# Funzione suriettiva

In matematica, una funzione si dice suriettiva (o surgettiva, o una suriezione) quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. In tal caso si ha che l'immagine coincide con il codominio.

## Definizione

Una funzione $f\colon X\rightarrow Y$ è detta suriettiva se $\forall y\in Y,\exists x\in X|f(x)=y$.
La composta di due funzioni suriettive è a sua volta suriettiva; ma se $g\circ f$ è suriettiva, possiamo concludere solo che $g$ è suriettiva

### Esempi

* Per ogni insieme $X$, la funzione identità $\mathrm {id} _{X}$ su $X$ è suriettiva.
* La funzione $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ definita da $f(x)=2x+1$ è suriettiva, perché per ogni numero reale $y$ si ha $f(x)=y$ dove $x$ è ${\frac {y-1}{2}}$.
* La funzione logaritmo naturale $\ln \colon \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R}$ è suriettiva.
* Sia la parabola $f(x)=x^{2}$ definita in maniera seguente: $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$; questa funzione non è suriettiva in quanto l'insieme delle immagini è costituito da tutti i numeri reali non negativi. Per rendere suriettiva questa funzione è sufficiente effettuare questa restrizione: $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}$, ovvero considerare un codominio diverso.
Graficamente la suriettività può essere vista in questo modo: se abbiamo una funzione reale di una variabile reale che è suriettiva allora tracciando sul piano cartesiano una qualsiasi retta parallela all'asse $x$ di equazione $y=h$ con $h$ scelto nel codominio della funzione, allora questa retta orizzontale intersecherà il grafico della funzione almeno una volta.

## Proprietà

* Una funzione $f\colon X\rightarrow Y$ è suriettiva se e solo se esiste una funzione $g:Y\rightarrow X$ tale che $f\circ g$ è la funzione identità su $Y$. (Tale proposizione è equivalente all'assioma della scelta.)
* Se $f$ e $g$ sono entrambe suriettive, allora $f\circ g$ è suriettiva.
* Se $f\circ g$ è suriettiva, allora $f$ è suriettiva (ma $g$ può non esserlo).
* $f\colon X\rightarrow Y$ è suriettiva se e solo se, per ogni coppia di funzioni $g,h:Y\rightarrow Z$, ogni volta che $g\circ f=h\circ f$, allora $g=h$. In altri termini, le funzioni suriettive sono esattamente gli epimorfismi nella categoria $Ins$ di tutti gli insiemi.
* Se $f\colon X\rightarrow Y$ è suriettiva e $B$ è un sottoinsieme di $Y$, allora $f(f^{-1}(B))=B$. Ne consegue che $B$ può essere ricostruito dalla sua controimmagine $f^{-1}(B)$.
* Per ogni funzione $h\colon X\rightarrow Z$ esistono una suriezione $f$ e una funzione iniettiva $g$ tale che $h$ può essere decomposta come $h=g\circ f$. Tale decomposizione è unica a meno di un isomorfismo, e $f$ può essere vista come una funzione avente gli stessi valori di $h$ ma il cui codominio è ristretto all'insieme immagine $h(W)$ di $h$, che è un sottoinsieme del codominio $Z$ di $h$.
* Aggregando insieme tutte le controimmagini di una prefissata immagine, ogni funzione suriettiva induce una funzione biunivoca definita sul quoziente del suo dominio. In particolare, ogni funzione suriettiva $f:A\rightarrow B$ può essere fattorizzata in una proiezione seguita da una biiezione nel seguente modo. Sia $A/{\sim }$ l'insieme delle classi di equivalenza di $A$ rispetto alla seguente relazione d'equivalenza: $x\sim y\Leftrightarrow f(x)=f(y)$. Sia $P(\sim )\colon A\rightarrow A/{\sim }$ la proiezione che associa ogni $x\in A$ alla sua classe d'equivalenza$[x]_{\sim }$, e sia $f_{P}\colon A/{\sim }\rightarrow B$ la funzione ben definita data da $f_{P}([x]_{\sim })=f(x)$. Allora $f=f_{P}\circ P(\sim )$.
* Se $f:X\rightarrow Y$ è suriettiva e $X,Y$ sono insiemi finiti, allora $X$ ammette almeno lo stesso numero di elementi di $Y$.
* Se $X$ e $Y$ sono finiti con lo stesso numero di elementi, allora $f:X\rightarrow Y$ è suriettiva se e solo se $f$ è iniettiva.

### Numero di funzioni suriettive

Il numero di funzioni suriettive da un insieme finito $A$ con $a$ elementi ad un insieme finito $B$ con $b$ elementi è pari a 0 se $a<b$ (vedi proprietà 8). Nel caso meno banale in cui $a\geqslant b$ il numero di funzioni suriettive da $A$ a $B$, indicato con $S_{ab}$, sarà dato dalla seguente relazione di ricorrenza:
    $S_{a,1}=1,$
    $S_{a,b}=b^{a}-\sum _{k=1}^{b-1}{\binom {b}{k}}S_{a,k}.$
Per giustificare questa formula basti pensare al fatto che, per calcolare $S_{ab}$, basta contare quante sono tutte le $f\colon A\to B$ (cioè $b^{a}$) e sottrarre quelle non suriettive. Le funzioni non suriettive hanno come immagine un sottoinsieme più piccolo di $B$, di cardinalità $1\leqslant k\leqslant b-1$. Per ogni $k$ si sottrarrà dunque $S_{ak}$ tante volte quanti sono i possibili modi di scegliere i $k$ elementi su $b$ disponibili e cioè ${\binom {b}{k}}$.
La formula che utilizza i numeri di Stirling di seconda specie è la seguente $S_{a,b}=b!\left\{{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}}\right\}$
Per esempio $S_{5,3}=3!\left\{{\begin{matrix}5\\3\end{matrix}}\right\}=3!25=150~~~~S_{5,2}=2!\left\{{\begin{matrix}5\\2\end{matrix}}\right\}=2!15=30~~~~S_{5,1}=1!\left\{{\begin{matrix}5\\1\end{matrix}}\right\}=1!1=1$
Anche mediante l'altra formula $S_{5,3}=3^{5}-({\binom {3}{1}}1+{\binom {3}{2}}30)=243-93=150$