# Invariante di Riemann

In matematica, un invariante di Riemann è una variabile introdotta per facilitare lo studio di un sistema di leggi di conservazione. Le invarianti di Riemann sono costanti lungo le curve caratteristiche di un'equazione alle derivate parziali.
Sono state ricavate da Bernhard Riemann in un lavoro sulle onde piane nell'ambito della dinamica dei gas.

## Descrizione

Si consideri il sistema di equazioni di conservazione:
    $l_{i}\left(A_{ij}{\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+a_{ij}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}\right)+l_{j}b_{j}=0$
dove $A_{ij}$ e $a_{ij}$ sono elementi delle matrici $A$ e $a$, mentre $l_{i}$ e $b_{i}$ sono elementi di vettori colonna. Introducendo il campo vettoriale $(\alpha ,\beta )$ si può riscrivere l'equazione nella forma:
    $m_{j}\left(\beta {\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+\alpha {\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}\right)+l_{j}b_{j}=0$
Parametrizzando $x$ e $t$:
    $x=X(\eta )\qquad t=T(\eta )$
i termini tra parentesi si possono riscrivere come il risultato di una derivata totale:
    ${\frac {du_{j}}{d\eta }}=T'{\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+X'{\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}$
con:
    $\alpha =X'(\eta )\qquad \beta =T'(\eta )$
In questo modo l'equazione può essere scritta in forma caratteristica:
    $m_{j}{\frac {du_{j}}{d\eta }}+l_{j}b_{j}=0$
in cui devono essere soddisfatte le condizioni:
    $l_{i}A_{ij}=m_{j}T'\qquad l_{i}a_{ij}=m_{j}X'$
dove $m_{j}$ può essere rimosso per fornire:
    $l_{i}(A_{ij}X'-a_{ij}T')=0$
Se $A$ è la matrice identità l'equazione di partenza in forma omogenea è:
    ${\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+a_{ij}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}=0$
che in forma caratteristica si scrive:
    $l_{i}{\frac {du_{i}}{dt}}=0$
con:
    ${\frac {dx}{dt}}=\lambda$
dove $l$ è l'autovettore sinistro di $A$ e $\lambda$ che soddisfa:
    $|A-\lambda \delta _{ij}|=0$
Per semplificare tali equazioni si può utilizzare una trasformazione tale che:
    ${\frac {dr_{i}}{dt}}=l_{i}{\frac {du_{i}}{dt}}$
in modo da ottenere:
    $\mu l_{i}du_{i}=dr_{i}$
dove un fattore di integrazione $\mu$ può essere inoltre moltiplicato per semplificare l'integrazione. Il sistema assume la forma caratteristica:
    ${\frac {dr_{i}}{dt}}=0\qquad {\frac {dx}{dt}}=\lambda _{i}$
che è equivalente al sistema diagonale:
    $r_{t}^{k}+\lambda _{k}r_{x}^{k}=0\qquad k=1,\dots ,N$
la cui soluzione può essere fornita dal metodo odografico generalizzato.

## Esempio

Si considerino le Equazioni di Eulero scritte un termini di densità $\rho$ e velocità $u$:
    $\rho _{t}+\rho u_{x}+u\rho _{x}=0$
    $u_{t}+uu_{x}+(c^{2}/\rho )\rho _{x}=0$
dove $c$ è la velocità del suono introdotta assumendo che ci si trovi di fronte ad un processo isentropico. Il sistema può essere riscritto in forma matriciale:
    $\left({\begin{matrix}\rho \\u\end{matrix}}\right)_{t}+\left({\begin{matrix}u&\rho \\{\frac {c^{2}}{\rho }}&u\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\rho \\u\end{matrix}}\right)_{x}=\left({\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right)$
Si identifichi la matrice $\mathbf {A}$ come:
    $A=\left({\begin{matrix}u&\rho \\{\frac {c^{2}}{\rho }}&u\end{matrix}}\right)$
di cui si devono ricavare autovalori ed autovettori. Gli autovalori vanno ricavati a partre da:
    $\lambda ^{2}-2u\lambda +u^{2}-c^{2}=0$
e risultano essere:
    $\lambda =u\pm c$
e gli autovettori trovati sono:
    $\left({\begin{matrix}1\\{\frac {c}{\rho }}\end{matrix}}\right),\left({\begin{matrix}1\\-{\frac {c}{\rho }}\end{matrix}}\right)$
Dove gli invarianti di Riemann sono:
    $r_{1}=J_{+}=u+\int {\frac {c}{\rho }}d\rho ,$
    $r_{2}=J_{-}=u-\int {\frac {c}{\rho }}d\rho ,$
(le notazioni $J_{+}$ and $J_{-}$ sono ampiamente diffuse nella gasdinamica). Per un gas perfetto con calore specifico costante, si possono ottenere gli invarianti di Riemann attraverso la relazione $c^{2}={\text{const}}\,\gamma \rho ^{\gamma -1}$, dove $\gamma$ gamma è il coefficiente di dilatazione adiabatica.
    $J_{+}=u+{\frac {2}{\gamma -1}}c,$
    $J_{-}=u-{\frac {2}{\gamma -1}}c,$
che portano alle equazioni:
    ${\frac {\partial J_{+}}{\partial t}}+(u+c){\frac {\partial J_{+}}{\partial x}}=0$
    ${\frac {\partial J_{-}}{\partial t}}+(u-c){\frac {\partial J_{-}}{\partial x}}=0$
In altre parole,
    ${\begin{aligned}&dJ_{+}=0,\,J_{+}={\text{const}}\quad {\text{along}}\,\,C_{+}\,:\,{\frac {dx}{dt}}=u+c,\\&dJ_{-}=0,\,J_{-}={\text{const}}\quad {\text{along}}\,\,C_{-}\,:\,{\frac {dx}{dt}}=u-c,\end{aligned}}$
dove $C_{+}$ e $C_{-}$ sono le curve caratteristiche. Queste possono essere risolte attraverso le trasformazioni odografe (hodograph transformation). Nel piano odografo, se tutte le linee caratteristiche collassano in una singola curva, si ottengono delle curve semplici (simple waves). Se la forma matriciale del sistema è scritto nella forma:
    $A{\frac {\partial v}{\partial t}}+B{\frac {\partial v}{\partial x}}=0$
Allora potrebbe essere possibile moltiplicare per la matrice inversa $A^{-1}$ fintanto che il determinante della matrice $\mathbf {A}$ non è zero.