# Matrice dei cofattori

In matematica, in particolare in algebra lineare, la matrice dei cofattori di una matrice quadrata $A$ di ordine $n$, detta anche matrice dei complementi algebrici, è un'altra matrice quadrata di ordine $n$ il cui elemento nella posizione generica $i,j$ è il cofattore (o complemento algebrico) di $A$ relativo alla posizione $i,j$, così definito:
    $\mathrm {cof} _{i,j}(A):=(-1)^{i+j}\cdot \det(A_{i,j})$
qui il termine $\det(A_{i,j})$ rappresenta il minore di $A$ ottenuto cancellando la riga $i$-esima e la colonna $j$-esima.
Quindi la matrice dei cofattori è la seguente:
    $\mathrm {cof} \,A={\begin{pmatrix}\mathrm {cof} _{1,1}(A)&\ldots &\mathrm {cof} _{1,n}(A)\\\vdots &\ddots &\vdots \\\mathrm {cof} _{n,1}(A)&\ldots &\mathrm {cof} _{n,n}(A)\\\end{pmatrix}}.$

## Matrice aggiunta

La trasposta della matrice dei cofattori è detta matrice aggiunta (benché questo termine indichi anche la matrice trasposta coniugata) ed è indicata con l'operatore $\mathrm {adj}$, dall'inglese adjoint matrix.
Quindi:
    $\mathrm {adj} \,A=(\mathrm {cof} \,A)^{T}.$

## Proprietà

La matrice aggiunta soddisfa le proprietà seguenti:
* $\mathrm {adj} (I)=I$, dove $I$ è la matrice identità
* $\mathrm {adj} (A\cdot B)=\mathrm {adj} (B)\cdot \mathrm {adj} (A)$
* $A\cdot \mathrm {adj} (A)=\mathrm {adj} (A)\cdot A=\det(A)\cdot I$
conseguenza dello sviluppo di Laplace. Quindi se $A$ è invertibile, l'inversa è data da:
    $A^{-1}=\det(A)^{-1}\cdot \mathrm {adj} (A)$
* $\det(\mathrm {adj} (A))\,=\,\det(A)^{n-1}$

## Casi particolari
### Matrice 2 × 2

L'aggiunta della matrice
    $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$
è la matrice
    $\operatorname {adj} (A)={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}.$
Si noti che
    $\det(\operatorname {adj} (A))=\det(A)=ad-bc$
e che
    $\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (A))=A.$

### Matrice 3 × 3

Data la matrice $3\times 3$
    $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}},$
la sua matrice aggiunta è uguale alla trasposta della matrice dei cofattori
    $\operatorname {adj} (A)=(\mathrm {cof} \,\mathbf {A} )^{T}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}},$
dove
    $\left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right)=a_{im}a_{jn}-a_{in}a_{jm}.$

### Esempi numerici

Sia data la matrice $A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}$. Utilizzando la formula precedente, la sua aggiunta è data da
    $\operatorname {adj} (A)=(\mathrm {cof} \,A)^{T}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&6&-3\\6&-12&6\\-3&6&-3\end{pmatrix}}.$
Un secondo esempio è il seguente:
    $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&1&1\\0&-1&2\\0&2&-1\end{pmatrix}};$
    $\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}-3&3&3\\0&-2&-4\\0&-4&-2\end{pmatrix}}.$