# Differenza finita

In matematica, una differenza finita è un'espressione nella forma di una differenza tra i valori assunti da una funzione in due specifici punti:
    $f(x+b)-f(x+a)$
Se la differenza finita è divisa per $b-a$ si ottiene un rapporto incrementale. Viene in genere indicata con la lettera greca $\Delta$ seguita dalla quantità che subisce tale variazione (ad esempio $\Delta x$).

## Definizione

Una differenza con centro $c$ e passo $h$ è definita come:
    $\Delta _{c,h}f(x)=f\left(x+c+{\frac {h}{2}}\right)-f\left(x+c-{\frac {h}{2}}\right)\qquad \forall c,h\in \mathbb {R}$
Si studiano principalmente quattro tipi di differenze finite:
* La differenza finita in avanti (forward difference):
    $\Delta _{{\frac {h}{2}},h}f(x)=\Delta _{h}f(x)=\Delta f(x)=f(x+h)-f(x)$
* La differenza finita all'indietro (backward difference):
    $\Delta _{-{\frac {h}{2}},h}f(x)=\Delta _{-h}f(x)=\nabla f(x)=f(x)-f(x-h)$
* La differenza finita centrata (central difference):
    $\Delta _{0,h}f(x)=\Delta _{0}f(x)=\delta f(x)=f\left(x+{\frac {h}{2}}\right)-f\left(x-{\frac {h}{2}}\right)$
* La differenza finita media (medium difference):
    $\Delta _{(0,h)/2}f(x)=\Delta _{1/2}f(x)=\mu \,f(x)={\frac {1}{2}}\left[f\left(x+{\frac {h}{2}}\right)-f\left(x-{\frac {h}{2}}\right)\right]$
Le differenze finite sono centrali nell'analisi numerica per l'approssimazione delle derivate e quindi nella risoluzione numerica delle equazioni differenziali.

## Relazione con le derivate

La derivata di una funzione $f$ in $x$ è definita come il limite del rapporto incrementale:
    $f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$
Se $h$, invece che annullarsi, assume un valore fissato, allora il termine a destra si può scrivere:
    ${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}$
in modo che la differenza finita in avanti divisa per $h$ approssima il valore della derivata per $h$ piccolo.
L'errore relativo a tale approssimazione può essere derivato tramite il teorema di Taylor. Assumendo $f$ una funzione differenziabile con continuità l'errore è:
    ${\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\quad (h\to 0)$
e la stessa formula vale per la differenza finita all'indietro:
    ${\frac {\Delta _{-h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)$
La differenza finita centrata, tuttavia, fornisce un'approssimazione più accurata. In tal caso l'errore è proporzionale al quadrato del passo $h$, se la funzione è differenziabile con continuità due volte, ovvero la derivata seconda $f^{''}$ è continua per ogni $x$:
    ${\frac {\Delta _{0}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h^{2})$

### Metodo alle differenze finite

Le differenze finite possono essere utilizzate per discretizzare una equazione differenziale ordinaria. Un esempio classico è il metodo di Eulero, che sfrutta alternativamente i tre i tipi di differenze finite presentati.

## Operatore

Un operatore astratto agente su uno spazio funzionale che, data una funzione, ne restituisce la differenza finita con centro $c$ e passo $h$ si dice un operatore alle differenze. Quello in avanti per esempio può essere espresso come:
    $\Delta _{h}=T_{h}-I$
dove $T_{h}$ è l'operatore di shift $T_{h}(f)=f(x+h)$ e $I$ l'identità. Similmente si possono descrivere gli altri due tipi.
Qualsiasi operatore alle differenze di quelli visti è lineare e soddisfa la regola di Leibniz.
La relazione di Taylor può essere espressa allora in termini simbolici come:
    $\Delta _{h}=\sum _{i}{\frac {h^{i}D^{i}}{i!}}\sim hD+{\frac {1}{2}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+\dots$
dove $D$ è l'operatore differenziale che trasforma una funzione nella sua derivata.

## Proprietà

In analogia con le regole di derivazione, per un operatore alle differenze si ha:
* Se $c$ è costante $\implies \Delta _{h}c=0{\,}$
* Linearità:
    $\Delta _{h}(\alpha f+\beta \,g)=\alpha \Delta _{h}f+\beta \,\Delta _{h}g$con $\alpha$ e $b$ sono costanti.
* Regola del prodotto:
    $\Delta _{h}(fg)=f\,\Delta _{h}g+g\,\Delta _{h}f+\Delta _{h}f\,\Delta _{h}g$
    $\Delta _{-h}(f\cdot g)=f\,\Delta _{-h}g+g\,\Delta _{-h}f-\Delta _{-h}f\,\Delta _{-h}g$
* Regola del quoziente:
    $\Delta _{h}\left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\Delta _{h}f-f\,\Delta _{h}g}{g\,(g+\Delta _{h}g)}}$
    $\Delta _{-h}\left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\Delta _{-h}f-f\,\Delta _{-h}g}{g\,(g-\Delta _{-h}g)}}$
* Regole di sommazione:
    $\sum _{n=a}^{b}\Delta _{h}f(n)=f(b+1)-f(a)$
    $\sum _{n=a}^{b}\Delta _{-h}f(n)=f(b)-f(a-1)$

## Differenze finite di ordine superiore

Si possono definire approssimazioni per le derivate di ordine successivo in modo iterativo.
Utilizzando ad esempio le differenze centrate per approssimare $f'(x+h/2)-f'(x-h/2)$ otteniamo la differenza finita centrata del second'ordine:
    $\Delta _{0}^{2}f(x)=f(x+h)-2f(x)+f(x-h)$
Più in generale, le differenze finite dell' $n$-esimo ordine sono definite rispettivamente come:
    $\Delta _{h}^{n}f(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x+(n-i)h)$
    $\Delta _{-h}^{n}f(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih)$
    $\Delta _{0}^{n}f(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right)$
Se necessario, è possibile mischiare i tre tipi centrando l'approssimazione successivamente in punti diversi.

### Proprietà

* Per $k$ e $n$ positivi:
    $\Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}\cdots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}(f,x+i_{1}h+i_{2}h+\cdots +i_{n}h)$
* Regola di Leibniz:
    $\Delta _{h}^{n}(fg,x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\Delta _{h}^{k}(f,x)\Delta _{h}^{n-k}(g,x+kh)$

## Generalizzazioni

Una differenza finita generalizzata è spesso definita come:
    $\Delta _{h}^{\alpha }[f](x)=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}f(x+kh)$
dove $\alpha =(\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{n})$ è il vettore dei suoi coefficienti. Un'ulteriore generalizzazione si ha quando la somma viene rimpiazzata da una serie infinita, ottenendo la differenza infinita.
Si possono anche rendere i coefficienti $\alpha _{k}$ dipendenti dal punto $x$, ovvero $\alpha _{k}=\alpha _{k}(x)$, ottenendo così una differenza "pesata". Si può anche far dipendere $h$ dal punto $x$, ovvero $h=h(x)$: ciò risulta utile ad esempio per definire diversi moduli di continuità.
L'operatore alle differenze si generalizza alla formula di inversione di Möbius su un insieme parzialmente ordinato.

## Interpolazione di Newton

La formula di interpolazione di Newton, introdotta da Newton nei Philosophiae Naturalis Principia Mathematica del 1687, è l'analogo discreto dell'espansione di Taylor continua:
    $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}~(x-a)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{x-a \choose k}~\Delta ^{k}[f](a)$
che vale per ogni funzione polinomiale $f$ e per molte funzioni analitiche. L'espressione:
    ${x \choose k}={\frac {(x)_{k}}{k!}}$
è il coefficiente binomiale, mentre:
    $(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)$
è il fattoriale decrescente. Il prodotto vuoto $(x)_{0}$ vale inoltre 1.