# Teorema di Cauchy-Kovalevskaya

In analisi matematica, il teorema di Cauchy-Kovalevskaya è un importante risultato di esistenza e unicità per equazioni alle derivate parziali con coefficienti analitici associate a problemi di Cauchy. Questo teorema è dovuto a Augustin Cauchy (1842) in un caso particolare e a Sof'ja Kovalevskaja (1875) in generale.

## Primo ordine

Si consideri un sistema di EDP di m variabili dipendenti e n + 1 variabili indipendenti:
    ${\partial u_{i} \over \partial t}=F_{i}\left(u_{1},\ldots ,u_{m};t,x_{1},...x_{n};{\partial u_{1} \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial u_{m} \over \partial x_{n}}\right)$
in cui $F_{1}\dots ,F_{m}$ sono analitiche in un intorno del punto $(u_{1}^{0},\ldots ,u_{m}^{0};t^{0},x_{1}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})$ con condizioni iniziali:
    $u_{i}=f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})$
per il tempo iniziale $t=t_{0}$, e le $f_{1}\dots ,f_{m}$ sono analitiche in un intorno del punto $(x_{1}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})$ tale che $u_{i}^{0}=f_{i}(x_{1}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})$.
Allora esiste un'unica soluzione analitica in un intorno del punto considerato.
Si tratta di un risultato di esistenza locale: non assicura cioè che la soluzione sia definita in tutto lo spazio. Un'importante considerazione è che il tipo di equazione (parabolica, ellittica, iperbolica) è irrilevante. Con semplici trasformazioni si può generalizzare leggermente il teorema: con un cambio di variabile $t'=t-\phi (x_{1},\ldots ,x_{m})$ si può supporre che le condizioni iniziali siano date su una varietà generica piuttosto che sul piano $t=t_{0}$.
Una dimostrazione si ricava espandendo in serie formale di potenze entrambi i membri della EDP.

## Ordine superiore

Se $F$ e $f_{j}$ sono analitiche in un intorno dello zero, allora il problema di Cauchy non-lineare:
    $\partial _{t}^{k}h=F\left(x,t,\partial _{t}^{j}\,\partial _{x}^{\alpha }h\right)\qquad j<k\quad |\alpha |+j\leq k$
con condizione iniziale:
    $\partial _{t}^{j}h(x,0)=f_{j}(x)\qquad 0\leq j<k$
possiede una soluzione unica in un intorno dello zero. Ciò segue dal caso di ordine 1 considerando il fatto che la derivata di $h$ nel membro a destra può essere vista come la componente di una funzione vettoriale.
Per esempio, l'equazione del calore:
    $\partial _{t}h=\partial _{x}^{2}h$
con la condizione:
    $h(0,x)={1 \over 1+x^{2}}$
per $t=0$, posside un'unica soluzione espandibile in serie formale di potenze attorno al punto $(0,0)$, che tuttavia non converge per tutti i valori di $t$ diversi da 0, e quindi non si hanno soluzioni analitiche in un intorno dell'origine.

## Il teorema di Cauchy-Kowalevski-Kashiwara

Il teorema di Cauchy-Kowalevski-Kashiwara fornisce una generalizzazione per sistemi lineari di equazioni alle derivate parziali che si deve a Kashiwara (1983). Tale risultato include una formulazione coomologica presentata attraverso il linguaggio dei D-moduli.
Ad esempio, dato $n\leq m$, sia $Y=\{x_{1}=\cdots =x_{n}\}$. Il sistema $\partial _{x_{i}}f=g_{i},i=1,...,n,$ possiede una soluzione $f\in \mathbb {C} \{x_{1},...,x_{m}\}$ se e solo se le condizioni $\partial _{x_{i}}g_{j}=\partial _{x_{j}}g_{i}$ sono soddisfatte. Per avere una soluzione unica si deve incorporare una condizione iniziale $f|_{Y}=h$, dove $h\in \mathbb {C} \{x_{n+1},...,x_{m}\}$.