# Profondità ottica

In fisica, la profondità ottica o spessore ottico, è espressa dal logaritmo naturale del rapporto tra il flusso radiante incidente e quello trasmesso attraverso un materiale. Questo implica che più è grande la profondità ottica, tanto più piccola è la quantità di radiazione trasmessa attraverso il materiale.
La profondità ottica è una quantità adimensionale e non è una lunghezza, nonostante sia una funzione monotona crescente con la lunghezza del cammino ottico e che si approssima a zero quando la lunghezza del percorso si approssima a zero. La dizione densità ottica non è è raccomandata dalla IUPAC.
In chimica, al posto della profondità ottica si utilizza una quantità strettamente correlata chiamata assorbanza, che è data dal normale logaritmo del rapporto tra il flusso radiante incidente e quello trasmesso attraverso un materiale; è cioè la profondità ottica divisa per il ln 10.

## Definizioni matematiche
### Profondità ottica

La profondità ottica di un materiale, denotata τ{\textstyle \tau }, è data da:
    τ=ln(Φ$_e$$^i$/Φ$_e$$^t$)=−ln⁡T\tau =\ln \!\left({\frac {\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {i} }}{\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {t} }}}\right)=-\ln T
dove
* Φ$_e$$^i${\textstyle \Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {i} }} è il flusso radiante ricevuto da quel materiale;
* Φ$_e$$^t${\textstyle \Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {t} }} è il flusso radiante trasmesso da quel materiale;
* T{\textstyle T} è la trasmittanza di quel materiale.
L'assorbanza A{\textstyle A} è collegata alla profondità ottica da:
    τ=Aln⁡10\tau =A\ln {10}

### Profondità ottica spettrale

Per un dato materiale, la profondità ottica spettrale in frequenza e la profondità ottica spettrale in lunghezza d'onda, denotate rispettivamente da $\tau _{\nu }$ e $\tau _{\lambda }$, sono date da:
    τ$_ν$=ln(Φ$_{e, ν}$$^i$/Φ$_{e, ν}$$^t$)=−ln⁡T$_ν$\tau _{\nu }=\ln \!\left({\frac {\Phi _{\mathrm {e} , \nu }^{\mathrm {i} }}{\Phi _{\mathrm {e} , \nu }^{\mathrm {t} }}}\right)=-\ln T_{\nu }
    τ$_λ$=ln(Φ$_{e, λ}$$^i$/Φ$_{e, λ}$$^t$)=−ln⁡T$_λ$, \tau _{\lambda }=\ln \!\left({\frac {\Phi _{\mathrm {e} , \lambda }^{\mathrm {i} }}{\Phi _{\mathrm {e} , \lambda }^{\mathrm {t} }}}\right)=-\ln T_{\lambda },
dove
* $\Phi _{\mathrm {e} ,\nu }^{\mathrm {t} }$ è il flusso radiante spettrale in frequenza trasmesso dal materiale;
* $\Phi _{\mathrm {e} ,\nu }^{\mathrm {i} }$ è il flusso radiante spettrale in frequenza ricevuto dal materiale;
* $T_{\nu }$ è la trasmittanza spettrale in frequenza del materiale;
* $\Phi _{\mathrm {e} ,\lambda }^{\mathrm {t} }$ è il flusso radiante spettrale in lunghezza d'onda trasmesso dal materiale;
* $\Phi _{\mathrm {e} ,\lambda }^{\mathrm {i} }$ è il flusso radiante spettrale in lunghezza d'onda ricevuto dal materiale;
* $T_{\lambda }$ è la trasmittanza spettrale in lunghezza d'onda del materiale.
L'assorbanza spettrale è correlata alla profondità ottica spettrale da:
    τ$_ν$=A$_ν$ln⁡10, \tau _{\nu }=A_{\nu }\ln 10,
    τ$_λ$=A$_λ$ln⁡10, \tau _{\lambda }=A_{\lambda }\ln 10,
dove
* $A_{\nu }$ è l'assorbanza spettrale in frequenza;
* $A_{\lambda }$ è l'assorbanza spettrale in lunghezza d'onda.

## Relazione con l'attenuazione
### Attenuazione

La profondità ottica misura l'attenuazione del flusso radiante trasmesso in un materiale. L'attenuazione può essere causata da assorbimento, riflessione, diffusione e altri processi. La profondità ottica del materiale è approssimativamente uguale all'attenuazione quando l'assorbanza è molto minore di 1 e contemporaneamente l'emittanza è molto minore della profondità ottica:
    Φ$_e$$^t$+Φ$_e$$^{att}$=Φ$_e$$^i$+Φ$_e$$^e$, \Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {t} }+\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {att} }=\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {i} }+\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {e} },
    T+ATT=1+E, T+ATT=1+E,
dove:
* Φ$_e$$^t$ è il flusso radiante trasmesso dal materiale;
* Φ$_e$$^{att}$ è il flusso radiante attenuato dal materiale;
* Φ$_e$$^i$ è il flusso radiante ricevuto dal materiale;
* Φ$_e$$^e$ è il flusso radiante emesso dal materiale;
* T = Φ$_e$$^t$/Φ$_e$$^i$ è la trasmittanza del materiale;
* ATT = Φ$_e$$^{att}$/Φ$_e$$^i$ è l'attenuazione del materiale;
* E = Φ$_e$$^e$/Φ$_e$$^i$ è l'emittanza del materiale,
e secondo la legge di Lambert-Beer,
    T=e$^{−τ}$, T=e^{-\tau },
cosicché:
    ATT=1−e$^{−τ}$+E≈τ+E≈τ, se τ≪1 and E≪τ.ATT=1-e^{-\tau }+E\approx \tau +E\approx \tau , \quad {\text{se}}\ \tau \ll 1\ {\text{and}}\ E\ll \tau .

### Coefficiente di assorbimento

La profondità ottica di un materiale è correlata anche al suo coefficiente di assorbimento da:
    τ=∫$_0$$^l$α(z)dz, \tau =\int _{0}^{l}\alpha (z)\, \mathrm {d} z,
dove
* l è lo spessore di materiale attraverso cui passa la luce;
* α(z) è il coefficiente di assorbimento o coefficiente di assorbimento napieriano del materiale in z;
se α(z) è uniforme lungo il cammino, si dice che l'assorbimento è lineare e la relazione diviene:
    τ=αl\tau =\alpha l
A volte la relazione viene espressa usando l'assorbimento di sezione d'urto del materiale, che è il coefficiente di assorbimento diviso per la densità di numero:
    τ=∫$_0$$^l$σn(z)dz, \tau =\int _{0}^{l}\sigma n(z)\, \mathrm {d} z,
dove
* σ è l'assorbimento di sezione d'urto del materiale;
* n(z) è la densità di numero del materiale in z,
se $n$ è uniforme lungo il cammino, cioè $n(z)\equiv N$, la relazione diventa:
    τ=σNl\tau =\sigma Nl

## Descrizione

Proviamo a pensare alla nebbia: un oggetto immediatamente avanti a noi è ben visibile, quindi in questo caso la nebbia ha come valore di profondità ottica uguale a zero; ma a mano a mano che allontaniamo l'oggetto la profondità ottica aumenta, fino a raggiungere un enorme valore per cui l'oggetto non sarà più visibile.
La profondità ottica è perciò la quantità di luce che viene dispersa, o perché diffusa (sparsa) o perché assorbita, durante un dato percorso in un mezzo. Se $I_{0}$ è l'intensità di radiazione alla fonte ed $I$ l'intensità osservata dopo un percorso, il ${\tau }$ ottico è definito dalla seguente equazione:
$I/I_{0}=e^{-\tau }$
${\tau }$ varia entro 0 e ${+\infty }$; è maggiore o uguale a 1 per i materiali totalmente opachi, più essi diventano trasparenti più il suo valore tende verso lo zero.
${\tau }\,=-\ln(I/I_{0})$
Nelle scienze atmosferiche la profondità ottica corrisponde al percorso verticale dalla superficie della terra (o dall'altezza dell'osservatore) allo spazio esterno.
Poiché ${\tau }$ si riferisce ad un percorso verticale, la profondità ottica per un percorso inclinato sarà: ${\tau '}=m{\tau }$, in cui m (chiamato: fattore di massa aerea), per un'atmosfera aerea-parallela è dato: m = 1/cosθ, dove θ è l'angolo allo zenit del percorso; perciò si avrà:
$I/I_{0}=e^{-m\tau }$
La profondità ottica dell'atmosfera può essere misurata con un fotometro solare, confrontando il valore misurato con quello atteso conoscendo la luminosità solare.
Un altro esempio è in astronomia: le stelle, incluso il Sole, non hanno una superficie vera e propria, ma solo strati di gas che si inspessiscono mano a mano che si va in profondità. La superficie è stata arbitrariamente definita come lo strato in corrispondenza del quale la profondità ottica diventa di 2/3.
Da notare che la profondità ottica di un mezzo risulterà differente a seconda della lunghezza d'onda (in altri termini, del colore della luce).
Per gli anelli planetari questa profondità è la parte di luce trattenuta dall'anello quando si trova tra la fonte e l'osservatore. Ciò è ottenuta di solito durante l'osservazione di occultazioni stellari.