# Formule di Waring

Le formule di Waring sono formule algebriche utilizzate nella soluzione di un sistema simmetrico, e derivano dalle teorie di Edward Waring, matematico britannico del XVIII secolo.
Le formule più utilizzate sono quelle per potenze del binomio di ordine $n=2$ oppure $n=3$, che sono quelle del quadrato e cubo del binomio. Questo calcolo serve a trasformare le potenze del binomio di variabili $a$ e $b$ in somme e prodotti di queste variabili. Tali somme e prodotti di queste variabili sono riconducibili alla forma canonica di un sistema simmetrico. Da notare che: $s=a+b$ e $p=ab$.
* $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=s^{2}-2p;$
* $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)=s^{3}-3ps;$
* $a^{4}+b^{4}=(a+b)^{4}-4a^{3}b-6a^{2}b^{2}-4ab^{3}=(a+b)^{4}-4ab(a^{2}+b^{2})-6a^{2}b^{2}=s^{4}-4p(s^{2}-2p)-6p^{2}=s^{4}-4ps^{2}+2p^{2};$
* $a^{5}+b^{5}=(a+b)^{5}-5ab(a^{3}+b^{3})-10a^{2}b^{2}(a+b)=s^{5}-5ps^{3}+5p^{2}s;$
* $a^{6}+b^{6}=(a+b)^{6}-6ab(a^{4}+b^{4})-15a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})-20a^{3}b^{3}=s^{6}-6ps^{4}+9p^{2}s^{2}-2p^{3};$
* $a^{7}+b^{7}=(a+b)^{7}-7ab(a^{5}+b^{5})-21a^{2}b^{2}(a^{3}+b^{3})-35a^{3}b^{3}(a+b)=s^{7}-7ps^{5}+14p^{2}s^{3}-7p^{3}s;$
* $a^{8}+b^{8}=(a+b)^{8}-8ab(a^{6}+b^{6})-28a^{2}b^{2}(a^{4}+b^{4})-56a^{3}b^{3}(a^{2}+b^{2})-70a^{4}b^{4}=s^{8}-8ps^{6}+20p^{2}s^{4}-16p^{3}s^{2}+2p^{4}.$
Per il postulato di Peano, la formula di Waring è deducibile per ogni potenza $n.$ Infatti la proprietà $P(n)$ è stata dedotta per $n=2,3,4,$ nei quali sono stati messi in evidenza i successivi passaggi algebrici, ed è perciò generalizzabile a $n$ qualsiasi.
Come già per la quarta potenza nella quale viene sostituita la formula della seconda potenza del binomio, la ricorsione delle prime 4 in quelle di ordine $n$-esimo, permette di esprimere il tutto in potenze della somma e prodotto delle variabili $a$ e $b.$ È opportuno vedere le formule di Waring in relazione ai sistemi simmetrici in quanto sono nate ed essenzialmente si usano in questo contesto, nel quale è necessario trasformare le variabili in somme e prodotti.
La risoluzione con questo metodo per ogni potenza $n$ è evidente se si considera il triangolo di Tartaglia: data una potenza $n,$ per ogni termine del tipo $a^{k}b^{(n-k)}$, ne esiste uno del tipo $a^{(n-k)}b^{k}$. Con un raccoglimento a fattor comune dei due termini, si otterranno: un termine del tipo $a^{(n-k)}b^{(n-k)}(a^{(2k-n)}+b^{(2k-n)})$, per $n-k<k$, ossia $n<2k$.
Le formule di Waring sono deducibili (per una data potenza $n$) dalla formula di Tartaglia, scomponendo la sommatoria in tre tipi di termini:
* $a^{n}+b^{n}$,
* $a^{n/2}b^{n/2},\quad$ per $n$ pari,
* $a^{m}b^{m}(a^{o}+b^{o}),$ dove:
       $m=[1;n],$
       $o=[1;n-2k]$ con $k$ numero intero.
Dunque, nelle sommatorie troviamo: la potenza $n$-esima del binomio, il prodotto dei termini elevato a metà potenza, dei termini "misti" di potenze del prodotto dei termini e di loro somme secondo multipli interi di 2 (fino a $n$; o $n-1$, se $n$ è dispari).
Abbiamo riportato le formule di Waring per potenze superiori alla quarta per generalizzare agevolmente la formula, a $n$ qualsiasi.
    $a^{n}+b^{n}=(a+b)^{n}-\sum _{i=1}^{f_{1}}T_{i}a^{i}b^{i}[a^{n-2i}+b^{n-2i}]-f_{2},$
dove:
* per $n$ dispari, ${f_{1}}=n/2$ e ${f_{2}}=0$;
* per $n$ pari, ${f_{1}}=[n/2-1]$ e ${f_{2}}={T_{i}}a^{n/2}b^{n/2}$, con $T_{i}$ coefficiente $i$-esimo del triangolo di Tartaglia per la potenza $n$, iniziando a contare da quello più a sinistra.