# Pfaffiano

In matematica, e più specificamente in algebra lineare, il determinante di una matrice antisimmetrica può sempre essere scritto come il quadrato di un polinomio costruito a partire dagli elementi della matrice. Questo polinomio è chiamato lo Pfaffiano della matrice.
Lo Pfaffiano è nullo per le matrici antisimmetriche di ordine dispari, mentre per le matrici di ordine pari, cioè del tipo $2n\times 2n$, è un polinomio di grado $n$.
Il termine Pfaffiano è stato introdotto da Arthur Cayley, che lo usò nel 1852:The permutants of this class (from their connection with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term "Pfaffians". Il termine onora dunque la memoria del matematico tedesco Johann Friedrich Pfaff.

## Definizione

Sia $\pi$ l'insieme delle partizioni in coppie non ordinate di $\{1,2,\dots ,2n\}$. Queste sono (usando la notazione del semifattoriale) esattamente $(2n-1)!!$. Una partizione può essere scritta come:
    $\alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}$
con $i_{k}<j_{k}$ e $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}$. Associando ad $\alpha$ la permutazione:
    $\pi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &j_{n}\end{bmatrix}}$
sia $\operatorname {sgn} (\alpha )$ il suo segno. Sia inoltre $A=\{a_{ij}\}$ una matrice antisimmetrica $2n\times 2n$. Data una partizione $\alpha$, si definisce il valore:
    $A_{\alpha }=\operatorname {sgn} (\alpha )a_{i_{1},j_{1}}a_{i_{2},j_{2}}\cdots a_{i_{n},j_{n}}$
Si può definire lo Pfaffiano di $A$ come:
    $\operatorname {Pf} (A)=\sum _{\alpha \in \Pi }A_{\alpha }$
Lo Pfaffiano di una matrice antisimmetrica $n\times n$, con $n$ dispari, è per definizione nullo.

### Definizione ricorsiva

Per convenzione lo Pfaffiano della matrice $0\times 0$ è $1$. Lo Pfaffiano di una matrice $A=\{a_{ij}\}$ antisimmetrica $2n\times 2n$ con $n>0$ può essere calcolato ricorsivamente come
    $\operatorname {Pf} (A)=\sum _{i=2}^{2n}(-1)^{i}a_{1i}\operatorname {Pf} (A_{{\hat {1}}{\hat {i}}}),$
dove $A_{{\hat {1}}{\hat {i}}}$ indica la matrice $A$ a cui sono state rimosse le righe e le colonne $1$ ed $i$.

### Definizione alternativa

È possibile associare ad ogni matrice antisimmetrica $A=\{a_{ij}\}$ di dimensione $2n\times 2n$ un bivettore:
    $\omega =\sum _{i<j}a_{ij}\;e_{i}\wedge e_{j}$
dove $\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{2n}\}$ è la base usuale di $\mathbb {R} ^{2n}$. Lo Pfaffiano è quindi definito come l'equazione:
    ${\frac {1}{n!}}\omega ^{n}={\mbox{Pf}}(A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{2n}$
dove $\omega ^{n}$ rappresenta il prodotto vettoriale di $\omega$ con sé stesso n volte.

## Identità

Per una matrice antisimmetrica $A=\{a_{ij}\}$ di dimensione $2n\times 2n$ ed una generica matrice $B=\{b_{ij}\}$ anch'essa di dimensione $2n\times 2n$, si ha:
* ${\mbox{Pf}}(A)^{2}=\det(A)$
* ${\mbox{Pf}}(BAB^{T})=\det(B){\mbox{Pf}}(A)$
* ${\mbox{Pf}}(\lambda A)=\lambda ^{n}{\mbox{Pf}}(A)$
* ${\mbox{Pf}}(A^{T})=(-1)^{n}{\mbox{Pf}}(A)$
Per una matrice diagonale a blocchi del tipo:
    $A_{1}\oplus A_{2}={\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}}$
Si ha:
    ${\mbox{Pf}}(A_{1}\oplus A_{2})={\mbox{Pf}}(A_{1}){\mbox{Pf}}(A_{2})$
Per una matrice arbitraria $2n\times 2n$ denotata con $M$:
    ${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&M\\-M^{T}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{n(n-1)/2}\det M$
Se $A$ dipende da qualche variabile $x_{i}$ allora il gradiente dello Pfaffiano è dato da:
    ${\frac {1}{\operatorname {pf} (A)}}{\frac {\partial \operatorname {pf} (A)}{\partial x_{i}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}\right)$
mentre l'hessiana di uno Pfaffiano è data da:
    ${\frac {1}{\operatorname {pf} (A)}}{\frac {\partial ^{2}\operatorname {pf} (A)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{j}}}\right)+{\frac {1}{4}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}\right)\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{j}}}\right)$

## Applicazioni

Lo Pfaffiano è un polinomio invariante per congruenza delle matrici antisimmetriche (se rappresenta una applicazione lineare, non è invariante rispetto ad un generale cambio di base ma lo è per una trasformazione ortogonale). Come tale, svolge un ruolo importante nella teoria delle classi caratteristiche. In particolare, può essere usato per definire la classe di Eulero di una superficie di Riemann, usata nel Teorema generalizzato di Gauss-Bonet

## Esempi

    ${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}=a$
    ${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc$
    ${\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{n}\\-\lambda _{n}&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}$