# Poliedro stellato uniforme

In geometria solida, un poliedro stellato uniforme è un poliedro uniforme auto-intersecante; per sottolineare quest'ultima proprietà, un poliedro di questo tipo è talvolta chiamato in letteratura anche "poliedro non-convesso". Ogni poliedro stellato uniforme può avere sia facce, sia figura al vertice a forma di poligono stellato.
L'insieme completo di 57 poliedri stellati uniformi non prismatici comprende 4 poliedri regolari, chiamati anche poliedri di Keplero-Poinsot, 5 poliedri quasiregolari e 48 poliedri semiregolari. A questi si sommano poi due serie infinite di prismi stellati uniformi e antiprismi stellati uniformi.
Proprio come i poligoni stellati non degeneri, aventi cioè una densità poligonale maggiore di 1, corrispondono a più poligoni circolari parzialmente sovrapposti, i poliedri stellati che sono privi di facce passanti per il loro centro hanno densità poliedrica maggiore di 1 e corrispondono a poliedri sferici parzialmente sovrapposti. Dei 57 poliedri stellati uniformi non prismatici esistenti, 47 sono di questo tipo, gli altri 10 invece sono costituiti dai 9 aventi facce passanti per il loro centro, ossia i cosiddetti emipoliedri, e dal grande dirombicosidodecaedro, l'unico poliedro uniforme che non può essere realizzato tramite la costruzione di Wythoff, e non hanno densità ben definita.
Tutti i poliedri uniformi elencati nelle tabelle sottostanti si possono generare attraverso la costruzione di Wythoff, e quindi partendo da triangoli di Schwarz, e sono catalogati in base al loro gruppo di simmetria e alla disposizione dei loro vertici. I poliedri regolari sono indicati con il proprio simbolo di Schläfli, mentre quelli non regolari sono elencati con la propria incidenza dei vertici.
Ad alcuni poliedri è stata aggiunta anche la dicitura non uniforme, ad indicare che l'inviluppo convesso della disposizione dei vertici ha la stessa topologia di uno di questi ma non ha facce regolari.

## Simmetria diedrica

Per questo paragrafo si rimanda alla voce relativa ai poliedri prismatici uniformi.

## Simmetria tetraedrica

Esiste un poliedro non-convesso, il tetraemiesaedro, avente simmetria tetraedrica (con dominio fondamentale il triangolo di Möbius (3 3 2)).
Ci sono due triangoli di Schwarz che generano poliedri stellati uniformi unici: il triangolo rettangolo ($^3$⁄$_2$ 3 2) e il triangolo ($^3$⁄$_2$ 3 3). Quest'ultimo genera l'ottaemiottaedro, elencato di seguito data la sua simmetria ottaedrica.
| Disposizione dei vertici (Inviluppo convesso) | Poliedri stellati |
| Tetraedro | |
| Tetraedro rettificato Ottaedro | 4.$^3$⁄$_2$.4.3 $^3$⁄$_2$ 3 | 2 |
| Tetraedro troncato | |
| Tetraedro cantellato (Cubottaedro) | |
| Tetraedro omnitroncato (Ottaedro troncato) | |
| Tetraedro camuso (Icosaedro) | |

## Simmetria ottaedrica

Esistono 8 poliedri convessi e 10 non convessi con simmetria ottaedrica (con dominio fondamentale il triangolo di Möbius (4 3 2)).
Ci sono due triangoli di Schwarz che generano poliedri stellati uniformi: i due triangoli rettangoli ($^3$⁄$_2$ 4 2) e ($^4$⁄$_3$ 3 2) e i due triangoli ($^4$⁄$_3$ 4 3) e ($^3$⁄$_2$ 4 4).
| Disposizione dei vertici (Inviluppo convesso) | Poliedri stellati | Poliedri stellati | Poliedri stellati |
| Cubo | |
| Ottaedro | |
| Cubottaedro | 6.$^4$⁄$_3$.6.4 $^4$⁄$_3$ 4 | 3 | 6.$^3$⁄$_2$.6.3 $^3$⁄$_2$ 3 | 3 |
| Cubo troncato | 4.$^8$⁄$_3$.$^4$⁄$_3$.$^8$⁄$_5$ 2 $^4$⁄$_3$ ($^3$⁄$_2$ $^4$⁄$_2$) | | $^8$⁄$_3$.3.$^8$⁄$_3$.4 3 4 | $^4$⁄$_3$ | 4.$^3$⁄$_2$.4.4 $^3$⁄$_2$ 4 | 2 |
| Ottaedro troncato | |
| Rombicubottaedro | 4.8.$^4$⁄$_3$.8 2 4 ($^3$⁄$_2$ $^4$⁄$_2$) | | 8.$^3$⁄$_2$.8.4 $^3$⁄$_2$ 4 | 4 | $^8$⁄$_3$.$^8$⁄$_3$.3 2 3 | $^4$⁄$_3$ |
| Cubottaedro troncato non uniforme | 4.6.$^8$⁄$_3$ 2 3 $^4$⁄$_3$ | |
| Cubottaedro troncato non uniforme | $^8$⁄$_3$.6.8 3 4 $^4$⁄$_3$ | |
| Cubo simo | |

## Simmetria icosaedrica

Esistono 8 poliedri convessi e 46 non convessi aventi simmetria icosaedrica (con dominio fondamentale il triangolo di Möbius (5 3 2)), 47 se si considera anche il grande dirombidodecaedro dicamuso, detto anche "poliedro di Skilling".
| Disposizione dei vertici (Inviluppo convesso) | Poliedri stellati | Poliedri stellati | Poliedri stellati | Poliedri stellati | Poliedri stellati | Poliedri stellati | Poliedri stellati | Poliedri stellati |
| Icosaedro | {5,$^5$⁄$_2$} | {$^5$⁄$_2$,5} | {3,$^5$⁄$_2$} |
| Icosaedro troncato non uniforme | 10.10.$^5$⁄$_2$ 2 $^5$⁄$_2$ | 5 | 3.$^{10}$⁄$_3$.$^5$⁄$_2$.$^{10}$⁄$_7$ $^5$⁄$_2$ 3 | $^5$⁄$_3$ | 3.4.$^5$⁄$_3$.4 $^5$⁄$_3$ 3 | 2 | 4.$^{10}$⁄$_3$.$^4$⁄$_3$.$^{10}$⁄$_7$ 2 $^5$⁄$_3$ ($^3$⁄$_2$ $^5$⁄$_4$) | |
| Icosaedro troncato non uniforme | 4.$^5$⁄$_2$.4.5 $^5$⁄$_2$ 5 | 2 | 5.6.$^5$⁄$_3$.6 $^5$⁄$_3$ 5 | 3 | 4.6.$^4$⁄$_3$.$^6$⁄$_5$ 2 3 ($^5$⁄$_4$ $^5$⁄$_2$) | |
| Icosaedro troncato non uniforme | 3$^5$.$^5$⁄$_2$ | $^5$⁄$_2$ 3 3 | |
| Icosidodecaedro | 3.10.$^3$⁄$_2$.10 $^3$⁄$_2$ 3 | 5 | 5.10.$^5$⁄$_4$.10 $^5$⁄$_4$ 5 | 5 | 3.$^5$⁄$_2$.3.$^5$⁄$_2$ 2 | 3 $^5$⁄$_2$ | $^5$⁄$_2$.$^{10}$⁄$_3$.$^5$⁄$_3$.$^{10}$⁄$_3$ $^5$⁄$_3$ $^5$⁄$_2$ | $^5$⁄$_3$ | 3.$^{10}$⁄$_3$.$^3$⁄$_2$.$^{10}$⁄$_3$ 3 3 | $^5$⁄$_3$ | 5.$^5$⁄$_2$.5.$^5$⁄$_2$ 2 | 5 $^5$⁄$_2$ | 6.$^5$⁄$_2$.6.$^5$⁄$_3$ $^5$⁄$_3$ $^5$⁄$_2$ | 3 | 5.6.$^5$⁄$_4$.6 $^5$⁄$_4$ 5 | 3 |
| Dodecaedro troncato non uniforme | 3.$^{10}$⁄$_3$.5.$^{10}$⁄$_3$ 3 5 | $^5$⁄$_3$ | 5.6.$^3$⁄$_2$.6 $^3$⁄$_2$ 5 | 3 | 6.$^{10}$⁄$_3$.$^6$⁄$_5$.$^{10}$⁄$_7$ 3 $^5$⁄$_3$ ($^3$⁄$_2$ $^5$⁄$_2$) | |
| Dodecaedro troncato non uniforme | (3$^5$.$^5$⁄$_3$)/2 | $^3$⁄$_2$ $^3$⁄$_2$ $^5$⁄$_2$ |
| Dodecaedro | {$^5$⁄$_2$,3} | (3.$^5$⁄$_2$)$^3$ 3 | $^5$⁄$_2$ 3 | (5.$^5$⁄$_3$)$^3$ 3 | $^5$⁄$_3$ 5 | (3.5$^3$)/2 $^3$⁄$_2$ | 3 5 |
| Rombicosidodecaedro | 5.10.$^3$⁄$_2$.10 $^3$⁄$_2$ 5 | 5 | 4.10.$^4$⁄$_3$.$^{10}$⁄$_9$ 2 5 ($^3$⁄$_2$ $^5$⁄$_2$) | | 5.$^{10}$⁄$_3$.$^{10}$⁄$_3$ 2 5 | $^5$⁄$_3$ |
| Rombicosidodecaedro non uniforme | 6.6.$^5$⁄$_2$ 2 $^5$⁄$_2$ | 3 |
| Rombicosidodecaedro non uniforme | 6.$^5$⁄$_2$.6.3 $^5$⁄$_2$ 3 | 3 | 3.10.$^5$⁄$_3$.10 $^5$⁄$_3$ 3 | 5 | 6.10.$^6$⁄$_5$.$^{10}$⁄$_9$ 3 5 ($^3$⁄$_2$ $^5$⁄$_4$) | | 3.$^{10}$⁄$_3$.$^{10}$⁄$_3$ 2 3 | $^5$⁄$_3$ |
| Rombicosidodecaedro non uniforme | 4.$^5$⁄$_3$.4.3.4.$^5$⁄$_2$.4.$^3$⁄$_2$ | $^3$⁄$_2$ $^5$⁄$_3$ 3 $^5$⁄$_2$ | 3.3.3.$^5$⁄$_2$.3.$^5$⁄$_3$ | $^5$⁄$_3$ $^5$⁄$_2$ 3 |
| Icosidodecaedro troncato non uniforme | 6.10.$^{10}$⁄$_3$ 3 5 $^5$⁄$_3$ | |
| Icosidodecaedro troncato non uniforme | 4.$^{10}$⁄$_9$.$^{10}$⁄$_3$ 2 5 $^5$⁄$_3$ | |
| Icosidodecaedro troncato non uniforme | 4.6.$^{10}$⁄$_3$ 2 3 $^5$⁄$_3$ | |
| Dodecaedro camuso non uniforme | 3.3.$^5$⁄$_2$.3.5 | 2 $^5$⁄$_2$ 5 | 3.3.3.5.3.$^5$⁄$_3$ | $^5$⁄$_3$ 3 5 | 3$^4$.$^5$⁄$_2$ | 2 $^5$⁄$_2$ 3 | 3$^4$.$^5$⁄$_3$ | $^5$⁄$_3$ 2 3 | 3.3.5.3.$^5$⁄$_3$ | $^5$⁄$_3$ 2 5 | (3$^4$.$^5$⁄$_2$)/2 | $^3$⁄$_2$ $^5$⁄$_3$ 2 |

## Casi degeneri

Nei suoi studi H. S. M. Coxeter ha identificato diversi poliedri stellati degeneri realizzati attraverso il metodo di costruzione di Wythoff, i quali contengono facce o spigoli sovrapposti. Tali poliedri includono:
* Piccolo icosidodecaedro complesso
* Grande icosidodecaedro complesso
* Piccolo rombicosidodecaedro complesso
* Grande rombicosidodecaedro complesso
* Rombidodecadodecaedro complesso