# Teorema binomiale

In algebra, il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza $n$-esima di un binomio qualsiasi mediante la formula
    $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$,
in cui il fattore ${n \choose k}$ rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con ${\frac {n!}{k!(n-k)!}}$. Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto triangolo di Tartaglia.
Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.
Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi relativi a $n=2$, $n=3$ ed $n=4$:
    $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$
    $(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$
    $(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.$
Nel caso in cui $n$ sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una serie infinita. Questa formula generalizzata, nel caso di $n$ reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il nome).

## Esposizione

«Il binomio di Newton è bello come la Venere di Milo, peccato che pochi se ne accorgano.»
(Fernando Pessoa)
È possibile, secondo il teorema, sviluppare una qualunque potenza intera di $(a+b)$ in una sommatoria nella forma
    ${\begin{aligned}(a+b)^{n}&={n \choose 0}a^{n}b^{0}+{n \choose 1}a^{n-1}b^{1}+{n \choose 2}a^{n-2}b^{2}+{n \choose 3}a^{n-3}b^{3}+\cdots \\&\qquad \cdots +{n \choose n-1}a^{1}b^{n-1}+{n \choose n}a^{0}b^{n},\end{aligned}}$
dove ${\tbinom {n}{k}}$ rappresentano i coefficienti binomiali. Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa formula può essere scritta:
    $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}.$
Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo $1$ ad $a$ e $a$ a $b$, considerando quindi una sola variabile. In questa forma, si ha:
    $(1+a)^{n}={n \choose 0}a^{0}+{n \choose 1}a^{1}+{n \choose 2}a^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}a^{n-1}+{n \choose n}a^{n},$
o, in maniera equivalente,
    $(1+a)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}.$

## Prima dimostrazione (induttiva)

Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione. Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero
    $(a+b)^{1}=\sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}a^{(1-k)}b^{k}=a+b$
e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente $n$ qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione
    $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{(n-k)}b^{k},$
si ha
    $(a+b)^{n+1}$$=(a+b)(a+b)^{n}$
    $=(a+b)\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$
e moltiplicando la sommatoria per $(a+b)$ si ha
    $=\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1},$
da cui
    $\ \sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}$
    $={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}$
    $={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1}a^{n+1-(k+1)}b^{k+1}$
    $={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1}a^{n-k}b^{k+1}.$
Inoltre
    $\ \sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}$
    $=\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}.$
Utilizzando nel primo passaggio la proprietà del coefficiente binomiale
    ${n+1 \choose k+1}={n \choose k+1}+{n \choose k}$
si ha che
    $(a+b)^{n+1}$
    $={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,\left({n \choose k}+{n \choose k+1}\right)a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}$
    $={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n+1 \choose k+1}a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}$
    $={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n \choose n}b^{n+1}.$
Poiché infine
    ${n \choose 0}={n+1 \choose 0}=1$
e
    $\ {n \choose n}={n+1 \choose n+1}=1,$
si ha che
    ${n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n \choose n}b^{n+1}={n+1 \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n+1 \choose n+1}b^{n+1}$
e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio
    $(a+b)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}\,{n+1 \choose k}a^{(n+1)-k}b^{k}$
che conferma la tesi.

## Seconda dimostrazione (combinatoria)

Se scriviamo $(a+b)^{n}$ come il prodotto
$(a+b)(a+b)(a+b)\,\quad \ldots$
con $n$ fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine $a^{n-k}b^{k}$ è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo $n-k$ volte $a$ e $k$ volte $b$ dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da ${n \choose k}$.
Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di $k$ da $0$ a $n$, si ha subito la tesi.

## Caso di esponente generale

La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per $n$ numero naturale. È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per $(1+x)^{\alpha },\ \alpha \in \mathbb {R}$, nonché approssimarla in un intorno destro dello 0 con una serie di Taylor.
Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia $(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+o(x),$ dove il resto $o(x)$ indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.
Lo sviluppo completo è
    $(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{6}}x^{3}+\dots +{\alpha \choose k}x^{k}+o(x^{k})$,
dove ${\alpha \choose k}$ è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da
    ${\alpha \choose k}={\frac {\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -k+1)}{k!}}$.

### Dimostrazione

Lo sviluppo attorno all'origine della funzione $(1+x)^{\alpha }$ è
    $(1+x)^{\alpha }=(1+x)_{x=0}^{\alpha }+{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{\prime }}{1!}}x+{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{\prime \prime }}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{(k)}}{k!}}x^{k}+\dots$
e, poiché
    $\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{\prime }=\alpha (1+x)_{x=0}^{\alpha -1}=\alpha$
          $\vdots \quad \quad \quad \quad \quad \quad \vdots$
    $\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{(i)}=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -i+1)(1+x)_{x=0}^{\alpha -i}=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -i+1)$
si ottiene
    $(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -k+1)}{k!}}x^{k}+\dots$
che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al $k$-esimo termine, l'errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine $o(x^{k})$.