# Teoremi di Sylow

In algebra, i teoremi di Sylow sono dei risultati fondamentali della teoria dei gruppi finiti, che permettono la scomposizione di gruppi in sottogruppi il cui studio è più facile.
Essi affermano quanto segue. Sia $G$ un gruppo finito di ordine $n$ (ovvero costituito da $n$ elementi). Sia $p$ un numero primo. Allora per ogni potenza $m=p^{r}$ di $p$ che divida $n$ esistono sottogruppi di $G$ di ordine $m$. Inoltre, se $m$ è la massima potenza di $p$ che divida $n$, allora i sottogruppi di $G$ di ordine $m$ sono coniugati fra loro.
Questi teoremi sono stati dimostrati per la prima volta nel 1872 da Ludwig Sylow, e pubblicati sulla prestigiosa rivista Mathematische Annalen.

## Primo Teorema di Sylow
### Enunciato

Sia $G$ un gruppo finito, e sia $|G|$ il suo ordine (ovvero il numero dei suoi elementi). Allora per ogni primo $p$ ed ogni intero $r$ tali che $p^{r}$ divida $|G|$, esiste un sottogruppo di $G$ di ordine $p^{r}$.

### Dimostrazione

È sufficiente dimostrare il teorema per il più grande $p^{r}$ che divide $|G|$. Quindi scriviamo $|G|=p^{r}m$, denotando con $m$ un intero positivo non divisibile per $p$. Denotiamo allora con $X$ la collezione di tutti i sottoinsiemi di $G$ formati da $p^{r}$ elementi:
    $X=\{S\subseteq G\ |\ |S|=p^{r}\}.$
La cardinalità di $X$ non è divisibile per $p$. Infatti è fornita dall'espressione
    $|X|={p^{r}m \choose p^{r}}={\frac {(p^{r}m)(p^{r}m-1)\ldots (p^{r}m-i)\ldots (p^{r}m-p^{r}+1)}{(p^{r})(p^{r}-1)\ldots (p^{r}-i)\ldots 1}}$ .
Essa fornisce un intero non divisibile per $p$: infatti un divisore di $|X|$ potrebbe provenire solo da fattori del denominatore della forma $p^{r}-i$ con $i$ divisibile per $p$; per ciascuno di questi $i$ scriviamo $i=p^{q}j$, nella quale si intende che $j$ non sia divisibile per p; nella espressione precedente si può quindi isolare il fattore
    ${\frac {p^{r}m-i}{p^{r}-i}}={\frac {p^{r-q}m-j}{p^{r-q}-j}},$
il quale non è in grado di fornire a $|X|$ un fattore razionale contenente una potenza positiva di $p$; si conclude che è possibile semplificare il numeratore e il denominatore della precedente espressione per $|X|$, in modo da ottenere un'espressione che deve fornire un intero positivo il quale non è divisibile per $p$.
Definiamo un'azione di $G$ su $X$:
    ${\begin{matrix}G\times X&\rightarrow &X\\(g,S)&\mapsto &gS=\{gs\,|\,s\in S\}.\end{matrix}}$
Sia $O(S)$ l'orbita di $S$ tramite l'azione. Esiste sicuramente un $S$ la cui orbita $O(S)$ ha cardinalità non divisibile per $p$ (poiché le orbite formano una partizione di $X$, e $|X|$ non è multiplo di $p$).
Sia ${\rm {Stab}}_{G}(S)$ lo stabilizzatore di $S$. Applicando il teorema delle azioni si ottiene:
    $|G|=|O(S)|\cdot |{\rm {Stab}}_{G}(S)|.$
Il numero $p^{r}$ divide $|G|$, ma $p$ non divide $|O(S)|$: allora $p^{r}$ divide $|{\rm {Stab}}_{G}(S)|$. Ne segue che
    $|{\rm {Stab}}_{G}(S)|\geq p^{r}.$
D'altra parte, fissato un elemento $s$ in $S$, l'applicazione
    ${\rm {Stab}}_{G}(S)\to S\,\!$
    $g\mapsto g\cdot s\,\!$
è iniettiva. Quindi vale anche
    $|{\rm {Stab}}_{G}(S)|\leq p^{r}.$
Ne segue che ${\rm {Stab}}_{G}(S)$ è un sottogruppo di cardinalità $p^{r}$.

## Secondo Teorema di Sylow

Per enunciare il secondo teorema di Sylow, è utile definire i cosiddetti p-Sylow.

### Definizione di p-sottogruppo di Sylow

Sia $G$ un gruppo finito, e sia $p$ un numero primo che divida l'ordine $|G|$ di $G$. Sia $|G|=p^{k}m$, con $m$ non divisibile per $p$. (Dunque $p^{k}$ è la massima potenza di $p$ che divide l'ordine di $G$.) Si definisce $p$-sottogruppo di Sylow (o semplicemente $p$-Sylow) di $G$ ogni sottogruppo di $G$ di ordine $p^{k}$.

### Enunciato

Sia $G$ un gruppo, e sia $|G|=p^{k}m$, con $p$ ed $m$ coprimi. Allora, tutti i p-Sylow di $G$ sono coniugati, ovvero, detto Syl$_p$(G) l'insieme dei p-Sylow di $G$, $\forall H,K\in Syl_{p}(G)\;\exists g\in G:g^{-1}Hg=K.$

### Dimostrazione

Chiamiamo (per agilità di notazioni) $A\,\colon \!=\mathrm {Syl} _{p}\,(G)$. Per mostrare che tutti i p-Sylow di $G$ sono coniugati, basta mostrare che l'azione per coniugio sull'insieme $A$ è transitiva, ovvero ha una sola orbita.
    $G\times A\longrightarrow A$
    $(g,P)\mapsto g^{-1}Pg$
Procediamo per assurdo. Siano D$_1$ e D$_2$ due orbite distinte, e siano P un elemento di D$_1$, Q un elemento di D$_2$ e x un elemento di Q. Osserviamo che il coniugio di P tramite x, che indichiamo con $P^{x}=x^{-1}Px$, è un elemento di D$_1$. Dunque possiamo restringere l'azione a D$_1$:
    $Q\times D_{1}\longrightarrow D_{1}$
    $(q,P)\mapsto q^{-1}Pq$
Questa azione ha un numero r di orbite, che indichiamo con O(P$_i$), al variare di P$_i$ in D$_1$. Per l'equazione delle orbite, segue dunque che
$|D_{1}|=\sum _{i=1}^{r}{|O(P_{i})|}=\sum _{i=1}^{r}{|Q:St_{Q}(P_{i})|}=\sum _{i=1}^{r}{|Q:N_{Q}(P_{i})|}$
dove l'ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che in un'azione per coniugio lo stabilizzatore dell'elemento P$_i$ è proprio il normalizzante in $Q$ di P$_i$. Poiché gli stabilizzatori sono sottogruppi di $Q$ e poiché $Q$ è un p-Sylow, ogni orbita ha ordine o $1$ o una potenza propria di $p$ (è un'immediata conseguenza del teorema di Lagrange). Allo stesso tempo, poiché P appartiene a D$_1$, possiamo dire che D$_1$ è l'orbita di $P$ nella prima azione che abbiamo definito. Dunque, $|D_{1}|=|O(P)|=|G:St_{G}(P)|=|G:N_{G}(P)|$. Per il teorema di Lagrange, $|G|=|G:N_{G}(P)||N_{G}(P)|=|G:N_{G}(P)||N_{G}(P):P||P|$. Dunque, ne segue che $|G:N_{G}(P)||N_{G}(P):P|=m$. Dunque, $|G:N_{G}(P)|$ è un divisore di m e pertanto non è diviso da p. Dunque anche $|D_{1}|$ non è diviso da p, quindi gli addendi che compaiono nella sommatoria scritta precedentemente non possono essere tutti potenze di p (poiché altrimenti sarebbero divisibili per p). Da ciò segue che esiste almeno un j tale che $|O(P_{j})|=1$. Questo significa che $|Q:N_{Q}(P_{j})|=1|$, e quindi che $Q=N_{Q}(P_{j})$. Il che implica che $QP_{j}=P_{j}Q$, poiché $q^{-1}P_{j}q=P_{j}\;\forall q\in Q$. Dunque, $QP_{j}\leq G$ e il suo ordine vale:
$|QP_{j}|={\frac {|Q||P_{j}|}{|Q\cap P_{j}|}}$.
Il numeratore vale $p^{k}\cdot p^{k}$ poiché entrambi appartengono ad A; al denominatore troviamo invece una potenza di p, con esponente strettamente minore di k, in quanto $Q\cap P_{j}\leq Q$ e $Q\cap P_{j}\leq P_{j}$. Ovviamente il denominatore non può valere p$^k$, poiché se così fosse risulterebbe $Q=P_{j}$, ma questo non è possibile perché appartengono a due orbite che per ipotesi avevamo supposto distinte. Dunque, $|QP_{j}|=p^{z}$, con $z>k$. Ma questo è un assurdo, poiché $QP_{j}\leq G$. Dunque l'ipotesi che D$_1$ e D$_2$ fossero distinte è falsa, e l'azione è transitiva.

## Terzo Teorema di Sylow

Il terzo teorema di Sylow fornisce importanti informazioni sul numero dei p-Sylow di un gruppo, utilizzando i concetti di divisibilità e di congruenza.

### Enunciato

Sia G un gruppo, e sia |G|=p$^k$m, con p ed m coprimi. Allora, detto n$_p$ il numero dei p-Sylow di G, risulta:
* n$_p$ | m
* n$_p$ ≡ 1 mod p

### Dimostrazione

Detto A:=Syl$_p$(G), ovviamente n$_p$ = |A|. Considerando P∈A, per il secondo teorema di Sylow risulta che |A|=|O(P)|, considerando l'azione per coniugio di G su A. Dunque, $|A|=|G:St_{G}(P)|=|G:N_{G}(P)|$, dove l'ultima uguaglianza segue dal fatto che lo stabilizzatore di P nell'azione per coniugio è proprio il normalizzante di P in G. Per il Teorema di Lagrange, $|G|=|G:N_{G}(P)||N_{G}(P)|=|G:N_{G}(P)||N_{G}(P):P||P|$. Dunque, poiché |P| = p$^k$, $|G:N_{G}(P)|$ divide m. Poiché n$_p$ = |A|, ne segue che n$_p$ | m.
Rimane da provare la seconda parte della tesi. A tale scopo consideriamo Q ∈ A e definiamo l'azione
    $Q\times A\longrightarrow A$
    $(q,P)\mapsto q^{-1}Pq$
Questa azione ha un numero r di orbite, che indichiamo con O(P$_i$), al variare di P$_i$ in A. Per l'equazione delle orbite, segue dunque che
$|A|=\sum _{i=1}^{r}{|O(P_{i})|}=\sum _{i=1}^{r}{|Q:St_{Q}(P_{i})|}=\sum _{i=1}^{r}{|Q:N_{Q}(P_{i})|}$
Tutte queste orbite hanno lunghezza o 1 o una potenza propria di p. Osserviamo innanzitutto che $O(Q)=O(P_{s})\;\exists s\in \{1,\dots ,r\}$ e che $|O(P_{s})|=|Q:N_{Q}(P_{s})|=|Q:N_{Q}(Q)|=1$. Per verificare la tesi, dobbiamo a questo punto solo mostrare che tutte le altre orbite hanno lunghezza un multiplo di p. Supponiamo, per assurdo, che l'orbita di Q non sia l'unica di lunghezza 1, ovvero supponiamo che esista $P_{j}\neq Q$ tale che $|O(P_{j})|=1$. Allora $|Q:N_{Q}(P_{j})|=1$, ovvero $Q=N_{Q}(P_{j})$. Il che implica che $QP_{j}=P_{j}Q$, poiché $q^{-1}P_{j}q=P_{j}\;\forall q\in Q$. Dunque, $QP_{j}\leq G$ e il suo ordine vale:
$|QP_{j}|={\frac {|Q||P_{j}|}{|Q\cap P_{j}|}}$.
Il numeratore vale $p^{k}\cdot p^{k}$ poiché entrambi appartengono ad A; al denominatore troviamo invece una potenza di p, con esponente strettamente minore di k, in quanto $Q\cap P_{j}\leq Q$ e $Q\cap P_{j}\leq P_{j}$. Ovviamente il denominatore non può valere p$^k$, poiché se così fosse risulterebbe $Q=P_{j}$, ma questo non è possibile perché avevamo supposto per ipotesi che fosse $P_{j}\neq Q$. Dunque, $|QP_{j}|=p^{z}$, con $z>k$. Ma questo è un assurdo, poiché $QP_{j}\leq G$. Dunque l'ipotesi che esistesse un'altra orbita, oltre a quella di Q, di lunghezza 1 è un assurdo. Quindi,
$n_{p}=|A|=\sum _{i=1}^{r}{|O(P_{i})|}\equiv 1\;(\mathrm {mod} \;p)$

### Due semplici applicazioni

Un gruppo di ordine $pq$ con $p$ e $q$ primi, $p$ minore di $q$ che non divide $q-1$, per esempio di ordine $33$, è necessariamente un gruppo ciclico.
Il numero n$_q$ di q-Sylow è congruo 1 modulo q e divide p quindi si ha necessariamente n$_q$=1 essendo p minore di q. Inoltre essendo n$_p$ ≡ 1 mod p e poiché n$_p$ divide q deve essere n$_p$=1 (non può essere q per la condizione che p non divide q-1). Ogni Sylow è quindi un sottogruppo normale. Ma allora $G$ si può realizzare come prodotto diretto dei suoi Sylow (che hanno come elemento comune solo l'identità). Inoltre p e q sono primi fra loro quindi il gruppo è ciclico.
Si osservi l'importanza della condizione che p non divida q-1: basta pensare che esistono due gruppi di ordine $6$ (quello ciclico e il gruppo simmetrico su tre oggetti).
Vediamo perché un gruppo $G$ di ordine $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$ contiene un sottogruppo ciclico normale di ordine 11. Il numero di 3-Sylow deve essere congruo a 1 modulo 3 e deve dividere 44, le uniche possibilità sono 1,4 e 22. Il numero di 11-Sylow invece deve essere congruo a 1 modulo 11 e dividere 12 quindi n$_{11}$=1 o n$_{11}$=12. Se fosse n$_3$=22 avremmo 44 elementi di periodo 3 e questo implica n$_{11}$=1 perché altrimenti ci sarebbero 120 elementi di periodo 11: troppi!
Qualora fosse n$_3$=1 il 3-Sylow C$_3$ sarebbe normale. Allora G/C$_3$ avrebbe ordine 44 e conterrebbe un sottogruppo normale di ordine 11. A questo sottogruppo corrisponde un sottogruppo normale $K$ di $G$ di ordine 33, quindi ciclico. Un elemento di periodo 11 in $K$ genera il sottogruppo normale di ordine 11 cercato.
L'ultima possibilità è n$_3$=4. Anche in questo caso n$_{11}$ non può valere 12. Se così fosse avremmo 8 elementi di periodo 3, 120 di periodo 11 e l'identità. C'è posto solo per 3 elementi di periodo 2. Allora il 2-Sylow S$_2$ è normale. Vediamo il quoziente G/S$_2$: ha ordine 33. Questo è ciclico e contiene un sottogruppo di ordine 11. A questo corrisponde un sottogruppo normale di $G$ di ordine 44. Tale sottogruppo ha esattamente 10 elementi di periodo 11: troppo pochi (avevamo supposto che $G$ ne avesse complessivamente 120).