# Tensore elettromagnetico

In fisica, in particolare in elettromagnetismo, il tensore elettromagnetico, anche detto tensore del campo elettromagnetico, tensore dello sforzo del campo, tensore di Faraday o bivettore di Maxwell, è un tensore che descrive il campo elettromagnetico.
Il tensore di campo fu usato per la prima volta da Hermann Minkowski, e consente di scrivere le leggi fisiche in maniera molto concisa e generale.

## Definizione

Il tensore elettromagnetico $F_{\alpha \beta }$ è definito come:
    $F_{\alpha \beta }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial A_{\beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial x^{\beta }}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }$
dove $A_{\alpha }$ è il potenziale quadrivettoriale:
    $A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)$
in cui $\mathbf {A}$ è il potenziale magnetico, un potenziale vettore, e $\phi$ è il potenziale elettrico, un potenziale scalare. La forma del tensore esprime il fatto che il campo elettrico ed il campo magnetico sono definiti a partire dal quadripotenziale nel seguente modo:
    $\mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \phi \qquad \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}$
Ad esempio, le componenti $x$ sono:
    $E_{x}=-{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\qquad B_{x}={\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}$
che si possono riscrivere (ricordando che abbassando gli indici del tensore A tramite la metrica di Minkowski cambiamo segno alla componente temporale) come:
    $E_{1}=c\left(\partial _{0}A_{1}-\partial _{1}A_{0}\right)\qquad B_{1}=\partial _{2}A_{3}-\partial _{3}A_{2}$
Il tensore elettromagnetico può quindi essere definito anche come la derivata esterna della forma 1-differenziale $A_{\mu }$:
    $F_{\mu \nu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ dA_{\mu }$
Dal momento che il tensore elettromagnetico è una forma 2-differenziale sullo spaziotempo, in un sistema di riferimento inerziale la matrice che lo rappresenta è:
    $F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}=\left({\mathbf {E} \over c},\mathbf {B} \right)$
oppure:
    $F_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}=\left(-{\mathbf {E} \over c},\mathbf {B} \right)$
Dalla forma matriciale del tensore di campo si evince che il tensore elettromagnetico è un tensore antisimmetrico:
    $F_{\alpha \beta }=-F_{\beta \alpha }$
la cui traccia è nulla, e possiede sei componenti indipendenti. Il prodotto interno dei tensori del campo è inoltre un invariante di Lorentz:
    $F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }=\ 2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)=\mathrm {invariante}$
mentre il prodotto del tensore $F^{\alpha \beta }$ con il suo tensore duale dà un'invariante pseudoscalare:
    ${\frac {1}{2}}\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)=\mathrm {invariante}$
dove $\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }$ è il tensore unitario completamente antisimmetrico del quart'ordine o tensore di Levi-Civita. Si noti che:
    $\det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}$

## Derivazione

Si consideri una particella con carica elettrica $e$ e massa $m$ posta in una regione in cui è presente un campo elettromagnetico. Sia $\mathbf {v} =\mathbf {\dot {r}}$ la velocità della particella e $\mathbf {p} =e\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)$ la quantità di moto, con $\mathbf {A}$ il potenziale vettore. La sua energia potenziale e la sua energia cinetica hanno la forma:
    $U=e\phi (\mathbf {r} ,t)-e\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {\dot {r}} \qquad T={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}}$
dove $\phi$ è il potenziale elettrico. La lagrangiana ${\mathcal {L}}$ permette di descriverne il moto, ed è definita come:
    ${\mathcal {L}}=T-U={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +e\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -e\phi$
ovvero:
    ${\mathcal {L}}={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})+e({\dot {x}}A_{x}+{\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z})-e\phi$
In notazione relativistica, sfruttando l'intervallo spaziotemporale (scalare) $ds={\sqrt {dx_{i}dx^{i}}}$, dove $x^{i}$ è la posizione, l'azione ${\mathcal {S}}$ è definita come l'integrale della lagrangiana nel tempo tra gli istanti iniziale e finale dell'evoluzione del sistema:
    ${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}dt=\int _{a}^{b}\left(-mcds-{e \over c}A_{i}dx^{i}\right)$
con $A_{i}$ il quadripotenziale. Il principio di minima azione stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle fasi è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso ($\delta {\mathcal {S}}=0$), ovvero:
    $\delta {\mathcal {S}}=\delta \int \left(-mc\,ds-{e \over c}A_{i}dx^{i}\right)=-\int _{a}^{b}\left(mc\,{\frac {dx_{i}d\delta x^{i}}{ds}}+{e \over c}A_{i}d\delta x^{i}+{e \over c}\delta A_{i}dx^{i}\right)=0$
Se si integra per parti si ottiene:
    $\int \left(mc\,du_{i}\delta x^{i}+{e \over c}\delta x^{i}dA_{i}+{e \over c}\delta A_{i}dx^{i}\right)-\left(mcu_{i}+{e \over c}A_{i}\right)\delta x^{i}|=0$
con $u_{i}={dx_{i} \over ds}$ la quadrivelocità. Dato che il secondo termine è nullo e che:
    $\delta A_{i}={\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}\delta x^{k}\qquad dA_{i}={\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}dx^{k}$
si ha:
    $\int \left(mc\,du_{i}\delta x^{i}+{e \over c}\delta x^{i}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}dx^{k}+{e \over c}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}\delta x^{k}dx^{i}\right)=\left[mc{du_{i} \over ds}-{e \over c}\left({\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}\right)u^{k}\right]\delta x^{i}ds=0$
dove nel secondo passaggio si è sfruttato il fatto che $du_{i}=(du_{i}/ds)ds$ e $dx^{i}=du^{i}ds$. Ponendo:
    $F_{ik}\equiv {\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}$
si ha:
    $mc{du_{i} \over ds}-{e \over c}F_{ik}u_{k}=0$
che è l'equazione del moto per una particella carica in un campo elettromagnetico.
In elettrodinamica quantistica la lagrangiana estende quella classica, ed in forma relativistica è data da:
    ${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_{\alpha }-mc^{2})\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }$
incorporando la creazione e l'annichilazione di fotoni (e elettroni).

## Equazioni di Maxwell in forma tensoriale

L'elettromagnetismo classico e le equazioni di Maxwell possono essere derivati da un principio di azione stazionaria partendo dall'azione:
    ${\mathcal {S}}=\int \left(-{\tfrac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)\mathrm {d} ^{4}x$
dove $\mathrm {d} ^{4}x\;$ è ambientata nello spaziotempo. Questo significa che la densità di lagrangiana è:
    ${\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-{\tfrac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\\&=-{\tfrac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\\&=-{\tfrac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\end{aligned}}$
Il primo e il quarto termine sono uguali, perché $\mu$ e $\nu$ sono indici muti. Anche i restanti sono uguali, e quindi la lagrangiana è:
    ${\mathcal {L}}=-{\tfrac {1}{2\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)$
Usando l'equazione di Eulero-Lagrange per un campo si ha:
    $\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=0$
dove il secondo termine è zero in quanto la lagrangiana non contiene esplicitamente i campi, ma solo le loro derivate. Quindi l'equazione di Eulero-Lagrange assume la forma:
    $\partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)=0$
in cui il termine tra le parentesi è il tensore di campo $F^{\mu \nu }$, e quindi:
    $\partial _{\nu }F^{\mu \nu }=0$
Questa equazione è un altro modo per scrivere le due equazioni di Maxwell non omogenee in assenza di sorgenti nel vuoto, usando le sostituzioni:
    $~E^{i}/c\ \ =-F^{0i}\qquad \varepsilon ^{ijk}B^{k}=-F^{ij}$
dove $i$ and $j$ prendono i valori 1, 2, e 3. In presenza di sorgenti le equazioni di Maxwell non omogenee sono:
    $\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\qquad \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mu _{0}\mathbf {J}$
e si riducono a:
    $\partial _{\nu }F^{\nu \mu }=\mu _{0}J^{\mu }$
dove:
    $J^{\nu }=(c\,\rho ,\mathbf {J} )$
è la quadricorrente. Le equazioni omogenee:
    $\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0\qquad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =0$
si riducono invece a:
    $\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0$

## Trasformazioni del campo elettromagnetico

Nel momento in cui si passa dalla descrizione del campo in termini delle coordinare rispetto ad un sistema inerziale $K$ alla medesima descrizione rispetto ad un altro sistema inerziale $K'$, il tensore elettromagnetico si trasforma secondo la legge:
    $F'^{\alpha \beta }={\frac {\partial x'^{\alpha }}{\partial x^{\gamma }}}{\frac {\partial x'^{\beta }}{\partial x^{\delta }}}F^{\gamma \delta }$
Detta $A$ la matrice di trasformazione della relativa trasformazione di Lorentz, si ha in modo equivalente:
    $F'=AFA^{*}$
dove l'asterisco denota la matrice trasposta.
Le espressioni spaziali dei campi ottenute per una traslazione di $K'$ rispetto a $K$ lungo l'asse delle ascisse con velocità $c\beta$ sono:
    $E_{1}'=E_{1}\qquad B_{1}'=B_{1}$
    $E_{2}'=\gamma (E_{2}-\beta B_{3})\qquad B_{2}'=\gamma (B_{2}+\beta E_{3})$
    $E_{3}'=\gamma (E_{3}+\beta B_{2})\qquad B_{3}'=\gamma (B_{3}-\beta E_{2})$
Per una trasformazione di Lorentz generica, si ha:
    $\mathbf {E} '=\gamma (\mathbf {E} +{\vec {\beta }}\times \mathbf {B} )-{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}\cdot \mathbf {E} )$
    $\mathbf {B} '=\gamma (\mathbf {B} -{\vec {\beta }}\times \mathbf {E} )-{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}\cdot \mathbf {B} )$
Tali espressioni mostrano come il campo magnetico ed il campo elettrico siano due manifestazioni dello stesso campo, il campo elettromagnetico. A seconda del sistema di riferimento lo stesso campo si osserva in modo diverso, ed è possibile trovare due sistemi tali per cui in uno di essi il campo è puramente magnetico o puramente elettrico, mentre nell'altro si osservano entrambi. Non esistono tuttavia due sistemi in cui il campo elettromagnetico sia contemporaneamente elettrostatico e magnetostatico rispettivamente.