# Metodi di integrazione

Un metodo di integrazione è una procedura per il calcolo del valore di una precisa tipologia di integrali. Se l'integrale è risolvibile, per giungere alla soluzione è quasi sempre necessario utilizzare diversi metodi, ad esempio le tavole di integrali.
Oltre ai metodi di integrazione analitici si può ricorrere a metodi di approssimazione numerica o a software di calcolo simbolico. Alcuni metodi numerici sono il metodo di Simpson, il metodo di Lobatto e il metodo del trapezio.

## Integrali elementari

Il caso più semplice che può capitare è quando si riconosce la funzione integranda essere la derivata di una funzione nota, $\Phi$. In tal caso, come conseguenza delle regole di derivazione, del fatto che la derivata di una funzione costante è la funzione identicamente nulla, e del teorema di Lagrange, si ha:
    $\int \varphi (x)\;\mathrm {d} x=\Phi (x)+c$,
se la funzione $\varphi$ è definita su un intervallo. Per gli integrali definiti invece si ha:
    $\int _{a}^{b}\varphi (x)\;\mathrm {d} x=\Phi (b)-\Phi (a).$

### Esempi

* $\int (x-x^{2})\;\mathrm {d} x={x^{2} \over 2}-{x^{3} \over 3}+c$ in quanto $D\left({x^{2} \over 2}-{x^{3} \over 3}\right)=x-x^{2}$
* $\int _{a}^{b}\varphi '(x)\varphi (x)^{n-1}\;\mathrm {d} x={1 \over n}(\varphi ^{n}(b)-\varphi ^{n}(a))$ in quanto $D\left({1 \over n}\varphi ^{n}(x)\right)=\varphi '(x)\varphi (x)^{n-1}$

## Integrazione per scomposizione o per decomposizione in somma

L'integrazione per scomposizione si rifà alla proprietà di linearità dell'integrale. Infatti dovendo calcolare $\int f(x)\;\mathrm {d} x$ è talvolta più semplice scrivere $f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)+...+f_{n}(x)$ e sfruttare l'uguaglianza:
    $\int f(x)\;\mathrm {d} x=\int f_{1}(x)\;\mathrm {d} x+\int f_{2}(x)\;\mathrm {d} x+...+\int f_{n}(x)\;\mathrm {d} x$

## Integrazione di funzioni razionali

Gli integrali che rientrano nella forma:
    $\int {{a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_{1}x} \over {b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{1}x}}\,\;\mathrm {d} x\qquad n,m\in \mathbb {N}$
sono integrali di funzioni razionali. Esistono varie metodologie per la risoluzione di tali integrali.
Le prime cose da analizzare sono il grado del numeratore e il grado del denominatore.

### Grado del numeratore maggiore o uguale al grado del denominatore

Nel caso in cui il grado del numeratore $f(x)$ sia maggiore o uguale al grado del denominatore $g(x)$ si effettua la divisione tra polinomi ottenendo il quoziente $Q(x)$ e il resto $R(x)$:
    $f(x)=g(x)Q(x)+R(x)\$
dalla quale ricaviamo
    ${f(x) \over g(x)}=Q(x)+{R(x) \over g(x)}$
con $R(x)$ polinomio di grado inferiore al grado $n$ del divisore $g(x)$. Perciò possiamo scrivere:
    $\int {f(x) \over g(x)}\;\mathrm {d} x=\int Q(x)\;\mathrm {d} x+\int {R(x) \over g(x)}\;\mathrm {d} x$
riconducendoci al caso di una funzione razionale con grado del numeratore strettamente minore di quello del denominatore.

### Grado del numeratore minore del grado del denominatore

In questo caso, in generale, si può applicare la scomposizione di Hermite.
Se tra il grado del numeratore e quello del denominatore vi è una differenza unitaria si può provare a modificare opportunamente il numeratore, in modo da ottenere la derivata del denominatore.
Esaminiamo nel dettaglio funzioni razionali con denominatore di 2º grado:
    $\int {a_{1}x+a_{0} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}\;\mathrm {d} x$
In questo caso distinguiamo tre casi in base allo studio del discriminante $\delta =b_{1}^{2}-4b_{0}$ (eventualmente dividendo per il termine di grado massimo ci si può sempre riportare ad un polinomio monico al denominatore):

#### Denominatore con due radici reali distinte

Se $\delta >0$ allora $x^{2}+b_{1}x+b_{0}=0$ ammette due radici reali distinte $x_{1}$ e $x_{2}$ dunque $x^{2}+b_{1}x+b_{0}=(x-x_{1})(x-x_{2})$. Esistono dunque due costanti reali $A,B$ tali che:
    ${a_{1}x+a_{0} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}={a_{1}x+a_{0} \over (x-x_{1})(x-x_{2})}={A \over x-x_{1}}+{B \over x-x_{2}}\,\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{x_{1},x_{2}\}$
$A$ e $B$ si determinano in base alla condizione:
    $A(x-x_{2})+B(x-x_{1})=a_{1}x+a_{0}\ \forall x$
Questa è equivalente al sistema lineare:
    $\left\{{\begin{matrix}A+B=a_{1}\\-Ax_{2}-Bx_{1}=a_{0}\end{matrix}}\right.$
che ammette un'unica soluzione in $(A,B)$ poiché la matrice dei coefficienti ${\begin{pmatrix}1&1\\-x_{2}&-x_{1}\end{pmatrix}}$ ha determinante $-x_{1}+x_{2}\neq 0$.
Determinate $A,B$ (risolvendo il sistema), si calcola:
    $\int {{a_{1}x+a_{0}} \over {x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}\;\mathrm {d} x=\int {{A} \over {x-x_{1}}}\;\mathrm {d} x+$$\int {{B} \over {x-x_{2}}}\;\mathrm {d} x=A\log |x-x_{1}|+B\log |x-x_{2}|+c$

#### Denominatore con due radici reali coincidenti

Se $\delta =0$ allora $x^{2}+b_{1}x+b_{0}=0$ ammette due radici reali coincidenti $x_{1}=x_{2}=x_{0}$, dunque $x^{2}+b_{1}x+b_{0}=(x-x_{0})^{2}$ ed esistono due costanti reali $A,B$ tali che:
    ${a_{1}x+a_{0} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}={a_{1}x+a_{0} \over (x-x_{0})^{2}}={A \over x-x_{0}}+{B \over (x-x_{0})^{2}}\ \forall x\in \mathbb {R} \setminus \{x_{0}\}$
$A,B$ si determinano in base alla condizione
    $a_{1}x+a_{0}=A(x-x_{0})+B\ \forall x\in \mathbb {R}$
Questa è equivalente al sistema lineare:
    $\left\{{\begin{matrix}A=a_{1}\\-x_{0}A+B=a_{0}\end{matrix}}\right.$
che ammette un'unica soluzione $(A,B)$ poiché il determinante della matrice dei coefficienti è
    $\det {\begin{pmatrix}1&0\\-x_{0}&1\end{pmatrix}}=1$
Determinate $A,B$ si calcola:
    $\int {{a_{1}x+a_{0}} \over {x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}\;\mathrm {d} x=\int {{A} \over {x-x_{0}}}\;\mathrm {d} x+$$\int {{B} \over {(x-x_{0})^{2}}}\;\mathrm {d} x=A\log |x-x_{0}|-{B \over {x-x_{0}}}+c$

#### Denominatore con due radici complesse coniugate

Se $\delta <0$ allora $x^{2}+b_{1}x+b_{0}=0$ non ammette radici reali. È sempre possibile determinare $A,B$ tali che
    ${a_{1}x+a_{0} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}=A{2x+b_{1} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}+{B \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}$
$A,B$ si ricavano in base alla condizione
    $a_{1}x+a_{0}=2Ax+Ab_{1}+B$
Questo è equivalente al sistema lineare
    $\left\{{\begin{matrix}2A=a_{1}\\b_{1}A+B=a_{0}\end{matrix}}\right.$
che ammette un'unica soluzione poiché il determinante della matrice dei coefficienti è $2\cdot 1-b_{1}\cdot 0=2$.
Ora, per il secondo addendo, è sempre possibile ricavare $K,D$ tali che $x^{2}+b_{1}x+b_{0}=(x+K)^{2}+D^{2}\ \forall x\in \mathbb {R}$. Dall'uguaglianza precedente si imposta il sistema dal quale si ricavano $K$ e $D$:
    $\left\{{\begin{matrix}2K=b_{1}&\\K^{2}+D^{2}=b_{0}&\end{matrix}}\right.$
che ammette soluzione poiché $D^{2}=b_{0}-({b_{1} \over 2})^{2}=-{\delta \over 4}>0$.
Il calcolo dell'integrale si può scrivere quindi come:
    $\int {a_{1}x+a_{0} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}\;\mathrm {d} x=A\int {2x+b_{1} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}\;\mathrm {d} x+B\int {1 \over (x+K)^{2}+D^{2}}\;\mathrm {d} x=A\int {2x+b_{1} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}\;\mathrm {d} x+B{1 \over D^{2}}\int {1 \over {({x+K \over D})^{2}+1}}\;\mathrm {d} x$
    $=A\log(x^{2}+b_{1}x+b_{0})+{B \over D}\arctan {x+K \over D}+C$

### Denominatore di grado qualunque

Per concludere segnaliamo che esistono metodi analoghi applicabili per qualunque grado del denominatore: se $g(x)=b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{1}x$ è un qualsiasi denominatore, allora
* se esso possiede tutte radici distinte, $g(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})$ si procede come nel primo caso qua trattato:
    ${f(x) \over g(x)}={A_{1} \over x-x_{1}}+{A_{2} \over x-x_{2}}+...{A_{n} \over x-x_{n}}$.
* se esso possiede una o più radici multiple $x_{1},...,x_{j}$ (supponiamo ad esempio siano le prime) di molteplicità $n_{1},...,n_{j}$, si procede come nel secondo caso:
    ${f(x) \over g(x)}={A_{1}^{1} \over x-x_{1}}+{A_{1}^{2} \over (x-x_{1})^{2}}+...+{A_{1}^{n_{1}} \over (x-x_{1})^{n_{1}}}+{A_{2}^{1} \over x-x_{2}}+...+{A_{2}^{n_{2}} \over (x-x_{2})^{n_{2}}}+...+{A_{j+1} \over x-x_{j+1}}+{A_{j+2} \over x-x_{j+2}}+...$.
* se esso possiede due o più radici complesse coniugate semplici $z_{1},{\bar {z}}_{1},z_{2},{\bar {z}}_{2},...,z_{j},{\bar {z}}_{j}$ (e un certo numero di radici reali), si procede come nel terzo caso:
    ${f(x) \over g(x)}={a_{1}^{1}x+a_{0}^{1} \over x^{2}+b_{1}^{1}x+b_{0}^{1}}+...+{a_{1}^{j}x+a_{0}^{j} \over x^{2}+b_{1}^{j}x+b_{0}^{j}}+...$
L'ultimo caso, in cui il denominatore presenta radici complesse multiple, è più laborioso da risolvere (vedi Tavola degli integrali indefiniti di funzioni razionali).

## Integrazione per parti

Se $f$ e $g$ sono derivabili in $[a,b]$ si ha:
    $\ (fg)^{'}=f^{'}g+fg^{'}$
ossia:
    $\ fg^{'}=(fg)^{'}-f^{'}g$.
Prendendo l'integrale indefinito di entrambi i membri ed osservando che $\int {(fg)^{'}}\,\;\mathrm {d} x=fg$ a meno di una costante si trova la formula di integrazione per parti:
    $\int f(x)g^{'}(x)\;\mathrm {d} x=f(x)g(x)-\int f^{'}(x)g(x)\;\mathrm {d} x$
Da cui per gli integrali definiti:
    $\int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\,\;\mathrm {d} x=f(b)\cdot g(b)-f(a)\cdot g(a)-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,\;\mathrm {d} x$

## Integrazione per sostituzione

    $\int f(y)\;\mathrm {d} y=\left[\int f\left(\varphi (t)\right)\varphi '(t)\ \mathrm {d} t\right]_{t=\phi (y)}$
dove $\phi$ è la funzione inversa di $\varphi$, oppure nel caso degli integrali definiti
    $\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x=\int _{\phi (a)}^{\phi (b)}f(\varphi (t))\varphi '(t)\ \mathrm {d} t$

## Integrazione di funzioni inverse

Se $f^{-1}$ è l'inversa di una funzione $f$ che ammette una primitiva $F$, allora
    $\int f^{-1}(x)dx=xf^{-1}(x)-(F\circ f^{-1})(x)+C.$