# Sedenione

I sedenioni (anche chiamati esadecanioni) formano un'algebra a 16 dimensioni sul campo dei numeri reali; questa può considerarsi ottenuta applicando la costruzione di Cayley-Dickson sull'algebra degli ottetti.
Come per gli ottetti, la moltiplicazione dei sedenioni non è né commutativa né associativa.
A differenza degli ottetti, i sedenioni non hanno la proprietà dell'algebra alternativa, ma mantengono quella della potenza associativa. I sedenioni hanno l'elemento unità della moltiplicazione e molti sedenioni sono invertibili; essi, però, non costituiscono un'algebra di divisione, dato che alcuni di essi sono divisori dello zero.
I sedenioni si possono ottenere come combinazioni lineari dei seguenti sedenioni invertibili: 1, e$_1$, e$_2$, e$_3$, e$_4$, e$_5$, e$_6$, e$_7$, e$_8$, e$_9$, e$_{10}$, e$_{11}$, e$_{12}$, e$_{13}$, e$_{14}$, e$_{15}$. In altre parole i precedenti elementi costituiscono una base dello spazio vettoriale dei sedenioni. Come si vede tutti questi elementi sono invertibili, cioè unità.
La matrice moltiplicativa delle unità dei sedenioni è presentata qui sotto.
| × | 1 | e$_1$ | e$_2$ | e$_3$ | e$_4$ | e$_5$ | e$_6$ | e$_7$ | e$_8$ | e$_9$ | e$_{10}$ | e$_{11}$ | e$_{12}$ | e$_{13}$ | e$_{14}$ | e$_{15}$ |
| 1 | 1 | e$_1$ | e$_2$ | e$_3$ | e$_4$ | e$_5$ | e$_6$ | e$_7$ | e$_8$ | e$_9$ | e$_{10}$ | e$_{11}$ | e$_{12}$ | e$_{13}$ | e$_{14}$ | e$_{15}$ |
| e$_1$ | e$_1$ | -1 | e$_3$ | -e$_2$ | e$_5$ | -e$_4$ | -e$_7$ | e$_6$ | e$_9$ | -e$_8$ | -e$_{11}$ | e$_{10}$ | -e$_{13}$ | e$_{12}$ | e$_{15}$ | -e$_{14}$ |
| e$_2$ | e$_2$ | -e$_3$ | -1 | e$_1$ | e$_6$ | e$_7$ | -e$_4$ | -e$_5$ | e$_{10}$ | e$_{11}$ | -e$_8$ | -e$_9$ | -e$_{14}$ | -e$_{15}$ | e$_{12}$ | e$_{13}$ |
| e$_3$ | e$_3$ | e$_2$ | -e$_1$ | -1 | e$_7$ | -e$_6$ | e$_5$ | -e$_4$ | e$_{11}$ | -e$_{10}$ | e$_9$ | -e$_8$ | -e$_{15}$ | e$_{14}$ | -e$_{13}$ | e$_{12}$ |
| e$_4$ | e$_4$ | -e$_5$ | -e$_6$ | -e$_7$ | -1 | e$_1$ | e$_2$ | e$_3$ | e$_{12}$ | e$_{13}$ | e$_{14}$ | e$_{15}$ | -e$_8$ | -e$_9$ | -e$_{10}$ | -e$_{11}$ |
| e$_5$ | e$_5$ | e$_4$ | -e$_7$ | e$_6$ | -e$_1$ | -1 | -e$_3$ | e$_2$ | e$_{13}$ | -e$_{12}$ | e$_{15}$ | -e$_{14}$ | e$_9$ | -e$_8$ | e$_{11}$ | -e$_{10}$ |
| e$_6$ | e$_6$ | e$_7$ | e$_4$ | -e$_5$ | -e$_2$ | e$_3$ | -1 | -e$_1$ | e$_{14}$ | -e$_{15}$ | -e$_{12}$ | e$_{13}$ | e$_{10}$ | -e$_{11}$ | -e$_8$ | e$_9$ |
| e$_7$ | e$_7$ | -e$_6$ | e$_5$ | e$_4$ | -e$_3$ | -e$_2$ | e$_1$ | -1 | e$_{15}$ | e$_{14}$ | -e$_{13}$ | -e$_{12}$ | e$_{11}$ | e$_{10}$ | -e$_9$ | -e$_8$ |
| e$_8$ | e$_8$ | -e$_9$ | -e$_{10}$ | -e$_{11}$ | -e$_{12}$ | -e$_{13}$ | -e$_{14}$ | -e$_{15}$ | -1 | e$_1$ | e$_2$ | e$_3$ | e$_4$ | e$_5$ | e$_6$ | e$_7$ |
| e$_9$ | e$_9$ | e$_8$ | -e$_{11}$ | e$_{10}$ | -e$_{13}$ | e$_{12}$ | e$_{15}$ | -e$_{14}$ | -e$_1$ | -1 | -e$_3$ | e$_2$ | -e$_5$ | e$_4$ | e$_7$ | -e$_6$ |
| e$_{10}$ | e$_{10}$ | e$_{11}$ | e$_8$ | -e$_9$ | -e$_{14}$ | -e$_{15}$ | e$_{12}$ | e$_{13}$ | -e$_2$ | e$_3$ | -1 | -e$_1$ | -e$_6$ | -e$_7$ | e$_4$ | e$_5$ |
| e$_{11}$ | e$_{11}$ | -e$_{10}$ | e$_9$ | e$_8$ | -e$_{15}$ | e$_{14}$ | -e$_{13}$ | e$_{12}$ | -e$_3$ | -e$_2$ | e$_1$ | -1 | -e$_7$ | e$_6$ | -e$_5$ | e$_4$ |
| e$_{12}$ | e$_{12}$ | e$_{13}$ | e$_{14}$ | e$_{15}$ | e$_8$ | -e$_9$ | -e$_{10}$ | -e$_{11}$ | -e$_4$ | e$_5$ | e$_6$ | e$_7$ | -1 | -e$_1$ | -e$_2$ | -e$_3$ |
| e$_{13}$ | e$_{13}$ | -e$_{12}$ | e$_{15}$ | -e$_{14}$ | e$_9$ | e$_8$ | e$_{11}$ | -e$_{10}$ | -e$_5$ | -e$_4$ | e$_7$ | -e$_6$ | e$_1$ | -1 | e$_3$ | -e$_2$ |
| e$_{14}$ | e$_{14}$ | -e$_{15}$ | -e$_{12}$ | e$_{13}$ | e$_{10}$ | -e$_{11}$ | e$_8$ | e$_9$ | -e$_6$ | -e$_7$ | -e$_4$ | e$_5$ | e$_2$ | -e$_3$ | -1 | e$_1$ |
| e$_{15}$ | e$_{15}$ | e$_{14}$ | -e$_{13}$ | -e$_{12}$ | e$_{11}$ | e$_{10}$ | -e$_9$ | e$_8$ | -e$_7$ | e$_6$ | -e$_5$ | -e$_4$ | e$_3$ | e$_2$ | -e$_1$ | -1 |

## Altre letture

* (EN) Carmody, Kevin: Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions, Applied Mathematics and Computation 28:47-72 (1988)
* (EN) Carmody, Kevin: Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Further results, Applied Mathematics and Computation, 84:27-47 (1997)
* (EN) Imaeda, K., Imaeda, M.: Sedenions: algebra and analysis, Applied Mathematics and Computation, 115:77-88 (2000)