# Dualità di Shur-Weyl

La dualità di Schur-Weyl è un teorema studiato in teoria delle rappresentazioni che mette in relazione le rappresentazioni irriducibili di dimensione finita del gruppo generale lineare e del gruppo simmetrico . Eredita il nome da due importanti figure di rilievo nello studio della teoria delle rappresentazioni dei gruppi di Lie, Issai Schur, che scoprì il fenomeno, e Hermann Weyl, che lo rese popolare nei suoi libri sulla meccanica quantistica e sui gruppi classici come un modo per classificare le rappresentazioni di gruppi lineari unitari e generali.
La dualità di Schur-Weyl può essere dimostrata mediante il Teorema del doppio centralizzatore.

## Descrizione

La dualità di Schur-Weyl presenta una struttura tipica nella teoria delle rappresentazioni, in cui sono coinvolti due tipi di simmetria che si determinano a vicenda. Consideriamo lo spazio tensoriale
    ${(\mathbb {C} ^{n})}^{\otimes k}:=\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}$ con k fattori .
È possibile definire un'azione del gruppo simmetrico $S_{k}$ su questo spazio (a sinistra) permutando i fattori, ovvero
    $\sigma (v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k})=v_{\sigma ^{-1}(1)}\otimes v_{\sigma ^{-1}(2)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma ^{-1}(k)}.$
Al tempo stesso, anche il gruppo lineare generale $GL_{n}(\mathbb {C} )$ di matrici n × n invertibili può agire su tale spazio mediante la moltiplicazione di matrici (a sinistra), tale che
    $g(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k})=gv_{1}\otimes gv_{2}\otimes \cdots \otimes gv_{k},\quad g\in {\text{GL}}_{n}.$
Si può facilmente osservare che queste due azioni commutano fra loro e, concretamente, la dualità Schur-Weyl afferma che sotto l'azione congiunta dei gruppi $S_{k}$ e $GL_{n}(\mathbb {C} )$ lo spazio tensoriale si decompone nella somma diretta di prodotti tensoriali di moduli irriducibili (per questi due gruppi) che in realtà si determinano a vicenda,
    $\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{D}\pi _{k}^{D}\otimes \rho _{n}^{D}.$
Gli addendi della somma diretta sono indicizzati sui diagrammi di Young D formati da k caselle e al più n righe. I moduli $\pi _{k}^{D}$ di $S_{k}$, che nella teoria sono chiamati rappresentazioni irriducibili, sono non isomorfi fra loro al variare di D, e ciò vale anche per le rappresentazioni irriducibili $\rho _{n}^{D}$ di $GL_{n}(\mathbb {C} )$ .
L'enunciato più formale della dualità di Schur-Weyl afferma che le due algebre di operatori su ${(\mathbb {C} ^{n})}^{\otimes k}$ generate dalle azioni di $S_{k}$ e $GL_{n}(\mathbb {C} )$ si centralizzano l'un l'altra nell'algebra degli endomorfismi $\mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}).$

## Esempio

Supponiamo che $k=2,n>1$. Per la dualità di Schur-Weyl, ricordando che le rappresentazioni irriducibili di $S_{2}$ sono la rappresentazione banale e la rappresentazione segno, lo spazio dei due tensori si decompone in potenza simmetrica e potenza esterna, ciascuna delle quali è un modulo irriducibile per $GL_{n}(\mathbb {C} )$:
    $\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}=S^{2}\mathbb {C} ^{n}\oplus \Lambda ^{2}\mathbb {C} ^{n}.$
Il gruppo simmetrico S $_2$ è infatti costituito da due elementi e ha due rappresentazioni irriducibili. La rappresentazione banale dà origine al prodotto simmetrico, i cui elementi sono invarianti (cioè non cambiano) per permutazione dei fattori, mentre la rappresentazione segno dà luogo al prodotto esterno, i cui elementi cambiano di segno se trasposti.

## Dimostrazione

Innanzitutto si considerino le seguenti ipotesi:
* Sia G un gruppo finito ,
* $A=\mathbb {C} [G]$ l'algebra gruppo di G ,
* $U$ un A-modulo destro di dimensione finita
* $B=\operatorname {End} _{A}(U)$, che agisce su U da sinistra e commuta con l'azione destra di A. In altre parole, $B$ è il centralizzatore di $A$ nell'anello di endomorfismi $\operatorname {End} (U)$ .
La dimostrazione utilizza due lemmi algebrici.
Lemma 1: Se $W$ è un $A$-modulo sinistro semplice, allora $U\otimes _{A}W$ è un $B$-modulo sinistro semplice.
Dimostrazione : U è semisemplice, dunque per il teorema di Maschke, esiste una decomposizione $U=\bigoplus _{i}U_{i}^{\oplus m_{i}}$ in $A$-moduli semplici . Allora $U\otimes _{A}W=\bigoplus _{i}(U_{i}\otimes _{A}W)^{\oplus m_{i}}$ . Se osserviamo $A$ come $A$-rappresentazione su sé stessa, mediante la rappresentazione regolare sinistra, sappiamo che ogni $A$-modulo semplice compare nella decomposizione di $A$, dunque abbiamo che $U_{i}\otimes _{A}W=\mathbb {C}$ se e solo se $U_{i},W$ sono isomorfi allo stesso fattore semplice, mentre $U_{i}\otimes _{A}W=0$ altrimenti.
Di conseguenza si ha che $U\otimes _{A}W=(U_{i_{0}}\otimes _{A}W)^{\oplus m_{i_{0}}}=\mathbb {C} ^{\oplus m_{i_{0}}}$, in cui $U_{i_{0}}\cong W$ è un isomorfismo di $A$-moduli (semplici). Ora, ricordando che $B$ agisce a sinistra su $U$, è facile vedere che ogni vettore diverso da zero in $\mathbb {C} ^{\oplus m_{i_{0}}}$ genera l'intero spazio se osserviamo $U\otimes _{A}W$ come $B$-modulo sinistro, dunque, è semplice. $\blacksquare$
Lemma 2: Sia $U=V^{\otimes d}$ e$G=S_{n}$ il gruppo simmetrico. Un sottospazio di $U$ è un $B$-sottomodulo sinistro se e solo se è invariante sotto l'azione sinistra di $GL(V)$; detto in altri termini, un $B$-sottomodulo di $U$ è un $GL(V)$-modulo.
Dimostrazione : Scegliamo $W:=\operatorname {End} (V)$ . È possibile immergere$W\hookrightarrow \operatorname {End} (U)$, mediante la relazione $w\mapsto w^{d}=d!w\otimes \cdots \otimes w$. Inoltre, si può verificare che l'immagine di $W$ genera il sottospazio dei tensori simmetrici $\operatorname {Sym} ^{d}(W)$ . Dal momento che, per costruzione, $B=End_{S_{n}}(V^{\otimes d})=\operatorname {Sym} ^{d}(W)$, l'immagine di $W$ genera $B$ . Dal momento che $\operatorname {GL} (V)$ è denso in $End(V)=W$ sia nella topologia euclidea che nella topologia di Zariski, segue l'asserzione. $\blacksquare$
Siamo pronti a mostrare la dualità Schur-Weyl.
Sia nuovamente $G=S_{d}$ il gruppo simmetrico, $U=V^{\otimes d}$ la d -esima potenza tensoriale di uno spazio vettoriale su $\mathbb {C}$ di dimensione finita.
Siano $V^{\lambda }$ i moduli Specht, ovvero le $S_{d}$-rappresentazioni irriducibili, indicizzati sulle partizioni $\lambda$ di d e sia $m_{\lambda }=\dim V_{\lambda }$.
Il Lemma 1 ci garantisce che
    $S^{\lambda }(V):=V^{\otimes d}\otimes _{{\mathfrak {S}}_{d}}V^{\lambda }$
è un $GL(V)$-modulo semplice. Inoltre, presa la decomposizione in rappresentazioni irriducibili per $A=\bigoplus _{\lambda }(V_{\lambda })^{\bigoplus m_{\lambda }}$, si ha che:
    $V^{\otimes d}=V^{\otimes d}\otimes _{A}A=\bigoplus _{\lambda }(V^{\otimes d}\otimes _{S_{d}}V^{\lambda })^{\oplus m_{\lambda }}$ ,
e questa è la decomposizione di $V^{\otimes d}$ come a $\operatorname {GL} (V)$ -modulo.

## Generalizzazioni

L'algebra di Brauer prende il posto del gruppo simmetrico nella generalizzazione della dualità di Schur-Weyl per gruppi simplettici e ortogonali.
Ancora più in generale, l'algebra di partizione e le sue sottoalgebre generano ulteriori generalizzazioni della dualità di Schur-Weyl.

## Argomenti Correlati

* Rappresentazione dei gruppi
* Gruppo Simmetrico
* Prodotto Tensoriale