# Decadimento audioattivo

Il decadimento audioattivo è un gioco matematico, studiato in modo approfondito da John Conway, che consiste nel prendere una stringa qualunque di numeri e trasformarla in un'altra secondo la regola:
Se si trovano n cifre adiacenti uguali ad x, al loro posto si sostituisce nx.
Esempio: se si ha una stringa fatta così:
222
al suo posto si sostituisce 32 (sono tre cifre "due"). Al passo successivo, alla stringa 32 si sostituisce 1312 (un "tre" e un "due"). Al passo dopo, la stringa diventa 11131112, e così via. Questo procedimento porta alla costruzione di stringhe composte da determinate sequenze di base, o "atomi", e ha una serie di teoremi e proprietà notevoli.

## Gli atomi

Ci sono 92 atomi (che, per questa particolarità sono stati chiamati con i nomi dei 92 elementi chimici, da Idrogeno a Uranio), ed esiste un teorema (il teorema cosmologico di Conway) che afferma che qualunque sequenza di numeri decade, dopo un certo tempo, in una stringa composta solamente dai 92 atomi e da due "isotopi" transuranici (chiamati Nettunio e Plutonio).
Nella seguente tabella sono elencati i 92 atomi: in prima colonna si trova il numero atomico, in seconda colonna il simbolo, in terza colonna la sequenza numerica relativa. Ogni atomo decade nel successivo (per esempio, U decade in Pa). Se nella sequenza numerica sono presenti anche altri simboli atomici, significa che l'atomo precedente decade in più di un atomo (per esempio, osservando le righe 86 e 85 si vede che Rn decade in Ho più At; la sequenza relativa ad Ho si trova alla riga 67, mentre la sequenza numerica presente nella riga 85 è relativa ad At).
| Z | Elemento | Proviene da | Si scompone in | Stringa | Lunghezza |
| 1 | Idrogeno | 7 elementi: H, He, Sc, Ga, Zr, Ce, Ta | 1 elemento: H (stabile) | 22 | 2 |
| 2 | Elio | 1 elemento: Li | 5 elementi: Hf, Pa, H, Ca, Li | 13112221133211322112211213322112 | 32 |
| 3 | Litio | 2 elementi: He, Be | 1 elemento: He | 312211322212221121123222112 | 27 |
| 4 | Berillio | 1 elemento: B | 3 elementi: Ge, Ca, Li | 111312211312113221133211322112211213322112 | 42 |
| 5 | Boro | 1 elemento: C | 1 elemento: Be | 1321132122211322212221121123222112 | 34 |
| 6 | Carbonio | 1 elemento: N | 1 elemento: B | 3113112211322112211213322112 | 28 |
| 7 | Azoto | 1 elemento: O | 1 elemento: C | 111312212221121123222112 | 24 |
| 8 | Ossigeno | 1 elemento: F | 1 elemento: N | 132112211213322112 | 18 |
| 9 | Fluoro | 1 elemento: Ne | 1 elemento: O | 31121123222112 | 14 |
| 10 | Neon | 1 elemento: Na | 1 elemento: F | 111213322112 | 12 |
| 11 | Sodio | 2 elementi: Mg, As | 1 elemento: Ne | 123222112 | 9 |
| 12 | Magnesio | 1 elemento: Al | 2 elementi: Pm, Na | 3113322112 | 10 |
| 13 | Alluminio | 1 elemento: Si | 1 elemento: Mg | 1113222112 | 10 |
| 14 | Silicio | 2 elementi: P, Mn | 1 elemento: Al | 1322112 | 7 |
| 15 | Fosforo | 1 elemento: S | 2 elementi: Ho, Si | 311311222112 | 12 |
| 16 | Zolfo | 1 elemento: Cl | 1 elemento: P | 1113122112 | 10 |
| 17 | Cloro | 1 elemento: Ar | 1 elemento: S | 132112 | 6 |
| 18 | Argon | 1 elemento: K | 1 elemento: Cl | 3112 | 4 |
| 19 | Potassio | 1 elemento: Ca | 1 elemento: Ar | 1112 | 4 |
| 20 | Calcio | 13 elementi: He, Be, Sc, Ga (2 volte), Zr, Ru, Te, Ce, Sm, Gd, Tm, Ta, Re | 1 elemento: K | 12 | 2 |
| 21 | Scandio | 1 elemento: Ti | 5 elementi: Ho, Pa, H, Ca, Co | 3113112221133112 | 16 |
| 22 | Titanio | 1 elemento: V | 1 elemento: Sc | 11131221131112 | 14 |
| 23 | Vanadio | 1 elemento: Cr | 1 elemento: Ti | 13211312 | 8 |
| 24 | Cromo | 1 elemento: Mn | 1 elemento: V | 31132 | 5 |
| 25 | Manganese | 1 elemento: Fe | 2 elementi: Cr, Si | 111311222112 | 12 |
| 26 | Ferro | 1 elemento: Co | 1 elemento: Mn | 13122112 | 8 |
| 27 | Cobalto | 5 elementi: Sc, Ni, Ce, Tm, Gd | 1 elemento: Fe | 32112 | 5 |
| 28 | Nichel | 1 elemento: Cu | 2 elementi: Zn, Co | 11133112 | 8 |
| 29 | Rame | 1 elemento: Zn | 1 elemento: Ni | 131112 | 6 |
| 30 | Zinco | 3 elementi: Ni, Ga, Sm | 1 elemento: Cu | 312 | 3 |
| 31 | Gallio | 1 elemento: Ge | 6 elementi: Eu, Ca, Ac, H, Ca, Zn | 13221133122211332 | 17 |
| 32 | Germanio | 3 elementi: Be, As, Re | 2 elementi: Ho, Ga | 31131122211311122113222 | 23 |
| 33 | Arsenico | 1 elemento: Se | 2 elementi: Ge, Na | 11131221131211322113322112 | 26 |
| 34 | Selenio | 1 elemento: Br | 1 elemento: As | 13211321222113222112 | 20 |
| 35 | Bromo | 1 elemento: Kr | 1 elemento: Se | 3113112211322112 | 16 |
| 36 | Cripton | 1 elemento: Rb | 1 elemento: Br | 11131221222112 | 14 |
| 37 | Rubidio | 1 elemento: Sr | 1 elemento: Kr | 1321122112 | 10 |
| 38 | Stronzio | 1 elemento: Y | 1 elemento: Rb | 3112112 | 7 |
| 39 | Ittrio | 1 elemento: Zr | 2 elementi: Sr, U | 1112133 | 7 |
| 40 | Zirconio | 1 elemento: Nb | 4 elementi: Y, H, Ca, Tc | 12322211331222113112211 | 23 |
| 41 | Niobio | 1 elemento: Mo | 2 elementi: Er, Zr | 11131221133221131112211312221 | 29 |
| 42 | Molibdeno | 1 elemento: Tc | 1 elemento: Nb | 13211322211312113211 | 20 |
| 43 | Tecnezio | 2 elementi: Zr, Ru | 1 elemento: Mo | 311322113212221 | 15 |
| 44 | Rutenio | 1 elemento: Rh | 3 elementi: Eu, Ca, Tc | 132211331222113112211 | 21 |
| 45 | Rodio | 1 elemento: Pd | 2 elementi: Ho, Ru | 311311222113111221131221 | 24 |
| 46 | Palladio | 1 elemento: Ag | 1 elemento: Rh | 111312211312113211 | 18 |
| 47 | Argento | 1 elemento: Cd | 1 elemento: Pd | 132113212221 | 12 |
| 48 | Cadmio | 1 elemento: In | 1 elemento: Ag | 3113112211 | 10 |
| 49 | Indio | 1 elemento: Sn | 1 elemento: Cd | 11131221 | 8 |
| 50 | Stagno | 1 elemento: Sb | 1 elemento: In | 13211 | 5 |
| 51 | Antimonio | 1 elemento: Te | 2 elementi: Pm, Sn | 3112221 | 7 |
| 52 | Tellurio | 1 elemento: I | 3 elementi: Eu, Ca, Sb | 1322113312211 | 13 |
| 53 | Iodio | 1 elemento: Xe | 2 elementi: Ho, Te | 311311222113111221 | 18 |
| 54 | Xenon | 1 elemento: Cs | 1 elemento: I | 11131221131211 | 14 |
| 55 | Cesio | 1 elemento: Ba | 1 elemento: Xe | 13211321 | 8 |
| 56 | Bario | 1 elemento: La | 1 elemento: Cs | 311311 | 6 |
| 57 | Lantanio | 1 elemento: Ce | 1 elemento: Ba | 11131 | 5 |
| 58 | Cerio | 1 elemento: Pr | 4 elementi: La, H, Ca, Co | 1321133112 | 10 |
| 59 | Praseodimio | 1 elemento: Nd | 1 elemento: Ce | 31131112 | 8 |
| 60 | Neodimio | 1 elemento: Pm | 1 elemento: Pr | 111312 | 6 |
| 61 | Promezio | 5 elementi: Mg, Sb, Sm, Er, Bi | 1 elemento: Nd | 132 | 3 |
| 62 | Samario | 1 elemento: Eu | 3 elementi: Pm, Ca, Zn | 311332 | 6 |
| 63 | Europio | 4 elementi: Ga, Ru, Te, Gd | 1 elemento: Sm | 1113222 | 7 |
| 64 | Gadolinio | 1 elemento: Tb | 3 elementi: Eu, Ca, Co | 13221133112 | 11 |
| 65 | Terbio | 1 elemento: Dy | 2 elementi: Ho, Gd | 3113112221131112 | 16 |
| 66 | Disprosio | 1 elemento: Ho | 1 elemento: Tb | 111312211312 | 12 |
| 67 | Olmio | 8 elementi: P, Sc, Ge, Rh, I, Tb, Er, Rn | 1 elemento: Dy | 1321132 | 7 |
| 68 | Erbio | 2 elementi: Nb, Tm | 2 elementi: Ho, Pm | 311311222 | 9 |
| 69 | Tulio | 1 elemento: Yb | 3 elementi: Er, Ca, Co | 11131221133112 | 14 |
| 70 | Itterbio | 1 elemento: Lu | 1 elemento: Tm | 1321131112 | 10 |
| 71 | Lutezio | 1 elemento: Hf | 1 elemento: Yb | 311312 | 6 |
| 72 | Afnio | 2 elementi: He, Ta | 1 elemento: Lu | 11132 | 5 |
| 73 | Tantalio | 1 elemento: W | 5 elementi: Hf, Pa, H, Ca, W | 13112221133211322112211213322113 | 32 |
| 74 | Wolframio | 2 elementi: Ta, Re | 1 elemento: Ta | 312211322212221121123222113 | 27 |
| 75 | Renio | 1 elemento: Os | 3 elementi: Ge, Ca, W | 111312211312113221133211322112211213322113 | 42 |
| 76 | Osmio | 1 elemento: Ir | 1 elemento: Re | 1321132122211322212221121123222113 | 34 |
| 77 | Iridio | 1 elemento: Pt | 1 elemento: Os | 3113112211322112211213322113 | 28 |
| 78 | Platino | 1 elemento: Au | 1 elemento: Ir | 111312212221121123222113 | 24 |
| 79 | Oro | 1 elemento: Hg | 1 elemento: Pt | 132112211213322113 | 18 |
| 80 | Mercurio | 1 elemento: Tl | 1 elemento: Au | 31121123222113 | 14 |
| 81 | Tallio | 1 elemento: Pb | 1 elemento: Hg | 111213322113 | 12 |
| 82 | Piombo | 1 elemento: Bi | 1 elemento: Tl | 123222113 | 9 |
| 83 | Bismuto | 1 elemento: Po | 2 elementi: Pm, Pb | 3113322113 | 10 |
| 84 | Polonio | 1 elemento: At | 1 elemento: Bi | 1113222113 | 10 |
| 85 | Astato | 1 elemento: Rn | 1 elemento: Po | 1322113 | 7 |
| 86 | Radon | 1 elemento: Fr | 2 elementi: Ho, At | 311311222113 | 12 |
| 87 | Francio | 1 elemento: Ra | 1 elemento: Rn | 1113122113 | 10 |
| 88 | Radio | 1 elemento: Ac | 1 elemento: Fr | 132113 | 6 |
| 89 | Attinio | 2 elementi: Ga, Th | 1 elemento: Ra | 3113 | 4 |
| 90 | Torio | 1 elemento: Pa | 1 elemento: Ac | 1113 | 4 |
| 91 | Protoattinio | 4 elementi: He, Sc, Ta, U | 1 elemento: Th | 13 | 2 |
| 92 | Uranio | 1 elemento: Y | 1 elemento: Pa | 3 | 1 |
Si noti che l'Idrogeno decade in sé stesso. Alcune curiosità: l'elemento con la sequenza più breve è l'Uranio (una cifra), mentre quelli con la sequenza più lunga sono il 4 e il 75 (quarantadue cifre).

### Gli elementi transuranici

La legge del decadimento audioattivo non consente la formazione di cifre diverse da 1, 2 e 3, a meno che esse non siano già presenti all'inizio. Se fin dall'inizio è presente un numero maggiore di 3, questo sarà sempre presente durante il decadimento, dando origine a elementi contenenti solo le cifre 1, 2, 3 e a una nuova coppia di elementi, chiamati transuranici.
Il Plutonio corrisponde a una stringa di questo tipo:
    Pu$_x$ = 31221132221222112112322211x
dove con x si intende qualunque cifra maggiore di 3.
Il Plutonio decade nel Nettunio, che è così definito:
    Np$_x$ = 1311222113321132211221121332211x
A sua volta, il Nettunio decade in un composto di elementi "stabili" e Plutonio, e precisamente in Hf.Pa.H.Ca.Pu$_x$

## Il teorema cosmologico di Conway

Conway e Richard Parker dimostrarono che qualunque stringa, dopo un certo numero N di iterazioni, decade in un composto di elementi comuni e transuranici. In seguito Mike Guy mostrò che il valore N = 24 è il valore minimo accettabile. Entrambe le dimostrazioni, però, sono andate perdute.
Successivamente, Shalos B. Ekhad e Doron Zeilberger (Zeilberger è un essere umano ed Ekhad è il suo computer, regolarmente accreditato come coautore dell'articolo) hanno ridimostrato il teorema cosmologico facendo uso di un programma Maple per computer, e trovando per N il valore N = 29. Infine R.A. Litherland ha scritto un nuovo programma per computer, utilizzando tecniche diverse da Ekhad e Zeilberger, che ha permesso di affermare che il valore N = 24 è corretto.
Non è possibile scendere al di sotto di questo valore a causa di un controesempio fornito da Guy (e migliorato da Litherland eliminando le prime due cifre), il composto denominato Thuselum, che decade in 24 passi:
Il composto originale di Conway, da lui chiamato Methuselum, è invece il seguente:

## La costante di Conway

Il numero di cifre nell'n-esima stringa è una quantità che cresce al variare di n. Questa quantità è proporzionale al numero $\lambda ^{n}$, dove $\lambda$ = 1.3035772690342963912570991121525518907307025046594... è chiamata costante di Conway ed è l'unica radice reale positiva del polinomio
    $x^{71}-x^{69}-2x^{68}-x^{67}+2x^{66}+2x^{65}+x^{64}-x^{63}-x^{62}-x^{61}-x^{60}-x^{59}+$
    $2x^{58}+5x^{57}+3x^{56}-2x^{55}-10x^{54}-3x^{53}-2x^{52}+6x^{51}+6x^{50}+x^{49}+9x^{48}-3x^{47}-$
    $7x^{46}-8x^{45}-8x^{44}+10x^{43}+6x^{42}+8x^{41}-5x^{40}-12x^{39}+7x^{38}-7x^{37}+7x^{36}+x^{35}-$
    $3x^{34}+10x^{33}+x^{32}-6x^{31}-2x^{30}-10x^{29}-3x^{28}+2x^{27}+9x^{26}-3x^{25}+14x^{24}-8x^{23}-$
    $7x^{21}+9x^{20}+3x^{19}-4x^{18}-10x^{17}-7x^{16}+12x^{15}+7x^{14}+2x^{13}-12x^{12}-4x^{11}-$
    $2x^{10}+5x^{9}+x^{7}-7x^{6}+7x^{5}-4x^{4}+12x^{3}-6x^{2}+3x-6=0.$