# Lagrangiana di Darwin

La Lagrangiana di Darwin descrive l'interazione all'ordine ${\frac {v^{2}}{c^{2}}}$ tra due particelle cariche nel vuoto. Deve il suo nome a Charles Galton Darwin, nipote del naturalista Charles Darwin. La Lagrangiana è data da
    $L=L_{\text{f}}+L_{\text{int}},$
dove la Lagrangiana di particella libera è
    $L_{\text{f}}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{8c^{2}}}m_{1}v_{1}^{4}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}+{\frac {1}{8c^{2}}}m_{2}v_{2}^{4},$
mentre la Lagrangiana d'interazione è
    $L_{\text{int}}=L_{\text{C}}+L_{\text{D}},$
in cui l'interazione coulombiana è
    $L_{\text{C}}=-{\frac {q_{1}q_{2}}{r}},$
e l'interazione di Darwin è
    $L_{\text{D}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}.$
Nelle formule $q_{1}$ e $q_{2}$ le cariche rispettivamente delle particelle 1 e 2, $m_{1}$ e $m_{2}$ sono le masse, $v_{1}$ e $v_{2}$ le velocità, $c$ è la velocità della luce, $\mathbf {r}$ è il vettore tra le due particelle con ${\hat {\mathbf {r} }}$ il relativo versore.
La Lagrangiana libera è l'espansione di Taylor della Lagrangiana libera di due particelle relativistiche al secondo ordine in $v$. Il termine d'interazione di Darwin è dovuto all'effetto su una particella del campo magnetico generato dall'altra. Se si includono ordini maggiori di $v/c$, allora devono essere considerati anche i gradi di libertà del campo, e l'interazione fra le particelle non può essere più considerata istantanea.

## Derivazione della Lagrangiana nel vuoto

La Lagrangiana relativistica d'interazione per una particella con carica $q$ interagente con un campo magnetico è
    $L_{\text{int}}=-q\Phi +{q \over c}\mathbf {u} \cdot \mathbf {A} ,$
dove $\mathbf {u}$ è la velocità relativistica della particella. Il primo termine a destra genera la classica interazione di Coulomb, mentre il secondo dà origine all'interazione di Darwin.
Il potenziale vettore nella gauge di Coulomb è descritto da (unità gaussiane)
    $\nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial t^{2}}=-{4\pi \over c}\mathbf {J} _{t}$
dove la corrente trasversa $\mathbf {J} _{t}$ è la corrente solenoidale (vedere decomposizione di Helmholtz) generata dalla seconda particella. La divergenza della corrente trasversa è zero.
La corrente generata dalla seconda particella è
    $\mathbf {J} =q_{2}\mathbf {v} _{2}\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}\right),$
che ha trasformata di Fourier
    $\mathbf {J} \left(\mathbf {k} \right)\equiv \int d^{3}r\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {J} \left(\mathbf {r} \right)=q_{2}\mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).$
La componente trasversa della corrente è
    $\mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)=q_{2}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).$
Si verifica facilmente che
    $\mathbf {k} \cdot \mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)=0,$
che deve essere vera se la divergenza della corrente trasversale è zero. Si vede che
    $\mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)$
è la componente perpendicolare a $\mathbf {k}$ della trasformata di fourier della corrente.
Dall'equazione del potenziale vettore, la sua trasformata di Fourier è
    $\mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)={4\pi \over c}{q_{2} \over k^{2}}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right)$
dove si è tenuto l'ordine minore in $v/c$.
La trasformata inversa del potenziale vettore è
    $\mathbf {A} \left(\mathbf {r} \right)=\int {d^{3}k \over \left(2\pi \right)^{3}}\;\mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)\;{\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{1}\right)}={q_{2} \over 2c}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}$
dove
    $\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$
Il termine d'interazione di Darwin nella Lagrangiana è quindi
       $L_{\rm {D}}={q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2c^{2}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}$
dove ancora si è tenuto solo l'ordine minore in $v/c$.

## Equazioni del moto lagrangiane

L'equazioni del moto per una particella è
    ${d \over dt}{\partial \over \partial \mathbf {v} _{1}}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)$
    ${d\mathbf {p} _{1} \over dt}=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)$
dove $\mathbf {p} _{1}$ è la quantità di moto della particella.

### Particella libera

Se si trascurano l'interazioni fra le due particelle, l'equazione del moto diventa
    ${d \over dt}\left[\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}\right]=0$
    $\mathbf {p} _{1}=\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}$

### Particelle interagenti

Per particelle interagenti, l'equazione del moto diventa
    ${d \over dt}\left[\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{q_{1} \over c}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)\right]=-\nabla {q_{1}q_{2} \over r}+\nabla \left[{q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2c^{2}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\right]$
       ${d\mathbf {p} _{1} \over dt}={q_{1}q_{2} \over r^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}+{q_{1}q_{2} \over r^{2}}{1 \over 2c^{2}}\left\{\mathbf {v} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{2}}\right)+\mathbf {v} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {v} _{2}\right]\right\}$
    $\mathbf {p} _{1}=\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{q_{1} \over c}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)$
    $\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)={q_{2} \over 2c}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}$
    $\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$

## Hamiltoniana per due particelle nel vuoto

L'Hamiltoniana di Darwin per due particelle nel vuoto è collegata alla Lagrangiana tramite una trasformata di Legendre
    $H=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+\mathbf {p} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}-L.$
L'Hamiltoniana diventa

## Equazioni del moto hamiltoniane

Le equazioni del moto hamiltoniane sono
    $\mathbf {v} _{1}={\partial H \over \partial \mathbf {p} _{1}}$
e
    ${d\mathbf {p} _{1} \over dt}=-\nabla _{1}H,$
che portano a
    $\mathbf {v} _{1}=\left(1-{1 \over 2}{p_{1}^{2} \over m_{1}^{2}c^{2}}\right){\mathbf {p} _{1} \over m_{1}}-{q_{1}q_{2} \over 2m_{1}m_{2}c^{2}}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {p} _{2}$
e
Da notare che l'equazione di Breit della meccanica quantistica originariamente utilizzò l'Hamiltoniana di Darwin come punto di partenza classico, sebbene l'equazione di Breit fu meglio giustificata dalla teoria assorbitore-emettitore di Wheeler-Feynman e in modo migliore dall'elettrodinamica quantistica.