# Integrale ellittico

In matematica, e particolarmente nel calcolo integrale, un integrale ellittico è una qualsiasi funzione $f$ che può esprimersi nella forma:
    $f(x)=\int _{c}^{x}R(t,P(t))\ dt$
dove $R$ denota una funzione razionale dei suoi due argomenti, $P$ è la radice quadrata di un polinomio in una variabile di grado $3$ o $4$ privo di radici multiple e $c$ è una costante. La funzione $R$ contiene almeno una potenza dispari di $P$, mentre $R^{2}$ non ha fattori ripetuti.
Il concetto di integrale ellittico è emerso originariamente in connessione con il problema del calcolo della lunghezza degli archi di un'ellisse. I primi ad interessarsene e studiarli sono stati Fagnano ed Eulero.
In generale, gli integrali ellittici non possono essere espressi in termini di funzioni elementari; si hanno eccezioni a questo fatto quando $P$ ha radici ripetute, o quando $R(x,y)$ non contiene potenze dispari di $y$. Comunque, con appropriate riduzioni delle formule ogni integrale ellittico può essere riportato a una forma che coinvolge integrali di funzioni razionali, e le tre forme canoniche: integrali ellittici di prima, seconda e terza specie.
Oltre alle forme sopra definite, gli integrali ellittici possono essere espressi nella forma di Legendre e nella forma simmetrica di Carlson. Ulteriori informazioni nella teoria degli integrali incompleti possono essere ricavate tramite l'utilizzo della trasformazione di Schwarz-Christoffel.
Le funzioni ellittiche sono state scoperte come funzioni inverse degli integrali ellittici, e in particolare la $F$ tale che si abbia $F({\textrm {sn}}(z;k);k)=z$, dove ${\textrm {sn}}$ denota una delle funzioni ellittiche di Jacobi.

## Notazione

Gli integrali ellittici sono spesso espressi come funzioni di argomenti variamente definiti. Queste rappresentazioni sono completamente equivalenti (danno lo stesso integrale ellittico), ma possono confondere a causa del loro differente aspetto. La maggior parte dei testi utilizza uno schema canonico di nomi degli argomenti:
* $k$ è il modulo ellittico (o eccentricità)
* $m=k^{2}$ è il parametro
* $\alpha$ è l'angolo modulare, con $k=\sin \alpha$.
Si nota che una volta che si assegna una qualsiasi di queste relazioni, le altre ne sono completamente determinate. Gli integrali ellittici dipendono anche da un altro argomento $\phi$, ossia l'ampiezza, anche definito come il parametro $u$ dato da $x=\sin \phi ={\textrm {sn}}\;u$, con ${\textrm {sn}}$ una delle funzioni ellittiche di Jacobi.
Alcune relazioni addizionali che coinvolgono $u$ includono:
    $\cos \phi ={\textrm {cn}}\;u\qquad {\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}={\textrm {dn}}\;u$
dove la seconda è nota come delta ampiezza, ed è scritta come $\Delta (\phi )={\textrm {dn}}\;u$. A volte in letteratura è chiamata anche modulo complementare.

## Integrale ellittico incompleto di prima specie

L'Integrale ellittico incompleto di prima specie $F$ è definito, nella forma di Jacobi, come:
    $F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\ dt$
Equivalentemente, usando una notazione alternativa:
    $F(x;k)=F(\phi |m)=F(\phi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\phi }{\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\theta }}}\ d\theta$
dove si comprende che quando si usa la barra verticale, l'argomento che segue la barra verticale è il parametro (come definito sopra), e quando si usa la barra retroversa l'argomento è il modulo angolare. Si noti che:
    $F(x;k)=u$
con $u$ definito come sopra: le funzioni ellittiche di Jacobi sono collegate alle inverse degli integrali ellittici.

## Integrale ellittico incompleto di seconda specie

L'integrale ellittico incompleto di seconda specie $E$ è dato da:
    $E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ dt$
In maniera equivalente, usando la notazione alternativa:
    $E(x;k)=E(\phi |m)=E(\phi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\theta }}\ d\theta$
In statistica tale tipologia di integrale può essere utilizzato per rappresentare la lunghezza di curve continue crescenti come la curva di Lorenz (o spezzata di Lorenz) dove $\phi =1$ e $\theta =(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,\phi _{n})$ che indica il vettore dei parametri che individua l'elemento particolare nella famiglia di funzioni individuate dallo stesso integrale.
Ulteriori relazioni includono:
    $E(\phi |m)=\int _{0}^{u}{\textrm {dn}}^{2}w\;dw=u-m\int _{0}^{u}{\textrm {sn}}^{2}w\;dw=(1-m)u+m\int _{0}^{u}{\textrm {cn}}^{2}w\;dw$

## Integrale ellittico incompleto di terza specie

L'integrale ellittico incompleto di terza specie $\Pi$ è:
    $\Pi (n;\phi |m)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {(1-k^{2}t^{2})(1-t^{2})}}}\ dt$
oppure:
    $\Pi (n;\phi |m)=\int _{0}^{\phi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {1}{\sqrt {(1-\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\theta )}}}\ d\theta$
o anche:
    $\Pi (n;\phi |m)=\int _{0}^{u}{\frac {1}{1-n{\textrm {sn}}^{2}(w|m)}}\;dw$
Il numero $n$ si chiama caratteristica, e può assumere qualsiasi valore indipendentemente dagli altri argomenti. Si noti che il valore $\Pi (1;\pi /2|m)$ è infinito per qualsiasi valore di $m$.

## Integrale ellittico completo di prima specie

L'integrale ellittico completo di prima specie $K$ è definito come segue:
    $K(k)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\ dt$
e può essere calcolato in termini di media aritmetica-geometrica.
Può anche essere calcolato con il seguente sviluppo in serie di Taylor:
    $K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }k^{2n}{\frac {((2n)!)^{2}}{16^{n}(n!)^{4}}}$
oppure in forma di integrale del seno, quando $0\leq k\leq 1$
    $K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}$
L'integrale ellittico completo di prima specie è chiamato qualche volta in letteratura anglofona quarter period.

## Integrale ellittico completo di seconda specie

L'integrale ellittico completo di seconda specie $E$ è definito come:
    $E(k)=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ dt$
Può anche essere calcolato con il seguente sviluppo in serie di Taylor:
    $E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{2}} \choose n}(-1)^{n}k^{2n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}$
oppure in forma di integrale del seno, quando $0\leq k\leq 1$:
    $E(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta$