# Orosfera

In geometria iperbolica, l'orosfera è una generalizzazione dell'orociclo (definito nel piano iperbolico) in dimensione arbitraria. Nella geometria iperbolica dello spazio, visualizzata nel modello del disco di Poincaré, l'orosfera è effettivamente una sfera, tangente alla sfera di bordo.

## Definizione

Sia $\mathbb {H} ^{n}$ lo spazio iperbolico di dimensione $n$ (ad esempio, $n=2,3$). Il modello del disco di Poincaré rappresenta $\mathbb {H} ^{n}$ come il disco unitario in $\mathbb {R} ^{n}$:
    $\mathbb {H} ^{n}={\big \(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\ {\big |}\ x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}<1{\big \}}.$
Il bordo del disco può essere interpretato come la sfera dei "punti all'infinito":
    $\partial \mathbb {H} ^{n}={\big \x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} ^{n}\ {\big |}x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}=1{\big \}}.$
In questo modello, una orosfera è una qualsiasi sfera $(n-1)$-dimensionale contenuta in $\mathbb {H} ^{n}$ e tangente alla sfera dei punti all'infinito.
Per $n=2$ una orosfera è una circonferenza e viene chiamata orociclo.

## Proprietà

Un'orosfera interseca il bordo del disco di Poincaré (i "punti all'infinito" del piano iperbolico) in un punto $P$, detto centro. Due orosfere sono dette concentriche se intersecano il bordo del disco nello stesso punto $P$.

### Rappresentazione nel semispazio

Tramite una isometria dello spazio iperbolico è possibile spostare il punto $P$ a piacimento sulla sfera dei punti all'infinito. In particolare, è possibile usare il modello del semispazio
    $\mathbb {H} ^{n}={\big \(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\ {\big |}\ x_{1}>0{\big \}}$
e spostare $P$ sul punto all'infinito. Le orosfere aventi come centro il punto all'infinito (in questo modello) sono precisamente gli iperpiani di equazione
    $x_{1}=k$
al variare di $k>0$.

### Raggi

Una retta dello spazio iperbolico che converge (in una delle sue direzioni) asintoticamente a $P$ è un raggio dell'orosfera. Valgono le proprietà seguenti.
* Ciascun raggio è un asse di simmetria per l'orosfera.
* Il rapporto tra due archi di orosfere concentriche tagliati dagli stessi raggi dipende solo dalla distanza delle due orosfere, secondo la relazione seguente: dove $x=AA'=BB'$ sono segmenti di raggi tagliati da oricicli concentrici, e $k$ è una costante opportuna.
    ${\frac {AB}{A'B'}}=e^{-{\frac {x}{k}}},$

### Sottospazi

L'intersezione di una orosfera con un sottospazio i cui punti all'infinito contengono $P$ è a sua volta un'orosfera. Ad esempio, nello spazio iperbolico $\mathbb {H} ^{3}$, l'intersezione di un orociclo con un piano i cui punti all'infinito contengono $P$ è un orociclo nel piano. Un tale piano può essere chiamato piano diametrale all'orosfera. Valgono le proprietà seguenti:
* L'orosfera è una superficie di rivoluzione generata dalla rotazione di un orociclo intorno a un suo raggio.
* Ogni piano diametrale è piano di simmetria per l'orisfera.

### Orosfere

Valgono le proprietà seguenti:
* Date due orosfere $O$ e $O'$, esiste una isometria del piano che sposta la prima nella seconda (le orosfere sono tutte congruenti).

## Geometria dell'orosfera

Una orosfera fissata $O$ ha una sua geometria, che coincide con la geometria euclidea. Più precisamente, una orosfera $O$ contenuta nello spazio iperbolico $\mathbb {H} ^{n}$ risulta avere una geometria equivalente allo spazio euclideo $(n-1)$-dimensionale $\mathbb {R} ^{n-1}$.
Questa geometria può essere introdotta in vari modi. Da un punto di vista classico ed elementare, è sufficiente definire le rette in $O$ come gli orocicli contenuti in $O$. Gli angoli fra due orocicli sono gli angoli formati dalle due rette (iperboliche) tangenti nel punto di intersezione. Vale il V postulato di Euclide, e quindi la geometria è euclidea.
Da un punto di vista più moderno, un orociclo è una sottovarietà differenziabile dentro alla varietà riemanniana $\mathbb {H} ^{n}$, quindi ha una struttura indotta di varietà riemanniana (ottenuta restringendo il tensore metrico a $O$). La curvatura di questa metrica risulta essere nulla, e quindi la varietà è piatta e isometrica a $\mathbb {R} ^{n-1}$. Per verificare questo fatto è sufficiente utilizzare il modello del semispazio e supporre che $O$ sia descritto da una equazione
    $O=\{x_{1}=k\}$
per qualche $k>0$. Nel modello del semispazio, il tensore metrico in un punto $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ è pari a
    $g={\frac {1}{x_{1}^{2}}}I$
dove $I$ è la matrice identità. In altre parole, è l'usuale tensore metrico euclideo riscalato di un fattore quadratico dipendente dall'altezza $x_{1}$. I punti appartenenti ad una orosfera sono tutti alla stessa altezza $k$: su questa il tensore metrico è quindi
    $g={\frac {1}{k^{2}}}I$
ovvero il riscalamento di un fattore costante $1/k^{2}$ della metrica euclidea. L'orosfera è quindi isometrica a $\mathbb {R} ^{n-1}$.