# Modello della ragnatela

Il modello della ragnatela è una teoria che cerca di spiegare la fluttuazione dei prezzi, e gli esempi classici forniti dalla letteratura espongono il caso del settore agricolo. I coltivatori possono seminare del frumento o del granoturco. La loro scelta dipende dai prezzi che sperano di ricevere al momento del raccolto. Supponiamo che i coltivatori prendono il prezzo attuale come stima del prezzo atteso (aspettativa statica: $p_{t+1}^{a}=p_{t}$). Se il prezzo del frumento è alto e quello del granoturco basso, i coltivatori semineranno molto grano. Al momento della raccolta il prezzo del grano sarà basso (si suppone che i coltivatori siano obbligati a vendere tutto il loro raccolto) e quello del granoturco alto. La prossima stagione i coltivatori semineranno poco frumento e alla prossima raccolta il prezzo sarà alto. Ci sarà quindi un ciclo dei prezzi con dei valori alti che alternano con dei valori bassi.
Un altro esempio è quello del ciclo del maiale: se il prezzo dei suini è alto si alleveranno molti maiali e dopo alcuni mesi, al momento della vendita, il prezzo sarà basso (gli allevatori sono obbligati a venderli e allora l'offerta è forte e il prezzo basso). Ci saranno meno suini allevati e così di seguito.

## Il modello

Sia la funzione di offerta al periodo t:
    $q_{t}^{s}=c+fp_{t}^{a}$
dove q è la quantità, $p_{t}^{a}$ il prezzo di vendita previsto e c, f dei parametri positivi.
Supponiamo che l'allevatore prenda il prezzo odierno come stima del prezzo atteso (aspettative statiche: $p_{t}^{a}=p_{t-1}$). La funzione di offerta diventa:
    $q_{t}^{s}=c+fp_{t-1}$
Se la domanda è la funzione lineare seguente:
    $q_{t}^{d}=a+bp_{t}$
con a > 0 et b < 0 , si ottiene il prezzo di equilibrio uguagliando queste due funzioni:
    $p_{t}={\frac {c-a}{b}}+{\frac {f}{b}}p_{t-1}$
La soluzione di questa equazione di differenze finite è:
    $p_{t}=\left[p_{o}-{\frac {c-a}{b-f}}\right]\left({\frac {f}{b}}\right)^{t}+{\frac {a-c}{f-b}}$
Siccome $f/b$ è un valore negativo, si ottengono delle oscillazioni dei prezzi attorno al prezzo di equilibrio di lungo periodo $p^{*}=[(a-c)/(f-b)]$ siccome $(f/b)^{t}$ è negativo o positivo secondo che l'esponente sia un numero pari o un numero dispari.
Nel grafico con equilibrio stabile, se la quantità prodotta è $q_{1}$ il prezzo pagato è $p_{1}$. Questo alto prezzo conduce a una forte produzione $q_{2}$ nel periodo seguente (si veda la curva di offerta s) ma allora il prezzo pagato sarà basso (affinché la domanda D possa assorbire questa quantità) e così di seguito. Si ottiene un grafico che assomiglia ad una ragnatela.
Se f è superiore al valore assoluto di b, l'equilibrio è instabile e le oscillazioni dei prezzi pagati diventano sempre più forti. In altri termini, se l'elasticità dell'offerta è superiore all'elasticità della domanda, non c'è limite nella fluttuazione dei prezzi. Samuelson suppone allora che a partire da un certo livello di fluttuazione l'elasticità dell'offerta diventa inferiore a quella della domanda. In questo caso i prezzi oscillano tra due limiti fissi.

## Le critiche

Le aspettative statiche non sono molto realiste. Il coltivatore dovrebbe rendersi conto che prevede un prezzo alto e ottiene un prezzo basso o viceversa. In realtà il problema non è così semplice poiché altri fattori intervengono nel calcolo del prezzo e possono contrastare o annullare la tendenza teorica. Per esempio, il morbo della mucca pazza ha fatto aumentare il prezzo della carne di maiale.
Affinché l'equilibrio sia stabile bisogna che l'elasticità della domanda sia più forte di quella dell'offerta. In realtà si costata il contrario e allora l'equilibrio sarebbe instabile. Inoltre, la lunghezza dei cicli prevista dal modello (due volte la durata della produzione) è inferiore ai valori osservati.
Si potrebbe supporre che il prezzo previsto sia il prezzo attuale più una modifica prevista:
    $p_{t+1}^{a}=p_{t}+\delta$
dove $\delta$ è un valore negativo quando il prezzo attuale è considerato troppo alto e un valore positivo quando è considerato troppo basso.
Se le aspettative sono adattive la funzione di offerta diventa:
    $q_{t}^{s}=c+f\left[\beta p_{t-1}+(1-\beta )p_{t-1}^{a}\right]$
Uguagliando l'offerta e la domanda si ottiene:
    $p_{t}=\left[\left({\frac {f}{b}}-1\right)\beta +1\right]p_{t-1}+{\frac {(c-a)\beta }{b}}$
e la soluzione è:
    $p_{t}=(p^{*}-p_{o})\left[\left({\frac {f}{b}}-1\right)\beta +1\right]^{t}+p^{*}$
Quando $\beta$ è debole l'equilibro sarà quasi sempre stabile.
Se le aspettative sono razionali, gli errori di previsione sono senza bias e non sono correlati. Tuttavia, il ciclo sparisce. Bisogna introdurre delle variabili aleatorie (condizioni climatiche, modificazioni della domanda, eccetera) se si vuole ottenere un ciclo dei prezzi agricoli.