# Gruppo di Weyl

In matematica, in particolare la teoria delle algebre di Lie, il gruppo di Weyl (dal nome di Hermann Weyl) di un sistema di radici è un sottogruppo del gruppo di isometrie di quel sistema di radici. Nello specifico, è il sottogruppo che si genera per riflessioni attraverso gli iperpiani ortogonali alle radici, e come tale è un gruppo finito di riflessioni. Infatti risulta che la maggior parte dei gruppi di riflessione finiti sono gruppi di Weyl. [1] In astratto, i gruppi di Weyl sono gruppi di Coxeter finiti e ne sono esempi importanti.
Il gruppo di Weyl di un gruppo di Lie semisemplice, di un'algebra di Lie semisemplice, di un gruppo algebrico lineare semisemplice, ecc. è il gruppo di Weyl del sistema di radici di quel gruppo o algebra .

## Definizione ed esempi

Sia $\Phi$ un sistema di radici in uno spazio euclideo $V$. Per ogni radice $\alpha \in \Phi$, sia $s_{\alpha }$ la riflessione rispetto all'iperpiano perpendicolare a $\alpha$, data esplicitamente da
    $s_{\alpha }(v)=v-2{\frac {(v,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha$ ,
dove $(\cdot ,\cdot )$ il prodotto interno su $V$ . Il gruppo di Weyl $W$ di $\Phi$ è il sottogruppo del gruppo ortogonale $O(V)$ generato da tutti gli $s_{\alpha }$. Per definizione di sistema di radici, ciascuno degli $s_{\alpha }$ conserva $\Phi$, da cui segue che $W$ è un gruppo finito.
Nel caso del sistema di radici di $A_{2}$, ad esempio, gli iperpiani perpendicolari alle radici sono solo linee e il gruppo di Weyl è il gruppo di simmetria di un triangolo equilatero, come indicato nella figura. Come un gruppo, $W$ è isomorfo al gruppo di permutazione su tre elementi, considerabili come i vertici del triangolo. Si noti che in questo caso, $W$ non è il gruppo di simmetria completo del sistema di radici; una rotazione di 60 gradi conserva $\Phi$ ma non è un elemento di $W$ .
Si consideri anche il sistema di radici $A_{n}$. In questo caso, $V$ è lo spazio di tutti i vettori in $\mathbb {R} ^{n+1}$ le cui entrate si sommano a zero. Le radici sono costituite dai vettori della forma $e_{i}-e_{j},\,i\neq j$, dove $e_{i}$ è l'$i$-esimo elemento base standard per $\mathbb {R} ^{n+1}$ . La riflessione associata a tale radice è la trasformazione di $V$ ottenuto scambiando il $i$- e $j$ -esimi elementi di ciascun vettore. Il gruppo di Weyl per $A_{n}$ è allora il gruppo di permutazione su $n+1$ elementi.

## Camere di Weyl

Se $\Phi \subset V$ è un sistema di radici, si può considerare l'iperpiano perpendicolare a ciascuna radice $\alpha$. Si ricordi che $s_{\alpha }$ denota la riflessione sull'iperpiano e che il gruppo di Weyl è il gruppo di trasformazioni di $V$ generato da tutti i $s_{\alpha }$. Il complemento dell'insieme degli iperpiani è disconnesso e ogni componente connesso è chiamato camera di Weyl. Se abbiamo fissato un particolare insieme di radici semplici, possiamo definire la camera fondamentale di Weyl associata a come l'insieme dei punti $v\in V$ tale che $(\alpha ,v)>0$ per ogni $\alpha \in \Delta$.
Dal momento che le riflessioni $s_{\alpha }$, $\alpha \in \Phi$, conservano $\Phi$, conservano anche l'insieme degli iperpiani perpendicolari alle radici. Pertanto, ogni elemento del gruppo di Weyl permuta le camere di Weyl.
La figura illustra il caso del sistema di radici $A_{2}$. Gli "iperpiani" (in questo caso, unidimensionali) ortogonali alle radici sono indicati da linee tratteggiate. I sei settori di 60 gradi sono le camere di Weyl e la regione ombreggiata è la camera di Weyl fondamentale associata alla base indicata.
Un teorema generale di base sulle camere di Weyl è questo:
    Teorema: il gruppo di Weyl agisce liberamente e in modo transitivo sulle camere di Weyl. Pertanto, l'ordine del gruppo di Weyl è uguale al numero di camere di Weyl.
Un risultato correlato è questo:
    Teorema: sia data una camera di Weyl $C$. Allora per tutti $v\in V$, l'orbita di Weyl di $v$ contiene esattamente un punto nella chiusura ${\bar {C}}$ di $C$ .

## Struttura di gruppo di Coxeter
### Gruppo generatore

Un risultato chiave sul gruppo di Weyl è il seguente:
    Teorema: se $\Delta$ è la base per $\Phi$, allora il gruppo di Weyl è generato dalle riflessioni $s_{\alpha }$ insieme a $\alpha$ in $\Delta$ .
Vale a dire, il gruppo generato dalle riflessioni $s_{\alpha },\,\alpha \in \Delta ,$ è lo stesso del gruppo generato dalle riflessioni $s_{\alpha },\,\alpha \in \Phi$ .

### Relazioni

Nel frattempo, se $\alpha$ e $\beta$ sono in $\Delta$, quindi il diagramma di Dynkin per $\Phi$ rispetto alla base $\Delta$ dice qualcosa su come la coppia $\{s_{\alpha },s_{\beta }\}$ si comporta. In particolare, si supponga che $v$ e $v'$ sono i vertici corrispondenti nel diagramma di Dynkin. Allora abbiamo i seguenti risultati:
* Se non c'è legame tra $v$ e $v'$, allora $s_{\alpha }$ e $s_{\beta }$ commutano. Siccome $s_{\alpha }$ e $s_{\beta }$ hanno ordine due, questo equivale a dire che $(s_{\alpha }s_{\beta })^{2}=1$ .
* Se c'è un legame tra $v$ e $v'$, allora $(s_{\alpha }s_{\beta })^{3}=1$ .
* Se ci sono due legami tra $v$ e $v'$, allora $(s_{\alpha }s_{\beta })^{4}=1$ .
* Se ci sono tre legami tra $v$ e $v'$, allora $(s_{\alpha }s_{\beta })^{6}=1$ .
L'affermazione precedente non è difficile da verificare, ricordando semplicemente cosa dice il diagramma di Dynkin sull'angolo tra ciascuna coppia di radici. Se, per esempio, non c'è legame tra i due vertici, allora $\alpha$ e $\beta$ sono ortogonali, da cui segue facilmente che le riflessioni corrispondenti commutano. Più in generale, il numero di legami determina l'angolo $\theta$ tra le radici. Il prodotto delle due riflessioni è quindi una rotazione per angolo $2\theta$ nel piano attraversato da $\alpha$ e $\beta$, come il lettore potrà verificare, da cui consegue facilmente la suddetta affermazione.

### Come gruppo di Coxeter

I gruppi di Weyl sono esempi di gruppi di riflessione finiti, in quanto generati da riflessioni; i gruppi astratti (non considerati come sottogruppi di un gruppo lineare) sono di conseguenza gruppi di Coxeter finiti, il che consente loro di essere classificati dal loro diagramma di Coxeter-Dynkin. Essere un gruppo di Coxeter significa che un gruppo di Weyl ha un tipo speciale di presentazione in cui ogni generatore $x_{i}$ è di ordine due, e le relazioni diverse da $x_{i}^{2}=1$ sono della forma $(x_{i}x_{j})^{m_{ij}}=1$ . I generatori sono le riflessioni date da semplici radici, e $m_{ij}$ è 2, 3, 4 o 6 a seconda che le radici i e j formino un angolo di 90, 120, 135 o 150 gradi, cioè se nel diagramma di Dynkin sono scollegati, collegati da un arco semplice, collegati da un doppio arco o collegati da un triplo arco. Abbiamo già notato queste relazioni nell'elenco puntato sopra, ma per dire che $W$ è un gruppo di Coxeter, stiamo dicendo che queste sono le uniche relazioni in $W$ .
I gruppi di Weyl hanno un ordine di Bruhat e una funzione di lunghezza in termini di questa presentazione: la lunghezza di un elemento del gruppo di Weyl è la lunghezza della parola più corta che rappresenta quell'elemento in termini di questi generatori standard. C'è un unico elemento più lungo di un gruppo di Coxeter, che è opposto all'identità nell'ordine di Bruhat.