# Radiante

Il radiante (generalmente indicato rad quando necessario) è l'unità di misura dell'ampiezza degli angoli del Sistema internazionale di unità di misura. Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza tracciato dall'angolo e la lunghezza del raggio di tale circonferenza; essendo il rapporto tra due grandezze omogenee, è un numero puro.

## Definizione di radiante

Si prenda una circonferenza con centro nel vertice dell'angolo. Siano $l$ la lunghezza dell'arco intercettato dall'angolo sulla circonferenza, $r$ quella del raggio della circonferenza, $c$ quella della circonferenza e $\alpha$ l'ampiezza dell'angolo. Il rapporto $l/r$ non dipende dalla lunghezza del raggio, ma solo dall'ampiezza dell'angolo. Questa circostanza permette di definire la misura in radianti dell'angolo come:
    $\alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {l}{r}};$
    $l=r\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }.$
Da ciò si evince che il radiante è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto fra due lunghezze.
Infatti: [rad] = [L] / [L] = [1].
Definiamo come radiante l'ampiezza dell'angolo che sottende un arco di circonferenza che, rettificato, abbia lunghezza uguale al raggio della circonferenza stessa. In parole povere un radiante è l'angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.
Essendo la lunghezza della circonferenza $c$ pari a $2\pi r$ e il raggio lungo $r$, l'angolo di un cerchio equivale a $2\pi$.
    $\alpha ={\frac {2\pi r}{r}}=2\pi .$
Ricordando che la misura della lunghezza della circonferenza è:
    $c=2\pi r,$
si può scrivere la seguente proporzione:
    ${\frac {\alpha ^{(\circ )}}{l}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi r}},$
$\alpha$ risulta funzione di $l$:
    $\alpha ^{(\circ )}=f\left(l\right),$
ossia
    $\alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {360^{\circ }\cdot l}{2\pi r}},$
da cui
    $\alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {l}{r}}\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}.$
Dunque, ponendo $l=r$, dall'equazione precedente si ottiene:
    $\alpha ^{(\circ )}(l=r)={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}29578^{\circ }\approx 57^{\circ }\ 17'\ 44{,}8''=1\;{\rm {{rad}.}}$
Esprimiamo ora un angolo giro in radianti:
    $360^{\circ }={\frac {2\pi }{2\pi }}\cdot 360^{\circ }=2\pi \cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=2\pi \;{\rm {{rad}.}}$
Con la seguente proporzione si ottengono le formule per passare da radianti a gradi sessagesimali e viceversa:
    ${\frac {\alpha ^{(\circ )}}{\alpha ^{\mathrm {rad} }}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}$
    $\alpha ^{(\circ )}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }$
    $\alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {2\pi }{360^{\circ }}}\cdot \alpha ^{(\circ )}.$

## Utilità della scelta del radiante

La misura del radiante consente di avere formule trigonometriche molto più semplici di quelle che si avrebbero adottando i gradi sessagesimali o altre unità di misura degli angoli.
Sostanzialmente i vantaggi del radiante derivano dal fatto che, con tale unità si ottiene la semplice espressione
    $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$
e da questa si ottengono molte altre eleganti identità del calcolo infinitesimale che hanno importanti conseguenze pratiche. Tra queste
    ${\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x$
    $\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots$
    $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots$
Se si misurassero gli angoli in gradi o in altre unità di misura, formule come le precedenti dovrebbero essere appesantite da costanti di conversione e da loro potenze.

## Conversione gradi-radianti

Un radiante è pari a $180/\pi$ gradi. Per convertire radianti in gradi è quindi sufficiente moltiplicare per $180/\pi$:
    $\alpha ^{(\circ )}=\alpha ^{(\mathrm {rad} )}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}$
Ad esempio:
    $1{\mbox{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57{,}2958^{\circ };$
    $2{,}5{\mbox{ rad}}=2{,}5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143{,}2394^{\circ };$
    ${\frac {\pi }{3}}{\mbox{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }.$
Analogamente, per convertire gradi in radianti si moltiplica per π/180:
    $\alpha ^{(\mathrm {rad} )}=\alpha ^{(\circ )}\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}.$
Ad esempio:
    $1^{\circ }=1\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0{,}0175{\text{ rad}};$
    $23^{\circ }=23\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0{,}4014{\text{ rad}}.$
| Gradi | Radianti |
| 0 | 0 |
| 15 | π /12 |
| 30 | π /6 |
| 45 | π /4 |
| 60 | π /3 |
| 90 | π /2 |
| 120 | 2/3 π |
| 135 | 3/4 π |
| 150 | 5/6 π |
| Gradi | Radianti |
| 180 | π |
| 210 | 7/6 π |
| 225 | 5/4 π |
| 240 | 4/3 π |
| 270 | 3/2 π |
| 300 | 5/3 π |
| 315 | 7/4 π |
| 330 | 11/6 π |
| 360 | 2π |
Si ha quindi:
    1 rad = 57,29577 95131 gradi = 3437,74677 07849 primi = 206264,80625 secondi;
    1 grado = 0,01745 32925 19943 rad;
    1 primo = 0,00029 08882 08666 rad;
    1 secondo = 0,00000 48481 36811 rad.