# Soluzione on shell e off shell

In fisica, in particolare nella teoria quantistica dei campi, si parla di soluzione on shell e off shell per indicare le configurazioni di un sistema fisico. Quando una configurazione è soluzione delle classiche equazioni del moto viene chiamata soluzione on shell, mentre se non le soddisfa è detta soluzione off shell.

## Shell di massa

Il termine "'soluzione on shell e off shell"' deriva da "shell di massa", sinonimo di iperboloide di massa, cioè è l'iperboloide nello spazio dell'energia-impulso che descrivono le soluzioni dell'equazione:
    $E^{2}-|{\vec {p}}\,|^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}$
La quale descrive le combinazioni dell'energia E e della quantità di moto ${\vec {p}}$ consentite dalla relatività speciale per una particella di massa m, dove c è la velocità della luce. L'equazione per lo shell di massa è spesso scritta in termini di quadrimpulso in notazione di Einstein e nelle unità naturali in cui $c=1$, come:
    $p^{\mu }p_{\mu }=m^{2}$
o più semplicemente:
    $p^{2}=m^{2}$

## Teoria quantistica dei campi

La teoria quantistica dei campi è la versione relativistica della meccanica quantistica, dove gli oggetti fondamentali sono i campi. Essa fornisce la struttura teorica su cui si basano per esempio la fisica delle particelle e la fisica della materia condensata. In particolare, la teoria quantistica del campo elettromagnetico, conosciuta come elettrodinamica quantistica, è una delle teorie di maggior successo della fisica.
La teoria quantistica dei campi fornisce alcune correzioni alla meccanica quantistica ordinaria, in cui l'evoluzione di un sistema è descritta dall'equazione di Schrödinger che nella sua forma più comune è:
    $\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)$
dove $\hbar$ è la costante di Planck ridotta, $\Psi$ è la funzione d'onda di una particella, $m$ la sua massa, e $V$ un'energia potenziale applicata.
Ci sono due problemi associati a questa equazione:
* In primo luogo non è relativistica, il limite di corrispondenza è ridotto alla meccanica classica piuttosto che a quella relativistica. Ciò è visibile se si nota che il primo termine a sinistra rappresenta solamente l'energia cinetica classica $p^{2}/2m$, mentre l'energia a riposo $mc^{2}$ viene omessa. È possibile modificare l'equazione di Schrödinger per includere l'energia a riposo, ottenendo, ad esempio, l'equazione di Klein-Gordon per particelle scalari (spin nullo) o l'equazione di Dirac per particelle di spin un mezzo;
* Il secondo problema si ha quando si cerca di estendere l'equazione a grandi numeri di particelle. Particelle identiche sono indistinguibili le une dalle altre (dato che non è possibile conoscerne in modo preciso posizione e velocità allo stesso momento), per cui la funzione d'onda dell'intero sistema deve essere simmetrica (bosoni) o antisimmetrica (fermioni) quando le coordinate delle particelle costituenti vengono scambiate. Questo rende la funzione d'onda di sistemi a molte particelle estremamente complicata. Ad esempio, la funzione d'onda generale di un sistema di $N$ bosoni si scrive come:
    $\Phi (r_{1},\dots ,r_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\phi _{p(1)}(r_{1})\cdots \phi _{p(N)}(r_{N})$
dove $r_{i}$ sono le coordinate della i-esima particella, $\phi _{i}$ sono le funzioni d'onda delle singole particelle, e la somma è presa su tutte le possibili permutazioni di $p$ elementi. In generale, questa è una somma di $N!$ ($N$ fattoriale) termini distinti, che diventa rapidamente ingestibile, al crescere di $N$.

## Campo scalare

Prendendo per esempio un campo scalare in uno spazio di Minkowski D-dimensionale, si consideri una densità di Lagrangiana ${\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )$. L'azione è data da:
    $S=\int d^{D}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )$
L'equazione di Eulero-Lagrange si ottiene considerando la variazione del campo e delle sue derivate, e ponendola uguale a zero. Essa ha la forma:
    $\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}$
Supponendo che il sistema compie uno spostamento infinitesimo $x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\alpha ^{\mu }$ nello spazio-tempo, la densità di Lagrangiana ${\mathcal {L}}$ (uno scalare) si trasforma come:
    $\delta {\mathcal {L}}=\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}$
Espandendo inoltre $\delta {\mathcal {L}}$ in serie di Taylor:
    $\delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )$
dunque:
    $\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )$
notando nel mentre che che $\delta (\partial _{\mu }\phi )=\partial _{\mu }(\delta \phi )$ poiché le variazioni sono linearmente indipendenti. Dal momento che si tratta di campi scalari, essi si trasformano esattamente come ${\mathcal {L}}$:
    $\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi$
e dato che questo deve valere per traslazioni fra loro indipendenti:
    $\alpha ^{\mu }=(\epsilon ,0,\dots ,0),(0,\epsilon ,\dots ,0),\dots$
si può "dividere" per $\alpha ^{\mu }$ e scrivere:
    $\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi$
Questo è un esempio di equazione che vale off shell, poiché è valida per ogni configurazione dei campi indipendentemente dal fatto che essa rispetti le equazioni del moto, che in tal caso sono le equazioni di Eulero-Lagrange.
Si può derivare comunque una soluzione on shell semplicemente rimpiazzando $\partial {\mathcal {L}}/\partial \phi$ nella precedente relazione con l'equazione di Eulero-Lagrange:
    $\partial _{\mu }{\mathcal {L}}=\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi$
Ciò si può scrivere come:
    $\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}\right)=0$
e definendo la quantità tra parentesi come $T^{\nu }_{\mu }$, si ha:
    $\partial _{\nu }T^{\nu }_{\mu }=0$
che è una formulazione del teorema di Noether. La quantità conservata è il tensore energia impulso, ed è conservata solo on shell, ovvero solo se vengono soddisfatte le equazioni del moto.