# Formula di Feynman-Kac

In matematica, la formula di Feynman-Kac, il cui nome si deve ai suoi autori Richard Feynman e Mark Kac, è un'equazione che fornisce una rappresentazione della soluzione di alcune classi di equazioni alle derivate parziali (PDE) utilizzando le proprietà probabilistiche dei processi stocastici.

## Equazione omogenea

Si consideri una PDE nella forma
    ${\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)=0,$
sotto la condizione terminale
    $f(x,T)=\psi (x),$
dove $\mu$, $\sigma$ e $\psi$ sono funzioni note, e $f$ è incognita. La formula di Feynman-Kac stabilisce che la soluzione può essere scritta come un valore atteso
    $f(x,t)={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})|X_{t}=x\right],$
dove $X$ è un processo di Itō caratterizzato dall'equazione differenziale stocastica
    $dX=\mu (X,t)dt+\sigma (X,t)dW_{t}$.
Il valore atteso sopra può essere approssimato tramite metodi Monte Carlo o quasi-Monte Carlo.

### Dimostrazione

La verifica della correttezza della soluzione procede applicando il lemma di Itō alla funzione incognita $f$. Si ha
    $df(x,t)=\left(\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)\right)dt+\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)dW_{t}.$
Il primo termine tra parentesi è la PDE in questione, ed è per ipotesi nullo. Integrando ambo i membri dell'espressione restante si ottiene
    $\int _{t}^{T}df(x,t)=f(X_{T},T)-f(x,t)=\int _{t}^{T}\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dW_{t},$
da cui, riorganizzando i termini e prendendo il valore atteso di ambo i membri
    $f(x,t)={\textrm {E}}\left[f(X_{T},T)\right]-{\textrm {E}}\left[\int _{t}^{T}\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dW_{t}\right]$
Poiché il valore atteso di un integrale di Itō rispetto al moto browniano $W_{t}$ è nullo, si ottiene la soluzione desiderata:
    $f(x,t)={\textrm {E}}\left[f(X_{T},T)\right]={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})\right]={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})|X_{t}=x\right]$

## Estensione 1

La soluzione sopra illustrata può essere estesa a una classe di PDE più ampia; è infatti possibile mostrare che l'equazione della forma
    ${\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)-k(t)f(x,t)=0$
sotto la condizione terminale
    $\ f(x,T)=\psi (x)$
ha per soluzione:
    $f(x,t)={\textrm {E}}\left[\exp \left\{-\int _{t}^{T}k(u)du\right\}\psi (X_{T})|X_{t}=x\right].$
La dimostrazione di questo risultato procede sulla falsariga di quella esposta sopra, con la differenza che il lemma di Itō è applicato alla funzione
    $g(x,t)=f(x,t)\exp \left\{\int _{t}^{T}k(u)du\right\}.$
La soluzione di equazioni nella forma testé esaminata è frequente nell'ambito della finanza matematica; la celebre equazione di Black-Scholes, che determina il prezzo di non arbitraggio di uno strumento derivato, ha infatti tale forma.

## Estensione 2

Si consideri la PDE
    ${\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)-V(x,t)f(x,t)+u(x,t)=0,$
definita per ogni $x\in \mathbb {R}$ e ogni $t\in [0,T]$, soggetta alla condizione:
    $f(x,T)=\psi (x),$
dove $\mu ,\sigma ,\psi ,V,u$, sono funzioni note, $T$ è un parametro e $f:\mathbb {R} \times [0,T]\to \mathbb {R}$ l'incognita. La formula di Feynman-Kac stabilisce che la soluzione può essere scritta come un valore atteso condizionato
    $f(x,t)=E^{Q}\left[\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr+e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T}){\Bigg |}X_{t}=x\right]$
rispetto alla misura di probabilità $Q$, tale per cui $X$ è un processo di Itō (processo di Wiener generalizzato) definito dall'equazione:
    $dX=\mu (X,t)\,dt+\sigma (X,t)\,dW^{Q}$
dove $W^{Q}(t)$ è un processo di Wiener (moto browniano) e la condizione iniziale per $X(t)$ è $X(0)=x$.

### Derivazione

Sia $f(x,t)$ una soluzione dell'equazione. Applicando il lemma di Itō al processo:
    $Y(s)=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{s},s)+\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr$
si ottiene:
    $dY=de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{s},s)+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,df(X_{s},s)+de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }df(X_{s},s)+d\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr$
Dal momento che:
    $de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }=-V(X_{s},s)e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,ds$
il terzo termine è $o(dtdu)$ e può essere trascurato. Si ha inoltre che:
    $d\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{s},s)ds$
Applicando nuovamente il lemma di Itō a $du(X_{s},s)$ segue che$dY=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,\left(-V(X_{s},s)f(X_{s},s)+u(X_{s},s)+\mu (X_{s},s){\frac {\partial f}{\partial X}}+{\frac {\partial f}{\partial s}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(X_{s},s){\frac {\partial ^{2}f}{\partial X^{2}}}\right)\,ds+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial f}{\partial X}}\,dW$Il primo termine contiene tra parentesi la PDE iniziale, ed è quindi nullo. Rimane
    $dY=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial f}{\partial X}}\,dW.$
Integrando questa equazione da $t$ a $T$ si conclude che
    $Y(T)-Y(t)=\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial f}{\partial X}}\,dW$
Prendendo il valore atteso (condizionato su $X_{t}=x$) e osservando che il membro alla destra è un integrale di Itō, che ha valore atteso nullo, segue che:
    $E[Y(T)|X_{t}=x]=E[Y(t)|X_{t}=x]=f(x,t)$
Il risultato cercato si ottiene osservando che
    $E[Y(T)|X_{t}=x]=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{T},T)+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr{\Bigg |}X_{t}=x\right]$
ed infine:
    $f(x,t)=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T})+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )d\tau }u(X_{s},s)ds{\Bigg |}X_{t}=x\right].$