# Equazione di Larmor

In fisica, l'equazione di Larmor o formula di Larmor, derivata da Joseph Larmor nel 1897, descrive la potenza della radiazione emessa da una particella carica non relativistica $e$ quando la particella subisce una variazione di velocità.

## L'equazione

L'accelerazione di una carica produce l'emissione di radiazione elettromagnetica, che si propaga nella forma di onda. Per velocità molto inferiori alla velocità della luce la potenza totale irradiata è data dall'equazione di Larmor, che nel Sistema Internazionale è data da:
    $P={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}$
mentre nel sistema CGS:
    $P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}$
dove $q$ è la carica, $a$ è l'accelerazione e $c$ la velocità della luce. La generalizzazione relativistica, per velocità prossime a $c$, è fornita dai potenziali di Liénard-Wiechert.

## Derivazione

Il campo generato da una particella non relativistica carica in moto, ottenuto a partire dai potenziali di Liénard–Wiechert, ha la forma:
    $\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=q\left[{\frac {\mathbf {n} -\mathbf {\beta } }{\gamma ^{2}(1-\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\right]_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}}\left[{\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -\mathbf {\beta } )\times \mathbf {\dot {\beta }} ]}{(1-\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right]_{\rm {ret}}\qquad \mathbf {B} =[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]_{\rm {ret}}$
dove $q$ è la carica, $\mathbf {\beta } ={\frac {\mathbf {v} }{c}}$ è la velocità della carica divisa per c, $\mathbf {\dot {\beta }} ={\frac {\mathbf {\dot {v}} }{c}}$ è l'accelerazione della carica divisa per c, $\mathbf {n}$ un vettore unitario parallelo a $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$ ed $R$ il modulo di $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$. I termini al secondo membro sono valutati al tempo ritardato, dato da:
    $t'=t-{R \over c}$
L'espressione del campo è la somma dei due contributi al secondo membro, relativi alla velocità e all'accelerazione della carica essendo rispettivamente dipendenti da $\beta$ e da $\beta$ e ${\dot {\beta }}$. Il campo relativo alla velocità è proporzionale a $R^{-2}$, e pertanto si annulla rapidamente al crescere della distanza. Il campo relativo all'accelerazione, denotato con $\mathbf {E} _{a}$, decresce come $R^{-1}$ ed è il principale responsabile della perdita di energia da parte della carica.
La densità del flusso di energia irraggiata è fornita dal vettore di Poynting per il campo relativo all'accelerazione:
    $\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} _{a}\times \mathbf {B} ={\frac {c}{4\pi }}|\mathbf {E} _{a}|^{2}\mathbf {n} ={\frac {q}{c}}\left|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times \mathbf {\dot {\beta }} )}{R}}\right|^{2}$
La potenza irraggiata per unità di angolo solido $\Omega$ è quindi data da:
    ${\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {c}{4\pi }}|R\mathbf {E} _{a}|^{2}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}|\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times \mathbf {\dot {\beta }} )|^{2}$
Detto $\theta$ l'angolo tra i vettori $\mathbf {\dot {v}}$ e $\mathbf {n}$, la radiazione è polarizzata nel piano generato da tali vettori e si ha:
    $\mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c^{3}R^{2}}}\sin ^{2}{\theta }|\mathbf {\dot {v}} |^{2}{\hat {n}}$
dove è determinante la dipendenza da $\sin ^{2}{\theta }$.
La potenza totale irraggiata è ottenuta integrando su tutto l'angolo solido $\Omega$:
    $P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}|\mathbf {\dot {v}} |^{2}}{c^{3}}}$
che è il risultato di Larmor per una carica non relativistica che accelera. Si tratta di una grandezza covariante, ovvero invariante sotto trasformazione di Lorentz.

## Generalizzazione relativistica

L'equazione di Larmor può essere modificata per velocità relativistiche considerando la componente spaziale $\mathbf {p}$ del quadrimpulso $P^{\mu }$:
    $P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{c^{3}m^{2}}}\left({\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)$
Si ottiene così la generalizzazione invariante:
    $P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dP^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dP_{\mu }}{d\tau }}$
La potenza irradiata dipende pertanto dall'entità della variazione della quantità di moto della carica nel tempo, ed è proporzionale al quadrato della carica ed inversamente proporzionale al quadrato della sua massa. Riscrivendo il prodotto dei quadrivettori energia-momento si ha:
    ${\frac {dP^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dP_{\mu }}{d\tau }}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {dE}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d\mathbf {p} }{d\tau }}\right)^{2}={\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {dP}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d\mathbf {p} }{d\tau }}\right)^{2}$
dove si è sfruttato il fatto che:
    ${\frac {dE}{d\tau }}={\frac {Pc^{2}}{E}}{\frac {dP}{d\tau }}=v{\frac {dP}{d\tau }}$
Al tendere di $\beta$ a zero, $\gamma \to 1$ e quindi $d\tau \to dt$.

### Forma non covariante

In termini dell'energia $E=\gamma mc^{2}$ e dell'impulso $\mathbf {p} =\gamma m\mathbf {v}$, sostituendo:
    $p^{\mu }=(\gamma mc,\gamma m\mathbf {v} )$
nell'espressione covariante, si ha:
    ${\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=-\left({\frac {d\mathbf {p} }{d\tau }}\right)^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {dE}{d\tau }}\right)^{2}$
    $=-\gamma ^{2}\left({\frac {d\gamma m\mathbf {v} }{dt}}\right)^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {d\gamma mc^{2}}{dt}}\right)^{2}$
    $=-\gamma ^{2}[-(\gamma m\mathbf {\dot {v}} +\gamma ^{3}m\mathbf {v} (\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} ))^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(\gamma ^{3}\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} mc^{2})^{2}]$
    $=\gamma ^{8}m^{2}c^{2}[(\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} )^{2}-(\mathbf {\beta } (\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} )+{\frac {\mathbf {\dot {\beta }} }{\gamma ^{2}}})^{2}]$
e dunque:
    ${\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=\gamma ^{8}m^{2}c^{2}\left(-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}(\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} )^{2}-{\frac {\mathbf {\dot {\beta }} ^{2}}{\gamma ^{4}}}\right)$
Aggiungendo e sottraendo ${\frac {\mathbf {\beta } ^{2}\cdot \mathbf {\dot {\beta }} ^{2}}{\gamma ^{2}}}$ si ha:
    $\gamma ^{6}m^{2}c^{2}[(\mathbf {\beta } ^{2}\mathbf {\dot {\beta }} ^{2}-(\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} )^{2})-\mathbf {\dot {\beta }} ^{2}]$
e sfruttando l'identità vettoriale:
    $(\mathbf {\beta } \times \mathbf {\dot {\beta }} )\cdot (\mathbf {\beta } \times \mathbf {\dot {\beta }} )=(\mathbf {\beta } ^{2}\mathbf {\dot {\beta }} ^{2}-(\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }} )^{2})$
si ottiene:
    $P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\left((\mathbf {\dot {\beta }} )^{2}-(\mathbf {\beta } \times \mathbf {\dot {\beta }} )^{2}\right)$
che è l'espressione trovata da Liénard nel 1898.
Il termine $\gamma ^{6}$ evidenzia il fatto che per $\gamma \to 1$, ovvero per $\beta <<1$, la radiazione emessa è trascurabile. Se l'accelerazione e la velocità sono ortogonali, inoltre, la potenza è ridotta di un fattore $\mathbf {\beta } \cdot \mathbf {\dot {\beta }}$, e tale fattore di riduzione aumenta con la velocità.