# Potenziali ritardati

In elettrodinamica, i potenziali ritardati descrivono i potenziali generalizzati del campo elettromagnetico in un sistema la cui distribuzione di carica e corrente sorgente del campo sia variabile nel tempo. Si tratta delle espressioni del potenziale elettrico e magnetico introdotte nel caso in cui non sia possibile utilizzare l'approssimazione secondo cui la propagazione dell'interazione elettromagnetica sia istantanea, ad esempio quando si considerano cariche che si muovono a velocità non trascurabili se confrontate con la velocità di propagazione della luce.

## Definizione

Ponendo di trovarsi nel vuoto, nel gauge di Lorenz i potenziali ritardati assumono la forma:
    $\psi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}$
    $\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}$
dove $\rho$ è la densità di carica, $\mathbf {J}$ è la densità di corrente, $|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|$ la distanza del punto di osservazione del campo dall'elemento di volume $dV$ su cui si effettua l'integrazione e:
    $t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}}$
è il tempo ritardato.
I potenziali ritardati sono la soluzione dell'equazione delle onde per i potenziali:
    $\quad \nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$
    $\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J}$
Una volta determinati i potenziali $\psi$ e $\mathbf {A}$ dalla distribuzione delle cariche e delle correnti nello spazio, è possibile esprimere il campo elettrico ed il campo magnetico attraverso le formule:
    $\mathbf {E} =-\nabla \psi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$
e questo consente di scrivere l'equazione delle onde per i campi nel vuoto:
    $\quad \nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\left(-\nabla \rho -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}\right)$
    $\quad \nabla ^{2}\mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\nabla \times \mathbf {J}$
la cui soluzione al tempo ritardato fornisce l'espressione preliminare per i campi:
    $\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\left[-\nabla '\rho -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}\right]_{t=t_{r}}d^{3}x'$
    $\mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\left[\nabla '\times \mathbf {J} \right]_{t=t_{r}}d^{3}x'$
La scrittura esplicita dei campi è fornita dalle equazioni di Jefimenko.

## Derivazione

Si vogliono trovare le soluzioni generali dell'equazione delle onde per i potenziali mostrata in precedenza, considerando l'equazione per una sorgente puntiforme posta in $\mathbf {x} _{0}$:
    $\nabla ^{2}\phi (\mathbf {x} ,t)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\phi (\mathbf {x} ,t)=-S(\mathbf {x} _{0},t)\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})$
Grazie alla definizione della delta di Dirac $\delta$ è dunque possibile descrivere la presenza di una sorgente puntiforme: nel resto dello spazio non vi sono sorgenti, e l'equazione d'onda è non omogenea solo per $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}$. Scrivendo il laplaciano in coordinate sferiche l'equazione omogenea diventa:
    ${1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial \phi \over \partial r}\right)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\phi \over \partial t^{2}}=0$
e se si effettua la sostituzione:
    $\phi (r,t)={\frac {\chi (r,t)}{r}}$
si ha:
    ${\partial ^{2}\chi \over \partial r^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\chi \over \partial t^{2}}=0$
la cui soluzione è quella dell'equazione delle onde omogenea:
    $\chi (r,t)=f\left(t-{r \over c}\right)+g\left(t+{r \over c}\right)$
da cui
    $\phi (r,t)={\frac {f(t-{\frac {r}{c}})}{r}}+{\frac {g(t+{\frac {r}{c}})}{r}}$
dove $f$ e $g$ sono due funzioni da dover determinare. Imponendo che le onde siano uscenti dalla sorgente si deve escludere il termine
    $g\left(t+{\frac {r}{c}}\right)\quad .$
Questa condizione è dettata dal principio di causalità, e dal fatto che non ha senso parlare di onde che dall'infinito arrivano verso la sorgente. Si ha quindi:
    $\phi (r,t)={\frac {f(t-{\frac {r}{c}})}{r}}$
da cui:
    $\nabla \phi =-{\frac {f(t-{\frac {r}{c}})}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}-{\frac {1}{c}}{\frac {f'(t-{\frac {r}{c}})}{r}}{\hat {\mathbf {r} }}$
dove $f'$ è la derivata di $f$ rispetto al suo argomento. Integrando ora l'equazione d'onda su un volume sferico di raggio $R$ centrato in $\mathbf {x} _{0}$ e sostituendo le espressioni trovate sopra per $\phi$ e $\nabla \phi$ si ha:
    $\int \nabla \cdot \left[-{\frac {f}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}-{\frac {1}{c}}{\frac {f'}{r}}{\hat {\mathbf {r} }}\right]d^{3}x-{\frac {1}{c^{2}}}\int {\frac {f''}{r}}d^{3}x=-\int S(\mathbf {x} _{0},t)\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})d^{3}x$
e considerando il limite per $R\to 0$ il secondo integrale si annulla poiché è minore del massimo dell'integranda sul dominio d'integrazione, moltiplicato la misura del dominio d'integrazione. Sfruttando il teorema della divergenza si calcola quindi il valore del primo integrale:
    $\int _{V}\nabla \cdot \left[-{\frac {f}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}-{\frac {1}{c}}{\frac {f'}{r}}{\hat {\mathbf {r} }}\right]d^{3}x=\int _{S}\left[-{\frac {f}{r^{2}}}-{\frac {1}{c}}{\frac {f'}{r}}\right]{\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {S} '=4\pi R^{2}\left[-{\frac {f}{R^{2}}}-{\frac {1}{c}}{\frac {f'}{R}}\right]$
dove $V$ è il volume della sfera di raggio $R$ ed $S$ la superficie della sfera stessa. Effettuando il limite per $R\to 0$ si nota che il secondo termine in parentesi si annulla. Considerando quindi l'equazione d'onda integrata, si ottiene la relazione:
    $-4\pi f(t)=-S(\mathbf {x} _{0},t)$
da cui:
    $f(t)={\frac {S(\mathbf {x} _{0},t)}{4\pi }}$
e sfruttando la relazione:
    $\phi (r,t)={\frac {f(t-{\frac {r}{c}})}{r}}$
si ottiene infine la soluzione generale dell'equazione d'onda di partenza, valida per sorgenti puntiformi:
    $\phi (r,t)={\frac {S(\mathbf {x} _{0},t-{\frac {r}{c}})}{4\pi r}}$
Per considerare il caso generale di sorgente non puntiforme, è sufficiente integrare su $\mathbf {x} _{0}$ la soluzione di cui sopra, ottenendo la soluzione valida per qualunque sorgente:
    $\phi (\mathbf {x} ,t)_{g}=\int {\frac {S(\mathbf {x} _{0},t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}})}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}$
Risulta allora sufficiente sostituire rispettivamente a $\phi _{g}$ e a $S$ i potenziali vettore e scalare e le rispettive sorgenti per ottenere le soluzioni generali delle equazioni d'onde per i potenziali:
    $\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}$
    $\psi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}$
ovvero le espressioni cercate.

## L'equazione delle onde ed il gauge di Lorenz

Sostituendo la definizione del potenziale vettore $\mathbf {A}$ nella seconda equazione di Maxwell si ottiene:
    $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {A} )$
da cui:
    $\nabla \times (\mathbf {E} +{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {A} )=0$
Poiché la quantità tra parentesi ha rotore nullo, può essere espressa come gradiente di un campo scalare, ed in particolare del potenziale scalare $\psi$:
    $\nabla \psi =-(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}})$
ovvero:
    $\mathbf {E} =-\nabla \psi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$
Usando ora la relazione:
    $\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F}$
dove con $\mathbf {F}$ si è indicata una generica grandezza vettoriale, e sostituendo nelle due equazioni di Maxwell:
    $\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$
    $\nabla \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {\mathbf {J} }{\varepsilon _{0}c^{2}}}$
si ottengono le seguenti relazioni:
    $\nabla ^{2}\psi +{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {A} =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$
    $\nabla ^{2}\mathbf {A} -\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\mathbf {J} }{\varepsilon _{0}c^{2}}}$
dette equazioni elettrodinamiche non disaccoppiate.
Per semplificare queste equazioni è conveniente ricorrere ad una particolare trasformazione di gauge. Ricordando che il potenziale vettore $\mathbf {A}$ è definito a meno di un gradiente, è possibile aggiungere il gradiente di una quantità scalare $\phi$ facendo rimanere invariato il campo magnetico:
    $\mathbf {A} '=\mathbf {A} +\nabla \phi$
ed affinché anche il campo elettrico rimanga invariato deve inoltre valere:
    $\mathbf {E} =-\nabla \psi '-{\frac {\partial \mathbf {A} '}{\partial t}}=-\nabla \psi '-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \phi =-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-(\nabla \psi '+{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \phi )$
da cui, sfruttando la relazione esistente tra $\mathbf {E}$, $\psi$ e $\mathbf {A}$ si ottiene:
    $\nabla \psi =\nabla \psi '+{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \phi$
che si traduce in:
    $\psi '=\psi -{\frac {\partial \phi }{\partial t}}$
Sfruttando l'invarianza di gauge è possibile scegliere $\mathbf {A}$ in modo che soddisfi determinate condizioni. In elettrodinamica è frequente la scelta della condizione di Lorenz, la quale è ottenuta scegliendo opportunamente $\phi$ in modo tale che:
    $\nabla \cdot \mathbf {A} =-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$
Tale condizione determina la forma covariante delle equazioni di Maxwell per i potenziali che descrivono il campo. Se i potenziali soddisfano la condizione di Lorenz si dice che essi appartengono al gauge di Lorenz. Sostituendo nelle due equazioni per i potenziali ricavate in precedenza si ottengono le equazioni di Maxwell per i potenziali:
    $\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\mathbf {J} }{\varepsilon _{0}c^{2}}}$
    $\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$
nelle quali si riconosce la forma delle equazioni d'onda.

### Potenziali di Liénard-Wiechert

La soluzione al tempo ritardato dell'equazione delle onde non omogenea per i potenziali del campo elettromagnetico è la seguente:
    $\varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}-t\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\rho (\mathbf {r} ',t')d^{3}r'dt'\qquad \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}-t\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t')d^{3}r'dt'$
dove $\rho (\mathbf {r} ,t)$ e $\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)$ sono i termini sorgente, e:
    $\delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}-t\right)$
è la delta di Dirac. Per una carica che si muove in $\mathbf {r} _{0}(t')$ con velocità $\mathbf {v} _{0}(t')$, le densità di carica e corrente assumono la forma:
    $\rho (\mathbf {r} ',t')=q\delta {\big\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t'){\big )}\qquad \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t')=q\mathbf {v} _{0}(t')\delta {\big\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t'){\big )}$
Se si integra sul volume $d^{3}r'$, utilizzando la relazione precedente si ottiene:
    $\varphi (\mathbf {r} ,t)=q\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t')|}{c}}-t\right)}{|\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t')|}}dt'\qquad \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=q\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t')|}{c}}-t\right)}{|\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t')|}}\mathbf {v} _{0}(t')dt'$
ed integrando in $t'$ si trovano i potenziali di Liénard-Wiechert:
    $\varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {e}{(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{0}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}\qquad \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {e\mathbf {\beta } }{(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{0}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}={\frac {\mathbf {\beta } (\tau =\tau _{0})}{c}}\varphi (\mathbf {x} ,t)$
con:
    $\mathbf {\beta } (t)={\frac {\mathbf {v} _{0}(t)}{c}}$
e $\tau$ il tempo proprio. Si tratta di una forma equivalente, ma non covariante, del potenziale elettrico $\varphi$ e del potenziale magnetico $\mathbf {A}$ generati da una sorgente puntiforme di carica in moto. I potenziali forniscono una caratterizzazione generale e relativistica del campo variabile nel tempo generato da una carica in moto, e la loro espressione è stata sviluppata in parte da Alfred-Marie Liénard nel 1898, e successivamente nel 1900 da Emil Wiechert in un modo indipendente da quello di Liénard.