# Filtro Kerwin-Huelsman-Newcomb

Il filtro Kerwin-Huelsman-Newcomb (KHN), detto anche filtro universale Kerwin-Huelsman-Newcomb, è un filtro biquad a variabili di stato del secondo ordine. Esso, oltre a costituire un'alternativa ad elevato Q per sezioni biquad del secondo ordine a basso Q (ad es. i Sallen-Key), è in grado di produrre simultaneamente uscite: passa basso, passa alto e passa banda a partire da un unico ingresso. La presenza contemporanea di uscite passa basso, passa alto e passa banda apre scenari interessanti nella realizzazione di filtri notch o all-pass, equalizzatori di fase ad elevato Q.

## Funzione di trasferimento

Il KHN deriva da una riformulazione della funzione di trasferimento di un filtro biquad passa-alto in termini di rapporto di due funzioni quadratiche.
Considerando, infatti, l'espressione di un biquad passa-alto:
$V_{HP}(s)={\frac {ks^{2}Vi(s)}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}$ (1)
Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per il denominatore del termine a destra nella (1), si ottiene:
${\frac {1}{s^{2}}}*V_{HP}(s)(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})=ks^{2}Vi(s)*{\frac {1}{s^{2}}}$ (2)
isolando V$_{HP}$(s) si ottiene:
$V_{HP}(s)=kVi(s)-{\frac {\omega 0}{s}}{\frac {1}{Q}}V_{HP}(s)-{\frac {\omega 0^{2}}{s^{2}}}V_{HP}(s)$(3)
L'eq. (3) mostra che l'uscita passa alto del KHN (V$_{HP}$(s)) è il risultato di una combinazione lineare di: un'uscita di tipo passa banda (ottenuto mediante l'integrazione -ω0/s della V$_{HP}$(s)) e di un'uscita di tipo passa basso (ulteriore integrazione -ω0/s sull'uscita di tipo passa banda). Uno schema a blocchi, rappresentativo del principio di funzionamento di un filtro universale è riportato di seguito.
È quindi possibile riscrivere l'eq. (3) come:
$V_{HP}(s)=kVi(s)+{\frac {1}{Q}}V_{BP}(s)-V_{LP}(s)$(4)
con $V_{BP}(s)={\frac {-k\omega 0s}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi(s)$e $V_{LP}(s)={\frac {k\omega 0^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi(s)$ (5)
È interessante notare che l'uscita V$_{BP}$(s) presenta un segno negativo a causa dell'integrazione invertente a cui è sottoposto V$_{HP}$(s).
Dall'eq. (5), relativa a V$_{BP}$(s), è inoltre possibile derivare il guadagno alla frequenza centrale del passa banda ω0, la quale risulta essere :
$|H_{BP}(j\omega 0)|=kQ$(6)

## Implementazione circuitale

Considerando le eq. (3) e (4), risulta necessaria un'implementazione circuitale che faccia uso di due circuiti integratori ed un circuito sommatore che sintetizzi l'eq.(4).:
$V_{HP}(s)=kVi(s)+{\frac {1}{Q}}V_{BP}(s)-V_{LP}(s)$(4)
A tal proposito è possibile far uso di una configurazione circuitale del tipo:
Dal momento che, coerentemente con l'eq. (4), la V$_{LP}$(s) deve essere riportata con un guadagno di -1 risulta che : $R1=RF$.
Per determinare i parametri k e Q, è possibile far uso del principio di sovrapposizione degli effetti:
Definiamo k $\longrightarrow k={\frac {V_{HP}}{Vi}}|_{VBP=VLP=0}={\frac {R3}{R2+R3}}(1+{\frac {RF}{R1}})={\frac {2R3}{R2+R3}}$(7)
Definiamo Q $\longrightarrow {\frac {1}{Q}}={\frac {V_{HP}}{V_{BP}}}|_{Vi=VLP=0}={\frac {2R2}{R2+R3}}$(8)
Dalla (8) risulta che:
${\frac {R3}{R2}}=2Q-1$ (9)
Tale equazione di progetto ha un'implicazione interessante: diversamente da quanto avviene per i Sallen-Key, dove il rapporto tra le resistenze dipende da Q$^2$, limitandone di fatto l'utilizzo per valori elevati di Q, in questo caso la dipendenza risulta essere lineare. Questo consente di utilizzare tale filtro per realizzare Q elevati. Infatti, riprendendo l'eq. (7):
$k={\frac {2{\frac {R3}{R2}}}{\frac {R2+R3}{R2}}}=2-{\frac {1}{Q}}$(9)
Riconsiderando il guadagno a centro banda previsto dall'eq.(6):
$|H_{BP}(j\omega 0)|=kQ=2Q-1={\frac {R3}{R2}}$ (10)
L'implementazione circuitale completa di un filtro KHN è riportata di seguito:
Tale circuito manifesta una $\omega 0={\frac {1}{RC}}$(11)
Sfruttando le uscite di un filtro KHN è possibile realizzare:
* Filtri Notch Biquad (a frequenza centrale, o notch passa basso/ alto)
* Filtri All-Pass Biquad

### Filtro Notch Biquad con KHN

Utilizzando le uscite di un filtro universale KHN è possibile realizzare un filtro notch biquad a frequenza centrale, passa alto o passa basso, mediante opportuna combinazione lineare delle uscite V$_{HP}$ e V$_{LP}$, riportata in miniatura.
Considerando tale implementazione circuitale, si ottiene che:
$Vo=-V_{HP}{\frac {RF}{R_{HP}}}-V_{LP}{\frac {RF}{R_{LP}}}$ (12)
con
$V_{HP}={\frac {ks^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi$ e $V_{LP}={\frac {k\omega 0^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi$ (13)
Sostituendo le espressioni di V$_{HP}$ e V$_{LP}$ in Vo si ottiene:
$Vo=-k{\frac {RF}{R_{HP}}}{\frac {(s^{2}+{\frac {R_{HP}}{R_{LP}}}\omega 0^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}Vi$(14)
Se si vuole realizzare un notch a frequenza soppressa ω0, bisognerà porre $R_{HP}=R_{LP}$realizzando la forma generalizzata di un filtro notch biquad:
$H_{n}(s)=a2{\frac {(s^{2}+\omega 0^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}$(15)
Diversamente, se si vuole realizzare un filtro notch passa basso bisognerà realizzare una condizione generalizzata, che preveda una frequenza soppressa $\omega _{N}\neq \omega 0$ del tipo:
$H_{n}(s)=a2{\frac {(s^{2}+\omega _{N}^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}$(16)
con $\omega _{N}>\omega 0$. In questo modo, il guadagno del filtro a basse frequenze risulterà essere $|a2|{\frac {\omega _{N}^{2}}{\omega 0^{2}}}$> $|a2|$, guadagno alle alte frequenze. Per realizzare la medesima condizione con un sommatore sulle uscite del KHN bisognerà imporre, sulla base dell'eq. (14): $R_{HP}>R_{LP}$.
Discorso del tutto analogo se l'intenzione è quella di realizzare un notch passa alto. In questo caso, $\omega _{N}<\omega 0$, per cui i guadagni si invertono, rispetto al caso precedente. Per realizzare la medesima condizione con un sommatore sulle uscite del KHN bisognerà imporre, sulla base dell'eq. (14): $R_{HP}<R_{LP}$.

### Filtro passa tutto Biquad con KHN

Utilizzando le uscite di un filtro universale KHN è possibile realizzare un filtro passa tutto biquad, mediante combinazione lineare delle uscite V$_{HP}$ , V$_{BP}$ e V$_{LP}$, come riportato in miniatura.
Considerando tale implementazione circuitale, si ottiene che:
$Vo=-V_{HP}{\frac {RF}{R_{HP}}}-V_{BP}{\frac {RF}{R_{BP}}}-V_{LP}{\frac {RF}{R_{LP}}}$ (17)
con
$V_{HP}={\frac {ks^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi$, $V_{BP}=-{\frac {k\omega 0s}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi$ e $V_{LP}={\frac {k\omega 0^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi$(18)
Sostituendo le espressioni di V$_{HP}$ , V$_{BP}$ e V$_{LP}$ in Vo si ottiene:
$Vo=-k{\frac {RF}{R_{HP}}}{\frac {(s^{2}-{\frac {R_{HP}}{R_{BP}}}s+{\frac {R_{HP}}{R_{LP}}}\omega 0^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}Vi$(19)
che confrontata con un'espressione generalizzata di un biquad all-pass:
$H_{AP}(s)=a2{\frac {(s^{2}-{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}$(20)
permette di ricavare alcune considerazioni di tipo circuitale:
$R_{HP}=R_{LP}$ e ${\frac {1}{Q}}={\frac {R_{HP}}{R_{BP}}}$(21)