# Assiomi di Huzita-Hatori

Gli assiomi di Huzita-Hatori sono gli assiomi su cui si basa la matematica degli origami. I primi sei assiomi sono stati formulati dal matematico italo-giapponese Humiaki Huzita nel 1992, e descrivono le operazioni che sono consentite quando si piega un pezzo di carta, come nell'arte dell'origami. Il settimo assioma è stato aggiunto dal matematico giapponese Koshiro Hatori.

## I sette assiomi

Gli assiomi si basano sulle ipotesi che ogni operazione sia eseguita su un piano, e che tutte le piegature siano in linea retta. Gli assiomi sono i seguenti:
* Dati due punti p$_1$ e p$_2$, esiste un'unica piegatura che passi per entrambi.
* Dati due punti p$_1$ e p$_2$, esiste un'unica piegatura che porti p$_1$ su p$_2$.
* Date due linee rette l$_1$ e l$_2$, esiste sempre una piegatura che porti l$_1$ su l$_2$.
* Dati un punto p e una retta l, esiste un'unica piegatura perpendicolare a l che passi per il punto p.
* Dati due punti p$_1$ e p$_2$ e una retta l, se esiste una piegatura passante per p$_2$ che porti p$_1$ su l, allora tale piegatura può essere costruita.
* Dati due punti p$_1$ e p$_2$ e due rette l$_1$ e l$_2$, se esiste una piegatura che porti p$_1$ su l$_1$ e p$_2$ su l$_2$. allora tale piegatura può essere costruita.
* Dati un punto p e due rette l$_1$ e l$_2$, esiste sempre una piegatura perpendicolare a l$_2$ che porti p su l$_1$.
Si può notare che l'assioma (5) può avere zero, una o due soluzioni, mentre l'assioma (6) può averne zero, una, due o tre. In questo modo, le costruzioni geometriche che ne risultano sono più forti delle costruzioni con riga e compasso, dove il numero massimo di soluzioni di un assioma è due. Per questo motivo le costruzioni con riga e compasso possono risolvere al massimo equazioni di secondo grado, mentre le costruzioni per mezzo di origami possono risolvere anche equazioni di terzo grado.

## Dettagli
### Assioma 1

Dati due punti p$_1$ e p$_2$, esiste un'unica piegatura che passi per entrambi.
In forma parametrica, l'equazione della retta passante per i due punti è:
    $F(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1})$

### Assioma 2

Dati due punti p$_1$ e p$_2$, esiste un'unica piegatura che porti p$_1$ su p$_2$.
Questo assioma è equivalente a trovare l'asse del segmento p$_1$p$_2$. Ciò può essere fatto in quattro passi:
* Usare l'Assioma 1 per trovare la linea tra p$_1$ e p$_2$, data da $P(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1})$
* Trovare il punto medio (p$_{mid}$) di P(s)
* Trovare il vettore v$^{perp}$ perpendicolare a P(s)
* L'equazione parametrica della piegatura è quindi:
    $F(s)=p_{\mathrm {mid} }+s\cdot \mathbf {v} ^{\mathrm {perp} }$

### Assioma 3

Date due linee rette l$_1$ e l$_2$, esiste sempre una piegatura che porti l$_1$ su l$_2$.
Questo assioma equivale a trovare la bisettrice dell'angolo compreso tra l$_1$ e l$_2$. Chiamiamo p$_1$ e p$_2$ due punti qualsiasi su l$_1$, e q$_1$ e q$_2$ due punti qualsiasi su l$_2$. Inoltre, chiamiamo u e v i versori che identificano le direzioni rispettivamente di l$_1$ e di l$_2$. Si ha quindi:
    $\mathbf {u} =(p_{2}-p_{1})/\left|(p_{2}-p_{1})\right|$
    $\mathbf {v} =(q_{2}-q_{1})/\left|(q_{2}-q_{1})\right|$
Se le due linee non sono parallele, il loro punto di intersezione è:
    $p_{\mathrm {int} }=p_{1}+s_{\mathrm {int} }\cdot \mathbf {u}$
dove
    $s_{int}={\frac {-v^{\perp }\cdot (p_{1}-q_{1})}{-\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }}$
La bisettrice di una delle bisettrici è data da:
    $\mathbf {w} ={\frac {\left|\mathbf {u} \right|\mathbf {v} +\left|\mathbf {v} \right|\mathbf {u} }{\left|\mathbf {u} \right|+\left|\mathbf {v} \right|}}$
E l'equazione parametrica della piegatura è quindi:
    $F(s)=p_{\mathrm {int} }+s\cdot \mathbf {w}$
Esiste anche una seconda bisettrice, perpendicolare alla prima e passante per p$_{int}$. Piegare lungo questa seconda bisettrice porterà comunque al risultato desiderato di portare l$_1$ su l$_2$. Può non essere possibile eseguire l'una o l'altra tra queste piegature, a seconda della posizione del punto di intersezione
Se le due linee sono parallele, non hanno intersezioni. La piegatura dovrà essere la linea mediana tra l$_1$ e l$_2$, parallela ad esse.

### Assioma 4

Dati un punto p$_1$ e una retta l$_1$, esiste un'unica piegatura perpendicolare a l che passi per il punto p.
Questo è equivalente a trovare una perpendicolare a l$_1$ che passi per p$_1$. Se troviamo un vettore v perpendicolare a l$_1$, allora l'[equazione parametrica] della piegatura sarà:
    $F(s)=p_{1}+s\cdot \mathbf {v}$

### Assioma 5

Dati due punti p$_1$ e p$_2$ e una retta l, se esiste una piegatura passante per p$_2$ che porti p$_1$ su l, allora tale piegatura può essere costruita.
Esempio in cui non ci sono soluzioni: i punti p$_1$ e p$_2$ si trovano su una retta perpendicolare a l e la distanza di p$_2$ da l è maggiore della distanza di p$_1$ da l.

### Assioma 6

Dati due punti p$_1$ e p$_2$ e due rette l$_1$ e l$_2$, se esiste una piegatura che porti p$_1$ su l$_1$ e p$_2$ su l$_2$, allora tale piegatura può essere costruita.
Esempio in cui non ci sono soluzioni: le due rette l$_1$ e l$_2$ sono parallele, i punti p$_1$ e p$_2$ si trovano su una retta perpendicolare a l$_1$ e l$_2$, dalla stessa parte del piano rispetto alle due rette e la distanza di p$_1$ da l$_1$ è uguale alla distanza di p$_2$ da l$_2$.
Questo assioma equivale a trovare una retta che sia contemporaneamente tangente a due parabole, e può essere considerata equivalente alla risoluzione di un'equazione di terzo grado. Le due parabole hanno fuochi rispettivamente in p$_1$ e p$_2$, con direttrici definite da l$_1$ e l$_2$.

### Assioma 7

Dati un punto p e due rette l$_1$ e l$_2$, esiste sempre una piegatura perpendicolare a l$_2$ che porti p su l$_1$.
Koshiro Hatori ha scoperto questo assioma, e Robert Lang ha dimostrato che completa la lista degli assiomi dell'origami.