# Paradosso della conoscibilità di Fitch

Il paradosso della conoscibilità di Fitch, anche conosciuto come paradosso della conoscibilità di Church-Fitch, dai nomi del logico Alonzo Church che lo dimostrò per primo, e di Frederic Fitch che lo riscoprì rendendolo noto, è uno dei principali rompicapi della logica epistemica. Consiste, in sostanza, nello sfidare l'accettabilità della tesi di conoscibilità (è possibile, in principio, conoscere un fatto vero), comune a diversi indirizzi di pensiero, mostrando che implicherebbe l'onniscienza (tutti i fatti sono conosciuti, attualmente).
Il paradosso è problematico specialmente per i verificazionisti e anti-realisti, poiché tendono ad accettare la tesi di conoscibilità ma a rifiutare fortemente l'onniscienza.

## Storia

Il paradosso è diventato noto con l'articolo A Logical Analysis of Some Value Concepts di Frederic B. Fitch (1908-1987), che citava una sconosciuta fonte in un articolo del 1945. L'articolo è stato individuato nel 2009 da Joe Salerno e lo si deve ad Alonzo Church.

## Esposizione

La tesi del paradosso è "il principio di conoscibilità implica l'onniscienza", o equivalentemente dal punto di vista logico, "il principio di conoscibilità è incompatibile con la non onniscienza" e anche "la non onniscienza implica la falsità del principio di conoscibilità".
I passaggi logici della dimostrazione possono essere esposti colloquialmente come segue:
- Sia K l’insieme di tutte le affermazioni vere
- Ipotizziamo che tutto ciò che è vero (tutte le affermazioni in K) possa essere conosciuto
- Consideriamo x = “la frase p è una verità che non conosciamo”, e ipotizziamo sia vera
- Questo vuol dire che, per l'ipotesi al primo punto, è possibile arrivare a conoscere la frase x, e per l'ipotesi al secondo punto questa stia in K
- Ma se arrivassimo a conoscerla, allora sapremo anche che “p” è vera, contraddicendo x. Quindi x non può essere conosciuta e vera allo stesso tempo.
- Quindi x non può far parte dell’insieme K, che considera solo le frasi contemporaneamente vere e conoscibili
- Quindi tutte le frasi in K sono vere e conosciute, da cui l'onniscenza
La dimostrazione formale usa pochissime regole:
* (A) Sapere "p & q" implica "Sapere p & Sapere q", in simboli: $K(p\land q)\vdash Kp\land Kq$ (distributività di K su &);
* (B) Sapere qualcosa implica che essa sia vera, (o "se una cosa è falsa non si può dire di conoscerla"), in simboli: $Kp\vdash p$;
* (C) Se qualcosa è logicamente vero, allora è necessario, in simboli: $\vdash p\implies \vdash \Box p$ (regola di necessitazione);
* (D) Se è necessario che p sia falso, allora p non è possibile, in simboli: $\Box \neg p\leftrightarrow \neg \Diamond p$. Questa non è una vera regola, è solo una definizione che serve per scrivere la prova in meno spazio.
Ovviamente le assunzioni sono il principio di conoscibilità (KP) e la non onniscienza (NonO).
* Premessa 1: $\forall p(p\rightarrow \Diamond Kp)$ (KP)
* Premessa 2: $\exists p(p\land \neg Kp)$ (NonO)
Dimostrazione:

### (1)

    "p & non si sa che p"
$p\land \neg Kp$ (istanza di NonO)

### (2)

    "p & non si sa che p" implica che "è possibile sapere che (p & non si sa che p)
$(p\land \neg Kp)\rightarrow \Diamond K(p\land \neg Kp)$ (da premessa 2, eliminazione di ∀)

### (3)

    "è possibile sapere che: p & non si sa che p"
$\Diamond K(p\land \neg Kp)$ (da 1, 2 via Modus Ponens)

### (4)

    "si sa che: p & non si sa che p"
$K(p\land \neg Kp)$ (ipotesi ad absurdum, istanza di 3)

### (5)

    "si sa p e si sa che non si sa p"
$Kp\land K\neg Kp$ (da 4 via A)

### (6)

    "si sa p e non si sa p"
$Kp\land \neg Kp$ (da 5 via B)

### (7)

    "non si sa che: p e non si sa che p"
$\neg K(p\land \neg Kp)$ (reductio ad absurdum da 4→6 - 6 è una contraddizione)

### (8)

    "è necessario non sapere che p & non si sa che p"
$\Box \neg K(p\land \neg Kp)$ (da 7 via C)

### (9)

    "è impossibile sapere che: p & non si sa che p"
$\neg \Diamond K(p\land \neg Kp)$ (da 8 via D)

### (10)

    (KP) implica l'Onniscienza, e la non Onniscienza implica che non è possibile conoscere qualsiasi proposizione
${\text{(KP)}}\vdash \neg {\text{(NonO)}}$ ovvero ${\text{(NonO)}}\vdash \neg {\text{(KP)}}$ (per reductio ad absurdum su 1,2→3 tramite 9, $\neg ((1)\land (2))$)