# Sillogismo ipotetico

Nella logica classica, il sillogismo ipotetico è una forma logica valida che possiede una istruzione condizionale in una o in entrambe le sue premesse. Esempio:
    Se io non mi sveglio, quindi non posso andare a lavorare.
    Se non posso andare a lavorare, io non vengo pagato.
    Pertanto, se non mi sveglio, allora io non vengo pagato.
Nella logica proposizionale, il sillogismo ipotetico è una valida regola di inferenza (spesso abbreviato HS, e a volte chiamato anche l'argomento della catena, regola della catena, o il principio di transitività della implicazione). Il sillogismo ipotetico è una delle regole in logica classica che non è sempre accettata in certi sistemi di logica non classica. La regola può essere indicata come segue:
    ${\frac {P\to Q,Q\to R}{\therefore P\to R}}$
dove la regola è che ogni volta che le istanze di "$P\to Q$", e "$Q\to R$" sono nella parte superiore della linea, relativa alla dimostrazione, e $P\to R$" viene scritto nella parte inferiore.
Il sillogismo ipotetico è strettamente legato e simile al sillogismo disgiuntivo, che dà anch'esso origine a una regola di inferenza.

## Notazione formale

Il sillogismo ipotetico può essere scritto con la notazione del sequente:
    $(P\to Q),(Q\to R)\vdash (P\to R)$, dove
$\vdash$ è un simbolo metalogico indicante che $P\to R$ è conseguenza sintattica di $P\to Q$ e di $Q\to R$ in qualche sistema formale,
e può anche essere espresso con una tautologia vero-funzionale, che è allo stesso tempo una legge (o teorema) della logica proposizionale:
    $((P\to Q)\land (Q\to R))\to (P\to R)$
dove $P$, $Q$, e $R$ sono proposizioni espresse in un sistema formale scelto a piacere.
Dimostrazione:
| Step | Proposition | Derivation |
| 1 | $P\to Q$ | Dato |
| 2 | $Q\to R$ | Dato |
| 3 | $P$ | Assunzione della prova condizionale |
| 4 | $Q$ | Modus ponens (1,3) |
| 5 | $R$ | Modus ponens (2,4) |
| 6 | $P\to R$ | Prova condizionale (3-5) |

## Applicabilità

La regola del sillogismo ipotetico vale nella logica classica, nella logica intuizionistica, nella maggior parte dei sistemi di logica di rilevanza e in molti altri sistemi di logica. Tuttavia, non vale in tutte le logiche, incluse, ad esempio, la logica non monotona, la logica probabilistica e la logica di default. La ragione di ciò è che queste logiche descrivono ragionamenti risolvibili e i condizionali che appaiono nei contesti del mondo reale in genere consentono eccezioni, ipotesi di default, condizioni ceteris paribus o semplicemente pura incertezza.
Un esempio, derivato da Ernest W. Adams:
* Se Jones vince le elezioni, Smith si ritirerà dopo le elezioni.
* Se Smith muore prima delle elezioni, Jones vincerà le elezioni.
* Se Smith muore prima delle elezioni, Smith si ritirerà dopo le elezioni.
Chiaramente, la (3) non segue dalla (1) e dalla (2). La (1) è vera per impostazione predefinita, ma non regge nelle circostanze eccezionali in cui Smith muore. In pratica, i condizionali del mondo reale tendono sempre a coinvolgere presupposti o contesti predefiniti e potrebbe essere impossibile o addirittura impossibile specificare tutte le circostanze eccezionali in cui potrebbero non essere vere. Per ragioni simili, la regola del sillogismo ipotetico non vale per i condizionali controfattuali.

## Forme alternative

Una forma alternativa di sillogismo ipotetico, più utile nei sistemi di calcolo proposizionale classico, con l'implicazione e la negazione (senza il simbolo di congiunzione), è la seguente:
    (HS1) $(Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R))$
Un'altra forma ancora è:
    (HS2) $(P\to Q)\to ((Q\to R)\to (P\to R))$

### Dimostrazione

Un esempio di dimostrazione di questi teoremi in tali sistemi è fornito di seguito. Si utilizzano due dei tre assiomi del calcolo proposozionale descritti da Jan Łukasiewicz:
    (A1) $\phi \to \left(\psi \to \phi \right)$
    (A2) $\left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)$
La dimostrazione è la seguente:
    (1) $((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))))$   (istanziazione di (A1))
    (2) $(p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))$   (istanziazione di (A2))
    (3) $(q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))$   (dalla (1) e dalla (2) mediante modus ponens)
    (4) $((q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))))\to (((q\to r)\to (p\to (q\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))))$   (istanza di (A2))
    (5) $((q\to r)\to (p\to (q\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r)))$   (dalla (3) e dalla (4) mediante modus ponens)
    (6) $(q\to r)\to (p\to (q\to r))$   (istanza di (A1))
    (7) $(q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))$ (dalla (5) e dalla (6) mediante modus ponens)

### Come un metateorema

In presenza di due teoremi della forma $T_{1}=(Q\to R)$ e $T_{2}=(P\to Q)$, si può dimostrare che $(P\to R)$ mediante i seguenti passaggi:
    (1) $(Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R)))$   (istanziazione del teorema dimostrato in precedenza)
    (2) $Q\to R$   (istanziazione di (T1))
    (3) $(P\to Q)\to (P\to R)$   (dalla (1) e dalla (2) mediante modus ponens)
    (4) $P\to Q$   (istanziazione di (T2))
    (5) $P\to R$   (dalla (3) e dalla (4) mediante modus ponens)