# Numero primo di Wieferich

In matematica, un primo di Wieferich è un numero primo p tale che p² divide 2$^{p−1}$ − 1; si confronti questo con il piccolo teorema di Fermat, secondo cui ogni primo p divide 2$^{p−1}$ − 1. I primi di Wieferich vennero descritti per la prima volta nel 1909 da Arthur Wieferich, in lavori riguardanti l'ultimo teorema di Fermat.

## La ricerca dei primi di Wieferich

Gli unici primi di Wieferich conosciuti sono 1093 e 3511, trovati rispettivamente da W. Meissner nel 1913 e N. G. W. H. Beeger nel 1922; se ne esistono altri, devono essere > 1,25×10$^{15}$. Si è congetturato che esista solo una moltitudine finita di primi di Wieferich; la congettura è tutt'oggi indimostrata, anche se J. H. Silverman nel 1988 fu in grado di dimostrare che se la congettura abc regge, allora per ogni intero positivo a > 1, esiste una moltitudine infinita di primi p tali che p² non divide a$^{p−1}$ − 1.

## Proprietà dei primi di Wieferich

* Primi di Wieferich e numeri di Mersenne.
    Un numero di Mersenne è definito come M$_q$ = 2$^q$ −1 (dove q è primo) e per il piccolo teorema di Fermat si sa che M$_{p−1}$ (= 2$^{p−1}$−1) è sempre divisibile per un primo p.
    Inoltre, può essere che, con q che è un fattore primo di p−1 anche M$_q$ < M$_{p−1}$ sia divisibile per p.
    Dalla definizione di primo di Wieferich w si ha che 2$^{w−1}$ −1 sia divisibile per w$^2$ e non solo per w.
    Ora q può essere un fattore di w−1, e M$_q$ è ancora divisibile per w; quindi la domanda che sorge è se esiste un numero di Mersenne M$_q$, che sia anche divisibile per w$^2$ o possa essere esso stesso un primo di Wieferich.
    Si può anche mostrare che
       se w$^2$ divide 2$^{w−1}$−1, e w dividesse M$_q$ (= 2$^q$−1), dove q è il divisore primo di w−1
       allora anche w$^2$ deve dividere M$_q$; quindi M$_q$ conterrebbe un quadrato (e non potrebbe essere primo).
    I due primi di Wieferich noti w=1093 e w=3511, non soddisfano la condizione di dividere un numero di Mersenne M$_q$ con esponente primo q; quindi
       nessun primo di Wieferich è un fattore di un numero di Mersenne.
    Ma che questo sia impossibile in generale non è attualmente noto; una versione più generale di questa domanda è: I numeri di Mersenne sono tutti interi privi di quadrati?
    Poiché qualsiasi M$_q$ contenente un primo di Wieferich w deve anche contenere w$^2$, ne segue immediatamente che non sarà primo. Quindi
       un primo di Mersenne non può essere un primo di Wieferich.
* Generalizzazione ciclotomica
    Per una generalizzazione ciclotomica della proprietà di Wieferich (n$^p$−1)/(n−1) divisibile per w$^2$ esistono soluzioni come
       (3$^5$ - 1)/(3-1) = 11$^2$
    e anche esponenti superiori a 2 come in
       (19$^6$ - 1)/(19-1) divisibile per 7$^3$
* Inoltre, se w è un primo di Wieferich, allora 2$^{w2}$ = 2 (mod w$^2$).

## Primi di Wieferich e Ultimo teorema di Fermat

Il seguente teorema che collega i primi di Wieferich e l'ultimo teorema di Fermat venne dimostrato da Wieferich nel 1909:
    Sia p un numero primo, e siano x, y, z interi tali che x$^p$ + y$^p$ + z$^p$ = 0. Si assuma inoltre che p non divida il prodotto xyz. Allora p è un primo di Wieferich.
Nel 1910, Mirimanoff fu in grado di espandere il teorema mostrando che, se le precondizioni del teorema sono vere per qualche primo p, allora p² deve dividere anche 3$^{p−1}$. I numeri primi di questo tipo sono stati talvolta chiamati primi di Mirimanoff, ma il nome non è entrato nella terminologia matematica generalmente in uso.