# Insieme (musica)

Il concetto di insieme (pitch set, pitch-class set, set class, set form, pitch collection) è alla base dell'analisi musicale insiemistica, principalmente sviluppata a metà dagli anni settanta del secolo scorso dal musicologo statunitense Allen Forte, con lo scopo di analizzare la musica post-seriale. Come avviene in matematica, un insieme è definito come una collezione di oggetti, che in ambito musicale possono essere altezze (o più generalmente classi di altezze), o anche durate o timbri
Un insieme non è necessariamente dotato di strutture addizionali: ad esempio può non essere ordinato (nel senso che si considerano equivalenti insiemi che includono gli stessi oggetti, indipendentemente dall'ordine). Quando si considerano insiemi ordinati si parla piuttosto di segmenti (segments)
Altri autori (particolarmente Milton Babbitt) usano invece il termine insieme come sinonimo di serie, ossia di insieme ordinato.
Per classificare gli insiemi ai fini dell'analisi musicale ci si riferisce usualmente alla loro forma primaria (prime form): nella teoria seriale, questa coincide con l'ordine della serie originale (cioè quello della sua prima esposizione nel brano musicale). Nell'analisi insiemistica, invece, la forma primaria di un insieme di classi di altezze (cioè note definite a meno dell'ottava di appartenenza) consiste nella scelta di un rappresentante per ciascuna classe di altezze, e di un ordinamento dell'insieme, tali da produrre la sequenza più compatta possibile, ossia quella in cui "l'intervallo più ampio fra ciascuna coppia di altezze consecutive sia compreso fra la prima e l'ultima altezza della successione". Nell'analisi di una composizione si studiano le trasformazioni a cui è sottoposta la forma primaria di un insieme.

## Forme primarie e vettori intervallari degli insiemi di classi di altezze

Quella che segue è la tabella di tutti gli insiemi di classi di altezze per come li ha catalogati Allen Forte. Gli insiemi complementari tra loro si trovano allineati nella stessa riga.
| Nome | Classi di altezze | Vettore intervallare | Nome | Classi di altezze | Vettore intervallare |
| 3-1(12) | 0,1,2 | 210000 | 9-1 | 0,1,2,3,4,5,6,7,8 | 876663 |
| 3-2 | 0,1,3 | 111000 | 9-2 | 0,1,2,3,4,5,6,7,9 | 777663 |
| 3-3 | 0,1,4 | 101100 | 9-3 | 0,1,2,3,4,5,6,8,9 | 767763 |
| 3-4 | 0,1,5 | 100110 | 9-4 | 0,1,2,3,4,5,7,8,9 | 766773 |
| 3-5 | 0,1,6 | 100011 | 9-5 | 0,1,2,3,4,6,7,8,9 | 766674 |
| 3-6(12) | 0,2,4 | 020100 | 9-6 | 0,1,2,3,4,5,6,8,10 | 686763 |
| 3-7 | 0,2,5 | 011010 | 9-7 | 0,1,2,3,4,5,7,8,10 | 677673 |
| 3-8 | 0,2,6 | 010101 | 9-8 | 0,1,2,3,4,6,7,8,10 | 676764 |
| 3-9(12) | 0,2,7 | 010020 | 9-9 | 0,1,2,3,5,6,7,8,10 | 676683 |
| 3-10(12) | 0,3,6 | 002001 | 9-10 | 0,1,2,3,4,6,7,9,10 | 668664 |
| 3-11 | 0,3,7 | 001110 | 9-11 | 0,1,2,3,5,6,7,9,10 | 667773 |
| 3-12(4) | 0,4,8 | 000300 | 9-12 | 0,1,2,4,5,6,8,9,10 | 666963 |
| 4-1(12) | 0,1,2,3 | 321000 | 8-1 | 0,1,2,3,4,5,6,7 | 765442 |
| 4-2 | 0,1,2,4 | 221100 | 8-2 | 0,1,2,3,4,5,6,8 | 665542 |
| 4-3(12) | 0,1,3,4 | 212100 | 8-3 | 0,1,2,3,4,5,6,9 | 656542 |
| 4-4 | 0,1,2,5 | 211110 | 8-4 | 0,1,2,3,4,5,7,8 | 655552 |
| 4-5 | 0,1,2,6 | 210111 | 8-5 | 0,1,2,3,4,6,7,8 | 654553 |
| 4-6(12) | 0,1,2,7 | 210021 | 8-6 | 0,1,2,3,5,6,7,8 | 654463 |
| 4-7(12) | 0,1,4,5 | 201210 | 8-7 | 0,1,2,3,4,5,8,9 | 645652 |
| 4-8(12) | 0,1,5,6 | 200121 | 8-8 | 0,1,2,3,4,7,8,9 | 644563 |
| 4-9(6) | 0,1,6,7 | 200022 | 8-9 | 0,1,2,3,6,7,8,9 | 644464 |
| 4-10(12) | 0,2,3,5 | 122010 | 8-10 | 0,2,3,4,5,6,7,9 | 566452 |
| 4-11 | 0,1,3,5 | 121110 | 8-11 | 0,1,2,3,4,5,7,9 | 565552 |
| 4-12 | 0,2,3,6 | 112101 | 8-12 | 0,1,3,4,5,6,7,9 | 556543 |
| 4-13 | 0,1,3,6 | 112011 | 8-13 | 0,1,2,3,4,6,7,9 | 556453 |
| 4-14 | 0,2,3,7 | 111120 | 8-14 | 0,1,2,4,5,6,7,9 | 555562 |
| 4-Z15 | 0,1,4,6 | 111111 | 8-Z15 | 0,1,2,3,4,6,8,9 | 555553 |
| 4-16 | 0,1,5,7 | 110121 | 8-16 | 0,1,2,3,5,7,8,9 | 554563 |
| 4-17(12) | 0,3,4,7 | 102210 | 8-17 | 0,1,3,4,5,6,8,9 | 546652 |
| 4-18 | 0,1,4,7 | 102111 | 8-18 | 0,1,2,3,5,6,8,9 | 546553 |
| 4-19 | 0,1,4,8 | 101310 | 8-19 | 0,1,2,4,5,6,8,9 | 545752 |
| 4-20(12) | 0,1,5,8 | 101220 | 8-20 | 0,1,2,4,5,7,8,9 | 545662 |
| 4-21(12) | 0,2,4,6 | 030201 | 8-21 | 0,1,2,3,4,6,8,10 | 474643 |
| 4-22 | 0,2,4,7 | 021120 | 8-22 | 0,1,2,3,5,6,8,10 | 465562 |
| 4-23(12) | 0,2,5,7 | 021030 | 8-23 | 0,1,2,3,5,7,8,10 | 465472 |
| 4-24(12) | 0,2,4,8 | 020301 | 8-24 | 0,1,2,4,5,6,8,10 | 464743 |
| 4-25(6) | 0,2,6,8 | 020202 | 8-25 | 0,1,2,4,6,7,8,10 | 464644 |
| 4-26(12) | 0,3,5,8 | 012120 | 8-26 | 0,1,2,4,5,7,9,10 | 456562 |
| 4-27 | 0,2,5,8 | 012111 | 8-27 | 0,1,2,4,5,7,8,10 | 456553 |
| 4-28(3) | 0,3,6,9 | 004002 | 8-28 | 0,1,3,4,6,7,9,10 | 448444 |
| 4-Z29 | 0,1,3,7 | 111111 | 8-Z29 | 0,1,2,3,5,6,7,9 | 555553 |
| 5-1(12) | 0,1,2,3,4 | 432100 | 7-1 | 0,1,2,3,4,5,6 | 654321 |
| 5-2 | 0,1,2,3,5 | 332110 | 7-2 | 0,1,2,3,4,5,7 | 554331 |
| 5-3 | 0,1,2,4,5 | 322210 | 7-3 | 0,1,2,3,4,5,8 | 544431 |
| 5-4 | 0,1,2,3,6 | 322111 | 7-4 | 0,1,2,3,4,6,7 | 544332 |
| 5-5 | 0,1,2,3,7 | 321121 | 7-5 | 0,1,2,3,5,6,7 | 543342 |
| 5-6 | 0,1,2,5,6 | 311221 | 7-6 | 0,1,2,3,4,7,8 | 533442 |
| 5-7 | 0,1,2,6,7 | 310132 | 7-7 | 0,1,2,3,6,7,8 | 532353 |
| 5-8(12) | 0,2,3,4,6 | 232201 | 7-8 | 0,2,3,4,5,6,8 | 454422 |
| 5-9 | 0,1,2,4,6 | 231211 | 7-9 | 0,1,2,3,4,6,8 | 453432 |
| 5-10 | 0,1,3,4,6 | 223111 | 7-10 | 0,1,2,3,4,6,9 | 445332 |
| 5-11 | 0,2,3,4,7 | 222220 | 7-11 | 0,1,3,4,5,6,8 | 444441 |
| 5-Z12(12) | 0,1,3,5,6 | 222121 | 7-Z12 | 0,1,2,3,4,7,9 | 444342 |
| 5-13 | 0,1,2,4,8 | 221311 | 7-13 | 0,1,2,4,5,6,8 | 443532 |
| 5-14 | 0,1,2,5,7 | 221131 | 7-14 | 0,1,2,3,5,7,8 | 443352 |
| 5-15(12) | 0,1,2,6,8 | 220222 | 7-15 | 0,1,2,4,6,7,8 | 442443 |
| 5-16 | 0,1,3,4,7 | 213211 | 7-16 | 0,1,2,3,5,6,9 | 435432 |
| 5-Z17(12) | 0,1,3,4,8 | 212320 | 7-Z17 | 0,1,2,4,5,6,9 | 434541 |
| 5-Z18 | 0,1,4,5,7 | 212221 | 7-Z18 | 0,1,2,3,5,8,9 | 434442 |
| 5-19 | 0,1,3,6,7 | 212122 | 7-19 | 0,1,2,3,6,7,9 | 434343 |
| 5-20 | 0,1,3,7,8 | 211231 | 7-20 | 0,1,2,4,7,8,9 | 433452 |
| 5-21 | 0,1,4,5,8 | 202420 | 7-21 | 0,1,2,4,5,8,9 | 424641 |
| 5-22(12) | 0,1,4,7,8 | 202321 | 7-22 | 0,1,2,5,6,8,9 | 424542 |
| 5-23 | 0,2,3,5,7 | 132130 | 7-23 | 0,2,3,4,5,7,9 | 354351 |
| 5-24 | 0,1,3,5,7 | 131221 | 7-24 | 0,1,2,3,5,7,9 | 353442 |
| 5-25 | 0,2,3,5,8 | 123121 | 7-25 | 0,2,3,4,6,7,9 | 345342 |
| 5-26 | 0,2,4,5,8 | 122311 | 7-26 | 0,1,3,4,5,7,9 | 344532 |
| 5-27 | 0,1,3,5,8 | 122230 | 7-27 | 0,1,2,4,5,7,9 | 344451 |
| 5-28 | 0,2,3,6,8 | 122212 | 7-28 | 0,1,3,5,6,7,9 | 344433 |
| 5-29 | 0,1,3,6,8 | 122131 | 7-29 | 0,1,2,4,6,7,9 | 344352 |
| 5-30 | 0,1,4,6,8 | 121321 | 7-30 | 0,1,2,4,6,8,9 | 343542 |
| 5-31 | 0,1,3,6,9 | 114112 | 7-31 | 0,1,3,4,6,7,9 | 336333 |
| 5-32 | 0,1,4,6,9 | 113221 | 7-32 | 0,1,3,4,6,8,9 | 335442 |
| 5-33(12) | 0,2,4,6,8 | 040402 | 7-33 | 0,1,2,4,6,8,10 | 262623 |
| 5-34(12) | 0,2,4,6,9 | 032221 | 7-34 | 0,1,3,4,6,8,10 | 254442 |
| 5-35(12) | 0,2,4,7,9 | 032140 | 7-35 | 0,1,3,5,6,8,10 | 254361 |
| 5-Z36 | 0,1,2,4,7 | 222121 | 7-Z36 | 0,1,2,3,5,6,8 | 444342 |
| 5-Z37(12) | 0,3,4,5,8 | 212320 | 7-Z37 | 0,1,3,4,5,7,8 | 434541 |
| 5-Z38 | 0,1,2,5,8 | 212221 | 7-Z38 | 0,1,2,4,5,7,8 | 434442 |
| 6-1(12) | 0,1,2,3,4,5 | 543210 | | | |
| 6-2 | 0,1,2,3,4,6 | 443211 | | | |
| 6-Z3 | 0,1,2,3,5,6 | 433221 | 6-Z36 | 0,1,2,3,4,7 | |
| 6-Z4(12) | 0,1,2,4,5,6 | 432321 | 6-Z37(12) | 0,1,2,3,4,8 | |
| 6-5 | 0,1,2,3,6,7 | 422232 | | | |
| 6-Z6(12) | 0,1,2,5,6,7 | 421242 | 6-Z38(12) | 0,1,2,3,7,8 | |
| 6-7(6) | 0,1,2,6,7,8 | 420243 | | | |
| 6-8(12) | 0,2,3,4,5,7 | 343230 | | | |
| 6-9 | 0,1,2,3,5,7 | 342231 | | | |
| 6-Z10 | 0,1,3,4,5,7 | 333321 | 6-Z39 | 0,2,3,4,5,8 | |
| 6-Z11 | 0,1,2,4,5,7 | 333231 | 6-Z40 | 0,1,2,3,5,8 | |
| 6-Z12 | 0,1,2,4,6,7 | 332232 | 6-Z41 | 0,1,2,3,6,8 | |
| 6-Z13(12) | 0,1,3,4,6,7 | 324222 | 6-Z42(12) | 0,1,2,3,6,9 | |
| 6-14 | 0,1,3,4,5,8 | 323430 | | | |
| 6-15 | 0,1,2,4,5,8 | 323421 | | | |
| 6-16 | 0,1,4,5,6,8 | 322431 | | | |
| 6-Z17 | 0,1,2,4,7,8 | 322332 | 6-Z43 | 0,1,2,5,6,8 | |
| 6-18 | 0,1,2,5,7,8 | 322242 | | | |
| 6-Z19 | 0,1,3,4,7,8 | 313431 | 6-Z44 | 0,1,2,5,6,9 | |
| 6-20(4) | 0,1,4,5,8,9 | 303630 | | | |
| 6-21 | 0,2,3,4,6,8 | 242412 | | | |
| 6-22 | 0,1,2,4,6,8 | 241422 | | | |
| 6-Z23(12) | 0,2,3,5,6,8 | 234222 | 6-Z45(12) | 0,2,3,4,6,9 | |
| 6-Z24 | 0,1,3,4,6,8 | 233331 | 6-Z46 | 0,1,2,4,6,9 | |
| 6-Z25 | 0,1,3,5,6,8 | 233241 | 6-Z47 | 0,1,2,4,7,9 | |
| 6-Z26(12) | 0,1,3,5,7,8 | 232341 | 6-Z48(12) | 0,1,2,5,7,9 | |
| 6-27 | 0,1,3,4,6,9 | 225222 | | | |
| 6-Z28(12) | 0,1,3,5,6,9 | 224327 | 6-Z49(12) | 0,1,3,4,7,9 | |
| 6-Z29(12) | 0,1,3,6,8,9 | 224232 | 6-Z50(12) | 0,1,4,6,7,9 | |
| 6-30(12) | 0,1,3,6,7,9 | 224223 | | | |
| 6-31 | 0,1,3,5,8,9 | 223431 | | | |
| 6-32(12) | 0,2,4,5,7,9 | 143250 | | | |
| 6-33 | 0,2,3,5,7,9 | 143241 | | | |
| 6-34 | 0,1,3,5,7,9 | 142422 | | | |
| 6-35(2) | 0,2,4,6,8,10 | 060603 | | | |