# Trasformazione naturale

In teoria delle categorie una trasformazione naturale è una freccia tra funtori "paralleli".
che rende possibile definire la categoria ${\mathcal {B}}^{\mathcal {A}}$ di tutti i funtori
$F:{\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}$
tra due categorie ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}$ assegnate.

## Definizione

Siano
$F:{\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}$
$G:{\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}$
due funtori tra le categorie ${\mathcal {A}}$ e ${\mathcal {B}}$.
Una trasformazione naturale $\alpha :F\Longrightarrow G$ è una collezione
$\{\alpha _{X}:FX\longrightarrow GX\}_{X\in {\mathcal {A}}_{0}}$
di frecce di ${\mathcal {B}}$ indicizzate dagli oggetti di ${\mathcal {A}}$ e tale che il seguente diagramma commuta per ogni freccia $f:X\longrightarrow Y$ di ${\mathcal {A}}$:
cioè $\ Gf\cdot \alpha _{X}=\alpha _{Y}\cdot Ff$.

## Composizione orizzontale

Siano date le trasformazioni naturali
$\alpha :F\Longrightarrow G$
$\beta :H\Longrightarrow K$
ove $\ F,G$ sono funtori tra due categorie ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}$, mentre $\ H,K$ sono funtori tra due categorie ${\mathcal {B}},{\mathcal {C}}$.
Se ne può definire la composizione orizzontale
come quella trasformazione naturale $\gamma =\beta \circ \alpha$ le cui frecce, nella categoria ${\mathcal {C}}$, siano definite in uno dei due modi equivalenti:
$\gamma _{X}=\beta _{GX}\cdot H\alpha _{X}$,
$\gamma _{X}=K\alpha _{X}\cdot \beta _{FX}$.
infatti, applicando i funtori H,K al diagramma della trasformazione naturale tra F e G otteniamo:

## Composizione verticale

Siano date le trasformazioni naturali
$\alpha :F\Longrightarrow G$
$\beta :G\Longrightarrow H$
ove $\ F,G,H$ sono funtori tra due categorie ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}$.
Se ne può definire la composizione verticale
come quella trasformazione naturale $\gamma =\beta \cdot \alpha$ le cui frecce, nella categoria ${\mathcal {B}}$, siano definite nel modo elementare:
$\gamma _{X}=\beta _{X}\cdot \alpha _{X}$

## Categoria dei funtori

Siamo ora pronti per definire la categoria dei funtori come quella categoria ${\mathcal {B}}^{\mathcal {A}}$ che ha per oggetti tutti i funtori $F:{\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}$, per frecce $\ \gamma$ le trasformazioni naturali tra tali funtori e la composizione di frecce sia proprio la composizione verticale poc'anzi definita.
Esempio 1
Se $\ Ins$ è la categoria degli insiemi e ${\mathcal {C}}^{op}$ è la categoria duale di una categoria ${\mathcal {C}}$ (${\mathcal {C}}^{op}$ è ottenuta invertendo tutte le frecce di ${\mathcal {C}}$), allora la categoria $Ins^{{\mathcal {C}}^{op}}$ è la categoria dei prefasci su ${\mathcal {C}}$.
Esempio 2
Sia ${\textbf {2}}=\{\bullet \longrightarrow \bullet \}$ la categoria con due oggetti distinti e una sola freccia tra essi. Sia $\mathbb {Q}$ l'insieme ordinato dei numeri razionali visto come categoria ponendo i numeri come oggetti e le relazioni $p\leq q$ come frecce $p\longrightarrow q$.
Si verifica che i funtori ${\textbf {2}}^{\mathbb {Q} ^{op}}$ sono le sezioni di numeri razionali (con l'aggiunta dell'insieme vuoto $\emptyset$ e dell'intero $\mathbb {Q}$). Quindi abbiamo la formula notevole:
$\mathbb {R^{*}} ={\textbf {2}}^{\mathbb {Q} ^{op}}$
ove $\mathbb {R^{*}}$ è l'insieme ordinato dei numeri reali con l'aggiunta di $-\infty$ e $+\infty$.