# Rendimento isoentropico

Il rendimento isoentropico è un particolare rendimento usato per stabilire quanto una trasformazione adiabatica di compressione o di espansione si avvicini al caso ideale di trasformazione isoentropica, cioè reversibile, nella quale l'entropia non aumenta, ma rimane costante.

## Aspetto teorico

La forma differenziale dell'energia interna è:
$dU=-P\operatorname {d} V+T\operatorname {d} S$
L'entalpia risulta essere
$H=U+PV$
conseguentemente la forma differenziale dell'entalpia risulta essere:
$dH=\operatorname {d} U+P\operatorname {d} V+V\operatorname {d} P$
$dH=-P\operatorname {d} V+T\operatorname {d} S+P\operatorname {d} V+V\operatorname {d} P$
$dH=T\operatorname {d} S+V\operatorname {d} P$
La forma differenziale dell'entalpia, su di un'isobara si riduce a:
$dH=T\operatorname {d} S$
Si consideri ora, in riferimento al ciclo di Brayton-Joule riportato in figura, il compressore. Il suo lavoro sarà:
* Caso isoentropico: $L_{compressore}=H_{1}-H_{2}$
* Caso non isoentropico: $L_{compressore}=H_{1}-H_{2'}$
Tale lavoro risulta essere, in entrambi i casi $<0$ poiché il compressore fornisce lavoro al fluido per innalzarne il contenuto entalpico. Riprendendo la forma differenziale dell'entalpia su un'isobara, come quella lungo il percorso $2,3$ su cui giace il punto $2$ del lavoro del compressore, è possibile notare che ad un aumento di $dS$, corrispondente ad un aumento dell'irreversibilità, aumenta $dH$ e di conseguenza $H_{2'}$. Questo comporta quindi che $L_{compressore}$ risulti ancora più negativo del caso isoentropico. Quindi ad un aumento dell'irreversibilità aumenta il lavoro che deve compiere il compressore sul fluido.
Considerando invece la turbina si ha che:
* Caso isoentropico: $L_{turbina}=H_{3}-H_{4}$
* Caso non isoentropico: $L_{turbina}=H_{3'}-H_{4'}$
Tale lavoro risulta essere, in entrambi i casi $>0$ poiché la turbina consuma il contenuto entalpico del fluido, per mettere in rotazione il suo albero. Con un ragionamento analogo a quello fatto in precedenza per il compressore, è possibile notare che nella turbina un aumento di irreversibilità comporta una diminuzione del lavoro che essa è in grado di produrre.
Tali considerazioni, eseguite sul ciclo Brayton, e con il lavoro considerato positivo se uscente dal sistema studiato, sono valide anche per altri cicli come un ciclo di Rankine o un ciclo di Rankine a vapore surriscaldato

## Applicazione

Il rendimento è definito come $\eta ={\frac {L_{minimo}}{L_{massimo}}}$
Applicando tale definizione al caso della turbina e del compressore, è possibile ottenere i corrispettivi rendimenti isoentropici:
* Nel caso di espansione in turbina è definito dal rapporto fra il lavoro reale ottenuto e quello ideale ottenibile dall'isoentropica.
    $\eta _{isoentropico\ turbina}={\frac {L_{reale}}{L_{ideale}}}\qquad L_{reale}<L_{ideale}$
* Nel caso di compressione nel compressore è il rapporto fra il lavoro ideale necessario (cioè minimo) e quello realmente necessario.
    $\eta _{isoentropico\ compressore}={\frac {L_{ideale}}{L_{reale}}}\qquad L_{reale}>L_{ideale}$
Un compressore non isoentropico necessiterà di una maggiore potenza (o lavoro) dell'equivalente compressore isoentropico, visto che entrambi produrranno comunque la stessa variazione di pressione nel gas.
Inversamente vale per i processi di espansione. Una turbina non isoentropica produrrà una minore potenza (o lavoro) dell'equivalente turbina isoentropica, visto che entrambe funzionano con la stessa differenza di pressione.