# Anarmonicità

L'anarmonicità rappresenta la deviazione di un sistema oscillante rispetto al modello dell'oscillatore armonico, ed è calcolabile facendo ricorso alla teoria perturbativa nel caso di basse anarmonicità o ad altre tecniche numeriche se essa è consistente. Nell'oscillatore anarmonico è possibile osservare multipli della frequenza fondamentale dell'oscillatore $\omega _{A}$ che differisce dalla $\omega _{N}$ del moto armonico in prima approssimazione proporzionalmente al quadrato della ampiezza di oscillazione A:
    $\;\Delta \omega _{A}=\omega _{A}-\omega _{N}$
    $\Delta \omega _{A}\propto A^{2}$.
Perciò risulta il manifestarsi di oscillazioni con le frequenze delle armoniche superiori $2\omega _{A}$ e $3\omega _{A}$ ecc., dove $\omega _{A}$ è la frequenza fondamentale dell'oscillatore. Inoltre, la frequenza $\omega _{A}$ devia dalla frequenza naturale $\omega _{N}$.
In un sistema di oscillatori con modi normali $\omega _{\alpha }$, $\omega _{\beta }$, ... l'anarmonicità si risolve in oscillazioni addizionali con frequenze $\omega _{\alpha }\pm \omega _{\beta }$.
L'anarmonicità modifica anche il profilo della curva di risonanza, portando ad interessanti fenomeni come la risonanza nonlineare e la risonanza superarmonica.

## Principio generale

In generale, l'oscillatore armonico è un sistema dinamico altamente idealizzato che oscilla con una singola frequenza, indipendentemente della quantità di energia cedutagli dall'esterno. Conseguentemente, la frequenza fondamentale dell'oscillatore armonico è indipendente dall'ampiezza delle vibrazioni. In un oscillatore anarmonico accade il contrario: la relazione dinamica tra forza e spostamento non è più lineare ma dipende dall'ampiezza dell'oscillazione, e quindi anche la frequenza può dipendervi. Questi cambiamenti risultano in un accoppiamento parametrico dell'energia ad altre frequenze.

## Esempi fisici

Ci sono molti sistemi nel mondo fisico: a livello meccanico la nonlinearità sorge già nel caso più semplice nel pendolo matematico per angoli crescenti, che tende peraltro a esibire comportamenti caotici; come anche in una molla in snervamento o il cui peso non è rigido. In effetti la nonlinearità sopraggiunge quando l'ampiezza oltrepassa valori-soglia.
Esempi fuori dalla meccanica sono semiconduttori non in equilibrio che posseggono una popolazione calda abbastanza grande e che tendono ad esibire oscillazioni anarmoniche legate alla massa effettive delle cariche, così come plasmi ionosferici. Un atomo la sperimenta uno sdoppiamento tra centro di massa del nucleo atomico e la nube elettronica sotto l'applicazione di un campo elettrico: si genera un dipolo elettrico che si comporta come oscillatore, e per intensità di campo crescenti perde la sua linearità come un sistema meccanico. L'anarmonicità gioca anche un ruolo importante nei reticoli cristallini, nelle vibrazioni quantistiche molecolari , e in acustica.

## Metodo di Weierstrass

Si consideri un potenziale unidimensionale $U(x)$ supposto simmetrico rispetto all'asse $U$, la forma della curva può essere implicitamente determinata a partire dal periodo $T(E)$ delle oscillazioni con energia totale $E$ secondo l'equazione:
    $x(U)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {2m}}}}\int _{0}^{U}{\frac {T(E)\,dE}{\sqrt {U-E}}}$