturalmente al prodotto cartesiano di $n$ anelli.

## Elementi primi ed irriducibili

In un dominio d'integrità è possibile come in $\mathbb {Z}$ studiare la fattorizzazione di un dato elemento (non invertibile). In questo contesto, la definizione di divisibilità si estende naturalmente al caso di qualsiasi dominio: $a$ divide $b$ se esiste un elemento $r$ tale che $ar=b$. Se $r$ è invertibile, $a$ e $b$ si dicono associati.
Due definizioni emergono naturalmente in questo studio:
* un elemento $a$ è irriducibile se, ogniqualvolta che $a=bc$, allora o $b$ o $c$ è invertibile;
* un elemento $a$ è primo se, quando $a$ divide il prodotto $bc$, allora $a$ divide almeno uno tra $b$ e $c$.
In $\mathbb {Z}$, queste due definizioni sono equivalenti, ma questo non è vero in generale: gli elementi primi sono irriducibili, ma gli irriducibili non sono sempre primi. Ad esempio, nell'anello
    $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=\{a+b{\sqrt {-3}}~|~a,b\in \mathbb {Z} \}=\{a+ib{\sqrt {3}}~|~a,b\in \mathbb {Z} ,~i={\sqrt {-1}}\},$
$2$ è irriducibile ma non primo, perché divide il prodotto $(1-i{\sqrt {3}})(1+i{\sqrt {3}})=4$, ma non divide né un fattore né l'altro.
Questa seconda implicazione è tuttavia verificata negli anelli a fattorizzazione unica, ovvero in quegli anelli in cui, date due fattorizzazioni in irriducibili
    $a=b_{1}b_{2}\cdots b_{n}=c_{1}c_{2}\cdots c_{m}$
allora $m=n$, e ogni $b_{i}$ è associato ad un $c_{j}$. In ogni dominio a fattorizzazione unica esistono il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo tra ogni coppia di elementi.
Anelli con ancora maggiori proprietà sono gli anelli ad ideali principali e gli anelli euclidei, in cui è possibile effettuare la divisione euclidea come negli interi. A quest'ultima classe appartengono anche gli anelli di polinomi $\mathbb {K} [X]$, dove $\mathbb {K}$ è un campo.