# Numero di Nusselt

Il numero di Nusselt, $\mathrm {Nu}$, è il gruppo adimensionale che esprime il rapporto tra il flusso di calore scambiato per convezione e il flusso di calore scambiato per conduzione.
Prende il nome dall'ingegnere tedesco Ernst Kraft Wilhelm Nusselt.
Il suo analogo per lo scambio di materia è il numero di Sherwood.

## Definizione matematica

Il numero di Nusselt può essere espresso dalla seguente relazione:
    $\mathrm {Nu} ={\frac {hd}{\lambda }}$
dove (indicando le unità di misura secondo il SI):
* $h$ è il coefficiente di scambio termico, anche detto coefficiente convettivo in $\left[\mathrm {W} \mathrm {m} ^{-2}\mathrm {K} ^{-1}\right]$;
* $d$ è la lunghezza caratteristica in $\left[\mathrm {m} \right]$, che dipende dal caso preso in esame (generalmente è pari al diametro equivalente del condotto);
* $\lambda$ è la conduttività termica in $\left[\mathrm {W} \mathrm {m} ^{-1}\mathrm {K} ^{-1}\right]$.

### Derivazione dalla legge di Fourier

Il numero di Nusselt si ottiene adimensionalizzando la legge di Fourier:
$\mathbf {q} =-\lambda \nabla T$
dove:
* $\mathbf {q}$ è la densità di flusso termico in $\left[\mathrm {W} \,\mathrm {m} ^{-2}\right]$;
* $\lambda$ è la conduttività termica;
* $T$ la temperatura nel fluido in $\left[\mathrm {K} \right]$.
Introducendo le seguenti quantità adimensionalizzate:
    $\nabla '=d\nabla$
    $T'={\frac {T-T_{h}}{T_{h}-T_{c}}}$
si ha:
    $-\nabla 'T'={\frac {\mathbf {q} }{(T_{h}-T_{c})}}{\frac {d}{\lambda }}={\frac {hd}{\lambda }}$
dove si è utilizzata l'equazione $\mathbf {q} =h(T_{h}-T_{c})$.
L'equazione quindi diventa:
    $\mathrm {Nu} =-\nabla 'T'$

## Interpretazione fisica

Il numero di Nusselt rappresenta l’incremento della potenza termica trasmessa per convezione attraverso uno strato di fluido rispetto a quella trasmessa per conduzione attraverso lo stesso strato.
Il valore unitario $(\mathrm {Nu} =1)$ è caratteristico della trasmissione del calore per conduzione pura attraverso lo strato di fluido. All'aumentare del valore di $\mathrm {Nu}$ risulta sempre più sviluppato il fenomeno della convezione.
Può essere visto anche come il rapporto tra la resistenza al trasporto di calore per diffusione e quella al trasporto di calore per convezione.
    $\mathrm {Nu} ={\frac {hd}{\lambda }}=\left({\cfrac {d}{\lambda A}}\right)/\left({\cfrac {1}{hA}}\right)={\frac {R_{diffusione}}{R_{convezione}}}$

## Applicazioni

Il numero di Nusselt viene utilizzato nei problemi di convezione termica, in quanto la sua determinazione permette di conoscere il coefficiente di scambio termico convettivo fra il fluido e la parete. Può perciò essere utile conoscerne il valore medio sulla parete in considerazione, ottenuto come media integrale:
    ${\overline {\mathrm {Nu} }}=-{{1} \over {S'}}\int _{S'}^\mathrm {Nu} \,\operatorname {d} S'$
dove:
    $S'={\frac {S}{d^{2}}}$
Generalmente il numero di Nusselt è valutato in funzione del numero di Prandtl e del numero di Grashof per convezione naturale, oppure in funzione del numero di Prandtl e del numero di Reynolds per convezione forzata. In particolare nel caso di convezione naturale può essere determinato dalla relazione seguente:
    $\mathrm {Nu} =C\,\mathrm {Gr} ^{n}\mathrm {Pr} ^{m}$
mentre nel caso di convezione forzata può essere determinato dalla relazione seguente:
    $\mathrm {Nu} =C\,\mathrm {Re} ^{n}\mathrm {Pr} ^{m}$