# Modello a cavo di un assone

Il modello a cavo descrive gli assoni come linee di trasmissione costituite da resistenze e capacità. L'assone è un prolungamento di cui sono dotate gran parte delle cellule nervose, che serve a propagare segnali elettrici sotto forma di correnti ioniche.

## Descrizione delle proprietà di cavo dell'assone

Nel modello a cavo dell'assone la membrana viene descritta da più elementi composti ognuno da una resistenza $R_{M}$ e da una capacità $C_{M}$ connesse in parallelo. Questi elementi sono interconnessi da una parte da una resistenza $R_{2}$, che rappresenta la resistenza del citoplasma dell'assone e dall'altra da una resistenza $R_{1}$, che rappresenta la resistenza del mezzo esterno.

## Trasmissione e dimostrazione

Quando un segnale si propaga passivamente a partire da un punto $x_{0}$ lungo l'assone, la sua energia decresce esponenzialmente in funzione della distanza secondo una legge del tipo:
$E_{x}=E_{0}\cdot e^{-x/\lambda }$
dove $\lambda$ è la costante di spazio dell'assone. λ dà la distanza per cui $E_{x}=E_{0}/e$. In un assone tipico l= 1– 3 mm. Ovviamente la differenza di potenziale lungo l'assone genera delle correnti. Queste sono generalmente chiamate correnti locali del circuito. Per calcolare le correnti consideriamo un punto P in un assone supposto infinitamente lungo. Supponiamo che P sia sufficientemente lontano da qualsiasi elettrodo che generi correnti o differenze di potenziale. Poniamo che la corrente interna longitudinale a P sia $I_{2}$, $I_{M}$ sia la corrente di membrana ed $I_{1}$ e $I_{2}$ siano rispettivamente la corrente esterna e la resistenza per lunghezza unitaria.
Se non si fornisce corrente vicino a P, per mantenere il circuito chiuso, le correnti esterna ed interna devono soddisfare la condizione:
$I_{1}=-I_{2}$
Dalla legge di Ohm per la superficie esterna della membrana si ha:
    ${\frac {\partial E_{1}}{\partial x}}=-R_{1}I_{1}$
E per la superficie interna:
    ${\frac {\partial E_{2}}{\partial x}}=-R_{2}I_{2}$
Con $E_{M}=E_{1}+E_{2}$
Dalle equazioni precedenti si ottiene:
    ${\frac {\partial E_{M}}{\partial x}}=I_{2}\cdot (R_{1}+R_{2})$
Inoltre, poiché:
    ${\frac {\partial I_{2}}{\partial x}}=I_{M}$
Si ha:
    $I_{M}={1 \over R_{1}+R_{2}}\cdot {\frac {\partial ^{2}E_{M}}{\partial x^{2}}}$
Quest'ultima equazione mostra che sotto queste condizioni la corrente di membrana è proporzionale alla derivata seconda del potenziale di membrana. Il potenziale di azione è per avere una buona approssimazione, un fenomeno monobasico. La sua derivata prima è quindi bifasica e la derivata seconda trifasica. Gli esperimenti sugli assoni giganti del Calamaro hanno dimostrato che la corrente di membrana è data dall'equazione:
    $I_{M}=C_{M}\cdot {\frac {\partial E_{M}}{\partial x}}+\sum _{i}I_{i}$
Dove i termini $I_{i}$ rappresentano una specifica corrente ionica di membrana. Mettendo insieme le precedenti equazioni si ottiene:
    ${1 \over R_{1}+R_{2}}\cdot {\frac {\partial ^{2}E_{M}}{\partial x^{2}}}=C_{M}{\frac {\partial E_{M}}{\partial x}}+\sum _{i}I_{i}$
Per risolverla dobbiamo poter derivare $E_{M}$ per x e t in entrambi i membri dell'equazione. Il lavoro del potenziale d'azione lungo l'assone è simile ad un fascio d'onde. Quindi, servendoci della teoria delle onde, abbiamo per un potenziale che si propaga come un'onda:
    ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}={1 \over \theta ^{2}}\cdot {\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}$
dove $\theta$ è la velocità di propagazione dell'onda. Assumendo che la velocità di propagazione dell'impulso nel nervo sia costante, otteniamo:
Una volta determinato sperimentalmente $E_{M}$ questa equazione può essere risolta. Si introduce a tal fine il valore tipico di $\theta$. Se questo valore non è noto, può essere supposto. Se si ipotizza un valore troppo grande, $E_{M}$ tende all'infinito, se troppo piccolo $E_{M}$ tende a zero. Si può fare l'ipotesi che sia corretto nella sua direzione fino a che $E_{M}$ non ritorna al livello che resta alla fine del potenziale d'azione.
Il grafico a destra illustra schematicamente il comportamento di $E_{M}$ e della corrente di membrana $I_{M}$. In particolare si può notare la natura trifasica di $I_{M}$.
Il grafico mostra le correnti ioniche separate in funzione del tempo in un punto lungo l'assone. Si può notare che inizialmente $I_{M}$ è all'incirca $I_{Na}$. Dopo $I_{Na}$ e $I_{K}$ cancellano quasi completamente qualsiasi altro contributo entro 2 msec. $I_{Na}$ e $I_{K}$ rappresentano le correnti dovute al meccanismo della pompa sodio-potassio. Queste correnti sono ovviamente diverse da quelle del potenziale d'azione della membrana con $I_{M}=0$. Una delle più significative differenze è il picco più elevato di $I_{Na}$ quando $I_{M}$ è diverso da 0. Il modello presentato ha trovato conferme in diversi esperimenti e dimostra come l'onda di depolarizzazione si propaghi attraverso il continuo scambio di ioni sodio e potassio, che generano correnti ioniche lungo l'assone.