# Matrice hessiana

In analisi matematica, la matrice hessiana di una funzione di $n$ variabili a valori in un campo di scalari, anche detta matrice di Hesse o semplicemente hessiana (o ultragradiente), è la matrice quadrata $n\times n$ delle derivate parziali seconde della funzione. Il nome è dovuto a Ludwig Otto Hesse.

## Definizione

Data una funzione reale di $n$ variabili reali $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, se tutte le sue derivate parziali seconde esistono allora si definisce matrice hessiana della funzione $f$ la matrice $\operatorname {H} f(\mathbf {x} )$ data da:
    $\displaystyle \operatorname {H} _{f}={\begin{bmatrix}\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\\\\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}},\qquad (\operatorname {H} f)_{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}},$
cui si associa l'operatore:
    $\operatorname {H} _{ij}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}.$
L'hessiana di fatto rappresenta la jacobiana del gradiente, sinteticamente:
    $\operatorname {H} =\operatorname {J} \cdot \nabla .$

## Derivate miste e simmetria dell'hessiana

Gli elementi fuori dalla diagonale principale nell'hessiana sono le derivate miste della funzione $f$. Con opportune ipotesi, vale il teorema seguente:
    ${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right).$
Questa uguaglianza si scrive anche come:
    $\partial _{xy}f=\partial _{yx}f.$
In termini formali: se tutte le derivate seconde di $f$ sono continue in una regione $\Omega$, allora l'hessiana di $f$ è una matrice simmetrica in ogni punto di $\Omega$. La veridicità di questa affermazione è nota come teorema di Schwarz.

## Punti critici e discriminante

Se il gradiente della funzione $f$ è nullo in un punto $\mathbf {x}$ appartenente al dominio della funzione, allora $f$ in $\mathbf {x}$ ha un punto critico. Il determinante dell'hessiana (detto semplicemente hessiano) in $\mathbf {x}$ è anche detto discriminante in $\mathbf {x}$. Se questo determinante è zero allora $\mathbf {x}$ è chiamato punto critico degenere della $f$. Negli altri punti viene chiamato non degenere.

## Test per la derivata seconda

Il seguente criterio può essere applicato in un punto critico $\mathbf {x}$ non degenere:
* se l'hessiana è una matrice definita positiva in $\mathbf {x}$, allora $f$ ha un minimo locale in $\mathbf {x}$;
* se l'hessiana è una matrice definita negativa in $\mathbf {x}$, allora $f$ ha un massimo locale in $\mathbf {x}$;
* se l'hessiana ha almeno due autovalori di segno opposto allora $\mathbf {x}$ è un punto di sella per $f$.
Altrimenti il test è inconclusivo. Si noti che per hessiane semidefinite positive e semidefinite negative il test è inconclusivo. Quindi, possiamo vedere di più dal punto di vista della teoria di Morse.
Tenuto conto di quanto è stato appena detto, il test per le derivate seconde per funzioni di una e due variabili sono semplici.
In una variabile, l'hessiana contiene appena una derivata seconda:
* se questa è positiva allora $x$ è un minimo locale, se questa è negativa allora $x$ è un massimo locale;
* se questa è zero allora il test è inconclusivo.
In due variabili, può essere usato il determinante, perché è il prodotto degli autovalori:
* se questo è positivo allora gli autovalori sono entrambi positivi, o entrambi negativi;
* se questo è negativo allora i due autovalori hanno differente segno;
* se questo è zero, allora il test della derivata seconda è inconclusivo.

## Funzioni a valori vettoriali

Se $f$ è invece una funzione a valori vettoriali, cioè se
    $f\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},$
allora il vettore delle derivate parziali seconde non è una matrice, ma un tensore di rango 3.