# Regressione Fama-MacBeth

Nelle applicazioni empiriche dell'economia finanziaria, una regressione Fama-MacBeth è un metodo di stima applicato a un panel di dati. Ipotizzando un panel di $T$ anni (o giorni, settimane, mesi: in generale, periodi), ove per ogni anno $t=1,\ldots ,T$ si hanno $N_{t}$ osservazioni sezionali, la procedura di Fama-MacBeth parte dalla stima di $T$ regressioni su dati sezionali:
       $\ y_{it}=\alpha _{t}+\beta _{t}'x_{it},\quad i=1,\ldots ,N_{t},\ t=1,\ldots ,T$
Si ottiene così una serie di $T$ stime dei coefficienti ${\hat {\alpha }}_{t}$, ${\hat {\beta }}_{t}$; la stima di Fama-MacBeth dei parametri ${\hat {\alpha }}$ e ${\hat {\beta }}$ è data da una media delle $T$ stime:
       ${\hat {\alpha }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\alpha }}_{t}$
       ${\hat {\beta }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\beta }}_{t}$
Il metodo di Fama-MacBeth rappresenta un metodo immediato di stima di modelli di regressione su dati panel, ed è particolarmente indicato in presenza di correlazione seriale nelle variabili $y_{it}$, $x_{it}$ (in quanto ne elimina gli effetti sulle stime — v. regressione spuria — per costruzione).
La procedura prende il nome da Eugene Fama e James MacBeth, che per primi la applicarono in un noto lavoro apparso nel 1973 sul Journal of Political Economy.

## Descrizione del metodo e inferenza

Come illustrato sopra, le stime dei parametri di un modello di regressione lineare:
       $\ y_{it}=\alpha _{t}+\beta _{t}'x_{it},\quad i=1,\ldots ,N_{t},\ t=1,\ldots ,T$
sono ottenute, tramite il metodo di Fama e MacBeth, come:
       ${\hat {\alpha }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\alpha }}_{t}$
       ${\hat {\beta }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\beta }}_{t}$
dove ${\hat {\alpha }}_{t}$, ${\hat {\beta }}_{t}$ sono le stime dei parametri $\alpha$ e $\beta$ per lo stesso modello, stimato su dati relativi a un singolo anno (o periodo di tempo in cui è suddiviso il panel di dati).
Le statistiche t di Student per il test dell'ipotesi nulla che un coefficiente del modello sia uguale a zero sono date da:
       ${\hat {t}}_{k}={\frac {{\hat {\beta }}^{(k)}}{\sqrt {{\frac {1}{T(T-1)}}\sum _{t=1}^{T}\left({\hat {\beta }}_{t}^{(k)}-{\hat {\beta }}^{(k)}\right)^{2}}}}$
dove ${\hat {\beta }}^{(k)}$ denota la componente $k$-esima del vettore di stime ${\hat {\beta }}$.

## Proprietà asintotiche

Riscrivendo il modello della sezione precedente in notazione matriciale:
       $y_{t}=X_{t}\beta +\varepsilon _{t},\quad t=1,\ldots ,T$
lo stimatore di Fama-MacBeth per il vettore di parametri $\beta$ è dato da:
       ${\hat {\beta }}={\frac {1}{T}}\sum _{t}(X_{t}'X_{t})^{-1}X_{t}'y_{t}=\beta +{\frac {1}{T}}\sum _{t}(X_{t}'X_{t})^{-1}X_{t}'\varepsilon _{t}=\beta +{\frac {1}{T}}\sum _{t}\left({\frac {X_{t}'X_{t}}{N_{t}}}\right)^{-1}{\frac {X_{t}'\varepsilon _{t}}{N_{t}}}$
Seguendo l'approccio standard dei testi di econometria (cfr. ad es. Greene (2003)), si ipotizzi:
* $\mathrm {plim} _{N_{t}\rightarrow \infty }{\frac {1}{N_{t}}}X_{t}'X_{t}=Q_{t}\ \forall \ t$, e $\exists \ Q_{t}^{-1}\ \forall \ t$;
* $\mathrm {plim} _{N_{t}\rightarrow \infty }{\frac {1}{N_{t}}}X_{t}'\varepsilon _{t}=\mathbf {0} \ \forall \ t$.
dove $\mathrm {plim}$ denota la convergenza in probabilità. Si ha dunque:
       $\mathrm {plim} _{N_{t}\rightarrow \infty \ \forall \ t}{\hat {\beta }}=\beta +{\frac {1}{T}}\sum _{t}Q_{t}^{-1}\mathrm {plim} _{N_{t}\rightarrow \infty }{\frac {X_{t}'\varepsilon _{t}}{N_{t}}}=\beta$
Lo stimatore di Fama-MacBeth gode dunque della proprietà di consistenza.
Sotto una serie di condizioni standard (si veda ancora Greene (2003)), è possibile applicare il teorema del limite centrale agli stimatori OLS ${\hat {\beta }}_{t}$:
       ${\sqrt {N_{t}}}\left({\hat {\beta }}_{t}-\beta \right)\ {\stackrel {d}{\rightarrow }}\ z\sim {\mathcal {N}}\left(\mathbf {0} ,\sigma ^{2}Q_{t}^{-1}\right)$
dove $\sigma ^{2}=\mathrm {plim} _{N_{t}\rightarrow \infty }{\frac {1}{N_{t}}}\varepsilon _{t}'\varepsilon _{t}$ e ${\stackrel {d}{\rightarrow }}$ denota la convergenza in distribuzione. Ma allora lo stimatore di Fama-MacBeth è una media aritmetica di vettori casuali aventi distribuzione normale, ed è, di conseguenza, anch'esso normalmente distribuito. Ipotizzando che $\mathrm {plim} _{N_{t}\rightarrow \infty }{\frac {1}{N_{t}}}\varepsilon _{t}\varepsilon _{\tau }'=\mathbf {0} \ \forall \ \tau \neq t$ (assenza di correlazione seriale), in particolare, si avrà:
       ${\hat {\beta }}\ {\stackrel {d}{\rightarrow }}\ {\mathcal {N}}\left(\beta ,{\frac {\sigma ^{2}}{T}}\sum _{t}Q_{t}^{-1}\right)$
nel limite per $N_{t}\rightarrow \infty \ \forall \ t$.
È sulla base dell'espressione sopra che risulta legittimo ricorrere a statistiche $t$ di Student come quelle descritte nella Sezione precedente.

### Correlazione seriale

In presenza di correlazione seriale dei termini di errore $\{\varepsilon _{t}\}_{t}$, la matrice varianza-covarianza dello stimatore di Fama-MacBeth deve essere modificata. La particolare forma della matrice varianza-covarianza dipenderà dalla forma di correlazione seriale ipotizzata; Cochrane (2003, cap. 12) propone un adattamento delle varianze dei coefficienti basato sull'ipotesi che i termini di errore seguano, per ogni impresa, un processo autoregressivo di primo ordine (AR(1)):
       $\varepsilon _{it}=\rho \varepsilon _{it-1}+u_{it},\ u_{it}\sim \ iid\ {\mathcal {N}}(0,\sigma _{u}^{2})$
Sotto l'ipotesi sopra, si ha:
       $\sum _{j=-\infty }^{\infty }\mathrm {E} [\varepsilon _{it}\varepsilon _{it-j}]=\sigma ^{2}\sum _{j=-\infty }^{\infty }\rho ^{|j|}=\sigma ^{2}{\frac {1+\rho }{1-\rho }}$
Ma allora:
       $\mathrm {E} \left[\left({\hat {\beta }}_{t}-\beta \right)\left({\hat {\beta }}_{\tau }-\beta \right)'\right]=(X_{t}'X_{t})^{-1}X_{t}'\mathrm {E} (\varepsilon _{t}\varepsilon _{\tau }')X_{\tau }'(X_{\tau }'X_{\tau })^{-1}\propto \sigma ^{2}{\frac {1+\rho }{1-\rho }}$
In altre parole: la varianza di ciascun coefficiente del modello stimato deve essere moltiplicata per il fattore ${\frac {1+\rho }{1-\rho }}$ al fine di tenere conto dell'autocorrelazione dei termini di errore. Dunque si dovrebbe procedere come segue: (i) stimare il modello secondo la procedura di Fama-MacBeth; (ii) stimare le varianze dei coefficienti; (iii) ottenere una stima di $\rho$, dalla serie dei coefficienti; (iv) moltiplicare le varianze dei coefficienti ottenute in (ii) per ${\frac {1+\rho }{1-\rho }}$; (v) calcolare le statistiche $t$ sulla base delle varianze così moltiplicate.
L'approccio appena descritto gode di una qualche popolarità nella pratica recente. Petersen (2004) tuttavia lo critica, mostrando come sotto ipotesi generali sulla forma di correlazione che caratterizza il panel di dati oggetto di analisi la procedura di Cochrane (2003) spesso conduca a ritenere statisticamente significativi coefficienti che di fatto non lo sono.

## Applicazioni e variazioni

Il metodo di Fama e MacBeth è ampiamente utilizzato nelle applicazioni empiriche dell'economia finanziaria; secondo Petersen (2004), è più spesso impiegato nell'ambito dell'asset pricing, ma non mancano lavori che ne fanno uso in contesti di finanza aziendale.
Diversi lavori hanno inoltre applicato il metodo di Fama-MacBeth a modelli econometrici diversi dal modello lineare illustrato sopra. Fama e French (2001) adattano il metodo a un modello logit; Gompers et al. (2003) lo applicano a regressioni di Poisson e regressioni robuste.