# Trasformazione politropica

Una trasformazione politropica è una trasformazione termodinamica che segue la legge:
    $pV^{n}={\rm {cost.}}$
dove:
* $p$: pressione del fluido
* $V$: volume specifico
* $n$: esponente caratteristico (o anche numero caratteristico) della politropica.
Tra l'esponente caratteristico della politropica n e il calore specifico c intercorre la relazione $n=(c_{p}-c)/(c_{v}-c)$ ove c$_p$ e c$_v$ sono rispettivamente i calori specifici a pressione costante e a volume specifico costante.
La politropica è una legge valida nell'ipotesi di una trasformazione quasistatica valida sia per i gas perfetti che per i gas reali.

## Particolari valori dell'esponente caratteristico

La trasformazione politropica generalizza quattro trasformazioni quasistatiche fondamentali: isoentropica, isobara, isocora, isoterma. In base all'esponente caratteristico n si ottiene:
* $n=0$, $c=c_{p}$ e la trasformazione è isobara (p=cost)
* $n=1$, $\mathrm {d} T=0$ quindi $c=\pm \infty$ e la trasformazione è isoterma (pv=cost)
* $n=\pm \infty$, $c=c_{v}$ e la trasformazione è isocora (v=cost)
* $n=k$, $\delta Q=0$ quindi $c=0$ e la trasformazione è adiabatica e isoentropica $pV^{k}={\text{cost.}}$.
Il calore specifico è negativo per $1<n<k$ ovvero per trasformazioni comprese tra l'isoterma e l'adiabatica.

## Trasformazione politropica di gas perfetto

Dato un gas a comportamento perfetto vale la relazione pv=RT dove R è la costante specifica dei gas e non quella universale e dipende dal tipo di gas. Componendo questa relazione con quella della politropica si ottengono altre due espressioni della trasformazione politropica valide solo nell'ipotesi di gas perfetto:
* $TV^{n-1}={\mbox{cost}}$
* $Tp^{\frac {1-n}{n}}={\mbox{cost}}$

## Calore specifico

Il calore specifico viene definito come:
    $c={\frac {\delta q}{\mathrm {d} T}}$
dove $\delta q$ è il calore per unità di massa e $\delta$ indica un differenziale non esatto.
Non è detto che per una trasformazione politropica $c$ sia costante, lo è solo nel caso di gas ideale.
Nel caso di gas perfetto sottoposto a trasformazione politropica si può dimostrare che (con k=cost):
    $c=c_{v}\cdot {\frac {n-k}{n-1}}$
Si noti, tramite la relazione di Mayer, che $k={\frac {c_{p}}{c_{v}}}=1+{\frac {R}{c_{v}}}$ e quindi k è maggiore dell'unità.

## Lavoro di variazione di volume

Il lavoro specifico si calcola come:
    $\int _{1}^{2}p\,\mathrm {d} V=p_{1}V_{1}^{n}\int _{1}^{2}{\frac {\mathrm {d} V}{V^{n}}}$
da cui si ottiene:
    $L={\begin{cases}\displaystyle {\frac {p_{1}V_{1}}{n-1}}\left[1-\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{n-1}\right]&{\mbox{se }}n\neq 1\\[5pt]p_{1}V_{1}\ln \left(\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)&{\mbox{se }}n=1\end{cases}}$.
Per ottenere il lavoro totale basta moltiplicare per la massa del sistema. La prima espressione vale per qualsiasi fluido sottoposto a trasformazione politropica, nel caso di gas a comportamento perfetto valgono le seguenti relazioni:
* $L={\frac {R}{n-1}}(T_{1}-T_{2}){\mbox{ se }}n\neq 1$
* $L={\begin{cases}\displaystyle {\frac {RT_{1}}{n-1}}\left[1-\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{{n-1} \over n}\right]&{\mbox{se }}n\neq 1\\[5pt]RT_{1}\ln \left(\displaystyle {\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)&{\mbox{se }}n=1\end{cases}}$.