# Formula di Grassmann

In matematica, la formula di Grassmann è una relazione che riguarda le dimensioni dei sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale o dei sottospazi proiettivi di uno spazio proiettivo.
La formula di Grassmann, il cui nome è stato scelto in onore del matematico tedesco Hermann Grassmann, afferma inoltre che i sottospazi di uno spazio vettoriale muniti delle operazioni binarie + e $\cap$ costituiscono un reticolo modulare.

## Enunciato

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ dotato di dimensione finita, cioè dotato di una base finita. Siano $W$ e $U$ due sottospazi di $V$. Indicando con $W+U$ il sottospazio somma di $W$ e $U$ dato da:
    $W+U:=\{\mathbf {w} +\mathbf {u} \ |\ \mathbf {w} \in W,\mathbf {u} \in U\}$
e con $W\cap U$ il loro sottospazio intersezione, la formula di Grassmann afferma che:
    $\dim(W+U)=\dim(W)+\dim(U)-\dim(W\cap U)$

### Somma diretta

Due sottospazi $U$ e $W$ sono in somma diretta se $U\cap W=\{0\}$. In questo caso la formula di Grassmann asserisce che:
    $\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)$
Se inoltre $V=U+W$, si dice che $V$ si decompone in somma diretta di $U$ e $W$ e si scrive:
    $V=U\oplus W$
In questo caso il sottospazio $W$ è un supplementare di $U$ (e viceversa).
Ad esempio, lo spazio $M(n)$ delle matrici quadrate $n\times n$ a coefficienti in un campo $K$ si decompone nei sottospazi delle matrici simmetriche e delle antisimmetriche:
    $M(n)=S(n)\oplus A(n)$
La formula di Grassmann porta all'uguaglianza concernente le dimensioni dei due sottospazi della forma:
    $n^{2}={\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {n(n-1)}{2}}$

## Dimostrazione
### Struttura della dimostrazione

La formula si dimostra individuando due basi per $W$ e $U$ che hanno in comune i vettori che costituiscono una base per la loro intersezione. Più precisamente, si prende una base $B$ per $W\cap U$, e si completa ad una base $B\cup B_{U}$ di $U$, e ad una base $B\cup B_{W}$ di $W$. I vettori in:
    $B\cup B_{U}\cup B_{W}$
generano lo spazio $U+W$, si verifica che sono indipendenti, e quindi sono una base per $U+W$. Un conteggio degli elementi nelle tre basi trovate fornisce la formula di Grassmann.

### Verifica dell'indipendenza lineare

L'unico fatto che necessita di una dimostrazione approfondita è l'indipendenza dei vettori in:
    $B\cup B_{U}\cup B_{W}$
che viene mostrata nel modo seguente. Sia:
    $B=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{d}\},\quad B_{U}=\{\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{s}\},\quad B_{W}=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{t}\}$
Si supponga l'esistenza di una combinazione lineare nulla:
    $\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots \lambda _{d}\mathbf {v} _{d}+\mu _{1}\mathbf {u} _{1}+\ldots +\mu _{s}\mathbf {u} _{s}+\gamma _{1}\mathbf {w} _{1}+\ldots +\gamma _{t}\mathbf {w} _{t}=0$
In altre parole, raggruppando:
    $\mathbf {v} =\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots \lambda _{d}\mathbf {v} _{d},\quad \mathbf {u} =\mu _{1}\mathbf {u} _{1}+\ldots +\mu _{s}\mathbf {u} _{s},\quad \mathbf {w} =\gamma _{1}\mathbf {w} _{1}+\ldots +\gamma _{t}\mathbf {w} _{t}$
si ottiene:
    $\mathbf {v} +\mathbf {u} +\mathbf {w} =0$
Da questo segue che $\mathbf {w} =-\mathbf {v} -\mathbf {u}$, e poiché sia $\mathbf {v}$ che $\mathbf {u}$ appartengono a $U$, ne segue che anche $\mathbf {w}$ appartiene a $U$. Quindi $\mathbf {w}$ appartiene all'intersezione $U\cap W$, e si scrive come combinazione lineare di elementi di $B$. D'altra parte, come elemento di $W$, è descritto come combinazione lineare di elementi di $B_{W}$: poiché ogni elemento ha un'unica descrizione come combinazione lineare di elementi di una base, ne segue che entrambe queste combinazioni hanno tutti i coefficienti nulli. Quindi:
    $\gamma _{1}=\ldots =\gamma _{t}=0,\quad \mathbf {w} =0$
Si ottiene quindi $\mathbf {v} +\mathbf {u} =0$. Poiché i vettori $B\cup B_{U}$ sono una base di $U$, sono quindi indipendenti, e ne segue che anche:
    $\lambda _{1}=\ldots =\lambda _{d}=0,\quad \mu _{1}=\ldots =\mu _{s}=0$
Quindi i coefficienti sono tutti nulli, e l'insieme:
    $B\cup B_{U}\cup B_{W}$
è formato da elementi indipendenti, ed è quindi una base.

### Conteggio dimensioni

Usando le notazioni appena introdotte, il conteggio delle dimensioni dà proprio:
    $\dim(U+W)=d+s+t=(d+s)+(d+t)-d=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)$

## Dimostrazione alternativa

Si consideri la funzione:
    $f\colon U\times W\to U+W\;\colon \;(u,w)\mapsto \mathbf {u} +\mathbf {w}$
che si verifica essere un'applicazione lineare. Si ha:
    $\mathrm {im} (f)=U+W\qquad \ker(f)=\{(\mathbf {v} ,-\mathbf {v} ):\mathbf {v} \in U\cap W\}$
Il nucleo è uno spazio vettoriale isomorfo a $U\cap W$, e l'isomorfismo è dato da:
    $\phi \,\colon \,\ker(f)\to U\cap W\,\colon \,(\mathbf {v} ,-\mathbf {v} )\mapsto \mathbf {v}$
Si ha quindi:
    $\dim(U+W)+\dim(U\cap W)=\dim(\mathrm {im} (f))+\dim(\ker(f))$
    $=\dim(U\times W)=\dim(U)+\dim(W)$
dove si è applicato il teorema del rango più nullità.

## Dimostrazione con il teorema di isomorfismo

La formula di Grassmann può essere vista come corollario del secondo teorema di isomorfismo:
    ${U+W}/W\cong U/{U\cap W}$
con $U$ e $W$ visti come gruppi (notazione additiva), e dove con $/$ si intende l'ordinario quoziente insiemistico. Infatti si ha:
    $\dim {({U+W}/W)}=\dim({U/{U\cap W}})$
    $\dim {(U+W)}-\dim {(W)}=\dim {(U)}-\dim {(U\cap W)}$
che è la formula di Grassmann.

## Esempi

Questa formula si visualizza facilmente e significativamente nel caso in cui $V$ sia lo spazio vettoriale tridimensionale sui reali $\mathbb {R} ^{3}$; le possibilità per i sottospazi portano alla seguente casistica:
* Uno dei due sottospazi $W$ o $U$ ha dimensione 0 o 3: in questo caso (a meno di scambiare i nomi dei due sottospazi) si ha $W+U=U$ e $W\cap U=W$ e la formula si riduce a una identità.
* $W$ e $U$ sono sottospazi di dimensione 1 (cioè rette passanti per l'origine):
** se le rette sono distinte $W\cap U$ contiene solo il vettore nullo ed ha dimensione 0 e $W+U$ è il piano contenente le due rette, per cui la formula si riduce a 1 + 1 = 2 + 0.
** se coincidono $W+U=W=U=W\cap U$ e ancora si ha una identità.
* $W$ è una retta per l'origine e $U$ un piano per l'origine:
** se la retta non giace nel piano si ha: 1 + 2 = 3 + 0;
** se la retta giace nel piano: 1 + 2 = 2 + 1.
* $W$ e $U$ sono piani per l'origine:
** se non coincidono la loro intersezione è una retta e si ha: 2 + 2 = 3 + 1;
** se coincidono si ha un'identità che numericamente afferma: 2 + 2 = 2 + 2.