# Lemma di Fatou

In matematica, il lemma di Fatou è un lemma che stabilisce una disuguaglianza tra l'integrale di Lebesgue del limite inferiore di una successione di funzioni e il limite inferiore degli integrali di queste funzioni. Il lemma porta il nome del matematico francese Pierre Fatou (1878 - 1929).
Il lemma di Fatou può essere usato per dimostrare il teorema di Fatou-Lebesgue e il teorema della convergenza dominata di Lebesgue.

## Enunciato del lemma di Fatou

Se $f_{1},f_{2},\dots$ è una successione di funzioni non negative e misurabili definite su uno spazio di misura $(S,\Sigma ,\mu )$, allora:
    $\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu$

### Dimostrazione

Il lemma di Fatou viene qui dimostrato usando il teorema della convergenza monotona.
Sia $f$ il limite inferiore della successione $f_{n}$. Per ogni intero $k$ si definisca la funzione:
    $g_{k}=\inf _{n\geq k}f_{n}$
cioè:
    $g_{1}=\inf {\left\{f_{1},f_{2},f_{3},\dots \right\}}$
    $g_{2}=\inf {\left\{f_{2},f_{3},f_{4},\dots \right\}}$
    $\dots$
    $g_{n}=\inf {\left\{f_{n},f_{n+1},f_{n+2},\dots \right\}}$
    $\dots$
Allora la successione $g_{k}$ è tale che:
    $0\leq g_{1}\leq g_{2}\dots \leq g_{n}\dots \qquad g_{k}\uparrow \liminf _{n\to \infty }f_{n}\qquad g_{k}\leq f_{k}\qquad \forall k\in \mathbb {N}$
Se $k\leq n$, allora $g_{k}\leq f_{n}$, dunque:
    $\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \int _{S}f_{n}\,d\mu$
quindi:
    $\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu$
Per il teorema della convergenza monotona e per la definizione di limite inferiore, utilizzando anche l'ultima disuguaglianza, segue che:
    $\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu$

## Esempi nel caso di disuguaglianza stretta

Si definisca sullo spazio $S$ una σ-algebra di Borel con la misura di Lebesgue.
* Si consideri l'intervallo unitario $S:=[0,1]$, e per ogni intero positivo $n$ si definisca:
    $f_{n}(x)={\begin{cases}n&{\mbox{per }}x\in (0,1/n)\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{cases}}$
* Sia $S:={\mathbb {R} }$ l'insieme dei numeri reali e si definisca:
    $f_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{n}}&{\mbox{per }}x\in [0,n]\\\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{cases}}$
Queste successioni $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ convergono su $S$ puntualmente (rispettivamente uniformemente) alla funzione nulla (con integrale nullo), ma ogni $f_{n}$ ha integrale uguale a $1$.

## Inverso del lemma di Fatou

Sia $f_{1},f_{2},\dots$ una successione di funzioni misurabili con valori appartenenti a $\mathbb {R}$ esteso definita su uno spazio di misura $(S,\Sigma ,\mu )$. Se esiste una funzione non negativa $g$, misurabile e con $\textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty$ su $S$, tale che $f_{n}\leq g$ per ogni n, allora:
    $\int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \geq \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu$
Per avere la dimostrazione di questo risultato, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da $g-f_{n}$.

## Estensioni e varianti del Lemma di Fatou
### Estremo inferiore integrabile

Sia $f_{1},f_{2},\dots$ una successione di funzioni misurabili a valori in $\mathbb {R}$ esteso definita su uno spazio di misura $(S,\Sigma ,\mu )$. Se esiste una funzione non negativa e integrabile $g$ su $S$ tale che $f_{n}\geq -g$ per ogni n, allora:
    $\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu$
Per la dimostrazione, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da $g+f_{n}$.

### Convergenza puntuale

Se la successione $f_{1},f_{2},\dots$ appena presentata converge puntualmente ad una funzione $f$ quasi ovunque su $S$, allora:
    $\int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu$
Infatti, si osservi che $f$ ha lo stesso limite inferiore delle $f_{n}$ quasi ovunque, e che i valori della funzione integranda su un insieme di misura nulla non influenzano il valore dell'integrale.

### Convergenza in misura

L'ultima affermazione vale anche se la successione $f_{1},f_{2},\dots$ converge in misura ad una funzione $f$. Infatti, esiste una sottosuccessione tale che:
    $\lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu$
Poiché questa sottosuccessione converge anche in misura a $f$, esiste una nuova successione, che converge puntualmente a $f$ quasi ovunque, quindi la precedente variante del lemma di Fatou è applicabile a questa successione.

## Lemma di Fatou per il valore atteso condizionato

Nella teoria della probabilità le precedenti versioni del lemma di Fatou sono applicabili alle successioni di variabili casuali $X_{1},X_{2},\dots$ definite su uno spazio di probabilità $(\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,\mathbb {P} )$, con gli integrali che diventano i valori attesi. Inoltre, esiste anche una versione per i valori attesi condizionati.
Sia $X_{1},X_{2},\dots$ una successione di variabili casuali non negative definite su uno spazio di probabilità $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ e sia ${\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}$ una sotto-σ-algebra. Allora:
    $\mathbb {E} {\Big\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Big ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]$
quasi certamente. Si nota che il valore atteso condizionato per le variabili casuali non negative è sempre ben definito.

### Dimostrazione

Attraverso un cambio di notazione, la dimostrazione è molto simile a quella utilizzata per provare il lemma di Fatou, tuttavia deve essere applicato il teorema della convergenza monotona per il valore atteso condizionato.
Sia $X$ il limite inferiore di $X_{n}$. Per ogni intero $k$ si definisca la variabile:
    $Y_{k}=\inf _{n\geq k}X_{n}$
Allora la successione $Y_{1},Y_{2},\dots$ è crescente e converge puntualmente a $X$. Per $k\leq n$, si ha $Y_{k}\leq Y_{n}$, e quindi:
    $\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]$
quasi certamente per la monotonia della probabilità condizionata, dunque:
    $\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]$
quasi certamente, poiché l'unione numerabile degli insiemi notevoli aventi probabilità nulla è ancora l'insieme vuoto.
Usando la definizione di $X$, la sua rappresentazione come limite puntuale di $Y_{k}$, il teorema della convergenza monotona per la probabilità condizionata, l'ultima disuguaglianza, e la definizione di limite inferiore, segue che:
    ${\begin{matrix}\mathbb {E} {\Big\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Big ]}&=\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}]=\mathbb {E} {\Big\lim _{k\to \infty }Y_{k}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Big ]}=\lim _{k\to \infty }\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\\&\leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]=\liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]\end{matrix}}$
quasi certamente.

### Estensione a parti negative uniformemente integrabili

Sia $X_{1},X_{2},\dots$ una successione di variabili casuali su uno spazio di probabilità $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ e sia ${\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}$ una sotto σ-algebra. Se le parti negative:
    $X_{n}^{-}:=\max\{-X_{n},0\}\qquad n\in {\mathbb {N} }$
sono uniformemente integrabili rispetto al valore atteso condizionato, nel senso che per $\varepsilon >0$ esiste $c>0$ tale che:
    $\mathbb {E} {\biglX_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon \qquad \forall n\in \mathbb {N}$
quasi certamente, allora:
    $\mathbb {E} {\Bigl\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]$
quasi certamente. Si nota che nell'insieme in cui il limite:
    $X:=\liminf _{n\to \infty }X_{n}$
soddisfa:
    $\mathbb {E} [\max\{X,0\}\,|\,{\mathcal {G}}]=\infty$
il membro a sinistra dell'ultima disuguaglianza è considerato infinito. Il valore atteso condizionato del limite superiore può non essere ben definito su questo insieme a causa del fatto che il valore atteso condizionato della parte negativa può anche essere infinito.

#### Dimostrazione

Sia $\varepsilon >0$. A causa dell'uniforme integrabilità rispetto al valore atteso condizionato esiste $c>0$ tale che:
    $\mathbb {E} {\biglX_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon \qquad \forall n\in \mathbb {N}$
quasi certamente. Dato che:
    $X+c\leq \liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}$
dove $x^{+}:=\max\{x,0\}$ denota la parte positiva di $x\in \mathbb {R}$, la monotonia del valore atteso condizionato e la versione standard del lemma implicano che:
    $\mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]+c\leq \mathbb {E} {\Bigl\liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]$
quasi certamente. Dal momento che:
    $(X_{n}+c)^{+}=(X_{n}+c)+(X_{n}+c)^{-}\leq X_{n}+c+X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}$
si ha:
    $\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+c+\varepsilon$
quasi certamente, e quindi:
    $\mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+\varepsilon$
quasi certamente. Questo prova l'asserto.