# Processo telegrafico casuale

Nell'ambito della teoria della probabilità, il processo telegrafico casuale è un processo stocastico senza memoria e continuo nel tempo che può assumere due soli valori. Spesso viene impiegato come modello per la descrizione del rumore burst (spesso chiamato anche rumore popcorn o rumore telegrafico casuale). Detti $c_{1}$ e $c_{2}$ i due possibili valori che la variabile casuale può assumere, il processo può essere descritto a partire dalle seguenti equazioni differenziali:
    $\partial _{t}P(c_{1},t|x,t_{0})=-\lambda _{1}P(c_{1},t|x,t_{0})+\lambda _{2}P(c_{2},t|x,t_{0})$
e
    $\partial _{t}P(c_{2},t|x,t_{0})=\lambda _{1}P(c_{1},t|x,t_{0})-\lambda _{2}P(c_{2},t|x,t_{0})$
dove $\lambda _{1}$ e $\lambda _{2}$ indicano, rispettivamente, i tassi di transizione da $c_{1}$ a $c_{2}$ e da $c_{2}$ a $c_{1}$, e $P(c_{i},t|x,t_{0})$ indica la probabilità congiunta che il sistema all'istante $t$ si trovi nello stato $c_{i}$ quando al tempo $t_{0}<t$ si trovava nello stato $x$. Questo tipo di processo prende anche il nome di processo di Kac (dal matematico Mark Kac).

## Soluzione del sistema di equazioni differenziali

Il sistema di equazioni differenziali può essere riscritto in forma compatta introducendo il vettore di densità di probabilità $\mathbf {P} =[P(c_{1},t|x,t_{0}),P(c_{2},t|x,t_{0})]$, così che questo diventi:
    ${\frac {d\mathbf {P} }{dt}}=W\mathbf {P}$
dove la matrice:
    $W={\begin{pmatrix}-\lambda _{1}&\lambda _{2}\\\lambda _{1}&-\lambda _{2}\end{pmatrix}}$
prende il nome di matrice del tasso di transizione. La soluzione del sistema, $\mathbf {P} (t)$, si ottiene definendo la condizione iniziale $\mathbf {P} (0)$, la quale descrive che all'istante $t_{0}$ il sistema si trova nello stato $x\in \{c_{1},c_{2}\}$. Se $\mathbf {P} (0)$ è definita, la generica soluzione può essere scritta come:
    $\mathbf {P} (t)=e^{Wt}\mathbf {P} (0)$.
dove il termine $e^{Wt}$ indica l'operazione di matrice esponenziale. Si può mostrare che vale l'uguaglianza:
    $e^{Wt}=I+W{\frac {(1-e^{-2\lambda t})}{2\lambda }}$
dove $I$ è la matrice identità e $\lambda =(\lambda _{1}+\lambda _{2})/2$ è il tasso di transizione medio. Nel limite di $t\rightarrow \infty$, la soluzione approccia il regime stazionario $\mathbf {P} (t\rightarrow \infty )=\mathbf {P} _{s}$ dato da:
    $\mathbf {P} _{s}={\frac {1}{2\lambda }}{\begin{pmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{1}\end{pmatrix}}$

## Proprietà

La dipendenza dallo stato iniziale decade esponenzialmente nel tempo. Ciò implica che se il sistema viene inizialmente osservato all'istante $t_{0}$, una successiva osservazione all'istante $t=t_{0}+\Delta t$, supposto che valga $\Delta t\gg (2\lambda )^{-1}$, darà un risultato totalmente indipendente dallo stato osservato a $t_{0}$. Più precisamente, all'istante $t$ il sistema avrà raggiunto lo stato stazionario, indicato dal pedice s e caratterizzato da:
* Media:
    $\langle X\rangle _{s}={\frac {c_{1}\lambda _{2}+c_{2}\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.$
* Varianza:
    $\operatorname {var} \{X\}_{s}={\frac {(c_{1}-c_{2})^{2}\lambda _{1}\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{2}}}.$
è possibile anche calcolare la funzione di correlazione, che vale:
    $\langle X(t),X(u)\rangle _{s}=e^{-2\lambda |t-u|}\operatorname {var} \{X\}_{s}.$

## Applicazioni

Il processo telegrafico trova ampio impiego nella modellistica di diversi fenomeni:
* In finanza, per descrivere i prezzi delle azioni
* In biologia, per descrivere i processi di binding e unbinding del fattore di trascrizione
* In fisica, per descrivere le proprietà dicotomiche dei sistemi di spin e dell'intermittenza di fluorescenza
* In elettronica, per descrivere le fluttuazioni di corrente indotte dal cambio di occupazione dei difetti microscopici presenti nei dispositivi microelettronici