# Teoria dei caratteri

In matematica la teoria dei caratteri è una branca della teoria delle rappresentazioni dei gruppi ed è molto usata in teoria dei numeri; in particolare è fondamentale per la dimostrazione del teorema di Dirichlet e del teorema di Burnside.

## Definizione di carattere

Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $K$ e sia $\rho \colon G\to \mathrm {GL} (V)$ una rappresentazione del gruppo $G$ su $V$. Il carattere della rappresentazione $\rho$ è, per definizione, la mappa $\chi _{\rho }\colon G\to K$ che manda $g\in G$ nella traccia della matrice rappresentativa dell'automorfismo $\rho (g)$:
    $\chi _{\rho }(g)={\mbox{Tr}}(\rho (g)).$

## Proprietà

Il carattere di una trasformazione presenta alcune particolari proprietà.
Sia $\rho$ una rappresentazione del gruppo $G$ sullo spazio vettoriale $V$ e sia $\chi _{\rho }$ il suo carattere allora possiamo dire che:
* $\chi (1_{G})$ è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale $V$ infatti: e dato che $1_{\mathrm {GL} (V)}$ è la matrice identica dello spazio vettoriale $V$ la sua traccia è uguale alla sua dimensione.
    $\chi (1_{G})=\mathrm {Tr} (\rho (1_{G}))=\mathrm {Tr} (1_{\mathrm {GL} (V)})$
* $\chi$ è costante sulle classi di coniugio. In altre parole se $x$ e $g$ sono due elementi di G, si ha $\chi (g^{-1}xg)=\chi (x)$. Il motivo è che la traccia è invariante per similitudine, cioè matrici simili hanno la stessa traccia.
* Due rappresentazioni $\rho \colon G\to \mathrm {GL} (V)$ e $\pi \colon G\to \mathrm {GL} (U)$ si dicono isomorfe se esiste un isomorfismo $\phi \colon V\to U$ tale che: per ogni elemento $g$ del gruppo $G$. Quindi se $\pi$ e $\rho$ sono isomorfe allora, poiché la traccia è invariante per similitudine, avranno lo stesso carattere ($\chi _{\pi }=\chi _{\rho }$).
    $\phi \circ \pi (g)\circ \phi ^{-1}=\rho (g)$
* Se $G$ è un gruppo finito di ordine $n$ allora $\chi (g)$ appartiene al sovracampo di $K$ generato dalle radici $n$-esime di $1$. Infatti poiché $g^{n}=1$ per ogni $g\in G$ si ha anche $\rho (g)^{n}=1$ per ogni $g\in G$ e quindi gli autovalori di $\rho (g)$ sono radici $n$-esime di $1$.

### Carattere di una somma diretta

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sul campo $K$ e $\pi :G\to \mathrm {GL} (V)$, $\rho :G\to \mathrm {GL} (W)$ due rappresentazioni di $G$. Se definiamo $\pi _{g}:=\pi (g)$ e $\rho _{g}:=\rho (g)$, la somma diretta di $\pi$ e $\rho$ è la rappresentazione
    $\pi \oplus \rho :G\to \mathrm {GL} (V\oplus W)$
definita così:
    $(\pi \oplus \rho )_{g}:=\pi _{g}\oplus \rho _{g},$
dove $\pi _{g}\oplus \rho _{g}$ è l'applicazione che manda $(v,w)$, appartenente $V\times W$, in $(\pi _{g}v,\rho _{g}w)$, sempre appartenente a $V\times W$.
Si ha evidentemente
    $\chi _{\pi \oplus \rho }(g)=\mathrm {Tr} ((\pi \oplus \rho )_{g})=\mathrm {Tr} (\pi _{g}\oplus \rho _{g})=\mathrm {Tr} (\pi _{g})+\mathrm {Tr} (\rho _{g})=\chi _{\pi }(g)+\chi _{\rho }(g),$
questo per ogni $g$ in $G$ e quindi:
    $\chi _{\pi \oplus \rho }=\chi _{\pi }+\chi _{\rho }.$

### Carattere di un prodotto tensoriale

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sul campo $K$ e $\pi :G\to \mathrm {GL} (V)$, $\rho \colon G\to \mathrm {GL} (W)$ due rappresentazioni di $G$. Se definiamo $\pi (g)=\pi _{g}$ e $\rho (g)=\rho _{g}$, il prodotto tensoriale di $\pi$ e $\rho$ è la rappresentazione
    $\pi \otimes \rho \colon G\to \mathrm {GL} (V\otimes _{K}W)$
definita così:
    $(\pi \otimes \rho )_{g}:=\pi _{g}\otimes \rho _{g},$
dove $\pi _{g}\otimes \rho _{g}$ manda
    $\sum _{i}v_{i}\otimes w_{i}$
in
    $\sum _{i}\pi _{g}(v_{i})\otimes \rho _{g}(w_{i}).$
Tale prodotto tensoriale ha la proprietà seguente: se $x$ e $y$ sono le matrici di due applicazioni lineari $f\colon V\to V$, $g\colon W\to W$ rispetto alle basi $\{v_{i}\ |\ i\}$ di $V$ e $\{w_{i}\ |\ i\}$ di $W$, il loro prodotto tensoriale $f\otimes g$ è rappresentato dal prodotto di Kronecker di $x$ e $y$, indicato con $x\otimes y$, rispetto alla base $\{v_{i}\otimes w_{j}\ |\ i,j\}$ di $V\otimes _{K}W$.
Dalla proprietà
    $\mathrm {tr} (x\otimes y)=\mathrm {tr} (x)\mathrm {tr} (y)$
segue che
    $\chi _{\pi \otimes \rho }=\chi _{\pi }\cdot \chi _{\rho }.$

### Carattere della potenza simmetrica seconda

Dato uno spazio vettoriale $V$ su $K$ di dimensione $n$, la potenza simmetrica $m$-esima di $V$ è lo spazio vettoriale su $K$, indicato con $S^{m}(V)$, generato dai prodotti simmetrici del tipo $v_{1}\cdot \dots \cdot v_{m}$ dove i $v_{i}$ appartengono a $V$ e i prodotti di somme sono ottenuti imponendo l'usuale distributività. La costruzione è funtoriale nel senso che ad ogni mappa lineare $\varphi :V\to W$ si può associare la sua potenza simmetrica $m$-esima
    $S^{m}(\varphi ):S^{m}(V)\to S^{m}(W)$
mandando $v_{1}\dots v_{m}$ in $\varphi (v_{1})\dots \varphi (v_{m})$.
Se $\{e_{1},\dots e_{n}\}$ è una base di $V$ allora una base di $S^{m}(V)$ è data dai prodotti ${e_{1}}^{i_{1}}\cdot \dots \cdot {e_{n}}^{i_{n}}$ dove $i_{1}+\dots +i_{n}=m$. Si ha quindi:
    $\dim _{K}(S^{m}(V))={\binom {n+m-1}{m}}.$
Ad ogni rappresentazione $\rho :G\to \mathrm {GL} (V)$ possiamo associare la rappresentazione $S^{m}(\rho ):G\to \mathrm {GL} (s^{m}(V))$ definita mandando $g$ in $S^{m}(\rho (g))$. Se $m=2$, si ha
    $\chi _{S^{2}(\rho )}(g)={\frac {1}{2}}\left(\chi _{\rho }(g)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right)$

### Carattere della potenza esterna seconda

Dato uno spazio vettoriale $V$ sul campo $K$, di dimensione $n$ e con la base $\{v_{1},\dots v_{n}\}$, la potenza esterna $m$-esima di $V$ è lo spazio vettoriale su $K$ indicato con $\Lambda ^{m}(V)$ e generato dai prodotti multilineari alternanti $v_{1}\wedge \dots \wedge v_{m}$ dove i $v_{i}$ sono vettori di $V$ e i prodotti di somme sono ottenuti imponendo l'usuale distributività. La costruzione è funtoriale nel senso che ad ogni applicazione $\varphi \colon V\to W$ si può associare la sua potenza esterna $m$-esima $\Lambda ^{m}(\varphi ):\Lambda ^{m}(V)\to \Lambda ^{m}(W)$ mandando $v_{1}\wedge \dots \wedge v_{m}$ in $\varphi (v_{1})\wedge \dots \wedge \varphi (v_{m})$.
Se $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$ è una base per $V$ allora una base di $\Lambda ^{m}(V)$ è data dai prodotti $e_{i_{1}}\wedge \dots \wedge e_{i_{m}}$ dove $i_{1}<\dots <i_{m}\in \{1,\dots ,n\}$. Si ha quindi
    $\dim _{K}(\Lambda ^{m}(V))={\binom {n}{m}}$
Ad ogni rappresentazione $\rho :G\to \mathrm {GL} (V)$ possiamo associare la rappresentazione $\Lambda ^{m}(\rho ):G\to \mathrm {GL} (\Lambda ^{m}(V))$ definita mandando $g$ in $\Lambda ^{m}(\rho _{g})$. Si ha
    $\chi _{\Lambda ^{2}(\rho )}(g)={\frac {1}{2}}(\chi _{\rho }(g)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})).$

## Relazioni di ortogonalità

Siano $(U,\pi )$, $(V,\rho )$ due rappresentazioni del gruppo finito $G$ sul campo $K$, e sia $\varphi \colon U\to V$ un'applicazione lineare. Nel caso in cui la caratteristica di $K$ non divide l'ordine di $G$ definiamo
    $\varphi _{0}:={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\rho _{g}\varphi \pi _{g}^{-1}.$
Si tratta di un'applicazione K-lineare $U\to V$, ed ha la proprietà fondamentale di essere $G$-invariante, nel senso che $\varphi _{0}(\pi _{h}(u))=\rho _{h}(\varphi _{0}(u))$ per ogni $h\in G$, $u\in U$.
Nel caso particolare in cui il campo $K$ è algebricamente chiuso e le rappresentazioni $(U,\pi )$, $(V,\rho )$ sono irriducibili, il lemma di Schur ci dice che:
* se $\pi \not \cong \rho$ allora $\varphi _{0}=0$;
* se $\pi =\rho$ allora $\varphi _{0}$ è la moltiplicazione per lo scalare $\mathrm {tr} (\varphi )/\dim _{K}(V)$.
La seconda asserzione è giustificata dal fatto che detto $\lambda$ l'autovalore di $\varphi _{0}$ si ha
    $\lambda \dim _{K}(V)=\mathrm {tr} (\varphi _{0})=\mathrm {tr} \left({\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\rho _{g}\varphi \rho _{g}^{-1}\right)={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\mathrm {tr} (\rho _{g}\varphi \rho _{g}^{-1})={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\mathrm {tr} (\varphi )=\mathrm {tr} (\varphi ).$
Pensiamo ora a $\pi _{g},\ \rho _{g}$ come a matrici ed indichiamone le componenti con $\pi _{ij}(g)$ e $\rho _{hk}(g)$ con $1\leq i$, $j\leq m$, $1\leq h$, $k\leq n$. Se $K$ è un campo algebricamente chiuso di caratteristica che non divide l'ordine di $G$, le precedenti asserzioni tradotte in termini matriciali diventano le seguenti.
* Se $\pi \not \cong \rho$ allora
    ${\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\pi _{ij}(g)\rho _{hk}(g^{-1})=0.$
* Se $\pi =\rho$ allora
    ${\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\pi _{ij}(g)\pi _{hk}(g^{-1})={\frac {1}{n}}\delta _{ik}\delta _{jh}.$
Qui il simbolo $\delta _{ij}$ è il delta di Kronecker.

### Prima relazione di ortogonalità

Sia $K$ un campo algebricamente chiuso di caratteristica zero. Ricordiamo che per il teorema di Maschke ogni carattere di un generico gruppo $G$ sul campo $K$ si scrive come somma di caratteri irriducibili.
Consideriamo la seguente forma bilineare simmetrica non degenere sullo spazio vettoriale delle funzioni $G\to K$:
    $B(\phi ,\psi ):={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\phi (g)\psi (g^{-1}).$
Il risultato precedente implica che se $\chi$ e $\theta$ sono due caratteri irriducibili relativi a due rappresentazioni di un gruppo finito $G$ sugli spazi vettoriali $V$, $W$, entrambi nel campo $K$, il valore di $B(\chi ,\theta )$ è 1 se $\chi =\theta$ ed è 0 se $\chi \neq \theta$. Questo risultato prende il nome di prima relazione di ortogonalità di Schur.
La prima relazione di ortogonalità ha conseguenze di estrema importanza:
* Caratteri irriducibili distinti sono linearmente indipendenti. Siano infatti $\chi _{1},\dots ,\chi _{s}$ caratteri irriducibili distinti del gruppo finito $G$, e valga $a_{1}\chi _{1}+\dots +a_{s}\chi _{s}=0$ con $a_{1},\dots ,a_{s}\in K$. Allora per ogni $i=1,\dots ,s$ si ha
    $0=B(a_{1}\chi _{1}+\dots +a_{s}\chi _{s},\chi _{i})=a_{i}B(\chi _{i},\chi _{i})=a_{i}$.
* Il numero di caratteri irriducibili di $G$ è minore o uguale del numero di classi di coniugio di $G$. Siano infatti $C_{1},\dots ,C_{t}$ le classi di coniugio di $G$. Data $C=C_{i}$ possiamo considerare la funzione $f_{C}:G\to K$ che vale 1 su $C$ e 0 fuori da $C$. Risulta che le funzioni $f_{C_{1}},\dots ,f_{C_{t}}$ sono linearmente indipendenti ed ogni carattere è combinazione lineare di esse, quindi per il punto precedente i caratteri irriducibili di $G$ sono al più $t$.
* Siano $\theta$ e $\chi$ i caratteri delle rappresentazioni irriducibili $U$ e $V$ di $G$, ed assumiamo che $\chi$ sia irriducibile. Allora la molteplicità di $\chi$ in $\theta$ è uguale a $B(\theta ,\chi )$. In altre parole detti $\chi _{1},\dots ,\chi _{s}$ caratteri irriducibili tali che $\theta =\chi _{1}+\dots +\chi _{s}$ (esistono per il teorema di Maschke), si ha che inoltre $B(\chi _{i},\chi )$ vale $1$ se e solo se $\chi _{i}=\chi$, altrimenti vale $0$. In particolare la scrittura di un carattere come somma di caratteri irriducibili è unica.
    $B(\theta ,\chi )=B(\chi _{1},\chi )+\ldots +B(\chi _{s},\chi )$
* Sia $\chi$ un carattere di $G$. Si ha $B(\chi ,\chi )\in \mathbb {N}$ e $B(\chi ,\chi )=1$ se e solo se $\chi$ è irriducibile. Infatti detta $\chi =m_{1}\chi _{1}+\dots +m_{s}\chi _{s}$ la decomposizione di $\chi$ come somma di caratteri irriducibili, si ha:
    $B(\chi ,\chi )=m_{1}^{2}+\ldots +m_{s}^{2}.$
* Si dice carattere principale di $G$ e si indica con $\chi _{1}$ o più semplicemente con $1$ il carattere tale che $\chi _{1}\left(g\right)=1$ per ogni $g\in G$. Si tratta di un carattere irriducibile dato che $B(1,1)=1$. Per ogni carattere irriducibile $\chi$ diverso da $1$ la prima relazione di ortogonalità dice che $B(\chi ,1)=0$, è cioè la seguente uguaglianza:
    $\sum _{g\in G}\chi (g)=0.$
* Il lemma di Burnside dice semplicemente che dato un carattere di permutazione $\chi$ relativo ad un'azione transitiva si ha $B(\chi ,1)=1$, ovvero $\chi =1+\theta$ per un opportuno carattere $\theta$ che non ha 1 nella decomposizione. Siccome dove $r$ è il rango del gruppo di permutazione $G$, possiamo per esempio dedurre che $G$ è 2-transitivo se e solo se il suo carattere si scrive come $1+\theta$ per qualche carattere irriducibile $\theta$ che non ha $1$ nella decomposizione.
    $B(\chi -1,\chi -1)=B(\chi ,\chi )-1=r-1$
* La rappresentazione regolare di $G$ è la rappresentazione lineare associata all'azione di $G$ su $G$ per moltiplicazione a destra. Siccome il numero di punti fissi di ogni elemento non identico in questa rappresentazione è uguale a zero, il suo carattere è il seguente: $\chi (g)=0$ se $g\neq 1$, e $\chi (1)=|G|$. Siano ora $\chi _{1},\dots ,\chi _{s}$ i caratteri irriducibili di $G$. Calcoliamo In altre parole ogni carattere irriducibile compare come componente irriducibile della rappresentazione regolare di $G$ con molteplicità uguale al suo grado. Detto $n_{i}$ il grado di $\chi _{i}$ per $i=1,\dots ,s$, si ha quindi $n_{1}^{2}+\dots +n_{s}^{2}=B(\chi ,\chi )=|G|$. Questa uguaglianza prende il nome di formula della somma dei quadrati o $n$-esimo teorema di Burnside.
    $B(\chi ,\chi _{i})={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi (g)\chi _{i}(g^{-1})={\frac {1}{|G|}}\cdot |G|\cdot \chi _{i}(1)=\chi _{i}(1).$

### Seconda relazione di ortogonalità

Sia $G$ un gruppo finito e siano $\chi _{1},\ldots ,\chi _{s}$ le sue rappresentazioni irriducibili sul campo $\mathbb {C}$ dei numeri complessi. Dati $h,g\in G$ si ha
    $\sum _{i=1}^{s}\chi _{i}(h){\overline {\chi _{i}(g)}}=|C_{G}(h)|$
se $h$ e $g$ sono coniugati in $G$, altrimenti
    $\sum _{i=1}^{s}\chi _{i}(h){\overline {\chi _{i}(g)}}=0.$