# RP (complessità)

Nella teoria della complessità computazionale, RP (Randomized Polynomial time, "tempo polinomiale randomizzato") è la classe di complessità dei problemi decisionali eseguiti su una macchina di Turing probabilistica.
Si può inoltre definire una classe molto vicina: co-RP.

## Definizione
### Una prima definizione

La classe RP è l'insieme dei problemi, o in modo equivalente dei linguaggi, per i quali esiste una macchina di Turing probabilistica in tempo polinomiale che soddisfa le seguenti condizioni di accettazione:
* Se la parola non è nel linguaggio, la macchina la rifiuta.
* Se la parola è nel linguaggio, la macchina l'accetta con una probabilità superiore a 1/2.
Si dice che la macchina "sbaglia solo da un lato".

### Definizione formale

Per un polinomio $T$ con dimensione dell'input $n$, si definisce $RTIME(T(n))$, l'insieme dei linguaggi $L$ per i quali esiste una macchina di Turing probabilistica $M_{L}$, nel tempo $T(n)$, tale che per ogni parola $x$ :
* $x\notin L\Rightarrow Pr(M_{L}(x)=0)=1$ .
* $x\in L\Rightarrow Pr(M_{L}(x)=1)\geq {\frac {1}{2}}$.
Allora si può definire RP come: $RP=\cup _{p\in N}RTIME(n^{p})$.

### Il ruolo della costante

La costante 1/2 è in realtà arbitraria, si può scegliere qualsiasi numero (costante) tra 0 e 1 (esclusi).
L'idea è che eseguendo il calcolo indipendentemente un numero polinomiale di volte $p(n)$, si può ridurre la probabilità di errore a $\left({\frac {1}{2}}\right)^{p(n)}$ nel caso in cui $x\in L$ (pur conservando una risposta sicura nel caso $x\not \in L$).

## La classe co-RP

La classe co-RP è l'insieme di linguaggi per i quali esiste una macchina di Turing probabilistica in tempo polinomiale che soddisfa le seguenti condizioni di accettazione:
* Se la parola è nel linguaggio, la macchina l'accetta.
* Se la parola non è nel linguaggio, la macchina lo rifiuta con una probabilità superiore a 1/2.
(Stessa osservazione per la costante.)

## Relazioni con le altre classi
### Con le classi "classiche"

Si ha la relazione seguente con le classi P e NP: $P\subseteq RP\subseteq NP$
Si utilizza la definizione di macchina di Turing probabilistica con nastro casuale.
$P\subseteq RP$: basta fare il calcolo della macchina da P (ignorando il nastro casuale); la probabilità di errore è allora nulla nei due casi (appartenenza o no).
$RP\subseteq NP$: sia M una macchina in tempo polinomiale randomizzata che decide $L\in RP$. Si costruisce una macchina M' di NP che prevede un nastro casuale tale che M accetta. Se il nastro previsto fa veramente accettare M, allora M' accetta, altrimenti rifiuta.
Se esiste un nastro "buono", perché M non sbaglia, la parola considerata è in $L$. Reciprocamente, se la parola è in $L$, M accetta con una probabilità di almeno 1/2, cioè M accetta sulla metà dei nastri casuali; esiste dunque almeno un nastro casuale che fa accettare e quindi M' lo prevede e accetta.
Osserviamo che questa classe non è più interessante se P=NP.

### Con le altre classi probabilistiche

Le inclusioni seguenti mettono in gioco le classi ZPP e BPP.
$ZPP\subseteq RP\subseteq BPP$
Questo discende direttamente dalle definizioni: ZPP è l'intersezione di RP e di co-RP e BPP con condizioni di accettazione meno stringenti (errore "dai due lati").

## Problemi in RP e co-RP

Quelli di RP sono problemi per i quali esiste un algoritmo probabilistico che soddisfa le condizioni descritte sopra.
Per esempio il problema di sapere se un numero intero è primo è nella classe di complessità co-RP grazie al test di primalità di Miller-Rabin. Infatti, questo problema è lo stesso in P, grazie al test di primalità AKS.
Un problema di co-RP che non è conosciuto essere in P è il problema della "verifica dell'identià ponomiale" (polynomial identity testing), che consiste, dato un polinomio multivariato sotto una qualsiasi forma, nel decidere se esso è identicamente nullo o no. Grazie al lemma di Schwartz–Zippel, si possono riconoscere i polinomi nulli con una buona probabilità valutandoli in un piccolo numero di punti.

## Storia

La classe di complessità RP fu introdotta da John Gill nell'articolo Computational complexity of probabilistic Turing machines (Gill (1977)).