# Apeirogono

In geometria, un apeirogono (dal greco ἄπειρος, apeiros, che significa "infinito, illimitato" e γωνία, gonia, che significa "angolo") o poligono infinito è un poligono con un numero infinito di lati, ovverosia un politopo infinito di dimensione 2.

## Definizioni
### Apeirogono geometrico

Secondo la definizione data da H. S. M. Coxeter, dati un punto A$_0$ in uno spazio euclideo e una translazione S, e sia il punto A$_i$ il punto ottenuto dall'applicazione della traslazione S al punto A$_0$ per i volte, così che A$_i$ = S$^i$(A$_0$), un apeirogono regolare è il poligono che si ottiene unendo i vertici ottenuti per ogni numero intero i con segmenti di uguale lunghezza.
Un apeirogono regolare può anche essere definito come la ripartizione di una retta euclidea E$^1$ in infiniti segmenti di uguale lunghezza, generalizzando quindi il concetto di n-gono regolare, che può essere definito come una ripartizione del cerchio S$^1$ in un numero finito di segmenti di uguale lunghezza.

### Pseudogono iperbolico

Considerando uno spazio iperbolico, l'analogo dell'apeirogono regolare è lo pseudogono regolare, definito come la partizione di una retta iperbolica in $\mathbb {H} ^{1}$ in segmenti di lunghezza 2λ.

### Apeirogono astratto

Com'è noto, un politopo astratto è un insieme parzialmente ordinato P (i cui elementi sono chiamati facce) che soddisfa 4 assiomi:
* Ha almeno una faccia e una faccia di dimensione maggiore;
* Tutte le bandiere contengono lo stesso numero di facce;
* È fortemente connesso;
* Se le dimensioni di due facce, a e b con a > b, differiscono di 2, ci sono esattamente due facce c e d tali che, per dimensione, a > c > b e a > d > b
Per i politopi astratti di dimensione 2, ciò significa che:
* Gli elementi dell'insieme parzialmente ordinato sono insiemi di vertici contenenti zero vertici (insieme vuoto), un vertice, due vertici (un lato), o l'intero insieme di vertici (una faccia bidimensionale), ordinati per inclusione di insiemi;
* Ogni vertice appartiene esattamente a due lati;
* Il grafo non orientato formato dai vertici e dagli archi è connesso.
Un politopo astratto si chiama dunque apeirotopo astratto se ha infiniti elementi e un 2-apeirotopo astratto è chiamato apeirogono astratto. Dato che la realizzazione di un politopo astratto si ottiene con la mappatura dei suoi vertici in punti di uno spazio geometrico - tipicamente uno spazio euclideo - ogni apeirogono geometrico è la realizzazione di un apeirogono astratto.

## Simmetrie

Il gruppo diedrale infinito G di un apeirogono geometrico regolare è generato da due riflessioni, il cui prodotto trasla ciascun vertice di P al successivo. Tale prodotto può poi essere scomposto come il prodotto di una traslazione diversa da zero, di un numero finito di rotazioni e di una riflessione possibilmente banale.
In un politopo astratto, una bandiera è una raccolta contenente una faccia di ciascuna dimensione (per un poliedro P essa è ad esempio una terna (v, s, f), in cui v è un vertice - ossia una faccia di dimensione 0 - di P, s è uno spigolo - ossia una faccia di dimensione 1 - di P ed f è una faccia - in particolare una faccia di dimensione 2 - di P, tali che v < s < f) tutte incidenti tra loro, e tale politopo astratto è detto "regolare" se possiede simmetrie che portano qualsiasi bandiera su qualsiasi altra bandiera, cosa automaticamente vera nel caso di un politopo astratto bidimensionale.
La realizzazione simmetrica di un apeirogono astratto è quindi definita come la mappatura dai suoi vertici a uno spazio geometrico a dimensione finita - tipicamente uno spazio euclideo - tale che ogni simmetria dell'apeirogono astratto corrisponde a un'isometria delle immagini della mappatura.

## Spazio dei moduli

Generalmente lo spazio dei moduli di una realizzazione fedele di un politopo astratto è un cono convesso di dimensione infinita. Il cono di realizzazione dell'apeirogono astratto ha una dimensione algebrica non delimitabile, letteralmente “infinitamente infinita”, e non può essere chiuso nella topologia euclidea .

## Classificazione degli apeirogoni euclidei

La realizzazione simmetrica di qualsiasi poligono regolare nello spazio euclideo di dimensione maggiore di 2 è riducibile, nel senso che può essere realizzata come un'unione di due poligoni di dimensione inferiore. Questa caratterizzazione dei poligoni si applica anche naturalmente agli apeirogoni regolari, i quali sono il risultato della fusione dell'apeirogono unidimensionale con altri poligoni.
In due dimensioni gli apeirogoni regolari discreti sono i poligoni sghembi infiniti risultanti dalla fusione dell'apeirogono monodimensionale con il digono, rappresentati con il simbolo di Schläfli {∞}#{2}, {∞}#, o $\left\{{\dfrac {2}{0,1}}\right\}$.
In tre dimensioni gli apeirogoni regolari discreti sono i poligoni elicoildali infiniti, aventi i vertici equamente distanziati lungo un'elica, risultanti dalla fusione di un apeirogono monodimensionale con un poligono bidimensionale, {∞}#{p/q} o $\left\{{\dfrac {p}{0,q}}\right\}$.

## Generalizzazioni
### Dimensione maggiore di 2

L'analogo in 3 dimensioni dell'apeirogono prende il nome di apeiroedro, e, più in generale, un n-apeirotopo o un n-politopo infinito è l'analogo n-dimensionale di un apeirogono.