# Tertium non datur

Tertium non datur (tradotto: «Una terza cosa non è data») è una locuzione che sta a significare che non esiste una terza soluzione rispetto ad una situazione che sembra prefigurarne soltanto due. Si potrebbe leggere quindi come: «Non ci sono altre possibilità eccetto queste due». In italiano è detto anche terzo escluso.
L'articolazione della frase, nella sua secchezza e laconicità, è piuttosto semplice: datur è la terza persona singolare passiva del verbo dare (quindi «è dato») e tertium figura come aggettivo neutro sostantivato, in quanto riferito a res, ovvero «cosa»: quando la parola res è sottintesa, l'aggettivo prende il genere neutro. La negazione non compare con lo stesso uso che ne fa la lingua italiana.
Enunciato
| A | $\neg A$ | $A\vee (\neg A)$ |
| V | F | V |
| F | V | V |

## Logica e principio del terzo escluso

L'espressione entra nella formulazione del principio logico del terzo escluso che afferma che due proposizioni formanti una coppia antifatica (p e ¬p) devono avere valore di verità opposto, ovvero non esiste una terza possibilità (Tertium non datur). Esso si trova già formulato nella Metafisica di Aristotele.
In altre parole, non è possibile che due proposizioni contraddittorie siano entrambe non vere, in quanto esso afferma che il valore di verità di una proposizione è sempre opposto a quello della proposizione contraddittoria. Il principio del tertium non datur è più generale del principio di non-contraddizione o di consistenza e implica che se una proposizione è vera, non lo è il suo contrario, fatto che a priori non esclude che entrambe possano essere non vere. Il principio si differenzia anche dal principio di bivalenza che afferma che una proposizione è vera o è falsa.
Le teorie sui fondamenti della matematica, in particolare la scuola intuizionista, non ne danno oggi per scontata l'autoevidenza. La logica fuzzy rifiuta questo principio perché i valori di verità sono presi nell'intervallo chiuso tra vero e falso nel campo dei numeri reali, violandone la polarità. In tutte le logiche in cui i valori di verità sono polari questo principio conserva ancora tutta la sua validità, come si dimostra in logica binaria.

## Nella logica proposizionale

Nell'ambito della logica proposizionale, il principio del terzo escluso è formalizzato nel modo seguente:
    $p\vee \neg p$,
dimostrata dai seguenti passaggi:
| Dipende dalla riga n. | Riga n. | F.b.f. | Regola applicata | Righe di applicazione della regola |
| 1 | (1) | $\neg (P\vee \neg P)$ | assunzione (A) | |
| 2 | (2) | P | assunzione (A) | |
| 2 | (3) | $P\vee \neg P$ | Introduzione della disgiunzione (I$_V$) | 2 |
| 1,2 | (4) | $(P\vee \neg P)\wedge [\neg (P\vee \neg P)]$ | Introduzione della congiunzione (I$_∧$) | 3 , 1 |
| 1 | (5) | $\neg P$ | Reductio ad absurdum (RAA) | 2 , 4 |
| 1 | (6) | $(P\vee \neg P)$ | Introduzione della disgiunzione (I$_V$) | 5 |
| 1 | (7) | $(P\vee \neg P)\wedge [\neg (P\vee \neg P)]$ | Introduzione della disgiunzione (I$_V$) | 6 , 1 |
| | (8) | $\neg \neg (P\vee \neg P)$ | Reductio ad absurdum (RAA) | 1 , 7 |
| | (9) | $(P\vee \neg P)$ | Doppia negazione | 8 |
La tesi era già dimostrata in corrispondenza della riga (6), che tuttavia dipendeva ancora da un'ipotesi, quella assunta nella riga (1). Il principio logico, invece, è universalmente vero e non dipende da alcuna ipotesi, nemmeno quelle assunte in ordine alla tesi da dimostrare. I passaggi dalla riga (7) alla riga (9) comprese sono necessaria per escludere la dipendenza della tesi da qualsivoglia assunzione.
Dal principio del terzo escluso, discendono le due seguenti leggi logiche:
    $[P\rightarrow \neg P]\vdash \neg P$ (1*)
    $P\rightarrow Q,P\rightarrow \neg Q\vdash \neg P$ (2*)
Inoltre, mediante altri teoremi, si dimostra anche che $[(\neg P)\vee Q]\vdash [P\rightarrow Q]$ (3*), verità logica che, ponendo $Q=P$, permette di derivare la legge di identità $P\rightarrow P$ a partire dal principio del terzo escluso assunto come premessa. Se invece si pone $Q=\neg \neg P$, allora si ha che $[\neg P\vee (\neg \neg P)]\vdash [P\rightarrow (\neg \neg P)]$, che è la prima delle due leggi della doppia negazione. Si noti a questo punto che la parte a destra dell'ultima espressione di sequenza è una legge della logica proposizionale, la sua premessa $\neg P\vee (\neg \neg P)$ è in realtà universalmente valida ed è una riscrittura del principio del terzo escluso. La seconda legge di identità afferma che $\neg \neg P\rightarrow P$. Si dimostra anche che è valido il reciproco della precedente proprietà, cioè $P\rightarrow Q\vdash \neg P\vee Q$ (4*): ponendo di nuovo $Q=\neg P$, si ha che $[P\rightarrow \neg P]\vdash [\neg P\vee (\neg P)]$, e per la (1*) si ha che $\neg P\vdash \neg P\vee (\neg P)$.
Tradotti in parole, la prima legge afferma che se una cosa implica il suo contrario, allora non può esistere. Ciò smentisce seccamente il noto proverbio secondo il quale i contrari si coimplicherebbero a vicenda, nonché il divenire dell'uno nell'altro reciprocamente. Il corrispondente detto latino è: contraria reciprocantur seu convertuntur. La seconda legge afferma che un ente non può essere la causa di un effetto e della sua negazione logica, interpretata nella metafisica come il suo contrario o opposto. Ciò ha rilevanti implicazioni logiche e matematiche nella fattibilità della dialettica degli enti secondo Hegel: tesi, antitesi e sintesi.
Data la loro importanza, si riportano in breve le rispettive dimostrazioni:
Tesi: $P\rightarrow \neg P\vdash \neg P$ :
| Dipende dalla riga n. | Riga n. | F.b.f. | Regola applicata | Righe di applicazione della regola |
| 1 | (1) | $P\rightarrow \neg P$ | assunzione (A) | |
| 2 | (2) | P | assunzione (A) | |
| 1,2 | (3) | $\neg P$ | modus ponendo ponens (MPP) | 1 , 2 |
| 2,3 | (4) | $P\wedge (\neg P)$ | Introduzione della congiunzione (I$_∧$) | 2, 3 |
| 1 | (5) | $\neg P$ | Reductio ad absurdum (RAA) | 2 , 4 |
La dimostrazione procede per assurdo. Nella riga (2) viene assunta la negazione della tesi da dimostrare, che è $\neg P$. Per la regola della doppia negazione (passaggio omesso) si ha che $[\neg (\neg P)]=\neg \neg P=P$. Si arriva ad una contraddizione nella riga (4), che per il principio di non-contraddizione non può essere vera. Allora, si può applicare la regola della riduzione all'impossibile, che, in presenza di una contraddizione, impone di negare l'assunzione che la causa, vale a dire la riga (2). Negando la negazione della tesi nella riga (2), la tesi $\neg \neg \neg P=\neg P$ risulta verificata.
La dimostrazione della seconda legge è la seguente:
Tesi: $P\rightarrow Q,P\rightarrow \neg Q\vdash \neg P$ :
| Dipende dalla riga n. | Riga n. | F.b.f. | Regola applicata | Righe di applicazione della regola |
| 1 | (1) | $P\rightarrow Q$ | assunzione (A) | |
| 2 | (2) | $P\rightarrow \neg Q$ | assunzione (A) | |
| 3 | (3) | P | assunzione (A) | |
| 1,3 | (4) | Q | modus ponendo ponens (MPP) | 1 , 3 |
| 1,4 | (5) | $\neg Q$ | assunzione (A) | 1 , 4 |
| 1,3,4 | (6) | $Q\wedge \neg Q$ | Introduzione della congiunzione (I$_∧$) | 4 , 5 |
| 3, 1, 4 | (7) | $\neg P$ | Reductio ad absurdum (RAA) | 3 , 6 |
La dimostrazione procede per assurdo. Viene assunta come ipotesi la negazione della tesi da dimostrare che è $\neg P$. Tale ipotesi $\neg \neg P$ diviene $P$ per la regola della doppia negazione il cui passaggio viene normalmente omesso nel procedimento per assurdo. L'applicazione del modus ponendo ponens alle due premesse nelle righe (4) e (5) conduce alla contraddizione della (6), passaggio necessario per concludere l'impossibilità e irrealtà dell'ipotesi alla riga (3) che viene quindi negata alla (7). Come volevasi dimostrare.