# Glossario di teoria dei campi

Questa pagina è dedicata ad un glossario di teoria dei campi che vuole anche aiutare, insieme alla pagina della Categoria:Teoria dei campi, a rintracciare gli articoli di tale settore della matematica.

## Definizione di campo

Un campo è un anello commutativo unitario (o con unità) (F,+,*,0,1) nel quale ogni elemento diverso dallo zero è invertibile. Sopra un campo si possono effettuare le quattro operazioni razionali: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Ciò fa dei campi gli ambienti più vantaggiosi per le attività computazionali e di conseguenza per numerose applicazioni.

## Definizioni di base
### Gruppo moltiplicativo di un campo chiamato F

    Gruppo abeliano costituito dagli elementi diversi da zero di F munito del prodotto; si denota tradizionalmente F$^×$.

### Caratteristica del campo F

    Il più piccolo intero positivo n tale che n·1 = 0; qui n·1 sta per la somma di n sommandi 1 + 1 + 1 + ... + 1. Se un tale intero non esiste si dice che la caratteristica del campo è zero. Ogni caratteristica diversa da zero è un numero primo. Ad es. i campi dei numeri razionali, dei numeri reali e dei numeri p-adici hanno caratteristica 0, mentre il campo finito Z$_p$ ha caratteristica p.

### Anello dei polinomi con coefficienti nel campo F

    Si denota tradizionalmente F[x].

### Sottocampo del campo F

    Sottoinsieme di F chiuso rispetto alle operazioni + e * del campo e che, con queste operazioni, costituisce esso stesso un campo.

### Sottocampo primo del campo F

    L'intersezione di tutti i sottocampi di F, è esso stesso un sottocampo ed è dunque il più piccolo sottocampo di F. Viene anche chiamato sottocampo fondamentale (o minimo).

### Estensione di campi

    Se F è sottocampo di E si dice che E è un campo estensione di F; si può anche dire che E è un sovracampo di F.

### Estensione algebrica del campo F

    Se un elemento α di un campo estensione E di F è la radice di un polinomio in F[x], allora α si dice elemento algebrico su F. Se ogni elemento di E è algebrico su F, si dice che E è una estensione algebrica di F.

### Campo di spezzamento

    Campo estensione generato dalla fattorizzazione completa di un polinomio.

### Estensione normale

    Campo estensione generato dalla fattorizzazione completa di un insieme di polinomi.

### Estensione separabile

    Campo estensione generato dalle radici di polinomi separabili.

### Elemento primitivo

    Elemento α di un campo estensione E sopra un campo F tale che E=F(α), il minimo campo estensione contenente α.

### Campo perfetto

    Campo tale che ogni sua estensione finita è separabile. Tutti i campi di caratteristica zero e tutti i campi finiti sono perfetti.

### Campo algebricamente chiuso

    Estensione algebrica massimale di un campo F è la sua chiusura algebrica. Un campo è algebricamente chiuso se coincide con la propria chiusura algebrica.

### Elemento trascendente di un campo F

    Elemento che non è algebrico su F.

### Grado di trascendenza

    Numero di elementi trascendenti indipendenti in un campo estensione. Viene usato per definire la dimensione di una varietà algebrica.

## Omomorfismi
### Omomorfismo tra due campi E e F

Una funzione
    $f:E\to F$
che sia un omomorfismo di anelli, cioè tale che per tutti gli x e y in E:
    f(x + y) = f(x) + f(y)
    f(xy) = f(x) f(y)
e tale che
    f(1) = 1
Queste proprietà implicano che f(0) = 0, f(x$^{−1}$) = f(x)$^{−1}$ per ogni x in E diverso da 0, e che f è iniettiva. La classe dei campi munita di questi omomorfismi forma una categoria.

### Campi isomorfi

    Due campi E e F sono detti isomorfi se tra di loro esiste un omomorfismo biiettivo
    $f:E\to F$
Due campi isomorfi si possono identificare per tutte le applicazioni pratiche. Occorre osservare che questa identificazione la si può ottenere con diversi isomorfismi. Vedi ad esempio la coniugazione complessa.

## Campi specifici
### Campo finito

    Campo con insieme sostegno finito.

### Campo ordinato

    Campo munito di un ordine totale compatibile con le sue operazioni.

### Campo dei numeri razionali (Campo dei razionali)

    V. numero razionale

### Campo dei numeri reali

    V. numero reale

### Campo dei numeri complessi

    V. numero complesso

### Campo numerico

    Estensione algebrica del campo dei numeri razionali.

### Campo dei numeri algebrici

    Questo campo (v. numero algebrico) è l'estensione algebricamente chiusa del campo dei numeri razionali. Le loro proprietà sono indagate nella teoria dei numeri algebrici.

### Campo quadratico

    Estensione di grado 2 del campo dei razionali.

### Campo ciclotomico

    Estensione del campo dei numeri razionali generata da una radice dell'unità.

### Campo totalmente reale

    Campo numerico generato da una radice di un polinomio che ha tutte le sue radici reali.

## Teoria di Galois
### Estensione di Galois

    Campo estensione normale e separabile.

### Gruppo di Galois

    Il gruppo degli automorfismi di una estensione di Galois. Nel caso di una estensione finita è un gruppo finito di ordine uguale al grado dell'estensione. I gruppi di Galois delle estensioni infinite sono gruppi profiniti.

### Teoria di Kummer

    La teoria di Galois del prendere radici n-esime, date abbastanza radici dell'unità. Include la teoria generale delle estensioni quadratiche.

### Teoria di Artin - Scheier

    Copre un caso eccezionale per la teoria di Kummer in caratteristica p.

### Prodotto tensoriale di campi

    Settore fondazionale dell'algebra concernente l'operazione compositum (giunzione, join, di campi).

### Teoria di Galois alla Grothendieck

    Approccio molto astratto a partire dalla geometria algebrica, sviluppato per studiare l'analogo del gruppo fondamentale.