# Grande icosidodecaedro camuso invertito

In geometria, il grande icosidodecaedro camuso invertito è un poliedro stellato uniforme avente 92 facce - 80 triangolari e 12 a forma di pentagramma - 150 spigoli e 60 vertici.

## Coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane per i vertici del grande icosidodecaedro camuso invertito, spesso indicato con il simbolo U$_{69}$ e il cui inviluppo convesso è un dodecaedro camuso non uniforme, sono date da tutte le permutazioni pari di:
    $\left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)$
    $\left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi -\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1)\,\right)$
    $\left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1),\,\pm (-\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta +\varphi )\,\right)$
    $\left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1),\,\pm (\alpha +\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi )\,\right)$
    $\left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}-\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1)\,\right)$
con un numero pari di segni più, dove $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ è la sezione aurea, $\xi \approx 1,2224727$ è la più grande radice reale positiva dell'equazione $\xi ^{3}-2\xi =-{\frac {1}{\varphi }}$ e
${\begin{aligned}\alpha &=\xi -{\frac {1}{\xi }},\\[4pt]\beta &=-{\frac {\xi }{\varphi }}+{\frac {1}{\varphi ^{2}}}-{\frac {1}{\xi \varphi }}.\end{aligned}}$

## Poliedri correlati

Dato un grande icosidodecaedro camuso invertito di spigolo pari a 1, il suo circumraggio è pari a $R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0,816081\dots$ dove $x$ è la soluzione dell'equazione
    $x^{3}+2x^{2}=\left({\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}.$
Le quattro radici positive dell'equazione in $\mathbb {R} ^{2}$, $4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0$ sono, in ordine, i circumraggi del grande icosidodecaedro retrocamuso (U$_{74}$), del grande icosidodecaedro camuso (U$_{57}$), del grande icosidodecaedro camuso invertito (U$_{69}$) e del dodecaedro camuso (U$_{29}$).

### Grande esacontaedro pentagonale invertito

Il grande esacontaedro pentagonale invertito è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del grande icosidodecaedro camuso invertito, avente per facce 60 pentagoni irregolari concavi.
Dato un grande icosidodecaedro camuso invertito di spigolo pari a 1, immaginando il grande esacontaedro pentagonale invertito come composto da 60 facce intersecanti a forma di pentagono irregolare concavo, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, e considerando la già citata sezione aurea e il numero $\xi \approx 0,252\,780\,289\,27$ - la più piccola radice positiva del polinomio $P=8x^{3}-8x^{2}+\phi ^{-2}$ - ogni faccia risulta avere quattro angoli uguali di ampiezza pari a $\arccos(\xi )\approx 75,357\,903\,417\,42^{\circ }$ e un angolo di ampiezza pari a $360^{\circ }-\arccos(-\phi ^{-1}+\phi ^{-2}\xi )\approx 238,568\,386\,330\,33^{\circ }$, con tre lati lunghi e due corti le cui lunghezze stanno in un rapporto pari a ${\frac {2-4\xi ^{2}}{1-2\xi }}\approx 3,528\,053\,034\,81$