# Punto fuchsiano

In matematica, nella teoria delle equazioni differenziali lineari di variabile complessa, un punto fuchsiano, anche detto singolarità fucsiana o punto singolare regolare, è un tipo particolare di punto singolare in corrispondenza del quale le soluzioni dell'equazione crescono non più velocemente di un polinomio. Il nome si deve a Lazarus Fuchs.
Un'equazione differenziale ordinaria lineare omogenea definita nel piano complesso, di cui i coefficienti sono funzioni analitiche, è detta equazione fuchsiana se tutti i punti singolari sono punti fuchsiani sulla sfera di Riemann.

## Definizione

Data un'equazione ordinaria lineare di n-esimo grado:
    $f^{n}(z)+\sum _{i=0}^{n-1}p_{i}(z)f^{(i)}(z)=0\qquad z\in \mathbb {C}$
con $p_{i}(z)$ funzioni meromorfe nei punti $z_{0}$, i punti $z_{0}$ sono punti singolari regolari se ogni soluzione cresce non più velocemente di un polinomio per $z\to z_{0}$. Nello specifico, per ogni intervallo $\alpha <\arg(z-z_{0})<\beta$ con $\beta -\alpha <\pi$, ogni soluzione $f_{0}(z)$ è vincolata dalla disuguaglianza:
    $|f_{0}(z)|\leq C|z-z_{0}|^{-d}$
per una qualche costante $C>0$. Il punto $z_{0}=\infty$ è regolare se dopo il cambio di variabile $z=1/\tau$ l'equazione ha una singolarità regolare nel punto $\tau =0$. Un punto singolare che non è regolare è detto punto singolare irregolare.
Le equazioni in cui tutti i punti singolari sono punti fuchsiani sulla sfera di Riemann sono dette equazioni fuchsiane. Si dice che l'equazione è di classe fuchsiana se i coefficienti hanno la forma:
    $p_{i}(z)=\prod _{j=1}^{k}(z-z_{j})^{-i}q_{i}(z)$
con $z_{j}$ punti distinti e $q_{i}(z)$ un polinomio di gradi minore di $i(k-1)$.

## Equazioni di secondo grado

Nel caso di un'equazione del secondo ordine:
    $y''(z)+P(z)y'(z)+Q(z)y(z)=0$
il punto $z_{0}\in \mathbb {C}$ si dice un punto singolare se $P(z)$ o $Q(z)$ hanno una singolarità isolata per $z=z_{0}$. Il punto singolare $z_{0}$ si dice fuchsiano se $P(z)$ è al massimo un polo di ordine 1 e $Q(z)$ è al massimo un polo di ordine 2. Se tutti i punti singolari dell'equazione differenziale sono fuchsiani, l'equazione è chiamata equazione fuchsiana.
Un esempio di equazione fuchsiana con tre punti fuchsiani è l'equazione di Papperitz-Riemann. Ogni equazione ordinaria di secondo grado con tre punti singolari sulla sfera di Riemann può essere ricondotta all'equazione ipergeometrica (che si ottiene dall'equazione di Papperitz-Riemann), mentre nel caso vi siano quattro punti singolari può essere ridotta alla forma dell'equazione di Heun.

### Teorema di Fuchs

Il teorema di Fuchs assicura che nell'intorno di un punto fuchsiano esiste sempre almeno una soluzione della forma:
    $y_{1}(z)=(z-z_{0})^{\alpha _{1}}w_{1}(z)$
dove $\alpha _{1}$ è la soluzione avente parte reale massima dell'equazione algebrica di secondo grado:
    $x^{2}+(p_{o}-1)x+q_{o}=0$
detta "equazione indiciale" o "caratteristica" dell'equazione differenziale, e la funzione $w_{1}$ è una funzione olomorfa non nulla in $z=z_{0}$. I coefficienti dell'equazione indiciale si ricavano dai coefficienti $P,Q$ nel seguente modo:
    $p_{0}=\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})P(z)$
    $q_{0}=\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})^{2}Q(z)$