# Campo di gluoni

Nella fisica teorica delle particelle, il campo dei gluoni è un campo quadrivettoriale che caratterizza la propagazione dei gluoni nell'interazione forte tra i quark. Svolge lo stesso ruolo nella cromodinamica quantistica del quadripotenziale elettromagnetico nell'elettrodinamica quantistica – il campo di gluoni costruisce il tensore di forza del campo di gluoni.
In questo articolo, gli indici latini assumono valori 1, 2, ..., 8 per le otto cariche di colore dei gluoni, mentre gli indici greci assumono valori 0 per le componenti temporali e 1, 2, 3 per le componenti spaziali dei vettori quadridimensionali e dei tensori nello spaziotempo. In tutte le equazioni, la convenzione di sommatoria viene utilizzata su tutti gli indici di colore e tensore, se non diversamente specificato.

## Introduzione

I gluoni possono avere otto cariche di colore, quindi ci sono otto campi, a differenza dei fotoni che sono neutri e quindi c'è un solo campo di fotoni.
I campi di gluoni per ciascuna carica di colore hanno ciascuno una componente "simile al tempo" analoga al potenziale elettrico e tre componenti "simile allo spazio" analoghe al potenziale del vettore magnetico. Usando simboli simili:
    ${\boldsymbol {\mathcal {A}}}^{n}(\mathbf {r} ,t)=[\underbrace {{\mathcal {A}}_{0}^{n}(\mathbf {r} ,t)} _{\text{timelike}},\underbrace {{\mathcal {A}}_{1}^{n}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{2}^{n}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{3}^{n}(\mathbf {r} ,t)} _{\text{spacelike}}]=[\phi ^{n}(\mathbf {r} ,t),\mathbf {A} ^{n}(\mathbf {r} ,t)]$
dove n = 1, 2, ..., 8 non sono esponenti ma enumerano le otto cariche di colore dei gluoni, e tutte le componenti dipendono dal vettore posizione r del gluone e dal tempo t. Ogni ${\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}$ è un campo scalare, per qualche componente dello spaziotempo e carica di colore del gluone.
Le matrici di Gell-Mann $\lambda _{a}$ sono otto matrici 3 × 3 che formano rappresentazioni matriciali del gruppo SU (3). Sono anche generatori del gruppo SU(3), nel contesto della meccanica quantistica e della teoria dei campi; un generatore può essere visto come un operatore corrispondente a una trasformazione di simmetria. Queste matrici giocano un ruolo importante nella QCD in quanto quest'ultima è una teoria di gauge del gruppo di gauge SU(3) ottenuta prendendo la carica di colore per definire una simmetria locale: ogni matrice di Gell-Mann corrisponde a una particolare carica di colore del gluone, che a sua volta può essere usata per definire operatori di carica di colore. I generatori di un gruppo possono anche costituire una base per uno spazio vettoriale, quindi il campo di gluoni complessivo è una "sovrapposizione" di tutti i campi di colore. In termini di matrici Gell-Mann (divise per 2 per comodità),
    $t_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}\,,$
le componenti del campo di gluoni sono rappresentate da matrici 3 × 3, date da:
    ${\mathcal {A}}_{\alpha }=t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\equiv t_{1}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{1}+t_{2}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{2}+\cdots +t_{8}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{8}$
o, raccogliendole in un vettore di quattro matrici 3 × 3:
    ${\boldsymbol {\mathcal {A}}}(\mathbf {r} ,t)=[{\mathcal {A}}_{0}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{1}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{2}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{3}(\mathbf {r} ,t)]$
il campo di gluoni è:
    ${\boldsymbol {\mathcal {A}}}=t_{a}{\boldsymbol {\mathcal {A}}}^{a}\,.$

## Derivata covariante di gauge in QCD

La derivata covariante di gauge $D_{\mu }$ è necessaria per trasformare i campi di quark in covarianza manifesta; le derivate parziali che formano il quadrigradiente $\partial _{\mu }$ da sole non bastano. I componenti che agiscono sui campi di quark tripletti di colore sono dati da:
    $D_{\mu }=\partial _{\mu }\pm ig_{s}t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}\,,$
dove i è l'unità immaginaria, e
    $g_{s}={\sqrt {4\pi \alpha _{s}}}$
è la costante di accoppiamento adimensionale per la QCD, e $\alpha _{s}$ è la costante di accoppiamento forte. Il termine di derivata parziale include una matrice identità 3 × 3, convenzionalmente non scritta per semplicità.
I campi di quark nella rappresentazione a tripletto sono scritti come vettori colonna:
    $\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\psi _{3}\end{pmatrix}},{\overline {\psi }}={\begin{pmatrix}{\overline {\psi }}_{1}^{*}\\{\overline {\psi }}_{2}^{*}\\{\overline {\psi }}_{3}^{*}\end{pmatrix}}$
Il campo di quark $\psi$ appartiene alla rappresentazione fondamentale (3) e il campo di antiquark ${\overline {\psi }}$ appartiene alla rappresentazione coniugata complessa (3$^*$), il complesso coniugato è indicato con *.

## Trasformazioni di gauge

La trasformazione di gauge di ogni campo di gluoni ${\mathcal {A}}_{\alpha }^{n}$ che lascia invariato il tensore di forza del campo di gluoni è:
    ${\mathcal {A}}_{\alpha }^{n}\rightarrow e^{i{\bar {\theta }}(\mathbf {r} ,t)}\left({\mathcal {A}}_{\alpha }^{n}+{\frac {i}{g_{s}}}\partial _{\alpha }\right)e^{-i{\bar {\theta }}(\mathbf {r} ,t)}$
dove
    ${\bar {\theta }}(\mathbf {r} ,t)=t_{n}\theta ^{n}(\mathbf {r} ,t)\,,$
è una matrice 3 × 3 costruita dalle matrici $t_{n}$ sopra e $\theta ^{n}=\theta ^{n}({\vec {r}},t)$ sono otto funzioni di gauge dipendenti dalla posizione spaziale r e dal tempo t . L'elevamento a potenza della matrice viene utilizzato nella trasformazione. La derivata covariante di gauge si trasforma in modo simile. Le funzioni $\theta ^{n}$ qui sono simili alla funzione di gauge $\chi ({\vec {r}},t)$ quando si cambia il quadripotenziale elettromagnetico A, nelle componenti dello spaziotempo:
    $A'_{\alpha }(\mathbf {r} ,t)=A_{\alpha }(\mathbf {r} ,t)-\partial _{\alpha }\chi (\mathbf {r} ,t)\,$
lasciando il tensore elettromagnetico F invariante.
I campi di quark sono invarianti rispetto alla trasformazione di gauge;
    $\psi (\mathbf {r} ,t)\rightarrow e^{ig{\bar {\theta }}(\mathbf {r} ,t)}\psi (\mathbf {r} ,t)$