# Trasformata di Legendre

In analisi funzionale, il funzionale di Legendre o trasformazione di Legendre, è un funzionale involuzione che fu definito da Adrien-Marie Legendre. La funzione risultato si chiama di solito trasformata, come per le trasformate integrali di Laplace, Fourier, ecc. Consente un importante cambiamento di variabile per funzioni dotate di alcune proprietà. Il funzionale è l'inverso di sé stesso
È molto importante in termodinamica: le funzioni energia (energia interna, entalpia, energia libera di Gibbs) sono infatti legate tra loro da trasformazioni di Legendre.
L'argomento del funzionale di Legendre è una funzione convessa a valori reali di variabile reale, e il risultato è un'altra funzione convessa dipendente esplicitamente dalla derivata dell'argomento.

## Definizione

La trasformata di Legendre $f^{\star }$ di una funzione convessa reale $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ è data da:
    $f^{\star }(p)=\sup _{x}{\biglpx-f(x){\bigr )}\qquad p\in \mathbb {R}$
Nel caso $f$ sia differenziabile la trasformata $f^{\star }$ può essere vista come il valore cambiato di segno dell'intercetta sull'asse $y$ di una particolare retta tangente alla funzione, quella di pendenza $p$. Per calcolare l'estremante di $px-f(x)$ rispetto a $x$, che è il punto $x$ per cui è massima la distanza tra la funzione e la retta $y=px$, se ne pone la derivata nulla:
    ${\frac {d}{dx}}\left(px-f(x)\right)=p-{df(x) \over dx}=0$
quindi il valore massimo si verifica quando:
    $p={df(x) \over dx}=f'(x)$
Nel caso $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ si ha:
    $\nabla _{x}\left(p\cdot x-f(x)\right)=0$
e il vettore $p$ coincide con il gradiente:
    $p=\nabla f(x)$
Scrivendo $x$ in funzione di $p$ e inserendolo nella derivata si ottiene una definizione operativa:
    $f^{\star }(f'(x))=xf'(x)-f(x)=p\,\,x(p)-f(x(p))$
dove nella relazione a destra si è esplicitata la dipendenza della trasformata da $p$. La trasformata di Legendre trasforma $f$ in un'altra funzione dipendente esplicitamente dalla derivata $f'$ invece che da $x$.

### Funzione generatrice

Un modo di scrivere esplicitamente $f^{\star }(p)$ si ottiene differenziando la funzione $f$:
    $df=f'(x)\,dx={\frac {df}{dx}}dx=p\,dx$
Introducendo la funzione ausiliaria $g=f-px$ si ha:
    $dg=df-p\,dx-x\,dp=-x\,dp$
essendo $df=p\,dx$. Si ha pertanto:
    $x(p)=-{\frac {dg(p)}{dp}}$
La funzione ausiliaria $g$ si chiama generatrice.
In generale, si dimostra che se $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ e $g(p)=-f^{\star }(p)$ allora $x(p)=-\nabla g(p)$, dove $x(p)$ è la soluzione di $p=\nabla f(x)$. Questo risultato consente di mostrare che la trasformata di Legendre applicata a una funzione convessa produce un'altra funzione convessa.

### Definizione alternativa

La trasformata di Legendre $f^{\star }$ di $f$ può anche essere definita come la trasformazione tale che la sua derivata prima e la derivata della funzione sono una la funzione inversa dell'altra. Detto $D$ l'operatore di derivazione:
    $Df=\left(Df^{\star }\right)^{-1}$
Infatti, derivando $f^{\star }$ rispetto a $p$ si ha:
    ${df^{\star }(p) \over dp}={d \over dp}(xp-f(x))=x+p{dx \over dp}-{df \over dx}{dx \over dp}=x$
Pertanto, valgono le relazioni:
    $p={df \over dx}(x)\qquad x={df^{\star } \over dp}(p)$
dove le funzioni $Df$ e $Df^{\star }$ sono univocamente determinate a meno di una costante additiva, solitamente fissata con l'ulteriore condizione:
    $f(x)+f^{\star }(p)=x\,p$

### Funzioni di più variabili

Si consideri $f(x,y)$ il cui differenziale sia dato da:
    $df={\partial f \over \partial x}dx+{\partial f \over \partial y}dy=udx+vdy$
Per costruire una funzione che dipenda da $du$ e $dy$ (invece che $dx$ e $dy$) si definisce $g(u,y)=f-ux$. Differenziando:
    $dg=df-udx-xdu=udx+vdy-udx-xdu=-xdu+vdy$
da cui:
    $x=-{\partial g \over \partial u}\qquad v={\partial g \over \partial y}$
La funzione $g(u,y)$ è il risultato della trasformazione di Legendre di $f(x,y)$ in cui la variabile indipendente $x$ è stata rimpiazzata da $u$.

### Esempio

Ad esempio, nel caso in cui $f(x)=\log x$ si ottiene che:
    $p={\frac {df}{dx}}={\frac {1}{x}}$
e quindi:
    $f^{\star }(p)=1-\log {\frac {1}{p}}$
Con procedimento formale, invece, servendosi della generatrice in questo caso si ha:
    $g=\log x-px\qquad x=-{\frac {dg}{dp}}=-{\frac {1}{x}}{\frac {dx}{dp}}+p{\frac {dx}{dp}}+x$
e semplificando:
    ${\frac {1}{x}}{\frac {dx}{dp}}=p{\frac {dx}{dp}}$
da cui:
    ${\frac {1}{x}}=p$

## Trasformazione in una dimensione

In una dimensione la trasformazione di Legendre di $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ può essere valutata con la formula:
    $f^{\star }(y)=y\,x-f(x)\qquad x={\dot {f}}^{-1}(y)$
Per mostrare ciò si considera la definizione:
    ${\dot {f}}(x)={\dot {f}}^{\star -1}(x)$
Integrando entrambi i membri da $x_{0}$ a $x_{1}$, utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale nel membro a sinistra e sostituendo nel termine a destra:
    $y={\dot {f}}^{\star -1}(x)$
si ha:
    $f(x_{1})-f(x_{0})=\int _{y_{0}}^{y_{1}}y\,{\ddot {f}}^{\star }(y)\,dy$
con:
    $f^{\star }(y_{0})=x_{0}\qquad f^{\star }(y_{1})=x_{1}$
Integrando per parti:
    $y_{1}\,{\dot {f}}^{\star }(y_{1})-y_{0}\,{\dot {f}}^{\star }(y_{0})-\int _{y_{0}}^{y_{1}}{\dot {f}}^{\star }(y)\,dy=y_{1}\,x_{1}-y_{0}\,x_{0}-f^{\star }(y_{1})+f^{\star }(y_{0})$
e quindi:
    $f(x_{1})+f^{\star }(y_{1})-y_{1}\,x_{1}=f(x_{0})+f^{\star }(y_{0})-y_{0}\,x_{0}$
Dal momento che il termine a sinistra dipende solo da $x_{1}$ e quello di destra solo da $x_{0}$:
    $f(x)+f^{\star }(y)-y\,x=C\qquad x={\dot {f}}^{\star }(y)={\dot {f}}^{-1}(y)$
Risolvendo per $f^{\star }$ e scegliendo $C=0$ si ottiene la relazione iniziale.

## Hamiltoniana

In analisi funzionale l'hamiltoniana $H(q_{i},p_{i},t)$ è data dalla trasformata di Legendre della lagrangiana del sistema ${\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$, con:
    $p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$
Nel caso di sistemi a un grado di libertà (un'unica coordinata lagrangiana), e ricordando le equazioni di Eulero-Lagrange, il differenziale di ${\mathcal {L}}(q,{\dot {q}},t)$ si scrive:
    $\operatorname {d} \!{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q}}\operatorname {d} \!q+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}}}\operatorname {d} \!{\dot {q}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\operatorname {d} \!t={\dot {p}}\operatorname {d} \!q+p\operatorname {d} \!{\dot {q}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\operatorname {d} \!t={\dot {p}}\operatorname {d} \!q+\operatorname {d} ({\dot {q}}p)-{\dot {q}}\operatorname {d} \!p+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\operatorname {d} \!t$
da cui:
    $d({\dot {q}}p-{\mathcal {L}})=-{\dot {p}}\operatorname {d} \!q+{\dot {q}}\operatorname {d} \!p-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\operatorname {d} \!t$
Si è trasformata in questo modo la lagrangiana in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a $q$, cioè dipendente da:
    $p={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}}}$
Se si pone $H(q,p,t)={\dot {q}}(t)p(t)-{\mathcal {L}}(q,{\dot {q}}(q,p,t),t)$, sapendo che il differenziale di $H(q,p,t)$, dipendente da $q$ e $p$, è:
    $\operatorname {d} \!H={\frac {\partial H}{\partial q}}\operatorname {d} \!q+{\frac {\partial H}{\partial p}}\operatorname {d} \!p+{\frac {\partial H}{\partial t}}\operatorname {d} \!t$
uguagliando i membri si ottengono le equazioni di Hamilton:
    ${\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}\qquad {\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\qquad {\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}=-{\partial H \over \partial t}$
dove $p$ e $q$ sono le sue variabili canoniche hamiltoniane. Si procede analogamente nel caso di n coordinate lagrangiane.

## Funzioni termodinamiche

Per il primo principio della termodinamica si ha:
    $dU=\delta Q-pdV\qquad \delta Q=pdV+dU$
e per la definizione di entropia, in condizioni quasistatiche reversibili:
    $\delta Q=TdS$
Sostituendo:
    $dU(S,V)=TdS-pdV$
Assumendo come variabili libere (o naturali) $S$ e $V$, cioè esprimendo ogni altra funzione di stato in funzione di queste due (sufficienti a descrivere lo stato del sistema), si procede nel differenziare $U$:
    $dU(S,V)={\frac {\partial U(S,V)}{\partial S}}dS+{\frac {\partial U(S,V)}{\partial V}}dV$
da cui:
    $T=\left({\frac {\partial U(S,V)}{\partial S}}\right)_{V}\qquad p=-\left({\frac {\partial U(S,V)}{\partial V}}\right)_{S}$
Usando il teorema di Schwartz si ricava la seguente relazione, detta equazione di Maxwell:
    $\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}=-\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{V}$
Ora si possono operare delle trasformate (non standard) di Legendre sull'energia interna per ottenere altre funzioni termodinamiche e altre utili relazioni sulle varie grandezze di volta in volta derivate o tenute costanti. I calcoli sono assolutamente analoghi agli esempi precedenti a patto di cambiare di volta in volta le variabili libere del sistema.
* Entalpia $H$:
    $dH(S,p)=d(U+pV)=TdS+Vdp$
    $T=\left({\frac {\partial H}{\partial S}}\right)_{p}\qquad V=\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{S}\qquad \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{S}=\left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)_{p}$
* Energia libera di Helmholtz ($A$ secondo la IUPAC, $F$ secondo altre convenzioni):
    $dA(T,V)=d(U-TS)=-SdT-pdV$
    $S=-\left({\frac {\partial A}{\partial T}}\right)_{V}\qquad p=-\left({\frac {\partial A}{\partial V}}\right)_{T}\qquad \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}$
* Energia libera di Gibbs $G$:
    $dG(T,p)=d(U+pV-TS)=-SdT+Vdp$
    $S=-\left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{p}\qquad V=\left({\frac {\partial G}{\partial p}}\right)_{T}\qquad -\left({\frac {\partial S}{\partial p}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}$
Riassumendo si ha:
    $H(S,p)=U(S,V)+pV\qquad A(T,V)=U(S,V)-TS\,$
    $G(T,p)=U(S,V)+pV-TS=H(S,p)-TS$