# Teorema di Banach-Alaoglu

In matematica, teorema di Banach-Alaoglu o teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki è un risultato noto nell'ambito dell'analisi funzionale che afferma che, dato uno spazio di Banach separabile, ogni successione limitata nel suo duale ammette una sottosuccessione debolmente* convergente. Se si denota con $X$ lo spazio di Banach in questione, il teorema caratterizza la convergenza debole sul duale $X^{*}$, non testata su tutti gli elementi del biduale $X^{**}$ ma solo su quelli di $\tau (X)$, dove $\tau$ è la mappa canonica.
Prende il nome da Stefan Banach, Leonidas Alaoglu e Nicolas Bourbaki.
Il teorema di Bourbaki-Alaoglu generalizza il teorema al caso di topologie duali.

## Il teorema

Sia $X$ uno spazio normato; il suo spazio duale $X^{*}$ è un altro esempio di spazio normato (con la norma operatoriale). Il teorema di Banach-Alaoglu stabilisce che la palla unitaria chiusa in $X^{*}$ è compatta rispetto alla topologia debole*.
Si tratta di una motivazione per avere diverse topologie su uno stesso spazio: la sfera unitaria nella topologia della norma è compatta se e solo se lo spazio è finito-dimensionale (si veda il lemma di Riesz).
Un caso speciale è la versione del teorema che utilizza la compattezza per successioni: la sfera unitaria chiusa di uno spazio normato separabile è sequenzialmente compatta nella topologia debole*. Infatti, la topologia debole* sulla sfera unitaria chiusa del duale di uno spazio separabile è metrizzabile, e quindi compattezza e compattezza sequenziale sono equivalenti. Nello specifico, sia $X$ uno spazio normato separabile e $B$ la sfera unitaria chiusa in $X^{*}$. Dato che $X$ è separabile, sia $\{x_{n}\}$ un suo sottoinsieme numerabile denso. Allora si può definire una metrica:
    $\rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}},\qquad x,y\in B,$
dove $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ indica l'accoppiamento duale tra $X$ e $X^{*}$. Con un argomento diagonale simile a quello utilizzato per provare il teorema di Ascoli-Arzelà si mostra che $B$ con tale metrica è sequenzialmente compatto.
La versione "per successioni" del teorema è utilizzata nell'ambito delle PDE per costruire soluzioni di problemi variazionali: ad esempio, un metodo spesso utilizzato per minimizzare un funzionale $F:X^{*}\to {\mathbb {R} }$ definito sul duale di uno spazio vettoriale normato separabile $X$ è quello di costruire una successione $x_{1},x_{2},\ldots \in X^{*}$ che si avvicina all'estremo inferiore dei valori assunti da $F$, e utilizzare il teorema per estrarre una sottosuccessione convergente nella topologia debole* al limite $x$, che si assume un "minimizzatore".
Se $X^{*}$ è lo spazio delle misure di Radon sulla retta reale (in modo che $X=C_{0}({\mathbb {R} })$ è lo spazio delle funzioni continue che si annullano all'infinito per il teorema di rappresentazione di Riesz) il teorema nella versione per successioni è equivalente al teorema di Helly.

## Dimostrazione

Per ogni $x\in X$, siano:
    $D_{x}=\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|\leq \|x\|\},\qquad D=\Pi _{x\in X}D_{x}.$
Dato che ogni $D_{x}$ è un sottoinsieme compatto del piano complesso, $D$ è compatto anche nella topologia prodotto per il teorema di Tychonoff. Si può identificare in modo naturale la sfera unitaria chiusa $B_{1}(X^{*})$ in $X^{*}$ come un sottoinsieme di $D$:
    $f\in B_{1}\left(X^{*}\right)\mapsto (f(x))_{x\in X}\in D.$
Si tratta di una mappa iniettiva e continua, di cui anche l'inversa (definita sull'immagine) è continua, con $B_{1}(X^{*})$ che possiede la topologia debole* e $D$ la topologia prodotto. Se si ha una rete:
    $(f_{\alpha }(x))_{x\in X}\rightarrow (\lambda _{x})_{x\in X}$
in $D$, allora il funzionale definito da
    $g(x)=\lambda _{x}$
è in $B_{1}(X^{*})$. Essendo l'immagine di $B_{1}(X^{\star })$ chiusa, il teorema è dimostrato.

## Conseguenze

In uno spazio di dimensione finita, grazie al teorema di Bolzano-Weierstrass, da una successione limitata è sempre possibile estrarre una sottosuccessione convergente. Questa proprietà delle successioni limitate risulta utile per dimostrare alcuni teoremi fondamentali nell'analisi matematica. Purtroppo tale teorema non è più vero se lo spazio ha dimensione infinita. Ad esempio la successione dei versori nello spazio $L^{\infty }$ è limitata ma non ammette sottosuccessioni convergenti. Grazie al teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki la successione ammette per lo meno una sottosuccessione debolmente* convergente.

## Generalizzazione

Il teorema di Bourbaki-Alaoglu è una generalizzazione che si deve a Nicolas Bourbaki per topologie duali. Dato uno spazio localmente convesso separabile $X$ avente duale continuo $X'$, l'insieme polare $U^{0}$ di ogni intorno $U$ in $X$ è compatto nella topologia debole $\sigma (X',X)$ su $X'$.