# Potenziale scalare magnetico

Il potenziale scalare magnetico è una grandezza fisica che caratterizza i campi magnetici conservativi, ovvero che siano invarianti nel tempo (campo magnetostatico) e che nella regione di spazio considerata non siano presenti e sia lontana da cariche libere in moto. Queste condizioni consentono di definire un potenziale scalare magnetico $V_{m}$ in modo analogo alla definizione del potenziale elettrico rispetto al campo elettrico.
Quando il campo magnetico è conservativo allora le proprietà dei circuiti elettrici sono totalmente sovrapponibili a quelle dei circuiti magnetici e per quali è possibile definire la tensione magnetica come differenza di potenziale scalare magnetico.

## Definizione

Nell'elettromagnetismo classico i fenomeni fisici che generano campi magnetici sono tra loro in relazione attraverso la legge di Ampère-Maxwell:
    $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$
Se il campo magnetico $\mathbf {H}$ è invariante nel tempo (campo magnetostatico) allora $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}$ di conseguenza definita una regione limitata di spazio lontana da cariche libere in moto e in cui la densità di corrente delle cariche libere (correnti non legate ai fenomeni di polarizzazione elettrica e magnetica) è nulla $\mathbf {J} _{f}=0$ si ha che $\nabla \times \mathbf {H} =0$. Siccome il campo magnetico così definito è irrotazionale, ovvero ha rotore nullo, e la regione di spazio considerata è semplicemente connessa allora il campo magnetico $\mathbf {H}$ è un campo vettoriale conservativo ed è possibile associargli un potenziale scalare. Il potenziale scalare magnetico $V_{m}$ allora è per definizione legato al campo magnetico dalla relazione:
    $\mathbf {H} =-\nabla V_{m}$
Nel sistema internazionale di unità di misura il potenziale scalare magnetico è misurato in ampere, simbolo $\mathrm {A}$, mentre storicamente era misurato in amperspira, simbolo $\mathrm {As}$ o $\mathrm {Asp}$, ovvero il prodotto tra l'intensità di corrente e le spire attraversate.

## Magnetostatica
### Potenziale scalare magnetico di un circuito

Considerato un circuito elettrico filiforme chiuso di percorso $\gamma$ posto in una regione di spazio lontana da cariche libere in moto in cui scorre una corrente elettrica continua di intensità $I$ allora il campo magnetostatico $\mathbf {B}$ generato dal circuito è conservativo e legato al potenziale scalare magnetico dall'equazione differenziale:
    $\mathbf {B} =-\mu _{0}\nabla V_{m}$
Definito un vettore posizione $\mathbf {r}$ di modulo $\mathrm {r}$ che indica la posizione del campo magnetico $\mathbf {B}$ da calcolare rispetto a un sistema di riferimento cartesiano, un vettore spostamento elementare $\mathrm {d} \mathbf {s}$, una corrente elettrica lungo il filo di intensità $I$ allora per la legge di Biot-Savart il campo magnetico generato dal circuito chiuso $\gamma$ è:
    $\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\gamma }{\frac {I\,\mathrm {d} \mathbf {s} \times \mathbf {r} }{\mathrm {r} ^{3}}}$
Considerata la definizione di gradiente $\mathrm {d} V_{m}=\nabla V_{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$ allora sostituendo nella legge trovata precedentemente si ha che:
    $\mathrm {d} V_{m}=-{\frac {I}{4\pi }}\oint _{\gamma }{\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} \times \mathbf {r} }{\mathrm {r} ^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$
Considerato l'angolo solido $\Omega$ sotteso dal circuito allora:
    $V_{m}=-{\frac {I}{4\pi }}\Omega$

### Potenziale scalare magnetico di un corpo magnetizzato

Considerato un corpo magnetizzato a cui è associato un vettore di polarizzazione magnetica $\mathbf {M}$ e un campo magnetico di induzione $\mathbf {B}$ allora il campo magnetico complessivo $\mathbf {H}$ è:
    $\mathbf {H} ={\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}-\mathbf {M}$
Siccome per la legge di Gauss magnetica $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ allora la divergenza del campo magnetico di un corpo magnetizzato è $\nabla \cdot \mathbf {H} =-\nabla \cdot \mathbf {M}$. Se il campo è magnetostatico allora $\mathbf {H} =-\nabla V_{m}$ quindi sostituendo nella relazione precedente si trova che $\nabla ^{2}V_{m}=\nabla \cdot \mathbf {M}$. Definito il vettore posizione $\mathbf {r}$ e il volume del corpo magnetizzato $\tau$ allora tramite la funzione di Green del laplaciano in tre dimensioni è possibile ottenere che:
    $V_{m}=-{\frac {1}{4\pi }}\int _{\tau }{\frac {\mathbf {M} \cdot \mathbf {r} }{\mathrm {r} ^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} ^{3}$