# Teorema dei numeri primi

In teoria dei numeri, il teorema dei numeri primi descrive la distribuzione asintotica dei numeri primi, dando una descrizione approssimativa di come i numeri primi sono distribuiti.

## Enunciato

Per ogni numero reale positivo $x,$ si definisca la funzione:
    $\pi (x):={\text{ numero di primi minori o uguali a }}x.$
Il teorema dei numeri primi afferma che:
    $\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}},$
dove $\ln(x)$ è il logaritmo naturale di $x.$ Questa notazione vuole significare solo che il limite del quoziente delle due funzioni $\pi (x)$ e $x/\ln(x)$ per $x$ che tende ad infinito è 1 (vedi stima asintotica); ciò non significa che il limite della differenza delle due funzioni, per $x$ che tende ad infinito, è 0.
Un'approssimazione ancora migliore, e una stima per il termine di errore, sono date dalla formula:
    $\pi (x)=\mathrm {Li} (x)+O\left(xe^{-{\frac {1}{15}}{\sqrt {\ln x}}}\right),\quad {\text{per }}x\to \infty$
dove si è usata la notazione O grande, e $\mathrm {Li} (x)$ denota la funzione logaritmo integrale.
Come conseguenza del teorema dei numeri primi si può ottenere un'espressione asintotica per l'$n$-esimo numero primo $p(n)$:
    $p(n)\sim n\ln n.$
Equivalentemente, la differenza tra l'$n$-esimo numero primo e il successivo è asintotica a:
    $p(n+1)-p(n)\sim \ln n.$
Quella che segue è una tabella che mette a confronto le tre funzioni $\pi (x),$ $x/\ln x$ e $\mathrm {Li} (x).$
    x π(x) π(x) − x / ln x π(x) / (x / ln x) Li(x) − π(x) π(x) / Li(x) x / π(x) 10 4 −0,3 0,921 2,2 0,64516129 2,500 10$^2$ 25 3,3 1,151 5,1 0,830564784 4,000 10$^3$ 168 23 1,161 10 0,943820225 5,952 10$^4$ 1 229 143 1,132 17 0,98635634 8,137 10$^5$ 9 592 906 1,104 38 0,996053998 10,425 10$^6$ 78 498 6 116 1,084 130 0,998346645 12,740 10$^7$ 664 579 44 158 1,071 339 0,999490163 15,047 10$^8$ 5 761 455 332 774 1,061 754 0,999869147 17,357 10$^9$ 50 847 534 2 592 592 1,054 1.701 0,999966548 19,667 10$^{10}$ 455 052 511 20 758 029 1,048 3 104 0,999993179 21,975 10$^{11}$ 4 118 054 813 169 923 159 1,043 11 588 0,999993179 24,283 10$^{12}$ 37 607 912 018 1 416 705 193 1,039 38 263 0,999997186 26,590 10$^{13}$ 346 065 536 839 11 992 858 452 1,034 108 971 0,999998983 28,896 10$^{14}$ 3 204 941 750 802 102 838 308 636 1,033 314 890 0,999999685 31,202 10$^{15}$ 29 844 570 422 669 891 604 962 452 1,031 1 052 619 0,999999902 33,507 10$^{16}$ 279 238 341 033 925 7 804 289 844 393 1,029 3 214 632 0,999999965 35,812 10$^{17}$ 2 623 557 157 654 233 68 883 734 693 281 1,027 7 956 589 0,999999988 38,116 10$^{18}$ 24 739 954 287 740 860 612 483 070 893 536 1,025 21 949 555 0,999999997 40,420 10$^{19}$ 234 057 667 276 344 600 5 481 624 169 369 960 1,024 99 877 775 0,999999999 42,725 10$^{20}$ 2 220 819 602 560 918 800 49 347 193 044 659 704 1,023 222 744 644 1,000000000 45,028 10$^{21}$ 21 127 269 486 018 730 000 446 579 871 578 168 700 1,022 597 394 254 1,000000000 47,332 10$^{22}$ 201 467 286 689 315 900 000 4 060 704 006 019 621 000 1,021 1 932 355 208 1,000000000 49,636 10$^{23}$ 1 925 320 391 606 818 000 000 37 083 513 766 592 670 000 1,020 7 236 148 412 1,000000000 51,939

## Storia del teorema

Questo teorema fu congetturato per la prima volta da Legendre nel 1798 e fu riproposto pochi anni più tardi da Gauss nella forma equivalente
    $\pi (x)\approx \mathrm {Li} (x).$
Il primo risultato nella direzione della dimostrazione di tale congettura fu provato da Chebyshev che nel 1848 mostrò che, se $\pi (x)\ln(x)/x$ converge ad un limite per $x$ tendente all'infinito, il limite dev'essere 1. Due anni più tardi lo stesso Chebyshev provò che vi sono due costanti $0<a<1<b$ tali che
    $a{\frac {x}{\ln x}}<\pi (x)<b{\frac {x}{\ln x}}$
per $x$ sufficientemente grande. Le dimostrazioni del matematico russo si basano sulla formula prodotto di Eulero che afferma che
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-x}}},$
per $x>1.$ Nel 1859 il matematico tedesco Bernhard Riemann pubblicò un articolo in cui considerava tale prodotto non più per una variabile reale $x,$ ma per una variabile complessa $s$ di parte reale maggiore di 1, definendo quindi la funzione
    $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}},$
divenuta nota con il nome di funzione zeta di Riemann. Sebbene Riemann non riesca a provare il teorema dei numeri primi, i risultati che ottiene, quale l'equazione funzionale per la funzione zeta di Riemann, e il punto di vista nuovo che introduce saranno fondamentali per la successiva dimostrazione. Circa quarant'anni dopo il lavoro di Riemann, nel 1896, Hadamard e de la Vallée Poussin riescono, indipendentemente, a provare il teorema dei numeri primi. Entrambe le dimostrazioni utilizzano metodi di analisi complessa e si basano principalmente sulla dimostrazione che la funzione zeta di Riemann non ha zeri nella retta Re(s)=1.
Il legame tra il teorema dei numeri primi e la funzione zeta di Riemann è molto profondo. Più precisamente, ogni risultato sull'assenza di zeri nella striscia $1/2<\mathrm {Re} (s)<1,$ ha come conseguenza risultati sulla bontà dell'approssimazione di $\pi (x)$ con $\mathrm {Li} (x)$. Un esempio di ciò è dato dal risultato che Helge von Koch dimostrò nel 1901. Egli provò infatti che se non vi sono zeri in tale striscia, allora
    $\pi (x)=\mathrm {Li} (x)+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right).$
In altre parole, la veridicità dell'ipotesi di Riemann implica una stima molto migliore dell'errore presente nel teorema dei numeri primi rispetto a quelle attualmente disponibili e, fondamentalmente, anche la migliore stima possibile.

## Il problema della "profondità"

Sono disponibili delle cosiddette "dimostrazioni elementari" del Teorema, dimostrazioni che non usano cioè metodi di analisi complessa. La prima fra queste è stata fornita in parte indipendentemente da Paul Erdős e Atle Selberg nel 1949; precedentemente, alcuni esperti nel campo avevano creduto che una dimostrazione simile non potesse essere trovata. In altre parole, è stato dichiarato, specialmente da G. H. Hardy, che l'analisi complessa era necessariamente coinvolta nel Teorema, portando al concetto di profondità dei teoremi. Metodi con sole variabili reali erano considerati essere inadeguati. Questo non era un concetto logico e rigoroso (e effettivamente non può esserlo), ma era piuttosto basato sull'opinione che dovesse esistere una simile gerarchia di tecniche (per ragioni di estetica, presumibilmente, nel caso di Hardy). La formulazione di questa convinzione è stata piuttosto scossa da una dimostrazione del Teorema basata sul teorema tauberiano di Wiener, benché questo possa essere aggirato assegnando al teorema di Wiener una 'profondità' stessa equivalente ai metodi complessi.
Il lavoro di Selberg - Erdős ha effettivamente messo in gioco l'intero concetto, mostrando che i metodi "tecnicamente elementari" (in altre parole la combinatoria) sono stati più incisivi di quanto ci si sarebbe atteso. I successivi sviluppi dei metodi del crivello hanno mostrato che essi svolgono un ruolo ben definito nella teoria dei numeri primi.