# Funzione additiva

In teoria dei numeri, una funzione additiva è una funzione aritmetica f(n) dell'intero n tale che per ogni a e b interi coprimi si abbia:
    $f(ab)=f(a)+f(b)\,$

## Funzione completamente additiva

Una funzione additiva $f(n)$ è detta completamente additiva se $f(ab)=f(a)+f(b)$ è vera per tutti gli interi positivi a e b, anche se non sono coprimi.
Ogni funzione completamente additiva è additiva, ma non viceversa.

## Esempi

Sono funzioni aritmetiche completamente additive:
* La funzione logaritmo considerata in N.
* a$_0$(n) - la somma dei primi che dividono n. Abbiamo a$_0$(20) = a$_0$(2$^2$ · 5) = 2 + 2+ 5 = 9. Alcuni valori: (OEIS A001414).
       a$_0$(4) = 4
       a$_0$(27) = 9
       a$_0$(144) = a$_0$(2$^4$ · 3$^2$) = a$_0$(2$^4$) + a$_0$(3$^2$) = 8 + 6 = 14
       a$_0$(2.000) = a$_0$(2$^4$ · 5$^3$) = a$_0$(2$^4$) + a$_0$(5$^3$) = 8 + 15 = 23
       a$_0$(2.001) = 55
       a$_0$(2.002) = 33
       a$_0$(2.003) = 2003
       a$_0$(54.032.858.972.279) = 1240658
       a$_0$(54.032.858.972.302) = 1780417
       a$_0$(20.802.650.704.327.415) = 1240681
* a$_1$(n) - la somma dei primi distinti che dividono n. Abbiamo: a$_1$(1) = 0, a$_1$(20) = 2 + 5 = 7. Alcuni ulteriori valori: (OEIS A008472)
       a$_1$(4) = 2
       a$_1$(27) = 3
       a$_1$(144) = a$_1$(2$^4$ · 3$^2$) = a$_1$(2$^4$) + a$_1$(3$^2$) = 2 + 3 = 5
       a$_1$(2.000) = a$_1$(2$^4$ · 5$^3$) = a$_1$(2$^4$) + a$_1$(5$^3$) = 2 + 5 = 7
       a$_1$(2.001) = 55
       a$_1$(2.002) = 33
       a$_1$(2.003) = 2003
       a$_1$(54.032.858.972.279) = 1238665
       a$_1$(54.032.858.972.302) = 1780410
       a$_1$(20.802.650.704.327.415) = 1238677
* La funzione Ω(n), definita come il numero totale di fattori primi di n, contando ogni fattore nella sua molteplicità. Ciò implica Ω(1) = 0 poiché 1 non ha fattori primi. Alcuni altri valori: (OEIS A001222)
       Ω(4) = 2
       Ω(27) = 3
       Ω(144) = Ω(2$^4$ · 3$^2$) = Ω(2$^4$) + Ω(3$^2$) = 4 + 2 = 6
       Ω(2.000) = Ω(2$^4$ · 5$^3$) = Ω(2$^4$) + Ω(5$^3$) = 4 + 3 = 7
       Ω(2.001) = 3
       Ω(2.002) = 4
       Ω(2.003) = 1
       Ω(54.032.858.972.279) = 3
       Ω(54.032.858.972.302) = 6
       Ω(20.802.650.704.327.415) = 7
* ω(n), definita come il numero totale di fattori primi distinti di n. Questo è un esempio di funzione additiva che non è completamente additiva. Alcuni valori (confronta con Ω(n)) (OEIS A001221):
       ω(4) = 1
       ω(27) = 1
       ω(144) = ω(2$^4$ · 3$^2$) = ω(2$^4$) + ω(3$^2$) = 1 + 1 = 2
       ω(2.000) = ω(2$^4$ · 5$^3$) = ω(2$^4$) + ω(5$^3$) = 1 + 1 = 2
       ω(2.001) = 3
       ω(2.002) = 4
       ω(2.003) = 1
       ω(54.032.858.972.279) = 3
       ω(54.032.858.972.302) = 5
       ω(20.802.650.704.327.415) = 5

## Funzioni additive e funzioni moltiplicative

Da qualunque funzione additiva $f(n)\,$ si può facilmente creare una funzione moltiplicativa $g(n)$ , cioè con la proprietà che per ogni a e b coprimi si abbia:
    $g(ab)=g(a)\times g(b)$
Un esempio è $g(n)=2^{f(n)}$

## Funzioni additive in altri campi della matematica

Al di fuori della teoria dei numeri, si definisce funzione additiva una funzione che preserva l'operazione di addizione:
    $f(x+y)=f(x)+f(y)$
per ogni elemento x e y del dominio. L'equazione funzionale precedente è nota come equazione di Cauchy.