# Classe C di una funzione

In analisi matematica, la classe $C$ di una funzione di variabile reale indica l'appartenenza della stessa all'insieme delle funzioni derivabili con continuità per un certo numero di volte. Si dice che una funzione definita su un insieme $A$ è di classe $C^{k}$ se in $A$ esistono tutte le derivate fino al $k$-esimo ordine, e la $k$-esima è continua (quando la funzione è continua si dice che è di classe $C^{0}$). Si tratta, sostanzialmente, dello spazio delle funzioni differenziabili. Il sottoinsieme delle funzioni le cui prime $k$ derivate sono limitate è uno spazio vettoriale.
La derivabilità rispetto ad una variabile garantisce la continuità della funzione rispetto a tale variabile, sicché lo spazio $C^{1}(\mathbb {R} )$ delle funzioni differenziabili con continuità sul campo reale è contenuto nello spazio $C^{0}(\mathbb {R} )$ delle funzioni continue. In generale, $C^{k}$ è contenuto in $C^{k-1}$ per ogni $k$.
Di particolare importanza è l'insieme $C^{\infty }$ delle funzioni lisce, tra le quali vi sono i polinomi, e l'insieme $C^{\omega }$ delle funzioni analitiche, definite come le funzioni lisce che sono uguali alla loro espansione in serie di Taylor attorno ad ogni punto del dominio.

## Definizione

Sia $A$ un sottoinsieme aperto di $\mathbb {R} ^{m}$ e $k\in \mathbb {N}$. Una funzione di variabile reale $f:A\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$si dice di classe $C^{k}$ se in ogni punto di $A$ esistono tutte le derivate parziali di $f$ fino al $k$-esimo ordine, e tali derivate parziali sono funzioni continue. L'insieme delle funzioni di classe $C^{k}$ da $A$ in $\mathbb {R} ^{n}$ si indica generalmente con $C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})$; inoltre, è consuetudine porre anche $C^{k}(A):=C^{k}(A,\mathbb {R} )$. Se $k>0$, si ha perciò che $f\in C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})$ se e solo se
    ${\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{r}}}\in C^{k-1}(A)\qquad \forall r=1,\ldots ,m,\quad \forall i=1,\ldots ,n,$
dove $f_{i}$ indica la proiezione di $f$ sulla $i$-esima componente: formalmente, se per ogni $i=1,\ldots ,n$ poniamo
$\qquad {\begin{array}{ccccc}\pi _{i}&:&\mathbb {R} ^{n}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&a:=(a_{1},\ldots ,a_{n})&\mapsto &a_{i}\end{array}}$,
si ha $f_{i}:=\pi _{i}\circ f$.
Inoltre, per la convenzione secondo cui l'unica derivata parziale di $f$ di ordine $0$ è $f$ stessa, segue direttamente dalla definizione che $f\in C^{0}(A,\mathbb {R} ^{n})$ se e solo se $f$ è continua. Chiaramente, per ogni $k\in \mathbb {N}$ risulta $C^{k+1}(A,\mathbb {R} ^{n})\subseteq C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})$.
Una funzione $f:A\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ si dice poi di classe $C^{\infty }$(o liscia) se in ogni punto di $A$ esistono tutte le derivate parziali di $f$ di qualsiasi ordine, e tali derivate parziali sono funzioni continue; in altre parole, $f$ è liscia se e solo se $f\in C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})$ per ogni $k\in \mathbb {N}$. L'insieme delle funzioni lisce da $A$ in $\mathbb {R} ^{n}$ si indica generalmente con $C^{\infty }(A,\mathbb {R} ^{n})$. Evidentemente si ha $C^{\infty }(A,\mathbb {R} ^{n})=\bigcap _{k\in \mathbb {N} }C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})$.
Una funzione liscia $f\in C^{\infty }(A,\mathbb {R} ^{n})$ si dice di classe $C^{\omega }$ (o analitica) se per ogni $x_{0}\in A$ esiste un intorno $U(x_{0})\subseteq A$ di $x_{0}$ in $A$ tale che $f(x)=T_{f,x_{0}}(x)$ per ogni $x\in U(x_{0})$, ove $T_{f,x_{0}}$ denota lo sviluppo di Taylor di $f$ centrato in $x_{0}$. L'insieme delle funzioni analitiche da $A$ in $\mathbb {R} ^{n}$ si indica con $C^{\omega }(A,\mathbb {R} ^{n})$.
È possibile fornire esempi di funzioni lisce ma non analitiche.

## L'insieme di definizione

Particolare attenzione bisogna rivolgere all'insieme $A$ su cui è definita la funzione. Nella definizione di derivata il punto in cui si calcola il limite viene preso interno ad $A$ (oppure $A$ viene considerato aperto, cosicché tutti i suoi punti siano interni), poiché nei punti di frontiera l'operazione di limite si può applicare solo in modo parziale (solo da alcune "direzioni" e non da altre). Per questo motivo, se $A$ non è un aperto, l'affermazione $f\in C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})$ deve essere ulteriormente specificata. Non c'è un'unica versione accettata di tale generalizzazione: solitamente si assicura l'esistenza della derivata anche nei punti del bordo e si richiede che tale derivata si riallacci in modo sufficientemente "regolare" a quella nei punti interni. Ad esempio, ci si può "appoggiare" alla definizione precedente, data nel caso in cui il dominio sia un aperto, nel modo seguente: diciamo che $f$ è di classe $C^{k}$, ovvero $f\in C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})$, se e solo se esiste un aperto $\Omega$ contenente $A$ e una funzione ${\tilde {f}}\in C^{k}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ che estende $f$, cioè tale che ${\tilde {f}}_{|A}=f$.

## Lo spazio delle funzioni C$^k$

Dal punto di vista dell'analisi funzionale, se $\Omega$ è un insieme compatto in $\mathbb {R} ^{d}$ ($d$ naturale), lo spazio $C^{k}(\Omega )$ delle funzioni definite in $\Omega$ a valori reali (o complessi) di classe $k$ è uno spazio vettoriale; con la norma (norma lagrangiana di ordine $k$)
    $\|f\|_{C^{k}(\Omega )}={\begin{cases}\max _{\Omega }|f|&{\text{ se }}k=0\\\|f\|_{C^{0}(\Omega )}+\sum _{|\alpha |=1}^{k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }f\|_{C^{0}(\Omega )}&{\text{ se }}k>0\end{cases}}$
risulta essere uno spazio di Banach; $\mathrm {D} ^{\alpha }f$ è la derivata $\alpha$-esima di $f$ espressa nella notazione multi-indice.

## Esempi

* L'esponenziale ${\textrm {exp}}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\;{\textrm {exp}}(x):=e^{x}$ è una funzione di classe $C^{\infty }$, in quanto ha ogni derivata uguale a sé stessa: $D^{k}({\textrm {exp}})={\textrm {exp}}$ per ogni $k\in \mathbb {N}$; più precisamente, ${\textrm {exp}}$ è una funzione analitica.
* L'identità ${\textrm {id}}_{\mathbb {R} }$ è di classe $C^{\infty }$, in quanto ha derivata prima costante uguale a $1$ e ogni derivata successiva costante uguale a $0$. Più precisamente, è una funzione analitica, come ogni altra funzione polinomiale da $\mathbb {R}$ in sé.
* La tangente è una funzione di classe $C^{\infty }(\mathbb {R} \setminus \left(\pi /2+\pi \mathbb {Z} \right))$, cioè in tutto il suo insieme di definizione.
* La funzione $|x|$ è di classe $C^{0}$; essa appartiene a $C^{0}(\mathbb {R} )\cap C^{\infty }(\mathbb {R} \setminus \left\{0\right\})$, in quanto in $0$ non è derivabile.
* La funzione $|x|^{p}$ è di classe $C^{k}$ se $k<p\leq k+1$.