# Funzione moltiplicativa

In teoria dei numeri, una funzione moltiplicativa è una funzione aritmetica f(n) degli interi positivi n con la proprietà che f(1) = 1 e, se a e b sono coprimi, allora
    $f(ab)=f(a)f(b)$
Una funzione aritmetica f(n) è detta essere completamente (totalmente) moltiplicativa se f(1) = 1 e f(ab) = f(a) f(b) per tutti gli interi positivi a e b, anche se non sono coprimi.
Al di fuori della teoria dei numeri, il termine moltiplicativa viene di solito usato per funzioni con la proprietà che f(ab) = f(a) f(b) per tutti i valori di a e b; questo significa che o vale f(1) = 1, oppure che f(a) = 0 per tutti gli a tranne a = 1. Nel seguito dell'articolo si tratterà solo delle funzioni moltiplicative in teoria dei numeri.

## Esempi

Molte importanti funzioni in teoria dei numeri sono moltiplicative. Alcuni esempi:
* $\phi$(n): la funzione phi di Eulero, o funzione totiente, che conta i numeri positivi coprimi (ma non maggiori di) n.
* $\mu$(n): la funzione di Möbius, legata al numero di fattori primi di numeri privi di quadrati.
* MCD(n,k): il massimo comun divisore di n e k, dove k è un intero fissato.
* d(n): Il numero di divisori positivi di n.
* $\sigma$(n): la somma di tutti i divisori positivi di n.
* $\sigma$$_k$(n): la funzione divisore, data dalla somma delle k-sime potenze di tutti i divisori positivi di n (dove k può essere un numero complesso qualunque). Come casi speciali,
** $\sigma$$_0$(n) = d(n) e
** $\sigma$$_1$(n) = $\sigma$(n).
* 1(n): la funzione costante, definita da 1(n) = 1 per ogni n (completamente moltiplicativa).
* Id(n): la funzione identità, definita da Id(n) = n (completamente moltiplicativa).
* Id$_k$(n): la funzione potenza, definita da Id$_k$(n) = n$^k$ per ogni numero naturale (o persino complesso) k (completamente moltiplicativa). Come casi speciali abbiamo
** Id$_0$(n) = 1(n) e
** Id$_1$(n) = Id(n).
* $\varepsilon$(n): la funzione definita da $\varepsilon$(n) = 1 se n = 1 e = 0 se n > 1; tale funzione viene a volte chiamata unità moltiplicativa per la convoluzione di Dirichlet o semplicemente funzione unità; a volte la si trova scritta come u(n), da non confondersi con $\mu$(n). (completamente moltiplicativa).
* (n/p), il simbolo di Legendre, dove p è un numero primo fissato (completamente moltiplicativa).
* $\lambda$(n): la funzione di Liouville, collegata al numero di fattori primi che dividono n (completamente moltiplicativa).
* $\gamma$(n), definita da $\gamma$(n)=(-1)$^{ω{\displaystyle\omega}(n)}$, dove la funzione additiva $\omega$(n) è il numero di primi distinti che dividono n.
Un esempio di funzione non moltiplicativa è la funzione aritmetica r$_2$(n) - il numero di rappresentazioni di n come somma dei quadrati di due interi, positivi, negativi, o zero, dove nel contare le rappresentazioni è ammesso cambiare l'ordine degli addendi. Ad esempio,
    1 = 1$^2$ + 0$^2$ = (-1)$^2$ + 0$^2$ = 0$^2$ + 1$^2$ = 0$^2$ + (-1)$^2$
e quindi r$_2$(1) = 4 ≠ 1, il che prova che la funzione non è moltiplicativa. Però, r$_2$(n)/4 è moltiplicativa.
Vedi funzione aritmetica per altri esempi di funzioni non moltiplicative.

## Proprietà

Una funzione moltiplicativa è completamente determinata dai valori che assume per le potenze dei numeri primi, come conseguenza del teorema fondamentale dell'aritmetica. Se pertanto n è rappresentabile sotto forma di prodotto di potenze di numeri primi nella forma n = pa q$^b$ ..., allora f(n) = f(pa) f(q$^b$) ...
Tale proprietà riduce significativamente il costo computazionale per ricavare i valori delle funzioni, come si può vedere nei seguenti esempi per n = 144 = 2$^4$ · 3$^2$:
    d(144) = $\sigma$$_0$(144) = $\sigma$$_0$(2$^4$)$\sigma$$_0$(3$^2$) = (1$^0$ + 2$^0$ + 4$^0$ + 8$^0$ + 16$^0$)(1$^0$ + 3$^0$ + 9$^0$) = 5 · 3 = 15,
    $\sigma$(144) = $\sigma$$_1$(144) = $\sigma$$_1$(2$^4$)$\sigma$$_1$(3$^2$) = (1$^1$ + 2$^1$ + 4$^1$ + 8$^1$ + 16$^1$)(1$^1$ + 3$^1$ + 9$^1$) = 31 · 13 = 403,
    $\sigma$$^*$(144) = $\sigma$$^*$(2$^4$)$\sigma$$^*$(3$^2$) = (1$^1$ + 16$^1$)(1$^1$ + 9$^1$) = 17 · 10 = 170.
Similmente abbiamo
    $\phi$(144)=$\phi$(2$^4$)$\phi$(3$^2$) = 8 · 6 = 48
In generale, se f(n) è una funzione moltiplicativa, e a, b sono due interi positivi qualunque, allora
    f(a) · f(b) = f(MCD(a,b)) · f(mcm(a,b)).
Tutte le funzioni completamente moltiplicative sono omomorfismi di monoidi, e sono determinate univocamente dai valori che assumono in corrispondenza dei numeri primi.

## Convoluzione

Se f e g sono due funzioni moltiplicative, si può definire una nuova funzione moltiplicativa, la convoluzione di Dirichlet di f e g, indicata come f * g, nel modo seguente:
    $(f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d)$
dove la somma viene fatta su tutti i divisori positivi d di n. Rispetto a tale operazione, l'insieme di tutte le funzioni moltiplicative diventa un gruppo abeliano; l'elemento identità è $\varepsilon$.
Ecco alcune relazioni convolutive tra le funzioni moltiplicative elencate sopra:
* $\varepsilon$ = $\mu$ * 1 (la formula di inversione di Möbius)
* $\phi$ = $\mu$ * Id
* d = 1 * 1
* $\sigma$ = Id * 1 = $\phi$ * d
* $\sigma$$_k$ = Id$_k$ * 1
* Id = $\phi$ * 1 = $\sigma$ * $\mu$
* Id$_k$ = $\sigma$$_k$ * $\mu$
La convoluzione di Dirichlet può essere definita per funzioni aritmetiche generiche, nel qual caso dà una struttura di anello, l'anello di Dirichlet.