# Polinomi di Bell

Nella matematica combinatoria, i polinomi di Bell, in onore del matematico scozzese Eric Temple Bell, sono una famiglia di polinomi utilizzati nello studio delle partizioni di un insieme. Sono connessi ai numeri di Stirling e di Bell, e compaiono in numerose applicazioni, come ad esempio nella formula di Faà di Bruno.

## Definizione
### Polinomi di Bell esponenziali

I polinomi esponenziali parziali o incompleti sono una famiglia di polinomi definiti da
    $B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},$
dove la somma è su tutte le sequenze $j_{1}$, $j_{2}$, $j_{3}$, $\dots$, $j_{n-k+1}$ di interi non negativi tali che le seguenti due condizioni siano soddisfatte:
    $j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,$
    $j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.$
La somma al variare di $k$ dei polinomi incompleti
    $B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})$
è chiamata l'n-esimo polinomio di Bell esponenziale completo.

### Polinomi di Bell ordinari

I polinomi di Bell ordinari sono invece definiti come
    ${\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum {\frac {k!}{j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}}x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},$
dove la somma è su tutte le sequenze $j_{1}$, $j_{2}$, $j_{3}$, $\dots$, $j_{n-k+1}$ di interi non negativi tali che
    $j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,$
    $j_{1}+2j_{2}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.$
I polinomi di Bell ordinari si possono esprimere in funzione di quelli esponenziali come:
    ${\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})={\frac {k!}{n!}}B_{n,k}(1!\cdot x_{1},2!\cdot x_{2},\ldots ,(n-k+1)!\cdot x_{n-k+1}).$
In generale, con il termine generico polinomi di Bell ci si riferisce alla versione esponenziale, a meno che non venga specificato esplicitamente.

## Significato combinatorio

I polinomi di Bell esponenziali sono collegati ai vari modi in cui un insieme può essere partizionato. Per esempio, se si considera un insieme $\{A,B,C\}$, può essere diviso in due insiemi disgiunti e non vuoti, quest'ultimi chiamati anche blocchi, in tre diversi modi:
    $\left\{\{A\},\{B,C\}\right\}$
    $\left\{\{B\},\{A,C\}\right\}$
    $\left\{\{C\},\{B,A\}\right\}$
Questa informazione è codificata all'interno del seguente polinomio di Bell
    $B_{3,2}(x_{1},x_{2})=3x_{1}x_{2}.$
Qui il pedice di $B_{3,2}$ indica che stiamo considerando le partizioni di 3 elementi in 2 blocchi, mentre il termine $x_{i}^{j}$ indica la presenza di $j$ blocchi composti da $i$ elementi all'interno di una partizione. Nel caso precedente, $x_{2}$ indica la presenza di un solo blocco con due elementi. In modo simile, $x_{1}$ mostra la presenza di un unico blocco con un singolo elemento. Il coefficiente del monomio mostra il numero di queste partizioni. Nell'esempio considerato esistono 3 partizioni di un insieme con tre elementi in due blocchi, dove in ogni partizione gli elementi sono divisi in due blocchi di grandezza 1 e 2.
Dato che un insieme può essere diviso in un unico blocco in un solo modo possibile, l'interpretazione precedente implica che $B_{n,1}=x_{n}$. In modo simile, poiché esiste un unico modo in cui un insieme di n elementi può essere partizionato in n singoletti, allora $B_{n,n}=x_{1}^{n}$.
Un caso più complicato è il seguente
    $B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}.$
Da questo polinomio si può inferire che se un insieme di 6 elementi viene diviso in 2 blocchi, allora si possono avere 6 partizioni con blocchi di dimensione 1 e 5, 15 partizioni con blocchi di 4 e 2 elementi, e 10 partizioni con due blocchi di grandezza 3.
La somma dei pedici in un monomio è uguale al numero totale di elementi dell'insieme. Perciò, il numero di monomi che appaiono nel polinomio di Bell parziale è uguale al numero di modi in cui un intero $n$ può essere espresso come somma di $k$ interi positivi, cioè la partizione dell'intero $n$ in $k$ parti. Negli esempi precedenti, il numero 3 può essere partizionato in due parti solo come 2+1, perciò $B_{3,2}$ è composto da un unico monomio. Al contrario, il numero 6 può essere scritto come 5+1, 4+2 e 3+3, quindi in $B_{6,2}$ i monomi sono 3. Il numero totale di monomi che appaiono in un polinomio di Bell completo $B_{n}$ è quindi uguale al numero totale di partizioni intere di $n$.
Inoltre il grado di ogni monomio, che è la somma degli esponenti di ciascuna variabile nel monomio, è uguale al numero di blocchi in cui l'insieme è diviso. In altre parole, $j_{1}+j_{2}+\dots =k$. Di conseguenza, dato un polinomio di Bell completo $B_{n}$, si possono separare i vari polinomi parziali $B_{n,k}$ raggruppando tutti i monomi di grado $k$.
Infine, la somma dei coefficienti del polinomio di Bell parziale $B_{n,k}$ darà il numero di partizioni di un insieme di $n$ elementi in $k$ blocchi, che è la definizione del numero di Stirling di seconda specie $S(n,k)$. Inoltre, la somma di tutti i coefficienti del corrispondente polinomio di Bell completo darà il numero totale di partizioni possibili dell'insieme di $n$ elementi, e quindi sarà il relativo numero di Bell.

### Esempi

Per esempio, si ha
    $B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}$
perché i modi di partizionare un insieme di 6 elementi in 2 blocchi sono
    6 modi con $5+1$,
    15 modi con $4+2$, e
    10 modi con $3+3$.
Similmente,
    $B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}$
perché i modi di partizionare un insieme di 6 elementi in 3 blocchi sono
    15 modi con $4+1+1$,
    60 modi con $3+2+1$, e
    15 modi con $2+2+2$.

## Proprietà
### Funzione generatrice

I polinomi di Bell parziali possono essere definiti tramite l'espansione della funzione generatrice in una doppia serie:
    ${\begin{aligned}\Phi (t,u)&=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}}u^{k}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}\sum _{k=1}^{n}u^{k}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}).\end{aligned}}$
In modo equivalente, è l'espansione in serie della k-esima potenza:
    ${\frac {1}{k!}}\left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}},\qquad k=0,1,2,\ldots$
I polinomio di Bell completi sono definiti come $\Phi (t,1)$, o in altre parole:
    $\Phi (t,1)=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {t^{n}}{n!}}.$
Perciò, l'n-esimo polinomio completo è dato da
    $B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left.\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{n}\exp \left(\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)\right|_{t=0}.$
Similmente, i polinomi di Bell ordinari corrispondono alla funzione generatrice
    ${\hat {\Phi }}(t,u)=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}{\frac {u^{k}}{k!}}.$
O, equivalentemente, dall'espansione in serie della k-esima potenza:
    $\left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}.$
I polinomi di Bell sono fondamentali per calcolare potenze, logaritmi, esponenziali e composizioni di funzioni generatrici.

### Relazioni di ricorrenza

I polinomi di Bell completi si possono definire ricorsivamente come
    $B_{n+1}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})x_{i+1}$
con il valore iniziale $B_{0}=1$.
I polinomi parziali invece si possono calcolare in modo efficiente dalla seguente relazione di ricorrenza:
    $B_{n,k}=\sum _{i=1}^{n-k+1}{\binom {n-1}{i-1}}x_{i}B_{n-i,k-1},$
where
    $B_{0,0}=1;$
    $B_{n,0}=0{\text{ per }}n\geq 1;$
    $B_{0,k}=0{\text{ per }}k\geq 1.$
I polinomi completi inoltre soddisfano la ricorrenza differenziale:
    ${\begin{aligned}B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n-1}}\left[\sum _{i=2}^{n}\right.&\sum _{j=1}^{i-1}(i-1){\binom {i-2}{j-1}}x_{j}x_{i-j}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\\[5pt]&\left.+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {x_{i+1}}{\binom {i}{j}}}{\frac {\partial ^{2}B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{j}\partial x_{i-j}}}\right.\\[5pt]&\left.+\sum _{i=2}^{n}x_{i}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\right].\end{aligned}}$

### Derivate

Le derivate parziali dei polinomi di Bell completi sono date da
    ${\frac {\partial B_{n}}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\binom {n}{i}}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i}).$
In modo simile, le derivate parziali dei polinomi di Bell incompleti sono
    ${\frac {\partial B_{n,k}}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})={\binom {n}{i}}B_{n-i,k-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-i-k+2}).$
Se gli argomenti dei polinomi di Bell sono funzioni unidimensionali, si può usare la regola della catena per ottenere
    ${\frac {d}{dx}}\left(B_{n,k}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-k+1}(x))\right)=\sum _{i=1}^{n-k+1}{\binom {n}{i}}a_{i}'(x)B_{n-i,k-1}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-i-k+2}(x)).$

### Determinanti

Si possono esprimere i polinomi di Bell completi come dei determinanti nei due seguenti modi:
    $B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\-1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}$
e
    $B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&{\frac {x_{3}}{2!}}&{\frac {x_{4}}{3!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n}}{(n-1)!}}\\\\-1&{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&{\frac {x_{3}}{2!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-1}}{(n-2)!}}\\\\0&-2&{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-2}}{(n-3)!}}\\\\0&0&-3&{\frac {x_{1}}{0!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-3}}{(n-4)!}}\\\\0&0&0&-4&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-4}}{(n-5)!}}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-(n-1)&{\frac {x_{1}}{0!}}\end{bmatrix}}.$

### Legame con i numeri di Stirling e di Bell

Il valore del polinomio di Bell incompleto $B_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots )$ calcolato sulla sequenza dei fattoriali è uguale a un numero di Stirling di prima specie senza segno:
    $B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=c(n,k)=|s(n,k)|=\left[{n \atop k}\right].$
La somma di questi numeri da il valore del polinomio di Bell completo sulla sequenza dei fattoriali:
    $B_{n}(0!,1!,\dots ,(n-1)!)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=\sum _{k=1}^{n}\left[{n \atop k}\right]=n!.$
Il valore del polinomio $B_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots )$ calcolato su una sequenza di 1 è uguale a un numero di Stirling di seconda specie:
    $B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}.$
La somma di questi numeri da il valore del polinomio di Bell completo sulla n-upla di 1:
    $B_{n}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\right\},$
che è l'n-esimo numero di Bell.

### Relazioni inverse

Se si definisce
    $y_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}),$
allora si ha la relazione inversa
    $x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(y_{1},\ldots ,y_{n-k+1}).$

### Polinomi di Touchard

Il polinomio di Touchard $T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\cdot x^{k}$ può essere espresso come un polinomio di Bell completo con tutte le variabili uguali a $x$:
    $T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x).$

### Identità di convoluzione

Per le successioni $x_{n}$ e $y_{n}$ viene definita una convoluzione tramite:
    $(x{\mathbin {\diamondsuit }}y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}.$
Da notare che i limiti della sommatoria sono $1$ e $n-1$ .
Sia $x_{n}^{k\diamondsuit }$ l'n-esimo termine della successione
    $\displaystyle \underbrace {x{\mathbin {\diamondsuit }}\cdots {\mathbin {\diamondsuit }}x} _{k{\text{ factors}}}.\,$
Allora
    $B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.\,$
Per esempio, per quanto riguarda $B_{4,3}(x_{1},x_{2})$, si ha
    $x=(x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}\ ,\ x_{4}\ ,\dots )$
    $x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2}\ ,\dots )$
    $x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0\ ,\ 0\ ,\ 6x_{1}^{3}\ ,\ 36x_{1}^{2}x_{2}\ ,\dots )$
e quindi,
    $B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x)_{4}}{3!}}=6x_{1}^{2}x_{2}.$

## Altre identità

* $B_{n,k}(1!,2!,\ldots ,(n-k+1)!)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}=L(n,k)$ che è il numero di Lah.
* $B_{n,k}(1,2,3,\ldots ,n-k+1)={\binom {n}{k}}k^{n-k}$, che è collegato al numero di funzioni idempotenti di un insieme di $n$ elementi.
* $B_{n,k}(-x_{1},x_{2},-x_{3},\ldots ,(-1)^{n-k}x_{n-k+1})=(-1)^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n-k+1})$ and $B_{n}(-x_{1},x_{2},-x_{3},\ldots ,(-1)^{n-1}x_{n})=(-1)^{n}B_{n}(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})$.
* I polinomi di Bell completi soddisfano una relazione di tipo binomiale:
    $B_{n}(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})B_{i}(y_{1},\ldots ,y_{i}),$
* $B_{n,k}{\Bigl{\frac {x_{q+1}}{\binom {q+1}{q}}},{\frac {x_{q+2}}{\binom {q+2}{q}}},\ldots {\Bigr )}={\frac {n!(q!)^{k}}{(n+qk)!}}B_{n+qk,k}(\ldots ,0,0,x_{q+1},x_{q+2},\ldots ).$
* Quando $1\leq a<n$,
    $B_{n,n-a}(x_{1},\ldots ,x_{a+1})=\sum _{j=a+1}^{2a}{\frac {j!}{a!}}{\binom {n}{j}}(x_{1})^{n-j}B_{a,j-a}{\Bigl{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\ldots ,{\frac {x_{2(a+1)-j}}{2(a+1)-j}}{\Bigr )}.$
* Casi particolari di polinomi di Bell parziali:
    ${\begin{aligned}B_{n,1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=&x_{n}\\[8pt]B_{n,2}(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=&{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}x_{k}x_{n-k}\\[8pt]B_{n,n}(x_{1})=&(x_{1})^{n}\\[8pt]B_{n,n-1}(x_{1},x_{2})=&{\binom {n}{2}}(x_{1})^{n-2}x_{2}\\[8pt]B_{n,n-2}(x_{1},x_{2},x_{3})=&{\binom {n}{3}}(x_{1})^{n-3}x_{3}+3{\binom {n}{4}}(x_{1})^{n-4}(x_{2})^{2}\\[8pt]B_{n,n-3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=&{\binom {n}{4}}(x_{1})^{n-4}x_{4}+10{\binom {n}{5}}(x_{1})^{n-5}x_{2}x_{3}+15{\binom {n}{6}}(x_{1})^{n-6}(x_{2})^{3}\\[8pt]B_{n,n-4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=&{\binom {n}{5}}(x_{1})^{n-5}x_{5}+5{\binom {n}{6}}(x_{1})^{n-6}{\bigl3x_{2}x_{4}+2(x_{3})^{2}{\bigr ]}+105{\binom {n}{7}}(x_{1})^{n-7}(x_{2})^{2}x_{3}\\&+105{\binom {n}{8}}(x_{1})^{n-8}(x_{2})^{4}.\end{aligned}}$

## Polinomi completi di grado più basso

I primi polinomi di Bell completi sono:
    ${\begin{aligned}B_{0}=&1,\\[8pt]B_{1}(x_{1})=&x_{1},\\[8pt]B_{2}(x_{1},x_{2})=&x_{1}^{2}+x_{2},\\[8pt]B_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=&x_{1}^{3}+3x_{1}x_{2}+x_{3},\\[8pt]B_{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=&x_{1}^{4}+6x_{1}^{2}x_{2}+4x_{1}x_{3}+3x_{2}^{2}+x_{4},\\[8pt]B_{5}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=&x_{1}^{5}+10x_{2}x_{1}^{3}+15x_{2}^{2}x_{1}+10x_{3}x_{1}^{2}+10x_{3}x_{2}+5x_{4}x_{1}+x_{5}\\[8pt]B_{6}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})=&x_{1}^{6}+15x_{2}x_{1}^{4}+20x_{3}x_{1}^{3}+45x_{2}^{2}x_{1}^{2}+15x_{2}^{3}+60x_{3}x_{2}x_{1}\\&+15x_{4}x_{1}^{2}+10x_{3}^{2}+15x_{4}x_{2}+6x_{5}x_{1}+x_{6},\\[8pt]B_{7}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7})=&x_{1}^{7}+21x_{1}^{5}x_{2}+35x_{1}^{4}x_{3}+105x_{1}^{3}x_{2}^{2}+35x_{1}^{3}x_{4}\\&+210x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+105x_{1}x_{2}^{3}+21x_{1}^{2}x_{5}+105x_{1}x_{2}x_{4}\\&+70x_{1}x_{3}^{2}+105x_{2}^{2}x_{3}+7x_{1}x_{6}+21x_{2}x_{5}+35x_{3}x_{4}+x_{7}.\end{aligned}}$

## Applicazioni
### Formula di Faà di Bruno

La formula di Faà di Bruno può essere espressa in termini dei polinomi di Bell nel modo seguente:
    ${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).$
La versione con le serie di potenze afferma che se
    $f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad {\text{e}}\qquad g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}$
allora
    $g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})}{n!}}x^{n}.$
Un caso particolare è l'esponenziale di una serie formale di potenze:
    $\exp \left(\sum _{i=1}^{\infty }{a_{i} \over i!}x^{i}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n},$
che rappresenta anche la funzione generatrice esponenziale dei polinomi di Bell completi calcolata su una sequenza fissata di valori $\{a_{1},a_{2},\dots \}$.

### Reversione della serie

Siano due funzioni $f$ e $g$ espresse in serie formali di potenze come
    $f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}},\qquad {\text{e}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}},$
tale che $g$ è l'inversa di $f$, definita da $g(f(w))=w$ oppure $f(g(z))=z$. Se $f_{0}=0$ e $f_{1}\neq 0$, allora esiste una forma esplicita dei coefficienti dell'inversa in termini dei polinomi di Bell:
    $g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{\bar {k}}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\qquad n\geq 2,$
con ${\hat {f}}_{k}={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}}$, $n^{\bar {k}}=n(n+1)\cdots (n+k-1)$ il fattoriale crescente, e $g_{1}={\frac {1}{f_{1}}}.$

### Espansione asintotica degli integrali di Laplace

Si consideri l'integrale della forma
    $I(\lambda )=\int _{a}^{b}e^{-\lambda f(x)}g(x)\,\mathrm {d} x,$
dove $(a,b)$ è un intervallo reale (anche infinito), $\lambda$ è un parametro positivo sufficientemente grande, e le funzioni $f$ e $g$ sono continue. La funzione $f$ ha un solo minimo in $[a,b]$ che lo assume in $x=a$. Si assuma che per $x\to a^{+}$,
    $f(x)\sim f(a)+\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(x-a)^{k+\alpha },$
    $g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(x-a)^{k+\beta -1},$
con $\alpha >0$, $\Re (\beta )>0$; e che l'espansione di $f$ possa essere derivata termine a termine. Allora, il teorema di Laplace–Erdelyi afferma che l'espansione asintotica dell'integrale $I(\lambda )$ è data da
    $I(\lambda )\sim e^{-\lambda f(a)}\sum _{n=0}^{\infty }\Gamma {\Big{\frac {n+\beta }{\alpha }}{\Big )}{\frac {c_{n}}{\lambda ^{(n+\beta )/\alpha }}}\qquad {\text{per}}\quad \lambda \rightarrow \infty ,$
dove i coefficienti $c_{n}$ sono esprimibili in termini di $a_{n}$ e $b_{n}$ usando i polinomi di Bell ordinari grazie alla formula di Campbell–Froman–Walles–Wojdylo:
    $c_{n}={\frac {1}{\alpha a_{0}^{(n+\beta )/\alpha }}}\sum _{k=0}^{n}b_{n-k}\sum _{j=0}^{k}{\binom {-{\frac {n+\beta }{\alpha }}}{j}}{\frac {1}{a_{0}^{j}}}{\hat {B}}_{k,j}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k-j+1}).$

### Polinomi simmetrici

Il polinomio simmetrico elementare $e_{n}$ e il polinomio simmetrico $p_{n}$ ottenuto con somma di potenze n-esime sono in relazione tra loro tramite i polinomi di Bell:
    ${\begin{aligned}e_{n}&={\frac {1}{n!}}\;B_{n}(p_{1},-1!p_{2},2!p_{3},-3!p_{4},\ldots ,(-1)^{n-1}(n-1)!p_{n})\\&={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\;B_{n}(-p_{1},-1!p_{2},-2!p_{3},-3!p_{4},\ldots ,-(n-1)!p_{n}),\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}p_{n}&={\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!\;B_{n,k}(e_{1},2!e_{2},3!e_{3},\ldots ,(n-k+1)!e_{n-k+1})\\&=(-1)^{n}\;n\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\;{\hat {B}}_{n,k}(-e_{1},\dots ,-e_{n-k+1}).\end{aligned}}$
Questo formule permettono di esprimere i coefficienti dei polinomi monici in termine dei polinomi di Bell calcolati nei loro zeri. Un'applicazione delle proprietà è che, insieme al teorema di Hamilton-Cayley, si ottiene un'espressione del determinante di una matrice quadrata $A$ di dimensione $n$ in funzione delle tracce delle sue potenze:
    $\det(A)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}),~\qquad {\text{dove }}s_{k}=-(k-1)!\operatorname {tr} (A^{k}).$

### Indice di ciclo dei gruppi simmetrici

L'indice di ciclo del gruppo simmetrico $S_{n}$ è dato da:
    $Z(S_{n})={\frac {B_{n}(0!\,a_{1},1!\,a_{2},\dots ,(n-1)!\,a_{n})}{n!}}.$

### Momenti e cumulanti

La somma
    $\mu _{n}'=B_{n}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n-k+1})$
è l'n-esimo momento semplice di una distribuzione di probabilità i cui primi n cumulanti sono $\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n}$. In altre parole, l'n-esimo momento è l'n-esimo polinomio di Bell completo valutato nei primi n cumulanti. Similmente, l'n-esimo cumulante si può esprimere in termini dei momenti come
    $\kappa _{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(\mu '_{1},\ldots ,\mu '_{n-k+1}).$

### Polinomi di Hermite

I polinomi di Hermite probabilistici sono dati da
    $\operatorname {He} _{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0),$
dove $x_{i}=0$ per ogni $i>2$; in questo modo si ha un'interpretazione combinatoria dei coefficienti dei polinomi di Hermite. Si può vedere meglio comparando la funzione generatrice dei polinomi di Hermite
    $\exp \left(xt-{\frac {t^{2}}{2}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}$
con quella dei polinomi di Bell.

### Rappresentazione delle successioni di polinomi di tipo binomiale

Per ogni successione $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}$ di scalari, sia
    $p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}.$
Questa sequenza di polinomi è di tipo binomiale, cioè soddisfa l'identità binomiale
    $p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y).$
Per esempio con $a_{1}=\ldots =a_{n}=1$, i polinomi $p_{n}(x)$ rappresentano i polinomi di Touchard.
Si ha il risultato generale che i polinomi $p_{n}(x)$ rappresentano tutti i polinomi di tipo binomiale. Detto in altre parole, tutti polinomi di tipo binomiale si possono scrivere in questa forma, rappresentandone una relazione biunivoca.
Se si definisce una serie formale di potenze
    $h(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{a_{k} \over k!}x^{k},$
allora per ogni $n$,
    $h^{-1}\left({d \over dx}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).$
In altre parole, l'operatore di sinistra ha le proprietà di operatore delta per i polinomi $p_{n}$.

## Implementazioni

I polinomi di Bell sono implementati in:
* Mathematica come BellY
* Maple come IncompleteBellB
* SageMath come bell_polynomial