# Lotto economico

In economia e ingegneria gestionale, il lotto economico è un modello di gestione delle scorte che definisce la quantità ottima di acquisto in modo da minimizzare la somma dei costi di approvvigionamento, e dei costi di mantenimento a magazzino.
Il modello di ordinazione a lotti crea delle scorte di ciclo, che vengono idealmente smaltite entro l'ordine successivo. Tuttavia si noti che ordinare a lotti non è l'unica possibilità di gestione delle scorte: infatti, la tecnica del Just in time, nata nell'industria giapponese, prevede che gli ordini vengano 'tirati' direttamente dalla domanda finale (e per questo si dice che il JIT è un sistema pull) e non spinti (push) da una decisione presa a priori, come avviene invece nella gestione a fabbisogno: ciò permette, quando tale tecnica è applicabile, di ridurre significativamente il livello di scorte (fermo restando che esistono varie logiche di misurazione e controllo di tali scorte).
Il modello EOQ (dall'inglese Economic Order Quantity) è stato proposto da F.W. Harris nel 1913, ma è attribuito principalmente a R. H. Wilson, che per primo studiò il caso. Nella letteratura economica recente, tuttavia, è conosciuto come modello di Harris-Wilson per la gestione delle scorte.
Esistono numerose varianti ed estensioni del modello EOQ, adatte a situazioni diverse. Ad esempio, è possibile tenere conto della velocità finita di riempimento del magazzino (modello EMQ), oppure del lead-time non nullo (modello del punto di riordino) per un problema multiperiodale (dove un "periodo" è sempre riferito al periodo di tempo intercorso tra un ordine e l'altro), oppure considerando il riordino di più di un prodotto (a cui si riferiscono i modelli di riordino multiprodotto).

## Il problema di base

Si consideri un'impresa che ha bisogno di materie prime per una quantità annua pari a S e che se ne approvvigioni a un prezzo unitario di p. Si ipotizzi che il fabbisogno di quelle materie prime sia costante nel tempo, e che non vi siano problemi per ripristinare le scorte. In questa ipotesi, l'azienda provvede, a scadenze regolari, a richiedere una quantità q>0 di S, in modo da avere sempre una scorta sufficiente. In magazzino, quindi, rimarrà sempre una quantità di scorte compresa fra q e 0. Volendo rappresentare questa situazione sul piano cartesiano (con il tempo sull'asse delle ascisse e la quantità presente in magazzino sulle ordinate), si avrà un diagramma a denti di sega, che mostra la funzione s(t) = scorte in t.
Ultima condizione è che, ad ogni ordine, viene addebitato all'impresa un costo di ordinazione indicato con g.
Sulla base di queste informazioni, si vuole fare in modo di minimizzare i costi variabili, acquistando una quantità idonea di S.
La gestione a lotto economico è applicabile sia agli ordini di acquisto che agli ordini di produzione. Nel caso degli ordini di produzione, viene ottimizzato il trade-off fra costo di attrezzaggio per ogni lotto e costo di mantenimento a scorta, il semilavorato è valorizzato con il costo variabile di produzione; nel caso degli ordini di acquisto, viene ottimizzato il trade-off fra costo di gestione dell'ordine e costo di mantenimento a scorta, e il particolare viene valorizzato con il prezzo di acquisto.
Se la produzione è gestita con lotto economico, la giacenza media dell'item nell'anno è pari $q \over 2$.

## Soluzione

Il costo totale annuo prevede tre componenti:
* la prima è il prezzo della materia prima, che è uguale a $pS$;
* la seconda è il costo di ordinazione, che è uguale a $gS/q$;
* la terza è il costo di detenzione della merce (il costo che si sostiene per tenere la materia prima in magazzino), che si ritiene essere proporzionale alla quantità media delle scorte $q/2$ secondo una costante m.
Dunque la funzione di costo totale è uguale a:
$C(q)=pS+{\frac {gS}{q}}+{\frac {mq}{2}}$.
Vogliamo calcolare la quantità ottimale $q^{*}$.
Derivando possiamo studiare il comportamento di C:
$C'(q)=-{\frac {gS}{q^{2}}}+{\frac {m}{2}}$.
Si noti che quest'ultima funzione non prevede il costo annuo della materia prima (il prezzo p è scomparso): infatti p non dipende da q.
Vogliamo trovare il minimo, per cui la derivata deve essere imposta uguale a 0:
$-{\frac {gS}{q^{2}}}+{\frac {m}{2}}=0$
da cui possiamo ricavare la formula per il calcolo di $q^{*}$ (non considerando, per ovvi motivi, il caso in cui la quantità ottimale sia 0):
$q^{*}={\sqrt {\frac {2Sg}{m}}}$.
A partire da quest'ultima espressione, è possibile ricavare il costo totale ottimo:
$C(q)=pS+{\frac {gS}{\sqrt {\frac {2Sg}{m}}}}+{\frac {m{\sqrt {\frac {2Sg}{m}}}}{2}}=pS+{\sqrt {2Sgm}}$.
Inoltre, ricavando la derivata seconda, si può osservare che in $q^{*}$ si ha un minimo globale nel dominio economico di C. Infatti si ha:
$C''(q)={\frac {gS}{q^{3}}}$
che è certamente maggiore di zero, se q è anch'esso maggiore di zero.
Infine, si ottiene che il lotto economico $q^{*}$ non è proporzionale a S.

## Ipotesi ulteriori

Il modello base di EOQ si può considerare anche con nuove ipotesi:
* un solo magazzino
* un solo prodotto
* magazzino a capacità infinita
* domanda costante e deterministica
* tempo di arrivo del lotto (lead time) nullo
* riempimento istantaneo del magazzino
* obbligo di evadere tutti gli ordini
* prodotti indipendenti tra loro
* costo di acquisto dei prodotti indipendente dalla quantità ordinata
* vita del prodotto infinita

### Formula

In questo caso la formula per calcolare l'EOQ per un singolo prodotto è:
$q^{*}={\sqrt {\frac {2gS}{pm}}}={\sqrt {\frac {2gS}{h}}}$
La formula del costo associato per unità di tempo per il lotto economico è:
$Ct(q^{*})={\sqrt {2gSh}}$
Nel caso che le consegne siano distribuite nel tempo
$q^{*}={\sqrt {\frac {2gS}{pm(1-{\frac {S}{Hr}})}}}$
I termini presenti nella formula hanno il seguente significato:
* $q^{*}$ = quantità ottima da ordinare o lotto economico di riordino
* $g$ = costi fissi legati all'ordinazione
* $S$ = domanda del prodotto o fabbisogno
* $p$ = costo unitario del prodotto
* $m$ = costo di mantenimento dell'unità monetaria per l'unità di tempo
* $h$ = costo percentuale di mantenimento per unità di prodotto per unità di tempo ($h=vi$)
* $H$ = tempo di apertura impianto
* $r$ = ritmo produttivo

## Soglia minima di ordinazione

Nella prassi, si osserva sovente che un fornitore offra un prezzo unitario $p_{0}<p$ per ordini che raggiungano una soglia minima $q_{0}$. Se $q^{*}\geq q_{0}$, la quantità ottimale sarà sempre uguale a $q^{*}$, con la differenza che si avrà un risparmio annuo di $(p-p_{0})S$. In generale sarà però necessario inserire come nuovo input il nuovo prezzo unitario e considerare il nuovo valore di lotto economico restituito.
Se invece $q^{*}<q_{0}$ le cose si complicano. Per risolvere il problema, occorre fare un confronto. Se
$(p-p_{0})S>{\frac {gS}{q_{0}}}+{\frac {mq_{0}}{2}}-{\sqrt {2Sgm}}$
allora la nuova quantità ottimale è $q_{0}$. In altre parole, è sempre conveniente acquistare $q_{0}$ se:
$p_{0}<{\frac {pS-{\frac {gS}{q_{0}}}-{\frac {mq_{0}}{2}}+{\sqrt {2Sgm}}}{S}}=p-\left({\frac {g}{q_{0}}}+{\frac {mq_{0}}{2S}}-{\sqrt {\frac {2gm}{S}}}\right)$