# Semigruppo C0

In matematica, un semigruppo C$_0$ è una generalizzazione della funzione esponenziale. Analogamente alle funzioni esponenziali, che forniscono soluzioni di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti in $\mathbb {R}$, i semigruppi C$_0$ forniscono soluzioni di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti in spazi di Banach generici. Questo tipo di equazioni compare ad esempio nello studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali.

## Definizione

Un semigruppo C$_0$ su uno spazio di Banach $X$ è una mappa $T:\mathbb {R} _{+}\to L(X)$ (l'insieme degli operatori lineari continui da $X$ in $X$) tale che
* $T(0)=I$, (operatore identità su $X$)
* $\forall t,s\geq 0:\ T(t+s)=T(t)T(s)$
* $\forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0$, as $t\downarrow 0$.
Le prime due condizioni sono di natura algebrica e affermano che $T$ è una rappresentazione del semigruppo ${(\mathbb {R} _{+},+)}$; l'ultima è topologica ed è equivalente ad affermare che $T$ è continua nella topologia operatoriale forte.

## Generatore infinitesimale

Il generatore infinitesimale A di un semigruppo C$_0$ T è definito come
    $A\,x=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {1}{t}}\,(T(t)-I)\,x$
dove esiste il limite. Il dominio di A, D(A), è l'insieme delle x∈X per le quali questo limite esiste; D(A) è un sottospazio lineare e A è lineare sul dominio. L'operatore A è chiuso, ma non necessariamente limitato, e il dominio è denso in X.
Il semigruppo C$_0$ T con generatore A è spesso indicato con il simbolo e$^{At}$.

## Semigruppo C$_0$ uniformemente continuo

Un semigruppo C$_0$ uniformemente continuo è un semigruppo C$_0$ T tale che vale
    $\lim _{t\to 0^{+}}\|T(t)-I\|=0$.
In questo caso, il generatore infinitesimale A di T è limitato e abbiamo
    ${\mathcal {D}}(A)=X$
e
    $T(t)=e^{At}:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}t^{k}.$
Al contrario, ogni operatore limitato
    $A\colon X\to X$
è il generatore infinitesimale di un semigruppo C$_0$ uniformemente continuo dato da
    $T(t):=e^{At}$.
Un operatore lineare A è quindi il generatore infinitesimale di un semigruppo C$_0$ uniformemente continuo se e solo se A è un operatore lineare limitato. Se X è uno spazio di Banach finito-dimensionale, allora ogni semigruppo C$_0$ è uniformemente continuo. Per un semigruppo C$_0$ non uniformemente continuo il generatore infinitesimale non è limitato. In questo caso $e^{At}$ potrebbe non convergere.

## Problema di Cauchy astratto

Si consideri il problema di Cauchy astratto
    $u'(t)=Au(t),~~~u(0)=x,$
dove A è un operatore chiuso su uno spazio di Banach X e x∈X. Sono possibili due definizioni di soluzione del problema:
* una funzione differenziabile con continuità u:[0,∞)→X è detta una soluzione classica del problema di Cauchy se u(t) ∈ D(A) per ogni t > 0 e soddisfa la condizione iniziale,
* una funzione continua u:[0,∞) → X è detta una soluzione debole del problema di Cauchy se
    $\int _{0}^{t}u(s)\,ds\in D(A){\text{ e }}A\int _{0}^{t}u(s)\,ds=u(t)-x.$
Ogni soluzione classica è anche soluzione debole. Una soluzione debole è una soluzione classica se e solo se è differenziabile con continuità.
Il seguente teorema collega i semigruppi C$_0$ con i problemi di Cauchy astratti.
Teorema Sia A un operatore chiuso su uno spazio di Banach X. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
* per ogni x∈X esiste un'unica soluzione debole del problema di Cauchy astratto,
* l'operatore A genera un semigruppo C$_0$,
* l'insieme risolvente di A è non vuoto e per ogni x ∈ D(A) esiste un'unica soluzione classica del problema di Cauchy.
Quando valgono le precedenti affermazioni, la soluzione del problema di Cauchy è data da u(t) = T(t)x dove T è il semigruppo C$_0$ generato da A.

## Teoremi di generazione dei semigruppi C$_0$

Analogamente allo studio dei problemi di Cauchy, di solito l'operatore lineare A è dato e la domanda è se questo generi o meno un semigruppo C$_0$. I teoremi che rispondo a questa domanda sono detti teoremi di generazione. Una caratterizzazione completa degli operatori che generano un semigruppo C$_0$ è data dal Teorema di Hille-Yosida. Di maggiore importanza pratica sono le condizioni (molto più facili da verificare) del Teorema di Lumer-Phillips.

## Stabilità
### Stabilità esponenziale

Il growth bound di un semigruppo T è la costante
    $\omega _{0}=\inf _{t>0}{\frac {1}{t}}\log \|T(t)\|.$
È così chiamato in quanto è anche il limite inferiore dell'insieme dei numeri reali ω tali che esiste una costante M (≥ 1) con
    $\|T(t)\|\leq Me^{\omega t}$
per ogni t ≥ 0.
Le seguenti asserzioni sono equivalenti:
* Esistono M,ω>0 tali che per ogni t ≥ 0: $\|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},$
* Il growth bound è negativo: ω$_0$ < 0,
* Il semigruppo converge a 0 nella topologia operatoriale uniforme: $\lim _{t\to \infty }\|T(t)\|=0$,
* Esiste t$_0$ > 0 tale che $\|T(t_{0})\|<1$,
* Esiste t$_1$ > 0 tale che il raggio spettrale di T(t$_1$) è strettamente minore di 1,
* Esiste p ∈ [1, ∞) tale che per ogni x∈X: $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty$,
* Per ogni p ∈ [1, ∞) e ogni x ∈ X: $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .$
Un semigruppo che soddisfa queste condizioni equivalenti è detto esponenzialmente stabile o uniformemente stabile (in letteratura una qualsiasi tra le prime tre condizioni viene presa come definizione). Il fatto che le condizioni L$^p$ sono equivalenti alla stabilità esponenziale è il teorema di Datko-Pazy.
Nel caso in cui X è uno spazio di Hilbert un'altra condizione in termini dell'operatore risolvente del generatore è equivalente alla stabilità esponenziale: ogni λ con parte reale positiva appartiene all'insieme risolvente di A e l'operatore risolvente è uniformemente limitato sul semipiano destro, i.e. (λI − A)$^{−1}$ appartiene allo spazio di Hardy $H^{\infty }(\mathbb {C} _{+};L(X))$ (teorema di Gearhart-Pruss).
Lo spectral bound di un operatore A è la costante
    $s(A):=\sup\{{\rm {Re}}\lambda :\lambda \in \sigma (A)\}$,
con la convenzione che s(A) = −∞ se lo spettro di A è vuoto.
Il growth bound di un semigruppo e lo spectral bound del suo generatore soddisfano la seguente relazione: s(A)≤ω$_0$(T).
Ci sono esempi in cui s(A) < ω$_0$(T). La condizione s(A) = ω$_0$(T) è detta spectral determined growth condition.

### Stabilità asintotica

Un semigruppo C$_0$ T è detto asintoticamente stabile se per ogni x ∈ X: $\lim _{t\to \infty }\|T(t)x\|=0$.
La stabilità esponenziale implica la stabilità asintotica, ma l'inverso non è generalmente vero se X è infinito-dimensionale (è vero per X finito-dimensionale).
Le seguenti condizioni sufficienti per la stabilità esponenziale sono contenute nel teorema di Arendt-Batty-Lyubich-Phong: assumiamo che
* T è limitato: esiste M ≥ 1 tale che $\|T(t)\|\leq M$,
* A non ha spettro residuo sull'asse immaginario, e
* Lo spettro di A contenuto nell'asse immaginario è numerabile.
Allora T è asintoticamente stabile.