# Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie

I metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie permettono di risolvere in maniera esatta alcune classi di equazioni differenziali ordinarie.

## Equazioni del primo ordine

Non esiste un'unica formula risolutiva valida per tutti i tipi di equazioni differenziali del primo ordine. Tra i casi più ricorrenti vi sono:
* Equazioni differenziali lineari nella forma $y'=a(x)y+b(x)$
* Equazioni differenziali a variabili separabili nella forma $y'=a(x)b(y)$
* Equazioni differenziali esatte
* Equazione differenziale di Bernoulli
* Equazione di Clairault
* Equazione di Lagrange
* Equazione di Riccati
* Equazione differenziale di Abel
Le equazioni differenziali del primo ordine sono particolarmente importanti, in quanto è possibile ridurre un'equazione di grado n, superiore al primo, ad un sistema di equazioni del primo ordine, di cui almeno n-1 lineari. Ad esempio, sia data l'equazione di terzo grado:
    ${u'''}^{2}+u''=x$
Essa è equivalente al sistema:
    $z_{1}=u'\qquad z_{2}=z_{1}'\qquad {z_{2}'}^{2}+z_{2}=x$
Una volta trovate le soluzioni, tramite semplice integrazione si ottiene $u$.

## Equazioni differenziali lineari

Le equazioni differenziali lineari del primo ordine hanno la forma canonica:
    $y'=f(x,y)$
dove $f$ è lineare in $y$. Pertanto l'equazione assume la forma:
    $y'=a(x)y+b(x)$
Soluzioni particolari di queste equazioni vennero trovate da Isaac Newton, Leibniz e molti altri esponenti della genesi del calcolo infinitesimale. Tuttavia, la soluzione generica venne trovata da uno dei Bernoulli, Jean. La soluzione generale è:
    $y=e^{-\int a(x)dx}\left(\int b(x)e^{\int a(x)dx}dx+costante\right)$

## Equazioni differenziali a variabili separabili

Sono tutte le equazioni differenziali espresse nella forma:
    $y'=a(x)b(y)$
dove le funzioni $a$ e $b$ sono definite e continue su intervalli. Si verifica immediatamente che, se $b({\bar {y}})=0$, allora la funzione costante $y(x)={\bar {y}}$ è soluzione dell'equazione.
Se la funzione $b$ è derivabile con continuità, segue dal teorema di esistenza di Picard che una soluzione $\phi$, tale che $b(\phi ({\bar {x}}))$ sia diverso da 0 per un qualche ${\bar {x}}$, non annullerà mai $b(\phi (x))$. È allora lecito dividere per $b(\phi (x))$, ottenendo:
    ${\frac {\phi '(x)}{b(\phi (x))}}=a(x)$
Integrando, si ha:
    $\int {\frac {\phi '(x)}{b(\phi (x))}}{dx}=\int a(x)dx$
Si può utilizzare il teorema di integrazione per sostituzione ($s=\phi (x)$), ottenendo:
    $\left(\int {\frac {1}{b(s)}}{ds}\right)_{s=\phi (x)}=\int a(x)dx$
La soluzione $\phi$ soddisfa quindi, per una opportuna costante reale $c$, la condizione:
    $B(\phi (x))=A(x)+c$
dove $B$ è una primitiva di $1/b$ e $A$ di $a$, primitive che certamente esistono per la continuità di $a$ e $b$. La formula precedente descrive una soluzione in forma implicita. Può essere difficile riuscire a trovare una formula che descriva la funzione inversa di $B$ e quindi avere le soluzioni dell'equazione differenziale in forma "esplicita".

## Equazioni differenziali esatte

Un terzo tipo di equazioni differenziali del primo ordine risolvibili analiticamente sono quelle riconducibili ad un differenziale esatto. Un'equazione di questo tipo può essere scritta come:
    $p(x,y)+q(x,y){\frac {dy}{dx}}=0$
dove p e q sono due funzioni qualunque. Consideriamo le derivate parziali di $p$ rispetto ad $y$ e di $q$ rispetto a $x$: se queste due sono uguali, avremo un differenziale esatto. In simboli:
    ${\frac {\partial p(x,y)}{\partial y}}={\frac {\partial q(x,y)}{\partial x}}$
La soluzione generale è:
    $P(x,y)=\int {p(x,y)dx}+\int {\left\{q(x,y)-\left[\int {p(x,y)dx}\right]_{y}\right\}dy}+C$
oppure:
    $Q(x,y)=\int {q(x,y)dy}+\int {\left\{p(x,y)-\left[\int {q(x,y)dy}\right]_{x}\right\}dx}+C$
Queste sono soluzioni implicite, per cui vale il discorso riguardo l'invertibilità della soluzione. Alcuni casi in cui le derivate miste non sono uguali, possono essere ricondotti a questo tramite un opportuno fattore di integrazione $\mu$ per cui si abbia:
    ${\frac {\partial [\mu p(x,y)]}{\partial y}}={\frac {\partial [\mu q(x,y)]}{\partial x}}$

## Equazioni differenziali non lineari

Consideriamo un'equazione differenziale di ordine n che indicheremo:
    $F(x,y,y^{'},\ldots \ldots ,y^{(n)})=0$
Se l'equazione è lineare con coefficienti e termini noti continui in un determinato intervallo allora è possibile trovare una funzione reale dipendente da $x$ e n parametri costanti $c$ del tipo:
    $y=y(x,c_{1},c_{2},\ldots \ldots ,c_{n})$
detta anche integrale generale della funzione $F(x,y,y^{'},\ldots \ldots ,y^{(n)})=0$
Se l'equazione è non lineare, invece, non è detto che si possa trovare una soluzione del tipo:
    $y=y(x,c_{1},c_{2},\dots ,c_{n})$
che fornisca tutti gli integrali della funzione:
    $F(x,y,y^{'},\dots ,y^{(n)})=0$
e a tale scopo si definisce equazione non lineare la funzione:
    $F(x,y,y^{'},\dots ,y^{(n)})=0$
per la cui soluzione:
    $y=y(x,c_{1},c_{2},\dots ,c_{n})$
detta integrale generale in forma esplicita, si hanno solo alcuni integrali di:
    $F(x,y,y^{'},\dots ,y^{(n)})=0$
e non necessariamente tutti gli integrali di essa.

### Equazioni a variabili separabili del primo ordine

Data l'equazione:
    $y^{'}{(x)}=a{(x)}\cdot b{(y{(x)})}$
dove $a(x)$ e $b(x)$ sono funzioni continue rispettivamente nei propri intervalli di definizione, essa è non lineare se $b$ non è un polinomio di primo grado. Riconducendosi ad un problema di Cauchy imponendo una condizione iniziale $y{(x_{0})}=y_{0}$ è possibile risolvere il problema con il metodo di separazione delle variabili con la procedura enunciata precedentemente.