# Traccia (matrice)

In algebra lineare, si definisce traccia di una matrice quadrata la somma di tutti gli elementi della sua diagonale principale.
Nel caso di endomorfismi di uno spazio vettoriale, è possibile definire la traccia di un endomorfismo considerando la traccia della sua matrice associata rispetto ad una qualsiasi base dello spazio. Poiché la traccia è invariante per similitudine, questo valore non dipende dalla base scelta.

## Definizione

Si definisce traccia $\operatorname {tr} (A)$ di una matrice $A$ la somma di tutti gli elementi sulla sua diagonale principale:
    $\operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}$
dove $a_{ii}$ rappresenta l'elemento posto sulla $i$-esima riga e $i$-esima colonna di $A$.
Dalla definizione segue che una matrice hermitiana ha traccia reale in quanto i suoi elementi sulla diagonale principale sono reali. D'altro canto, una matrice antisimmetrica a valori in un campo con caratteristica diversa da $2$ ha traccia nulla, poiché tutti gli elementi sulla diagonale principale sono nulli.
L'insieme delle matrici la cui traccia è nulla è inoltre uno spazio vettoriale.

## Proprietà

Tra le proprietà più immediate della traccia vi sono le seguenti:
* Calcolare la traccia è una trasformazione lineare:
    $\operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)$
    $\operatorname {tr} (cA)=c(\operatorname {tr} (A))$
* Una matrice $A$ e la sua trasposta $A^{T}$ hanno la stessa traccia:
    $\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} \left(A^{T}\right)$
    come si nota dal fatto che la trasposta rappresenta la rotazione degli elementi della matrice rispetto alla diagonale, la quale rappresenta un'invariante di tale trasformazione.
* Data la matrice identità $I_{n}$, la traccia è la dimensione dello spazio, ovvero $\operatorname {tr} (I_{n})=n$. La traccia di una matrice idempotente $A$ (tale per cui $A^{2}=A$) è il rango di $A$, mentre la traccia della matrice nilpotente è zero.
* Se $A$ è una matrice simmetrica e $B$ è una matrice antisimmetrica, allora:
    $\operatorname {tr} (AB)=0$
* Data una matrice $A$ di dimensione $m\times n$ e una seconda matrice $B$ di dimensione $n\times m$, si ha:
    $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$
    Si tratta di una conseguenza immediata del procedimento di moltiplicazione di matrici, infatti:
    $\operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\left(AB\right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}B_{ji}A_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left(BA\right)_{jj}=\operatorname {tr} (BA)$
    La traccia è cioè invariante rispetto ad una permutazione ciclica:
    $\operatorname {tr} (ABCD)=\operatorname {tr} (BCDA)=\operatorname {tr} (CDAB)=\operatorname {tr} (DABC)$
    Si nota che una generica permutazione non è consentita:
    $\operatorname {tr} (ABC)\neq \operatorname {tr} (ACB)$
    La traccia di un prodotto può essere scritta come una somma del tipo:
    $\operatorname {tr} (X^{\mathrm {T} }Y)=\operatorname {tr} (XY^{\mathrm {T} })=\operatorname {tr} (Y^{\mathrm {T} }X)=\operatorname {tr} (YX^{\mathrm {T} })=\sum _{i,j}X_{ij}Y_{ij}$
    in cui si nota la somiglianza con il prodotto interno tra vettori.
* La traccia è invariante per similitudine, ovvero due matrici simili hanno la stessa traccia:
    $\operatorname {tr} (M^{-1}AM)=\operatorname {tr} ((M^{-1}A)M)=\operatorname {tr} (M(M^{-1}A))=\operatorname {tr} ((MM^{-1})A)=\operatorname {tr} (A)\$
* Data una matrice $A$ di dimensione $m\times n$ e una seconda matrice $B$ di dimensione $m\times n$, si ha:
    ${\frac {\partial (\operatorname {tr} (AB^{T}))}{\partial B}}=A$
La traccia è, a meno di segno, il coefficiente di $x^{n-1}$ nel polinomio caratteristico di una matrice. La traccia inoltre è pari alla somma degli autovalori della matrice, in quanto una matrice è sempre simile ad una forma canonica di Jordan, una matrice triangolare superiore che ha anch'essa gli autovalori $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ sulla diagonale principale.
Nel caso di una matrice diagonalizzabile, in particolare, questo segue dall'invarianza per similitudine, e dal fatto che una matrice diagonale ha i suoi autovalori sulla diagonale.
In una matrice quadrata di ordine due gli autovalori dipendono solo dalla traccia e dal determinante della matrice, poiché in tal caso il polinomio caratteristico è dato da:
    $\lambda ^{2}-\mathrm {tr} (A)\lambda +\mathrm {det} (A)$
La traccia corrisponde alla derivata del determinante. Se $A$ è una funzione differenziabile da $\mathbb {R}$ allo spazio delle matrici di dimensione n:
    ${\frac {d}{dt}}\det A(t)=\mathrm {tr} \left(\mathrm {adj} (A(t))\,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)$
dove $\mathrm {adj} A$ è la matrice aggiunta di $A$. Si tratta della formula di Jacobi.

## Prodotto interno

Per una matrice $A$ di dimensione $m\times n$ con entrate reali o complesse, indicando con l'asterisco la trasposta complessa coniugata si ha:
    $\operatorname {tr} (A^{*}A)\geq 0$
dove vale l'uguaglianza se e solo se $A=0$. L'assegnazione:
    $\langle A,B\rangle =\operatorname {tr} (B^{*}A)$
definisce un prodotto interno sullo spazio delle matrici $m\times n$ (reali o complesse). La norma indotta da tale prodotto interno è detta norma di Frobenius.
Segue che se $A$ e $B$ sono semi-definite positive e hanno la stessa dimensione, allora:
    $0\leq \operatorname {tr} (AB)^{2}\leq \operatorname {tr} (A^{2})\operatorname {tr} (B^{2})\leq \operatorname {tr} (A)^{2}\operatorname {tr} (B)^{2}$
come si può dimostrare utilizzando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

## Generalizzazioni

Nel caso di operatori compatti in spazi di Hilbert si introduce la nozione di operatore di classe traccia.
Se $A$ è un'algebra associativa su un campo $k$ allora la traccia di $A$ è spesso anche definita come una generica mappa $tr:A\to k$ che annulla il commutatore $tr([a,b])=0$ per ogni coppia $a,b\in A$. Si tratta di una traccia definita a meno della moltiplicazione per uno scalare non nullo.
Una supertraccia è una generalizzazione della traccia nell'ambito della teoria delle superalgebre.
L'operazione di contrazione di un tensore generalizza la traccia al caso di generici tensori.

### Operatori di classe traccia

Sia dato un operatore lineare limitato $A$ su uno spazio di Hilbert separabile $H$. Data una base ortonormale $\{\phi _{n}\}$ di $H$, si definisce traccia di $A$ il numero:
    ${\rm {Tr}}A:=\sum _{n}^{\infty }\langle A\phi _{n},\phi _{n}\rangle$
$A$ è detto di classe traccia se la traccia del suo modulo è finita, ovvero se la somma precedente è assolutamente convergente e indipendente dalla scelta della base.
    ${\rm {Tr}}|A|<\infty \$
La traccia di un operatore può essere scritta in modo equivalente come la somma di termini positivi:
    $\|A\|_{1}={\rm {Tr}}|A|:=\sum _{k}\langle (A^{*}A)^{1/2}\,e_{k},e_{k}\rangle$
Si tratta di un funzionale lineare sullo spazio degli operatori di classe traccia. Se $H$ ha dimensione finita, ogni operatore è di classe traccia e la precedente somma è equivalente alla definizione di traccia di una matrice.
Un operatore $A$ non negativo e autoaggiunto è di classe traccia se:
    ${\rm {Tr}}(A)<\infty \$
Inoltre, un operatore autoaggiunto è di classe traccia se lo sono la sua parte positiva $A^{+}$ e negativa $A^{-}$.
In tale contesto l'analogo della norma di Frobenius è detto norma di Hilbert–Schmidt.

## Esempi

    $A={\begin{pmatrix}3&0&1\\0&4&5\\0&1&2\end{pmatrix}}\Rightarrow {\mbox{tr}}(A)=3+4+2=9.\,\!$
    $B={\begin{pmatrix}3&0&1\\0&4&5\\0&1&-7\end{pmatrix}}\Rightarrow {\mbox{tr}}(B)=3+4+(-7)=0.\,\!$