# Matrice di cambiamento di base

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la matrice di cambiamento di base o di coordinate è una matrice quadrata che codifica il cambiamento di una base di uno spazio vettoriale.

## Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo $K$. Siano $B$ e $C$ due basi di $V$, e siano $\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\dots ,\mathbf {b} _{n}$ i vettori che compongono la base $B$. Si definisce matrice di cambiamento di coordinate dalla base $B$ alla base $C$ l'unica matrice $[M]_{C}^{B}$ le cui colonne sono le coordinate dei vettori $\mathbf {b} _{i}$ rispetto ai vettori della base $C$:
    $[M]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}\ [\mathbf {b} _{1}]_{C}&\cdots &[\mathbf {b} _{n}]_{C}\ \end{bmatrix}}$
Si ha allora:
    $[\mathbf {v} ]_{C}=[M]_{C}^{B}[\mathbf {v} ]_{B}\qquad [\mathbf {v} ]_{B}=([M]_{C}^{B})^{-1}[\mathbf {v} ]_{C}$
In particolare, la matrice $[M]_{C}^{B}$ è la matrice associata alla funzione identità su $V$ rispetto alle basi $B$ nel dominio e $C$ nel codominio.
Se $K=\mathbb {R}$ è il campo dei numeri reali, la matrice di cambiamento di base è utile a verificare se due basi hanno la stessa orientazione: questo accade precisamente quando il determinante della matrice di cambiamento di base che le collega è positivo.

## Rappresentazione grafica nel piano cartesiano

Rifacendoci alla fig.1 supponiamo di avere nel piano cartesiano il vettore $u$ di coordinate:
    $u={\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}}$.
Siano poi $(v_{1},v_{2})$ e $(w_{1},w_{2})$ due coppie di vettori che nello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{2}$ individuano rispettivamente la base $B$ e la base $C$ date da:
    $B=\left(v_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\right)$
    $C=\left(w_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},w_{2}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\right)$
La coppia $(v_{1},v_{2})$ può rappresentare un qualunque vettore del piano cartesiano (e quindi ne rappresenta una base) trattandosi di vettori non paralleli e pertanto indipendenti; altrettanto vale per la coppia $(w_{1},w_{2})$.
Si verifica facilmente che si può ottenere il vettore $u$ come combinazione di vettori della base $B$ e della base $C$ mediante le seguenti equazioni:
    $u=3v_{1}+v_{2}$ $(1)$
    $u=-7w_{1}+5w_{2}$ $(2)$
Pertanto, le coordinate del vettore $u$ rispetto alle basi $B$ e $C$ sono date da:
    $[u]_{B}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$
    $[u]_{C}={\begin{pmatrix}-7\\5\end{pmatrix}}$
Graficamente, in base $B$ il vettore $u$ è dato dalla somma dei vettori $v_{1}$' e $v_{2}$': bisogna a tal proposito tracciare la retta che ha la stessa direzione di $v_{1}$ e individuare il punto di intersezione con la retta passante per la punta del vettore $u$ e parallela a $v_{2}$. Si ottengono così il vettore $v_{1}$' con modulo pari a tre volte quello di $v_{1}$ e il vettore $v_{2}$' con modulo pari a $v_{2}$ conformemente all'equazione $(1)$ che può essere riscritta come:
    $u=3v_{1}+v_{2}=v_{1}$'$+v_{2}$'
    $v_{1}$' $=3v_{1}$
    $v_{2}$' $=v_{2}$
Analogamente, in base $C$ il vettore $u$ è dato dalla somma dei vettori $w_{1}$' e $w_{2}$': bisogna a tal proposito tracciare la retta che ha la stessa direzione di $w_{1}$ e individuare il punto di intersezione con la retta passante per la punta del vettore $u$ e parallela a $w_{2}$. Si ottengono così il vettore $w_{1}$', nella fattispecie opposto in verso a $w_{1}$, con modulo pari a sette volte quest'ultimo e il vettore $w_{2}$' con modulo pari a cinque volte $w_{2}$ conformemente all'equazione $(2)$ che può essere riscritta come:
    $u=-7w_{1}+5w_{2}=w_{1}$'$+w_{2}$'
    $w_{1}$' $=-7w_{1}$
    $w_{2}$' $=5w_{2}$
La matrice che consente di passare dalle coordinate in base $B$ a quelle in base $C$ è data da:
    $[M]_{C}^{B}={\begin{pmatrix}-1&-4\\1&2\end{pmatrix}}$
Vale, a riprova, l'identità $[u]_{C}=[M]_{C}^{B}[u]_{B}$ come di seguito riportato:
    ${\begin{pmatrix}-7\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&-4\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$
La fig.2 consente di avere una rappresentazione grafica delle colonne di tale matrice. La prima colonna fornisce i coefficienti moltiplicativi dei vettori che costituiscono la base $C$ al fine di ottenere per somma geometrica il primo vettore della base $B$ conformemente alla definizione data nel paragrafo introduttivo. Analogo discorso vale per la seconda colonna.
La matrice che consente di passare dalle coordinate in base $C$ a quelle in base $B$ è data dalla sua inversa:
    $[M]_{B}^{C}={\begin{pmatrix}1&2\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$
Vale, a riprova, l'identità $[u]_{B}=[M]_{B}^{C}[u]_{C}$ come di seguito riportato:
    ${\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-7\\5\end{pmatrix}}$
La fig.3 consente di avere una rappresentazione grafica delle colonne di tale matrice. La prima colonna fornisce i coefficienti moltiplicativi dei vettori che costituiscono la base $B$ al fine di ottenere per somma geometrica il primo vettore della base $C$ conformemente alla definizione data nel paragrafo introduttivo. Analogo discorso vale per la seconda colonna.

## Composizione

La matrice di cambiamento di base permette di codificare la relazione fra basi diverse attraverso la composizione di funzioni. Siano $B_{1}$, $B_{2}$ e $B_{3}$ basi per $V$ e sia $M_{i,j}$ la matrice di cambiamento di coordinate da $B_{i}$ a $B_{j}$. Si ha:
    $M_{1,3}=M_{2,3}M_{1,2}$
Segue che se $M$ è la matrice di cambiamento di coordinate da $B$ in $B'$ e $M'$ è la matrice di cambiamento di coordinate da $B'$ in $B$ allora vale la relazione:
    $MM'=I$
In particolare, la matrice $M$ è invertibile e $M'$ è la sua inversa.

## Cambio di matrici associate a endomorfismi

Sia $T:V\to V$ un endomorfismo di uno spazio vettoriale $V$. Siano $B$ e $B'$ due basi per $V$ e $M$ la matrice di cambiamento di coordinate da $B'$ in $B$. Sia $[T]_{B}$ la matrice di trasformazione di $T$ rispetto alla base $B$ e $[T]_{B'}$ la matrice associata a $B'$. Vale allora la relazione:
    $[T]_{B'}=M^{-1}[T]_{B}M$
In modo equivalente, due matrici che rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse sono simili.

## Esempi

* Nel piano cartesiano, sia $B=((1,0),(0,1))$ la base canonica e $B'=((0,1),(1,0))$ ottenuta permutando $B$. La matrice di cambiamento di coordinate da $B$ in $B'$ è:
    ${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\\end{bmatrix}}$
* Nello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{3}$, la matrice di cambiamento fra le basi: viene trovata risolvendo il sistema di equazioni lineari: con 9 equazioni (pari al numero degli elementi della matrice, $i^{2}$) e 9 incognite $M_{ji}$. Il risultato è la matrice: La matrice $M$ può quindi essere usata per cambiare le coordinate di un vettore fissato. Ad esempio, il vettore: ha coordinate rispetto a $B$: Le sue coordinate rispetto a $B'$ sono quindi calcolate nel modo seguente:
    $B=\left(v_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}},v_{3}={\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}\right)$
    $B'=\left(w_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},w_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},w_{3}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\right)$
    $v_{i}=M_{1i}w_{1}+M_{2i}w_{2}+M_{3i}w_{3}$
    $M={\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&1&1\\{\frac {1}{2}}&-1&0\\-{\frac {1}{2}}&2&1\end{pmatrix}}$
    $v={\begin{pmatrix}5\\2\\7\end{pmatrix}}=2v_{1}-v_{2}+3v_{3}$
    $[v]_{B}={\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}$
    $[v]_{B'}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&1&1\\{\frac {1}{2}}&-1&0\\-{\frac {1}{2}}&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}}$