# Rendita finanziaria

Una rendita finanziaria è una successione di importi, chiamate rate, da riscuotere (o da pagare) in epoche differenti, chiamate scadenze, a intervalli di tempo determinati.
Una rendita S è quindi individuata da tre argomenti:
$R_{k}\;$ : rata da riscuotere (o da pagare) alla scadenza $t_{k}\;$
$t_{k}\;$ : scadenza, cioè il momento all'interno del k-esimo intervallo in cui viene riscossa (o pagata) la rata $R_{k}\;$
$n\;$: numero di rate totali
e si può indicare con $S=(R_{k},\;t_{k}\;)$ dove $k\;=0,1,2,...,n$

## Classificazione delle rendite

Una rendita può essere classificata in base alle caratteristiche dei suoi argomenti:
$\mathbf {n}$ : numerosità delle rate
* Se n è un numero finito la rendita si chiama temporanea
** Se n è stabilito a priori ed è indipendente da qualsiasi evento la rendita temporanea si dice certa
** Se invece n non è stabilito a priori e dipende, ad esempio, dall'esistenza in vita di una persona si dice vitalizia
* Se n è infinito la rendita si chiama perpetua
$\mathbf {t_{k}}$ : periodicità e scadenza
* Se le scadenze sono separate da un intervallo di tempo uguale la rendita è periodica e la quantità $p\;=\;t_{k}\;-\;t_{k-1}$ corrisponde a un periodo:
** Se p = 1 mese la rendita è detta mensile, se p = 1 anno la rendita è detta annuale, se p = 3 mesi la rendita è detta trimestrale e così via.
* Se la scadenza è fissata all'inizio di un intervallo di tempo la rendita è anticipata
* Se la scadenza è fissata al termine di un intervallo la rendita è posticipata
$\mathbf {R_{k}}$ : decorrenza
* Se la prima rata viene riscossa (o pagata) all'inizio la rendita è detta immediata.
* Se la prima rata viene riscossa (o pagata) a cominciare da un certo istante $\;t_{p}$ successivo a $\;t_{0}$, la rendita si dice differita di un periodo p.
    Esempio:
    È evidente che una rendita anticipata differita di un periodo p coincide con una rendita posticipata differita di un periodo p-1
* Una rendita può essere infine a rata costante se tutte le rate non nulle hanno lo stesso valore, oppure a rata variabile se non hanno lo stesso valore

## Valore di una rendita

Il valore $\;V(t_{j})$ di una rendita finanziaria all'istante $\;t_{j}$ è la somma dei montanti delle rate con scadenze antecedenti a $\;t_{j}$, dei valori attuali delle rate con scadenze successive a $\;t_{j}$, ed eventualmente della rata $\;R_{j}$ con scadenza $\;t_{j}$
Nel caso più generale quindi:
$V(t_{j})=\sum _{k=0}^{j-1}R_{k}\;f(t_{j}\;-\;t_{k})\;+\;R_{j}\;+\sum _{k=j+1}^{n}R_{k}\;g(t_{k}\;-\;t_{j})$
dove
$f(t_{j}\;-\;t_{k})$ è il fattore di montante e $g(t_{k}\;-\;t_{j})$ è il fattore di sconto nel regime di capitalizzazione prescelto.

### Valore attuale di una rendita

Il valore attuale di una rendita è il valore $\;V(t_{0})$ calcolato al tempo $\;t=t_{0}$ ed equivale alla somma dei valori attuali delle singole rate della rendita nel regime di capitalizzazione prescelto.

#### Regime di capitalizzazione composta

Nel caso di una rendita periodica posticipata immediata di n rate costanti, nel regime di sconto composto in cui il tasso di interesse, per un periodo $\;p=t_{k+1}-t_{k}$, è $\;i$, il fattore di sconto per un periodo p è
$g(t_{k}-t_{0})={\frac {1}{(1+i)^{k}}}$
quindi
$\;V(t_{0})=\sum _{k=0}^{n}R_{k}\;g(t_{k}\;-\;t_{0})=\;\sum _{k=0}^{n}R_{k}\;{\frac {1}{(1+i)^{k}}}$
essendo la rendita posticipata immediata e a rata costante: $\;R_{0}=0\quad$ e $\;R_{1}=R_{2}=...=R_{n}=R$
$\;V(t_{0})=R\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{k}}}$
osservando che
$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{k}}}$ è una serie geometrica di ragione $v={\frac {1}{(1+i)}}$
e sapendo che per una serie geometrica
$\sum _{k=1}^{n}v^{k}\;=\;v\;{\frac {1-v^{n}}{1-v}}\;=\;\left({\frac {1}{1+i}}\right)\;{\frac {1-({\frac {1}{1+i}})^{n}}{1-{\frac {1}{1+i}}}}\;=\;{\frac {1-({\frac {1}{1+i}})^{n}}{i}}=a_{n^{\urcorner }i}$
Si consideri infatti una rendita periodica posticipata di n rate unitarie, quindi con $\;R=1$; il suo valore attuale si indica con $a_{n^{\urcorner }i}$ (da leggersi come a posticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:
$a_{n^{\urcorner }i}={\frac {1-({\frac {1}{1+i}})^{n}}{i}}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}$
quindi il valore attuale $\;V(t_{0})$ di una generica rendita di n rate $\;R$ costanti e posticipate si può scrivere
$\;V(t_{0})=R\cdot {\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}=R\cdot a_{n^{\urcorner }i}$
Si consideri ora il caso di una rendita, sempre periodica e unitaria, ma questa volta con n pagamenti periodali anticipati; il suo valore attuale si indica con ${\ddot {a}}_{n^{\urcorner }i}$ (da leggersi come a anticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:
${\ddot {a}}_{n^{\urcorner }i}={\frac {1-({\frac {1}{1+i}})^{n}}{\frac {i}{1+i}}}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{i(1+i)^{-1}}}={\frac {(1+i)[1-(1+i)^{-n}]}{i}}$
quindi il valore attuale $\;V(t_{0})$ della generica rendita di n rate $\;R$ costanti e anticipate si può scrivere
$\;V(t_{0})=R\cdot {\frac {(1+i)[1-(1+i)^{-n}]}{i}}=R\cdot {\ddot {a}}_{n^{\urcorner }i}$

#### Formule ed esempi

Valore attuale di una rendita posticipata a rate costanti al tasso i per n anni:
    $\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)={\frac {R\,\left(1-{\frac {1}{{\left(i+1\right)}^{n}}}\right)}{i}}$
Ad esempio calcolare il valore attuale di una rendita posticipata di 900 euro annue, che dura 17 anni, al tasso 7,15%. Utilizzando il software wxMaxima si ha:
Rata costante di una rendita posticipata per n anni al tasso i con valore attuale V(t_0):
    $R={\frac {i\,{{\left(i+1\right)}^{n}}\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)}{{{\left(i+1\right)}^{n}}-1}}$
Numero di rate di una rendita posticipata al tasso i con rata R e valore attuale V(t_0):
    $n={\frac {\log {\left({\frac {R}{R-i\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)}}\right)}}{\log {\left(i+1\right)}}}$
Tasso di interesse di una rendita posticipata con rata R e valore attuale V(t_0) per n anni:
Ad esempio il valore attuale, calcolato un anno prima della scadenza della prima rata, di una rendita costituita da 9 rate, ciascuna di 300, è di 1929,868. Determinare quale tasso è stato usato per il calcolo del valore attuale. Utilizzando il software wxMaxima si ottiene un tasso del 7,3% :
Valore attuale di una rendita anticipata a rate costanti:
    $\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)={\frac {R\,\left(i+1\right)\,\left(1-{\frac {1}{{\left(i+1\right)}^{n}}}\right)}{i}}$
Ad esempio calcolare il valore attuale di una rendita annua, che ha 10 rate anticipate ciascuna di 1680 al 7%. Utilizzando il software wxMaxima si ha :
Rata costante di una rendita anticipata per n anni al tasso i con valore attuale V(t_0):
    $R={\frac {i\,{{\left(i+1\right)}^{n}}\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)}{{{\left(i+1\right)}^{n+1}}-i-1}}$
Numero di rate di una rendita anticipata al tasso i con rata R e valore attuale V(t_0):
    $n={\frac {\log {\left({\frac {Ri}{-i\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)+Ri+R}}+{\frac {R}{-i\operatorname {V} \left({t_{0}}\right)+Ri+R}}\right)}}{\log {\left(i+1\right)}}}$

### Montante di una rendita

Il montante di una rendita è il valore $\;V(t_{n})$ calcolato al tempo $\;t=t_{n}$ ed equivale alla somma dei montanti delle singole rate calcolati al termine della rendita nel regime di capitalizzazione prescelto.

#### Regime di capitalizzazione composta

Nel caso del montante di una rendita periodica anticipata immediata di n rate, nel regime a interesse composto in cui il tasso di interesse, per un periodo $\;p=t_{k+1}-t_{k}$, è $\;i$, il fattore di montante è
$\;f(t_{n}-t_{k})=(1+i)^{n-k}$
quindi
$\;V(t_{n})=\;\sum _{k=0}^{n}R_{k}\;f(t_{n}\;-\;t_{k})=\;\sum _{k=0}^{n}R_{k}\;(1+i)^{n-k}$
essendo la rendita anticipata immediata e a rata costante l'ultima rata viene pagata all'istante $t_{n-1}$, quindi $\;R_{n}=0$, e $\;R_{0}=R_{1}=R_{2}=...=R_{n-1}=R$
$V(t_{n})=\;R\;\left[(1+i)^{n}+(1+i)^{n-1}+....+(1+i)\right]\;=\;R\;\sum _{k=1}^{n}\;(1+i)^{k}$
osservando che
$\sum _{k=1}^{n}\;(1+i)^{k}$ è una serie geometrica di ragione $\;r=(1+i)$
e sapendo che per una serie geometrica
$\sum _{k=1}^{n}r^{k}\;=\;r\;{\frac {1-r^{n}}{1-r}}\;=\;(1+i){\frac {1-(1+i)^{n}}{1-(1+i)}}=\;(1+i){\frac {1-(1+i)^{n}}{-i}}=\;(1+i){\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}={\ddot {s}}_{n^{\urcorner }i}$
Si consideri infatti una rendita periodica anticipata di $\;n$ rate unitarie, quindi con $\;R=1$; il suo montante si indica con ${\ddot {s}}_{n^{\urcorner }i}$ (da leggersi come s anticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:
${\ddot {s}}_{n^{\urcorner }i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{\frac {i}{1+i}}}=(1+i)\cdot {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}={\frac {(1+i)[(1+i)^{n}-1]}{i}}$
quindi il montante $\;V(t_{n})$ di una generica rendita di $\;n$ rate $\;R$ costanti e anticipate si può scrivere
$\;V(t_{n})=R\cdot {\frac {(1+i)[(1+i)^{n}-1]}{i}}=R\cdot {\ddot {s}}_{n^{\urcorner }i}$
Si consideri ora il caso di una rendita, sempre periodica e unitaria, ma questa volta con $\;n$ pagamenti periodali posticipati; il suo montante si indica con $s_{n^{\urcorner }i}$ (da leggersi come s posticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:
$s_{n^{\urcorner }i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}$
quindi il montante $\;V(t_{n})$ della generica rendita di $\;n$ rate $\;R$ costanti e posticipate si può scrivere
$\;V(t_{n})=R\cdot {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}=R\cdot s_{n^{\urcorner }i}$

#### Formule ed esempi

Montante di una rendita posticipata a rate costanti al tasso i per n anni:
    $\operatorname {V} \left({t_{n}}\right)={\frac {R\,\left({{\left(i+1\right)}^{n}}-1\right)}{i}}$
Ad esempio calcolare il montante di una rendita posticipata di 225 euro annue, che dura 12 anni, al tasso 5,15%. Utilizzando il software wxMaxima si ha :
Rata costante di una rendita posticipata per n anni al tasso i con montante V(t_n):
    $R={\frac {i\operatorname {V} \left({t_{n}}\right)}{{{\left(i+1\right)}^{n}}-1}}$
Numero di rate di una rendita posticipata al tasso i con rata R e montante V(t_n):
    $n={\frac {\log {\left({\frac {i\operatorname {V} \left({t_{n}}\right)}{R}}+1\right)}}{\log {\left(i+1\right)}}}$
Tasso di interesse di una rendita posticipata con rata R e montante V(t_n) per n anni:
Ad esempio il montante, calcolato un anno prima della scadenza della prima rata, di una rendita costituita da 12 rate, ciascuna di 225 euro, è di 3612,606. Determinare quale tasso è stato usato per il calcolo del montante. Utilizzando il software wxMaxima si ottiene un tasso del 5,15% ::
Montante di una rendita anticipata a rate costanti:
    $\operatorname {V} \left({t_{n}}\right)={\frac {R\left(i+1\right)\left({{\left(i+1\right)}^{n}}-1\right)}{i}}$
Ad esempio calcolare il montante di una rendita annua, che ha 13 rate anticipate ciascuna di 340 euro al 6%. Utilizzando il software wxMaxima si ha :
Rata costante di una rendita anticipata per n anni al tasso i con montante V(t_n):
    $R={\frac {i\operatorname {V} \left({t_{n}}\right)}{\left(i+1\right)\left({{\left(i+1\right)}^{n}}-1\right)}}$

### Valore attuale di una rendita con rate variabili

Nelle sezioni precedenti si è visto che se i pagamenti sono periodici (annui, semestrali, ecc.) e le rate costanti è possibile ricavare formule in forma chiusa per il valore attuale e il montante di una rendita. Tuttavia, nella realtà, le rate possono variare. Se le rate sono variabili ma si ha periodicità delle scadenze e se le rate variano in modo "regolare", si possono ancora ricavare delle formule chiuse. Qui di seguito vengono proposti alcuni casi notevoli, nell'ipotesi di pagamenti annui posticipati.

#### Valore attuale di una rendita con rate variabili in progressione aritmetica

Una rendita annua posticipata a rate variabili, con rate in progressione aritmetica di ragione $\Delta \in \mathbb {R}$ e prima rata $\displaystyle R$ (con la condizione che $R+(n-1)\Delta \geq 0$), ha valore attuale
$A:=Rv+(R+\Delta )v^{2}+\cdots +(R+(n-1)\Delta )v^{n}=\sum _{k=1}^{n}(R+(k-1)\Delta )v^{k}.$
dove $v={\frac {1}{1+i}}$.
Allora si ha: $A=R(v+v^{2}+\cdots +v^{n})+\Delta (v^{2}+2v^{3}+\cdots +(n-1)v^{n}).$
La sommatoria tra parentesi del primo addendo è il valore attuale di una rendita annua unitaria posticipata che già conosciamo. Sviluppiamo la sommatoria tra parentesi del secondo addendo. Scriviamo:
$S=v^{2}+2v^{3}+\cdots +(n-1)v^{n}$
$(1+i)S=v+2v^{2}+\cdots +(n-1)v^{n-1}.$
Consideriamo la differenza tra la seconda e la prima identità:
$iS=v+v^{2}+\cdots +v^{n-1}+v^{n}-nv^{n}$ $\Rightarrow S={\frac {a_{{\bar {n}}|i}-nv^{n}}{i}}.$
Quindi il valore attuale è:
$A=Ra_{{\bar {n}}|i}+\Delta {\frac {a_{{\bar {n}}|i}-nv^{n}}{i}}.$
Nel caso la rendita fosse perpetua, passando al limite si ha:
$\lim _{n\to +\infty }Ra_{{\bar {n}}|i}+\Delta {\frac {a_{{\bar {n}}|i}-nv^{n}}{i}}={\frac {R}{i}}+{\frac {\Delta }{i^{2}}}.$

#### Valore attuale di una rendita con rate variabili in progressione geometrica

Una rendita annua posticipata di rata $\displaystyle R>0$, variabile in progressione geometrica di ragione $\displaystyle q>0$, ha valore attuale:
$A:=Rv+Rqv^{2}+\cdots +Rq^{n-1}v^{n}=\sum _{k=1}^{n}Rq^{k-1}v^{k}.$
Osserviamo che, se $\displaystyle qv=1$, allora:
$A=\underbrace {Rv+Rv+\cdots +Rv} _{n{\text{ volte}}}=nRv.$
Se invece $qv\neq 1$, allora - raccogliendo $\displaystyle Rv$ a fattor comune - si ha:
$A=Rv\left(1+qv+\cdots +(qv)^{n-1}\right).$
In parentesi riconosciamo la somma di $\displaystyle n$ termini in progressione geometrica di ragione $\displaystyle qv$, e quindi:
$A=Rv{\frac {1-(qv)^{n}}{1-qv}}.$
Nel caso la rendita fosse perpetua, passando al limite si ha:
$\lim _{n\to +\infty }Rv{\frac {1-(qv)^{n}}{1-qv}}={\frac {R}{u-q}},$
dove $\displaystyle u=1+i.$