# Trasformata di Weierstrass

In matematica, la trasformata di Weierstrass è una trasformata integrale di una funzione $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, che deve il suo nome al matematico tedesco Karl Weierstrass. La trasformata è intuitivamente una versione "smussata" di $f(x)$, ottenuta mediando il valore di $f$ e pesando con una funzione gaussiana centrata in $x$.

## Formulazione matematica

In modo più specifico, è la funzione $F$ definita da
    $F(x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(y)\;e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{4}}}\;dy={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)\;e^{-{\frac {y^{2}}{4}}}\;dy~,$
che è la convoluzione di $f$ con la funzione gaussiana
    ${\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}~.$
Il fattore $1/{\sqrt {4\pi }}$ è scelto in modo che l'integrale della Gaussiana sia 1, cosicché le funzioni costanti non vengano cambiate dalla trasformata di Weierstrass.
Invece di $F$, spesso viene indicata con $W[f](x)$. Da notare che, poiché l'integrale potrebbe non convergere, non è detto che $F$ sia definita per ogni numero reale $x$.
La trasformata di Weierstrass è strettamente collegata all'equazione del calore (o, equivalentemente, all'equazione di diffusione con coefficiente di diffusione costante). Se la funzione $f$ descrive la temperatura iniziale in ogni punto di una sbarra infinitamente lunga con conduttività termica costante uguale a 1, allora la distribuzione di temperatura a $t=1$ sarà data dalla funzione $F$. Utilizzando valori di $t$ differenti da 1, si può definire la trasformata di Weierstrass generalizzata di $f$.
La trasformata di Weierstrass generalizzata fornisce uno strumento per approssimare arbitrariamente bene una data funzione integrabile $f$ con funzioni analitiche.

## Nomi

Weierstrass utilizzò la trasformata nella sua originale dimostrazione del teorema di approssimazione di Weierstrass. È anche conosciuta come la trasformata di Gauss–Weierstrass, da Carl Friedrich Gauss, e come la trasformata di Hille, da Einar Hille che la studiò ampiamente. La generalizzazione delle trasformata $W_{t}$ è conosciuta in analisi dei segnali come filtro gaussiano e in elaborazione delle immagini (quando realizzata in $\mathbb {R} ^{2}$) come sfocatura gaussiana ("gaussian blur" in inglese).

## Trasformata di alcune funzioni importanti

Come menzionato prima, ogni funzione costante è la sua stessa trasformata. La trasformata di Weierstrass di qualsiasi polinomio è un polinomio dello stesso grado e con lo stesso coefficiente direttore, lasciando quindi la crescita asintotica invariata. In particolare, se $H^{n}$ indica il polinomio di Hermite fisico di grado $n$, allora la trasformata di Weirstrass di $H^{n}(x/2)$ è semplicemente $x^{n}$. Questo si può dimostrare sfruttando il fatto che la funzione generatrice dei polinomi di Hermite è strettamente collegata al nucleo gaussiano utilizzato nella definizione della trasformata di Weierstrass.
La trasformata di Weierstrass della funzione $e^{ax}$, dove $a$ è una costante arbitraria, è $e^{a^{2}}e^{ax}$. La funzione $e^{ax}$ è quindi un'autofunzione della trasformata di Weierstrass (questo, infatti, è vero più in generale per ogni trasformata convolutiva).
Sostituendo $a=bi$, dove $i$ è l'unità immaginaria, e applicando l'identità di Eulero, si vede che la trasformata di Weierstrass della funzione $\cos(bx)$ è $e^{-b^{2}}\cos(bx)$ e della funzione $\sin(bx)$ è $e^{-b^{2}}\sin(bx)$.
La trasformata di Weierstrass della funzione $e^{ax^{2}}$ è
    ${\frac {1}{\sqrt {1-4a}}}e^{\frac {ax^{2}}{1-4a}}$  se $a<1/4$ e non definita se $a\geq 1/4$.
In particolare, scegliendo $a$ negativo, è evidente che la trasformata di Weierstrass di una funzione gaussiana è ancora una gaussiana ma più "larga".

## Proprietà generali

La trasformata di Weierstrass assegna a ogni funzione $f$ una nuova funzione $F$ in modo lineare. Inoltre è invariante sotto traslazione, cioè la trasformata della funzione $f(x+a)$ è $F(x+a)$. Entrambe queste proprietà sono vere in generale per ogni trasformata integrale costruita attraverso la convoluzione.
Se la trasformata $F(x)$ esiste per i numeri reali $x=a$ e $x=b$, allora esiste per ogni valore compreso fra di essi e forma una funzione analitica. Inoltre, $F(x)$ esiste per tutti i numeri complessi con $a\leq \Re (x)\leq b$ e su tale striscia è una funzione olomorfa. Questa è la definizione formale di "liscezza" di $F$ citata prima.
Se $f$ è integrabile sull'intero asse reale (in altre parole, $f\in L^{1}(\mathbb {R} )$), allora lo è anche la sua trasformata di Weierstrass $F$. Se in aggiunta $f(x)\geq 0$ per ogni $x$, allora $F(x)\geq 0$ ovunque e gli integrali di $f$ e $F$ sono uguali. Questo esprime il fatto che l'energia termica totale è conservata dall'equazione del calore o che la quantità totale di materiale diffondente è conservata dall'equazione di diffusione.
Si può dimostrare che per $0<p\leq \infty$ e $f\in L^{p}(\mathbb {R} )$, si ha $F\in L^{p}(\mathbb {R} )$ e $||F||_{p}\leq ||f||_{p}$. Di conseguenza, la trasformata di Weierstrass costituisce un operatore limitato $W:L^{p}(\mathbb {R} )\to L^{p}(\mathbb {R} )$.
Se $f$ è sufficientemente liscia, allora la trasformata di Weierstrass della k-esima derivata di $f$ è uguale alla k-esima derivata della trasformata di Weierstrass di $f$.
Esiste una formula che mette in relazione la trasformata di Weierstrass $W$ e la trasformata di Laplace bilatera $L$. Se si definisce
    $g(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}f(x)$
allora
    $W[f](x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}L[g]\left(-{\frac {x}{2}}\right).$

### Filtro passa-basso

Si è visto sopra che la trasformata di Weierstrass di $\cos(bx)$ è $e^{-b^{2}}\cos(bx)$ e analogamente per $\sin(bx)$. In termini dell'analisi dei segnali, questo suggerisce che se il segnale $f$ contiene la frequenza $b$ (cioè contiene un addendo che è combinazione di $\sin(bx)$ e $\cos(bx)$), allora il segnale trasformato $F$ contiene la stessa frequenza, ma con un'ampiezza ridotta di un fattore $e^{-b^{2}}$. Questo ha come conseguenza che le frequenza più alte sono ridotte molto di più di quelle basse, e la trasformata di Weierstrass agisce quindi come un filtro passa-basso. Questo stesso risultato si ottiene anche tramite la trasformata di Fourier. Infatti, la trasformata di Fourier analizza un segnale in termini delle sue frequenza, trasforma convoluzioni in prodotti e gaussiane in gaussiane. La trasformata di Weierstrass è la convoluzione con una funzione gaussiana e perciò è la "moltiplicazione" del segnale trasformato secondo Fourier con una gaussiana, seguita dall'applicazione della trasformata di Fourier inversa. Questa moltiplicazione con una gaussiana nello spazio delle frequenze attenua le alte frequenze, che è altro modo di descrivere la proprietà di "liscezza" della trasformata di Weierstrass.

## La trasformata inversa

La seguente formula, strettamente collegata alla trasformata di Laplace della funzione gaussiana e interpretabile come una versione reale della trasformazione di Hubbard–Stratonovich, è relativamente semplice da dimostrare:
    $e^{u^{2}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-uy}e^{-y^{2}/4}\;dy.$
Ora si sostituisca $u$ con l'operatore di differenziazione formale $D=d/dx$ e si utilizzi l'operatore di shift di Lagrange
    $e^{-yD}f(x)=f(x-y)$,
quest'ultima conseguenza della serie di Taylor e della definizione della funzione esponenziale, per ottenere
    ${\begin{aligned}e^{D^{2}}f(x)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-yD}f(x)e^{-y^{2}/4}\;dy\\&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)e^{-y^{2}/4}\;dy=W[f](x)\end{aligned}}$
e quindi ricavare la seguente espressione formale per la trasformata di Weierstrass $W$,
    $W=e^{D^{2}}~,$
dove l'azione dell'operatore sulla destra su una funzione $f(x)$ va interpretata come
    $e^{D^{2}}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {D^{2k}f(x)}{k!}}~.$
La precedente derivazione formale sorvola i dettagli sulla convergenza, e la formula $W=e^{D^{2}}$ non è universalmente valida; ci sono molte funzioni $f$ che hanno una trasformata di Weierstrass ben definita, ma per cui $e^{D^{2}}f(x)$ non esiste.
Tuttavia, la regola è ancora utile e può, per esempio, essere usata per derivare le trasformate di Weierstrass dei polinomi, dell'esponenziale e delle funzioni trigonometriche descritte prima.
L'inversa formale della trasformata di Weierstrass è data quindi da
    $W^{-1}=e^{-D^{2}}~.$
Di nuovo, questa formula non è in genere valida ma può servire come guida. Si può mostrare che è valida per certe classi di funzioni se l'operatore a destra è definito propriamente.
Si può, alternativamente, provare a invertire la trasformata di Weierstrass in una maniera leggermente diversa: data una funzione analitica
    $F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}~,$
applicando $W^{-1}$ si ottiene
    $f(x)=W^{-1}[F(x)]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}W^{-1}[x^{n}]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}H_{n}(x/2)$
utilizzando la proprietà dei polinomi di Hermite fisici $H^{n}$.
Nuovamente, questa formula per $f(x)$ è nella migliore delle ipotesi formale, poiché non si è controllato che la serie finale convergesse. Ma se, per esempio, $f\in L^{2}(\mathbb {R} )$, allora la conoscenza di tutte le derivate di $F$ in $x=0$ è sufficiente per ricavare i coefficienti $a_{n}$, e ricostruire $f$ come serie di polinomi di Hermite.
Un ulteriore metodo per invertire la trasformata di Weierstrass sfrutta la sua relazione con la trasformata di Laplace descritta prima, e la ben nota formula d'inversione per quest'ultima trasformata. Il risultato viene enunciato sotto per le distribuzioni.

## Generalizzazioni

Si può utilizzare la convoluzione con il nucleo gaussiano ${\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}}$ (con $t>0$) per definire la trasformata di Weierstrass generalizzata $W_{t}$.
Per piccoli valori di $t$, $W_{t}[f]$ è molto vicina a $f$, ma liscia. Più è grande $t$, più questo operatore media e varia la funzione $f$. Fisicamente, $W_{t}$ corrisponde a seguire l'equazione del calore (o della diffusione) per $t$ unità temporali. Dal momento che questo è additivo, allora
    $W_{s}\circ W_{t}=W_{s+t},$
che corrisponde a "diffondere per $t$ unità, e dopo per $s$ unità, è equivalente a diffondere per $s+t$". Si può estendere anche per $t=0$ definendo $W_{0}$ come l'operatore identità (cioè la convoluzione con la funzione delta di Dirac), in modo da formare così un semigruppo di operatori.
Il nucleo ${\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}}$ usato per la trasformata di Weierstrass generalizzata viene spesso chiamato nucleo di Gauss–Weierstrass, ed è la funzione di Green per l'equazione di diffusione $(\partial _{t}-D^{2})(e^{tD^{2}}f(x))=0$ su $\mathbb {R}$.
Si può calcolare $W_{t}$ da $W$: infatti, data una funzione $f(x)$, si definisce una nuova funzione $f_{t}(x)=f(x{\sqrt {t}})$. Allora $W_{t}[f](x)=W[f_{t}](x/{\sqrt {t}})$, come conseguenza dell'integrazione per sostituzione.
La trasformata di Weierstrass può essere definita anche per certe classi di distribuzioni o "funzioni generalizzate". Per esempio, la trasformata della delta di Dirac è la funzione gaussiana ${\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}$.
In questo contesto, si possono dimostrare rigorose formule d'inversione, per esempio
    $f(x)=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{i{\sqrt {4\pi }}}}\int _{x_{0}-ir}^{x_{0}+ir}F(z)e^{\frac {(x-z)^{2}}{4}}\;dz$
dove $x_{0}$ è qualsiasi numero reale fissato per cui $F(x_{0})$ esiste, l'integrale si estende lungo la linea verticale nel piano complesso con parte reale $x_{0}$, e il limite viene preso nel senso delle distribuzioni.
La trasformata di Weierstrass può essere anche definita per funzioni (o distribuzioni) a valori reali (o complessi) su $\mathbb {R} ^{n}$. Si utilizza la stessa formula di convoluzione di prima ma si estende l'integrale su tutto $\mathbb {R} ^{n}$ e si interpreta l'espressione $(x-y)^{2}$ come il quadrato della lunghezza euclidea del vettore $x-y$. Inoltre, il fattore di fronte all'integrale deve essere aggiustato in modo che la gaussiana abbia integrale 1.
In generale, la trasformata di Weierstrass può essere definita su qualunque varietà riemanniana: l'equazione del calore si definisce usando l'operatore di Laplace-Beltrami, e la trasformata di Weierstrass $W[f]$ si ricava seguendo la soluzione dell'equazione per un'unità temporale, partendo dalla distribuzione iniziale di temperatura $f$.

## Trasformate collegate

Se si considera la convoluzione con il nucleo $1/(\pi (1+x^{2}))$ invece di quello gaussiano, si ottiene la trasformata di Poisson, che smussa e media una data funzione in maniera simile alla trasformata di Weierstrass.