# Indice di correlazione di Pearson

In statistica, l'indice di correlazione di Pearson (anche detto coefficiente di correlazione lineare, coefficiente di correlazione di Pearson o coefficiente di correlazione di Bravais-Pearson) tra due variabili statistiche è un indice che esprime un'eventuale relazione di linearità tra esse.
Secondo la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ha un valore compreso tra $+1$ e $-1,$ dove $+1$ corrisponde alla perfetta correlazione lineare positiva, $0$ corrisponde a un'assenza di correlazione lineare e $-1$ corrisponde alla perfetta correlazione lineare negativa. Fu sviluppato da Karl Pearson da un'idea introdotta da Francis Galton nel 1880; la formula matematica fu derivata e pubblicata da Auguste Bravais nel 1844. La denominazione del coefficiente è anche un esempio della legge di Stigler.

## Definizione

Date due variabili statistiche $X$ e $Y$, l'indice di correlazione di Pearson è definito come la loro covarianza divisa per il prodotto delle deviazioni standard delle due variabili:
    $\rho _{XY}={\frac {\sigma _{XY}}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}.$
dove $\sigma _{XY}$ è la covarianza tra $X$ e $Y$ e $\sigma _{X},\sigma _{Y}$ sono le due deviazioni standard.
Il coefficiente assume sempre valori compresi tra $-1$ e $1:$
    $-1\leq \rho _{XY}\leq 1.$

## Correlazione e indipendenza

Nella pratica si distinguono vari "tipi" di correlazione.
* Se $\rho _{XY}>0$, le variabili $X$ e $Y$ si dicono direttamente correlate, oppure correlate positivamente;
* se $\rho _{XY}=0$, le variabili $X$ e $Y$ si dicono incorrelate;
* se $\rho _{XY}<0$, le variabili $X$ e $Y$ si dicono inversamente correlate, oppure correlate negativamente.
Inoltre per la correlazione diretta (e analogamente per quella inversa) si distingue:
* se $0<\left|\rho _{XY}\right|<0,3$ si ha correlazione debole;
* se $0,3<\left|\rho _{XY}\right|<0,7$ si ha correlazione moderata;
* se $\left|\rho _{XY}\right|>0,7$ si ha correlazione forte.
Se le due variabili sono indipendenti allora l'indice di correlazione vale 0. Non vale la conclusione opposta: in altri termini, l'incorrelazione è condizione necessaria ma non sufficiente per l'indipendenza. Per esempio data la distribuzione
| X: | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Y: | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
abbiamo che $X$ e $Y$ non sono indipendenti in quanto legate dalla relazione $Y=X^{2}$, ma $\rho _{XY}=0$.
L'ipotesi di assenza di autocorrelazione è più restrittiva ed implica quella di indipendenza fra due variabili.
L'indice di correlazione vale $+1$ in presenza di correlazione lineare positiva perfetta (cioè $Y=a+bX$, con $b>0$), mentre vale $-1$ in presenza di correlazione lineare negativa perfetta (cioè $Y=a+bX$, con $b<0$).
Valori prossimi a $+1$ (o $-1$) possono essere misurati anche in presenza di relazioni non lineari. Per esempio, la seguente relazione quadratica: $Y=X^{2}$
| X: | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Y: | 1 | 4 | 9 | 16 |
produce un coefficiente $\rho _{XY}=0,9844$.

## Generalizzazione a più di due variabili

Gli indici di correlazione di $n$ variabili possono essere presentati in una matrice di correlazione, che è una matrice quadrata di dimensione $n\times n$ avente sia sulle righe che sulle colonne le variabili oggetto di studio. La matrice è simmetrica, cioè $(\rho _{ji}=\rho _{ij})$, e i coefficienti sulla diagonale valgono $1,$ in quanto
    $\rho _{ii}={\frac {\sigma _{ii}}{\sigma _{i}^{2}}}.$

## Proprietà matematiche

Un valore dell'indice di correlazione uguale a $+1$ o $-1$ corrisponde a punti che si trovano esattamente su una linea retta. Il coefficiente di correlazione di Pearson è simmetrico: $\rho _{XY}=\rho _{YX}.$
Una proprietà matematica caratteristica del coefficiente di correlazione di Pearson è che non varia rispetto ai cambiamenti singoli della posizione e della scala delle due variabili. Cioè, possiamo trasformare $X$ in $a+bX$ e trasformare $Y$ in $c+dY,$ dove $a,b,c$ e $d$ sono costanti reali con $b,d>0,$ senza modificare il coefficiente di correlazione.

## Esempio in R

Utilizzando il linguaggio di programmazione R si vuole calcolare l'indice di correlazione di Pearson tra la variabile Fertility rate, total (births per woman) e la variabile GDP per capita (current US$) nel 2020 , fornite dalla Banca Mondiale qui : https://databank.worldbank.org/reports.aspx?source=world-development-indicators . Per fare questo si utilizza la funzione cor nel seguente modo :