# Equazione di Lippmann-Schwinger

In meccanica quantistica lequazione di Lippmann-Schwinger descrive fenomeni di scattering. L'equazione è:
    $|\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\varepsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .$
Quest'equazione è nominata in onore di Bernard A. Lippmann e Julian Schwinger.

## Derivazione

Si assuma che l'hamiltoniana di un sistema possa essere scritta come:
    $H=H_{0}+V$
dove $V$ è il potenziale di interazione e $H_{0}$ è l'hamiltoniana libera (o più in generale, un'hamiltoniana con autovettori noti). Per esempio in meccanica quantistica non relativistica $H_{0}$ può essere:
    $H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}.$
Richiediamo che i livelli energetici (lo spettro) $E_{\alpha }$ degli stati stazionari del sistema descritto da $H$ e $H_{0}$ siano identici. Ovvero richiediamo che un autovalore di $H_{0}$ sia anche autovalore di $H$.
In particolare per un autostato $|\phi \rangle$ di $H_{0}$ si ha:
    $H_{0}|\phi \rangle =E|\phi \rangle .$
Ora se si aggiunge l'interazione $V$ l'equazione di Schrödinger diventa:
    $\left(H_{0}+V\right)|\psi \rangle =E|\psi \rangle .$
Ora si consideri il teorema di Hellmann-Feynman, che richiede che gli autovalori dell'energia varino in modo continuo con variazioni continue dell'hamiltoniana. Pertanto, vogliamo che $|\psi \rangle \to |\phi \rangle$ quando $V\to 0$.
Una possibile soluzione è:
    $|\psi \rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}}}V|\psi \rangle .$
Tuttavia $(E-H_{0})$ è singolare dato che $E$ è autovalore di $H_{0}$.
Questa singolarità può essere eliminata aggiungendo una quantità complessa infinitesima (un procedimento di regolarizzazione il cui significato può essere chiarito studiando la teoria delle distribuzioni) ottenendo:
    $|\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\varepsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .$

## Interpretazioni come stati iniziali e finali
### La matrice S

Nella formulazione della fisica delle particelle basata sulla matrice S, alla quale numerosi contributi sono stati dati da John Archibald Wheeler, tutti i processi fisici sono modellati a seconda del seguente paradigma.
Si inizia con uno stato non interagente a molte particelle nel passato distante (ossia $t\to -\infty$). Non interagente non significa che tutte le forze sono state spente, ma che semplicemente stiamo considerando soltanto la parte $H_{0}$ della Hamiltoniana la quale ha gli stessi stati legati dell'Hamiltoniana totale $H$. Lo stato iniziale è chiamato stato "entrante". Intuitivamente si tratta di stati legati che sono abbastanza separati da poter trascurale le loro reciproche interazioni.
L'idea è che qualsiasi processo fisico si stia cercando di studiare possa essere modellato come un processo di scattering di questi stati ben separati. Questo processo è descritto dalla Hamiltoniana totale $H$ ma per tempi abbastanza grandi (ossia quando $t\to +\infty$) il sistema si troverà in nuovi stati legati e quindi in un nuovo stato non interagente che viene chiamato stato "uscente".
Questo approccio permette di calcolare le probabilità dei processi osservati negli acceleratori di particelle.

### La connessione all'equazione di Lippmann–Schwinger

Intuitivamente, le autofunzioni leggermente modificate $\psi ^{(\pm )}$ dell'Hamiltoniana totale $H$ sono gli stati entranti e uscenti. Le $\phi$ sono stati non interagenti che somigliano agli stati "entranti" e "uscenti" nell'infinito passato e nell'infinito futuro.