# Matrice antisimmetrica

In matematica una matrice antisimmetrica o emisimmetrica è una matrice quadrata $A$ la cui trasposta è anche la sua opposta, ossia:
    $A^{t}=-A.$
In termini dei suoi elementi $a_{i,j}$, per ogni $i$ e $j$ vale:
    $a_{i,j}=-a_{j,i}.$
Per esempio, la matrice:
    ${\begin{pmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{pmatrix}}$
è antisimmetrica.

## Proprietà
### Diagonale principale

Se le entrate della matrice appartengono a un campo con caratteristica diversa da 2, tutti gli elementi sulla diagonale principale di una matrice antisimmetrica sono uguali a zero in quanto per definizione $a_{i,i}=-a_{i,i}$. In particolare, una matrice antisimmetrica ha traccia nulla.

### Determinante

Se $A$ è una matrice antisimmetrica di ordine $n,$ il suo determinante soddisfa:
    $\det(A)=\det(A^{t})=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A).$
In particolare, se $n$ è dispari il determinante è zero. Se $n$ è pari, invece, il determinante di $A$ è il quadrato di un polinomio $\operatorname {Pf} (A)$ (lo pfaffiano) calcolato nelle componenti di $A$:
    $\det(A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}.$
Si può però dimostrare in modo elementare che il determinante di una matrice antisimmetrica reale è non negativo. Infatti gli autovalori di una matrice antisimmetrica reale $A$ sono numeri immaginari puri, poiché se $\lambda$ è un autovalore associato all'autovettore $v$, cosicché $Av=\lambda v$, allora
    ${\overline {\lambda }}{\overline {v}}^{t}v={\overline {(\lambda {\overline {v}}^{t}v)^{t}}}={\overline {({\overline {v}}^{t}Av)^{t}}}={\overline {v}}^{t}A^{t}v=-{\overline {v}}^{t}Av=-\lambda {\overline {v}}^{t}v,$
da cui deduciamo che $\lambda +{\overline {\lambda }}=0$, in altre parole $\lambda$ è immaginario puro, diciamo $\lambda =ai$ con $a\in \mathbb {R}$. Ora, ad ogni tale autovalore $\lambda$ corrisponde l'autovalore coniugato ${\overline {\lambda }}$, con la stessa molteplicità, poiché se $Av=\lambda v$, allora $A{\overline {v}}={\overline {Av}}={\overline {\lambda v}}={\overline {\lambda }}{\overline {v}}$. Pertanto $\det(A)$, essendo il prodotto degli autovalori (ciascuno ripetuto secondo la sua molteplicità), se non è zero è il prodotto dei numeri reali positivi $\lambda \cdot {\overline {\lambda }}=ai\cdot {\overline {ai}}=a^{2}$.

### Matrici simmetriche e antisimmetriche

Per ogni matrice quadrata $A$, la matrice $T=A-A^{t}$ è una matrice antisimmetrica, mentre la matrice $S=A+A^{t}$ è una matrice simmetrica.
È possibile (se $A$ ha elementi in un campo di caratteristica diversa da 2) scrivere $A$ come:
    $A=(S+T)/2={1 \over 2}S+{1 \over 2}T,$
ossia come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica. La matrice trasposta di $A$ in questo caso è:
    $A^{t}=(S-T)/2.$

## Teoria spettrale

Se una matrice antisimmetrica $A$ ha un autovalore $\lambda$, allora ha anche un autovalore $-\lambda$. Ossia, se:
    $Av=\lambda v,$
allora $v^{t}A^{t}=\lambda v^{t}$, quindi:
    $v^{t}A=-v^{t}A^{t}=-\lambda v^{t}.$
In particolare, gli autovalori di una matrice antisimmetrica si trovano sempre in coppie $(\lambda ,-\lambda )$, eccetto nel caso di dimensione dispari nel quale è anche presente un autovalore nullo.
Gli autovalori di una matrice reale antisimmetrica sono tutti immaginari puri, quindi della forma $\pm i\lambda _{i}$, con $\lambda _{i}$ reale.
Le matrici reali antisimmetriche sono matrici normali e in particolare per esse vale teorema spettrale, ovvero possono essere diagonalizzate tramite una matrice unitaria. Quindi se una matrice reale antisimmetrica ha un autovalore non nullo, questo non è reale e la matrice non può essere diagonalizzata tramite una matrice reale. È comunque possibile trasformare ogni matrice antisimmetrica $A$ in una matrice diagonale a blocchi tramite una matrice ortogonale $R$ (con $R^{t}=R^{-1}$), ovvero in modo che $\Sigma _{n}=R^{-1}AR=R^{t}AR$ sia di una delle due forme:
    $\Sigma _{2r}={\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{bmatrix}}&O&\cdots &O\\O&{\begin{bmatrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{bmatrix}}&&O\\\vdots &&\ddots &\vdots \\O&O&\cdots &{\begin{bmatrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{bmatrix}}\end{pmatrix}},\qquad \Sigma _{2r+1}={\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}\Sigma _{2r}\end{bmatrix}}&O\\O&{\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}\end{pmatrix}},$
con autovalori $\pm i\lambda _{k}$ (più un autovalore $0$ se $n$ è dispari).

## Forme alternanti

Una forma alternante (o antisimmetrica) $\varphi$ su uno spazio vettoriale $V$ sopra un campo $K$ (di caratteristica diversa da 2) è una forma bilineare $\varphi \colon V\times V\to K$ tale che:
    $\varphi (v,w)=-\varphi (w,v).$
Ogni forma alternante $\varphi$ viene rappresentata da una matrice antisimmetrica $A$ su una base di $V$, $\varphi (v,w)=v^{t}Aw$, e viceversa.

## Rotazioni infinitesimali

Le matrici antisimmetriche di ordine $n$ con elementi in un campo $K$ sono uno spazio vettoriale su $K$ di dimensione $n(n-1)/2$, che è lo spazio tangente al gruppo ortogonale $O(n)$ nella matrice identità; in questa interpretazione, le matrici antisimmetriche possono essere derivate da "rotazioni infinitesimali".
Equivalentemente, lo spazio vettoriale delle matrici antisimmetriche forma l'algebra di Lie $o(n)$ del gruppo di Lie $O(n)$. La parentesi di Lie su di esso è il commutatore $[A,B]=AB-BA$, che è antisimmetrico:
    $(AB-BA)^{t}=B^{t}A^{t}-A^{t}B^{t}=BA-AB.$
Inoltre, la matrice esponenziale $R=\exp(A)$ di una matrice antisimmetrica $A$ è una matrice ortogonale:
    $R^{t}=\mathrm {e} ^{A^{t}}=\mathrm {e} ^{-A}=(\mathrm {e} ^{A})^{-1}=R^{-1}.$
Di conseguenza l'immagine dell'applicazione esponenziale si trova nella componente connessa di $O(n)$, il gruppo ortogonale speciale $SO(n)$, e ogni rotazione $R$ ha determinante $1$. In particolare, ogni matrice ortogonale speciale (con determinante $1$) è l'esponenziale di una matrice antisimmetrica.