# Varietà simplettica

In matematica una varietà simplettica è una varietà differenziabile liscia munita di una 2-forma chiusa non degenere $\omega$, definita forma simplettica. Lo studio delle varietà simplettiche è denominato geometria simplettica. Esso deriva dalle formulazioni astratte della meccanica classica e della meccanica analitica, come il fibrato cotangente di una varietà, ad esempio nella riformulazione hamiltoniana della meccanica classica.
Una qualsiasi funzione differenziabile, $H$, a valori reali che lavora su una varietà simplettica fa da hamiltoniana o funzione energia. Ad ogni hamiltoniana è associato un campo vettoriale hamiltoniano; i moti naturali del sistema hamiltoniano sono soluzioni delle equazioni di Hamilton-Jacobi. Tramite il campo hamiltoniano è possibile definire un flusso sulla varietà simplettica, chiamato simplettomorfismo o flusso hamiltoniano. Per il teorema di Liouville, il flusso hamiltoniano preserva la forma volume sullo spazio delle fasi.

## Definizione

Una forma simplettica su una varietà $M$ è una 2-forma differenziale non degenere chiusa, $\omega$. La coppia $(M,\omega )$ si chiama varietà simplettica. Chiariamo la definizione, con il termine non degenere intendiamo che data una base $X_{i}$ dello spazio tangente di $M$ in un punto, la matrice
    $\Omega _{ij}=\omega (X_{i},X_{j})$
è invertibile (il determinante è diverso da 0). La richiesta di $\omega$ chiusa significa che
    $d\omega =0$
dove $d$ è la derivata esterna.
Notiamo come la richiesta di non degenerazione imponga la parità della dimensione di una varietà simplettica; infatti $\Omega$ è antisimmetrica, ossia $\Omega _{ij}=-\Omega _{ji}$, per cui l'invertibilità della matrice implica la parità delle sue righe (e colonne).

## Sistema di coordinate canonico

Consideriamo una varietà simplettica $(M,\omega )$ con un sistema di coordinate, o una carta, denotata con la notazione $x^{i}$ dove $i=1,\ldots ,2n$.

### Definizione

Una carta $x^{i}$ si dice canonica, o sistema di coordinate canonico se accade che
    $\omega =\sum _{i=1}^{n}dx^{n+i}\wedge dx^{i}$
spesso per il sistema di coordinate canonico si usa la notazione classica ponendo $x^{i}=q^{i}$ e $p_{i}=x^{n+i},$ con $i=1,\ldots ,n,$ cosicché la forma simplettica si riscrive (usando la notazione di Einstein)
    $\Omega =dp_{i}\wedge dq^{i}.$

### Teorema di Darboux

Ogni varietà simplettica possiede un atlante formato da sistemi di coordinate canonici.

## Varietà simplettica lineare

La varietà simplettica standard è $\mathbb {R} ^{2n}$, siano $x^{i},$ con $i=1,\ldots ,2n,$ le coordinate cartesiane su $\mathbb {R} ^{2n}$, con la forma simplettica data da
    $\omega =\sum _{i=1}^{n}dx^{i}\wedge dx^{n+i}$
e in forma matriciale
    $\omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}.$
Questa particolare struttura simplettica è importante perché il teorema di Darboux dice che tutte le varietà simplettiche sono localmente isomorfe alla varietà simplettica standard.

## Sottovarietà lagrangiane

Data una varietà simplettica $(M,\omega )$ di dimensione $2n$, di particolare importanza sono le sottovarietà lagrangiane. Una sottovarietà lagrangiana è definita come una sottovarietà $L\subset M$ di dimensione $n$ tale che $\omega$ è identicamente zero su ogni spazio tangente ad $L$. Vi sono numerosi esempi di sottovarietà lagrangiane, come la sezione zero del fibrato cotangente $T^{*}Q$ di una varietà $Q$ e il grafico di un simplettomorfismo $M\to N$ inteso come una sottovarietà di $M\times N$ con un'adeguata forma simplettica. Tale ubiquità le rende uno dei principali oggetti di studio della geometria simplettica, al punto che un motto di Alan Weinstein è "qualsiasi cosa è una sottovarietà lagrangiana".

## Forma volume simplettico

Una varietà simplettica $(M,\omega )$ possiede una forma volume indotta in maniera naturale dalla sua struttura, più precisamente dalla 2-forma.

### Definizione

Si definisce forma volume simplettico, o la forma di Liouville indotta da $\omega$ la
    $\Xi _{\omega }\equiv \xi :={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{n!}}\wedge ^{n}\omega .$
Utilizzando un sistema di coordinate canonico, che esiste sempre per il teorema di Darboux, la forma di Liouville assume l'aspetto
    $\xi :=dq^{1}\wedge \cdots \wedge dq^{n}\wedge dp_{1}\wedge \cdots \wedge dp_{n}.$

### Proprietà

* Siccome tutte le forme volume inducono un'orientazione su una varietà anche $\xi$ porta un'orientazione sulla varietà simplettica che viene chiamata anche l'orientazione naturale di $M$.
* La forma volume di Liouville induce una misura positiva sui borelliani di $M$. Definita
       $|{\mathcal {B}}|=\int _{(q,p)({\mathcal {B}})}dq^{1}\cdots dq^{n}dp_{1}\cdots dp_{n},$
    dove ${\mathcal {B}}$ è un borelliano di $M$ e si è usato il sistema di coordinate canonico.

## Gradienti simplettici

Sia $(M,\omega )$ una varietà simplettica e $H$ una funzione scalare su $M.$
Chiamiamo gradiente simplettico di $h$ il campo vettoriale $X$ su $M$ definito come l'unico campo vettoriale tale che
    $\omega (X,\cdot )=-dH,$
dove $dH$ è il differenziale di $H$.

## Sistema hamiltoniano

Notiamo che
    $\omega (X,\cdot )\colon TM\to T^{*}M$
è biettiva per via della non degenerazione di $\omega ,$ allora è possibile definire un'applicazione inversa
    $I\colon T^{*}M\to TM$
che prende il nome di tensore di Poisson tale che
    $\omega (I\alpha ,\cdot )=\alpha ,$
dove $\alpha \in T^{*}M$.
Grazie a questo nuovo operatore il gradiente simplettico si può riscrivere come $X=IdH$ che prende anche il nome di campo vettoriale hamiltoniano e la relativa equazione differenziale associata prende il nome di equazione di hamilton di hamiltoniana $h$.
La terna $(M,\omega ,H)$ si chiama sistema hamiltoniano, e la varietà simplettica $(M,\omega )$ si definisce anche spazio delle fasi.