# Teorema di Riesz-Fischer

In matematica, in particolare in analisi reale, il teorema di Riesz–Fischer stabilisce che in uno spazio completo ogni successione a quadrato sommabile definisce una funzione quadrato sommabile. In particolare, il teorema determina le condizioni per cui gli elementi di una successione in $l^{2}$ sono i coefficienti di Fourier di un qualche vettore di $L^{2}$. Dal teorema segue inoltre che una funzione è a quadrato integrabile se e solo se la serie dei coefficienti di Fourier converge nello spazio $l^{2}$.
A causa dell'importanza del fatto che $L^{2}$ sia un insieme completo, a volte con "teorema di Riesz–Fischer" si denota il teorema che ne stabilisce la completezza stessa.
Il teorema è stato formulato indipendentemente dal matematico ungherese Frigyes Riesz e dal matematico austriaco Ernst Fischer nel 1907, ed è una forma più forte della disuguaglianza di Bessel. Si può adoperare per dimostrare l'identità di Parseval per le serie di Fourier.

## Il teorema

Siano: $\{u_{\alpha }:\alpha \in A\}$ una base ortonormale e completa di vettori in uno spazio di Hilbert $H$ (completo e con $(,)$ prodotto interno) e sia $\phi _{\alpha }\in l^{2}(A)$ una successione.
La sommatoria di numeri ∑|ϕ$_α$|$^2${\textstyle \sum |\phi _{\alpha }|^{2}} converge se e solo se la sommatoria (serie di Fourier) di vettori ∑ϕ$_α$u$_α${\textstyle \sum \phi _{\alpha }u_{\alpha }} converge ad un (unico) vettore $f\in H$ nella topologia indotta dal prodotto scalare, quadratico, dello spazio. Gli elementi della successione siano i coefficienti di Fourier di $f$ : è ϕ$_α$=(f, u$_α$){\textstyle \phi _{\alpha }=(f, u_{\alpha })}.
In modo equivalente si traspone tutto il discorso nello spazio delle funzioni quadrato sommabili. Data la base completa $\{u_{\alpha }\}\in L^{2}([a,b])$, l'appartenenza di $\phi _{\alpha }$ all'insieme delle successioni a quadrato sommabili comporta l'esistenza di una funzione $f$ tale che ∫$_a$$^b$f(x)u$_α$(x)dx=ϕ$_α${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)u_{\alpha }(x)\mathrm {d} x=\phi _{\alpha }} per ogni $\alpha$.

## Conseguenze

Il teorema implica che se l'N-esima somma parziale della serie di Fourier corrispondente a una funzione $f$ è data da:
    $S_{N}f(x)=\sum _{n=-N}^{N}F_{n}\,e^{inx}$
dove $F_{n}$ è l'n-esimo coefficiente di Fourier:
    $F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,e^{-inx}\,dx$
allora:
    $\lim _{n\to \infty }\left\Vert S_{n}f-f\right\|=0$
dove:
    $\left\Vert g\right\|=\int _{-2\pi }^{2\pi }g^{2}\,dx$
è la norma-$L^{2}$
Viceversa, se $\{a_{n}\}$ è una successione bilatera di numeri complessi, ossia il suo indice spazia da $-\infty$ a $+\infty$, tale che:
    $\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|a_{n}\right\vert ^{2}<\infty$
allora esiste una funzione $f$ a quadrato integrabile tale che i valori $a_{n}$ sono i coefficienti di Fourier di $f$.

## Completezza di L$^p$

La dimostrazione che lo spazio $L^{p}$ è completo si basa sui teoremi che caratterizzano la convergenza delle serie di funzioni integrabili secondo Lebesgue. Quando $1\leq p\leq \infty$ la disuguaglianza di Minkowski implica che $L^{p}$ è uno spazio normato. Per provare che $L^{p}$ è completo, cioè che è uno spazio di Banach, è sufficiente provare che ogni serie di funzioni $\sum u_{n}$ in $L^{p}(\mu )$, con $\mu$ che può essere la misura di Lebesgue, tale che:
    $\sum \|u_{n}\|_{p}<\infty$
converge nella norma di $L^{p}$ a qualche funzione $f\in L^{p}(\mu )$. Per $p\leq \infty$, la disuguaglianza di Minkowski e il teorema della convergenza monotona implicano che:
    $\int {\Bigl\sum _{n=0}^{\infty }|u_{n}|{\Bigr )}^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq {\Bigl\sum _{n=0}^{\infty }\|u_{n}\|_{p}{\Bigr )}^{p}<\infty$
e quindi:
    $f=\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}$
è definita quasi ovunque rispetto a $\mu$ e appartiene a $L^{p}(\mu )$. Il teorema della convergenza dominata è allora sfruttato per mostrare che la somma parziale della serie converge a $f$ nella norma di $L^{p}$:
    $\int \left|f-\sum _{k=0}^{n}u_{k}\right|^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq \int \left(\sum _{\ell >n}|u_{\ell }|\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu \rightarrow 0{\text{ per }}n\rightarrow \infty$
Il caso $0\leq p\leq 1$ richiede alcune modifiche a causa del fatto che la p-norma non è più subadditiva. Si comincia con l'assunzione che:
    $\sum \|u_{n}\|_{p}^{p}<\infty$
e si usa ripetutamente il fatto che:
    $\left|\sum _{k=0}^{n}u_{k}\right|^{p}\leq \sum _{k=0}^{n}|u_{k}|^{p}{\text{ per }}p<1$
Il caso $p=\infty$ si riduce a una semplice questione riguardante la convergenza uniforme al di fuori di un insieme di misura nulla rispetto alla misura $\mu$.