# Trasferimento alla Sternfeld

In astronautica e in ingegneria aerospaziale, il trasferimento alla Sternfeld ideato nel 1934 è una manovra orbitale biellittica (sfrutta due ellissi di trasferimento) a 3 impulsi, impiegata per passare da un'orbita circolare iniziale di raggio $r_{i}$ ad un'orbita circolare finale di raggio $r_{f}$. Sebbene il tempo di trasferimento dall'orbita di raggio $r_{i}$ all'orbita di raggio $r_{f}$ sia maggiore rispetto ad un trasferimento alla Hohmann, 2 impulsi, risulta più conveniente in termini di Δv se il rapporto tra $r_{f}$ ed $r_{i}$ è maggiore di 11,94. orbita complanare => solamente 2 impulsi.

## Caratteristiche

* La manovra biellittica bitangente è una manovra biellittica in quanto il trasferimento si effettua attraverso due semiellissi: la prima semiellisse di semiasse minore $a_{1}$ collega la circonferenza di raggio $r_{i}$ alla circonferenza di supporto di raggio $r_{supp}$, mentre la seconda semiellisse di semiasse maggiore $a_{2}$ collega la circonferenza di supporto all'orbita circolare finale $r_{f}$;
* La manovra viene chiamata bitangente in quanto ogni ellisse di trasferimento è tangente a due circonferenze: la prima ellisse è tangente alla circolare iniziale e alla circolare di supporto, mentre la seconda ellisse è tangente a quest'ultima ed alla circolare finale:
* Le coniche sono tutte confocali e complanari al pianeta attrattore, anche se uno dei vantaggi di questo tipo di trasferimento è la possibilità di fare un cambio di piano orbitale nell'apoapside della prima ellisse; in questo modo si riduce il Delta-v necessario al cambio di piano, che dipende dalla distanza dal corpo centrale.

## Calcolo del trasferimento

Utilizzando l'equazione di Conservazione dell'energia orbitale specifica
    $v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$
dove
* $v$ è il modulo della velocità nel punto considerato;
* $\mu \$ è la costante gravitazionale planetaria dell'attrattore;
* $r$ è il modulo della distanza dall'attrattore;
* $a$ è il semiasse maggiore della conica;
è possibile determinare le varie velocità nei punti di manovra; il Delta-v sarà uguale alla somma delle differenze di velocità ($\Delta \upsilon$) che nei 3 istanti considerati dovranno essere impressi dalla sonda per il cambio di orbita.
Il primo $\Delta v$ è fornito per passare dall'orbita di raggio $r_{i}$ all'orbita ellittica di semiasse $a_{1}$:
    $\Delta v_{A}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{i}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{i}}}}$
Il secondo $\Delta v$ è fornito per passare dalla prima ellisse di trasferimento alla seconda ellisse di trasferimento, di semiasse $a_{2}$. Si noti che nel punto di applicazione di questo secondo Delta-v la distanza dall'attrattore è pari a $r_{supp}$, molto maggiore dei raggi finale e iniziale. Questo punto è l'apoapside della prima orbita di trasferimento.
    $\Delta v_{B}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{supp}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{supp}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}$
Il terzo $\Delta v$ è fornito per circolarizzare l'orbita sulla circonferenza finale di raggio $r_{f}$. La variazione impulsiva di velocità è applicata nel periapside della seconda ellisse di trasferimento.
    $\Delta v_{C}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{f}}}}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{f}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}$
Si ricorda che i due semiassi delle ellissi valgono
    $a_{1}={\frac {r_{i}+r_{supp}}{2}}$
    $a_{2}={\frac {r_{f}+r_{supp}}{2}}$
Il costo totale della manovra risulta $\|\Delta v_{tot}\|\ =\|\Delta v_{A}\|\ +\|\Delta v_{B}\|\ +\|\Delta v_{C}\|\$

## Tempo di volo

Uno svantaggio è sicuramente il tempo di volo, che risulta molto maggiore di un trasferimento diretto tra $r_{i}$ ed $r_{f}$ utilizzando un trasferimento alla Hohmann. Infatti il tempo di trasferimento con una manovra biellittica bitangente vale
    $t_{tr}=\pi {\sqrt {a_{1}^{3}/\mu }}+\pi {\sqrt {a_{2}^{3}/\mu }}$
mentre nel caso alla Hohmann risulterebbe
    $t_{H}=\pi {\sqrt {a^{3}/\mu }}$
con
    $a={\frac {r_{i}+r_{f}}{2}}$

## Vantaggi rispetto al trasferimento alla Hohmann

Un primo vantaggio è il minore delta-v necessario se il parametro
    $b={\frac {r_{f}}{r_{i}}}>11{,}94$.
Il valore in questione è ottenuto normalizzando i vari $\Delta v$ rispetto alla velocità sulla prima circolare ed eguagliando i $\Delta v$ totali nei due casi di trasferimento.
Un ulteriore vantaggio è la convenienza a effettuare i dispendiosi cambi di piano orbitale lontano dall'attrattore, ad esempio al secondo impulso della manovra.