# Mapping class group

In matematica, e più precisamente in topologia, il mapping class group (letteralmente, gruppo delle classi di mappe) è un importante invariante algebrico di uno spazio topologico. Detto brevemente, è un gruppo discreto di "simmetrie" dello spazio.

## Definizione

Il termine "mapping class group" ha un utilizzo flessibile; nella maggior parte dei casi è usato riferendosi a una varietà M. Il mapping class group di M viene interpretato come il gruppo delle classi di isotopia degli automorfismi di M. Cioè, se M è una varietà topologica, il mapping class group di M è il gruppo delle classi di isotopia degli omeomorfismi da M in sé; se M è una varietà differenziabile, il mapping class group è il gruppo delle classi di isotopia dei diffeomorfismi da M in sé.
Ogni volta che $\mathrm {Aut} (X)$ (il gruppo degli automorfismi di uno spazio X) possiede una topologia naturale (nel caso di X spazio topologico, generalmente si tratta della topologia compatto-aperto), il mapping class group di uno spazio X è definito come il gruppo quoziente $\mathrm {Aut} (X)/\mathrm {Aut} _{0}(X)$, dove $\mathrm {Aut} _{0}(X)$ è la componente connessa di $id_{X}$, e assume quindi la topologia quoziente.
Nella letteratura riguardante la topologia in dimensione bassa, il mapping class group di X viene denotato di solito con $MCG(X)$. Altre volte viene denotato $\pi _{0}Aut(X)$, sostituendo ad $Aut$ la nozione appropriata di automorfismo per la categoria di cui X è un oggetto. $\pi _{0}$ in questo contesto denota lo 0-esimo gruppo di omotopia di uno spazio.
Si ha quindi la seguente successione esatta corta:
    $1\rightarrow {\rm {Aut}}_{0}(X)\rightarrow {\rm {Aut}}(X)\rightarrow {\rm {MCG}}(X)\rightarrow 1.$
la quale, frequentemente, non spezza.
Se si sta lavorando nella
categoria di omotopia, il mapping class group di X è il gruppo delle classi di omotopia di equivalenze di omotopia di X.

### Varianti

Vi sono molti sottogruppi dei mapping class group che sono frequentemente studiati. Se M è una varietà orientata, $Aut(M)$ può essere considerato come il gruppo degli omeomorfismi o diffeomorfismi di M che ne preservano l'orientazione: è questa la definizione standard del mapping class group di una varietà orientata, chiamato anche gruppo modulare ($\mathrm {Mod} (M)$), visto come generalizzazione del gruppo modulare classico. Il mapping class group definito a partire da omeomorfismi o diffeomorfismi che non preservano necessariamente l'orientazione è detto talvolta mapping class group generalizzato (e viene denotato ${\rm {MCG}}^{\pm }(M)$ o ${\rm {Mod}}^{\pm }(M)$). Chiaramente ${\rm {Mod}}(M)$ è un sottogruppo di ${\rm {MCG}}^{\pm }(M)$, di indice 2 se M ammette almeno un automorfismo che ne inverte l'orientazione.
Analogamente, il sottogruppo del mapping class group che agisce banalmente sull'omologia di M è detto gruppo di Torelli di M; può essere considerato come il mapping class group definito a partire dagli automorfismi di una varietà marcata non con un'orientazione ma tramite l'omologia.

## Esempi
### Sfera

In qualunque categoria (differenziabile, lineare a tratti, topologica, di omotopia) vale
    ${\rm {MCG}}^{\pm }(S^{2})\simeq {\mathbb {Z} }/2{\mathbb {Z} },$
corrispondente alle applicazioni di grado $\pm 1$.

### Toro

Nella categoria dell'omotopia,
    ${\rm {MCG}}(T^{n})\simeq {\rm {GL}}(n,{\mathbb {Z} }).$
Ciò è dovuto al fatto che $T^{n}=(S^{1})^{n}$ è uno spazio di Eilenberg-MacLane.
Per $n\geq 5$, ci sono successioni esatte che spezzano:
* nella categoria degli spazi topologici,
    $0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\to MCG(T^{n})\to GL(n,\mathbb {Z} )\to 0$
* nella categoria lineare a tratti,
    $0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\to MCG(T^{n})\to GL(n,\mathbb {Z} )\to 0$
* nella categoria differenziabile,
    $0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\oplus \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\Gamma _{i+1}\to MCG(T^{n})\to GL(n,\mathbb {Z} )\to 0$
dove i $\Gamma _{i}$ sono i gruppi abeliani finiti di Kervaire-Milnor delle sfere di omotopia, e $\mathbb {Z} _{2}$ è il gruppo di ordine 2.

### Superfici orientabili

I mapping class group delle superfici sono stati ampiamente studiati. Citiamo qui solo alcuni risultati:
* il teorema di Dehn-Nielsen-Baer afferma che per ogni superficie (topologica o differenziabile) S compatta, chiusa, orientata, di genere almeno 1, l'omomorfismo naturale ${\rm {MCG}}^{\pm }(S)\rightarrow {\rm {Out}}(\pi _{1}(S))$ è un isomorfismo (${\rm {Out}}(\pi _{1}(S))$ è il gruppo degli automorfismi esterni di S).
* se S è una varietà senza bordo, si definisce il mapping class group puro di S come il sottogruppo di ${\rm {Mod}}(S)$ degli automorfismi che fissano ogni puntura di S. il teorema di Dehn afferma che tale sottogruppo è generato da un numero finito di Dehn twists attorno a curve su S che non la sconnettono.
* è noto che ogni gruppo finito è sottogruppo del mapping class group di un'opportuna superficie orientabile e chiusa. Inoltre è possibile realizzare ogni gruppo finito come gruppo delle isometrie di qualche superficie di Riemann compatta.

### Superfici non orientabili

Alcune superfici non orientabili hanno mapping class groups con presentazioni semplici. Per esempio, ogni omeomorfismo del piano proiettivo reale $\mathbb {P} ^{2}\mathbb {R}$ è isotopo all'identità:
    ${\rm {MCG}}(\mathbb {P} ^{2}\mathbb {R} )=1.$
Il mapping class group della bottiglia di Klein $K$ è:
    ${\rm {MCG}}(K)={\mathbb {Z} }/2{\mathbb {Z} }\oplus {\mathbb {Z} }/2{\mathbb {Z} }.$
i quattro elementi sono l'identità, un Dehn twist attorno alla curva che non borda un nastro di Möbius (e che quindi ha due lati), lo y-omeomorfismo di Lickorish, e la composizione di questi ultimi due. Mostrare che il Dehn twist al quadrato è isotopo all'identità è un esercizio interessante.
Inoltre, la superficie chiusa compatta non orientabile di genere 3 ha:
    ${\rm {MCG}}(N_{3})={\rm {GL}}(2,{\mathbb {Z} }).$
Questo perché $N_{3}$ ha un'unica curva con un lato solo (cioè, tale che un suo intorno piccolo è omeomorfo al nastro di Möbius); tagliando la superficie lungo questa, si ottiene un toro con una componente di bordo. Ciò viene discusso in un articolo di Martin Scharlemann.

### 3-varietà

Anche i mapping class group delle 3-varietà sono stati molto studiati, e sono fortemente legati a quelli delle 2-varietà. Per esempio, ogni gruppo finito può essere realizzato come il mapping class group (e anche il gruppo di isometrie) di una 3-varietà iperbolica.

## Mapping class groups di coppie

Data una coppia di spazi $(X,A)$, il mapping class group della coppia è costituito dalle classi di isotopia degli automorfismi della coppia, dove un automorfismo di $(X,A)$ è definito come un automorfismo di X che preserva A: vale a dire, $f:X\to X$ è invertibile e $f(A)=A$.

### Gruppi di simmetria di nodi e link

Se $K\subset S^{3}$ è un nodo o un link, il gruppo di simmetria del nodo (o link) è definito come il mapping class group cella coppia $(S^{3},K)$. È noto che il gruppo di simmetria di un nodo iperbolico è diedrale o ciclico, e che ogni gruppo diedrale o ciclico può essere realizzato come gruppo di simmetria di nodi. Il gruppo di simmetria di un nodo torico è $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

## Gruppo di Torelli

Il mapping class group induce un'azione sull'omologia (e sulla coomologia) di uno spazio X: infatti la (co) omologia è funtoriale e ${\rm {Aut}}_{0}$ agisce banalmente (tutti i suoi elementi sono isotopi all'identità, e l'azione sulla (co) omologia è invariante per omotopia).
Il nucleo di quest'azione è il "gruppo di Torelli", indicato con ${\rm {Tor}}(X)$
Nel caso di una superficie orientabile $\Sigma$ di genere g, l'azione di cui sopra è di fatto l'azione sul primo gruppo di omologia $H^{1}(\Sigma )\cong \mathbb {Z} ^{2g}$, in quanto le applicazioni che preservano l'orientazione sono esattamente quelle che agiscono banalmente sul gruppo di coomologia più elevato $H^{2}(\Sigma )\cong \mathbb {Z}$. $H^{1}(\Sigma )$ possiede una struttura simplettica, proveniente dal prodotto cup; visto che le applicazioni che stiamo considerando sono automorfismi, e preservano il prodotto cup, il mapping class group agisce tramite automorfismi simplettici; e tutti gli automorfismi simplettici vengono realizzati. Si ha quindi una successione esatta corta:
    $1\to {\mbox{Tor}}(\Sigma )\to {\mbox{MCG}}(\Sigma )\to {\mbox{Sp}}(H^{1}(\Sigma ))\cong {\mbox{Sp}}_{2g}(\mathbb {Z} )\to 1$
che può essere estesa a
    $1\to {\mbox{Tor}}(\Sigma )\to {\mbox{MCG}}^{\pm }(\Sigma )\to {\mbox{Sp}}^{\pm }(H^{1}(\Sigma ))\cong {\mbox{Sp}}_{2g}^{\pm }(\mathbb {Z} )\to 1$
Il gruppo simplettico ha una struttura in gran parte conosciuta, dunque il problema di capire la struttura algebrica del mapping class group spesso si riconduce a problemi sul gruppo di Torelli.
Si noti che per il toro ($g=1$), l'applicazione verso il gruppo simplettico è un isomorfismo, e il gruppo di Torelli è nullo.

## Mapping class group stabile

La superficie orientabile $\Sigma _{g,1}$ di genere g e a bordo connesso può essere inclusa con un embedding in $\Sigma _{g+1,1}$ attaccando un ulteriore buco alla fine (vale a dire, incollando fra loro $\Sigma _{1,1}$ e $\Sigma _{g,2}$); dunque gli automorfismi della superficie più piccola che lasciano invariati i punti del bordo si estendono alla superficie più grande. Il limite diretto dei gruppi ${\rm {MCG}}(\Sigma _{g,1})$ al variare di g è detto mapping class group stabile. L'anello di coomologia di tale gruppo è stato congetturato da David Mumford. L'anello di coomologia su $\mathbb {Z}$ è stato calcolato nel 2002 da Ib Madsen e Michael Weiss, provando la congettura di Mumford.