# Sottospazio vettoriale

In matematica, e in particolare in algebra lineare, un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, avente proprietà tali da farne a sua volta un altro spazio vettoriale. Esempi di sottospazi vettoriali sono le rette ed i piani nello spazio euclideo tridimensionale passanti per l'origine.

## Definizione

Sia $K$ un campo, sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ e sia $W$ un sottoinsieme non vuoto di $V$. L'insieme $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$ se è uno spazio vettoriale su $K$ con le operazioni di somma e moltiplicazione di $V$ ristrette a $W$, questo vuol dire, tra le altre cose, che le immagini di tali operazioni ristrette sono contenute in $W$.
Si dimostra che il sottoinsieme non vuoto $W$ è un sottospazio vettoriale se e solo se valgono le seguenti proprietà:
* Se $\mathbf {u}$ e $\mathbf {v}$ sono elementi di $W$, allora anche la loro somma $\mathbf {u} +\mathbf {v}$ è un elemento di $W$.
* Se $\mathbf {u}$ è un elemento di $W$ e $\lambda$ è uno scalare in $K$, allora il prodotto $\lambda \mathbf {u}$ è un elemento di $W$.
Queste due condizioni sono equivalenti alla seguente: se $\mathbf {u}$ e $\mathbf {v}$ sono elementi di $W$, $\lambda$ e $\mu$ sono elementi di $K$, allora $\lambda \mathbf {u} +\mu \mathbf {v}$ è un elemento di $W$.
Dalla definizione segue che per ogni spazio vettoriale $V$ gli insiemi $\{\mathbf {0} \}$ e $V$ sono suoi sottospazi vettoriali, detti sottospazi impropri o banali. Richiedere l'appartenenza del vettore nullo al sottoinsieme nella definizione non è necessario (anche se alcuni autori lo esplicitano nella definizione) in quanto si dimostra che il vettore nullo appartiene a ogni sottospazio vettoriale. Infatti, per ogni $\mathbf {v} \in W$ il vettore:
    $0\mathbf {v} =\mathbf {0}$
appartiene a $W$ grazie alla chiusura dell'insieme rispetto al prodotto per scalare. Tuttavia spesso verificare l'appartenenza del vettore nullo al sottoinsieme è un modo semplice per verificare che il sottoinsieme $W$ sia non vuoto (che invece è una condizione necessaria per avere un sottospazio).
Inoltre, si prova facilmente che il sottospazio di un sottospazio di uno spazio $V$ è sottospazio di $V$ stesso.
Queste proprietà garantiscono che le operazioni di somma e di prodotto per scalare di $V$ siano ben definite anche quando sono ristrette a $W$. A questo punto, gli otto assiomi di spazio vettoriale, che erano garantiti per $V$, valgono anche per $W$, e quindi anche $W$ è uno spazio vettoriale.

## Esempi

Molti esempi di spazi vettoriali si costruiscono come sottospazi di spazi vettoriali standard, quali $K^{n}$, le matrici $m\times n$, o i polinomi a coefficienti in $K$.
* Si consideri lo spazio vettoriale reale $\mathbb {R} ^{2}$ dotato di operazioni somma di vettori e prodotto di uno scalare per un vettore. L'insieme costituito dal solo elemento $(0,0)$ è un sottinsieme di $\mathbb {R} ^{2}$. Si verifica che l'insieme contenente solo $(0,0)$ è un sottospazio di $\mathbb {R} ^{2}$ poiché $(0,0)+(0,0)=(0,0)$ elemento del sottospazio, e il prodotto di uno scalare $\lambda \in \mathbb {R}$ per $(0,0)$ dà come risultato sempre $(0,0).$ Più in generale il sottoinsieme di uno spazio vettoriale contenente il solo elemento neutro dello spazio vettoriale è un sottospazio vettoriale detto sottospazio banale.
* Una retta o un piano passanti per l'origine sono sottospazi di $\mathbb {R} ^{3}$.
* Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo a coefficienti in $K$ e in $n$ variabili sono un sottospazio vettoriale di $K^{n}$.
* Sia $V$ lo spazio delle matrici quadrate $n\times n$ reali, con operazioni somma tra matrici e prodotto scalare per matrice. Allora l'insieme delle matrici diagonali è un sottospazio di $V,$ siccome è non vuoto, la somma di due matrici diagonali è una matrice diagonale, e il prodotto di uno scalare per una matrice diagonale è una matrice diagonale.
* Analogamente le matrici simmetriche e le matrici antisimmetriche formano due sottospazi dello spazio delle matrici quadrate $n\times n$.
* Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare $f\colon V\to W$ sono sottospazi rispettivamente di $V$ e di $W$.
* I polinomi di gradi al più $k$ sono un sottospazio dello spazio $K[x]$ dei polinomi a coefficienti in $K$ con variabile $x$.
* Se $X$ è un insieme ed $x$ un punto di $X$, le funzioni da $X$ in $K$ che si annullano in $x$ (cioè le $f$ tali che $f(x)=0$) costituiscono un sottospazio dello spazio di tutte le funzioni da $X$ in $K$. Inoltre le funzioni da $X$ in $K$ che si annullano sia in $x$ che in un secondo punto $y\in X$ costituiscono un sottospazio del precedente.
* L'insieme delle funzioni continue $C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ fornisce un sottospazio delle funzioni da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$, e l'insieme delle funzioni derivabili ne costituisce un sottospazio.

## Operazioni nei sottospazi

L'intersezione $U\cap W$ di due sottospazi $U$ e $W$ di $V$ è ancora un sottospazio. Ad esempio, l'intersezione di due piani distinti in $\mathbb {R} ^{3}$ passanti per l'origine è una retta, sempre passante per l'origine.
L'unione $U\cup W$ invece non è in generale un sottospazio, ed è un sottospazio se e solo se $U\subseteq W$ oppure $W\subseteq U$. Una composizione di due sottospazi $U$ e $W$ che fornisce un nuovo sottospazio è la cosiddetta somma $U+W$, definita come l'insieme di tutti i vettori che sono somma $\mathbf {u} +\mathbf {w}$ dei vettori $\mathbf {u} \in U$ e $\mathbf {w} \in W$. Ad esempio, la somma di due rette distinte (sempre passanti per l'origine) in $\mathbb {R} ^{3}$ è il piano che le contiene.
La formula di Grassmann mette in relazione le dimensioni dei quattro spazi $U$, $W$, $U\cap W$ e $U+W$.
L'ortogonale $W^{\perp }$ di uno sottospazio vettoriale $W$ di uno spazio $V$ su cui sia definita una forma bilineare $\phi$ è l'insieme dei vettori $\mathbf {v}$ tali che $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0$ per ogni $\mathbf {w} \in V$.

## Quoziente di uno spazio vettoriale

Se $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$, si può costruire il gruppo quoziente $V/W$ e munirlo a sua volta di una naturale struttura di spazio vettoriale.
Con precisione, si definisce la relazione di equivalenza $\mathbf {v} \sim \mathbf {w}$ se e solo se $\mathbf {v} -\mathbf {w} \in W$. Una singola classe di equivalenza è spesso denotata come $\mathbf {v} +W$. Somma e moltiplicazione per scalari sono definiti mediante:
    $(\mathbf {v} +W)+(\mathbf {w} +W)=(\mathbf {v} +\mathbf {w} )+W$
    $\lambda (\mathbf {v} +W)=(\lambda \mathbf {v} )+W$