# Teorema del flusso massimo e taglio minimo

Il teorema del flusso massimo e taglio minimo (conosciuto anche come max-flow min-cut) dice che, in una rete di flusso, il massimo flusso passante dalla sorgente (il nodo iniziale) al pozzo (il nodo finale) è uguale alla somma dei pesi degli archi nel taglio minimo.
Si tratta di una generalizzazione del problema primale standard, tipico della programmazione lineare.
Il teorema fu dimostrato da P. Elias, A. Feinstein, e C.E. Shannon nel 1956, e indipendentemente anche da L.R. Ford Jr. e D.R. Fulkerson nello stesso anno.

## Definizioni e formulazione

Sia $N=(V,E)$ una rete di flusso, con s e t rispettivamente sorgente e pozzo di N.

### Flusso massimo

Definizione. Un flusso è una funzione $f:E\to R^{+}$ che assegna ad ogni arco $(u,v)\in E$ un valore denotato con $f_{uv}$ o $f(u,v)$. Il flusso è soggetto a due vincoli:
* Vincolo di capacità:
    $\forall (u,v)\in E:\qquad f_{uv}\leq c_{uv}$
* Conservazione del flusso:
    $\forall v\in V\setminus \{s,t\}:\qquad \sum \nolimits _{\{u:(u,v)\in E\}}f_{uv}=\sum \nolimits _{\{u:(v,u)\in E\}}f_{vu}.$
Definizione. La capacità è una funzione $c:E\to R^{+}$ che assegna ad ogni arco $(u,v)\in E$ un valore denotato con $c_{uv}$ o $c(u,v)$. Rappresenta il massimo flusso che può passare attraverso un arco.
Definizione. Il valore di flusso è costituito da:
    $|f|=\sum \nolimits _{v\in V}f_{sv},$
e rappresenta l'ammontare di flusso che parte dalla sorgente per arrivare al pozzo.

### Taglio minimo

Definizione. Un taglio s-t $C=(S,T)$ è la partizione di V tale che $s\in S$ e $t\in T$. L'insieme di taglio di C è:
    $\{(u,v)\in E\ :\ u\in S,v\in T\}.$
Nota che se gli archi di C venissero rimossi, | f | = 0.
Definizione. La capacità di un taglio s-t è definita come
    $c(S,T)=\sum \nolimits _{(u,v)\in S\times T}c_{uv}=\sum \nolimits _{(i,j)\in E}c_{ij}d_{ij},$
dove $d_{ij}=1$ se $i\in S$ e $j\in T$, 0 altrimenti.
    Minimum s-t Cut Problem. Determinare S e T tali che la capacità del taglio s-t sia minima.

### Formulazione del teorema

Il valore massimo di un flusso s-t è uguale alla capacità minima fra tutti i tagli s-t.

## Dimostrazione

Si introducono due teoremi fondamentali, chiamati teorema 1 e teorema 2, per semplificare la dimostrazione.

### Teorema 1

sia $<V_{s},V_{t}>$ un taglio della rete di flusso N con singola sorgente s e singolo pozzo t. Si ipotizzi un flusso $f$ tale che $f(e)=c(e)$ se $e\in <V_{s},V_{t}>$ e $f(e)=0$ altrimenti. Dove $c(e)$ è il valore della capacità dell'arco $e$.
Allora $f$ è il flusso di valore massimo in $N$ e $<V_{s},V_{t}>$ è il taglio di N di capacità minima.
Dimostrazione valore massimo:
Il valore di un flusso $<V_{s},V_{t}>$ è calcolato come $\sum _{e\in <V_{s},V_{t}>}{f(e)}-\sum _{e\in <V_{t},V_{s}>}{f(e)}$
Per un flusso ammissibile questo valore è uguale per ogni taglio $<V_{s},V_{t}>$ della rete N. Se consideriamo il flusso $f$ definito nelle ipotesi abbiamo che il valore del flusso diventa $val(f)=\sum _{e\in <V_{s},V_{t}>}{f(e)}$ siccome ogni arco entrate in $V_{s}$ ha flusso azzerato.
Ipotizziamo, per assurdo, che esista un flusso di valore superiore e chiamiamolo $f^{*}$. Ora consideriamo il taglio $<V_{s},V_{t}>$ su cui è stata costruita l'ipotesi.
$val(f^{*})=\sum _{e\in <V_{s},V_{t}>}{f(e)}-\sum _{e\in <V_{t},V_{s}>}{f(e)}>val(f)$. Ma questo è chiaramente impossibile poiché la prima sommatoria ha valore massimo in $f$ (e quindi anche in $f^{*}$) e la seconda sommatoria può soltanto peggiorare il valore del flusso. Quindi otteniamo $val(f^{*})=val(f)$.
Dimostrazione taglio di capacità minima:
Per definizione di valore di un flusso abbiamo $val(f)\leq cap(T)$ dove $cap(T)$ è la capacità di qualsiasi taglio $T$ in una rete di flusso.
Per ipotesi il valore del flusso $f$ è $val(f)=\sum _{e\in <V_{s},V_{t}>}{f(e)}=cap(<V_{s},V_{k}>)$.
Per ogni altro taglio $<V_{s}',V_{t}'>$ di capacità diversa il valore del flusso è $\sum _{e\in <V_{s}',V_{t}'>}{f(e)}-\sum _{e\in <V_{t}',V_{s}'>}{f(e)}$.
Ma $f$ è un flusso ammissibile $\sum _{e\in <V_{s}',V_{t}'>}{f(e)}-\sum _{e\in <V_{t}',V_{s}'>}{f(e)}=\sum _{e\in <V_{s},V_{t}>}{f(e)}\implies \sum _{e\in <V_{s}',V_{t}'>}{f(e)}>\sum _{e\in <V_{s},V_{t}>}{f(e)}\implies \sum _{e\in <V_{s}',V_{t}'>}{f(e)}>cap(<V_{s},V_{t}>)$

### Teorema 2

sia $f$ un flusso in una rete di flusso s-t $N$, allora $f$ è il flusso di valore massimo se e solo se il grafo residuo $N'$ relativo al flusso $f$ non contiene un percorso da s a t e quindi non contiene un cammino aumentante.
Dimostrazione
Dimostrazione $\Leftarrow$:
Consideriamo ogni percorso in $N'$ che inizia da $s$ e creiamo un insieme $V_{s}$ composto da tutti i vertici che appartengono a questi percorsi.
Siccome non esiste cammino aumentante: $t\notin V_{s}$. Quindi consideriamo il taglio $<V_{s},V_{t}>\;V_{t}=V\setminus V_{s}$.
Ogni arco $(w,j)\in <V_{s},V_{t}>$ ha come valore di flusso $f(w,j)=cap(w,j)$ oppure $f(w,j)=0$ per costruzione del grafo residuo.
Quindi il taglio $<V_{s},V_{t}>$ soddisfa le ipotesi del teorema 1 e quindi $f$ è il flusso di massimo valore.

### Teorema del flusso massimo e del taglio minimo

Il valore massimo di un flusso s-t è uguale alla capacità minima fra tutti i tagli s-t.
Dimostrazione
Il taglio elaborato nella dimostrazione del teorema 2 ha capacità pari al flusso di massimo valore.