# Funzione a variazione limitata

In analisi matematica una funzione di variabile reale si dice a variazione limitata se la sua "variazione totale" è finita. Intuitivamente, le funzioni a variazione limitata in una variabile sono quelle per cui la distanza percorsa da un punto che si muove lungo il suo grafico è finita in ogni intervallo finito. Una funzione che non è a variazione limitata è il cosiddetto "seno del topologo", cioè
    $f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{se }}x=0\\\sin(1/x),&{\mbox{se }}x\neq 0\end{cases}}$
se considerata in un qualsiasi intervallo che contenga lo 0, poiché all'avvicinarsi di $x$ a 0, la curva presenta infinite oscillazioni tra -1 e 1.
In più dimensioni il significato della definizione è lo stesso, tranne per il fatto che il cammino dell'ipotetico punto non può essere tutto il grafico della funzione (che sarà in generale una superficie o una ipersuperficie), ma sarà ogni intersezione di tale grafico con un piano parallelo agli assi.
Le funzioni a variazione limitata rivestono una notevole importanza nell'integrale di Riemann-Stieltjes e nel calcolo delle variazioni, poiché risultano essere le scelte naturali per trovare la soluzione in problemi di superficie minima come il problema di Didone.

## Definizione
### Funzioni di una variabile

Si definiscono innanzitutto le variazioni (rispettivamente positiva, negativa e totale) di una funzione definita in un intervallo chiuso e limitato a valori reali $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ come
    $P_{a}^{b}(f)=\limsup _{\delta (P)\to 0}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}[f(x_{i+1})-f(x_{i})]^{+}$
    $N_{a}^{b}(f)=\limsup _{\delta (P)\to 0}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}[f(x_{i+1})-f(x_{i})]^{-}$
    $V_{a}^{b}(f)=\limsup _{\delta (P)\to 0}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|$
dove $P$ è un'arbitraria partizione dell'intervallo $[a,b]$ e $\delta (P)$ il suo calibro (ossia l'ampiezza del massimo intervallo della partizione); $f^{+}$ e $f^{-}$ sono la parte positiva e parte negativa di una funzione.
Vale la relazione
    $V_{a}^{b}(f)=P_{a}^{b}(f)+N_{a}^{b}(f)$
e che se la funzione è monotona a tratti, allora la sua variazione totale è la somma delle variazioni in ogni singolo intervallino di monotonia.
Si dice dunque che $f$ è a variazione limitata e si scrive $f\in BV[a,b]$ se $V_{a}^{b}(f)<\infty$.
Si può provare che $f$ è a variazione limitata se e solo se si può scrivere come differenza di due funzioni monotone non decrescenti (decomposizione di Jordan). Una possibile decomposizione è ad esempio
    $f(x)=f(a)+P_{a}^{x}(f)-N_{a}^{x}(f)$
in quanto variazione positiva e negativa sono quantità sempre maggiori o uguali a zero, quindi monotone al crescere dell'intervallo. Per lo stesso motivo, nella definizione di $P$, $N$ e $V$ si poteva prendere equivalentemente l'estremo superiore invece del limite superiore.

### Funzioni di più variabili

Per funzioni di più variabili si possono dare due definizioni, che risultano equivalenti ($\Omega$ sarà un insieme aperto in $\mathbb {R} ^{n}$):
* Una $f:\Omega \to \mathbb {R}$ integrabile si dice a variazione limitata, $f\in BV(\Omega )$, se esiste una misura di Radon vettoriale finita $Df\in {\mathcal {M}}(\Omega ;\mathbb {R} ^{n})$ tale che
    $\int _{\Omega }f(x)\,\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,dx=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},Df(x)\rangle \qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ;\mathbb {R} ^{n})$, cioè $f$ definisce un funzionale lineare sullo spazio delle funzioni vettoriali a supporto compatto. $Df$ rappresenta un gradiente debole di $f$.
* Una $f:\Omega \to \mathbb {R}$ integrabile si dice a variazione limitata, $f\in BV(\Omega )$, se la sua variazione totale
    $V(f,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }f\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}\colon \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}.$ è finita.

#### Equivalenza delle definizioni

Supponendo sia valida la prima definizione, allora $V(f,\Omega )$ è esattamente la norma del funzionale (visto come operatore lineare continuo) che esiste per ipotesi, dunque è necessariamente finita.
Il viceversa si ottiene dalla disuguaglianza
    $\left|\int _{\Omega }f(x)\,\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}\,dx\right|\leq V(f,\Omega )\Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$
che implica che $\Phi \mapsto \int _{\Omega }f(x){\mbox{div}}\Phi (x)$ è un funzionale lineare continuo sullo spazio $C_{c}^{1}(\Omega ;\mathbb {R} ^{n})$, che è un sottospazio lineare di $C(\Omega ;\mathbb {R} ^{n})$; tale funzionale si estende allora per linearità e continuità a tutto lo spazio grazie al teorema di Hahn-Banach, quindi definisce una misura di Radon.

## Esempi

È già stato dato un esempio di funzione che non è a variazione limitata. La stessa funzione, però, è a variazione limitata in ogni intervallo $[\varepsilon ,1]$ ad esempio, con $\varepsilon >0$, poiché la "singolarità" è presente solo nell'origine. È quindi chiaro come questa sia una proprietà che dipende anche dalla forma del dominio.
Risulta essere a variazione limitata in $[0,1]$ invece la funzione
    $f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{se }}x=0\\x^{2}\sin(1/x),&{\mbox{se }}x\neq 0\end{cases}}$
Mentre pur essendo uniformemente continua non è a variazione limitata la funzione in $[0,1]$
    $f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{se }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{se }}x\neq 0\end{cases}}$
perché l'integrale del modulo della derivata diverge.
Un'importante classe di funzioni che risultano essere a variazione limitata sono le funzioni integrabili con derivata a sua volta integrabile, cioè gli elementi dello spazio di Sobolev $W^{1,1}(\Omega )$ (in una variabile e su un intervallo limitato, questa classe non è altro che la classe delle funzioni assolutamente continue, a meno di rappresentanti).

## Proprietà

In una variabile, dalla definizione risulta subito che una funzione BV è in particolare limitata. Inoltre, essa è derivabile quasi ovunque e ammette al più solo discontinuità di prima specie: questo discende dalla decomposizione di Jordan in differenza di due funzioni monotone (le funzioni monotone possiedono le proprietà dette). Risulta anche
    $\int _{a}^{b}|f'(x)|dx\leq V_{a}^{b}(f)$
con l'uguaglianza valida se e solo se la funzione è assolutamente continua.
Sempre riguardo alla decomposizione di Jordan, $P_{a}^{b}(f)$ e $N_{a}^{b}(f)$ sono le funzioni monotone "minimali" per cui valga la rappresentazione, nel senso che se
    $f(x)=f(a)+g(x)-h(x)$,
con $g$ e $h$ monotone, allora
    $g\geq P_{a}^{b}(f)$ e $h\geq N_{a}^{b}(f)$.
In generale, lo spazio funzionale $BV(\Omega )$ è uno spazio vettoriale: risulta essere uno spazio di Banach se munito della norma
    $\|f\|_{BV(\Omega )}=\|f\|_{L^{1}(\Omega )}+V(f,\Omega )$
Sempre riguardo agli aspetti di analisi funzionale, si dimostra anche che il funzionale variazione $V(\cdot ,\Omega )$ è semicontinuo inferiormente rispetto alla norma di $L^{1}(\Omega )$, cioè se $f_{n}\to f$ in norma $L^{1}$, allora
    $V(f,\Omega )\leq \liminf _{n}V(f_{n},\Omega )$.
Per le funzioni BV vale una versione leggermente modificata della regola della catena: se $f\in C^{1}(\mathbb {R} ^{p})$ e $u\in BV(\Omega )$ allora $f(u)\in BV(\Omega )$ e
    ${\frac {\partial f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial x_{i}}}=\sum _{k=1}^{p}{\frac {\partial {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial {u_{k}({\boldsymbol {x}})}}{\partial x_{i}}}\qquad \forall i=1,\ldots ,n$
dove
    ${\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))=\int _{0}^{1}f\left({\boldsymbol {u}}_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}})t+{\boldsymbol {u}}_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}})(1-t)\right)dt$
è il valor medio della funzione nel punto $x$. Da questo teorema discende anche che il prodotto di due funzioni BV è ancora BV; ciò rende lo spazio $BV(\Omega )$ un'algebra di Banach.
Osservazione: è possibile dimostrare che il prodotto di due funzioni a variazione limitata è ancora una funzione a variazione limitata senza fare ricorso alle derivate. In questo caso il risultato si estende alle funzioni a variazione limitata da un intervallo [0,T] a uno spazio di Banach X.