# Insieme

In matematica, una collezione di elementi rappresenta un insieme se esiste un criterio oggettivo che permette di decidere univocamente se un qualunque elemento fa parte o no del raggruppamento. Si tratta di un concetto fondamentale della matematica moderna, a partire dal quale si è sviluppata la teoria degli insiemi. Nell'uso informale gli oggetti della collezione possono essere qualunque cosa: numeri, lettere, persone, figure, ecc., anche non necessariamente omogenei; nelle formalizzazioni matematiche gli oggetti della collezione vanno invece ben definiti e determinati.

## Generalità

Il concetto di insieme è considerato primitivo e intuitivo: primitivo perché viene introdotto come nozione non derivabile da concetti più elementari; intuitivo perché viene introdotto come generalizzazione della nozione di insieme finito, che a sua volta è introdotta dall'analogia con l'esperienza sensibile di scatole che contengono oggetti materiali (tendenzialmente omogenei); questa impostazione si basa sulla convinzione che l'idea di insieme sia naturalmente presente nella mente umana.
Gli oggetti che compongono un insieme si dicono elementi di questo insieme; nel linguaggio matematico, detto ${\displaystyle a}$ un elemento dell'insieme ${\displaystyle A}$, si dice che ${\displaystyle a}$ appartiene ad ${\displaystyle A}$ o in simboli ${\displaystyle a\in A}$. Un insieme ${\displaystyle A}$ è sottoinsieme di un altro insieme ${\displaystyle B}$ quando tutti gli elementi di ${\displaystyle A}$ appartengono anche a ${\displaystyle B}$.
Ciò che caratterizza il concetto di insieme e lo differenzia da strutture matematiche simili sono essenzialmente le seguenti proprietà:
* Un elemento può appartenere o non appartenere a un determinato insieme, non ci sono vie di mezzo (come accade invece per gli insiemi sfocati);
* Un elemento non può comparire più di una volta in un insieme (mentre può comparire più volte in un multiinsieme);
* Gli elementi di un insieme non hanno un ordine di comparizione (come invece accade alle componenti di un vettore o di una ennupla);
* Gli elementi di un insieme lo caratterizzano univocamente: due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi.
Gli insiemi, con le loro operazioni e relazioni, possono essere rappresentati graficamente con i diagrammi di Eulero-Venn.

## Descrizioni di insiemi

Solitamente un insieme viene indicato con le lettere maiuscole dell'alfabeto: ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle S}$ ... e si chiede che sia univocamente determinato: se ad esempio diciamo che ${\displaystyle M}$ è l'insieme degli ${\displaystyle x}$ tali che ${\displaystyle x}$ è un mammifero marino, allora supponiamo che si sappia sempre decidere se un qualsiasi animale possibile e immaginabile abbia o meno le caratteristiche necessarie per rientrare in ${\displaystyle M}$. Se un oggetto ${\displaystyle x}$ appartiene ad un insieme ${\displaystyle F}$ viene detto elemento di ${\displaystyle F}$ e la relazione si denota nella forma $x\in F$. Viceversa, la relazione di non appartenenza a un insieme si denota nella forma $x\notin F$.
Un insieme può essere definito nei seguenti modi:
* Per elencazione o in estensione: sono elencati gli elementi, in tal caso per convenzione si scrivono gli elementi tra parentesi graffe separati da virgole, ad esempio:
       $F=\{{\mbox{rosa, giglio, geranio}}\}.$
    Questa definizione si utilizza per gli insiemi finiti; per gli insiemi infiniti talvolta si usano puntini di sospensione laddove si ritiene che sia evidente il criterio secondo cui si individuano gli elementi non indicati; ad esempio:
       $P=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},\,\dots\right\}$.
* Per proprietà caratteristica o in comprensione: come l'insieme degli oggetti che verificano una determinata proprietà $P$. In tal caso si usa la scrittura ${\displaystyle \{x\mid P(x)\}}$ dove al posto di $P(x)$ può comparire la descrizione d'una proprietà. Es. : ${\displaystyle F=\{x\mid x{\mbox{ è un fiore}}\}}$ ($F$ è definito come l'insieme degli ${\displaystyle x}$ tali che ${\displaystyle x}$ è un fiore), $F=\left\{x\mid x={\frac {1}{n}}{\mbox{ con }}n{\mbox{ numero intero positivo}}\right\}$.

## Cardinalità

La cardinalità di un insieme è il numero che indica la quantità dei suoi elementi. Ad esempio, l'insieme $\{a,b,c\}$ ha tre elementi (considerando distinte le tre lettere), quindi cardinalità 3; l'insieme dei numeri naturali $\mathbb {N}$ ha invece cardinalità $\aleph _{0}$, il primo cardinale infinito.
Un insieme si dice finito se ha un numero finito di elementi, infinito se contiene infiniti elementi.

## Operazioni tra insiemi

Le principali operazioni tra insiemi sono:
* L'unione di due insiemi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$: si indica con $A\cup B$ ed è l'insieme formato da tutti gli elementi di ${\displaystyle A}$ o di ${\displaystyle B}$ o di entrambi;
* L'intersezione di due insiemi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$: si indica con $A\cap B$ ed è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia all'insieme ${\displaystyle A}$ che all'insieme ${\displaystyle B}$;
* La differenza tra ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle A}$ si indica con $B\setminus A$ o con ${\displaystyle B\smallsetminus A}$ oppure ancora con $B-A$ ed è data dall'insieme formato dai soli elementi di ${\displaystyle B}$ che non appartengono ad ${\displaystyle A}$. $B\setminus A$ viene anche detto insieme complementare di ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle B}$;
* La differenza simmetrica tra due insiemi è l'insieme degli elementi che appartengono ad ${\displaystyle A}$ e non a ${\displaystyle B}$ oppure che appartengono a ${\displaystyle B}$ e non ad ${\displaystyle A}$. Si indica con $A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$;
* Il prodotto cartesiano di due insiemi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ è l'insieme di tutte le possibili coppie ordinate $(a,b)$ con $a\in A$ e $b\in B$.

## Relazioni tra insiemi

Due insiemi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ si dicono inoltre:
* Coincidenti, se sono lo stesso insieme: questo si verifica se e solo se hanno gli stessi elementi;
* Disgiunti, se non hanno nessun elemento in comune.
${\displaystyle B}$ è sottoinsieme di ${\displaystyle A}$ se ${\displaystyle A}$ contiene gli elementi di ${\displaystyle B}$. Secondo la definizione ogni insieme è contenuto in sé stesso. Per esprimere questo si usa la notazione:
    $B\subseteq A.$
Se si vuole escludere che ${\displaystyle B}$ coincida con ${\displaystyle A}$, cioè prevedere che esistono elementi di ${\displaystyle A}$ non contenuti in ${\displaystyle B}$, si usa la notazione:
    $B\subset A$
che si legge: "${\displaystyle B}$ è un sottoinsieme proprio di ${\displaystyle A}$" oppure "${\displaystyle B}$ è incluso propriamente in ${\displaystyle A}$" oppure "${\displaystyle B}$ è contenuto propriamente in ${\displaystyle A}$". Alcuni autori utilizzano solo la seconda notazione, indipendentemente dal tipo di inclusione.
La relazione binaria di inclusione tra insiemi rende una qualsiasi classe di insiemi un insieme parzialmente ordinato.

## L'insieme vuoto

Insieme vuoto è l'insieme che non contiene nessun elemento. Si indica con i simboli $\varnothing$, $\emptyset$ o con due parentesi graffe, la prima aperta e l'altra chiusa $\left\{\right\}$.
L'insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso sé stesso).

## L'insieme delle parti

Per qualunque insieme ${\displaystyle A}$ si definisce insieme delle parti o "insieme potenza" di ${\displaystyle A}$ e si indica con ${\mathcal {P}}(A)$ o $2^{A}$ l'insieme che ha come elementi tutti e soli i sottoinsiemi di ${\displaystyle A}$. Ad esempio, se $A=\left\{a,b,c\right\}$ allora il suo insieme delle parti è costituito da ${\mathcal {P}}(A)=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},A\}$.
L'insieme delle parti ha cardinalità strettamente maggiore di quella dell'insieme di partenza. Se ${\displaystyle A}$ è finito e ha ${\displaystyle |A|}$ elementi, il numero degli elementi di ${\mathcal {P}}(A)$ è dato da $2^{|A|}$ (in simboli, $|{\mathcal {P}}(A)|=|2^{A}|=2^{|A|}$).
L'insieme delle parti di qualsiasi insieme, considerato congiuntamente all'operazione di differenza simmetrica, forma un gruppo abeliano. Se vengono considerate insieme unione, intersezione e complementazione la struttura generata è un'algebra di Boole.

## La partizione di un insieme

Si chiama partizione dell'insieme $A$ un insieme di sottoinsiemi di $A$ che ha queste caratteristiche:
* ogni sottoinsieme non è vuoto;
* tutti i sottoinsiemi sono disgiunti tra loro;
* l'unione di tutti i sottoinsiemi è $A.$

## L'insieme complementare di un insieme

Dati gli insiemi $A$ e $B,$ con $B\subseteq A$, l'insieme complementare di $B$ rispetto ad $A$ è ${\displaystyle A\smallsetminus B}$ Lo indichiamo con ${\displaystyle C_{A}(B).}$

## Insiemi numerici

Alcuni insiemi, detti numerici, hanno un ruolo particolarmente importante e pervasivo in tutte le branche della matematica:
* L'insieme $\mathbb {N}$ dei numeri naturali.
* L'insieme $\mathbb {Z}$ dei numeri interi.
* L'insieme $\mathbb {Q}$ dei numeri razionali.
* L'insieme $\mathbb {R}$ dei numeri reali.
* L'insieme $\mathbb {C}$ dei numeri complessi.
Questi insiemi si possono vedere intuitivamente come contenuti uno nell'altro:
    $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .$
Più propriamente si dovrebbe parlare di immersione di ogni insieme nel seguente, poiché secondo la corrente assiomatizzazione i vari insiemi sono definiti in modi radicalmente diversi l'uno dall'altro. Dunque non si può dire che $\mathbb {N}$ sia contenuto in $\mathbb {Z}$, ma che vi sia una funzione iniettiva da $\mathbb {N}$ a $\mathbb {Z}$.