# Simbolo di Christoffel

In geometria differenziale, i simboli di Christoffel sono dei coefficienti che codificano completamente una connessione in una carta particolare. I simboli dipendono fortemente dalla carta scelta: questi non sono infatti dei tensori. Si devono a Elwin Bruno Christoffel.

## Definizione

Sia $M$ una varietà differenziabile dotata di una connessione, ovvero di una derivata covariante $\nabla$. Una carta fornisce un diffeomorfismo fra un aperto di $M$ ed un aperto $A$ di $\mathbb {R} ^{n}$. Nell'aperto $A$ sono definiti i campi di vettori coordinati costanti $e_{1},\ldots ,e_{n}$ e quindi tutti i tensori possono essere agevolmente scritti in coordinate. In un punto di $A$, la derivata covariante del campo $e_{i}$ nella $j$-esima direzione è una combinazione lineare
    $\nabla _{j}e_{i}=\Gamma _{ij}^{1}e_{1}+\dots +\Gamma _{ij}^{n}e_{n}=\Gamma _{ij}^{k}e_{k}.$
con alcuni coefficienti $\Gamma _{ij}^{k}$. Nell'ultima espressione si fa uso della notazione di Einstein. Questi coefficienti sono i simboli di Christoffel della connessione, nella carta scelta.
I simboli di Christoffel sono definiti per ogni punto: quindi ogni $\Gamma _{ij}^{k}$ è una funzione liscia:
    $\Gamma _{ij}^{k}:A\to \mathbb {R}$
dipendente da tre parametri $i,j,k$. I simboli di Christoffel descrivono completamente e concretamente la derivata covariante $\nabla$ nella carta.

### Notazione

In alcuni testi è possibile che i simboli di Christoffel siano presentati con una notazione diversa. Una prima possibilità è la seguente:
    $\left\{{\sigma \atop \mu \lambda }\right\}=\Gamma _{\mu \lambda }^{\sigma }\qquad \left\{\mu \lambda ,\sigma \right\}=\Gamma _{\sigma ,\mu \lambda }=g_{\sigma \rho }\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\,.$
Mentre nel testo originale di Einstein si trova la notazione
    $\left\{{\mu \lambda \atop \sigma }\right\}=\Gamma _{\mu \lambda }^{\sigma }\qquad \left[{\mu \lambda \atop \sigma }\right]=\Gamma _{\sigma ,\mu \lambda }=g_{\sigma \rho }\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\,.$

## Proprietà
### Oggetto non tensoriale

Nonostante la notazione, i simboli di Christoffel non sono dei tensori. Con questa espressione, un po' impropria, si intende dire la seguente cosa: si prendano due carte $(U,\varphi )$ e $(U,{\hat {\varphi }})$ definite su un aperto comune $U$, esse inducono su $U$ delle coordinate differenti $(x_{1},\ldots ,x_{n}),({\hat {x}}_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{n})$ che generano rispettivamente dei simboli di Christoffel $\Gamma _{ij}^{k}$ e ${\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}$. A questo punto si possono ben definire localmente due tensori:
    $t=\Gamma _{ij}^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}\quad {\text{ e }}\quad {\hat {t}}={\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}{\frac {\partial }{\partial {\hat {x}}^{k}}}\otimes d{\hat {x}}^{i}\otimes d{\hat {x}}^{j}$.
Se ora le $\Gamma _{ij}^{k}$ fossero le componenti (nella carta in cui sono calcolate) di un unico campo tensoriale esso dovrebbe coincidere necessariamente sia con $t$ che con ${\hat {t}}$, quindi la relazione tra i $\Gamma _{ij}^{k}$ e i ${\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}$ dovrebbe essere quella che lega le componenti di un tensore $(1,2)$ in due carte diverse. Ma noi abbiamo già una formula per calcolare sia i ${\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}$ che i $\Gamma _{ij}^{k}$ e quindi o trasformano nel modo corretto o non lo fanno. Il computo mostra che non lo fanno, essi sono collegati dalla relazione:
    ${\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}={\frac {\partial x^{p}}{\partial {\hat {x}}^{i}}}\,{\frac {\partial x^{q}}{\partial {\hat {x}}^{j}}}\,\Gamma _{pq}^{r}\,{\frac {\partial {\hat {x}}^{k}}{\partial x^{r}}}+{\frac {\partial {\hat {x}}^{k}}{\partial x^{m}}}\,{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial {\hat {x}}^{i}\partial {\hat {x}}^{j}}}.$
A causa del secondo addendo a destra, i simboli di Christoffel non mutano come le coordinate di un tensore $(1,2)$.

### Torsione

I simboli di Christoffel non sono tensori. La differenza fra due simboli di Christoffel è però un tensore: nella formula relativa ad un cambiamento di coordinate, il secondo addendo a destra (descritto sopra) infatti si cancella e resta solo il primo. D'altra parte, se $\Gamma _{ij}^{k}$ è un simbolo di Christoffel, anche il simbolo $\Gamma _{ji}^{k}$ ottenuto scambiando le variabili $i$ e $j$ è un simbolo di Christoffel (e descrive un'altra connessione). La loro differenza
    $T_{ij}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}-\Gamma _{ji}^{k}.$
è quindi un tensore. Questo tensore è la torsione della connessione. Quindi una connessione ha torsione (ovunque) nulla se e solo se i simboli di Christoffel sono (ovunque) simmetrici rispetto ai due indici in basso.

### Connessione di Levi-Civita

Fissato un tensore metrico $g$ su una varietà differenziabile, esiste un'unica connessione senza torsione in cui il tensore metrico ha derivata covariante nulla. Questa connessione è detta connessione di Levi-Civita ed è quella abitualmente utilizzata per una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana. I simboli di Christoffel che definiscono questa connessione sono ricavabili in una qualsiasi carta dalla relazione seguente:
    $\Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{il}\left({\frac {\partial g_{lj}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{lk}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{l}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{il}\left(\partial _{k}g_{lj}+\partial _{j}g_{lk}-\partial _{l}g_{jk}\right)$
Nella relazione sono presenti il tensore metrico e le sue derivate parziali rispetto alle coordinate fissate dalla carta (le derivate parziali non coincidono con la derivata covariante del tensore metrico, che è nulla). Nell'ultimo passaggio si è utilizzata la convenzione :
    ${\frac {\partial }{\partial x^{k}}}=\partial _{k}$
per le derivate parziali.

## Applicazioni
### Derivata covariante di un campo tensoriale

La derivata covariante di un campo vettoriale $v$ può essere calcolata in una carta facendo uso dei simboli di Christoffel nel modo seguente:
    $\nabla _{j}v^{i}={\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}+\Gamma _{jk}^{i}v^{k}.$
Analogamente, la derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (0,1) è data da:
    $\nabla _{j}v_{i}={\frac {\partial v_{i}}{\partial x^{j}}}-\Gamma _{ij}^{k}v_{k}$
La derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (2,0) è data da:
    $\nabla _{k}v^{ij}={\frac {\partial v^{ij}}{\partial x^{k}}}+\Gamma _{k\ell }^{i}v^{\ell j}+\Gamma _{k\ell }^{j}v^{i\ell }$