# Teorema di Hahn-Banach

In matematica, in particolare in analisi funzionale, il teorema di Hahn-Banach è un teorema che permette di estendere operatori lineari limitati definiti su un sottospazio di qualche spazio vettoriale a tutto lo spazio, e mostra inoltre che ci sono sufficienti funzionali lineari continui definiti su ogni spazio normato tali da rendere lo studio dello spazio duale interessante. È così chiamato grazie a Hans Hahn e Stefan Banach, che provarono questo teorema indipendentemente l'uno dall'altro negli anni venti del ventesimo secolo.

## Il teorema

Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $K$ (che può essere quello reale $\mathbb {R}$ o quello complesso $\mathbb {C}$). Una funzione $f:V\to \mathbb {R}$ si dice sublineare se:
    $f(\gamma x)=\gamma f\left(x\right)\qquad \forall \gamma \in \mathbb {R} _{+}\quad \forall x\in V$
    $f(x+y)\leq f(x)+f(y)\qquad \forall x,y\in V$
Ogni seminorma su $V$, ed in particolare ogni norma su $V$, è sublineare.
Si dice inoltre che una funzione $F$ è l'estensione di una funzione $f$ se il dominio di $F$ contiene quello di $f$ e le funzioni coincidono in ogni punto del dominio di $f$.

### Enunciato

Il teorema di Hahn–Banach afferma che se ${\mathcal {N}}:V\to \mathbb {R}$ è una funzione sublineare e $\varphi :U\to \mathbb {R}$ è un funzionale lineare su un sottospazio vettoriale $U\subseteq V$ e $\varphi$ è dominato da ${\mathcal {N}}$ su $U$, ovvero:
    $\varphi (x)\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U$
allora esiste un'estensione lineare $\psi :V\to \mathbb {R}$ di $\varphi$ definita sull'intero spazio. In altri termini, esiste un funzionale lineare $\psi$ tale che:
    $\psi (x)=\varphi (x)\quad \forall x\in U\qquad \psi (x)\leq {\mathcal {N}}(x)\quad \forall x\in V$
L'estensione $\psi$ non è in generale unicamente determinata da $\varphi$, e la dimostrazione non fornisce un metodo per trovare $\psi$ nel caso di uno spazio a dimensione infinita $V$, ma si appoggia al lemma di Zorn.
La condizione di sublinearità su ${\mathcal {N}}$ può essere leggermente indebolita assumendo che:
    ${\mathcal {N}}(ax+by)\leq |a|{\mathcal {N}}(x)+|b|N(y)$
per tutti gli $a$ e $b$ in $K$ tali che $|a|+|b|=1$.

## Dimostrazione

Sia $X$ uno spazio vettoriale su $\mathbb {R}$ e sia $p:X\to \mathbb {R}$ una funzione tale che:
    $p(tx+(1-t)y)\leq tp(x)+(1-t)p(y)\qquad \forall \ x,y\in X\quad \forall \ t\in [0,1]$
Sia $Y$ un sottospazio di $X$ e sia $f:Y\to \mathbb {R}$ una funzione lineare tale che:
    $f(x)\leq p(x)\qquad \forall \ x\in Y$
Allora esiste una funzione lineare $F:X\to \mathbb {R}$ tale che:
    $F(x)=f(x)\qquad \forall \ x\in Y$
    $F(x)\leq p(x)\qquad \forall \ x\in X$
Per dimostrare questo fatto, sia $z\in X\setminus Y$ e si consideri il sottospazio di $X$ definito nel modo seguente:
    $Y_{z}\doteq \left\{y+az,\ y\in Y,\ a\in \mathbb {R} \right\}$
Si estende $f$ su tutto $Y_{z}$ ponendo:
    ${\tilde {f}}(y+az)\doteq f(y)+a{\tilde {f}}(z)$
dove ${\tilde {f}}(z)$ è un numero reale che viene determinato nel seguito. La funzione ${\tilde {f}}$ è una estensione lineare di $f$.
Siano ora $y_{1},y_{2}\in Y$ e $a,b>0$. Si ha:
    $f(ay_{1}+by_{2})=af(y_{1})+bf(y_{2})=(a+b)f\left({\frac {a}{a+b}}y_{1}+{\frac {b}{a+b}}y_{2}\right)\leq$
    $(a+b)p\left({\frac {a}{a+b}}y_{1}+{\frac {b}{a+b}}y_{2}\right)=$
    $(a+b)p\left({\frac {a}{a+b}}(y_{1}-bz)+{\frac {b}{a+b}}(y_{2}+az)\right)\leq$
    $ap(y_{1}-bz)+bp(y_{2}+az)$
Pertanto risulta:
    $a\left(f(y_{1})-p(y_{1}-bz)\right)\leq -b\left(f(y_{2})-p(y_{2}+az)\right)$
e quindi:
    ${\frac {1}{b}}\left(-p(y_{1}-bz)+f(y_{1})\right)\leq {\frac {1}{a}}\left(p(y_{2}+az)-f(y_{2})\right)\qquad \forall \ y_{1},y_{2}\in Y,\quad \forall a,b>0$
Quindi esiste $c\in \mathbb {R}$ tale che:
    $\sup _{a>0,y\in Y}\left\{{\frac {1}{a}}\left[-p(y-az)+f(y)\right]\right\}\leq c\leq \inf _{a>0,y\in Y}\left\{{\frac {1}{a}}\left[p(y+az)-f(y)\right]\right\}$
Da tale disuguaglianza si evince che:
    $ac\leq p(y+az)-f(y)\qquad \forall \ y\in Y,\quad \forall \ a\in \mathbb {R}$
Si pone quindi:
    ${\tilde {f}}(z)=c$
Per ogni $y\in Y$ e per ogni $a\in \mathbb {R}$ risulta:
    ${\tilde {f}}(y+az)=f(y)+ac\leq p(y+az)$
cioè:
    ${\tilde {f}}(x)\leq p(x)\qquad \forall \ x\in Y_{z}$
Sia ora $E$ l'insieme delle estensioni lineari $e$ di $f$ tali che $e(x)\leq p(x)$ per ogni $x$ appartenente al dominio di definizione di $e$. Per il punto precedente $E$ è un insieme non banale.
Si definisce in $E$ una relazione d'ordine dicendo che $e_{1}\leq e_{2}$ se il dominio di definizione di $e_{1}$ è contenuto nel dominio di definizione di $e_{2}$ e $e_{1}$ ed $e_{2}$ coincidono sul dominio di definizione di $e_{1}$.
Si consideri un arbitrario sottoinsieme totalmente ordinato di $E$, denotato con $U=\left\{e_{a},a\in A\right\}$, dove $A$ è un arbitrario insieme di indici, e sia $X_{a}$ il dominio di definizione di $e_{a}\in U$. Si pone $Y=\cup _{a\in A}X_{a}$ e, dato $y\in Y$, si definisce $e(y)=e_{b}(y)$, dove $b\in A$ è un qualsiasi indice di $A$ tale che $y\in X_{b}$. La definizione di $e$ è ben posta, ed $e$ è una estensione lineare di ogni $e_{a}\in U$. Inoltre risulta $e(x)\leq p(x)\ \forall x\in Y$.
Si deduce che $e$ è un limite superiore per $U$. Essendo $U$ un arbitrario sottoinsieme totalmente ordinato di $E$ il lemma di Zorn implica che esiste un elemento massimale di $E$ denotato con $F$. Sia ${\tilde {Y}}$ il dominio di definizione di $F$. Se si mostra che ${\tilde {Y}}=X$, il teorema è provato.
L'insieme ${\tilde {Y}}$ è un sottospazio di $X$. Si supponga, per assurdo, che esista $z\in X\setminus {\tilde {Y}}$. Applicando il primo punto al sottospazio:
    ${\tilde {Y}}_{z}\doteq \left\{y+az,\ y\in {\tilde {Y}},\ a\in \mathbb {R} \right\}$
si può costruire una estensione non banale di $F$ che, per le proprietà dimostrate nel primo punto, contraddice la massimalità di $F$ su $E$. Di qui l'assurdo che conclude la dimostrazione.

## Conseguenze

Esistono alcune importanti conseguenze del teorema che talvolta vengono anch'esse chiamate "teorema di Hahn–Banach":
* Se $V$ è uno spazio normato con sottospazio $U$ (non necessariamente chiuso) e se $\Phi :U\to K$ è lineare e continua, allora esiste un'estensione $\Psi :V\to K$ di $\Phi$ che è anch'essa lineare e continua e che ha la stessa norma di $\Phi$.
* Se $V$ è uno spazio normato con sottospazio U (non necessariamente chiuso) e se $z$ è un elemento di $V$ non contenuto nella chiusura di $U$, allora esiste un'applicazione lineare e continua $\Psi :V\to K$ con $\Psi (x)=0$ per ogni $x\in U$, $\Psi (z)=1$, e $\|\Psi \|=\|z\|^{-1}$.
Il Mizar project ha completamente formalizzato e controllato automaticamente la dimostrazione del teorema di Hahn–Banach nel file HAHNBAN.

## Forme geometriche

Il teorema di Hahn-Banach ha due importanti corollari, noti anche come prima e seconda forma geometrica, la cui formulazione richiede alcune nozioni preliminari. Sia $X$ uno spazio vettoriale normato su $\mathbb {R}$ e sia $f:X\to \mathbb {R}$ un funzionale lineare continuo non nullo. Dato $a\in \mathbb {R}$, l'insieme:
    $H\doteq \left\{x\in X:f(x)=a\right\}$
si dice iperpiano in $X$ di equazione $f=a$. Dati due sottoinsiemi $A,B$ di $X$ non vuoti e disgiunti, si dice che l'iperpiano $H$ separa $A$ e $B$ se risulta:
    $f(x)\leq a\qquad \forall \ x\in A$
e:
    $f(x)\geq a\qquad \forall \ x\in B$
Si dice che l'iperpiano $H$ separa $A$ e $B$ in senso stretto se esiste un numero $\varepsilon >0$ tale che:
    $f(x)\leq a-\varepsilon \qquad \forall \ x\in A$
e:
    $f(x)\geq a+\varepsilon \qquad \forall \ x\in B$
Valgono quindi i seguenti corollari del teorema di Hahn-Banach.

### Prima forma geometrica del teorema di Hahn-Banach

Siano $X$ uno spazio vettoriale normato su $\mathbb {R}$, $A,B$ due sottoinsiemi non vuoti, convessi e disgiunti di $X$ e si supponga che almeno uno di essi sia aperto. Allora esiste un iperpiano di equazione $f=a$ che separa $A$ e $B$.

### Seconda forma geometrica del teorema di Hahn-Banach

Siano $X$ uno spazio vettoriale normato su $\mathbb {R}$, $A,B$ due sottoinsiemi chiusi non vuoti, convessi e disgiunti di $X$ e si supponga che almeno uno di essi sia compatto. Allora esiste un iperpiano di equazione $f=a$ che separa $A$ e $B$ in senso stretto.