# Approssimazione lineare

In analisi matematica, un'approssimazione lineare è un tipo di approssimazione di una funzione a una retta o comunque a una funzione affine (la traslata di una funzione lineare). Questo procedimento è anche detto linearizzazione o sviluppo al primo ordine della funzione.
Le approssimazioni lineari sono usate correntemente in molte aree della matematica e della fisica, perché consentono, sotto ipotesi opportune, di semplificare problemi complessi (e talvolta non altrimenti risolubili per via analitica).

## Definizione
### Funzioni reali di variabile reale

Sia $f:E\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ una funzione reale di variabile reale derivabile in $E$. Possiamo allora scrivere il polinomio di Taylor della funzione centrato in $a\in E$, arrestato al primo ordine:
    $f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+o(x-a)$
dove la notazione o piccolo $o(x-a)$ indica che:
    $\lim _{x\to a}{\frac {o(x-a)}{x-a}}=0$
cioè che il resto trascurato durante l'approssimazione è un infinitesimo di ordine superiore al primo. Possiamo scrivere l'approssimazione come:
    $f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$
che è l'equazione di una retta; essa viene chiamata retta tangente al grafico di $f$ nel punto di ascissa $a$. Questa è la retta che approssima linearmente $f$ attorno ad $a$, ed è definita solo per funzioni derivabili almeno una volta in tale punto; una funzione derivabile in un punto, infatti, può essere "vista a ingrandimenti sempre maggiori" fino a essere indistinguibile, negli immediati paraggi del punto, da una retta: questa è la retta tangente.

### Funzioni di variabile vettoriale

Sia $f:\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ una funzione reale a $n$ variabili reali $x_{1},\cdots ,x_{n}$, differenziabile in $\Omega$ aperto. Lo sviluppo al primo ordine di $f$ attorno ad $\mathbf {a} \in \Omega$ si può scrivere:
    $f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+\nabla f(\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {a} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {a} \|)$
dove:
    $\nabla f(\mathbf {a} )=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ),\cdots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} )\right)$
è il gradiente di $f$ calcolato nel punto $\mathbf {a}$ e
    $\nabla f(\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {a} )=\sum _{i=0}^{n}{{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {a} )(x_{i}-a_{i})}$.
Questo prodotto scalare definisce un iperpiano $n$-dimensionale tangente al grafico (immerso nell'$(n+1)$-spazio) della funzione nel punto $\mathbf {a}$; questo iperpiano (che nel caso $n=1$ è proprio la retta tangente) approssima linearmente la funzione attorno ad $\mathbf {a}$, e la funzione approssimante:
    $f(\mathbf {x} )\approx f(\mathbf {a} )+\nabla f(\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {a} )$
è una funzione affine, data la linearità del prodotto scalare.
Nel caso di funzioni vettoriali $\mathbf {f} :\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ di componenti:
    $\mathbf {f} (\mathbf {x} )=(f_{1}(\mathbf {x} ),\cdots ,f_{m}(\mathbf {x} ))$
differenziabili una volta in $\Omega$ aperto, è possibile approssimare linearmente la funzione componente per componente, ottenendo (per un $\mathbf {a} \in \Omega$):
    $f_{i}(\mathbf {x} )\approx f_{i}(\mathbf {a} )+\nabla f_{i}(\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {a} )$
per ogni $i$ da 1 a $m$; usando la notazione vettoriale, si può scrivere:
    $\mathbf {f} (\mathbf {x} )\approx \mathbf {f} (\mathbf {a} )+\mathbf {J} _{f}(\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {a} )$
dove:
    $\mathbf {J} _{f}(\mathbf {a} )={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} )\\\vdots &\cdots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} )\end{bmatrix}}$
è la matrice jacobiana della funzione $\mathbf {f}$ calcolata nel punto $\mathbf {a}$, la quale contiene tutti i gradienti delle $m$ componenti di $f$; naturalmente, se $n=m=1$, si ritrova la formula della retta tangente.

### Generalizzazione

Una funzione definita su uno spazio di Banach può similmente essere approssimata tramite la funzione lineare:
    $f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)$
dove $Df(a)$ è la derivata di Fréchet di $f$ nel punto $a$.