# Geometria differenziale delle curve

In matematica, la geometria differenziale delle curve usa l'analisi matematica per studiare le curve nel piano, nello spazio e più generalmente in uno spazio euclideo.

## Definizioni
### Definizioni di base

Una curva è una funzione continua $f\colon I\to \mathbb {R} ^{m}$, dove $I\subset \mathbb {R}$ è un intervallo dei numeri reali. Se $I=[a,b]$, con $a<b$, $f(a)$ si dice punto iniziale e $f(b)$ punto finale, mentre la variabile in questo intervallo in genere si denota con la lettera $t$ e per la funzione si usa la notazione $f(t)$. Per sostegno di $f$ si intende l'immagine di tale funzione $\operatorname {Im} f$.
Si supponga che $f$ sia una funzione differenziabile sufficientemente regolare, ovvero una funzione che abbia derivate continue di un ordine sufficientemente alto; inoltre si chiede che la sua derivata prima $f'(t)$ sia un vettore mai nullo su tutto l'intervallo $I$.

### Lunghezza e parametrizzazione

Una riparametrizzazione di $f$ è un'altra curva $g$ tale che:
    $g=f\circ p$
dove $p\colon J\to I$ è una biiezione differenziabile con derivata sempre positiva (e quindi crescente) e $J$ è un intervallo dei reali che potrebbe coincidere con $I$. In questo caso le curve $f$ e $g$, benché descritte con parametrizzazioni diverse, sono intese come equivalenti.
La lunghezza di una curva $f$ definita su un intervallo chiuso $I=[a,b]$ è fornita da:
    $L(f)=\int _{a}^{b}\vert f'(t)\vert dt$
La lunghezza di una curva non cambia se essa viene riparametrizzata. Inoltre è possibile definire l'ascissa curvilinea come:
    $L(t)=\int _{a}^{t}\vert f'(t)\vert dt$

#### Esempio

Si consideri che l'intervallo di definizione della curva sia della forma $[0,T]$ e che un corpo puntiforme $P$ percorra la curva mentre la variabile tempo $t$ varia nell'intervallo temporale da 0 a $T$; si ha quindi un modello cinematico della curva. La lunghezza della curva percorsa dal corpuscolo dall'istante 0 all'istante $t$ è:
    $s(t)=\int _{0}^{t}\vert f'(u)\vert du$
La funzione sempre crescente $s(t)$ stabilisce una biiezione tra gli intervalli $[0,T]$ e $[0,L]$ e porta a una riparametrizzazione della curva. Scrivendo:
    $f(t)~=~f_{0}(s(t))$
si ottiene la cosiddetta parametrizzazione secondo la lunghezza d'arco $f_{0}$ della curva. Questa parametrizzazione, in termini cinematici, si legge come il moto di un corpo puntiforme che percorre la curva con velocità costante uguale a $1$:
    $\vert f_{0}'(s(t))\vert =1\qquad (\forall t\in I)$
Questa parametrizzazione della curva è l'unica che presenta la velocità costantemente uguale a $1$. Benché sia spesso difficile da calcolare, essa è utile per dimostrare agevolmente alcuni teoremi.

## Sistema di Frenet

Un sistema di Frenet è un sistema di riferimento mobile di $n$ vettori ortonormali $\mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)\,\!$ dipendenti da $t$, utili per descrivere il comportamento locale della curva in $f(t)$.
Si supponga che le derivate $f'(t),\ldots ,f^{(n)}(t)\,\!$ formino una base, e quindi siano linearmente indipendenti. In questo caso, il sistema di Frenet è definito a partire da questa base tramite il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.
Le curvature generalizzate sono definite come:
    $\chi _{i}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{|f'(t)|}}.$
Il sistema di Frenet e le curvature generalizzate non dipendono dalla parametrizzazione scelta.

### 2 dimensioni

Nel piano, il primo vettore di Frenet $\mathbf {e} _{1}(t)$ è il versore tangente ${\hat {\mathbf {T} }}$ alla curva al valore $t$ del parametro, mentre il vettore $\mathbf {e} _{2}(t)$, detto versore normale ${\hat {\mathbf {N} }}$ è il vettore normale a $\mathbf {e} _{1}(t)$ e punta verso il centro della circonferenza (ha la stessa direzione del raggio).
Il cerchio osculatore è il cerchio tangente a $\mathbf {e} _{1}(t)$ e di raggio $r$. Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al valore $t$ del parametro "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda di $f$ nel punto. La curvatura:
    $k(t)=\chi _{1}(t)$
indica lo spostamento della curva dalla linea retta tangente. Il reciproco, corrispondente al raggio del cerchio osculatore in $t$, è chiamato raggio di curvatura:
    $r(t)={\frac {1}{k(t)}}$
Ad esempio, una circonferenza di raggio $r$ ha curvatura costante $k=1/r$, mentre una linea retta ha curvatura nulla.

### 3 dimensioni

Nello spazio tridimensionale, i vettori di Frenet prendono il nome di terna intrinseca, mentre le curvature generalizzate sono dette curvatura e torsione.

#### Versore tangente

Il versore tangente ${\hat {\mathbf {T} }}$ è il primo vettore di Frenet $\mathbf {e} _{1}$, che è definito come:
    ${\hat {\mathbf {T} }}=\mathbf {e} _{1}(t)={\frac {f'(t)}{|f'(t)|}}$
Pertanto sarà possibile riscrivere la derivata in funzione della lunghezza d'arco:
    $f'(t)=(L)'{\hat {\mathbf {T} }}$
Se $f$ è parametrizzato secondo la lunghezza d'arco, questa assume valore unitario, perciò la relazione si riduce semplicemente a
    ${\hat {\mathbf {T} }}=f'(t)$
Dalle relazioni precedenti si ricava un'ulteriore relazione tra il rapporto tra la lunghezza d'arco e il versore tangente, infatti:
    ${\frac {\mathrm {d} f'}{\mathrm {d} L}}={\hat {\mathbf {T} }}$

#### Versore normale

Il versore normale ${\hat {\mathbf {N} }}$ è il secondo vettore di Frenet che misura quanto la curva differisce da una linea retta; è definito come:
    ${\hat {\mathbf {N} }}=\mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} }}_{2}(t)}{|{\overline {\mathbf {e} }}_{2}(t)|}},\quad {\overline {\mathbf {e} }}_{2}(t)=f''(t)-\langle f''(t),\mathbf {e} _{1}(t)\rangle \ \mathbf {e} _{1}(t)$
Esiste una relazione che lega il versore normale alla lunghezza d'arco:
    ${\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {T} }}}{\mathrm {d} L}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}f'}{\mathrm {d} L^{2}}}=k(t){\hat {\mathbf {N} }}$
I versori tangente e normale generano un piano, chiamato piano osculatore della curva al punto $t$.

#### Versore binormale

Il versore binormale ${\hat {\mathbf {B} }}$ è il terzo vettore di Frenet $\mathbf {e} _{3}(t)$, che è ortogonale al piano osculatore, definito con il prodotto vettoriale semplicemente come:
    ${\hat {\mathbf {B} }}=\mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t)$

#### Curvatura e torsione

La prima curvatura generalizzata $\chi _{1}(t)$ è chiamata semplicemente curvatura di $f$ in $t$, ed è data da
    $k(t)=\chi _{1}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t)\rangle }{|f^{'}(t)|}}$
La seconda curvatura generalizzata $\chi _{2}(t)$ è chiamata torsione e misura quanto la curva esce dal piano osculatore.
    $\tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t)\rangle }{|f'(t)|}}$
Il reciproco della curvatura nel punto $t$ è il raggio di curvatura $\rho (t)=\left[k(t)\right]^{-1}$; inoltre una curva ha torsione nulla se e solo se è una curva piana.

## Formule di Frenet-Serret

Le formule di Frenet-Serret sono delle equazioni differenziali ordinarie del I ordine, la cui soluzione è il sistema di Frenet che descrive la curva. I coefficienti dell'equazione differenziale sono dati dalle curvature generalizzate $\chi _{i}$.

### 2 dimensioni

    ${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&k(t)\\-k(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\end{bmatrix}}$

### 3 dimensioni

    ${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\mathbf {e} _{3}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&k(t)&0\\-k(t)&0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\mathbf {e} _{3}(t)\\\end{bmatrix}}$

### n dimensioni (formula generale)

    ${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\\\vdots \\\\\mathbf {e} _{n}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&\dots &0\\-\chi _{1}(t)&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &0&\chi _{n-1}(t)\\0&\dots &-\chi _{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\\\vdots \\\\\mathbf {e} _{n}(t)\\\end{bmatrix}}$

## Proprietà delle curvature

Le curvature determinano la curva. Formalmente, date $n$ funzioni:
    $\chi _{i}\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n},\ i=1,\ldots ,n$
sufficientemente differenziabili, con:
    $\chi _{i}(t)>0{\mbox{, }}1\leq i\leq n-1$
esiste un'unica curva $f$ avente quelle curvature, a meno di traslazioni e altre isometrie dello spazio euclideo.

## Descrizione attraverso aree e angoli

In geometria differenziale delle curve, la velocità angolare e la velocità areolare sono la velocità con cui il raggio vettore di un punto che si muove lungo una curva spazza, rispettivamente, un angolo e una superficie. I due vettori risultano paralleli e hanno lo stesso verso del vettore binormale.