# Assiomi di Kolmogorov

Gli assiomi di Kolmogorov sono una parte fondamentale della teoria della probabilità di Andrey Kolmogorov. In essi, la probabilità P di qualche evento E, indicata come $P(E)$, è definita in modo da soddisfare questi assiomi. Gli assiomi sono descritti di seguito.
Questi assiomi possono essere riassunti come segue: Sia (Ω, F, P) uno spazio mensurale con P(Ω) = 1. Allora (Ω, F, P) è lo spazio delle probabilità, con spazio campionario Ω, spazio degli eventi F e misura della probabilità P.
Un approccio alternativo alla formalizzazione della probabilità, proposto da alcuni bayesiani, è dato dal teorema di Cox .

## Assiomi
### Primo assioma

La probabilità di un evento è un numero reale non negativo:
    $P(E)\in \mathbb {R} ,P(E)\geq 0\qquad \forall E\in F$
dove $F$ è lo spazio degli eventi. Segue che $P(E)$ è sempre finito, in contrasto con la più generale teoria della misura. Teoria che assegna probabilità negativa in relazione al primo assioma.

### Secondo assioma

La probabilità dell'intero spazio campione è 1 (Ipotesi della misura unitaria)
    $P(\Omega )=1.$

### Terzo assioma

Qualsiasi sequenza numerabile di insiemi disgiunti (sinonimo di eventi reciprocamente esclusivi) $E_{1},E_{2},\ldots$ soddisfa
       $P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).$
Alcuni autori considerano unicamente spazi di probabilità puramente additivi, in tal caso è necessaria solo un'algebra di insiemi, piuttosto che una σ-algebra .

## Conseguenze

Dagli assiomi di Kolmogorov si possono dedurre altre regole utili per il calcolo delle probabilità.

### La probabilità dell'insieme vuoto

    $P(\varnothing )=0.$
In alcuni casi, $\varnothing$ non è l'unico evento con probabilità 0.

### Monotonicità

    $\quad {\text{se}}\quad A\subseteq B\quad {\text{allora}}\quad P(A)\leq P(B).$
Se A è un sottoinsieme di B, o uguale a B, allora la probabilità di A è inferiore o uguale alla probabilità di B.
Dimostrazione:
P(B) = P(B∩Ω) = P(B∩(A$^c$∪A)) = P((B∩A)∪(B∩A$^c$)) = P((B∩A) + P(B∩A$^c$) = P(A) + P(B∩A$^c$) >= P(A)

### L'intervallo di definizione

Segue immediatamente dalla proprietà di monotonicità che
    $0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.$

## Ulteriori conseguenze

Un'altra proprietà importante è:
    $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$
Questa è chiamata la legge addizionale della probabilità, o la regola della somma. Cioè, la probabilità che accada o A o B, è la somma delle probabilità che A accada e che B accada, meno la probabilità che accadranno sia A che B. La dimostrazione di ciò è:
In primo luogo,
    $P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)$ (per il terzo Assioma)
Quindi,
    $P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus (A\cap B))$ (perché $B\setminus A=B\setminus (A\cap B)$).
E,
    $P(B)=P(B\setminus (A\cap B))+P(A\cap B)$
sottraendo $P(B\setminus (A\cap B))$ da entrambe le equazioni otteniamo il risultato voluto.
Un'estensione della legge addizionale a qualsiasi numero di insiemi è il principio di inclusione-esclusione .
Chiamando B come complemento A $^c$ di A nella legge addizionale si ottiene
    $P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)$
Cioè, la probabilità che un evento non accada (o il complemento dell'evento) è 1 meno la probabilità che accada.

## Esempio semplice: lancio della moneta

Prendiano in considerazione il lancio di una singola moneta e presumiamo che esca o testa (T) o croce (C) (ma non entrambe). Non ipotizza che la moneta sia bilanciata.
Possiamo definire:
    $\Omega =\{C,T\}$
    $F=\{\varnothing ,\{C\},\{T\},\{C,T\}\}$
Gli assiomi di Kolmogorov implicano che:
    $P(\varnothing )=0$
La probabilità di non avere testa o croce è 0.
    $P(\{C,T\}^{c})=0$
La probabilità di una testa o croce, è 1.
    $P(\{C\})+P(\{T\})=1$
La somma della probabilità delle teste e delle croci è 1.