# Funzione periodica

In matematica, a livello intuitivo, per funzione periodica si intende una funzione che assume valori che si ripetono esattamente a intervalli regolari.

## Definizione

Una funzione $f\colon A\to B$ definita su un gruppo abeliano $A$ è periodica di periodo $t$, con $t\in A$, se $f(a+t)=f(a)$ per ogni $a\in A$.

## Funzioni di variabile reale

Le funzioni periodiche più note sono le funzioni reali di variabile reale. Formalmente, una funzione reale $f\colon A\to B$ si dice periodica di periodo $t$ se esiste un numero reale $t\in \mathbb {R}$ tale che:
* il dominio $A$ è invariante per traslazione di $t$, ovvero $A+t=\{a+t\mid a\in A\}=A$;
* la funzione $f$ è invariante per traslazione di $t$, ovvero per ogni $a\in A$ si ha $f(a+t)=f(a)$.

### Moduli

Se $f$ è periodica di periodo $t_{1}$ ed è periodica di periodo $t_{2}$, allora è periodica di ogni periodo
    $t\in t_{1}\mathbb {Z} +t_{2}\mathbb {Z} =\{mt_{1}+nt_{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}$.
L'insieme ${\mathcal {T}}_{f}$ dei periodi $t$ di $f$ è quindi uno $\mathbb {Z}$-modulo.
* Se ${\mathcal {T}}_{f}=\{0\}$, ovvero se $f$ ha il solo periodo $0$, allora $f$ è detta aperiodica.
* Se ${\mathcal {T}}_{f}$ è un modulo libero di dimensione $1$, ovvero se ${\mathcal {T}}_{f}=t\mathbb {Z}$ con $t>0$, ovvero se esiste un minimo tra i periodi $t>0$, allora $f$ è detta periodica di periodo minimo $t$, o periodica di periodo $t$ in senso stretto.
* Il modulo ${\mathcal {T}}_{f}$ non è necessariamente libero di dimensione $0$ o $1$, ovvero potrebbe non esistere un minimo periodo strettamente positivo; ad esempio, la funzione di Dirichlet ha ${\mathcal {T}}_{f}=\mathbb {Q}$ e non è né aperiodica né periodica in senso stretto.

### Domini limitati

Da ogni funzione a valori reali definita su un dominio limitato si può definire una funzione periodica, di periodo maggiore o uguale all'ampiezza del dominio. Ad esempio, la funzione identità ristretta all'intervallo $[0,1)$,
    ${\begin{aligned}f\colon [0,1[&\to \mathbb {R} \\x&\mapsto x,\end{aligned}}$
definisce una funzione periodica di periodo 1 definita su tutti i reali: la parte frazionaria
    ${\begin{aligned}{\tilde {f}}\colon \mathbb {R} &\to \mathbb {R} \\x&\mapsto x-[x].\end{aligned}}$

### Esempi

* Le funzioni trigonometriche seno e coseno sono periodiche di periodo minimo $2\pi$.
* Sono quindi automaticamente periodiche le funzioni:
** $\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$ e $\cot(x)={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}$, che hanno periodo minimo $\pi$;
** $\sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}$ e $\csc(x)={\frac {1}{\sin(x)}}$, che hanno periodo minimo $2\pi$.

## Funzioni doppiamente periodiche

Una funzione può ammettere due o più periodi non commensurabili (la definizione dipende dalle caratteristiche che si richiedono al dominio).
Ad esempio, una funzione ellittica è una funzione doppiamente periodica:
    è definita dall'insieme dei numeri complessi in sé, $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$;
    è periodica rispetto a due periodi, $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} ^{\ast },\ \forall z\in \mathbb {C} \ f(z+\omega _{1})=f(z+\omega _{2})=f(z)$;
    questi due periodi sono "incommensurabili", $\omega _{1}/\omega _{2}\not \in \mathbb {R} .$