# Moltiplicazione

La moltiplicazione è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica. È un modo rapido per rappresentare la somma di numeri uguali. Il risultato di una moltiplicazione è chiamato prodotto, mentre i due numeri moltiplicati sono detti fattori se considerati insieme, e rispettivamente moltiplicando e moltiplicatore se presi individualmente. È spesso indicata dal simbolo "per" a croce ×, oppure dal punto a mezza altezza matematico ⋅, o in ambito informatico dall'asterisco *.

## Notazione

Nella scrittura matematica, esistono due diversi simboli utilizzati per indicare la moltiplicazione: entrambe le seguenti notazioni significano "cinque moltiplicato per due volte" ed entrambe si leggono cinque per due:
    ${\begin{matrix}5\times 2\\5\cdot 2\end{matrix}}$
Qualora i due moltiplicandi non siano scritti in cifre, e quindi non ci sia il rischio di equivoco, è possibile anche semplicemente giustapporli, come in:
    $\,2z$
    $\,2(z+2)$
anche per leggere queste formule vale lo stesso principio: se non c'è rischio di equivoco si può omettere il per, come nella prima (due zeta), altrimenti verrà detto, come nella seconda (due per, aperta parentesi, zeta più due, chiusa parentesi o due per, tra parentesi, zeta più due) o infine due che moltiplica zeta più due.
Nei linguaggi di programmazione e nelle calcolatrici, la moltiplicazione viene solitamente indicata con l'asterisco (*), grazie ad una consuetudine nata dal linguaggio di programmazione FORTRAN.

## Definizione per numeri naturali

Dati due numeri interi positivi $n$ e $m$, detto il primo "moltiplicando" ed il secondo "moltiplicatore", la definizione di moltiplicazione non è altro che:
    $n\cdot m:=\underbrace {n+n+\dots +n} _{m{\text{ volte}}}$
ovvero "addizionare il numero $n$ per $m$ volte".
Usando una formula più ristretta, con il simbolo di sommatoria:
    $n\cdot m:=\sum _{k=1}^{m}n$
Quindi, per esempio:
* 2 × 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
* 5 × 2 = 5 + 5 = 10
* 3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
* m × 6 = m + m + m + m + m + m
Data la proprietà commutativa della moltiplicazione (vedi più in basso), talvolta si dà la seguente definizione (equivalente) di moltiplicazione:
    $n\cdot m:=\sum _{k=1}^{n}m=\underbrace {m+m+\dots +m} _{n{\text{ volte}}}$

## Proprietà algebriche

A partire dalla definizione, si può dimostrare che la moltiplicazione ha le seguenti proprietà:

### Proprietà commutativa

    Non ha importanza l'ordine con cui vengono moltiplicati due numeri. Infatti, per ogni coppia di numeri x e y,
    $x\cdot y=y\cdot x$
       È importante sottolineare che questa proprietà vale solo per i numeri (interi, razionali, reali, complessi), ma non vale sempre, ad esempio non vale quando si moltiplicano tra loro matrici e quaternioni.

### Proprietà associativa

    Per ogni terna di numeri x, y e z,
    $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$
    cioè non ha importanza l'ordine con cui vengono eseguite le operazioni se queste coinvolgono solo le moltiplicazioni.

### Proprietà distributiva rispetto all'addizione

    Si può "distribuire" la moltiplicazione ai vari addendi di una somma:
    $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$

### Elemento neutro

    Ogni numero moltiplicato per 1 è pari a se stesso:
    $x\cdot 1=x$
    $1\cdot x=x$
       Il numero 1 è detto anche elemento neutro per la moltiplicazione.

### Elemento zero

    La moltiplicazione di qualsiasi numero per zero ha zero come risultato:
    $x\cdot 0=0$
    per un qualunque x.
       Questa definizione è coerente con la proprietà distributiva, infatti:
       $x\cdot y=x\cdot (y+0)=(x\cdot y)+(x\cdot 0)$
Per la moltiplicazione nel campo dei numeri razionali (v. sotto) vale anche

### Esistenza dell'inverso

    Qualsiasi numero x, ad eccezione dello zero, ha un inverso rispetto alla moltiplicazione, ${\frac {1}{x}}$, cioè un numero definito in modo tale che:
    $x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1$

## La moltiplicazione con gli assiomi di Peano

Nel libro Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano propose un sistema assiomatico per i numeri naturali; due di questi assiomi riguardano la moltiplicazione:
    $a\times 1=a$
    $a\times b'=(a\times b)+a$
Qui b' rappresenta l'elemento dei numeri naturali successivo di b. Con gli altri nove assiomi di Peano, è possibile provare le regole comuni della moltiplicazione, come la proprietà distributiva e associativa. I due assiomi elencati forniscono una definizione ricorsiva della moltiplicazione.

## Numeri negativi e regola dei segni

Estendiamo l'operazione di moltiplicazione al caso dei numeri negativi, definendo quanto segue: dato x numero naturale
    $(-1)\cdot x=-x$
dove con − x si intende l'inverso additivo di x :
    $x+(-1)\cdot x=0$
Da qui abbiamo che la moltiplicazione di interi qualunque si riduce alla moltiplicazione di interi positivi e di $-1$. Lo schema che ne deriva è detto regola dei segni:
* Il prodotto di due numeri positivi è un numero positivo:
    $+\cdot \ +=\ +$
    ovvero "più per più fa più".
* Il prodotto di un numero negativo per un numero positivo, o viceversa, è un numero negativo:
    $+\cdot \ -=\ -$
       $-\cdot \ +=\ -$
    ovvero "più per meno fa meno".
* Il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo:
    $-\cdot \ -=\ +$
    ovvero "meno per meno fa più".
Quest'ultima regola pratica ha un'interpretazione anche nella vita reale. Supponiamo di guadagnare m euro l'anno; tra n anni avremo mn euro (un numero positivo), mentre se questo guadagno era iniziato nel passato allora n anni fa (cioè "tra meno n anni") avevamo mn euro in meno (un numero negativo). Se invece perdessimo m euro l'anno (cioè guadagnassimo "meno m euro"), tra n anni ne avremo mn in meno, ma n anni fa ne avevamo mn in più di quanti ne abbiamo ora.

## Numeri razionali, reali e complessi

La definizione di moltiplicazione si può infine estendere ai numeri razionali, ai numeri reali, e ai numeri complessi.
Per i numeri razionali abbiamo che
    ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}$,
verificando che la definizione è indipendente dai rappresentanti scelti.
Per i numeri reali, una definizione di moltiplicazione si può ottenere prendendo il modello di numero reale come sezione di Dedekind: dati due numeri reali positivi, rappresentati come sezioni in campo razionale, moltiplicando (con opportuni accorgimenti) i minoranti tra loro e i maggioranti tra loro si ottiene ancora una sezione, che rappresenta il prodotto dei due numeri. La definizione si può poi estendere a tutti i numeri reali seguendo la regola dei segni indicata nella sezione precedente.
Per i numeri complessi, infine, si ha:
    $(a+ib)\cdot (c+id)=[(ac-bd)+i(bc+ad)].$

## Computazione

* Metodi manuali:
** per moltiplicare due numeri con carta e penna, l'approccio più comune fa uso della tavola pitagorica, e di un algoritmo che ottiene il prodotto finale come somma di tanti prodotti di moltiplicazioni più semplici. Il tempo impiegato tramite questo metodo cresce con l'aumentare delle cifre dei numeri da moltiplicare; se si vuole risparmiare tempo, ed è sufficiente un risultato approssimato, si possono usare l'algoritmo di prostaferesi, o meglio ancora quello dei logaritmi.
** il supporto strumentale più antico è l'abaco che permette di ottenere risultati esatti. Risale al XV secolo il regolo calcolatore che dà risultati approssimati (ma è molto più rapido). Nel XX secolo, più per sfizio accademico che per reale necessità pratica, è stato progettato un regolo prostaferico
** nel 1962 il matematico russo Anatoly Karatsuba definisce il primo algoritmo per la moltiplicazione con complessità meno che quadratica; nel 1963 un altro russo, Andrei Toom, pone le basi per l'algoritmo di Toom-Cook, con complessità ancora inferiore.
* Metodi meccanici:
** Nel XVIII secolo Gottfried Leibniz perfeziona la pascalina aggiungendo la moltiplicazione alle funzioni disponibili.
* Metodi elettronici:
** Le moderne calcolatrici tascabili racchiudono la logica degli algoritmi in un microchip.
** Una panoramica dei modi per implementare informaticamente la moltiplicazione è disponibile su questa pagina.