# Teorema di Rouché-Capelli

Il teorema di Rouché-Capelli è un teorema di algebra lineare che permette di caratterizzare l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari (eventualmente vuoto) mediante il rango della matrice completa e della matrice incompleta.
Prende il nome dal matematico francese Eugène Rouché, suo ideatore, e dal matematico italiano Alfredo Capelli, che lo riscrisse in maniera più semplice. A questo teorema, che ha interesse prevalentemente didattico, vengono anche associati i nomi di Fontené, Kronecker e Frobenius.

## Il teorema di Rouché-Capelli

Consideriamo il sistema di equazioni lineari:
    $\left\{{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\\\end{matrix}}\right.$
nel quale i coefficienti del sistema lineare (e quindi delle matrici) e le componenti dei vettori sono elementi di un campo $K$, quale ad esempio quello dei numeri reali $\mathbb {R}$ o complessi $\mathbb {C}$.
Il sistema è rappresentato fedelmente dalla matrice:
    $(A|\mathbf {b} )=\left({\begin{matrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{matrix}}\right)$
detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice $A$ dei coefficienti e di un'ulteriore colonna $\mathbf {b}$, detta colonna dei termini noti. Le matrici $A$ e $(A|\mathbf {b} )$ sono dette rispettivamente incompleta e completa.
Il teorema di Rouché-Capelli afferma che esistono soluzioni per il sistema se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta:
    $\operatorname {rk} (A|\mathbf {b} )=\operatorname {rk} (A|\mathbf {0} )$
Se esistono soluzioni, queste formano un sottospazio affine di $K^{n}$ di dimensione $n-\operatorname {rk} (A)$. In particolare, se il campo $K$ è infinito si ha che se $\operatorname {rk} (A)=n$ allora la soluzione è unica, altrimenti esistono infinite soluzioni. Valgono le seguenti due relazioni:
* $\operatorname {rk} (A|\mathbf {b} )\geqslant \operatorname {rk} (A|\mathbf {0} )$
* $\max\{\operatorname {rk} (A|\mathbf {0} )\}=\min\{n,m\}$,
dove $n$ è il numero di incognite, e $m$ è il numero di equazioni del sistema.

## Dimostrazione

Il sistema può essere descritto in modo più compatto, introducendo il vettore delle coordinate:
    $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$
ed usando il prodotto fra matrici e vettori, nel modo seguente:
    $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$
Questa relazione dice che un vettore noto $\mathbf {b}$ si vuole sia l'immagine di un vettore incognito $\mathbf {x}$ ottenuta mediante l'applicazione lineare $L_{A}:K^{n}\to K^{m}$ associata alla matrice dei coefficienti:
    $L_{A}(\mathbf {x} )=A\mathbf {x}$
Quindi il sistema ammette soluzione se e solo se $\mathbf {b}$ è l'immagine di almeno un vettore $\mathbf {x}$ di $K^{n}$, ovvero se e solo se fa parte dell'immagine di $L_{A}$. Si osserva che l'immagine di $L_{A}$ è generata linearmente dai vettori dati dalle colonne di $A$. Quindi $\mathbf {b}$ è contenuto nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di $A$ contiene $b$, cioè se e solo se lo span delle colonne di $A$ è uguale allo span delle colonne di $(A|\mathbf {b} )$. Quest'ultima affermazione è equivalente a chiedere che le due matrici abbiano lo stesso rango.
Se esiste una soluzione $\mathbf {x} _{0}$, ogni altra soluzione si scrive come $\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v}$, dove $\mathbf {v}$ è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:
    $A\mathbf {v} =0$
Infatti:
    $A(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} )=A\mathbf {x} _{0}+A\mathbf {v} =\mathbf {b} +\mathbf {0} =\mathbf {b} \$
Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore $\mathbf {x} _{0}$, è quindi il sottospazio affine dato da:
    $\operatorname {Sol} (A|\mathbf {b} )=\mathbf {x} _{0}+\operatorname {Sol} (A|\mathbf {0} )$
La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.
Le soluzioni del sistema lineare omogeneo associato sono il nucleo dell'applicazione $L_{A}$, e per il teorema della dimensione il nucleo è un sottospazio vettoriale di dimensione $n-\operatorname {rk} (A)$. Quindi lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore $x$, è un sottospazio affine della stessa dimensione.